Doppler’s Effect Questions in Hindi

(B) मान लीजिए $v$ ध्वनि की गति है और $V$ ट्रेन/प्रेक्षक की गति है। प्राकृतिक आवृत्ति $n$ है।
पहले मामले में,स्रोत (ट्रेन) स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा है:
$n' = n \left( \frac{v}{v + V} \right)$
दिया गया है $\frac{n}{n'} = 1.2$,इसलिए $\frac{v + V}{v} = 1.2 \implies 1 + \frac{V}{v} = 1.2 \implies \frac{V}{v} = 0.2$.
दूसरे मामले में,स्रोत स्थिर है और प्रेक्षक उससे दूर जा रहा है:
$n'' = n \left( \frac{v - V}{v} \right) = n \left( 1 - \frac{V}{v} \right)$
प्राकृतिक आवृत्ति और आभासी आवृत्ति का अनुपात $\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - \frac{V}{v}}$ है।
$\frac{V}{v} = 0.2$ का मान रखने पर:
$\frac{n}{n''} = \frac{1}{1 - 0.2} = \frac{1}{0.8} = 1.25$.
अतः,अनुपात $1.25: 1$ है।

(D) माना कि स्रोत की मूल आवृत्ति $F_{o}$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब प्रेक्षक एक स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_{1}$ इस प्रकार दी जाती है:
$F_{1} = F_{o} \left[ \frac{V + V_{1}}{V} \right]$ ...$(1)$
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_{2}$ इस प्रकार दी जाती है:
$F_{2} = F_{o} \left[ \frac{V - V_{1}}{V} \right]$ ...$(2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
दिया गया है कि $\frac{F_{1}}{F_{2}} = 2$,इसलिए:
$2 = \frac{V + V_{1}}{V - V_{1}}$
$2(V - V_{1}) = V + V_{1}$
$2V - 2V_{1} = V + V_{1}$
$V = 3V_{1}$
अतः,$\frac{V}{V_{1}} = 3$.

(A) जब कोई अवरोध स्थिर स्रोत की ओर $v$ वेग से गति करता है,तो परावर्तित ध्वनि तरंग की आवृत्ति $f_{r}$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र के अनुसार $f_{r} = f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)$ होती है।
चूंकि परावर्तन के बाद माध्यम समान रहने पर ध्वनि की गति $c$ स्थिर रहती है,इसलिए हम $c = f \lambda$ संबंध का उपयोग करते हैं।
परावर्तित तरंग के लिए,$c = f_{r} \lambda_{r}$,जिसका अर्थ है $\lambda_{r} = \frac{c}{f_{r}}$।
$f_{r}$ का मान रखने पर:
$\lambda_{r} = \frac{c}{f \left(\frac{c+v}{c-v}\right)} = \frac{c}{f} \left(\frac{c-v}{c+v}\right)$।
चूंकि $\frac{c}{f} = \lambda$ है,इसलिए हमें $\lambda_{r} = \left(\frac{c-v}{c+v}\right) \lambda$ प्राप्त होता है।

(D) $\text{दिया गया है: स्रोत का वेग } V_s = 30 \,m/s, \text{स्रोत की आवृत्ति } n_0 = 256 \,Hz, \text{और ध्वनि की गति } V = 330 \,m/s \text{ है।}
\text{जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक के पास आ रहा होता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति } n_1 = n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right) \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{जब स्रोत प्रेक्षक को पार करने के बाद दूर जा रहा होता है, तो प्रेक्षित आवृत्ति } n_2 = n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right) \text{ द्वारा दी जाती है।}
\text{आवृत्तियों का अनुपात } \frac{n_1}{n_2} = \frac{n_0 \left( \frac{V}{V - V_s} \right)}{n_0 \left( \frac{V}{V + V_s} \right)} = \frac{V + V_s}{V - V_s} \text{ है।}
\text{मान रखने पर: } \frac{n_1}{n_2} = \frac{330 + 30}{330 - 30} = \frac{360}{300} = \frac{6}{5}$।

(C) डॉप्लर प्रभाव स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश उनके सापेक्ष वेग पर निर्भर करता है।
इस स्थिति में,इंजन एक वृत्ताकार पथ पर चल रहा है और प्रेक्षक केंद्र पर है।
इंजन का वेग सदिश हमेशा वृत्ताकार पथ के स्पर्शरेखा (tangent) होता है।
प्रेक्षक (केंद्र पर) और स्रोत (परिधि पर) को जोड़ने वाली रेखा वृत्त की त्रिज्या है।
चूंकि वृत्त की स्पर्शरेखा हमेशा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या के लंबवत होती है,इसलिए स्रोत का वेग हमेशा स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के लंबवत होता है।
इसलिए,दृष्टि रेखा के अनुदिश स्रोत के वेग का घटक $v_s \cos(90^{\circ}) = 0$ है।
चूंकि स्रोत और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा के अनुदिश कोई सापेक्ष वेग नहीं है,इसलिए कोई डॉप्लर विस्थापन (Doppler shift) नहीं होता है।
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति स्रोत की आवृत्ति के बराबर रहती है,जो $250 \,Hz$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n_a = n \left[ \frac{v \pm v_0}{v \mp v_s} \right]$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि प्रेक्षक स्थिर है,इसलिए $v_0 = 0$ है।
जैसे-जैसे स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,हर $(v - v_s)$ हो जाता है,इसलिए $n_a = n \left[ \frac{v}{v - v_s} \right]$।
चूंकि $(v - v_s) < v$,इसलिए आभासी आवृत्ति $n_a$ बढ़ जाती है।
चूंकि माध्यम में ध्वनि की गति $v$ स्थिर रहती है और $v = n_a \lambda_a$ होता है,इसलिए आवृत्ति $n_a$ में वृद्धि के परिणामस्वरूप प्रेक्षित तरंगदैर्ध्य $\lambda_a$ में कमी आती है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब प्रेक्षक $v_0$ वेग के साथ स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति $n^{\prime} = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$ होती है।
जब प्रेक्षक $v_0$ वेग के साथ स्थिर स्रोत से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $n^{\prime \prime} = n \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$ होती है।
आभासी आवृत्तियों के बीच का अंतर $\Delta n = n^{\prime} - n^{\prime \prime}$ है।
मान रखने पर: $\Delta n = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right) - n \left( \frac{v - v_0}{v} \right)$.
$\Delta n = \frac{n}{v} (v + v_0 - v + v_0) = \frac{n}{v} (2 v_0) = \frac{2 n v_0}{v}$.

(B) स्थिर स्रोत द्वारा उत्सर्जित $f_0$ आवृत्ति की ध्वनि के लिए,$v_o$ वेग से गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा देखी गई आभासी आवृत्ति $F = \left( \frac{V \pm v_o}{V} \right) f_0$ द्वारा दी जाती है।
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर $V_1$ वेग से गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_1 = \left( \frac{V + V_1}{V} \right) f_0$ होती है $(i)$.
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर $V_1$ वेग से गति करता है,तो आभासी आवृत्ति $F_2 = \left( \frac{V - V_1}{V} \right) f_0$ होती है $(ii)$.
समीकरण $(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{F_1}{F_2} = \frac{V + V_1}{V - V_1}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\frac{F_1}{F_2} = 2$,इसलिए $2 = \frac{V + V_1}{V - V_1}$ है।
तिर्यक गुणा करने पर $2(V - V_1) = V + V_1$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2V - 2V_1 = V + V_1$ मिलता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$2V - V = 2V_1 + V_1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $V = 3V_1$.
अतः,$\frac{V}{V_1} = 3$.

(D) एक स्थिर स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $n'$ के लिए डॉपलर प्रभाव का सूत्र है: $n' = n \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि का वेग है और $v_o$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है कि $v_o = \frac{v}{5}$,इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर:
$n' = n \left( \frac{v + v/5}{v} \right) = n \left( \frac{6v/5}{v} \right) = 1.2n$.
आवृत्ति में भिन्नात्मक परिवर्तन $\frac{n' - n}{n} = \frac{1.2n - n}{n} = 0.2$ है।
प्रतिशत वृद्धि ज्ञात करने के लिए,हम $100$ से गुणा करते हैं: $0.2 \times 100 \% = 20 \%$.

(B) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर गति कर रहा होता है, तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ का सूत्र इस प्रकार है:
$f^{\prime} = \left( \frac{v}{v - v_{s}} \right) f$
जहाँ:
$f = 340 \,Hz$ (स्रोत की आवृत्ति)
$v = 340 \,ms^{-1}$ (ध्वनि की गति)
$v_{s} = 10 \,ms^{-1}$ (स्रोत/ट्रेन की गति)
सूत्र में मान रखने पर:
$f^{\prime} = \left( \frac{340}{340 - 10} \right) \times 340$
$f^{\prime} = \left( \frac{340}{330} \right) \times 340$
$f^{\prime} = \frac{115600}{330} \approx 350.3 \,Hz$
निकटतम पूर्णांक में, सुनी गई आवृत्ति $350 \,Hz$ है।

(A) मोटरसाइकिल सवार चट्टान की ओर बढ़ रहा है,इसलिए चट्टान परावर्तित ध्वनि के एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है।
मोटरसाइकिल सवार की गति,$v_o = 18 \ km/h = 18 \times \frac{5}{18} \ m/s = 5 \ m/s$.
हॉर्न की आवृत्ति,$f = 325 \ Hz$.
हवा में ध्वनि की गति,$v = 330 \ m/s$.
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,गतिमान प्रेक्षक और स्थिर स्रोत के लिए मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी गई परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right) = 325 \left( \frac{330 + 5}{330} \right) = 325 \left( \frac{335}{330} \right) \approx 329.92 \ Hz$.
सुने गए बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\Delta f = f' - f = 329.92 - 325 = 4.92 \ Hz \approx 5 \ Hz$.

(B) व्यक्ति ट्यूनिंग फोर्क के साथ दीवार की ओर बढ़ रहा है। ट्यूनिंग फोर्क से सीधे सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति $f = 338 \,Hz$ है।
दीवार से परावर्तित होकर आने वाली ध्वनि व्यक्ति को सुनाई देती है। दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है और व्यक्ति दीवार की ओर बढ़ रहा है।
दीवार द्वारा परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति $f' = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_0} \right)$ सूत्र द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ $v = 340 \,ms^{-1}$ और $v_0 = 2 \,ms^{-1}$ है।
अतः, $f' = 338 \left( \frac{340 + 2}{340 - 2} \right) = 338 \left( \frac{342}{338} \right) = 342 \,Hz$.
बीट आवृत्ति = $f' - f = 342 - 338 = 4 \,Hz$.

(D) डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब ध्वनि का स्रोत एक स्थिर गति $v_s$ से एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n'$ का मान $n' = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v$ हवा में ध्वनि की गति है। चूँकि $v - v_s < v$,इसलिए $n' > n$ होता है। जब तक ट्रेन स्थिर गति से प्रेक्षक की ओर बढ़ती है,यह आवृत्ति स्थिर रहती है।
जब ट्रेन प्रेक्षक के पास से गुजरती है और दूर जाती है,तो स्रोत अब स्थिर प्रेक्षक से दूर जा रहा होता है। प्रेक्षित आवृत्ति $n''$ का मान $n'' = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होता है। चूँकि $v + v_s > v$,इसलिए $n'' < n$ होता है। जब तक ट्रेन स्थिर गति से दूर जाती है,यह आवृत्ति भी स्थिर रहती है।
इसलिए,प्रेक्षक के पास से गुजरने से पहले आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $n$ से अधिक होती है और गुजरने के बाद $n$ से कम मान पर गिर जाती है। यह चरण-जैसा परिवर्तन विकल्प $D$ में दिए गए ग्राफ द्वारा सही ढंग से दर्शाया गया है।

(C) दिया गया है: स्रोत का वेग $v_s = 50 \ m/s$,ध्वनि की गति $v = 350 \ m/s$,प्रेक्षक की ओर गति करते समय मापी गई आवृत्ति $f' = 500 \ Hz$ है।
स्थिर प्रेक्षक की ओर गति करने वाले स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव का सूत्र:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right) \rightarrow (1)$
जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक से दूर जाता है,तो आभासी आवृत्ति $f''$ इस प्रकार दी जाती है:
$f'' = f \left( \frac{v}{v + v_s} \right) \rightarrow (2)$
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{f'}{f''} = \frac{v + v_s}{v - v_s}$
मान रखने पर:
$\frac{500}{f''} = \frac{350 + 50}{350 - 50} = \frac{400}{300} = \frac{4}{3}$
$f'' = 500 \times \frac{3}{4} = 375 \ Hz$.
अतः,आभासी आवृत्ति $375 \ Hz$ है।

(C) चमगादड़ स्रोत और प्रेक्षक दोनों के रूप में कार्य करता है जो एक स्थिर दीवार की ओर बढ़ रहा है।
सबसे पहले, दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right)$
जहाँ $v = 330 \,ms^{-1}$ ध्वनि की गति है और $v_b = 4 \,ms^{-1}$ चमगादड़ की गति है।
इसके बाद, दीवार इस ध्वनि को परावर्तित करती है, और चमगादड़ एक गतिमान प्रेक्षक के रूप में एक स्थिर स्रोत (दीवार) से परावर्तित आवृत्ति $f''$ प्राप्त करता है:
$f'' = f' \left( \frac{v + v_b}{v} \right)$
$f'$ का मान $f''$ के समीकरण में रखने पर:
$f'' = f \left( \frac{v}{v - v_b} \right) \left( \frac{v + v_b}{v} \right) = f \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$
$f'' = 90 \times 10^{3} \left( \frac{330 + 4}{330 - 4} \right) = 90 \times 10^{3} \left( \frac{334}{326} \right)$
$f'' \approx 90 \times 10^{3} \times 1.0245 = 92.21 \times 10^{3} \,Hz$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार, आवृत्ति $92.1 \times 10^{3} \,Hz$ है।

(D) एक स्थिर स्रोत की ओर गति करने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $v'$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v' = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
यह दिया गया है कि आभासी आवृत्ति $v'$,वास्तविक आवृत्ति $v$ की दोगुनी है,इसलिए $v' = 2v$।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$2v = v \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$
$2 = \frac{v + v_o}{v}$
$2v = v + v_o$
$v_o = v$
अतः,प्रेक्षक को ध्वनि के वेग के बराबर वेग $v$ से स्रोत की ओर जाना चाहिए।

(C) इस प्रश्न में डॉप्लर प्रभाव के दो चरण शामिल हैं।
सबसे पहले,दीवार एक प्रेक्षक के रूप में कार्य करती है जो गतिमान इंजन (स्रोत) से ध्वनि प्राप्त करती है। दीवार द्वारा प्राप्त आवृत्ति $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है,जहाँ $f = 1.2 \ kHz$,$v = 350 \ m/s$,और $v_s = 50 \ m/s$ है।
$f_1 = 1.2 \left( \frac{350}{350 - 50} \right) = 1.2 \left( \frac{350}{300} \right) = 1.4 \ kHz$।
दूसरे,दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो इस आवृत्ति $f_1$ को ड्राइवर (प्रेक्षक) की ओर परावर्तित करती है,जो $v_o = 50 \ m/s$ के वेग से दीवार की ओर बढ़ रहा है।
ड्राइवर द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f' = f_1 \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है।
$f' = 1.4 \left( \frac{350 + 50}{350} \right) = 1.4 \left( \frac{400}{350} \right) = 1.4 \times \frac{8}{7} = 1.6 \ kHz$।

(B) दिया गया है:
स्रोतों की आवृत्ति $f_A = f_B = 680 \,Hz$ है।
ध्वनि की गति $v_s = 340 \,ms^{-1}$ है।
श्रोता का वेग $v$ है।
बीट आवृत्ति $n = 10 \,Hz$ है।
जैसे ही श्रोता $A$ से $B$ की ओर बढ़ता है, वह $B$ के करीब जा रहा है और $A$ से दूर जा रहा है।
$A$ से प्राप्त आभासी आवृत्ति $f'_A = f_A \left( \frac{v_s - v}{v_s} \right)$ है।
$B$ से प्राप्त आभासी आवृत्ति $f'_B = f_B \left( \frac{v_s + v}{v_s} \right)$ है।
बीट आवृत्ति $n = f'_B - f'_A$ है।
$10 = 680 \left( \frac{340 + v}{340} \right) - 680 \left( \frac{340 - v}{340} \right)$.
$10 = \frac{680}{340} (340 + v - 340 + v)$.
$10 = 2 (2v)$.
$10 = 4v$.
$v = \frac{10}{4} = 2.5 \,ms^{-1}$.

(C) मान लीजिए ध्वनि की गति $v$ है। स्रोत की गति $v_s = 0.1v$ और प्रेक्षक की गति $v_o = 0.1v$ है।
चूंकि दोनों एक-दूसरे के करीब आ रहे हैं,इसलिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ होगी:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
मान रखने पर:
$f' = f \left( \frac{v + 0.1v}{v - 0.1v} \right) = f \left( \frac{1.1v}{0.9v} \right) = f \left( \frac{11}{9} \right)$
$f' \approx 1.222f$
आवृत्ति में परिवर्तन $\Delta f = f' - f = 1.222f - f = 0.222f$ है।
प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta f}{f} \times 100 = 0.222 \times 100 = 22.2 \%$ है।

(A) दिया गया है: हॉर्न की आवृत्ति $f = 1000 \,Hz$,ध्वनि की गति $v = 340 \,ms^{-1}$।
जब कार प्रेक्षक के पास आ रही होती है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_1 = \left(\frac{v}{v-v_s}\right) f$ होती है।
जब कार प्रेक्षक से दूर जा रही होती है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $f_2 = \left(\frac{v}{v+v_s}\right) f$ होती है।
आवृत्तियों का अनुपात $\frac{f_1}{f_2} = \frac{11}{9}$ दिया गया है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{f_1}{f_2} = \frac{v+v_s}{v-v_s} = \frac{11}{9}$।
$\frac{340+v_s}{340-v_s} = \frac{11}{9}$।
$9(340+v_s) = 11(340-v_s)$।
$3060 + 9v_s = 3740 - 11v_s$।
$20v_s = 680$।
$v_s = 34 \,ms^{-1}$।

(B) दिया गया है: स्रोत की गति $v_s = 50 \,m/s$, प्रेक्षक की गति $v_o = -50 \,m/s$ (स्रोत की ओर गतिमान), ध्वनि की गति $v = 350 \,m/s$, और स्रोत की आवृत्ति $f = 250 \,Hz$.
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f \left( \frac{v - v_o}{v - v_s} \right) = 250 \left( \frac{350 - (-50)}{350 - 50} \right) = 250 \left( \frac{400}{300} \right) = \frac{1000}{3} \,Hz$.
स्रोत द्वारा उत्सर्जित तरंगदैर्ध्य $\lambda' = \frac{v - v_s}{f} = \frac{350 - 50}{250} = \frac{300}{250} = 1.2 \,m = 120 \,cm$.

(A) मान लीजिए कि ध्वनि की गति $v$ है और स्रोत की वास्तविक आवृत्ति $f$ है।
दिया गया है कि स्रोत एक स्थिर श्रोता की ओर $v_s = v/10$ की गति से बढ़ रहा है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ इस प्रकार दी जाती है:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$v_s$ का मान रखने पर:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{v - v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{v}{9v/10} \right)$
$f^{\prime} = f \left( \frac{10}{9} \right)$
अतः,आभासी आवृत्ति और वास्तविक आवृत्ति का अनुपात है:
$\frac{f^{\prime}}{f} = \frac{10}{9}$

(A) स्रोत स्थिर है,इसलिए स्रोत का वेग $v_s = 0$ है। प्रेक्षक $v_o$ वेग से स्रोत की ओर गति कर रहा है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f$ इस प्रकार दी जाती है:
$f = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
यह दिया गया है कि प्रेक्षित आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $f_o$ से $1\%$ अधिक है,इसलिए:
$f = f_o + 0.01 f_o = 1.01 f_o$
इस मान को डॉप्लर सूत्र में रखने पर:
$1.01 f_o = \left( \frac{v + v_o}{v} \right) f_o$
$1.01 = 1 + \frac{v_o}{v}$
$0.01 = \frac{v_o}{v}$
$\frac{v_o}{v} = \frac{1}{100}$
अतः,प्रेक्षक के वेग और ध्वनि के वेग का अनुपात $1:100$ है।

(A) जब कोई प्रेक्षक ध्वनि के स्थिर स्रोत की ओर गति करता है,तो प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति बढ़ जाती है।
डॉप्लर प्रभाव का सामान्य सूत्र $f^{\prime} = f \left( \frac{v + v_0}{v - v_s} \right)$ है।
चूंकि स्रोत स्थिर है,इसलिए $v_s = 0$ है।
दिया गया है कि प्रेक्षक की चाल $v_0 = \frac{v}{5}$ है,अतः आभासी आवृत्ति $f^{\prime}$ होगी:
$f^{\prime} = f \left( \frac{v + \frac{v}{5}}{v} \right) = f \left( \frac{1.2v}{v} \right) = 1.2 f$.
ध्वनि तरंगों की तरंगदैर्ध्य केवल स्रोत और माध्यम पर निर्भर करती है। चूंकि स्रोत स्थिर है और माध्यम में कोई परिवर्तन नहीं है,इसलिए प्रेक्षक तक पहुँचने वाली तरंगदैर्ध्य $\lambda$ ही रहेगी।
अतः,प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $1.2 f$ और तरंगदैर्ध्य $\lambda$ है।

(B) दिया गया है,स्रोत की आवृत्ति,$f_s = 5 \text{ kHz}$।
ट्रेन $A$ में बैठे यात्री के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $f_A = 5.5 \text{ kHz}$ है।
स्थिर स्रोत की ओर गति कर रहे प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करने पर: $f_A = f_s \left( \frac{v + v_A}{v} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है।
$5.5 = 5 \left( 1 + \frac{v_A}{v} \right) \implies 1.1 = 1 + \frac{v_A}{v} \implies \frac{v_A}{v} = 0.1$ --- $(i)$
ट्रेन $B$ में बैठे यात्री के लिए,प्रेक्षित आवृत्ति $f_B = 6 \text{ kHz}$ है।
इसी प्रकार,$f_B = f_s \left( \frac{v + v_B}{v} \right)$।
$6 = 5 \left( 1 + \frac{v_B}{v} \right) \implies 1.2 = 1 + \frac{v_B}{v} \implies \frac{v_B}{v} = 0.2$ --- $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{v_B / v}{v_A / v} = \frac{0.2}{0.1} = 2$।
अतः,ट्रेन $B$ की गति और ट्रेन $A$ की गति का अनुपात $2$ है।

(C) दिया गया है, स्प्रिंग का आयाम, $A = 50 \,cm = 0.5 \,m$.
ध्वनि स्रोत का द्रव्यमान, $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
ध्वनि की गति, $v = 340 \,ms^{-1}$.
प्रेक्षक द्वारा सुनी गई अधिकतम आवृत्ति $n_{\max} = n_{\min} + 0.125 n_{\min} = 1.125 n_{\min}$ है।
गतिमान स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$n_{\max} = \frac{n_0 v}{v - v_{s\max}} \quad (i)$
$n_{\min} = \frac{n_0 v}{v + v_{s\max}} \quad (ii)$
$(i)$ को $(ii)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{n_{\max}}{n_{\min}} = \frac{v + v_{s\max}}{v - v_{s\max}} = 1.125$
$v + v_{s\max} = 1.125(v - v_{s\max})$
$v + v_{s\max} = 1.125v - 1.125v_{s\max}$
$2.125 v_{s\max} = 0.125v$
$v_{s\max} = \frac{0.125 \times 340}{2.125} = \frac{42.5}{2.125} = 20 \,ms^{-1}$.
स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली के लिए, $v_{s\max} = A\omega = A\sqrt{\frac{k}{m}}$.
$20 = 0.5 \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$40 = \sqrt{\frac{k}{0.1}}$
$1600 = \frac{k}{0.1}$
$k = 160 \,N m^{-1}$.
अतः, सही विकल्प $(c)$ है।

(B) मान लीजिए कि ट्रेन की स्थिति $T$,क्रॉसिंग $C$ और प्रेक्षक $O$ है। दूरी $TC = 288 \ m$ और $CO = 384 \ m$ है। दूरी $TO = \sqrt{288^2 + 384^2} = \sqrt{82944 + 147456} = \sqrt{230400} = 480 \ m$ है।
ट्रेन और प्रेक्षक को जोड़ने वाली रेखा पर ट्रेन के वेग का घटक प्रेक्षक की ओर बढ़ते स्रोत का प्रभावी वेग है।
मान लीजिए $v_s$ ट्रेन का वेग है $(120 \ km/h = 120 \times \frac{5}{18} \ m/s = \frac{100}{3} \ m/s)$।
कोण $\theta$ ट्रैक और रेखा $TO$ के बीच है। ज्यामिति से,$\cos \theta = \frac{TC}{TO} = \frac{288}{480} = \frac{3}{5} = 0.6$ है।
प्रेक्षक की ओर स्रोत का वेग $u = v_s \cos \theta = \frac{100}{3} \times 0.6 = 20 \ m/s$ है।
स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ते स्रोत के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f' = f \left( \frac{v}{v - u} \right)$
जहाँ $f = 576 \ Hz$,$v = 340 \ m/s$,और $u = 20 \ m/s$ है।
$f' = 576 \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 576 \left( \frac{340}{320} \right) = 576 \times 1.0625 = 612 \ Hz$.

(B) दिया गया है: पुलिस कार का वेग, $v_{s_1} = 22 \,ms^{-1}$.
हवा में ध्वनि की गति, $v = 330 \,ms^{-1}$.
पुलिस कार के हॉर्न की आवृत्ति, $f_1 = 176 \,Hz$.
स्थिर सायरन की आवृत्ति, $f_2 = 165 \,Hz$.
मान लीजिए मोटरसाइकिल सवार का वेग $v_0$ है。
पुलिस कार से मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f_1^{\prime}$ (स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है, प्रेक्षक स्रोत से दूर जा रहा है):
$f_1^{\prime} = \left( \frac{v - v_0}{v - v_{s_1}} \right) f_1 = \left( \frac{330 - v_0}{330 - 22} \right) \times 176 = \left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176$
स्थिर सायरन से मोटरसाइकिल सवार द्वारा सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f_2^{\prime}$ (स्रोत स्थिर है, प्रेक्षक स्रोत की ओर बढ़ रहा है):
$f_2^{\prime} = \left( \frac{v + v_0}{v} \right) f_2 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
चूंकि बीट्स की संख्या शून्य है, इसलिए $f_1^{\prime} = f_2^{\prime}$:
$\left( \frac{330 - v_0}{308} \right) \times 176 = \left( \frac{330 + v_0}{330} \right) \times 165$
$\left( 330 - v_0 \right) \times \frac{176}{308} = \left( 330 + v_0 \right) \times \frac{165}{330}$
$\left( 330 - v_0 \right) \times 0.5714 = \left( 330 + v_0 \right) \times 0.5$
$188.56 - 0.5714 v_0 = 165 + 0.5 v_0$
$23.56 = 1.0714 v_0$
$v_0 = 22 \,ms^{-1}$
अतः, मोटरसाइकिल की गति $22 \,ms^{-1}$ है। सही विकल्प $(b)$ है।

(C) स्रोत स्थिर है, इसलिए परावर्तक तक पहुँचने वाली ध्वनि की आवृत्ति $f = 160 \,Hz$ है। ध्वनि की गति $v = 340 \,m/s$ है। आपतित तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda = v/f = 340/160 = 17/8 \,m$ है।
जब परावर्तक $v_r = 20 \,m/s$ के वेग से स्रोत की ओर गति करता है, तो परावर्तित तरंग की आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है:
$f' = f \left( \frac{v + v_r}{v - v_r} \right) = 160 \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right) = 160 \left( \frac{360}{320} \right) = 180 \,Hz$.
परावर्तित तरंग की तरंगदैर्ध्य $\lambda' = v/f' = 340/180 = 17/9 \,m$ होगी।

(D) स्रोत की स्थिति $x = 3 \sin \omega t$ द्वारा दी गई है।
स्रोत का तात्क्षणिक वेग $v_s = \frac{dx}{dt} = 3 \omega \cos \omega t$ है।
स्रोत का अधिकतम वेग $v_{s, \max} = 3 \omega$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ का मान $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$ होता है,जहाँ $v = 330 \,ms^{-1}$ ध्वनि की गति है।
अधिकतम आवृत्ति $f_{\max} = f \left( \frac{v}{v - v_{s, \max}} \right)$ और न्यूनतम आवृत्ति $f_{\min} = f \left( \frac{v}{v + v_{s, \max}} \right)$ है।
दिया गया है कि $f_{\max} - f_{\min} = 22 \,Hz$,इसलिए:
$120 \left( \frac{330}{330 - 3 \omega} - \frac{330}{330 + 3 \omega} \right) = 22$
$120 \times 330 \left( \frac{(330 + 3 \omega) - (330 - 3 \omega)}{330^2 - (3 \omega)^2} \right) = 22$
$120 \times 330 \left( \frac{6 \omega}{108900 - 9 \omega^2} \right) = 22$
चूंकि $v_s \ll v$,हम $330^2 - (3 \omega)^2 \approx 330^2$ मान सकते हैं:
$120 \times 330 \times \frac{6 \omega}{330 \times 330} = 22$
$120 \times \frac{6 \omega}{330} = 22$
$120 \times \frac{2 \omega}{110} = 22$
$240 \omega = 2420 \Rightarrow \omega \approx 10 \,rad \,s^{-1}$.

(C)
प्रेक्षित आवृत्ति तब अधिकतम होती है जब प्रेक्षक $O$ और स्रोत $S$ दोनों अपनी अधिकतम गति के साथ एक-दूसरे की ओर बढ़ रहे होते हैं।
सरल आवर्त गति के लिए, अधिकतम गति $v_m = A\omega$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $A$ आयाम है और $\omega$ कोणीय वेग है।
दिया गया है $A = 0.5 \,m$ और $\omega = 40 \,rad/s$, प्रत्येक ब्लॉक की अधिकतम गति है:
$v_m = 0.5 \times 40 = 20 \,m/s$
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार, प्रेक्षित आवृत्ति $f'$ है:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$
जहाँ $v = 340 \,m/s$ ध्वनि की गति है, $v_o = 20 \,m/s$ प्रेक्षक की गति है, और $v_s = 20 \,m/s$ स्रोत की गति है।
मान रखने पर:
$f_{\max} = 288 \times \left( \frac{340 + 20}{340 - 20} \right)$
$f_{\max} = 288 \times \left( \frac{360}{320} \right)$
$f_{\max} = 288 \times 1.125 = 324 \,Hz$

(B) स्थिर स्रोत से दूर जाने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आभासी आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$,जहाँ $v$ ध्वनि की गति है और $v_o$ प्रेक्षक का वेग है।
दिया गया है $f' = 0.94f$,इसलिए $0.94f = f \left( \frac{330 - v_o}{330} \right)$.
$0.94 = \frac{330 - v_o}{330} \implies 310.2 = 330 - v_o \implies v_o = 330 - 310.2 = 19.8 \,m/s$.
मोटरसाइकिल विरामावस्था $(u = 0)$ से $a = 2 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होती है। गति के समीकरण $v_o = u + at$ का उपयोग करने पर:
$19.8 = 0 + 2t \implies t = 9.9 \,s$.
तय की गई दूरी $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दी जाती है:
$s = 0 + \frac{1}{2} \times 2 \times (9.9)^2 = 98.01 \,m$.
अतः,दूरी लगभग $98 \,m$ है।

(C) माना $v = 340 \, ms^{-1}$ ध्वनि की गति है, $v_o$ प्रेक्षक की गति है, $f_A = 170 \, Hz$ स्रोत $A$ की आवृत्ति है, और $f_B = 240 \, Hz$ स्रोत $B$ की आवृत्ति है।
चूंकि प्रेक्षक $A$ की ओर बढ़ रहा है, $A$ से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'_A = f_A \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ है।
प्रेक्षक $B$ से दूर जा रहा है (क्योंकि $B$ स्रोत $A$ की ओर बढ़ रहा है और प्रेक्षक उनके बीच $A$ की ओर बढ़ रहा है), इसलिए $B$ से सुनी जाने वाली आभासी आवृत्ति $f'_B = f_B \left( \frac{v - v_o}{v - v_B} \right)$ है, जहाँ $v_B = 20 \, ms^{-1}$ है।
विस्पंदों की संख्या शून्य होने के लिए, $f'_A = f'_B$ होना चाहिए।
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{340 - 20} \right)$.
$170 \left( \frac{340 + v_o}{340} \right) = 240 \left( \frac{340 - v_o}{320} \right)$.
$\frac{17}{34} (340 + v_o) = \frac{24}{32} (340 - v_o)$.
$0.5 (340 + v_o) = 0.75 (340 - v_o)$.
$170 + 0.5 v_o = 255 - 0.75 v_o$.
$1.25 v_o = 85$.
$v_o = \frac{85}{1.25} = 68 \, ms^{-1}$.

(D) हॉर्न से सीधे सुनाई देने वाली ध्वनि की आवृत्ति $f_0 = 165 \, Hz$ है।
दीवार से परावर्तित होकर आने वाली ध्वनि की आवृत्ति डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है (बस दीवार के सापेक्ष स्रोत और प्रेक्षक दोनों है)।
परावर्तन के बाद सुनाई देने वाली आभासी आवृत्ति $f' = f_0 \left( \frac{v + v_b}{v - v_b} \right)$ है, जहाँ $v = 335 \, ms^{-1}$ ध्वनि की गति है और $v_b = 5 \, ms^{-1}$ बस की गति है।
मान रखने पर: $f' = 165 \left( \frac{335 + 5}{335 - 5} \right) = 165 \left( \frac{340}{330} \right) = 165 \times \frac{34}{33} = 5 \times 34 = 170 \, Hz$.
प्रति सेकंड सुनाई देने वाले बीट्स की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है: $f_{beats} = |f' - f_0| = |170 - 165| = 5 \, Hz$.

(B) वृत्ताकार पथ की त्रिज्या $r = 100 \,cm = 1 \,m$ है। कोणीय वेग $\omega = 20 \,rad/s$ है। स्रोत का रैखिक वेग $v_s = r\omega = 1 \times 20 = 20 \,m/s$ है।
प्रेक्षक वृत्त के केंद्र से $5 \,m$ की दूरी पर है। डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए: $f' = f \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$.
अधिकतम आवृत्ति के लिए (स्रोत प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है): $f_{max} = 288 \times \left( \frac{340}{340 - 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{320} \right) = 306 \,Hz$.
न्यूनतम आवृत्ति के लिए (स्रोत प्रेक्षक से दूर जा रहा है): $f_{min} = 288 \times \left( \frac{340}{340 + 20} \right) = 288 \times \left( \frac{340}{360} \right) = 272 \,Hz$.
अतः, सुनी जाने वाली आवृत्तियों की सीमा $272 \,Hz$ से $306 \,Hz$ है।

(A) माना $n$ सीटी की वास्तविक आवृत्ति है,$v$ ध्वनि की गति है,और $v_s$ ट्रेन की गति है।
जब ट्रेन स्थिर प्रेक्षक के पास आती है,तो आभासी आवृत्ति $n_1 = n \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होती है।
जब ट्रेन स्थिर प्रेक्षक से दूर जाती है,तो आभासी आवृत्ति $n_2 = n \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
दोनों समीकरणों का व्युत्क्रम लेने पर:
$\frac{1}{n_1} = \frac{v - v_s}{nv} = \frac{1}{n} - \frac{v_s}{nv}$
$\frac{1}{n_2} = \frac{v + v_s}{nv} = \frac{1}{n} + \frac{v_s}{nv}$
इन दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$\frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} = \frac{2}{n} \implies \frac{n_1 + n_2}{n_1 n_2} = \frac{2}{n}$
इसलिए,वास्तविक आवृत्ति $n = \frac{2 n_1 n_2}{n_1 + n_2}$ है।
जब प्रेक्षक ट्रेन के साथ चलता है,तो स्रोत और प्रेक्षक के बीच कोई सापेक्ष गति नहीं होती है,इसलिए प्रेक्षित आवृत्ति वास्तविक आवृत्ति $n$ के बराबर होती है।

(C) ट्यूनिंग फोर्क की आवृत्ति $n = 170 \,Hz$ है। छात्र (स्रोत और प्रेक्षक) की गति दीवार की ओर $v_0 = 2 \,ms^{-1}$ है।
दीवार एक स्थिर स्रोत के रूप में कार्य करती है जो ध्वनि को परावर्तित करती है। स्थिर स्रोत की ओर बढ़ते हुए प्रेक्षक के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,छात्र द्वारा सुनी गई गूँज की आवृत्ति:
$n' = n \left( \frac{v + v_0}{v} \right)$
जहाँ $v = 340 \,ms^{-1}$ ध्वनि की गति है।
$n' = 170 \left( \frac{340 + 2}{340} \right) = 170 \left( \frac{342}{340} \right) = \frac{342}{2} = 171 \,Hz$.
बीट आवृत्ति,गूँज की आवृत्ति और ट्यूनिंग फोर्क की मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$f_{beat} = |n' - n| = |171 \,Hz - 170 \,Hz| = 1 \,Hz$.

(D) ध्वनि का स्रोत वृत्ताकार पथ में गति कर रहा है। जब स्रोत श्रोता की ओर बढ़ता है,तो देखी गई आवृत्ति अधिकतम होती है,और जब यह दूर जाता है,तो देखी गई आवृत्ति न्यूनतम होती है। श्रोता स्थिर है।
दिया गया है:
स्रोत की आवृत्ति $f_0 = 500 Hz$
त्रिज्या $r = \frac{100}{\pi} cm = \frac{1}{\pi} m$
कोणीय गति $n = 5 rev/s$
कोणीय वेग $\omega = 2\pi n = 2\pi \times 5 = 10\pi rad/s$
स्रोत की गति $v_s = \omega r = (10\pi) \times (\frac{1}{\pi}) = 10 m/s$
ध्वनि की गति $v = 332 m/s$
गतिमान स्रोत और स्थिर श्रोता के लिए डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$f = f_0 \left( \frac{v}{v \mp v_s} \right)$
अधिकतम आवृत्ति (स्रोत श्रोता की ओर बढ़ रहा है):
$f_{max} = 500 \left( \frac{332}{332 - 10} \right) = 500 \left( \frac{332}{322} \right) \approx 515.5 Hz$
न्यूनतम आवृत्ति (स्रोत श्रोता से दूर जा रहा है):
$f_{min} = 500 \left( \frac{332}{332 + 10} \right) = 500 \left( \frac{332}{342} \right) \approx 485.4 Hz$
अतः,न्यूनतम और अधिकतम आवृत्तियाँ क्रमशः $485.4 Hz$ और $515.5 Hz$ हैं।

(C) जब प्रेक्षक $O$ और स्रोत $S$ दोनों एक-दूसरे के करीब आ रहे हों,तो डॉप्लर प्रभाव के कारण आभासी आवृत्ति का सूत्र इस प्रकार है:
$f' = f \left( \frac{v + v_o}{v - v_s} \right)$ ... $(i)$
यहाँ,प्रेक्षक (ट्रेन $B$) की गति,$v_o = 36 \ km/h = 36 \times \frac{5}{18} \ m/s = 10 \ m/s$.
स्रोत (ट्रेन $A$) की गति,$v_s = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
हवा में ध्वनि की गति,$v = 340 \ m/s$.
स्रोत की वास्तविक आवृत्ति,$f = 640 \ Hz$.
इन मानों को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$f' = 640 \left( \frac{340 + 10}{340 - 20} \right)$
$f' = 640 \left( \frac{350}{320} \right)$
$f' = 640 \times 1.09375 = 700 \ Hz$.
अतः,ट्रेन $B$ में बैठे यात्री द्वारा सुनी गई आवृत्ति $700 \ Hz$ है।

(C) स्रोत की आवृत्ति $f = 880 \ Hz$ है।
जब स्रोत स्थिर श्रोता के पास आता है तो प्रेक्षित आवृत्ति $f' = 888 \ Hz$ है।
ध्वनि का वेग $v = 333 \ m \ s^{-1}$ है।
डॉप्लर प्रभाव के अनुसार,जब स्रोत एक स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ता है,तो आभासी आवृत्ति का सूत्र है:
$f' = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$888 = 880 \left( \frac{333}{333 - v_s} \right)$
दोनों पक्षों को $880$ से विभाजित करने पर:
$\frac{888}{880} = \frac{333}{333 - v_s}$
$1.00909 = \frac{333}{333 - v_s}$
$333 - v_s = \frac{333}{1.00909} \approx 330$
$v_s = 333 - 330 = 3 \ m \ s^{-1}$।
अतः,वाहन की गति $3 \ m \ s^{-1}$ है।

(C)
ડ્રોન એક સ્થિર પરાવર્તિત સપાટી (ઇમારત) તરફ ગતિ કરતા ધ્વનિના સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
આપેલ છે:
ડ્રોનની ઝડપ (સ્ત્રોત), $v_s = 15 \,m/s$
વાસ્તવિક આવૃત્તિ, $n_0 = 780 \,Hz$
ધ્વનિની ઝડપ, $v = 340 \,m/s$
પગલું 1: ઇમારત સુધી પહોંચતા ધ્વનિ તરંગોની આવૃત્તિની ગણતરી કરો।
ચોક્કસ સ્ત્રોત સ્થિર ઇમારત તરફ ગતિ કરી રહ્યો હોવાથી, ઇમારત દ્વારા પ્રાપ્ત થતી આવૃત્તિ $n'$ ડોપ્લર અસરના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$n' = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$
$n' = 780 \left( \frac{340}{340 - 15} \right)
= 780 \left( \frac{340}{325} \right)
= 816 \,Hz$
પગલું 2: ઇમારત આ આવૃત્તિ $n'$ ને ઓપરેટર તરફ પરાવર્તિત કરતા સ્થિર સ્ત્રોત તરીકે કાર્ય કરે છે।
ચોક્કસ ઓપરેટર સ્થિર છે અને ઇમારત (પડઘાના સ્ત્રોત તરીકે) પણ સ્થિર છે, તેથી ઓપરેટરને સંભળાતી આવૃત્તિ ઇમારત પર આપાત થતી આવૃત્તિ જેટલી જ હોય છે।
અतः, ઓપરેટરને સંભળાતી આવૃત્તિ $816 \,Hz$ છે।

(B) दिया गया है: ध्वनि की गति $v = 350 \,m/s$, वास्तविक आवृत्ति $n_0 = 250 \,Hz$, और विस्पंद आवृत्ति $x = 5 \,Hz$ है।
जब स्रोत प्रेक्षक की ओर गति करता है, तो आभासी आवृत्ति $n_1 = n_0 \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ होती है।
जब स्रोत प्रेक्षक से दूर गति करता है, तो आभासी आवृत्ति $n_2 = n_0 \left( \frac{v}{v + v_s} \right)$ होती है।
विस्पंद आवृत्ति $x = n_1 - n_2 = n_0 v \left( \frac{1}{v - v_s} - \frac{1}{v + v_s} \right) = n_0 v \left( \frac{2 v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$ है।
मान रखने पर: $5 = 250 \times 350 \times \left( \frac{2 v_s}{350^2 - v_s^2} \right)$.
चूंकि $v_s$, $v$ की तुलना में बहुत छोटा है, इसलिए $v^2 - v_s^2 \approx v^2$ लेने पर:
$x \approx \frac{2 n_0 v_s}{v} \Rightarrow 5 = \frac{2 \times 250 \times v_s}{350}$.
$5 = \frac{500 v_s}{350} \Rightarrow 5 = \frac{10 v_s}{7}$.
$v_s = 3.5 \,m/s$.

(D) स्रोत (सीटी) और प्रेक्षक (वाहन में सवार व्यक्ति) दोनों $v_s = 10 \,ms^{-1}$ के समान वेग से पहाड़ी की ओर गति कर रहे हैं।
ध्वनि पहाड़ी से परावर्तित होकर प्रेक्षक के पास वापस आती है।
डॉप्लर प्रभाव के सूत्र के अनुसार,पहाड़ी से परावर्तित होकर आने वाली ध्वनि की आवृत्ति:
$n' = n \left( \frac{v + v_s}{v - v_s} \right)$
जहाँ $v = 330 \,ms^{-1}$ ध्वनि का वेग है,$v_s = 10 \,ms^{-1}$ वाहन का वेग है,और $n = 256 \,Hz$ मूल आवृत्ति है।
$n' = 256 \left( \frac{330 + 10}{330 - 10} \right) = 256 \left( \frac{340}{320} \right) = 256 \times 1.0625 = 272 \,Hz$.
प्रति सेकंड विस्पंदों की संख्या परावर्तित आवृत्ति और मूल आवृत्ति के बीच का अंतर है:
$\text{Beats} = n' - n = 272 \,Hz - 256 \,Hz = 16 \,Hz$.

(D) माना ध्वनि की गति $v$,प्रेक्षक की गति $v_o$ और स्रोत की आवृत्ति $f$ है।
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत की ओर बढ़ता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n_1 = f \left( \frac{v + v_o}{v} \right)$ होती है।
जब प्रेक्षक स्थिर स्रोत से दूर जाता है,तो प्रेक्षित आवृत्ति $n_2 = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$ होती है।
दिए गए अनुपात $n_1 / n_2 = 71 / 65$ से:
$\frac{v + v_o}{v - v_o} = \frac{71}{65}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $65(v + v_o) = 71(v - v_o)$.
$65v + 65v_o = 71v - 71v_o$.
$136v_o = 6v$.
$v_o = \frac{6}{136} v = \frac{3}{68} v$.
चूंकि $v = 340 \ m/s$ दिया गया है,इसलिए $v_o = \frac{3}{68} \times 340 = 3 \times 5 = 15 \ m/s$.
$m/s$ को $km/h$ में बदलने के लिए $18/5$ से गुणा करने पर: $v_o = 15 \times \frac{18}{5} = 3 \times 18 = 54 \ km/h$.

(A) माना ध्वनि की गति $v = 336 \ m/s$ है और कार की गति $u$ है।
हॉर्न द्वारा उत्पन्न ध्वनि की आवृत्ति $n$ है।
चालक द्वारा सुनी गई प्रतिध्वनि की आवृत्ति $n' = n \left( \frac{v + u}{v - u} \right)$ है।
आवृत्तियों के बीच का अंतर $n' - n = 0.1n$ है।
$n'$ का मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $n \left( \frac{v + u}{v - u} - 1 \right) = 0.1n$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{v + u - (v - u)}{v - u} = 0.1$.
इससे प्राप्त होता है: $\frac{2u}{v - u} = 0.1$.
$2u = 0.1(v - u) \implies 2u = 0.1v - 0.1u$.
$2.1u = 0.1v \implies u = \frac{0.1}{2.1} v = \frac{1}{21} v$.
चूंकि $v = 336 \ m/s$ दिया गया है,$u = \frac{336}{21} = 16 \ m/s$।

(D) कार की गति $v_s = 54 \ km/h = 15 \ m/s$ है।
व्यक्ति कार और दीवार के बीच खड़ा है।
सीधे कार से प्राप्त ध्वनि की आवृत्ति (स्रोत स्थिर प्रेक्षक की ओर बढ़ रहा है) $f_1 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$ है।
दीवार से परावर्तित ध्वनि की आवृत्ति कार के प्रतिबिंब से आने वाली ध्वनि के समान है,जो प्रेक्षक की ओर समान गति $v_s$ से बढ़ रही है। अतः,$f_2 = f \left( \frac{v}{v - v_s} \right)$।
चूंकि $f_1 = f_2$,आवृत्तियों में अंतर $f_2 - f_1 = 0 \ Hz$ है।

(A) डॉप्लर प्रभाव के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$1$) जब ट्रेन पास आती है तब आवृत्ति: $f_{\text{app}} = f_0 \times \frac{v}{v - v_s}$
$2$) जब ट्रेन दूर जाती है तब आवृत्ति: $f_{\text{rec}} = f_0 \times \frac{v}{v + v_s}$
दिया गया है: $v = 330 \text{ m/s}$,$v_s = 108 \text{ km/h} = 108 \times \frac{5}{18} = 30 \text{ m/s}$.
आवृत्ति में अंतर $\Delta f = f_{\text{app}} - f_{\text{rec}} = f_0 \left( \frac{v}{v - v_s} - \frac{v}{v + v_s} \right)$.
$\Delta f = f_0 \left( \frac{v(v + v_s) - v(v - v_s)}{v^2 - v_s^2} \right) = f_0 \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right)$.
प्रतिशत परिवर्तन = $\frac{\Delta f}{f_0} \times 100 = \left( \frac{2 v v_s}{v^2 - v_s^2} \right) \times 100$.
मान रखने पर: $\frac{2 \times 330 \times 30}{330^2 - 30^2} \times 100 = \frac{19800}{108900 - 900} \times 100 = \frac{19800}{108000} \times 100 = \frac{11}{60} \times 100 \approx 18.33 \%$.

(B) माना $v$ ध्वनि की गति है और $f = 102 \ Hz$ स्रोत की आवृत्ति है।
चूंकि स्रोत स्थिर है $(v_s = 0)$,स्रोत से $v_o$ गति से दूर जाने वाले प्रेक्षक द्वारा सुनी गई आवृत्ति $f'$ डॉपलर प्रभाव के सूत्र द्वारा दी जाती है: $f' = f \left( \frac{v - v_o}{v} \right)$.
यह देखते हुए कि दोनों प्रेक्षक स्रोत से $v_o = 10 \% \text{ of } v = \frac{v}{10}$ की गति से दूर जा रहे हैं,प्रेक्षक $1$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति है:
$f_1 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
इसी प्रकार,प्रेक्षक $2$ द्वारा सुनी गई आवृत्ति है:
$f_2 = f \left( \frac{v - v/10}{v} \right) = f \left( \frac{0.9v}{v} \right) = 0.9f$.
अतः,प्रेक्षकों द्वारा सुनी गई आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{0.9f}{0.9f} = 1: 1$.