Adiabatic Process Questions in Gujarati

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં ઉષ્માની આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$.
તેથી,$0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta W = -\Delta U$.
જો આંતરિક ઉર્જા $\Delta U$ વધે છે,તો તંત્ર પર કાર્ય થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ એ માત્ર તાપમાન $T$ નું વિધેય છે $(U \propto T)$.
આંતરિક ઉર્જા વધતી હોવાથી,પદાર્થનું તાપમાન વધશે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$
જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T_1$ અને $T_2$ એ પ્રારંભિક અને અંતિમ તાપમાન છે,અને $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
આપેલ વાયુ માટે $\mu$,$R$,અને $\gamma$ અચળ હોવાથી,થયેલું કાર્ય સીધું જ તાપમાનમાં થતા ફેરફાર $(T_1 - T_2)$ પર આધાર રાખે છે.

(B) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ $(FLOT)$ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
અહીં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,$0 = \Delta U + \Delta W$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U = -\Delta W$.
વિસ્તરણ પ્રક્રિયામાં,તંત્ર આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે,તેથી તંત્ર દ્વારા થયેલ કાર્ય $\Delta W$ ધન હોય છે.
તેથી,$\Delta U = -(\text{ધન કિંમત})$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta U$ ઋણ હશે.

(D) ટાયરનું અચાનક ફાટવું એ એક એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે કારણ કે આ વિસ્તરણ ખૂબ જ ઝડપથી થાય છે,જેના કારણે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે માટે સમય મળતો નથી.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આને $T_1^\gamma P_1^{1-\gamma} = T_2^\gamma P_2^{1-\gamma}$ તરીકે લખી શકાય છે.
$T_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_1}{P_2} \right)^{\frac{1-\gamma}{\gamma}}$ મળે છે.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$,$P_1 = 4P_{atm}$,$P_2 = P_{atm}$,અને $\gamma = 1.4$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = \left( \frac{4P_{atm}}{P_{atm}} \right)^{\frac{1-1.4}{1.4}}$.
$\frac{T_2}{300} = (4)^{\frac{-0.4}{1.4}}$.
તેથી,$T_2 = 300 \ (4)^{-0.4/1.4}$.

(C) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (adiabatic) હોય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1 \text{ atm}$ ($NTP$ પર),અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{4}$,અને $\gamma = \frac{3}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P_2}{1} = \left( \frac{V_1}{V_1/4} \right)^{3/2} = (4)^{3/2}$.
કિંમતની ગણતરી કરતા: $(4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $P_2 = 8 \text{ atm}$ થશે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1$ છે.
ધારો કે અંતિમ દબાણ $P_2$ અને અંતિમ કદ $V_2 = V_1/8$ છે.
એડિબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
$P_2 = P_1 (V_1 / V_2)^\gamma$.
કિંમતો મૂકતા: $P_2 = P_1 (V_1 / (V_1/8))^{5/3}$.
$P_2 = P_1 (8)^{5/3}$.
$P_2 = P_1 (2^3)^{5/3} = P_1 (2^5) = 32 P_1$.
તેથી,દબાણ તેના પ્રારંભિક દબાણ કરતા $32$ ગણું થઈ જશે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને ઘનતા $d$ વચ્ચેનો સંબંધ $P \propto d^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P'}{P} = \left( \frac{d'}{d} \right)^\gamma$ થાય.
આપેલ છે કે $\frac{d'}{d} = 32$ અને $\gamma = 7/5$,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{P'}{P} = (32)^{7/5}$.
કારણ કે $32 = 2^5$,તેથી $\frac{P'}{P} = (2^5)^{7/5} = 2^{(5 \times 7/5)} = 2^7$ મળે.
$2^7$ ની ગણતરી કરતા,આપણને $128$ મળે છે.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{P'}{P}$ નું મૂલ્ય $128$ છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = \frac{5}{3}$,તેથી $\gamma - 1 = \frac{5}{3} - 1 = \frac{2}{3}$.
સૂત્ર $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = 300 \times \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
$T_2 = 300 \times \left( \left( \frac{27}{8} \right)^{1/3} \right)^2 = 300 \times \left( \frac{3}{2} \right)^2$.
$T_2 = 300 \times \frac{9}{4} = 75 \times 9 = 675 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \ K$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(P)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = RT$ પરથી,આપણે $V = \frac{RT}{P}$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \left( \frac{RT}{P} \right)^\gamma = \text{અચળ}$
$P \cdot \frac{T^\gamma}{P^\gamma} = \text{અચળ}$
$P^{1-\gamma} T^\gamma = \text{અચળ}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,આદર્શ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W$ એ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $Q = \Delta U + W$. પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી,$Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$ થાય.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = nC_v \Delta T$ છે. $1 \text{ mole}$ વાયુ માટે,$n = 1$ અને $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
આમ,$W = -[C_v(T_1 - T)] = -[\frac{R}{\gamma - 1}(T_1 - T)]$ થાય.
આને સાદું રૂપ આપતા,આપણને $W = \frac{R}{\gamma - 1}(T - T_1)$ મળે છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $dQ = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,જ્યાં $dU$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર છે અને $dW$ એ વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
આપેલ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં $2 \ J$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી $dU = -2 \ J$.
આ કિંમતોને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = -2 \ J + dW$.
આનાથી $dW = 2 \ J$ મળે છે,જે વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય છે.
પ્રશ્નમાં વાયુ પર થયેલ કાર્ય પૂછવામાં આવ્યું છે.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $= -dW = -2 \ J$.

(B) સમતાપી પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV = \text{constant}$ છે। $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $P + V(dP/dV) = 0$ મળે છે, તેથી સમતાપી વક્રનો ઢાળ $(dP/dV)_{\text{iso}} = -P/V$ થાય છે。
નિરુદ્ધોષ્મ પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે। $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા, આપણને $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma}(dP/dV) = 0$ મળે છે, જેનું સાદું રૂપ આપતા $(dP/dV)_{\text{adia}} = -\gamma P/V$ થાય છે。
ઢાળનો ગુણોત્તર $\frac{(dP/dV)_{\text{adia}}}{(dP/dV)_{\text{iso}}} = \frac{-\gamma P/V}{-P/V} = \gamma$ થાય છે।

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
કારણ કે $\Delta Q = 0$,તેથી $0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta W = -\Delta U$.
જ્યારે વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે,ત્યારે તે આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $\Delta W > 0$ થાય છે.
પરિણામે,$\Delta U$ ઋણ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે વાયુની આંતરિક ઉર્જા કાર્ય કરવામાં વપરાતી હોવાથી તેમાં ઘટાડો થાય છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W$ નું સૂત્ર: $W = \frac{nR(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $n = 1 \, \text{mole}$,$R = 8.31 \, J/(mol \cdot K)$,$\gamma = 1.4$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \, K$,અને $T_2 = 127^{\circ}C = 400 \, K$.
કિંમતો મૂકતા: $W = \frac{1 \times 8.31 \times (300 - 400)}{1.4 - 1}$.
$W = \frac{8.31 \times (-100)}{0.4} = \frac{-831}{0.4} = -2077.5 \, J$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સંકોચન દરમિયાન વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવ્યું છે. થયેલ કાર્યનું મૂલ્ય $2077.5 \, J$ છે.

(C) જ્યારે દબાયેલી હવા અચાનક પંચરમાંથી બહાર નીકળે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે કારણ કે વિસ્તરણ ખૂબ જ ઝડપથી થાય છે,જેના કારણે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે માટે સમય મળતો નથી $(dQ = 0)$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dU = dQ - dW$. વાયુ બાહ્ય વાતાવરણની વિરુદ્ધ વિસ્તરણ કરીને કાર્ય કરે છે $(dW > 0)$,તેથી આંતરિક ઉર્જા $(dU)$ ઘટે છે. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,ટ્યુબની અંદરની હવાનું તાપમાન ઘટે છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $P(\gamma V^{\gamma-1}) + V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $V^{\gamma} \frac{dP}{dV} = -\gamma P V^{\gamma-1}$.
$V^{\gamma-1}$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $V \frac{dP}{dV} = -\gamma P$.
બલ્ક મોડ્યુલસ $B$ ની વ્યાખ્યા $B = -V \frac{dP}{dV}$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $B = -(-\gamma P) = \gamma P$ મળે છે.
તેથી,એડિબેટિક બલ્ક મોડ્યુલસ $\gamma P$ છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર તેના પર્યાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ (insulated) હોય છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,જેનો અર્થ છે કે $dQ = 0$.
તેથી,પ્રક્રિયા દરમિયાન તંત્રની ઉષ્મા સામગ્રી અચળ રહે છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P_0$,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$,અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{8}$,અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{4}{3}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$
$P_2 = P_0 \left( \frac{V}{V/8} \right)^{4/3}$
$P_2 = P_0 (8)^{4/3}$
$P_2 = P_0 (2^3)^{4/3}$
$P_2 = P_0 (2)^4$
$P_2 = 16P_0$.

(C) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે દબાણને $P = \frac{RT}{V}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમતને એડિયાબેટિક સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( \frac{RT}{V} \right) V^\gamma = \text{અચળ}$.
અહીં $R$ એ વાયુ અચળાંક હોવાથી,આપણને $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ મળે છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ: $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2$ માટે સૂત્ર: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$.
આપેલ છે: $T_1 = 300 \ K$,$V_2 = 2 V_1$,અને $\gamma = 1.40$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 300 \left( \frac{V_1}{2 V_1} \right)^{1.40 - 1}$.
$T_2 = 300 \left( \frac{1}{2} \right)^{0.4}$.
$T_2 = 300 \times (0.5)^{0.4} \approx 300 \times 0.7578 = 227.36 \ K$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ હોય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
કારણ કે $\Delta Q = 0$,તેથી $\Delta W = -\Delta U$ થાય.
અહીં આંતરિક ઉર્જામાં $100 \, J$ નો ઘટાડો થયો છે,તેથી $\Delta U = -100 \, J$ લેવાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\Delta W = -(-100 \, J) = +100 \, J$.
આમ,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $100 \, J$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = nC_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$ મોલ વાયુ માટે,$n = 1$ લેતા.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
તેથી,$\Delta U = 1 \times \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \times (T_2 - T_1)$.
આમ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \frac{R}{\gamma - 1}(T_2 - T_1)$ છે.

(D) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મી) પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27^oC = 27 + 273 = 300 \ K$,$V_1 = 8 \ L$,$V_2 = 1 \ L$,અને $\gamma = 5/3$.
કિંમતો મૂકતા: $300 \times (8)^{(5/3 - 1)} = T_2 \times (1)^{(5/3 - 1)}$.
$300 \times (8)^{2/3} = T_2$.
$300 \times (2^3)^{2/3} = T_2$.
$300 \times 2^2 = T_2$.
$300 \times 4 = 1200 \ K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^oC) = 1200 - 273 = 927^oC$.

(D) ટાયર ફાટવાની પ્રક્રિયા અત્યંત ઝડપી હોય છે. ખૂબ જ ટૂંકા સમયગાળાને કારણે,ટાયરની અંદરની ગેસ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માના વિનિમય માટે પૂરતો સમય મળતો નથી $(dQ = 0)$. થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,જે પ્રક્રિયામાં આસપાસ સાથે કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી,તેને એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા કહેવામાં આવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C_V$ એ અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $\Delta T = T_f - T_i$ છે.
અહીં $n = 1$ મોલ હિલિયમ આપેલ છે.
તેથી,$\Delta U = 1 \times C_V \times (T_f - T_i) = -C_V(T_i - T_f)$.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ઘટાડો એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય (magnitude) છે,જે $|\Delta U| = C_V(T_i - T_f)$ થાય છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે કે $T_1 = 273 \ K$,$V_2 = V_1/2$,અને $\gamma = 1.41$.
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 273 \times (2)^{0.41} \approx 273 \times 1.328 = 362.54 \ K$.
વાયુ દ્વારા થયેલ કાર્ય $W = \frac{R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ છે.
$W = \frac{8.314 \times (273 - 362.54)}{1.41 - 1} = \frac{8.314 \times (-89.54)}{0.41} \approx -1815.6 \ J$.
વાયુ પર થયેલ કાર્ય $|W| \approx 1815 \ J$ છે.

(D) એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,જેનો અર્થ છે કે $dQ = 0$.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$. $dQ = 0$ મૂકતા,આપણને $0 = dU + dW$ અથવા $dU = -dW$ મળે છે.
$dQ = 0$ હોવાથી,કુલ ઉષ્મા $Q$ અચળ રહે છે.
પ્રતિવર્તી એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,એન્ટ્રોપીમાં ફેરફાર $dS = dQ/T = 0$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે એન્ટ્રોપી અચળ રહે છે. તેથી,'એન્ટ્રોપી અચળ નથી' તે વિધાન ખોટું છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 18 + 273 = 291 \ K$,પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$,અંતિમ કદ $V_2 = V/8$,અને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = T_1 (V_1 / V_2)^{\gamma - 1}$.
$T_2 = 291 \times (V / (V/8))^{1.4 - 1} = 291 \times (8)^{0.4}$.
અહીં $8^{0.4} = (2^3)^{0.4} = 2^{1.2} \approx 2.297$.
$T_2 = 291 \times 2.297 \approx 668.4 \ K$.
આમ,સંકોચન પછીનું તાપમાન $668 \ K$ થશે.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ નું સૂત્ર $c = \frac{\Delta Q}{m \Delta T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $c = \frac{0}{m \Delta T} = 0$ મળે છે.
તેથી,એડિબેટિક પ્રક્રિયા દરમિયાન વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા શૂન્ય હોય છે.

(D) એડિયાબેટિક (Adiabatic) પ્રક્રિયામાં,સિસ્ટમ તેના આસપાસના વાતાવરણથી ઉષ્મીય રીતે અલગ (insulated) હોય છે.
તેથી,સિસ્ટમ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે ઉષ્માનું કોઈ આદાન-પ્રદાન થતું નથી,જેનો અર્થ છે કે $dQ = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમોષ્મી સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $T_2 = T_1 \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1}$ મળે છે.
આ કિંમતને કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \frac{\mu R T_1}{\gamma - 1} \left[ 1 - \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{\gamma-1} \right]$.
આપેલ છે: $\mu = 2 \text{ mol}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,$\gamma = 5/3$,$R = 8.31 \text{ J/mol K}$.
$W = \frac{2 \times 8.31 \times 300}{(5/3 - 1)} \left[ 1 - \left(\frac{V}{2V}\right)^{5/3 - 1} \right]$.
$W = \frac{4986}{2/3} \left[ 1 - (1/2)^{2/3} \right]$.
$W = 7479 \times [1 - 0.62996] = 7479 \times 0.37004 \approx 2767.23 \text{ J}$.

(D) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $P$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આને $T \propto P^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^\circ C = 300K$,અંતિમ દબાણ $P_2 = \frac{1}{8}P_1$,અને $\gamma = 5/3$.
ગુણોત્તર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{5/3 - 1}{5/3}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{\frac{2/3}{5/3}} = \left( \frac{1}{8} \right)^{2/5}$.
$T_2 = 300 \times (8^{-1})^{2/5} = 300 \times (2^3)^{-2/5} = 300 \times 2^{-6/5} \approx 300 \times 0.435 = 131K$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2 = 131 - 273 = -142^\circ C$.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U$ અને થયેલ કાર્ય $\Delta W$ એ આપલે થયેલ ઉષ્મા $\Delta Q$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે: $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માની કોઈ આપલે થતી નથી,એટલે કે $\Delta Q = 0$.
પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં $\Delta Q = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે: $0 = \Delta U + \Delta W$,અથવા $\Delta U + \Delta W = 0$.
તેથી,આપેલ સમીકરણ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે માન્ય છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$ છે.
આપેલ છે: $P_1 = 1 \text{ atm}$,$P_2 = 8 \text{ atm}$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,અને $\gamma = 3/2$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = (8)^{\frac{3/2 - 1}{3/2}} = (8)^{\frac{1/2}{3/2}} = (8)^{1/3}$.
કારણ કે $8^{1/3} = 2$,તેથી $\frac{T_2}{300} = 2$.
આમ,$T_2 = 600 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં ફેરવતા: $T_2(^{\circ}C) = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(C) જ્યારે ટ્યુબ અચાનક ફાટી જાય છે,ત્યારે તે પ્રક્રિયા એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) હોય છે.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ: $\frac{T_2}{T_1} = \left(\frac{P_2}{P_1}\right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 K$.
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 8 \text{ atm}$.
ટ્યુબ ફાટ્યા પછી,અંતિમ દબાણ $P_2 = 1 \text{ atm}$ (વાતાવરણીય દબાણ).
એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.5$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1.5 - 1}{1.5}} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{0.5}{1.5}} = \left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $\left(\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$T_2 = 300 \times \frac{1}{2} = 150 K$.

(C) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે, દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
આપેલ છે: $P_1 = P$, $V_2 = \frac{V_1}{8}$, અને $\gamma = 2.5 = \frac{5}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P \times V_1^{5/2} = P' \times \left( \frac{V_1}{8} \right)^{5/2}$.
$P' = P \times \left( \frac{V_1}{V_1/8} \right)^{5/2}$.
$P' = P \times (8)^{5/2}$.
કારણ કે $8 = 2^3$, તેથી $P' = P \times (2^3)^{5/2} = P \times 2^{15/2}$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે બે અલગ-અલગ અવસ્થાઓ $(P_1, V_1, T_1)$ અને $(P_2, V_2, T_2)$ માટે,સંબંધ નીચે મુજબ રહેશે:
$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $dQ = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$,જ્યાં $dU$ એ આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર છે અને $dW$ એ વાયુ દ્વારા થયેલું કાર્ય છે.
$dQ = 0$ હોવાથી,આપણને $dU = -dW$ મળે છે.
વિસ્તરણ દરમિયાન,વાયુ આસપાસના વાતાવરણ પર કાર્ય કરે છે,તેથી $dW > 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે $dU < 0$,જેનો અર્થ છે કે વાયુની આંતરિક ઊર્જામાં ઘટાડો થાય છે.
આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા તેના તાપમાનના સીધા પ્રમાણમાં $(U \propto T)$ હોવાથી,આંતરિક ઊર્જામાં ઘટાડો થવાથી તાપમાનમાં ઘટાડો થાય છે.
તેથી,એડિબેટિક વિસ્તરણમાં,વાયુનું તાપમાન ઘટે છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$n$ મોલ આદર્શ વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય $W$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$W = \frac{nR(T_i - T_f)}{\gamma - 1}$
આપેલ છે:
$n = 1 \text{ મોલ}$
$T_i = T \ K$
$W = 6R \ J$
$\gamma = 5/3$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$6R = \frac{1 \cdot R(T - T_f)}{(5/3 - 1)}$
$6R = \frac{R(T - T_f)}{2/3}$
$6R = \frac{3R(T - T_f)}{2}$
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા અને $T_f$ માટે ઉકેલતા:
$6 = 1.5(T - T_f)$
$T - T_f = 6 / 1.5 = 4$
$T_f = T - 4$
તેથી,વાયુનું અંતિમ તાપમાન $(T - 4) \ K$ હશે.

(A) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$,અંતિમ કદ $V_2 = V/4$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \, K$,અને $\gamma = 1.5$.
એડિયાબેટિક સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} = T_1 \left( \frac{V}{V/4} \right)^{1.5 - 1} = T_1 (4)^{0.5} = T_1 \times 2$.
આમ,$T_2 = 2 \times 273 = 546 \, K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 546 - 273 = 273 \, K$ છે.

(B) પ્રક્રિયા અચાનક થતી હોવાથી અને પાત્ર ઇન્સ્યુલેટેડ હોવાથી,આ એક એડિબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
આપેલ છે: $P_1 = 10^5 \ N/m^2$,$\gamma = 1.3$,અને $V_2 = \frac{V_1}{2}$.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$
$P_2 = 10^5 \times \left( \frac{V_1}{V_1/2} \right)^{1.3}$
$P_2 = 10^5 \times (2)^{1.3} \ N/m^2$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $2^{1.3} \times 10^5 \ N/m^2$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં $\Delta Q = 0$ હોવાથી,આપણને $\Delta U = -\Delta W$ મળે છે.
સંકોચનના કિસ્સામાં,વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $\Delta W$ ઋણ હોય છે $(\Delta W < 0)$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = -(\text{ઋણ કિંમત})$,જેનું પરિણામ $\Delta U > 0$ મળે છે.
આમ,એડિબેટિક સંકોચન દરમિયાન વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય છે.

(A) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,તંત્રને આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)$ એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર $(\Delta U)$ અને તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્ય $(\Delta W)$ ના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$
એડિબેટિક પ્રક્રિયામાં,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
સમીકરણમાં $\Delta Q = 0$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$0 = \Delta U + \Delta W$
તેથી,$\Delta U = - \Delta W$.

(B) અચાનક થતા સંકોચન માટે,પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે. એડિબેટિક સમીકરણ $P V^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
અંતિમ કદ $V_2 = V/4$ છે.
સંબંધ $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\frac{P_2}{P} = \left( \frac{V}{V/4} \right)^{\gamma} = 4^{\gamma}$.
તેથી,$P_2 = 4^{\gamma} P$.
કોઈપણ વાયુ માટે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ હંમેશા $1$ કરતા વધારે હોય છે (દા.ત.,દ્વિ-પરમાણ્વીય માટે $1.4$,એક-પરમાણ્વીય માટે $1.67$),તેથી $4^{\gamma}$ એ $4$ કરતા વધારે હશે.
આમ,$P_2 > 4P$,જેનો અર્થ છે કે અંતિમ દબાણ $P$ કરતા ઘણું વધારે હશે.

(D) એડિયાબેટિક (સમઉષ્મીય) પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ અને અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V_1}{4}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 4$ થાય.
અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{P_2}{P_1} = (4)^{3/2} = (2^2)^{3/2} = 2^3 = 8$ મળે.
આમ,અંતિમ દબાણ અને પ્રારંભિક દબાણનો ગુણોત્તર $8:1$ છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
આપેલ છે: $n = 1 \, mol$,$\gamma = 1.4$,$R = 8.3 \, J/mol \cdot K$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 35^{\circ}C = 35 + 273 = 308 \, K$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 308 - 300 = 8 \, K$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta U = 1 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times 8$
$\Delta U = \frac{8.3}{0.4} \times 8$
$\Delta U = 8.3 \times 20 = 166 \, J$.
આમ,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $166 \, J$ છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
આથી $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$ થાય.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$.
અંતિમ કદ $V_2 = \frac{V}{4}$.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 1.4$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$T_2 = T_1 \times \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$
$T_2 = 300 \times \left( \frac{V}{V/4} \right)^{1.4 - 1}$
$T_2 = 300 \times (4)^{0.4} \text{ K}$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રક્રિયા એડિબેટિક હોવાથી,ઉષ્માનો વિનિમય $\Delta Q = 0$ થાય છે.
તેથી,$0 = \Delta U + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta W = -\Delta U$.
આપેલ છે કે આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = -50\, J$ છે.
આ કિંમત મૂકતા,આપણને $\Delta W = -(-50\, J) = +50\, J$ મળે છે.
આમ,પ્રક્રિયા દરમિયાન થયેલ કાર્ય $50\, J$ છે.

(B) વાયુનો એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસ $(E_{\phi})$ અને આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસ $(E_{\theta})$ વચ્ચેનો સંબંધ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ દ્વારા નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે:
$E_{\phi} = \gamma E_{\theta}$
તેથી,આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતા મોડ્યુલસનું સૂત્ર:
$E_{\theta} = \frac{E_{\phi}}{\gamma}$
આપેલ છે:
$E_{\phi} = 2.1 \times 10^5 \ N/m^2$
$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$
કિંમતો મૂકતા:
$E_{\theta} = \frac{2.1 \times 10^5}{1.4}$
$E_{\theta} = 1.5 \times 10^5 \ N/m^2$
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.