Doppler’s Effect Questions in Hindi

(C) आभासी आवृत्ति $f'$ को डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $f' = f \left( \frac{v \pm v_L}{v \mp v_S} \right)$.
चूंकि आभासी आवृत्ति $(390 \ Hz)$ वास्तविक आवृत्ति $(400 \ Hz)$ से कम है,इसलिए स्रोत और श्रोता के बीच की सापेक्ष दूरी बढ़नी चाहिए।
यह तब होता है जब श्रोता स्रोत से दूर जा रहा हो या स्रोत श्रोता से दूर जा रहा हो।
दिए गए विकल्पों में से,श्रोता का स्रोत से दूर जाना सही स्थिति है।

(C) डॉप्लर प्रभाव तरंग के स्रोत के सापेक्ष गति करने वाले प्रेक्षक के लिए तरंग की आवृत्ति में होने वाला परिवर्तन है।
यह तब लागू होता है जब तरंग के स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति होती है।
यह घटना ध्वनि और प्रकाश सहित सभी प्रकार की तरंगों पर लागू होती है।
इसलिए,डॉप्लर प्रभाव के लिए मूलभूत आवश्यकता स्रोत और प्रेक्षक के बीच सापेक्ष गति का होना है।

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ का सूत्र है: $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$।
यहाँ,$v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ स्रोत का वेग है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे हैं,इसलिए $v_o = \frac{v}{2}$ और $v_s = \frac{v}{2}$ होगा।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$n' = n \left( \frac{v + v/2}{v - v/2} \right)$
$n' = n \left( \frac{3v/2}{v/2} \right)$
$n' = n \times 3 = 3n$.
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $3n$ होगी।

(C) जब इंजन प्रेक्षक की ओर आता है,तो आभासी आवृत्ति $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होती है।
जब इंजन प्रेक्षक से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $n'' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
आभासी आवृत्तियों का अनुपात $n'/n'' = 5/3$ दिया गया है।
अतः,$\frac{n'}{n''} = \frac{v + v_s}{v - v_s} = \frac{5}{3}$.
$v = 340 \ m/s$ रखने पर:
$\frac{340 + v_s}{340 - v_s} = \frac{5}{3}$.
$3(340 + v_s) = 5(340 - v_s)$.
$1020 + 3v_s = 1700 - 5v_s$.
$8v_s = 680$.
$v_s = 85 \ m/s$.

(A) जब कोई प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो सुनी जाने वाली आवृत्ति डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
जहाँ:
$n = 240 \text{ Hz}$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 330 \text{ m/s}$ (ध्वनि की गति)
$v_0 = 11 \text{ m/s}$ (प्रेक्षक की गति)
मान रखने पर:
$n' = 240 \left( \frac{330 + 11}{330} \right)$
$n' = 240 \left( \frac{341}{330} \right)$
$n' = 240 \times 1.0333 = 248 \text{ Hz}$.

(C) व्यक्ति की गति $v_p = 18 \text{ km/h} = 18 \times \frac{5}{18} = 5 \text{ m/s}$ है।
चूंकि व्यक्ति एक परावर्तक सतह की ओर बढ़ रहा है,इसलिए परावर्तित ध्वनि एक ऐसे स्रोत की तरह कार्य करती है जो प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है।
सीटी से सीधे सुनी जाने वाली ध्वनि की आवृत्ति $f = 272 \text{ Hz}$ है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए,व्यक्ति द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति:
$f' = f \left( \frac{v + v_p}{v - v_p} \right)$
मान रखने पर: $f' = 272 \left( \frac{345 + 5}{345 - 5} \right) = 272 \left( \frac{350}{340} \right) = 272 \times \frac{35}{34} = 8 \times 35 = 280 \text{ Hz}$.
सुने गए बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = f' - f = 280 \text{ Hz} - 272 \text{ Hz} = 8 \text{ Hz}$.

(B) बस में बैठा यात्री दो ध्वनियाँ सुनता है: हॉर्न से आने वाली सीधी ध्वनि और दीवार से परावर्तित ध्वनि।
चूंकि बस $v_B = 5 \ m/s$ के वेग से दीवार की ओर बढ़ रही है,इसलिए दीवार परावर्तित ध्वनि के स्रोत के रूप में कार्य करती है।
यात्री द्वारा सुनी जाने वाली सीधी ध्वनि की आवृत्ति $n = 165 \ Hz$ है।
यात्री द्वारा सुनी जाने वाली परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $(n')$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_B}{v - v_B} \right)$
दिए गए मानों को रखने पर ($v = 355 \ m/s$,$v_B = 5 \ m/s$,$n = 165 \ Hz$):
$n' = 165 \left( \frac{355 + 5}{355 - 5} \right) = 165 \left( \frac{360}{350} \right) = 165 \times \frac{36}{35} = 169.71 \approx 170 \ Hz$.
प्रति सेकंड सुने जाने वाले बीट्स की संख्या आवृत्तियों का अंतर है:
$\text{Beats} = n' - n = 170 \ Hz - 165 \ Hz = 5 \ Hz$.

(A) प्रेक्षक दो ध्वनियाँ सुनता है: एक सीधे स्रोत से और दूसरी दीवार से परावर्तित ध्वनि (गूँज) से।
सीधी ध्वनि के लिए,स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है। आभासी आवृत्ति $n_1$ इस प्रकार है:
$n_1 = n \left( \frac{v}{v + v_S} \right) = 256 \left( \frac{330}{330 + 5} \right) = 256 \left( \frac{330}{335} \right) \approx 252.18 \ Hz$.
परावर्तित ध्वनि के लिए,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। स्रोत दीवार की ओर बढ़ रहा है,इसलिए दीवार उच्च आवृत्ति पर ध्वनि प्राप्त करती है,जिसे वह प्रेक्षक की ओर वापस परावर्तित करती है। आभासी आवृत्ति $n_2$ इस प्रकार है:
$n_2 = n \left( \frac{v}{v - v_S} \right) = 256 \left( \frac{330}{330 - 5} \right) = 256 \left( \frac{330}{325} \right) \approx 260.00 \ Hz$.
प्रति सेकंड बीट्स की संख्या इन दो आवृत्तियों के बीच का अंतर है:
$f_{beat} = n_2 - n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_S} - \frac{v}{v + v_S} \right) = \frac{2nvv_S}{v^2 - v_S^2}$.
मान रखने पर:
$f_{beat} = \frac{2 \times 256 \times 330 \times 5}{330^2 - 5^2} = \frac{844800}{108875} \approx 7.76 \ Hz \approx 7.8 \ Hz$.

(A) माना $v$ ध्वनि का वेग है और $v_0 = 40 \ m/s$ श्रोता का वेग है।
जब श्रोता स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = \left( \frac{v + v_0}{v} \right) n = 200 \dots (i)$
जब श्रोता उसी स्रोत से दूर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n''$ इस प्रकार दी जाती है:
$n'' = \left( \frac{v - v_0}{v} \right) n = 160 \dots (ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v + v_0}{v - v_0} = \frac{200}{160} = \frac{5}{4}$
$4(v + 40) = 5(v - 40)$
$4v + 160 = 5v - 200$
$v = 360 \ m/s$
अतः,हवा में ध्वनि का वेग $360 \ m/s$ है।

(B) जब एक प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $n'$ डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = \left( \frac{v + v_O}{v} \right) n$
दिया गया है कि प्रेक्षक का वेग $v_O = \frac{v}{5}$,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है।
सूत्र में $v_O$ का मान रखने पर:
$n' = \left( \frac{v + v/5}{v} \right) n = \left( \frac{6v/5}{v} \right) n = 1.2n$
आवृत्ति में वृद्धि $\Delta n = n' - n = 1.2n - n = 0.2n$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत वृद्धि:
$\text{प्रतिशत वृद्धि} = \left( \frac{\Delta n}{n} \right) \times 100 = \left( \frac{0.2n}{n} \right) \times 100 = 20\%$.

(C) यह स्थिति चित्र में दिखाई गई है। स्रोत (इंजन) और प्रेक्षक (ट्रेन के बीच में बैठा यात्री) दोनों की गति $v = 30 \ m/s$ समान है।
इंजन अर्धवृत्त की शुरुआत में है और प्रेक्षक अर्धवृत्त के मध्य बिंदु पर है। इंजन और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा दोनों के वेग सदिश के साथ $45^\circ$ का कोण बनाती है।
प्रेक्षक के वेग का स्रोत की ओर घटक $v \cos 45^\circ$ है।
स्रोत के वेग का प्रेक्षक की ओर घटक $v \cos 45^\circ$ है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक दोनों उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर समान वेग घटक के साथ गति कर रहे हैं,इसलिए दृष्टि रेखा के अनुदिश उनके बीच कोई सापेक्ष गति नहीं है।
इसलिए,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के समान ही है,जो $200 \ Hz$ है।

(B) जब स्रोत प्रेक्षक की ओर आता है,तो आभासी आवृत्ति $n' = \frac{v}{v - v_s} n = n \left( 1 - \frac{v_s}{v} \right)^{-1} \approx n \left( 1 + \frac{v_s}{v} \right)$ होती है।
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $n'' = \frac{v}{v + v_s} n = n \left( 1 + \frac{v_s}{v} \right)^{-1} \approx n \left( 1 - \frac{v_s}{v} \right)$ होती है।
दिया गया है कि अंतर $n' - n'' = \frac{2}{100} n$ है।
समीकरणों को रखने पर: $n \left( 1 + \frac{v_s}{v} \right) - n \left( 1 - \frac{v_s}{v} \right) = \frac{2}{100} n$.
$n \left( \frac{2 v_s}{v} \right) = \frac{2}{100} n$.
$\frac{2 v_s}{v} = \frac{2}{100} \Rightarrow v_s = \frac{v}{100}$.
यहाँ $v = 300 \, m/s$ दिया गया है,इसलिए $v_s = \frac{300}{100} = 3 \, m/s$ प्राप्त होता है।

(D) $1$. प्रति सेकंड सतह से टकराने वाली तरंगों की संख्या (गतिशील लक्ष्य तक पहुँचने वाली तरंगों की आवृत्ति) $n' = \frac{c + v}{\lambda} = \frac{\nu (c + v)}{c}$ द्वारा दी जाती है। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
$2$. गतिशील सतह परावर्तित तरंगों के लिए एक स्रोत के रूप में कार्य करती है। परावर्तित तरंग की आभासी आवृत्ति $n''$ गतिशील स्रोत के लिए डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा प्राप्त होती है: $n'' = n' \left( \frac{c}{c - v} \right) = \nu \left( \frac{c + v}{c} \right) \left( \frac{c}{c - v} \right) = \nu \left( \frac{c + v}{c - v} \right)$। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
$3$. परावर्तित तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का मान $\lambda' = \frac{c}{n''} = \frac{c}{\nu \left( \frac{c + v}{c - v} \right)} = \frac{c(c - v)}{\nu (c + v)}$ है। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
$4$. चूँकि $(a)$,$(b)$ और $(c)$ तीनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है:
कार $A$ की गति $(v_A)$ = $72\; km/hr = 20\; m/s$.
कार $B$ की गति $(v_B)$ = $36\; km/hr = 10\; m/s$.
स्रोत की आवृत्ति $(n)$ = $280\; Hz$.
ध्वनि की गति $(v)$ = $340\; m/s$ (माना गया).
कारों को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत $(A)$ के वेग का घटक $v_A \cos 45^o$ है (प्रेक्षक की ओर गतिमान).
कारों को जोड़ने वाली रेखा पर प्रेक्षक $(B)$ के वेग का घटक $v_B \cos 45^o$ है (स्रोत की ओर गतिमान).
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n' = n \left( \frac{v + v_B \cos 45^o}{v - v_A \cos 45^o} \right)$
$n' = 280 \left( \frac{340 + 10 \cos 45^o}{340 - 20 \cos 45^o} \right)$
$n' = 280 \left( \frac{340 + 7.07}{340 - 14.14} \right) = 280 \left( \frac{347.07}{325.86} \right) \approx 298.2\; Hz$.
अतः,प्रेक्षित आवृत्ति लगभग $298\; Hz$ है।

(B) मान लीजिए ध्वनि की गति $v = 330 \ m/s$ है। श्रोता की गति $v_L = 30 \ m/s$ है और सीटी $B$ की गति $v_B = 30 \ m/s$ है।
$1$. सीटी $B$ के लिए: चूंकि श्रोता और सीटी $B$ समान दिशा में समान गति से चल रहे हैं,उनका सापेक्ष वेग शून्य है। इसलिए,श्रोता द्वारा $B$ से सुनी जाने वाली आवृत्ति $f_B' = 596 \ Hz$ बनी रहेगी।
$2$. सीटी $A$ के लिए: श्रोता स्थिर सीटी $A$ से $30 \ m/s$ की गति से दूर जा रहा है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षित आवृत्ति $f_A' = f_A \left( \frac{v - v_L}{v} \right)$ है।
मान रखने पर: $f_A' = 660 \left( \frac{330 - 30}{330} \right) = 660 \left( \frac{300}{330} \right) = 660 \times \frac{10}{11} = 600 \ Hz$.
$3$. सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या दो प्रेक्षित आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $\text{Beats} = |f_A' - f_B'| = |600 - 596| = 4 \ Hz$.

(A) स्रोत द्वारा उत्सर्जित ध्वनि की मूल तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v}{f} = \frac{340}{170} = 2 \, m$ है।
जब स्रोत $v_s = 17 \, ms^{-1}$ के वेग से एक स्थिर प्रेक्षक की ओर आता है,तो आभासी तरंगदैर्ध्य $\lambda'$ का सूत्र $\lambda' = \frac{v - v_s}{f} = \frac{340 - 17}{170} = \frac{323}{170} = 1.9 \, m$ है।
तरंगदैर्ध्य में आभासी परिवर्तन $\Delta \lambda = \lambda - \lambda' = 2 - 1.9 = 0.1 \, m$ है।

(B) मान लीजिए कि मोटरसाइकिल सवार की गति $v$ है और ध्वनि की गति $v_s = 330 \ m/s$ है।
$1$. मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी गई पुलिस कार के हॉर्न की आवृत्ति $n_1$ (जो स्रोत से दूर जा रहा है) डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी गई है:
$n_1 = n_0 \left( \frac{v_s - v}{v_s - v_{police}} \right) = 176 \left( \frac{330 - v}{330 - 22} \right) = 176 \left( \frac{330 - v}{308} \right)$
$2$. मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी गई स्थिर सायरन की आवृत्ति $n_2$ (जो स्रोत की ओर बढ़ रहा है) है:
$n_2 = n_s \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right) = 165 \left( \frac{330 + v}{330} \right)$
$3$. चूंकि मोटरसाइकिल सवार कोई बीट्स नहीं सुनता है,इसलिए आवृत्तियाँ समान होनी चाहिए $(n_1 = n_2)$:
$176 \left( \frac{330 - v}{308} \right) = 165 \left( \frac{330 + v}{330} \right)$
$4$. समीकरण को सरल बनाने पर:
$\frac{176}{308} (330 - v) = \frac{165}{330} (330 + v)$
$\frac{4}{7} (330 - v) = \frac{1}{2} (330 + v)$
$8(330 - v) = 7(330 + v)$
$2640 - 8v = 2310 + 7v$
$15v = 330$
$v = 22 \ m/s$.

(C) ड्राइवर द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति,गतिमान स्रोत और गतिमान प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}} \right)$
यह दिया गया है कि परावर्तित आवृत्ति $f' = 2f$ है,इसलिए हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$2f = f \left( \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}} \right)$
$2 = \frac{v + v_{car}}{v - v_{car}}$
$2(v - v_{car}) = v + v_{car}$
$2v - 2v_{car} = v + v_{car}$
$v = 3v_{car}$
$v_{car} = v/3$
अतः,कार का वेग $v/3$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक के सापेक्ष स्थिर वेग $v_s$ से गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f$ इस प्रकार दी जाती है:
$1$. जब इंजन प्रेक्षक के पास आ रहा हो: $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $f_0$ स्रोत की आवृत्ति है। यह आवृत्ति स्थिर और $f_0$ से अधिक होती है।
$2$. जब इंजन प्रेक्षक से दूर जा रहा हो: $f'' = f_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$। यह आवृत्ति भी स्थिर और $f_0$ से कम होती है।
चूंकि इंजन $t_0$ समय पर प्रेक्षक के पास से गुजरता है,इसलिए प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आवृत्ति $t < t_0$ के लिए एक स्थिर उच्च मान होगी और $t > t_0$ के लिए अचानक गिरकर एक स्थिर निम्न मान पर आ जाएगी। यह व्यवहार विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) स्थिर स्रोत की ओर बढ़ते प्रेक्षक के लिए,आभासी आवृत्ति $n'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_0$ प्रेक्षक का वेग है।
चूंकि प्रेक्षक स्थिर अवस्था से शुरू करता है और $a$ के समान त्वरण के साथ चलता है,इसलिए समय $t$ पर उसका वेग $v_0 = at$ है।
इसे आवृत्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$n' = n \left( \frac{v + at}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{at}{v} \right) = \left( \frac{na}{v} \right) t + n$
यह $y = mx + c$ के रूप का समीकरण है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,$n'$ अक्ष पर अंतःखंड $n$ है (जब $t = 0$ हो),और रेखा की ढाल $\frac{na}{v}$ है,जो धनात्मक है।
इसलिए,ग्राफ $n$ से शुरू होने वाली धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब कोई स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = \left( \frac{V}{V - v_s} \right) n$
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $n = 90 \, \text{vibrations/sec}$
स्रोत का वेग $v_s = \frac{1}{10} V$
मान रखने पर:
$n' = \left( \frac{V}{V - \frac{V}{10}} \right) \times 90$
$n' = \left( \frac{V}{\frac{9V}{10}} \right) \times 90$
$n' = \frac{10}{9} \times 90$
$n' = 100 \, \text{vibrations/sec}$

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब कोई स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$n' = \left( \frac{v}{v - v_s} \right) n$
जहाँ:
$v = 330 \,m/s$ (ध्वनि की गति)
$v_s = 30 \,m/s$ (स्रोत की गति)
$n = 500 \,Hz$ (मूल आवृत्ति)
सूत्र में मान रखने पर:
$n' = \left( \frac{330}{330 - 30} \right) \times 500$
$n' = \left( \frac{330}{300} \right) \times 500$
$n' = 1.1 \times 500$
$n' = 550 \,Hz$
अतः,प्रेक्षक $550 \,Hz$ की आवृत्ति सुनेगा।

(C) दिया गया है: कार का वेग $v_s = 72 \,km/hr = 72 \times \frac{5}{18} = 20 \,ms^{-1}$।
स्रोत की आवृत्ति $n = 124 \,vib/sec$।
ध्वनि की गति $v = 330 \,ms^{-1}$।
ध्वनि दीवार से परावर्तित होती है। दीवार परावर्तित ध्वनि के लिए एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है और कार एक गतिशील प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,गतिशील प्रेक्षक और स्थिर स्रोत के लिए:
$n' = n \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
चूंकि कार दीवार की ओर बढ़ रही है,दीवार को प्राप्त होने वाली आवृत्ति $n_w = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होगी।
इसके बाद,ड्राइवर (जो दीवार की ओर बढ़ रहा है) परावर्तित ध्वनि को $n' = n_w \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ आवृत्ति पर सुनेगा।
$v_o = v_s = 20 \,ms^{-1}$ रखने पर:
$n' = n \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right) = 124 \left( \frac{330 + 20}{330 - 20} \right) = 124 \left( \frac{350}{310} \right) = 124 \times 1.129 \approx 140 \,vib/sec$।

(A) ध्वनि दीवार से परावर्तित होकर ड्राइवर के पास वापस आती है। दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है।
सबसे पहले,दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_w = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $v = 330 \, m/s$,$v_s = 30 \, m/s$,और $f = 600 \, Hz$ है।
$f_w = 600 \left( \frac{330}{330 - 30} \right) = 600 \left( \frac{330}{300} \right) = 600 \times 1.1 = 660 \, Hz$।
अब,ड्राइवर एक प्रेक्षक के रूप में इस परावर्तित ध्वनि स्रोत (दीवार) की ओर $v_o = 30 \, m/s$ के वेग से गति कर रहा है।
ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f_w \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है।
$f' = 660 \left( \frac{330 + 30}{330} \right) = 660 \left( \frac{360}{330} \right) = 2 \times 360 = 720 \, Hz$।

(B) आभासी आवृत्ति $f'$ के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र इस प्रकार है:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
यहाँ,ध्वनि का वेग $v = V$ है।
प्रेक्षक स्रोत की ओर गति कर रहा है,इसलिए $v_o = V/10$।
स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है,इसलिए $v_s = V/10$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$f' = f \left( \frac{V + V/10}{V - V/10} \right)$
$f' = f \left( \frac{11V/10}{9V/10} \right)$
$f' = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.22 f$
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $1.22 f$ होगी।

(A) मान लीजिए ध्वनि का वेग $v = 320 \, m/s$,स्रोत का वेग $v_s = 4 \, m/s$ और स्रोत की आवृत्ति $n = 240 \, Hz$ है।
व्यक्ति की ओर आने वाली ट्रेन के लिए,आभासी आवृत्ति $n_1 = \frac{v}{v - v_s} \cdot n = \frac{320}{320 - 4} \cdot 240 = \frac{320}{316} \cdot 240 \approx 243.038 \, Hz$ है।
व्यक्ति से दूर जाने वाली ट्रेन के लिए,आभासी आवृत्ति $n_2 = \frac{v}{v + v_s} \cdot n = \frac{320}{320 + 4} \cdot 240 = \frac{320}{324} \cdot 240 \approx 237.037 \, Hz$ है।
प्रति सेकंड सुनी जाने वाली विस्पंदों की संख्या आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $n_{beat} = n_1 - n_2$.
$n_{beat} = 320 \cdot 240 \cdot \left( \frac{1}{316} - \frac{1}{324} \right) = 76800 \cdot \left( \frac{324 - 316}{316 \cdot 324} \right) = 76800 \cdot \frac{8}{102384} \approx 6 \, Hz$.

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत $v_s$ वेग से स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ इस प्रकार दी जाती है:
$n' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
यहाँ दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति मूल आवृत्ति की आधी है,अर्थात $n' = \frac{n}{2}$.
इस मान को सूत्र में रखने पर:
$\frac{n}{2} = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$
$\frac{1}{2} = \frac{v}{v + v_s}$
$v + v_s = 2v$
$v_s = v$
अतः,स्रोत को $v$ की गति से प्रेक्षक से दूर जाना चाहिए।

(B) कार स्रोत के रूप में और पहाड़ी प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है।
सबसे पहले,पहाड़ी द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_1$ की गणना करते हैं:
$f_1 = f_0 \times \frac{v}{v - v_s} = 600 \times \frac{330}{330 - 30} = 600 \times \frac{330}{300} = 660 \, Hz$.
अब,पहाड़ी इस ध्वनि को परावर्तित करती है,जो स्रोत के रूप में कार्य करती है और ड्राइवर स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक के रूप में कार्य करता है।
ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_2$ है:
$f_2 = f_1 \times \frac{v + v_o}{v} = 660 \times \frac{330 + 30}{330} = 660 \times \frac{360}{330} = 2 \times 360 = 720 \, Hz$.

(C) ट्रेन की गति (स्रोत और प्रेक्षक) $v_T = 220\, m s^{-1}$ है।
हवा में ध्वनि की गति $v = 330\, m s^{-1}$ है।
स्रोत (ट्रेन) $f_0 = 1000\, Hz$ की आवृत्ति उत्सर्जित करती है।
सबसे पहले,ध्वनि स्थिर वस्तु तक पहुँचती है। वस्तु द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_1 = f_0 \left( \frac{v}{v - v_T} \right)$ है।
फिर,वस्तु इस ध्वनि को चलती हुई ट्रेन की ओर परावर्तित करती है। ट्रेन परावर्तित ध्वनि स्रोत की ओर बढ़ते हुए एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है। ड्राइवर द्वारा पता लगाई गई आवृत्ति $f' = f_1 \left( \frac{v + v_T}{v} \right)$ है।
$f'$ के समीकरण में $f_1$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_T} \right) \left( \frac{v + v_T}{v} \right) = f_0 \left( \frac{v + v_T}{v - v_T} \right)$।
मान की गणना करने पर: $f' = 1000 \left( \frac{330 + 220}{330 - 220} \right) = 1000 \left( \frac{550}{110} \right) = 1000 \times 5 = 5000\, Hz$।

(C) मोटरसाइकिल सवार (प्रेक्षक) की गति $v_o = 36\, km\, h^{-1} = 36 \times \frac{5}{18} = 10\, m s^{-1}$ है।
चूंकि मोटरसाइकिल सवार स्रोत (कार) की ओर बढ़ रहा है,इसलिए प्रेक्षक का वेग धनात्मक लिया जाता है।
कार (स्रोत) की गति $v_s = 18\, km\, h^{-1} = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m s^{-1}$ है।
चूंकि स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है,इसलिए स्रोत का वेग धनात्मक लिया जाता है।
ध्वनि की गति $v = 343\, m s^{-1}$ है।
स्रोत की आवृत्ति $f_0 = 1392\, Hz$ है।
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र उपयोग करने पर,$f' = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v + v_s} \right)$,
$f' = 1392 \left( \frac{343 + 10}{343 + 5} \right)$,
$f' = 1392 \left( \frac{353}{348} \right)$,
$f' = 4 \times 353 = 1412\, Hz$.

(A) दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति,$f_{0} = 100 \, Hz$
स्रोत का वेग,$v_{s} = 19.4 \, m s^{-1}$
हवा में ध्वनि का वेग,$v = 330 \, m s^{-1}$
स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत के वेग का घटक $v_{s} \cos 60^{\circ}$ है। चूंकि स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है,इसलिए आभासी आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f_{0} \left( \frac{v}{v + v_{s} \cos 60^{\circ}} \right)$
मान रखने पर:
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times \cos 60^{\circ}} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 19.4 \times 0.5} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{330 + 9.7} \right)$
$f' = 100 \left( \frac{330}{339.7} \right) \approx 97.14 \, Hz$
निकटतम पूर्णांक में,आभासी आवृत्ति $97 \, Hz$ है।

(B) सायरन द्वारा उत्सर्जित ध्वनि की आवृत्ति $f_0 = 800 \, Hz$ है।
स्रोत (सायरन) की गति $v_s = 15 \, m s^{-1}$ है।
हवा में ध्वनि की गति $v = 330 \, m s^{-1}$ है।
चूंकि सायरन चट्टान की ओर बढ़ रहा है,चट्टान एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि प्राप्त करती है। गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,चट्टान द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right) = 800 \left( \frac{330}{330 - 15} \right) = 800 \left( \frac{330}{315} \right) \approx 838.09 \, Hz$.
चट्टान इस ध्वनि को मूल प्रेक्षक की ओर परावर्तित करती है। चूंकि चट्टान स्थिर है,यह $f'$ आवृत्ति के साथ ध्वनि उत्सर्जित करने वाले एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है। मूल प्रेक्षक चट्टान के सापेक्ष स्थिर है,इसलिए वे परावर्तित ध्वनि को समान आवृत्ति $f'$ पर सुनते हैं।
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति लगभग $838 \, Hz$ है।

(B) प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $v^{\prime}$ ध्वनि के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$v^{\prime} = v \left( \frac{v + v_{o}}{v - v_{s}} \right)$
यहाँ,ध्वनि का वेग $v = 340 \, m s^{-1}$ है।
स्रोत पहली कार है,इसलिए $v_{s} = 22 \, m s^{-1}$।
प्रेक्षक दूसरी कार है,इसलिए $v_{o} = 16.5 \, m s^{-1}$।
स्रोत की आवृत्ति $v = 400 \, Hz$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{340 + 16.5}{340 - 22} \right)$
$v^{\prime} = 400 \left( \frac{356.5}{318} \right)$
$v^{\prime} = 400 \times 1.121069...$
$v^{\prime} \approx 448.42 \, Hz$
निकटतम पूर्णांक में,सुनी गई आवृत्ति $448 \, Hz$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक के बीच उन्हें जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश सापेक्ष वेग पर निर्भर करता है।
इस स्थिति में,इंजन (स्रोत) एक वृत्ताकार पथ पर गति कर रहा है और प्रेक्षक वृत्त के केंद्र पर है।
इंजन का वेग सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखीय होता है,जबकि इंजन और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा त्रिज्या के अनुदिश होती है।
चूंकि वृत्त की स्पर्शरेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत का वेग हमेशा शून्य होता है।
दृष्टि रेखा (त्रिज्यीय दिशा) पर वेग का कोई घटक न होने के कारण,उन्हें जोड़ने वाली रेखा पर स्रोत और प्रेक्षक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है।
इसलिए,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति सीटी की मूल आवृत्ति के बराबर ही रहती है,जो कि $500 \ Hz$ है।

(A) $1$. सबसे पहले,दुश्मन पनडुब्बी स्रोत (भारतीय पनडुब्बी) की ओर बढ़ते हुए एक रिसीवर के रूप में कार्य करती है। दुश्मन पनडुब्बी द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ है: $f' = f \left( \frac{v + v_E}{v} \right) = 1000 \left( \frac{5500 + 70}{5500} \right) \approx 1012.73 \ Hz$.
$2$. इसके बाद दुश्मन पनडुब्बी इस आवृत्ति को भारतीय पनडुब्बी की ओर परावर्तित करने वाले स्रोत के रूप में कार्य करती है। भारतीय पनडुब्बी इस स्रोत की ओर बढ़ रही है। भारतीय पनडुब्बी द्वारा पता लगाई गई आवृत्ति $f''$ है: $f'' = f' \left( \frac{v + v_I}{v} \right) = 1012.73 \left( \frac{5500 + 50}{5500} \right) \approx 1012.73 \times 1.00909 \approx 1021.94 \ Hz$.
$3$. $kHz$ में बदलने पर,हमें $f'' \approx 1.02 \ kHz$ प्राप्त होता है।

(C) प्रेक्षक की ओर आने वाली ट्रेन की आभासी आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{v}{v - u} \right)$ द्वारा दी जाती है।
प्रेक्षक से दूर जाने वाली ट्रेन की आभासी आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{v}{v + u} \right)$ द्वारा दी जाती है।
उत्पन्न बीट्स की संख्या दोनों आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $\Delta n = n_1 - n_2$.
$\Delta n = n \left( \frac{v}{v - u} - \frac{v}{v + u} \right) = n \left( \frac{v(v + u) - v(v - u)}{v^2 - u^2} \right) = n \left( \frac{2uv}{v^2 - u^2} \right)$.
दिए गए मान रखने पर: $n = 300 \; Hz$,$v = 332 \; m/s$,$u = 4 \; m/s$.
$\Delta n = 300 \times \left( \frac{2 \times 4 \times 332}{332^2 - 4^2} \right) = 300 \times \left( \frac{2656}{110224 - 16} \right) = 300 \times \left( \frac{2656}{110208} \right) \approx 300 \times 0.0241 = 7.23$.
निकटतम पूर्णांक में,बीट्स की संख्या $7$ है।

(D) जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक के पास आता है,तो आभासी आवृत्ति $\nu'$ का सूत्र $\nu' = \nu \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
दिया गया है कि आवृत्ति में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\nu'}{\nu} = 1.1 = \frac{11}{10}$ है।
अतः,$\frac{v}{v - v_s} = \frac{11}{10} \implies 10v = 11v - 11v_s \implies 11v_s = v \implies v_s = \frac{v}{11}$।
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $\nu''$ का सूत्र $\nu'' = \nu \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ है।
$v_s = \frac{v}{11}$ रखने पर,हमें $\frac{\nu''}{\nu} = \frac{v}{v + v/11} = \frac{v}{12v/11} = \frac{11}{12} \approx 0.9167$ प्राप्त होता है।
आवृत्ति में परिवर्तन $\nu - \nu'' = \nu - 0.9167\nu = 0.0833\nu$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $0.0833 \times 100 \% \approx 8.33 \%$ है,जो लगभग $8.5 \%$ है।

(C) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'$ का सूत्र $f' = f \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ है,जहाँ $f$ स्रोत की आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,$v_o$ प्रेक्षक का वेग है और $v_s$ स्रोत का वेग है।
इस प्रश्न में,स्रोत $S_1$,प्रेक्षक $O$ और स्रोत $S_2$ तीनों समान वेग $v_s = v_o = 30\,m/s$ से एक ही दिशा में गति कर रहे हैं।
स्रोत $S_1$ के लिए: प्रेक्षक $S_1$ से दूर जा रहा है और $S_1$ प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है। आभासी आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right)$ होगी। चूँकि $v_o = v_s$,इसलिए $f_1 = f \left( \frac{v - v_s}{v - v_s} \right) = f = 100\,Hz$ प्राप्त होता है।
स्रोत $S_2$ के लिए: प्रेक्षक $S_2$ की ओर गति कर रहा है और $S_2$ प्रेक्षक से दूर जा रहा है। आभासी आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{v + v_o}{v + v_s} \right)$ होगी। चूँकि $v_o = v_s$,इसलिए $f_2 = f \left( \frac{v + v_s}{v + v_s} \right) = f = 100\,Hz$ प्राप्त होता है।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर है: $f_{beat} = |f_1 - f_2| = |100 - 100| = 0\,Hz$।

(B) मान लीजिए $n_1$ वह आवृत्ति है जिसे प्रेक्षक द्वारा स्रोत के पार करने से पहले देखा जाता है,और $n_2$ स्रोत के पार करने के बाद की आवृत्ति है। हमें दिया गया है कि $n_2 = f n_1$ ... $(1)$।
स्रोत की प्राकृतिक आवृत्ति $n_0$ है। गतिमान स्रोत और स्थिर प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n_1 = \frac{V}{V - V_s} n_0$
$n_2 = \frac{V}{V + V_s} n_0$
इन मानों को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{V}{V + V_s} n_0 = f \left( \frac{V}{V - V_s} n_0 \right)$
$\frac{1}{V + V_s} = \frac{f}{V - V_s} \implies V - V_s = fV + fV_s$
$V(1 - f) = V_s(1 + f) \implies \frac{V_s}{V} = \frac{1 - f}{1 + f}$ ... $(2)$।
आवृत्तियों में अंतर $n_1 - n_2 = n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} - \frac{V}{V + V_s} \right) = n_0 \left( \frac{1}{1 - V_s/V} - \frac{1}{1 + V_s/V} \right)$ है।
$V_s/V = \frac{1 - f}{1 + f}$ का मान रखने पर:
$n_1 - n_2 = n_0 \left( \frac{1}{1 - \frac{1-f}{1+f}} - \frac{1}{1 + \frac{1-f}{1+f}} \right) = n_0 \left( \frac{1+f}{2f} - \frac{1+f}{2} \right) = n_0 \left( \frac{1+f - f(1+f)}{2f} \right) = n_0 \left( \frac{1+f - f - f^2}{2f} \right) = \frac{1}{2} n_0 \left( \frac{1 - f^2}{f} \right)$.

(B) माना प्रेक्षक की चाल $v_o = v$ है और स्रोत की चाल $v_s = 2v$ है।
समय $t$ पर,प्रेक्षक की स्थिति $(0, vt)$ है और स्रोत की स्थिति $(2vt, 0)$ है।
प्रेक्षक का वेग सदिश $\vec{v}_o = v \hat{j}$ है और स्रोत का वेग सदिश $\vec{v}_s = 2v \hat{i}$ है।
स्रोत से प्रेक्षक की ओर इकाई सदिश $\hat{r} = \frac{-2vt \hat{i} + vt \hat{j}}{\sqrt{(2vt)^2 + (vt)^2}} = \frac{-2 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{5}}$ है।
दृष्टि रेखा के अनुदिश स्रोत के वेग का घटक $v_{s,r} = \vec{v}_s \cdot \hat{r} = (2v \hat{i}) \cdot \left( \frac{-2 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{5}} \right) = -\frac{4v}{\sqrt{5}}$ है।
दृष्टि रेखा के अनुदिश प्रेक्षक के वेग का घटक $v_{o,r} = \vec{v}_o \cdot \hat{r} = (v \hat{j}) \cdot \left( \frac{-2 \hat{i} + \hat{j}}{\sqrt{5}} \right) = \frac{v}{\sqrt{5}}$ है।
आभासी आवृत्ति $f = f_0 \left( \frac{c - v_{o,r}}{c - v_{s,r}} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $c$ ध्वनि की चाल है।
मान रखने पर,$f = f_0 \left( \frac{c - v/\sqrt{5}}{c + 4v/\sqrt{5}} \right)$ प्राप्त होता है।
चूँकि $v_{s,r}$ और $v_{o,r}$ अचर हैं,आभासी आवृत्ति $f$ समय के साथ अचर रहती है।
अतः,$f$ बनाम $t$ का ग्राफ एक क्षैतिज सीधी रेखा है। दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,ग्राफ $B$ एक अचर आवृत्ति $f < f_0$ को दर्शाता है।

(D) इस प्रश्न में डॉप्लर प्रभाव के दो चरण शामिल हैं।
चरण $1$: परावर्तक सतह स्रोत $S$ से दूर जाने वाले प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है। सतह द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f' = f \left( \frac{V - u}{V} \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $f = 334 \, Hz$,$V = 330 \, m/s$,और $u = 2 \, m/s$ है।
$f' = 334 \left( \frac{330 - 2}{330} \right) = 334 \left( \frac{328}{330} \right) \approx 331.97 \, Hz$।
चरण $2$: अब परावर्तक सतह एक गतिशील स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को स्थिर प्रेक्षक $O$ की ओर वापस परावर्तित करती है। प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'' = f' \left( \frac{V}{V + u} \right)$ है।
$f'' = 334 \left( \frac{328}{330} \right) \times \left( \frac{330}{330 + 2} \right) = 334 \left( \frac{328}{332} \right) = 334 \times 0.98795 \approx 330 \, Hz$।

(C) स्थिर स्रोत की ओर गतिमान डिटेक्टर द्वारा प्रेक्षित आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f = f_0 \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की चाल है और $v_0$ डिटेक्टर की चाल है।
चूंकि डिटेक्टर को विरामावस्था से छोड़ा जाता है और वह गुरुत्वाकर्षण के अधीन गिरता है,इसलिए समय $t$ पर उसकी चाल $v_0 = gt = 10t$ है।
इस मान को सूत्र में रखने पर: $f = 10^3 \left( \frac{v + 10t}{v} \right) = 10^3 + \left( \frac{10^4}{v} \right)t$.
यह समीकरण $m = \frac{10^4}{v}$ ढाल वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
ग्राफ से,आवृत्ति $30 \, s$ में $1000 \, Hz$ से बदलकर $2000 \, Hz$ हो जाती है।
अतः,ढाल $m = \frac{2000 - 1000}{30} = \frac{1000}{30} = \frac{100}{3}$ है।
ढालों की तुलना करने पर: $\frac{10^4}{v} = \frac{100}{3}$.
$v$ के लिए हल करने पर: $v = \frac{10^4 \times 3}{100} = 100 \times 3 = 300 \, m/s$.

(A) स्थिर स्रोत की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के लिए,आभासी आवृत्ति $f'$,डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_0$ प्रेक्षक का वेग है।
चूंकि प्रेक्षक विरामावस्था से शुरू करता है और $a$ के समान त्वरण के साथ चलता है,समय $t$ पर उसका वेग $v_0 = at$ होगा।
इस मान को आवृत्ति के सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$f' = f \left( \frac{v + at}{v} \right) = f \left( 1 + \frac{a}{v} t \right) = \left( \frac{fa}{v} \right) t + f$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जो एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
यहाँ,$f'$ अक्ष पर अंतःखंड $f$ है ($t = 0$ पर) और ढाल $\frac{fa}{v}$ है,जो धनात्मक है।
इसलिए,ग्राफ एक धनात्मक अंतःखंड और धनात्मक ढाल वाली एक सीधी रेखा है।

(A) $1\, s$ के मुक्त पतन के बाद,स्रोत का वेग $v_s = g \times t = 10 \times 1 = 10\, m/s$ (नीचे की ओर) हो जाता है।
गुब्बारे में बैठा प्रेक्षक $v_o = 2\, m/s$ के वेग से ऊपर की ओर गति कर रहा है।
मान लीजिए ध्वनि की गति $v = 300\, m/s$ है।
पार करने से पहले,स्रोत प्रेक्षक की ओर गति कर रहा है और प्रेक्षक स्रोत की ओर गति कर रहा है। प्रेक्षित आवृत्ति $n_1$ है:
$n_1 = f_0 \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right) = 150 \left( \frac{300 + 2}{300 - 10} \right) = 150 \left( \frac{302}{290} \right) \approx 156.21\, Hz$.
पार करने के बाद,स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है और प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है। प्रेक्षित आवृत्ति $n_2$ है:
$n_2 = f_0 \left( \frac{v - v_o}{v + v_s} \right) = 150 \left( \frac{300 - 2}{300 + 10} \right) = 150 \left( \frac{298}{310} \right) \approx 144.19\, Hz$.
आवृत्ति में अंतर $\Delta n = n_1 - n_2 = 156.21 - 144.19 = 12.02\, Hz \approx 12\, Hz$ है।

(D) डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n' = n \left( \frac{v \pm v_o}{v \mp v_s} \right)$ है।
सीटी $A$ के लिए (स्रोत स्थिर,$v_s = 0$) और प्रेक्षक $25\,m/s$ की गति से दूर जा रहा है $(v_o = 25\,m/s)$:
$n'_A = 500 \left( \frac{350 - 25}{350} \right) = 500 \times \frac{325}{350} \approx 464.28\,Hz$.
सीटी $B$ के लिए (स्रोत $50\,m/s$ की गति से दूर जा रहा है,$v_s = 50\,m/s$) और प्रेक्षक उसकी ओर $25\,m/s$ की गति से चल रहा है $(v_o = 25\,m/s)$:
$n'_B = 500 \left( \frac{350 + 25}{350 + 50} \right) = 500 \times \frac{375}{400} = 468.75\,Hz$.
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्तियों में अंतर: $\Delta n = |n'_B - n'_A| = |468.75 - 464.28| = 4.47\,Hz \approx 4.5\,Hz$.
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ सही हैं।

(C) माना ध्वनि की चाल $v$ है और स्रोतों की आवृत्ति $n$ है। चूँकि $\lambda = v/n$,इसलिए $n = v/\lambda$ है।
पहले स्रोत के लिए,प्रेक्षक $u$ वेग से दूर जा रहा है। आभासी आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{v - u}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{u}{v} \right)$ होगी।
दूसरे स्रोत के लिए,प्रेक्षक $u$ वेग से उसकी ओर आ रहा है। आभासी आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{v + u}{v} \right) = n \left( 1 + \frac{u}{v} \right)$ होगी।
विस्पंद आवृत्ति दोनों आभासी आवृत्तियों का अंतर है:
$|n_2 - n_1| = n \left( 1 + \frac{u}{v} \right) - n \left( 1 - \frac{u}{v} \right) = n \left( \frac{2u}{v} \right)$।
$n = v/\lambda$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
विस्पंद आवृत्ति $= \left( \frac{v}{\lambda} \right) \left( \frac{2u}{v} \right) = \frac{2u}{\lambda}$।

(B) कार $v_c$ गति से स्थिर पहाड़ी की ओर बढ़ते हुए एक स्रोत के रूप में कार्य करती है। पहाड़ी तक पहुँचने वाली ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य $\lambda = \frac{v - v_c}{f}$ द्वारा दी जाती है।
ध्वनि पहाड़ी से परावर्तित होती है और प्रेक्षक से दूर जाने वाले स्रोत के रूप में कार्य करती है। प्रेक्षक द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_c} \right)$ है।
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई सीधी ध्वनि की आवृत्ति $f'' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_c} \right)$ है।
बीट आवृत्ति परावर्तित ध्वनि और सीधी ध्वनि की आवृत्ति के बीच का अंतर है। अतः,विकल्प $(B)$ सही है क्योंकि तरंगदैर्ध्य $\frac{v - v_c}{f}$ है।

(D) जब स्रोत $v_s$ वेग से स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करता है,तो सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'$ डॉप्लर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$.
दिया गया है: स्रोत की आवृत्ति $f = 9500 \ Hz$,ध्वनि का वेग $v = 300 \ ms^{-1}$,और अधिकतम श्रव्य आवृत्ति $f' = 10000 \ Hz$.
मान रखने पर: $10000 = 9500 \left( \frac{300}{300 - v} \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{10000}{9500} = \frac{300}{300 - v} \Rightarrow \frac{20}{19} = \frac{300}{300 - v}$.
वज्र गुणन करने पर: $20(300 - v) = 19 \times 300 \Rightarrow 6000 - 20v = 5700$.
$20v = 300 \Rightarrow v = 15 \ ms^{-1}$.
अतः,$v$ का अधिकतम मान $15 \ ms^{-1}$ है।

(B) प्रेक्षक (मोटरसाइकिल) गति में है और स्रोत (सायरन) स्थिर है। डॉप्लर प्रभाव का सूत्र $n' = n \left( \frac{v - v_O}{v} \right)$ है,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_O$ प्रेक्षक की गति है।
दिया गया है कि $n' = 0.94n$,इसलिए $0.94n = n \left( \frac{330 - v_O}{330} \right)$।
इसे सरल करने पर,$0.94 \times 330 = 330 - v_O$।
$v_O = 330 - 310.2 = 19.8 \; m/s$।
मोटरसाइकिल विरामावस्था से शुरू होती है $(u = 0)$ और $a = 2 \; m/s^2$ के त्वरण से चलती है। गति के समीकरण $v_O^2 = u^2 + 2as$ का उपयोग करने पर:
$(19.8)^2 = 0^2 + 2 \times 2 \times s$।
$392.04 = 4s$।
$s = 98.01 \; m \approx 98 \; m$।

(A) जब ट्रेन पास आ रही होती है, तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $v = 320 \ ms^{-1}$ और $v_s = 20 \ ms^{-1}$ है।
$f_1 = 1000 \times \left( \frac{320}{320 - 20} \right) = 1000 \times \frac{320}{300} \ Hz$.
जब ट्रेन दूर जा रही होती है, तो सुनी गई आवृत्ति $f_2 = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
$f_2 = 1000 \times \left( \frac{320}{320 + 20} \right) = 1000 \times \frac{320}{340} \ Hz$.
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f_1 - f_2$ है।
आवृत्ति में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{f_1 - f_2}{f_1} \times 100 = \left( 1 - \frac{f_2}{f_1} \right) \times 100$ है।
मान रखने पर: $\left( 1 - \frac{320/340}{320/300} \right) \times 100 = \left( 1 - \frac{300}{340} \right) \times 100 = \left( \frac{40}{340} \right) \times 100 \approx 11.76 \% \approx 12 \%$.