Adiabatic Process Questions in Gujarati

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \ln(\text{અચળ})$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે: $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$.
નાના ફેરફારો માટે,$\frac{\Delta P}{P} = -\gamma \frac{\Delta V}{V}$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,જેનો અર્થ થાય છે $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$.
વાયુ મોનોએટોમિક હોવાથી,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે. તેથી,$\gamma - 1 = 5/3 - 1 = 2/3$.
સિલિન્ડરમાં વાયુનું કદ $V = A \times L$ છે,જ્યાં $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે અને $L$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
$V_1 = A L_1$ અને $V_2 = A L_2$ મૂકતા,આપણને $\frac{V_2}{V_1} = \frac{A L_2}{A L_1} = \frac{L_2}{L_1}$ મળે છે.
આ કિંમતોને તાપમાનના ગુણોત્તરના સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = K$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
બંને બાજુનું લઘુગણકીય વિકલન લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \ln K$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dP}{P} + \gamma \frac{dV}{V} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{dP}{P} = -\gamma \frac{dV}{V}$.
હવા (દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ) માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
કદમાં થતો ટકાવારી વધારો $\frac{dV}{V} \times 100 = 5\%$ આપેલ છે.
દબાણમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{dP}{P} \times 100 = -\gamma \left( \frac{dV}{V} \times 100 \right)$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dP}{P} \times 100 = -1.4 \times 5 = -7\%$.
ઋણ નિશાની દબાણમાં ઘટાડો સૂચવે છે. તેથી,દબાણમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $7\%$ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે તાપમાન $\sqrt{2}$ ગણું વધે છે, તેથી $T_2 = \sqrt{2}T_1$.
કદ અડધું થાય છે, તેથી $V_2 = V_1 / 2$.
સંબંધ $\frac{T_1}{T_2} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1}$ નો ઉપયોગ કરીને, આપણે કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$\frac{T_1}{\sqrt{2}T_1} = \left( \frac{V_1/2}{V_1} \right)^{\gamma - 1}$
$\frac{1}{\sqrt{2}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\gamma - 1}$
કારણ કે $\frac{1}{\sqrt{2}} = (1/2)^{1/2}$, આપણે ઘાતાંકોને સરખાવીએ છીએ:
$\gamma - 1 = 1/2 \implies \gamma = 3/2$.
એડિબેટિક સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે, તેથી $PV^{3/2} = \text{અચળ}$.

(C) પિસ્ટન સંતુલનમાં હોવાથી,બંને વાયુઓ સમાન અંતિમ દબાણ $P_f$ પર હોવા જોઈએ.
પિસ્ટનનું સ્થાનાંતર $x$ અને આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ આપેલ છે,તેથી ડાબા અને જમણા ભાગના અંતિમ કદ:
$V_L = V_0/2 + Ax$ અને $V_R = V_0/2 - Ax$.
પાત્ર અને પિસ્ટન એડિબેટિક હોવાથી,બંને વાયુઓ એડિબેટિક પ્રક્રિયા અનુભવે છે.
ડાબા વાયુ માટે:
$P_1 (V_0/2)^\gamma = P_f (V_0/2 + Ax)^\gamma$
$P_f = \frac{P_1 (V_0/2)^\gamma}{(V_0/2 + Ax)^\gamma}$ ... $(i)$
જમણા વાયુ માટે:
$P_2 (V_0/2)^\gamma = P_f (V_0/2 - Ax)^\gamma$
$P_f = \frac{P_2 (V_0/2)^\gamma}{(V_0/2 - Ax)^\gamma}$ ... $(ii)$
બંને સમીકરણો અંતિમ દબાણ $P_f$ દર્શાવે છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ અંતિમ દબાણ માટેનું માન્ય સમીકરણ છે.

(A) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
બિંદુ $b$ ($T_1$ તાપમાને) અને $c$ ($T_2$ તાપમાને) ને જોડતા એડિબેટિક વક્ર $bc$ માટે:
$T_1 V_b^{\gamma - 1} = T_2 V_c^{\gamma - 1} \implies \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_b}{V_c} \right)^{\gamma - 1} \dots (i)$
બિંદુ $a$ ($T_1$ તાપમાને) અને $d$ ($T_2$ તાપમાને) ને જોડતા એડિબેટિક વક્ર $ad$ માટે:
$T_1 V_a^{\gamma - 1} = T_2 V_d^{\gamma - 1} \implies \frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_a}{V_d} \right)^{\gamma - 1} \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા, આપણને મળે છે:
$\left( \frac{V_b}{V_c} \right)^{\gamma - 1} = \left( \frac{V_a}{V_d} \right)^{\gamma - 1}$
તેથી, $\frac{V_a}{V_d} = \frac{V_b}{V_c}$.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta E_{int} = \Delta Q - W$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\Delta Q$ એ તંત્રને આપેલી ઉષ્મા છે અને $W$ એ તંત્ર દ્વારા થતું કાર્ય છે.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,આસપાસ સાથે ઉષ્માની કોઈ આપ-લે થતી નથી,તેથી $\Delta Q = 0$ થાય છે.
આ કિંમતને પ્રથમ નિયમના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $\Delta E_{int} = 0 - W$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $\Delta E_{int} = -W$ થાય છે.
તેથી,સાચું વિધાન એ છે કે સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો એ તંત્ર દ્વારા થયેલા કાર્યના ઋણ મૂલ્ય જેટલો હોય છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
અંતિમ દબાણ $P_2$ માટે સૂત્ર બનાવતા,$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$.
અહીં $V_2 = \frac{V_1}{8}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 8$.
કિંમતો મૂકતા,$P_2 = P_1 (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $P_2 = P_1 (2^3)^{5/3} = P_1 (2^5) = 32 P_1$.
આમ,વાયુનું દબાણ પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા $32$ ગણું થશે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $TV^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે: $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$,$V_2 = \frac{8}{27} V_1$,અને $\gamma = 5/3$.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{T_2}{300} = \left( \frac{V_1}{(8/27)V_1} \right)^{5/3 - 1} = \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
ઘાતની ગણતરી કરતા: $\left( \frac{27}{8} \right)^{2/3} = \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{2/3} = \left( \frac{3}{2} \right)^2 = \frac{9}{4} = 2.25$.
તેથી,$T_2 = 300 \times 2.25 = 675 \, K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \, K$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 18^{\circ}C = 18 + 273 = 291 K$.
પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$,અંતિમ કદ $V_2 = V/8$.
જો વાયુ માટે $\gamma = 1.4$ લેવામાં આવે (જે વિકલ્પો મુજબ જરૂરી છે),તો $\gamma - 1 = 0.4$ થાય.
સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = 291 \times (V / (V/8))^{0.4} = 291 \times (8)^{0.4}$.
$T_2 = 291 \times 2.297 \approx 668 K$.
આમ,સાચો જવાબ $668 K$ છે.

(A) હિલિયમ (એકપરમાણ્વિક વાયુ) માટે,સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 5/3$ છે.
$STP$ પર,$1 \ mole$ વાયુનું કદ $22.4 \ L$ હોય છે.
મોલની સંખ્યા $n = \frac{5.6}{22.4} = \frac{1}{4} \ mole$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$.
અહીં $V_1 = 5.6 \ L$ અને $V_2 = 0.7 \ L$ આપેલ છે,તેથી $V_1/V_2 = 8$.
$T_2 = T_1 (V_1/V_2)^{\gamma-1} = T_1 (8)^{5/3 - 1} = T_1 (8)^{2/3} = T_1 (2^3)^{2/3} = 4T_1$.
થયેલું કાર્ય $W = -\frac{nR(T_2 - T_1)}{\gamma - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $W = -\frac{(1/4)R(4T_1 - T_1)}{5/3 - 1} = -\frac{(1/4)R(3T_1)}{2/3} = -\frac{3}{4} R T_1 \times \frac{3}{2} = -\frac{9}{8} RT_1$.
કાર્યનું મૂલ્ય $\frac{9}{8} RT_1$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી આપણે $T$ ના ઘાતાંકોને સરખાવી શકીએ:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 3$
$\gamma = 3(\gamma - 1)$
$\gamma = 3\gamma - 3$
$2\gamma = 3$
$\gamma = 3/2$
જેથી $C_P / C_V$ નો ગુણોત્તર $\gamma$ છે,જેનું મૂલ્ય $3/2$ થાય છે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયામાં,તંત્ર અને પર્યાવરણ વચ્ચે ઉષ્માનો વિનિમય શૂન્ય હોય છે.
અહીં ગેસ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી આંતરિક ઉર્જામાં વધારો થાય છે.
કાર્યને કેલરીમાં ફેરવતા:
$\text{ઉષ્મા} = \frac{1.5 \times 10^4 \, J}{4.18 \, J/\text{cal}} \approx 3.6 \times 10^3 \, \text{cal}$.
આથી,$3.6 \times 10^3 \, \text{cal}$ જેટલી ઉર્જા કાર્ય સ્વરૂપે ગેસમાં ઉમેરાય છે,જે ઉષ્માના સમતુલ્ય મૂલ્ય તરીકે દર્શાવેલ છે.

(C) જ્યારે ટ્યુબ અચાનક ફાટે છે,ત્યારે આ પ્રક્રિયા એડિબેટિક (ઉષ્માઅવાહક) હોય છે કારણ કે આસપાસના વાતાવરણ સાથે ઉષ્માની આપ-લે માટે સમય મળતો નથી.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $T_2 / T_1 = (P_2 / P_1)^{(\gamma - 1) / \gamma}$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 8 \text{ atm}$,અંતિમ દબાણ $P_2 = 1 \text{ atm}$ (વાતાવરણીય દબાણ),અને $\gamma = 1.5$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 / 300 = (1 / 8)^{(1.5 - 1) / 1.5}$.
$T_2 / 300 = (1 / 8)^{0.5 / 1.5} = (1 / 8)^{1/3}$.
કારણ કે $8^{1/3} = 2$,તેથી $T_2 / 300 = 1 / 2$.
આમ,$T_2 = 300 / 2 = 150 \text{ K}$.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$.
આપેલ છે: $P_1 = P$,$V_2 = \frac{V_1}{8}$,અને $\gamma = 2.5 = \frac{5}{2}$.
આ કિંમતો મૂકતા:
$P \times V_1^{5/2} = P' \times \left(\frac{V_1}{8}\right)^{5/2}$.
$P' = P \times \left(\frac{V_1}{V_1/8}\right)^{5/2} = P \times (8)^{5/2}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $P' = P \times (2^3)^{5/2} = P \times 2^{15/2} = P \times 2^{7.5}$.
આમ,$P' = P \times (2)^{7.5}$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ એ સૂત્ર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \, mol$ અને $\Delta T = (T_2 - T_1)$ આપેલ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\Delta U = 1 \times \frac{R}{\gamma - 1} \times (T_2 - T_1)$ મળે છે.
આમ,આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\frac{R}{\gamma - 1}(T_2 - T_1)$ છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે ઉષ્માનો ફેરફાર $Q = 0$ હોય છે. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. તેથી,$\Delta U = -\Delta W$.
અહીં વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી $\Delta W = -146 \times 10^3 \, \text{J}$,એટલે કે $\Delta U = 146 \times 10^3 \, \text{J}$.
આંતરિક ઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n = 10^3 \, \text{mol}$ અને $\Delta T = 7 \, \text{K}$ છે.
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ હોવાથી,કિંમતો મૂકતા: $146 \times 10^3 = 10^3 \times \frac{8.3}{\gamma - 1} \times 7$.
$146 = \frac{58.1}{\gamma - 1} \implies \gamma - 1 = \frac{58.1}{146} \approx 0.3979$.
$\gamma \approx 1.4$.
દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = 1.4$ હોવાથી,આ વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક છે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = k$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma = C_P/C_V = 3/2$ છે.
બંને બાજુ લઘુગણક લેતા: $\ln P + \gamma \ln V = \ln k$.
બંને બાજુ વિકલન કરતા: $\frac{\Delta P}{P} + \gamma \frac{\Delta V}{V} = 0$.
તેથી,$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{1}{\gamma} \frac{\Delta P}{P}$.
આપેલ છે કે $\frac{\Delta P}{P} = \frac{2}{3}\% = \frac{2}{300}$ અને $\gamma = 3/2$,તેથી:
$\frac{\Delta V}{V} = -\frac{1}{3/2} \times \frac{2}{3}\% = -\frac{2}{3} \times \frac{2}{3}\% = -\frac{4}{9}\%$.
ઋણ ચિહ્ન કદમાં ઘટાડો દર્શાવે છે.
આમ,કદમાં થતો ઘટાડો $\frac{4}{9}\%$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $(\Delta U)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_v \Delta T$.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$.
આપેલ છે: $n = 1 \text{ mole}$,$\gamma = 1.4$,$R = 8.3 \text{ J/mol K}$,$T_1 = 27^{\circ}C$,$T_2 = 35^{\circ}C$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 35 - 27 = 8 \text{ K}$.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 1 \times \frac{8.3}{1.4 - 1} \times 8$.
$\Delta U = \frac{8.3}{0.4} \times 8 = 8.3 \times 20 = 166 \text{ J}$.
આમ,આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો $166 \text{ J}$ છે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$,પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 2 \ \text{atm}$,અંતિમ દબાણ $P_2 = 1 \ \text{atm}$ (વાતાવરણનું દબાણ),અને $\gamma = 1.4$.
સંબંધ $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{1.4-1}{1.4}}$
$T_2 = 300 \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{0.4}{1.4}}$
$T_2 = 300 \left( 0.5 \right)^{0.2857}$
$T_2 \approx 300 \times 0.8204 \approx 246.1 \ K$.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ નો ઉપયોગ કરતા,$V = \frac{\mu RT}{P}$ મળે.
આ કિંમત સમોષ્મી સમીકરણમાં મૂકતા: $P \left( \frac{\mu RT}{P} \right)^{\gamma} = \text{અચળ}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$ મળે.
$P$ માટે ગોઠવતા: $P^{1-\gamma} = \frac{\text{અચળ}}{T^{\gamma}} = \text{અચળ} \cdot T^{-\gamma}$.
$P = \text{અચળ} \cdot T^{-\gamma / (1-\gamma)} = \text{અચળ} \cdot T^{\gamma / (\gamma - 1)}$.
$P \propto T^{c}$ સાથે સરખાવતા,$c = \frac{\gamma}{\gamma - 1}$ મળે.
એક-પરમાણ્વિય વાયુ માટે,સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = \frac{5}{3}$ છે.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા: $c = \frac{5/3}{(5/3) - 1} = \frac{5/3}{2/3} = \frac{5}{2} = 2.5$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 1 \ atm = 1 \times 10^5 \ N/m^2$.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 627 + 273 = 900 \ K$.
સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 1.5 = 3/2$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને તાપમાન વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$P_1^{1-\gamma} T_1^{\gamma} = P_2^{1-\gamma} T_2^{\gamma}$.
પદોને ગોઠવતા,$(P_2/P_1)^{1-\gamma} = (T_1/T_2)^{\gamma}$,જેનો અર્થ થાય છે $(P_2/P_1)^{\gamma-1} = (T_2/T_1)^{\gamma}$.
કિંમતો મૂકતા: $(P_2/P_1)^{1.5-1} = (900/300)^{1.5}$.
$(P_2/P_1)^{0.5} = (3)^{1.5}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $P_2/P_1 = (3)^{1.5 \times 2} = 3^3 = 27$.
આમ,$P_2 = 27 \times P_1 = 27 \times 10^5 \ N/m^2$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,થતું કાર્ય $W$ ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ દ્વારા મળે છે: $Q = \Delta U + W$. સમોષ્મી પ્રક્રિયા હોવાથી $Q = 0$,તેથી $W = -\Delta U$ થાય.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \mu C_V(T_2 - T_1)$ છે.
તેથી,$W = -\mu C_V(T_2 - T_1) = \mu C_V(T_1 - T_2)$.
વૈકલ્પિક રીતે,સમોષ્મી કાર્યના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{\gamma - 1}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = C_P - C_V$ અને $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,તેથી $\gamma - 1 = \frac{C_P - C_V}{C_V} = \frac{R}{C_V}$.
આ કિંમત કાર્યના સૂત્રમાં મૂકતા: $W = \frac{\mu R(T_1 - T_2)}{R / C_V} = \mu C_V(T_1 - T_2)$.

(B) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta E_{int} + \Delta W$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta Q = 0$.
તેથી,$0 = \Delta E_{int} + \Delta W$,જેનો અર્થ છે કે $\Delta E_{int} = -\Delta W$.
આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $\Delta E_{int} = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે.
અહીં $n = 1 \text{ kmol} = 1000 \text{ mol}$,$\Delta W = -146 \text{ kJ} = -146 \times 10^3 \text{ J}$,અને $\Delta T = 7 \text{ K}$ આપેલ છે.
$C_V = \frac{-\Delta W}{n \Delta T} = \frac{-(-146 \times 10^3)}{1000 \times 7} = \frac{146}{7} \approx 20.86 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,$C_V = \frac{5}{2} R = 2.5 \times 8.314 \approx 20.78 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
ગણતરી કરેલ $C_V$ નું મૂલ્ય દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,વાયુ દ્વિ-પરમાણ્વિક છે.

(B) આદર્શવાયુની $rms$ ઝડપ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
આપેલ છે કે $rms$ ઝડપ અડધી થાય છે,તેથી $v_{rms,2} = \frac{1}{2} v_{rms,1}$,જેનો અર્થ છે કે $T_2 = \frac{T_1}{4}$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
પુનઃગોઠવણી કરતા,$\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} = \frac{T_1}{T_2} = 4$ મળે છે.
અહીં $\gamma = 1.5 = \frac{3}{2}$ આપેલ છે,તેથી $\gamma - 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$.
આ કિંમત મૂકતા,$\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{1/2} = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$\frac{V_2}{V_1} = 4^2 = 16$.
આમ,કદમાં $16$ ગણો વધારો કરવો પડે.

(A) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જેને $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$, તેથી ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા:
$\frac{\gamma}{\gamma-1} = 3$
$\gamma = 3(\gamma - 1)$
$\gamma = 3\gamma - 3$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
કારણ કે $\frac{C_p}{C_v} = \gamma$, તેથી તેનું મૂલ્ય $1.5$ છે.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ છે.
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
આપેલ કદનો ફેરફાર: $V_2 = \frac{8}{27} V_1$,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = \frac{27}{8}$.
સમોષ્મી સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_2 = 300 \left( \frac{27}{8} \right)^{\frac{5}{3} - 1} = 300 \left( \frac{27}{8} \right)^{2/3}$.
$T_2 = 300 \left( \left( \frac{3}{2} \right)^3 \right)^{2/3} = 300 \left( \frac{3}{2} \right)^2 = 300 \times \frac{9}{4} = 675 \ K$.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1 = 675 - 300 = 375 \ K$ છે.

(C) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^\gamma = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$,અથવા $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$.
અહીં $\gamma = 2.5 = 5/2$ અને નવું કદ $V_2 = \frac{V_1}{8}$ આપેલ છે,તેથી $\frac{V_1}{V_2} = 8$.
આ કિંમતો મૂકતા: $\frac{P'}{P} = (8)^{5/2}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $(2^3)^{5/2} = 2^{15/2}$.
આમ,$P' = P \times 2^{15/2}$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, સમીકરણ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ છે.
સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ $\frac{dP}{dV} = -\gamma \frac{P}{V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમ, ઢાળનું મૂલ્ય એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે (એટલે કે, $|\text{slope}| \propto \gamma$).
એકપરમાણ્વિક વાયુ ($He$ જેવા) માટે, $\gamma = 1.66$, અને દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ ($O_2$ જેવા) માટે, $\gamma = 1.4$ છે.
ચૂંક $\gamma_{monoatomic} > \gamma_{diatomic}$ હોવાથી, એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે સમોષ્મી વક્રનો ઢાળ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ કરતા વધુ તીવ્ર હોય છે.
આપેલ $P-V$ આલેખ પરથી, વક્ર $2$ એ વક્ર $1$ કરતા વધુ તીવ્ર છે.
તેથી, વક્ર $2$ એ એકપરમાણ્વિક વાયુ $(He)$ માટે છે અને વક્ર $1$ એ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ $(O_2)$ માટે છે.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ છે.
તેથી,$T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{V_2}{V_1})^{\gamma - 1}$.
નળાકાર પાત્રનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ હોવાથી,કદ $V = L \times A$ થાય,જ્યાં $L$ એ વાયુના સ્તંભની લંબાઈ છે.
તેથી,$\frac{V_2}{V_1} = \frac{L_2 A}{L_1 A} = \frac{L_2}{L_1}$.
એક પારિમાણ્યિક વાયુ માટે,સમોષ્મી અચળાંક $\gamma = 5/3$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{T_1}{T_2} = (\frac{L_2}{L_1})^{5/3 - 1} = (\frac{L_2}{L_1})^{2/3}$.

(B) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $P_1 V_1^\gamma = P_2 V_2^\gamma$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$V_1 = V$,$V_2 = \frac{V}{32}$,અને $\gamma = 1.4$ છે.
નવું દબાણ $P_2$ શોધવા માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા:
$P_2 = P_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^\gamma$
કિંમતો મૂકતા:
$P_2 = P \left( \frac{V}{V/32} \right)^{1.4}$
$P_2 = P (32)^{1.4}$
આપેલ છે કે $(32)^{1.4} = 128$,તેથી આપણને મળે છે:
$P_2 = 128 P$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$P_1 V_1^{\gamma} = P_2 V_2^{\gamma}$.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
આપેલ છે કે અંતિમ કદ $V_2 = V_1/8$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$P_1 V_1^{5/3} = P_2 (V_1/8)^{5/3}$.
$P_2 = P_1 \times (V_1 / (V_1/8))^{5/3}$.
$P_2 = P_1 \times (8)^{5/3}$.
કારણ કે $8 = 2^3$,તેથી $(2^3)^{5/3} = 2^5 = 32$.
તેથી,$P_2 = 32 P_1$.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન અને દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\frac{T^\gamma}{P^{\gamma-1}} = \text{અચળ}$
તેથી,$\left(\frac{T_i}{T_f}\right)^\gamma = \left(\frac{P_i}{P_f}\right)^{\gamma-1}$,જેનો અર્થ છે કે $P_f = P_i \left(\frac{T_f}{T_i}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$ ...$(i)$
આપેલ છે:
$T_i = 27^{\circ}C = 300 \text{ K}$
$T_f = 927^{\circ}C = 1200 \text{ K}$
$P_i = 2 \text{ atm}$
$\gamma = 1.4$
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$P_f = 2 \times \left(\frac{1200}{300}\right)^{\frac{1.4}{1.4-1}}$
$P_f = 2 \times (4)^{\frac{1.4}{0.4}}$
$P_f = 2 \times (4)^{3.5}$
$P_f = 2 \times (2^2)^{3.5} = 2 \times 2^7 = 2^8 = 256 \text{ atm}$.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{constant}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P T^{\frac{\gamma}{1-\gamma}} = \text{constant}$ તરીકે લખી શકાય છે.
આપેલ છે કે $P \propto T^3$,તેથી $P T^{-3} = \text{constant}$.
$T$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\frac{\gamma}{1-\gamma} = -3$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા:
$\gamma = -3(1-\gamma)$
$\gamma = -3 + 3\gamma$
$2\gamma = 3$
$\gamma = \frac{3}{2} = 1.5$.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,તેથી ગુણોત્તર $1.5$ છે.

(C) આકૃતિમાં એક આદર્શ વાયુને તેના પ્રારંભિક કદ $V_0$ થી $\frac{V_0}{2}$ સુધી વિવિધ પ્રક્રિયાઓ દ્વારા સંકોચવા માટેનો $P-V$ આલેખ દર્શાવેલ છે.
વાયુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય એ $P-V$ વક્રની નીચેના ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
જેમ કે $P-V$ વક્રની નીચેનું ક્ષેત્રફળ એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે મહત્તમ છે,તેથી વાયુ પર કરવામાં આવેલું કાર્ય એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે મહત્તમ હોય છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન અને કદ વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 273 \ K$, અંતિમ કદ $V_2 = 81 V_1$, અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.25$.
અંતિમ તાપમાન $T_2$ માટે સૂત્રને ગોઠવતા:
$T_2 = T_1 \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1}$
કિંમતો મૂકતા:
$T_2 = 273 \times \left( \frac{V_1}{81 V_1} \right)^{1.25 - 1}$
$T_2 = 273 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{0.25}$
કારણ કે $0.25 = \frac{1}{4}$, તેથી:
$T_2 = 273 \times \left( \frac{1}{81} \right)^{1/4}$
$T_2 = 273 \times \frac{1}{(3^4)^{1/4}} = \frac{273}{3} = 91 \ K$
તાપમાનને કેલ્વિનમાંથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે:
$T(^\circ C) = T(K) - 273$
$T(^\circ C) = 91 - 273 = -182 ^\circ C$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્માનો ફેરફાર $\Delta Q = 0$ થાય છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં વાયુ પર કાર્ય કરવામાં આવે છે,તેથી કાર્ય $\Delta W = -90 \ J$ લેવામાં આવે છે.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $0 = \Delta U + (-90 \ J)$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = +90 \ J$ મળે છે.

(C) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે, તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી, $T_1 V_1^{\gamma - 1} = T_2 V_2^{\gamma - 1}$.
આપેલ છે કે તાપમાન બમણું થાય છે, $T_2 = 2 T_1$, તેથી $\frac{T_2}{T_1} = 2$.
આ સંબંધમાં કિંમત મૂકતા: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{V_1}{V_2} \right)^{\gamma - 1} = 2$.
વ્યસ્ત લેતા: $\left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{\gamma - 1} = \frac{1}{2}$.
તેથી, અંતિમ કદ અને પ્રારંભિક કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$ છે.
કોઈપણ વાયુ માટે $\gamma > 1$ હોવાથી, ઘાતાંક $\frac{1}{\gamma - 1} > 1$ થાય છે.
$1/2$ ની $1$ કરતા મોટી ઘાત લેવાથી મળતી કિંમત $1/2$ કરતા ઓછી હોય છે.
આમ, $\frac{V_2}{V_1} < \frac{1}{2}$.

(A) જ્યારે ટાયર ફાટે છે,ત્યારે હવા એડિબેટિક વિસ્તરણ અનુભવે છે. એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે તાપમાન અને દબાણ વચ્ચેનો સંબંધ આ મુજબ છે: $\frac{T_2}{T_1} = \left( \frac{P_2}{P_1} \right)^{\frac{\gamma - 1}{\gamma}}$.
આપેલ છે: $T_1 = 27^\circ C = 300 \text{ K}$,$P_1 = 2 \text{ atm}$,$P_2 = 1 \text{ atm}$ (વાતાવરણીય દબાણ),અને $\gamma = 1.5$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{T_2}{300} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1.5 - 1}{1.5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{0.5}{1.5}} = \left( \frac{1}{2} \right)^{\frac{1}{3}}$.
$2^{1/3} \approx 1.26$ હોવાથી,$\frac{T_2}{300} = \frac{1}{1.26} \approx 0.793$.
$T_2 = 300 \times 0.793 \approx 238 \text{ K}$.
સેલ્સિયસમાં રૂપાંતર: $T_2(^\circ C) = 238 - 273 = -35^\circ C$. સૌથી નજીકનો વિકલ્પ $-33^\circ C$ છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $T V^{\gamma - 1} = \text{constant}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $T \propto V^{1 - \gamma}$.
પ્રશ્ન મુજબ,વાયુ $T \propto V^{-1/2}$ સંબંધનું પાલન કરે છે.
$V$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $1 - \gamma = -1/2$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા,$\gamma = 1 + 1/2 = 3/2 = 1.5$ મળે છે.
કારણ કે $\gamma = C_P/C_V$,તેથી તેનું મૂલ્ય $1.5$ છે.

(D) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને તાપમાન $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $T^\gamma P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P^{1-\gamma} \propto T^{-\gamma}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T^{-\frac{\gamma}{1-\gamma}}$ અથવા $P \propto T^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.
આને આપેલા સંબંધ $P \propto T^C$ સાથે સરખાવતા,આપણને $C = \frac{\gamma}{\gamma-1}$ મળે છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
$\gamma$ ની કિંમત મૂકતા:
$C = \frac{5/3}{5/3 - 1} = \frac{5/3}{2/3} = 5/2$.

(C) પ્રતિવર્તી એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $P V^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
બંને બાજુ $V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$V^{\gamma} \frac{dP}{dV} + P \cdot \gamma V^{\gamma-1} = 0$
ઢાળ $\frac{dP}{dV}$ માટે સૂત્ર:
$\frac{dP}{dV} = -\frac{\gamma P}{V}$
આપેલ કિંમતો $P = 0.7 \times 10^5 \, N/m^2$,$V = 0.0049 \, m^3$,અને $\gamma = 1.4$ છે.
આ કિંમતોને ઢાળના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\text{ઢાળ} = -\frac{1.4 \times (0.7 \times 10^5)}{0.0049}$
$\text{ઢાળ} = -\frac{0.98 \times 10^5}{0.0049}$
$\text{ઢાળ} = -\frac{98000}{0.0049} = -2.0 \times 10^7 \, N/m^5$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_i = 300 \ K$, પ્રારંભિક દબાણ $P_i = P$, અંતિમ દબાણ $P_f = 4P$, અને પ્રક્રિયાનો સંબંધ $PV^{4/3} = \text{constant}$.
આદર્શ વાયુ માટે, $V = \frac{nRT}{P}$.
આપેલ સંબંધમાં $V$ ની કિંમત મૂકતા: $P \left( \frac{nRT}{P} \right)^{4/3} = \text{constant}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $P \cdot P^{-4/3} \cdot T^{4/3} = \text{constant}$, જે $T^{4/3} \cdot P^{-1/3} = \text{constant}$ આપે છે.
તેથી, $\frac{T_f^{4/3}}{P_f^{1/3}} = \frac{T_i^{4/3}}{P_i^{1/3}}$.
$T_f$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $T_f = T_i \left( \frac{P_f}{P_i} \right)^{(1/3) / (4/3)} = T_i \left( \frac{P_f}{P_i} \right)^{1/4}$.
કિંમતો મૂકતા: $T_f = 300 \times \left( \frac{4P}{P} \right)^{1/4} = 300 \times (4)^{1/4} = 300 \times (2^2)^{1/4} = 300 \times 2^{1/2} = 300\sqrt{2} \ K$.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,વાયુ પર થયેલ કાર્ય $W = \frac{nR\Delta T}{1 - \gamma}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 1 \text{ kilo mole} = 1000 \text{ moles}$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$,$\Delta T = 7 \ K$,અને $W = -146 \ kJ = -146000 \ J$ (કાર્ય વાયુ પર થાય છે).
કિંમતો મૂકતા: $-146000 = \frac{1000 \times 8.3 \times 7}{1 - \gamma}$.
$1 - \gamma = -\frac{58100}{146000} \approx -0.3979 \approx -0.4$.
$1 - \gamma = -0.4 \Rightarrow \gamma = 1.4$.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે $\gamma = 1.4$ હોવાથી,વાયુ દ્વિપરમાણ્વીય છે.

(B) એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,થર્મોડાયનેમિક્સનો પ્રથમ નિયમ $dQ = dU + PdV = 0$ છે,તેથી $dU = -PdV$.
આપેલ છે કે $U = V \cdot E = V \cdot (aT^4)$,જ્યાં $a$ અચળાંક છે.
તેથી $dU = d(aVT^4) = a(T^4 dV + 4VT^3 dT)$.
$P = \frac{1}{3} aT^4$ નો ઉપયોગ કરીને $dU = -PdV$ માં કિંમત મૂકતા:
$aT^4 dV + 4aVT^3 dT = -\frac{1}{3} aT^4 dV$.
પદોને ગોઠવતા: $4aVT^3 dT = -\frac{4}{3} aT^4 dV$.
$4aVT^3$ વડે ભાગતા: $\frac{dT}{T} = -\frac{1}{3} \frac{dV}{V}$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા: $\ln T = -\frac{1}{3} \ln V + C$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto V^{-1/3}$.
કારણ કે $V = \frac{4}{3} \pi R^3$,તેથી $V \propto R^3$.
તેથી,$T \propto (R^3)^{-1/3} = \frac{1}{R}$.