Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(C) ધારો કે બિંદુ $Q$ ની ઊંચાઈ $h$ છે અને બિંદુ $P$ ની ઊંચાઈ $2h$ છે. ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. નીચેની દિશાને ઋણ અને જમીનને ઉગમબિંદુ $(y=0)$ તરીકે લેતા:
$P$ પરના કણ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_P = -5 \, m/s$,સ્થાનાંતર $s_P = -2h$. $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$-2h = -5t - 5t^2$,જેનું સાદું રૂપ $2h = 5t + 5t^2$ (સમીકરણ $1$) થાય છે.
$Q$ પરના કણ માટે: પ્રારંભિક વેગ $u_Q = +5 \, m/s$,સ્થાનાંતર $s_Q = -h$. $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,$-h = 5t - 5t^2$,જેનું સાદું રૂપ $h = 5t^2 - 5t$ (સમીકરણ $2$) થાય છે.
સમીકરણ $2$ માંથી $h$ ની કિંમત સમીકરણ $1$ માં મૂકતા: $2(5t^2 - 5t) = 5t + 5t^2 \Rightarrow 10t^2 - 10t = 5t + 5t^2 \Rightarrow 5t^2 = 15t$. $t \neq 0$ હોવાથી,$t = 3 \, s$ મળે છે.
હવે,$t = 3$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $h = 5(3)^2 - 5(3) = 45 - 15 = 30 \, m$.
$P$ અને $Q$ વચ્ચેનું અંતર $PQ = 2h - h = h = 30 \, m$ છે. આમ,$(a)$ અને $(b)$ બંને સાચા છે.

(C) જાદુગર હવામાં $4$ દડા રાખે છે. ક્રમિક દડા ફેંકવા વચ્ચેનો સમયગાળો $T = 1/4 \, s$ છે.
કુલ $4$ દડા હોવાથી,એક દડાનો હવામાં રહેવાનો કુલ સમય (ઉડ્ડયન સમય) $T_{flight} = 4 \times T = 4 \times (1/4) = 1 \, s$ હોવો જોઈએ.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = T_{flight} / 2 = 1 / 2 = 0.5 \, s$ છે.
શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકાયેલા દડા માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
$v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - (10)(0.5)$,તેથી $u = 5 \, m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{5^2}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = 1.25 \, m$ મળે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ટોચ પરથી નીચેની ગતિ માટે $H = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા: $H = \frac{1}{2} \times 10 \times (0.5)^2 = 5 \times 0.25 = 1.25 \, m$.

(C) ધારો કે ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે અને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ: $H = \frac{1}{2} gt^2$ --- $(1)$
છેલ્લી સેકન્ડમાં,પદાર્થ કુલ ઊંચાઈના $7/16$ ભાગ જેટલું અંતર કાપે છે,જેનો અર્થ છે કે તે પ્રથમ $(t-1)$ સેકન્ડમાં $H - \frac{7}{16}H = \frac{9}{16}H$ જેટલું અંતર કાપે છે.
તેથી,$\frac{9}{16}H = \frac{1}{2} g(t-1)^2$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{H}{\frac{9}{16}H} = \frac{\frac{1}{2} gt^2}{\frac{1}{2} g(t-1)^2}$
$\frac{16}{9} = \frac{t^2}{(t-1)^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{4}{3} = \frac{t}{t-1}$
$4(t-1) = 3t$
$4t - 4 = 3t$
$t = 4 \ s$

(C) $1$. જે ક્ષણે પથ્થરને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તે જડત્વને કારણે ફુગ્ગા જેટલો જ વેગ ધરાવે છે. તેથી,મુક્ત કર્યા પછી તરત જ પથ્થરનો વેગ $v$ (ઉપરની તરફ) હોય છે.
$2$. એકવાર પથ્થર મુક્ત થઈ જાય પછી,તે ફુગ્ગાના સંપર્કમાં રહેતો નથી અને માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે.
$3$. પથ્થર પર લાગતું એકમાત્ર બળ તેનું વજન છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે.
$4$. ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,પથ્થરનો પ્રવેગ $F/m = mg/m = g$ છે.
$5$. આમ,પથ્થરનો પ્રવેગ $g$ (નીચેની તરફ) છે.

(A) ધારો કે ગતિનો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$ છે.
પ્રથમ $3$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_3 = ut + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 3^2 = 45\,m$ છે.
ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{last} = u + \frac{g}{2}(2n - 1) = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_{last} = S_3$,તેથી $5(2n - 1) = 45$.
$2n - 1 = 9 \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5\,s$.
કુલ ઊંચાઈ $h$ એ $5$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર છે: $h = \frac{1}{2}gn^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 5^2 = 5 \times 25 = 125\,m$.

(D) જ્યારે પદાર્થોને સમાન ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તેઓ ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
ગતિના સમીકરણો મુજબ,મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો પ્રવેગ તેના દળ પર આધારિત નથી અને તે ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ જેટલો હોય છે.
બંને ગોળાઓ સમાન ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવ્યા હોવાથી અને જમીનથી સમાન સ્થાને ($1\, m$ ઉપર) હોવાથી,તેમનો વેગ સમાન હશે.
જોકે,વેગમાન $(p = mv)$,ગતિ ઉર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$,અને સ્થિતિ ઉર્જા $(U = mgh)$ એ ત્રણેય પદાર્થના દળ પર આધાર રાખે છે.
દળ અલગ-અલગ ($2\, kg$ અને $4\, kg$) હોવાથી,તેમનું વેગમાન,ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જા અલગ-અલગ હશે.
તેથી,માત્ર પ્રવેગ જ એવી રાશિ છે જે બંને ગોળાઓ માટે સમાન રહેશે,જે $g$ છે.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરતા કણ માટે,પ્રવેગ હંમેશા ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $(g)$ જેટલો હોય છે,જે આશરે $9.8\,ms^{-2}$ નીચેની તરફ હોય છે.
ગતિ દરમિયાન પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 1\,s$ સમયે પ્રવેગ $a_1 = 9.8\,ms^{-2}$ છે.
તે જ રીતે,$t = 2\,s$ સમયે પ્રવેગ $a_2 = 9.8\,ms^{-2}$ છે.
પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{9.8}{9.8} = 1$ થાય છે.

(C) પદાર્થને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $v = u - gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
અહીં $u = 19.6 \, ms^{-1}$ અને $g = 9.8 \, ms^{-2}$ આપેલ છે.
$0 = 19.6 - 9.8 \times t$
$t = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$.
ઉપર જવા માટે લાગતો સમય અને નીચે આવવા માટે લાગતો સમય સમાન હોવાથી,પદાર્થ $2 \, s + 2 \, s = 4 \, s$ પછી શરૂઆતના બિંદુ પર પાછો આવશે.

(B) ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $y(t) = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આલેખ પરથી,દડો $t_1 = 1\,s$ અને $t_4 = 6\,s$ સમયે સમાન ઊંચાઈ પર છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_4 = 1 + 6 = 7\,s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટેનો સમય $t_{max} = \frac{T}{2} = 3.5\,s$ છે.
$t_{max} = 3.5\,s$ સમયે,વેગ શૂન્ય થાય છે,તેથી $u = gt_{max} = 7.5 \times 3.5 = 26.25\,m/s$.
$t = 2\,s$ સમયે ઊંચાઈ $y(2) = u(2) - \frac{1}{2}g(2)^2 = 26.25(2) - 0.5(7.5)(4) = 52.5 - 15 = 37.5\,m$ છે.
$t = 1\,s$ સમયે ઊંચાઈ $y(1) = u(1) - \frac{1}{2}g(1)^2 = 26.25(1) - 0.5(7.5)(1) = 26.25 - 3.75 = 22.5\,m$ છે.
ઊંચાઈ $h$ એ $t = 2\,s$ અને $t = 1\,s$ સમયની ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે: $h = y(2) - y(1) = 37.5 - 22.5 = 15\,m$.

(A) ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h$ એ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટેના ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $h = \frac{1}{2}gT^2$.
$t = T/3$ સમયે,દડા દ્વારા ટોચથી કાપેલું અંતર $h'$ છે: $h' = \frac{1}{2}g(T/3)^2 = \frac{1}{2}g(T^2/9) = \frac{1}{9}(\frac{1}{2}gT^2) = \frac{h}{9}$.
જમીનથી દડાનું સ્થાન એ કુલ ઊંચાઈમાંથી ટોચથી કાપેલું અંતર બાદ કરવાથી મળે છે: $h_{ground} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9}$ મીટર.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $n$ સમય માટે પડે છે. તેનું સ્થાનાંતર $y_1 = \frac{1}{2} g n^2$ છે.
બીજો પદાર્થ $N$ સમયના અંતરાલ પછી શરૂ થાય છે,તેથી તે $(n - N)$ સમય માટે પડે છે. તેનું સ્થાનાંતર $y_2 = \frac{1}{2} g (n - N)^2$ છે.
બંને પદાર્થો વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર $1 \, m$ આપેલું છે,તેથી $y_1 - y_2 = 1$.
પદોને મૂકતા: $\frac{1}{2} g n^2 - \frac{1}{2} g (n - N)^2 = 1$.
$(n - N)^2 = n^2 - 2nN + N^2$ પદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{g}{2} [n^2 - (n^2 - 2nN + N^2)] = 1$.
$\frac{g}{2} [2nN - N^2] = 1$.
$gNn - \frac{gN^2}{2} = 1$.
$gNn = 1 + \frac{gN^2}{2}$.
$gN$ વડે ભાગતા: $n = \frac{1}{gN} + \frac{N}{2}$.

(A) પેકેટનો પ્રારંભિક વેગ ફુગ્ગાના વેગ જેટલો જ હોય છે,તેથી $u = 12\,ms^{-1}$.
પેકેટ ઊંચાઈ પરથી છોડવામાં આવતું હોવાથી,જ્યારે તે જમીન પર પહોંચે ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -65\,m$ થાય (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -10\,ms^{-2}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-65 = 12t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-65 = 12t - 5t^2$
$5t^2 - 12t - 65 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$t = \frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2 - 4(5)(-65)}}{2(5)}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{144 + 1300}}{10}$
$t = \frac{12 \pm \sqrt{1444}}{10}$
$t = \frac{12 \pm 38}{10}$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી આપણે $t = \frac{12 + 38}{10} = \frac{50}{10} = 5\,s$ લઈશું.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના મહત્તમ બિંદુએ તેનો વેગ $0 \ m/s$ થઈ જાય છે.
જોકે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના પર સતત કાર્યરત રહે છે,જેના પરિણામે $g \approx 9.8 \ m/s^2$ જેટલો નીચેની તરફનો પ્રવેગ લાગે છે.
આમ,કોઈ ચોક્કસ ક્ષણે વેગ શૂન્ય હોવા છતાં પદાર્થનો પ્રવેગ હોઈ શકે છે.
તેથી,$Assertion$ સાચું છે.
જ્યારે પદાર્થ તેની ગતિની દિશા બદલે છે,ત્યારે વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરતા પહેલા તે ક્ષણિક સ્થિર (વેગ શૂન્ય) થાય છે.
વેગમાં આ ફેરફાર પદાર્થ પર લાગતા પ્રવેગને કારણે થાય છે.
તેથી,$Reason$ સાચું છે અને તે $Assertion$ માટે યોગ્ય સમજૂતી આપે છે.

$(A)$ જ્યારે કોઈ પદાર્થને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, ત્યારે તે $H = \frac{u^2}{2g}$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે。
મહત્તમ ઊંચાઈ માત્ર પ્રારંભિક વેગ $u$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધારિત હોવાથી, તે પદાર્થના દળ $m$ થી સ્વતંત્ર છે。
ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, પ્રક્ષેપણ બિંદુ પર ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mu^2$ હોય છે। જ્યારે પદાર્થ તે જ બિંદુ પર પાછો ફરે છે, ત્યારે તેની સ્થિતિઊર્જા શરૂઆત જેટલી જ હોય છે, તેથી તેની ગતિઊર્જા સમાન હોવી જોઈએ, જેનો અર્થ છે કે તેની ઝડપ $v = u$ થાય。
આમ, મહત્તમ ઊંચાઈ અને પ્રક્ષેપણ બિંદુ પરની અંતિમ ઝડપ બંને દડાના દળથી સ્વતંત્ર છે。
તેથી, $Assertion$ અને $Reason$ બંને સાચા છે, અને $Reason$ એ $Assertion$ ની સાચી સમજૂતી છે।

(A) ઉપરની ગતિ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ પર અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને,ગતિની છેલ્લી સેકન્ડ માટે,તે છેલ્લી સેકન્ડની શરૂઆતમાં પ્રારંભિક વેગ $u' = v - at = 0 - (-g)(1) = g$ થાય છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $s = u't + \frac{1}{2}at^2 = g(1) + \frac{1}{2}(-g)(1)^2 = g - \frac{g}{2} = \frac{g}{2}$ છે.
$g \approx 10 \ m/s^2$ લેતા,આપણને $s = \frac{10}{2} = 5 \ m$ મળે છે.
આ અંતર પ્રક્ષેપણના પ્રારંભિક વેગથી સ્વતંત્ર છે.
Reason પણ સાચું છે કારણ કે ગતિ સંમિત છે; ઉપરની ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર એ સ્થિર સ્થિતિ $(u=0)$ થી શરૂ થતા મુક્ત પતન (નીચેની ગતિ) ની પ્રથમ સેકન્ડમાં કપાયેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
આમ,Assertion અને Reason બંને સાચા છે,અને Reason એ Assertion ની સાચી સમજૂતી છે.

(B) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ (કારણ કે પાણી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડે છે),પ્રવેગ $a = g = 9.8 \ m/s^2$,અને સ્થાનાંતર $s = 19.6 \ m$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$v^2 - 0^2 = 2 \times 9.8 \times 19.6$
$v^2 = 2 \times 9.8 \times (2 \times 9.8)$
$v^2 = (2 \times 9.8)^2$
$v = 2 \times 9.8 = 19.6 \ m/s$.
તેથી,ટર્બાઇન પાસે પાણીનો વેગ $19.6 \ m/s$ છે.

(D) અચળ પ્રવેગ $a$ હેઠળ $h$ અંતર કાપવા માટે પદાર્થને લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{a}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જ્યારે એલિવેટર સ્થિર હોય છે,ત્યારે તેનો પ્રવેગ $0$ હોય છે,તેથી તળિયાની સાપેક્ષમાં સિક્કાનો અસરકારક પ્રવેગ $g$ થાય છે.
જ્યારે એલિવેટર સમાન વેગથી (અચળ વેગ) ગતિ કરતી હોય,ત્યારે પણ તેનો પ્રવેગ $0$ હોય છે. તેથી,તળિયાની સાપેક્ષમાં સિક્કાનો અસરકારક પ્રવેગ $g$ જ રહે છે.
બંને કિસ્સામાં અસરકારક પ્રવેગ સમાન $(a_{real} = g)$ હોવાથી,સિક્કાને તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય સમાન હોય છે.
આમ,$t_{1} = t_{2}$.

(B) ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ સેકન્ડ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ (સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે):
કુલ અંતર $100\; m$ માટે,$100 = \frac{1}{2}aT^2 \implies T = \sqrt{\frac{200}{a}}$.
છેલ્લી $\frac{1}{2}\; s$ માં,દડો $19\; m$ અંતર કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે $(T - 0.5)\; s$ સમયમાં,દડો $(100 - 19) = 81\; m$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$81 = \frac{1}{2}a(T - 0.5)^2 \implies T - 0.5 = \sqrt{\frac{162}{a}}$.
$T = \sqrt{\frac{200}{a}}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\sqrt{\frac{200}{a}} - 0.5 = \sqrt{\frac{162}{a}}$
$\frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{a}} - \frac{9\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = 0.5$
$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{a}} = 0.5$
$\sqrt{\frac{2}{a}} = \frac{1}{2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $\frac{2}{a} = \frac{1}{4} \implies a = 8\; m/s^2$.

(B) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ ઉપરની દિશામાં $v_0 = 20 \; m s^{-1}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,દડાનો અંતિમ વેગ $v = 0 \; m s^{-1}$ થાય છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $a = -g = -10 \; m s^{-2}$ છે.
ધારો કે દડો પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $h$ જેટલી મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = v_0^2 + 2ah$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0^2 = (20)^2 + 2(-10)h$
$0 = 400 - 20h$
$20h = 400$
$h = 20 \; m$.
તેથી,દડો પ્રક્ષેપણ બિંદુથી $20 \; m$ ઊંચે જશે.

(C) ધારો કે જમીન ઉગમબિંદુ $(y = 0)$ છે અને શિરોલંબ ઉપરની દિશા ધન છે.
પ્રારંભિક સ્થાન $y_0 = 25 \; m$,પ્રારંભિક વેગ $v_0 = 20 \; m s^{-1}$,અને પ્રવેગ $a = -g = -10 \; m s^{-2}$.
કોઈપણ સમયે $t$ પર દડાનું સ્થાન ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$
જ્યારે દડો જમીન પર અથડાય છે,ત્યારે $y = 0$. કિંમતો મૂકતા:
$0 = 25 + 20t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$0 = 25 + 20t - 5t^2$
$-5$ વડે ભાગતા:
$t^2 - 4t - 5 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 5)(t + 1) = 0$
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $t = 5 \; s$ લઈએ છીએ.

(N/A) પૃથ્વીની સપાટીની નજીક મુક્ત કરવામાં આવેલ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચેની તરફ પ્રવેગિત થાય છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગનું મૂલ્ય $g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે. જો હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે,તો પદાર્થ મુક્ત પતનમાં છે તેમ કહેવાય છે. જો પદાર્થ જે ઊંચાઈએથી પડે છે તે પૃથ્વીની ત્રિજ્યાની સરખામણીમાં નાની હોય,તો $g$ ને અચળ ગણી શકાય,જે $9.8 \ m \ s^{-2}$ જેટલું હોય છે. આમ,મુક્ત પતન એ સમાન પ્રવેગી ગતિનું ઉદાહરણ છે.
આપણે ધારીએ છીએ કે ગતિ $y$-દિશામાં છે,વધુ ચોક્કસ રીતે $-y$-દિશામાં છે કારણ કે આપણે ઉપરની દિશાને ધન તરીકે પસંદ કરીએ છીએ. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ હંમેશા નીચેની તરફ હોવાથી,તે ઋણ દિશામાં છે અને આપણી પાસે $a = -g = -9.8 \ m \ s^{-2}$ છે.
પદાર્થને $y = 0$ પર સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે. તેથી,$v_0 = 0$ અને ગતિના સમીકરણો નીચે મુજબ બને છે:
$v = 0 - gt = -9.8t \ m \ s^{-1}$
$y = 0 - 1/2 gt^2 = -4.9t^2 \ m$
$v^2 = 0 - 2gy = -19.6y \ m^2 \ s^{-2}$
આ સમીકરણો સમયના વિધેય તરીકે વેગ અને કાપેલું અંતર આપે છે અને અંતર સાથે વેગમાં થતો ફેરફાર પણ દર્શાવે છે. પ્રવેગ,વેગ અને અંતરનો સમય સાથેનો ફેરફાર આકૃતિઓમાં દર્શાવેલ છે.

(N/A) ધારો કે મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિના સમયગાળાને આપણે ઘણા સમાન અંતરાલો $\tau$ માં વિભાજિત કરીએ અને ક્રમિક સમયગાળા દરમિયાન કાપેલ અંતર શોધીએ। પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી, સમય $t$ પર સ્થાન $y$ નીચે મુજબ મળે છે:
$y = -\frac{1}{2} g t^2$
આ સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને, આપણે $t = 0, \tau, 2\tau, 3\tau, \dots$ સમયગાળા પછી પદાર્થનું સ્થાન ગણીએ છીએ। જો આપણે $y_0 = -\frac{1}{2} g \tau^2$ ને પ્રથમ અંતરાલ $\tau$ પછીનું સ્થાન ગણીએ, તો $n\tau$ સમયે સ્થાન $n^2 y_0$ થશે। $n$ માં અંતરાલમાં કાપેલું અંતર એ $n\tau$ અને $(n-1)\tau$ સમયના સ્થાન વચ્ચેનો તફાવત છે:
$n$ માં અંતરાલમાં અંતર $= |n^2 y_0 - (n-1)^2 y_0| = |(n^2 - (n^2 - 2n + 1)) y_0| = (2n - 1) |y_0|$.
$n = 1, 2, 3, 4, \dots$ માટે, અંતર $1|y_0|, 3|y_0|, 5|y_0|, 7|y_0|, \dots$ મળે છે। આમ, અંતરનો ગુણોત્તર $1: 3: 5: 7: \dots$ છે, જે એકી સંખ્યાઓ છે। આ નિયમ ગેલેલિયો ગેલીલી ($1564$-$1642$) દ્વારા સ્થાપિત કરવામાં આવ્યો હતો, જેઓ મુક્ત પતનનો જથ્થાત્મક અભ્યાસ કરનાર પ્રથમ વ્યક્તિ હતા।

(C) ફૂટપટ્ટી મુક્ત પતન હેઠળ નીચે પડે છે. તેથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 9.8 \; m/s^2$ છે.
કાપેલું અંતર $d$ અને પ્રતિક્રિયા સમય $t_r$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા સંબંધિત છે:
$d = ut_r + \frac{1}{2}gt_r^2$
અહીં $u = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$d = \frac{1}{2}gt_r^2$
$t_r = \sqrt{\frac{2d}{g}}$
આપેલ છે કે $d = 21.0 \; cm = 0.21 \; m$ અને $g = 9.8 \; m/s^2$:
$t_r = \sqrt{\frac{2 \times 0.21}{9.8}}$
$t_r = \sqrt{\frac{0.42}{9.8}}$
$t_r = \sqrt{0.0428} \approx 0.207 \; s$
આમ,પ્રતિક્રિયા સમય આશરે $0.2 \; s$ છે.

(B) દડા પર લાગતો પ્રવેગ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $(g)$ છે.
દડાની ગતિની દિશા ગમે તે હોય (ભલે તે ઉપરની તરફ જતો હોય કે નીચેની તરફ આવતો હોય),ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ એટલે કે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં જ લાગે છે.
તેથી,પ્રવેગની દિશા નીચેની તરફ છે.

(A) મહત્તમ ઊંચાઈએ,દડાનો વેગ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય થઈ જાય છે કારણ કે તે ઉપરની દિશામાંથી નીચેની દિશામાં ગતિ બદલે છે.
ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ એ પદાર્થ પર તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન લાગતું અચળ બળ છે,જે તેના સ્થાન કે વેગ પર આધારિત નથી.
તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ વેગ $0\; m s^{-1}$ છે અને પ્રવેગ $9.8\; m s^{-2}$ છે જે નીચેની તરફ લાગે છે.

(N/A) આપેલ છે કે મહત્તમ ઊંચાઈ $x=0$ છે અને નીચેની દિશા ધન છે:
$1$. ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન: દડો મહત્તમ ઊંચાઈ (જે $x=0$ છે) ની ઉપર છે,તેથી સ્થાન $x$ ઋણ છે. દડો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે (ધન $x$-અક્ષની વિરુદ્ધ દિશામાં),તેથી વેગ $v$ ઋણ છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ $g$ હંમેશા નીચેની તરફ લાગે છે,જે ધન દિશા છે,તેથી પ્રવેગ $a$ ધન છે.
$2$. નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન: દડો મહત્તમ ઊંચાઈની નીચે છે,તેથી સ્થાન $x$ ધન છે. દડો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે (ધન $x$-અક્ષની દિશામાં),તેથી વેગ $v$ ધન છે. ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ લાગે છે,જે ધન દિશા છે,તેથી પ્રવેગ $a$ ધન છે.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 29.4 \; m s^{-1}$,મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \; m s^{-1}$,પ્રવેગ $a = -g = -9.8 \; m s^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v^{2} - u^{2} = 2as$:
$0^{2} - (29.4)^{2} = 2(-9.8)s$
$s = \frac{-(29.4)^{2}}{-19.6} = \frac{864.36}{19.6} = 44.1 \; m$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને ઉપર જવાનો સમય $(t_{a})$ શોધીએ:
$0 = 29.4 + (-9.8)t_{a}$
$t_{a} = \frac{-29.4}{-9.8} = 3 \; s$.
ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાનો સમય સમાન હોવાથી,ખેલાડીના હાથમાં પાછા આવવા માટે લાગતો કુલ સમય $T = t_{a} + t_{d} = 3 + 3 = 6 \; s$ થાય.

(N/A) દડાને $s = 90 \; m$ ની ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $a = g = 9.8 \; m/s^2$.
જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$: $s = ut + (1/2)at^2 \implies 90 = 0 + (1/2) \times 9.8 \times t^2 \implies t = \sqrt{18.367} \approx 4.29 \; s$.
પ્રથમ અથડામણ પહેલાંનો અંતિમ વેગ: $v = u + at = 0 + 9.8 \times 4.29 = 42.04 \; m/s$.
ઉછળ્યા પછીનો વેગ $u_r = (9/10)v = 0.9 \times 42.04 = 37.84 \; m/s$.
પ્રથમ ઉછાળા પછી મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય: $v = u_r + at' \implies 0 = 37.84 - 9.8 \times t' \implies t' = 3.86 \; s$.
દડાને ફરીથી જમીન પર આવવા માટે લાગતો કુલ સમય: $t + 2t' = 4.29 + 2 \times 3.86 = 12.01 \; s$.
બીજી અથડામણ પહેલાંનો વેગ: $v_2 = 37.84 - 9.8 \times 3.86 = 0 \; m/s$ (મહત્તમ ઊંચાઈએ),ત્યારબાદ તે ફરીથી $37.84 \; m/s$ ના વેગથી જમીન પર અથડાશે.
બીજી અથડામણ પછી,નવો ઉછાળાનો વેગ $u_{r2} = (9/10) \times 37.84 = 34.06 \; m/s$ થશે.

(N/A) ના,તે યોગ્ય નથી. $t < 0$ માટે સીધી રેખામાં અને $t > 0$ માટે પરવલયાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનો $x-t$ આલેખ આપેલા આલેખ દ્વારા દર્શાવી શકાય નહીં.
આનું કારણ એ છે કે આલેખ દર્શાવે છે કે $t < 0$ માટે કણ સ્થિર $(x = 0)$ છે અને ત્યારબાદ $t > 0$ માટે તે પ્રવેગ સાથે ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે.
આ આલેખ માટે એક યોગ્ય ભૌતિક સંદર્ભ એ છે કે એક દડાને $x = 0$ ઊંચાઈ પર પકડી રાખવામાં આવે અને $t = 0$ સમયે તેને મુક્ત પતન કરવા દેવામાં આવે.

(N/A) આપેલ $v-t$ આલેખમાં,વેગની સંજ્ઞા સમયાંતરે બદલાય છે અને સમય જતાં તેનું મૂલ્ય ઘટતું જાય છે.
આ દર્શાવે છે કે પદાર્થ અચળ પ્રવેગ (ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે) સાથે ગતિ કરી રહ્યો છે,પરંતુ દરેક અથડામણ પછી તેના વેગમાં ઘટાડો થાય છે.
આ આલેખ માટે એક યોગ્ય ભૌતિક પરિસ્થિતિ એ છે કે જ્યારે કોઈ દડાને ઊંચાઈ પરથી સખત જમીન પર પાડવામાં આવે.
જ્યારે દડો જમીન સાથે અથડાય છે,ત્યારે અથડામણ દરમિયાન ઉર્જાના વ્યયને કારણે તે અથડાયા પહેલાના વેગ કરતા ઓછા વેગ સાથે ઉછળે છે.
આ પ્રક્રિયા દરેક ઉછાળા સાથે પુનરાવર્તિત થાય છે,જેના પરિણામે મહત્તમ વેગ અને બે ઉછાળા વચ્ચેનો સમયગાળો ઘટતો જાય છે,જ્યાં સુધી દડો અંતે સ્થિર ન થઈ જાય.

(10 S, 10 S) દડાનો પ્રારંભિક વેગ,$u = 49\; m s^{-1}$.
ગુરુત્વપ્રવેગ,$a = -g = -9.8\; m s^{-2}$.
કિસ્સો $I$: જ્યારે લિફ્ટ સ્થિર હોય.
દડાની ઉપરની ગતિને ધ્યાનમાં લેતા,મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,ઉપર જવાનો સમય $t_a$:
$t_a = \frac{v - u}{a} = \frac{0 - 49}{-9.8} = 5\; s$.
ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાનો સમય સમાન હોવાથી,કુલ સમય $T = t_a + t_d = 5 + 5 = 10\; s$ થાય.
કિસ્સો $II$: જ્યારે લિફ્ટ $5\; m s^{-1}$ ના સમાન વેગથી ઉપર જાય છે.
લિફ્ટ સમાન વેગથી ગતિ કરતી હોવાથી તેનો પ્રવેગ $0$ છે. છોકરાની સાપેક્ષમાં દડાનો સાપેક્ષ વેગ $49\; m s^{-1}$ જ રહે છે. સંદર્ભ ફ્રેમ (લિફ્ટ) જડત્વીય હોવાથી,દડાને પાછા આવતા લાગતો સમય $10\; s$ જ રહેશે.

(N/A) પ્રથમ પથ્થર માટે:
પ્રારંભિક વેગ,$u_{1} = 15 \; m s^{-1}$
પ્રવેગ,$a = -g = -10 \; m s^{-2}$
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$x_{1} = x_{0} + u_{1}t + \frac{1}{2}at^{2}$
ટેકરીની ઊંચાઈ $x_{0} = 200 \; m$ આપેલ છે,તેથી $x_{1} = 200 + 15t - 5t^{2} \; \dots (i)$
જ્યારે આ પથ્થર જમીન પર અથડાય છે,ત્યારે $x_{1} = 0$,તેથી $-5t^{2} + 15t + 200 = 0 \implies t^{2} - 3t - 40 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(t - 8)(t + 5) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 8 \; s$.
બીજા પથ્થર માટે:
પ્રારંભિક વેગ,$u_{2} = 30 \; m s^{-1}$
પ્રવેગ,$a = -g = -10 \; m s^{-2}$
$x_{2} = 200 + 30t - 5t^{2} \; \dots (ii)$
જ્યારે આ પથ્થર જમીન પર અથડાય છે,ત્યારે $x_{2} = 0$,તેથી $-5t^{2} + 30t + 200 = 0 \implies t^{2} - 6t - 40 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા,$(t - 10)(t + 4) = 0$. $t > 0$ હોવાથી,$t = 10 \; s$.
$0 \le t \le 8 \; s$ માટે,બંને પથ્થરો હવામાં છે:
$x_{2} - x_{1} = (200 + 30t - 5t^{2}) - (200 + 15t - 5t^{2}) = 15t$.
આ આલેખના સીધા રેખા ભાગને દર્શાવતું રેખીય સમીકરણ છે.
$8 \; s < t \le 10 \; s$ માટે,માત્ર બીજો પથ્થર હવામાં છે $(x_{1} = 0)$:
$x_{2} - x_{1} = x_{2} - 0 = 200 + 30t - 5t^{2}$.
આ આલેખના વક્ર ભાગને દર્શાવતું દ્વિઘાત સમીકરણ છે.

(A) અવાજ સંભળાય ત્યાં સુધીનો કુલ સમય એ પથ્થરને નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને અવાજને પાછા ટોચ પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$ નો સરવાળો છે.
$1$. પથ્થરને પાણી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$:
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$s = 300 \; m$,અને $g = 9.8 \; m s^{-2}$:
$300 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2$
$t_1^2 = \frac{600}{9.8} \approx 61.22$
$t_1 = \sqrt{61.22} \approx 7.82 \; s$
$2$. અવાજને ટોચ પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$:
$t_2 = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$t_2 = \frac{300}{340} \approx 0.88 \; s$
$3$. કુલ સમય $(t)$:
$t = t_1 + t_2 = 7.82 + 0.88 = 8.7 \; s$.

(N/A) ગેલિલિયોએ તારણ કાઢ્યું કે મુક્ત પતન કરતા તમામ પદાર્થો માટે સમય સાથે વેગમાં થતો ફેરફાર (પ્રવેગ) એ ગતિનો અચળાંક છે,જે પદાર્થના દળ કે આકાર પર આધારિત નથી.
તેનાથી વિપરીત,તેમણે અવલોકન કર્યું કે અંતર સાથે વેગમાં થતો ફેરફાર અચળ નથી.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જેમ પતનનું અંતર વધે છે તેમ અંતર સાથે વેગમાં થતો ફેરફારનો દર ઘટે છે.

(N/A) ગેલિલિયો ગેલિલીએ એરિસ્ટોટલના એ મતને પડકાર્યો હતો કે ભારે પદાર્થો હલકા પદાર્થો કરતા ઝડપથી નીચે પડે છે. તેમના પ્રયોગો અને તાર્કિક તર્ક દ્વારા,તેમણે અવલોકન કર્યું કે હવાનો અવરોધ ન હોય ત્યારે,તમામ પદાર્થો તેમના દળને ધ્યાનમાં લીધા વિના સમાન અચળ પ્રવેગ સાથે પૃથ્વી તરફ પડે છે. આ પ્રવેગને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ કહેવામાં આવે છે,જેને $g$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે,જે પૃથ્વીની સપાટીની નજીક આશરે $9.8 \ m/s^2$ હોય છે. ગેલિલિયોએ નિષ્કર્ષ કાઢ્યો કે જો અલગ-અલગ દળ ધરાવતા બે પદાર્થોને શૂન્યાવકાશમાં એક જ ઊંચાઈ પરથી એકસાથે છોડવામાં આવે,તો તેઓ એક જ સમયે જમીન પર પહોંચશે.

(N/A) માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળની અસર હેઠળ નીચે પડતા પદાર્થની ગતિને મુક્ત પતન કહેવામાં આવે છે.
આ ગતિમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ $(g)$ છે,જે નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
જો હવાનો અવરોધ અવગણવામાં આવે,તો આ ગતિને અચળ પ્રવેગી ગતિ ગણવામાં આવે છે,જ્યાં પ્રવેગ $a = -g$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $v_{0} = 0$,પ્રવેગ $a = -g$ અને સ્થાનાંતર $d = -h$ ને પ્રમાણિત ગતિના સમીકરણોમાં મૂકતા:
$1$. વેગ માટે: $v = v_{0} + at \implies v = -gt$
$2$. સ્થાનાંતર માટે: $d = v_{0}t + \frac{1}{2}at^{2} \implies -h = 0 - \frac{1}{2}gt^{2} \implies h = \frac{1}{2}gt^{2}$
$3$. વેગ-સ્થાનાંતર સંબંધ માટે: $v^{2} - v_{0}^{2} = 2ad \implies v^{2} - 0 = 2(-g)(-h) \implies v^{2} = 2gh \implies v = \sqrt{2gh}$

(N/A) મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ અચળ અને $-g$ જેટલો હોય છે. તેથી,આલેખ $(a)$ સમયની સાપેક્ષે અચળ પ્રવેગ $(a \to t)$ દર્શાવે છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનો વેગ $v = -gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. આ સમય સાથે સુરેખ સંબંધ દર્શાવે છે,જે $v \to t$ માટે આલેખ $(b)$ માં દર્શાવેલ છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થનું સ્થાનાંતર $x = -\frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા). આ સમય સાથે પરવલયાકાર સંબંધ દર્શાવે છે,જે $x \to t$ માટે આલેખ $(c)$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરતો હોય અને તેને કોઈ પણ પ્રકારનો પ્રારંભિક ધક્કો કે ફેંકવામાં ન આવ્યો હોય,ત્યારે તેને મુક્ત પતન કહેવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે પ્રારંભિક વેગ $(u)$ $0 \ m/s$ હોય છે.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલ અંતરનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
આ સમીકરણમાં $u = 0$ અને $a = g$ મૂકતા:
$S_n = 0 + \frac{g}{2}(2n - 1)$
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં કપાયેલ અંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ થાય.

(N/A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 - u^2 = 2as$.
અહીં,$v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u = 0$,$a = g$ (ગુરુત્વપ્રવેગ),અને $s = h$ (સ્થાનાંતર) છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $v^2 - 0^2 = 2gh$.
તેથી,વેગનું સમીકરણ $v = \sqrt{2gh}$ છે.

(N/A) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $y = \frac{1}{2}gt^2$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ છે.
અહીં $y$ એ સમયના વર્ગના સમપ્રમાણમાં હોવાથી $(y \propto t^2)$,$y$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલય (parabola) મળે છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ કરીને,જેમ $t$ વધે છે તેમ વક્ર ઉપરની તરફ જાય છે,જે પદાર્થ નીચેની તરફ પ્રવેગિત થતાં તેના વધતા સ્થાનાંતરને દર્શાવે છે.

(N/A) હા,સુરેખ પથ પર ગતિ કરતા કણનો કોઈ ક્ષણે વેગ શૂન્ય અને પ્રવેગ અશૂન્ય હોઈ શકે છે.
ઉદાહરણ તરીકે,જ્યારે કોઈ દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની ગતિના મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ તેનો તાત્ક્ષણિક વેગ $0 \ m/s$ હોય છે,પરંતુ તેના પર નીચેની તરફ લાગતો ગુરુત્વ પ્રવેગ $(g \approx 9.8 \ m/s^2)$ સતત કાર્યરત હોય છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
$u = 0$ અને $a = g$ મૂકતા,આપણને $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ મળે છે.
$n = 1$ માટે: $S_1 = \frac{g}{2}(2(1) - 1) = \frac{g}{2}(1) = \frac{g}{2}$.
$n = 2$ માટે: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = \frac{3g}{2}$.
$n = 3$ માટે: $S_3 = \frac{g}{2}(2(3) - 1) = \frac{g}{2}(5) = \frac{5g}{2}$.
આમ,અંતરનો ગુણોત્તર $S_1 : S_2 : S_3 = \frac{g}{2} : \frac{3g}{2} : \frac{5g}{2} = 1 : 3 : 5$ થાય.

(A) મુક્તપતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \ m/s^2$ છે.
સમય $t$ માં કાપેલા અંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$t = 1 \ s$ માટે કિંમતો મૂકતા:
$s = (0)(1) + \frac{1}{2}(10)(1)^2$
$s = 0 + 5(1)$
$s = 5 \ m$
આમ,પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $5 \ m$ છે.

(N/A) આલેખ પરથી સ્પષ્ટ છે કે ગતિ દરમિયાન સ્થાનાંતર $x$ ધન છે. દડાને એક ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ ક્ષેત્રને કારણે તેનો વેગ નીચેની દિશામાં વધે છે. આ સ્થિતિમાં $v$ ઋણ છે,પરંતુ દડાનો પ્રવેગ એ ગુરુત્વપ્રવેગ જેટલો છે,એટલે કે $a = -g$.
જ્યારે દડો ઉપરની દિશામાં ઉછળે છે ત્યારે તેનો વેગ ધન હોય છે,પરંતુ પ્રવેગ $a = -g$ રહે છે.
$(a)$ દડાનો વેગ-સમયનો આલેખ આકૃતિ $(i)$ માં દર્શાવેલ છે.
$(b)$ દડાનો પ્રવેગ-સમયનો આલેખ આકૃતિ $(ii)$ માં દર્શાવેલ છે.

(N/A) જ્યારે ફૂટબોલને શિરોલંબ ઉપરની તરફ લાત મારવામાં આવે છે,ત્યારે તે માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે (હવાના અવરોધને અવગણતા).
$(a)$ મહત્તમ ઊંચાઈએ,ફૂટબોલ નીચેની તરફ ગતિ શરૂ કરે તે પહેલાં ક્ષણિક સ્થિર થાય છે. જો કે,ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના પર સતત કાર્યરત રહે છે. તેથી,તેનો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતા પ્રવેગ $g \approx 9.8 \ m/s^2$ જેટલો હોય છે,જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં હોય છે.
$(b)$ મહત્તમ ઊંચાઈએ,ફૂટબોલ તેની ગતિની દિશા બદલતા પહેલા ક્ષણિક અટકી જાય છે. તેથી,મહત્તમ ઊંચાઈએ તેનો વેગ $0 \ m/s$ હોય છે.

(C) યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,ટોચ પરની સ્થિતિ ઉર્જા જમીન પર ગતિ ઉર્જામાં રૂપાંતરિત થાય છે.
$PE_{top} = KE_{ground}$
$mgh = \frac{1}{2}mv^2$
$v^2 = 2gh$
અહીં $g = 10\,ms^{-2}$ અને $h = 2\,m$ આપેલ છે:
$v^2 = 2 \times 10 \times 2 = 40$
$v = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}\,ms^{-1}$
આમ,જમીન પર પદાર્થની ઝડપ $2\sqrt{10}\,ms^{-1}$ છે.

(D) આપેલ છે: $h = 1\, km = 1000\, m$,$g = 10\, m/s^2$,$\rho = 10^3\, kg/m^3$.
$(a)$ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા $(u = 0)$: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 1000} = \sqrt{20000} \approx 141.4\, m/s$. $km/h$ માં: $141.4 \times (18/5) \approx 509\, km/h$.
$(b)$ ત્રિજ્યા $r = 2\, mm = 2 \times 10^{-3}\, m$. દળ $m = \rho \times (4/3)\pi r^3 = 10^3 \times (4/3) \times 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^3 \approx 3.35 \times 10^{-5}\, kg$. વેગમાન $p = mv = 3.35 \times 10^{-5} \times 141.4 \approx 4.74 \times 10^{-3}\, kg\cdot m/s$.
$(c)$ સપાટ થવા માટેનો સમય $t = d/v = (4 \times 10^{-3}) / 141.4 \approx 2.83 \times 10^{-5}\, s$.
$(d)$ બળ $F = \Delta p / \Delta t = (4.74 \times 10^{-3}) / (2.83 \times 10^{-5}) \approx 167.5\, N$.
$(e)$ છત્રીનું ક્ષેત્રફળ $A = \pi R^2 = \pi (0.5)^2 \approx 0.785\, m^2$. અંતર $s = 5\, cm = 0.05\, m$. ટીપાંની સંખ્યા $N = A / s^2 = 0.785 / (0.05)^2 = 314$. કુલ બળ $F_{total} = N \times F \approx 314 \times 167.5 \approx 5.26 \times 10^4\, N$.

(A) ધારો કે બે દડાના વેગ અનુક્રમે $v_1$ અને $v_2$ છે.
આપેલ છે કે $v_2 = v$,તેથી $v_1 = 2v$.
જ્યારે બે દડા વચ્ચેનું શિરોલંબ અંતર અચળ રહે છે,ત્યારે તેનો અર્થ એ છે કે $t > \Delta t$ સમયે બંને દડા સમાન વેગથી ગતિ કરી રહ્યા છે.
દડાઓનું સ્થાનાંતર $y_1 = v_1 t - \frac{1}{2} g t^2$ અને $y_2 = v_2 (t - \Delta t) - \frac{1}{2} g (t - \Delta t)^2$ છે.
તફાવત $y_1 - y_2 = 15$ લેતા,આપણને મળે છે: $vt + v\Delta t - g t \Delta t + \frac{1}{2}g \Delta t^2 = 15$.
અંતર અચળ રહેવા માટે,$t$ નો સહગુણક શૂન્ય હોવો જોઈએ: $v - g \Delta t = 0 \implies v = g \Delta t$.
આ કિંમત મૂકતા: $5 \Delta t^2 = 15 \implies \Delta t = \sqrt{3} \approx 1.732\, s$.
તેથી $v = 17.32\, m/s$. આમ,$v_1 = 34.64\, m/s$ અને $v_2 = 17.32\, m/s$.