રોકેટમાંથી અધોદિશામાં વાયુ બહાર નીકળતાં તે સીધું ઉપર તરફ પ્રવેગિત થાય છે, તે $u$ જેટલી સાપેક્ષ ઝડપથી નાના સમય અંતરાલ $\Delta t$ માં $\Delta m$ દળનો વાયુ બહાર કાઢે છે, તો $t + \Delta t$ અને $t$ સમયે સમગ્ર તંત્રની ગતિઊર્જા ગણો અને દર્શાવો કે આ સમય અંતરાલમાં જે સાધનમાંથી વાયુ બહાર નીકળે તેનાથી થતું કાર્ય $= \frac {1}{2}\Delta mu^2$ છે. (ગુરુત્વાકર્ષણની અસરો અવગણો.)
રોકેટમાંથી અધોદિશામાં વાયુ બહાર નીકળતાં તે સીધું ઉપર તરફ પ્રવેગિત થાય છે, તે $u$ જેટલી સાપેક્ષ ઝડપથી નાના સમય અંતરાલ $\Delta t$ માં $\Delta m$ દળનો વાયુ બહાર કાઢે છે, તો $t + \Delta t$ અને $t$ સમયે સમગ્ર તંત્રની ગતિઊર્જા ગણો અને દર્શાવો કે આ સમય અંતરાલમાં જે સાધનમાંથી વાયુ બહાર નીકળે તેનાથી થતું કાર્ય $= \frac {1}{2}\Delta mu^2$ છે. (ગુરુત્વાકર્ષણની અસરો અવગણો.)
$\mathrm{M}=$ mass of rocket at $t$
$v=$ velocity of rocket at $t$
$\Delta m=$ mass of ejected gas in $\Delta t$
$u=$ relative speed of ejected gas
Consider at time $t+\Delta t$
$(\mathrm{KE})_{t}+(\mathrm{KE})_{\Delta t}=\mathrm{KE}$ of rocket $+\mathrm{KE}$ of gas
$=\frac{1}{2}(\mathrm{M}-\Delta m)(v+\Delta v)^{2}+\frac{1}{2} \Delta m(v-u)^{2}$
$=\frac{1}{2} \mathrm{M} v^{2}+\mathrm{M} v \Delta v-\Delta m v u+\frac{1}{2} \Delta m u^{2}$
$(\mathrm{KE})_{t}=\mathrm{KE}$ of the rocket at time $t=\frac{1}{2} \mathrm{M} v^{2}$
$\Delta \mathrm{K} =(\mathrm{KE})_{t}+(\mathrm{KE})_{\Delta t}-(\mathrm{KE})_{t}$
$=(\mathrm{M} \Delta v-\Delta m u) v+\frac{1}{2} \Delta m u^{2}$
Hence, $\mathrm{M} \frac{d v}{d t}=\frac{d c}{d t}|u|$
$\therefore \mathrm{M} \Delta v=\Delta m u$
$\therefore \Delta \mathrm{K}=\frac{1}{2} \Delta m u^{2}$
Now, by work-energy theorem,
$\Delta \mathrm{K} =\Delta \mathrm{W}$
$\therefore \Delta \mathrm{W} =\frac{1}{2} \Delta m u^{2}$
Similar Questions
$0.5\; kg$ નો એક પદાર્થ સીધી રેખામાં વેગ $v=a x^{3 / 2}$ થી જાય (મુસાફરી કરે) છે, જ્યાં $a=5\; m ^{-1 / 2} s ^{-1}$.તેના $x=0$ થી $x=2\; m $ સ્થાનાંતર દરમિયાન પરિણામી બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
$0.5\; kg$ નો એક પદાર્થ સીધી રેખામાં વેગ $v=a x^{3 / 2}$ થી જાય (મુસાફરી કરે) છે, જ્યાં $a=5\; m ^{-1 / 2} s ^{-1}$.તેના $x=0$ થી $x=2\; m $ સ્થાનાંતર દરમિયાન પરિણામી બળ વડે કેટલું કાર્ય થયું હશે?
$600\,N$ વજનનો એક પુખ્ત વ્યક્તિ $1\,m$ લંબાઈના દરેક પગથીયાને જ્યારે જોગિંગ કરતી વખતે તેના શરીરના ગુરુત્વકેન્દ્રને $0.25\,m$ જેટલું ઉપર લઈ જાય છે. જમીન અને હવાના ઘર્ષણના કારણે ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી તેવું ધારીને જો તે $6\,km$ માટે જોગિંગ કરે તો તેના વડે વપરાતી ઊર્જા ગણો. પુખ્તવયની વ્યક્તિનું શરીર તેણે લીધેલા ખોરાકના $10\,\%$ ઊર્જામાં રૂપાંતર કરી શકવા સમર્થ છે તેમ ગણી જોગિંગને માટે વપરાયેલ ઊર્જાને સરભર કરવા ખોરાકને સમતુલ્ય ઊર્જાની ગણતરી કરો.
$600\,N$ વજનનો એક પુખ્ત વ્યક્તિ $1\,m$ લંબાઈના દરેક પગથીયાને જ્યારે જોગિંગ કરતી વખતે તેના શરીરના ગુરુત્વકેન્દ્રને $0.25\,m$ જેટલું ઉપર લઈ જાય છે. જમીન અને હવાના ઘર્ષણના કારણે ઊર્જાનો વ્યય થતો નથી તેવું ધારીને જો તે $6\,km$ માટે જોગિંગ કરે તો તેના વડે વપરાતી ઊર્જા ગણો. પુખ્તવયની વ્યક્તિનું શરીર તેણે લીધેલા ખોરાકના $10\,\%$ ઊર્જામાં રૂપાંતર કરી શકવા સમર્થ છે તેમ ગણી જોગિંગને માટે વપરાયેલ ઊર્જાને સરભર કરવા ખોરાકને સમતુલ્ય ઊર્જાની ગણતરી કરો.
$10\; g$ દળનો એક કણ $ 6.4\; cm$ ત્રિજયાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ સ્પર્શીય પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. જો ગતિની શરૂઆત પછી બીજું પરિભ્રમણ પૂરું કરે ત્યારે કણની ગતિઊર્જા $8 \times 10^{-4} J $ થઇ જાય, તો આ પ્રવેગનું મૂલ્ય ($m/s^{2}$ માં) કેટલું હશે?
$10\; g$ દળનો એક કણ $ 6.4\; cm$ ત્રિજયાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ સ્પર્શીય પ્રવેગથી ગતિ કરે છે. જો ગતિની શરૂઆત પછી બીજું પરિભ્રમણ પૂરું કરે ત્યારે કણની ગતિઊર્જા $8 \times 10^{-4} J $ થઇ જાય, તો આ પ્રવેગનું મૂલ્ય ($m/s^{2}$ માં) કેટલું હશે?
- [NEET 2016]
$100m$ ઊંચાઇ ધરાવતી ટેકરી પર $20 kg$ નો ગોળો ગતિ કરીને જમીન પર આવીને $30m$ ઊંચાઇ ધરાવતી બીજી ટેકરી પર અને ત્યાંથી $20m$ ઊંચાઇ ધરાવતી ત્રીજી ટેકરી પર આવતાં તેનો વેગ કેટલા .............. $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ થશે?
$100m$ ઊંચાઇ ધરાવતી ટેકરી પર $20 kg$ નો ગોળો ગતિ કરીને જમીન પર આવીને $30m$ ઊંચાઇ ધરાવતી બીજી ટેકરી પર અને ત્યાંથી $20m$ ઊંચાઇ ધરાવતી ત્રીજી ટેકરી પર આવતાં તેનો વેગ કેટલા .............. $\mathrm{m} / \mathrm{s}$ થશે?
- [AIEEE 2005]
$w$ વજનવાળા એક પથ્થરને જમીન પરથી પ્રારંભિક ઝડપ $v_0$ સાથે શિરોલંબ રીતે ઊધ્વદિશામાં ફેકવામાં આવે છે. જો સમગ્ર હવાઈ યાત્રા દરમિયાન પથ્થર પર જો હવાની ઘસડામણને કારણે એક અચળ બળ $f$ કાર્યરત થાય છે. પથ્થરે મેળવેલ મહત્તમ ઉંચાઈ કેટલી હશે?
$w$ વજનવાળા એક પથ્થરને જમીન પરથી પ્રારંભિક ઝડપ $v_0$ સાથે શિરોલંબ રીતે ઊધ્વદિશામાં ફેકવામાં આવે છે. જો સમગ્ર હવાઈ યાત્રા દરમિયાન પથ્થર પર જો હવાની ઘસડામણને કારણે એક અચળ બળ $f$ કાર્યરત થાય છે. પથ્થરે મેળવેલ મહત્તમ ઉંચાઈ કેટલી હશે?