Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(N/A) $(i)$ ઊર્ધ્વ દિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થનો ગતિપથના ટોચના બિંદુએ વેગ શૂન્ય હોય છે.
$(ii)$ દડો ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ ગતિ કરતો હોવાથી,તેનો પ્રવેગ ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ જેટલો હોય છે. તેથી,$a = 10 \, m/s^2$.
$(iii)$ દડા પર લાગતું બળ $F = m \times g$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે. કિંમતો મૂકતા,$F = 0.2 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 2 \, N$.

(D) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ બોલની ગતિ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા સંચાલિત થાય છે. $h$ ઊંચાઈ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડતા બોલ માટે,કોઈપણ ઊંચાઈ $y$ પર વેગ $v$ એ $v^2 = 2g(h - y)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. $h$ થી $0$ સુધીની નીચે તરફની ગતિ દરમિયાન,વેગ $0$ થી વધીને $\sqrt{2gh}$ થાય છે. સંબંધ $v = \sqrt{2g(h-y)}$ દર્શાવે છે કે $v$ એ $y$ ની સાપેક્ષમાં અરેખીય છે.
$2$. ભોંયતળિયા સાથે અથડાતી વખતે,વેગ ત્વરિત રીતે $-\sqrt{2gh}$ થી બદલાઈને $+\sqrt{2g(h/2)} = \sqrt{gh}$ થાય છે.
$3$. $0$ થી $h/2$ સુધીની ઉપર તરફની ગતિ દરમિયાન,વેગ $v^2 = 2g(h/2 - y)$ ને અનુસરીને $\sqrt{gh}$ થી ઘટીને $0$ થાય છે.
$4$. $v^2 = 2g(h-y)$ નું $y$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને $2v \frac{dv}{dy} = -2g$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $\frac{dv}{dy} = -\frac{g}{v}$.
$5$. જેમ $v \to 0$ (મહત્તમ ઊંચાઈ પર),ઢાળ $\frac{dv}{dy} \to \infty$ થાય છે. આનો અર્થ એ છે કે જ્યાં $v=0$ છે (એટલે કે $h$ અને $h/2$ પર) ત્યાં આલેખ શિરોલંબ હોવો જોઈએ.
$6$. આલેખ $D$ આ વર્તણૂકને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે,જે અરેખીય સંબંધ અને મહત્તમ ઊંચાઈ પર અનંત ઢાળ દર્શાવે છે.

(C) $1$. સૌ પ્રથમ,$h$ ઊંચાઈ પર હેલિકોપ્ટરનો વેગ શોધો. તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી $g$ પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી $v^2 = u^2 + 2as \Rightarrow v^2 = 0 + 2gh \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$.
$2$. જ્યારે પેકેટ છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ ઉપરની તરફ $u = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
$3$. પેકેટ ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે અને પછી જમીન પર પડે છે. પેકેટ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = \frac{u^2}{2g} = \frac{2gh}{2g} = h$ છે.
$4$. જમીનથી પેકેટની કુલ ઊંચાઈ $H_{total} = h + h = 2h$ છે.
$5$. નીચેની તરફની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા (ઉપરની દિશા ધન લેતા,$s = -h$,$u = \sqrt{2gh}$,$a = -g$):
$-h = \sqrt{2gh} \cdot t - \frac{1}{2}gt^2$
$\frac{1}{2}gt^2 - \sqrt{2gh} \cdot t - h = 0$
$2/g$ વડે ગુણતા: $t^2 - 2\sqrt{\frac{2h}{g}} \cdot t - \frac{2h}{g} = 0$.
$6$. દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને $t$ શોધતા:
$t = \frac{2\sqrt{2h/g} + \sqrt{8h/g + 8h/g}}{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \sqrt{\frac{4h}{g}} = (\sqrt{2} + 2) \sqrt{\frac{h}{g}} \approx (1.414 + 2) \sqrt{\frac{h}{g}} = 3.414 \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(A) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ,$u = 20\; m/s$
અંતિમ વેગ,$v = 80\; m/s$
ગુરુત્વપ્રવેગ,$g = 10\; m/s^2$
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = u^2 + 2gh$
કિંમતો મૂકતા:
$80^2 = 20^2 + 2 \times 10 \times h$
$6400 = 400 + 20h$
$6000 = 20h$
$h = \frac{6000}{20} = 300\; m$
તેથી,ટાવરની ઊંચાઈ $300\; m$ છે.

(C) ધારો કે બારીના ઉપરના ભાગે દડાનો વેગ $u$ છે.
બારીમાંથી પસાર થતા દડાની ગતિ માટે ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$S = ut + \frac{1}{2}at^2$
અહીં,$S = 1.5 \; m$,$t = 0.1 \; s$,અને $a = g = 10 \; m/s^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$1.5 = u(0.1) + \frac{1}{2} \times 10 \times (0.1)^2$
$1.5 = 0.1u + 5 \times 0.01$
$1.5 = 0.1u + 0.05$
$0.1u = 1.5 - 0.05$
$0.1u = 1.45$
$u = \frac{1.45}{0.1} = 14.5 \; m/s$.

(B) ધારો કે ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. પ્રથમ પથ્થરને ટોચ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે $(u=0)$.
જ્યારે તે $5 \, m$ નીચે પડે છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ એ $v^2 = u^2 + 2gh = 0 + 2 \times 10 \times 5 = 100$ દ્વારા મળે છે,તેથી $v = 10 \, m/s$.
પ્રથમ પથ્થરને $5 \, m$ પડવા માટે લાગતો સમય $t_1 = v/g = 10/10 = 1 \, s$ છે.
આ ક્ષણે,બીજો પથ્થર ટોચથી $25 \, m$ નીચેના બિંદુથી ફેંકવામાં આવે છે. ધારો કે પ્રથમ પથ્થરને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. તો બીજા પથ્થરને લાગતો સમય $(T - 1) \, s$ થશે.
પ્રથમ પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $H = \frac{1}{2} g T^2$ છે.
બીજા પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $H - 25 = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$ છે.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $H - (H - 25) = \frac{1}{2} g [T^2 - (T - 1)^2] \Rightarrow 25 = 5 [T^2 - (T^2 - 2T + 1)] \Rightarrow 25 = 5(2T - 1) \Rightarrow 5 = 2T - 1 \Rightarrow 2T = 6 \Rightarrow T = 3 \, s$.
$T = 3 \, s$ ને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $H = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \, m$.

(D) ધારો કે પ્રથમ દડો $t = 0$ સમયે અને બીજો દડો $t = 3 \, \text{s}$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે。
ધારો કે પ્રથમ દડો ફેંક્યા પછીનો સમય $t$ છે。
પ્રથમ દડાનું સ્થાન $y_1 = u t - \frac{1}{2} g t^2 = 35 t - 5 t^2$ છે。
બીજા દડાનું સ્થાન $y_2 = u(t - 3) - \frac{1}{2} g(t - 3)^2 = 35(t - 3) - 5(t - 3)^2$ છે。
અથડામણના બિંદુએ, $y_1 = y_2$ થાય。
$35 t - 5 t^2 = 35(t - 3) - 5(t^2 - 6 t + 9)$
$35 t - 5 t^2 = 35 t - 105 - 5 t^2 + 30 t - 45$
$0 = 30 t - 150$
$30 t = 150 \implies t = 5 \, \text{s}$.
$y_1$ ના સમીકરણમાં $t = 5 \, \text{s}$ મૂકતા:
$h = 35(5) - 5(5)^2 = 175 - 125 = 50 \, \text{m}$.
આમ, દડાઓ $50 \, \text{m}$ ની ઊંચાઈ પર અથડાય છે。

(D) ધારો કે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t$ છે.
જ્યારે પહેલું ટીપું જમીન પર પહોંચે છે,ત્યારે કુલ વીતેલો સમય $T = \sqrt{\frac{2H}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 9.8}{9.8}} = \sqrt{2}\, s$ છે.
આ ક્ષણે ત્રીજું ટીપું પડવાનું શરૂ કરી રહ્યું હોવાથી,ત્રીજા ટીપા માટે વીતેલો સમય $0$ છે.
બીજું ટીપું $\Delta t$ સમયથી પડી રહ્યું છે અને પહેલું ટીપું $2\Delta t$ સમયથી પડી રહ્યું છે.
આમ,$2\Delta t = T = \sqrt{2}\, s$,જે $\Delta t = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}\, s$ આપે છે.
બીજા ટીપા દ્વારા નોઝલથી કપાયેલું અંતર $y_2 = \frac{1}{2} g(\Delta t)^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 = 4.9 \times 0.5 = 2.45\, m$ છે.
જમીનથી બીજા ટીપાનું સ્થાન $H - y_2 = 9.8 - 2.45 = 7.35\, m$ છે.

(A) ધારો કે બે ક્રમિક ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $T$ છે।
$t = 4 \, s$ સમયે, પ્રથમ ટીપું $4 \, s$ માટે પડ્યું છે। પ્રથમ ટીપા દ્વારા કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2} g (4)^2 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times 16 = 78.4 \, m$ છે।
બીજું ટીપું પ્રથમ ટીપાના $T$ સેકન્ડ પછી છોડવામાં આવ્યું હતું, તેથી તેનો પડવાનો સમય $(4 - T) \, s$ છે।
બીજા ટીપા દ્વારા કાપેલું અંતર $h_2 = \frac{1}{2} g (4 - T)^2$ છે।
બે ટીપાં વચ્ચેનું અંતર $h_1 - h_2 = 34.3 \, m$ આપેલું છે।
કિંમતો મૂકતા: $78.4 - \frac{1}{2} \times 9.8 \times (4 - T)^2 = 34.3$.
$78.4 - 4.9(4 - T)^2 = 34.3$.
$4.9(4 - T)^2 = 44.1$.
$(4 - T)^2 = 9$.
$4 - T = 3 \Rightarrow T = 1 \, s$.
ટીપાં વચ્ચેનો સમયગાળો $1 \, s$ હોવાથી, દર $1 \, \text{ટીપું/સેકન્ડ}$ છે।

(A) પદાર્થ ફુગ્ગામાંથી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ ફુગ્ગાના વેગ જેટલો જ $u = 10 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) હશે.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,પદાર્થ જ્યારે જમીન પર પડે ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -75 \, m$ થાય.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $a = -g = -10 \, m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-75 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
સમય ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $t = 5 \, s$.
આ સમય દરમિયાન,ફુગ્ગો $10 \, m/s$ ના સમાન વેગથી ઉપરની તરફ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખે છે.
$5 \, s$ માં ફુગ્ગા દ્વારા કાપેલું અંતર $d = v \times t = 10 \times 5 = 50 \, m$ છે.
જ્યારે પદાર્થ જમીન સાથે અથડાય ત્યારે ફુગ્ગાની જમીનથી ઊંચાઈ $H = 75 + 50 = 125 \, m$ હશે.

(A) $1$. ફુગ્ગાની પ્રારંભિક ગતિ: પ્રવેગ $a = 10\,m/s^2$,સમય $t_1 = 2\,s$. $t_1 = 2\,s$ પર વેગ $v = a t_1 = 10 \times 2 = 20\,m/s$. $t_1 = 2\,s$ પર ઊંચાઈ $h_0 = \frac{1}{2} a t_1^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20\,m$.
$2$. કણ મુક્ત થયા પછીની ગતિ: પ્રારંભિક વેગ $u = 20\,m/s$,પ્રારંભિક સ્થાન $y_0 = 20\,m$,પ્રવેગ $a = -g = -10\,m/s^2$,સમયગાળો $\Delta t = 2\,s$.
$3$. જમીનથી કણની ઊંચાઈ: $y = y_0 + u(\Delta t) + \frac{1}{2} a (\Delta t)^2 = 20 + 20(2) + \frac{1}{2}(-10)(2^2) = 20 + 40 - 20 = 40\,m$. આમ,$(A \rightarrow r)$.
$4$. કણની ઝડપ: $v = u + a(\Delta t) = 20 + (-10)(2) = 0\,m/s$. આમ,$(B \rightarrow p)$.
$5$. કણનું સ્થાનાંતર: $\Delta y = y - y_0 = 40 - 20 = 20\,m$. આમ,$(C \rightarrow s)$.
$6$. કણનો પ્રવેગ: મુક્ત થયા પછી,ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે,તેથી $a = 10\,m/s^2$ (નીચેની તરફ). આમ,$(D \rightarrow q)$.
$7$. અંતિમ જોડાણ: $(A \rightarrow r, B \rightarrow p, C \rightarrow s, D \rightarrow q)$.

(B) પદાર્થ દ્વારા $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $S_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$.
પદાર્થ મુક્ત પતન કરતો હોવાથી,તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
તેથી,$S_{n} = \frac{g}{2}(2n - 1)$.
આનો અર્થ એ છે કે $S_{n} \propto (2n - 1)$.
$1^{\text{st}}, 2^{\text{nd}}, 3^{\text{rd}}$ અને $4^{\text{th}}$ સેકન્ડ માટે ગુણોત્તર:
$S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = (2(1) - 1) : (2(2) - 1) : (2(3) - 1) : (2(4) - 1)$.
$S_{1} : S_{2} : S_{3} : S_{4} = 1 : 3 : 5 : 7$.

(B) ઉપર જતી વખતે,ગુરુત્વાકર્ષણ અને હવાનો અવરોધ બંને નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે. કુલ પ્રતિરોધક બળ $F_{up} = mg + f = (5 \times 10) + 10 = 60 \, N$ છે. ઉપર જતી વખતે પ્રવેગ $a_{up} = F_{up} / m = 60 / 5 = 12 \, ms^{-2}$ છે.
નીચે આવતી વખતે,ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ અને હવાનો અવરોધ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે. કુલ બળ $F_{down} = mg - f = (5 \times 10) - 10 = 40 \, N$ છે. નીચે આવતી વખતે પ્રવેગ $a_{down} = F_{down} / m = 40 / 5 = 8 \, ms^{-2}$ છે.
ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ છે. ઉપર જવા માટે,$h = \frac{1}{2} a_{up} t_1^2$,તેથી $h = \frac{1}{2} \times 12 \times t_1^2 = 6 t_1^2$.
નીચે આવવા માટે,$h = \frac{1}{2} a_{down} t_2^2$,તેથી $h = \frac{1}{2} \times 8 \times t_2^2 = 4 t_2^2$.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $6 t_1^2 = 4 t_2^2$,જે આપે છે $\frac{t_1^2}{t_2^2} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$.
તેથી,ઉપર જવાનો સમય અને નીચે આવવાના સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$ થશે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રથમ બે કિસ્સાઓમાં પ્રક્ષેપણની ઝડપ $u$ છે. નીચેની દિશાને ધન લેતા.
કિસ્સા-$I$ માટે (ઉપરની તરફ ફેંકતા): સ્થાનાંતર $h$ છે. પ્રારંભિક વેગ $-u$ છે. પ્રવેગ $g$ છે.
સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$h = -u(6) + \frac{1}{2}g(6)^2$
$h = -6u + 18g$ ... $(i)$
કિસ્સા-$II$ માટે (નીચેની તરફ ફેંકતા): સ્થાનાંતર $h$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. પ્રવેગ $g$ છે.
$h = u(1.5) + \frac{1}{2}g(1.5)^2$
$h = 1.5u + 1.125g$ ... $(ii)$
$u$ નો લોપ કરવા માટે,સમીકરણ $(ii)$ ને $4$ વડે ગુણતા:
$4h = 6u + 4.5g$ ... $(iii)$
સમીકરણ $(i)$ અને સમીકરણ $(iii)$ નો સરવાળો કરતા:
$h + 4h = (-6u + 18g) + (6u + 4.5g)$
$5h = 22.5g$
$h = 4.5g$ ... $(iv)$
કિસ્સા-$III$ માટે (સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરતા): પ્રારંભિક વેગ $0$ છે. પ્રવેગ $g$ છે.
$h = 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$ ... $(v)$
સમીકરણ $(iv)$ ને સમીકરણ $(v)$ માં મૂકતા:
$4.5g = \frac{1}{2}gt^2$
$t^2 = 9$
$t = 3 \, s$.

(A) ધારો કે બંને દડા પ્રથમ દડાની ગતિ શરૂ થયાના $t$ સેકન્ડ પછી મળે છે.
પ્રથમ દડાનું $t$ સમયે સ્થાનાંતર $h_1 = 50t - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બીજો દડો $t = 2 \; s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો ગતિનો સમય $(t - 2) \; s$ છે. તેનું સ્થાનાંતર $h_2 = 50(t - 2) - \frac{1}{2}g(t - 2)^2$ છે.
બંને સમાન ઊંચાઈએ મળે છે,તેથી $h_1 = h_2$.
$50t - \frac{1}{2}gt^2 = 50(t - 2) - \frac{1}{2}g(t - 2)^2$
$50t - 5t^2 = 50t - 100 - 5(t^2 - 4t + 4)$
$50t - 5t^2 = 50t - 100 - 5t^2 + 20t - 20$
$0 = -120 + 20t$
$20t = 120$
$t = 6 \; s$.

(A) જ્યારે કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે નીચેની તરફ લાગતા ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ને કારણે તેનો વેગ $v$ ઘટે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,પદાર્થ ક્ષણભર માટે સ્થિર થાય છે,જેનો અર્થ છે કે તેનો અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
વેગમાન $p$ એ દળ $m$ અને વેગ $v$ ના ગુણાકાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ હોવાથી $(p = mv)$,જ્યારે $v = 0$ હોય,ત્યારે વેગમાન $p$ પણ $0$ થઈ જાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે દડાને $H = 10 \; m$ ની ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \; m/s$ છે.
ધારો કે દડો $s$ જેટલું અંતર કાપે છે જેથી તેનો વેગ $v$ એ $g = 10 \; m/s^2$ જેટલો થાય.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v^2 = 0^2 + 2(10)s$
અહીં આપણે $v = 10 \; m/s$ જોઈએ છે,તેથી:
$(10)^2 = 20s$
$100 = 20s$
$s = 5 \; m$.
આ $s$ એ ઉપરથી કાપેલું અંતર છે.
જમીનથી ઊંચાઈ $h = H - s = 10 \; m - 5 \; m = 5 \; m$ થશે.

(B) પગલું $1$: જ્યારે દડો પાણીની સપાટીને અથડાય ત્યારે તેનો વેગ $v$ શોધો.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0 \, m/s$,$g = 9.8 \, m/s^2$,અને $h = 4.9 \, m$ છે:
$v^2 = 0 + 2 \times 9.8 \times 4.9 = 96.04$
$v = \sqrt{96.04} = 9.8 \, m/s$.
પગલું $2$: ઊંચાઈ $h$ પરથી નીચે પડવા માટે લાગતો સમય શોધો.
$v = u + gt$ નો ઉપયોગ કરતા:
$9.8 = 0 + 9.8 \times t_1$
$t_1 = 1.0 \, s$.
પગલું $3$: તળિયે પહોંચવા માટે લાગતો સમય શોધો.
કુલ સમય $4.0 \, s$ છે,તેથી પાણીમાં વિતાવેલો સમય $t_2 = 4.0 - 1.0 = 3.0 \, s$ છે.
પગલું $4$: તળાવની ઊંડાઈ શોધો.
દડો અચળ વેગ $v = 9.8 \, m/s$ થી નીચે જાય છે:
ઊંડાઈ $= v \times t_2 = 9.8 \times 3.0 = 29.4 \, m$.

(D) ટાવરની ઊંચાઈ $H = 180 \,m$ છે. દડા જમીનથી $100 \,m$ ઉપર મળે છે,તેથી તેઓએ ટોચથી $S = 180 - 100 = 80 \,m$ અંતર કાપ્યું છે.
દડા $A$ માટે,જે સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે $(u_A = 0)$:
$S = \frac{1}{2} g t_A^2 \implies 80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t_A^2 \implies t_A^2 = 16 \implies t_A = 4 \,s$.
દડા $B$ ને $t = 2 \,s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેનો મુસાફરીનો સમય $t_B = t_A - 2 = 4 - 2 = 2 \,s$ છે.
દડા $B$ માટે,ગતિના સમીકરણ $S = u t_B + \frac{1}{2} g t_B^2$ નો ઉપયોગ કરતા (નીચેની દિશાને ધન લેતા):
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$2u = 60$
$u = 30 \,m \,s^{-1}$.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_a = \frac{u}{g} = \frac{19.6}{9.8} = 2 \, s$ છે.
પ્રક્ષેપણ બિંદુથી દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g} = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8} = \frac{19.6 \times 19.6}{19.6} = 19.6 \, m$ છે.
ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. ટાવરની ટોચથી જમીન સુધીના કુલ સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-h = (19.6)(6) + \frac{1}{2}(-9.8)(6)^2$
$-h = 117.6 - 4.9 \times 36$
$-h = 117.6 - 176.4 = -58.8 \, m$,તેથી $h = 58.8 \, m$.
જમીનથી મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = h + H = 58.8 + 19.6 = 78.4 \, m$ છે.
આપેલ છે કે $H_{max} = \frac{k}{5} = 78.4$,તેથી $k = 78.4 \times 5 = 392$.

(A) કેરીને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય મુક્ત પતન માટેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
આપેલ કિંમતો $h = 19.6\,m$ અને $g = 9.8\,m/s^2$ મૂકતા:
$t = \sqrt{\frac{2 \times 19.6}{9.8}} = \sqrt{4} = 2\,s$.
પરેડની ઝડપ $v = 9\,km/h$ છે. તેને $m/s$ માં ફેરવતા:
$v = 9 \times \frac{5}{18} = 2.5\,m/s$.
કેડેટ દ્વારા $t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d = v \times t$ છે.
$d = 2.5 \times 2 = 5\,m$.
તેથી,કેરી પકડવા માટે કેરી પડે તે ક્ષણે કેડેટ ઝાડથી $5\,m$ દૂર હોવો જોઈએ.

(D) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
દડાને મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u}{g}$ છે.
જાદુગર પ્રતિ સેકન્ડ $n$ દડા ફેંકે છે,તેથી બે ક્રમિક ફેંક વચ્ચેનો સમયગાળો $T = \frac{1}{n}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,જ્યારે પહેલો દડો તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે ત્યારે બીજો દડો ફેંકવામાં આવે છે. તેથી,ફેંક વચ્ચેનો સમયગાળો એ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતા સમય જેટલો જ હોવો જોઈએ:
$T = t \implies \frac{1}{n} = \frac{u}{g}$.
$u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{g}{n}$ મળે છે.
દડાઓ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{\max}$ નું સૂત્ર $H_{\max} = \frac{u^{2}}{2g}$ છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા:
$H_{\max} = \frac{(\frac{g}{n})^{2}}{2g} = \frac{g^{2} / n^{2}}{2g} = \frac{g}{2n^{2}}$.

(D) પ્રથમ અડધા અંતર $\frac{h}{2}$ માટે,લાગતો સમય $t_{1}$ છે:
$\frac{h}{2} = \frac{1}{2} g t_{1}^{2} \implies h = g t_{1}^{2}$ (સમીકરણ $1$)
કુલ અંતર $h$ માટે,કુલ લાગતો સમય $(t_{1} + t_{2})$ છે:
$h = \frac{1}{2} g (t_{1} + t_{2})^{2}$ (સમીકરણ $2$)
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$g t_{1}^{2} = \frac{1}{2} g (t_{1} + t_{2})^{2}$
$2 t_{1}^{2} = (t_{1} + t_{2})^{2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\sqrt{2} t_{1} = t_{1} + t_{2}$
$t_{2} = \sqrt{2} t_{1} - t_{1}$
$t_{2} = (\sqrt{2} - 1) t_{1}$

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g}$ છે,જેનો અર્થ છે કે $u = \sqrt{2gh}$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,ઊંચાઈ $y = \frac{h}{3}$ માટે:
$\frac{h}{3} = ut - \frac{1}{2}gt^2$
$u = \sqrt{2gh}$ મૂકતા:
$\frac{1}{2}gt^2 - \sqrt{2gh}t + \frac{h}{3} = 0$
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે. ધારો કે ઉકેલો $t_1$ (ઉપર જતી વખતે) અને $t_2$ (નીચે આવતી વખતે) છે.
$t = \frac{\sqrt{2gh} \pm \sqrt{2gh - 4(\frac{g}{2})(\frac{h}{3})}}{g} = \frac{\sqrt{2gh} \pm \sqrt{\frac{4gh}{3}}}{g}$
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2} - \sqrt{4/3}}{\sqrt{2} + \sqrt{4/3}} = \frac{\sqrt{6}-2}{\sqrt{6}+2}$.

(B) આપેલ છે કે,દડો જમીન પર અથડાયાનો અવાજ દડો ફેંક્યાના $5.25 \, s$ પછી સંભળાય છે.
દડો જમીન પર અથડાયા પછી તેનો અવાજ જમીનથી ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચે છે. અવાજને ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t_1 = \frac{D}{v_{sound}} = \frac{85}{340} = 0.25 \, s$
તેથી,દડાને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય:
$t_2 = 5.25 - 0.25 = 5 \, s$
ધારો કે $t = 0$ સમયે દડાની પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. દડાની ગતિ માટે:
સ્થાનાંતર $s = -85 \, m$ (નીચેની તરફ),
પ્રવેગ $a = -g = -10 \, m/s^2$,
સમય $t = 5 \, s$.
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$
$-85 = u(5) + \frac{1}{2}(-10)(5)^2$
$-85 = 5u - 125$
$5u = 125 - 85$
$5u = 40$
$u = 8 \, m/s$

(D) દડાને $h$ ઊંચાઈથી નીચે પાડવામાં આવે છે. પ્રથમ અથડામણ પહેલાંનો વેગ $v_0 = \sqrt{2gh}$ છે.
પ્રથમ અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_1 = rv_0$ છે. પ્રથમ અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_1 = \frac{v_1^2}{2g} = r^2 h$ છે.
બીજી અથડામણ પછી,ઉછળવાનો વેગ $v_2 = rv_1 = r^2 v_0$ છે. પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_2 = \frac{v_2^2}{2g} = r^4 h$ છે.
સામાન્ય રીતે,$n$-મી અથડામણ પછી પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h_n = r^{2n} h$ છે.
$10$મી અથડામણ સુધી દડા દ્વારા કાપવામાં આવેલું કુલ અંતર $d$ માં પ્રારંભિક $h$ ઊંચાઈનું પતન,અને ત્યારબાદ $h_1, h_2, \dots, h_{10}$ ઊંચાઈના $10$ ઉપરના અને $10$ નીચેના માર્ગોનો સમાવેશ થાય છે.
$d = h + 2(h_1 + h_2 + \dots + h_{10})$
$d = h + 2(r^2 h + r^4 h + \dots + r^{20} h)$
$d = h + 2h(r^2 + r^4 + \dots + r^{20})$
આ એક સમગુણોત્તર શ્રેણી છે જેમાં પ્રથમ પદ $a = r^2$,સામાન્ય ગુણોત્તર $R = r^2$,અને $n = 10$ પદો છે.
સરવાળો $S_{10} = r^2 \frac{1-(r^2)^{10}}{1-r^2} = r^2 \frac{1-r^{20}}{1-r^2}$ છે.
આમ,$d = h + 2h \left( r^2 \frac{1-r^{20}}{1-r^2} \right)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,$2h \left( \frac{1-r^{20}}{1-r^2} \right) - h$ એ સાચો જવાબ છે.

(A) દડા માટે,આપણી પાસે પ્રારંભિક વેગ $u = 45 \,m/s$ અને પ્રવેગ $g = -10 \,m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$v^2 = u^2 + 2gh$
$v^2 = (45)^2 + 2(-10)h$
$v^2 = 2025 - 20h$
$v = \sqrt{2025 - 20h}$
આ સમીકરણ $v-h$ સમતલમાં ડાબી તરફ ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે.
જ્યારે $h = 0$ હોય,ત્યારે $v = 45 \,m/s$ મળે છે.
જ્યારે $v = 0$ હોય,ત્યારે $h = 2025 / 20 = 101.25 \,m \approx 101 \,m$ મળે છે.
સંબંધ $v^2 = 2025 - 20h$ હોવાથી,$v$ વિરુદ્ધ $h$ નો આલેખ પરવલયનો એક ભાગ છે. આપેલા વિકલ્પોમાંથી,વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ વક્ર આ પરવલય સંબંધને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જેમાં ઊંચાઈ વધવાની સાથે વેગ ઘટે છે.

(D) પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે,સમય $t$ પર સ્થાનાંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$h = u t - \frac{1}{2} g t^2$
બંને બાજુને $t$ વડે ભાગતા ($t \neq 0$ માટે):
$\frac{h}{t} = u - \frac{1}{2} g t$
આને સુરેખ સમીકરણના સ્વરૂપ $y = m x + c$ માં ગોઠવતા:
$\frac{h}{t} = (-\frac{g}{2}) t + u$
આને $y = m x + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = \frac{h}{t}$,$x = t$,ઢાળ $m = -\frac{g}{2}$,અને અંતઃખંડ $c = u$ છે.
આમ,$\frac{h}{t}$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ દોરવાથી એક સીધી રેખા મળે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નું મૂલ્ય આ રેખાના ઢાળના મૂલ્યને $2$ વડે ગુણીને મેળવી શકાય છે.

(B) જ્યારે દડો હવામાં હોય છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $-g = -9.8 \, m/s^2$ જેટલો અચળ રહે છે.
જમીન સાથે અથડામણની ક્ષણે,દડો ખૂબ જ ટૂંકા સમય માટે ખૂબ જ મોટું આઘાતી બળ અનુભવે છે,જેના કારણે વેગમાં અચાનક ફેરફાર થાય છે. આના પરિણામે દરેક અથડામણના બિંદુએ ખૂબ જ ઊંચો ધન પ્રવેગ સ્પાઇક જોવા મળે છે.
તેથી,પ્રવેગ-સમયનો આલેખ $-9.8 \, m/s^2$ પર એક અચળ રેખા અને અથડામણના સમયે તીક્ષ્ણ,ધન વર્ટિકલ સ્પાઇક્સ ધરાવે છે. આ વિકલ્પ $(b)$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(B) ધારો કે જમીનથી બિંદુની ઊંચાઈ $h$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જે $u$ ઝડપે નીચે ફેંકવામાં આવે છે:
$-h = -u t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow h = u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 \quad \dots(i)$
બીજા પથ્થર માટે જે $u$ ઝડપે ઉપર ફેંકવામાં આવે છે:
$-h = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2 \Rightarrow h = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2 \quad \dots(ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$u t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = \frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2$
$u(t_1 + t_2) = \frac{1}{2} g (t_2^2 - t_1^2) = \frac{1}{2} g (t_2 - t_1)(t_2 + t_1)$
$u = \frac{g}{2} (t_2 - t_1)$
બીજા પથ્થર દ્વારા જમીનથી પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ એ બિંદુની ઊંચાઈ $h$ અને બિંદુથી ઉપર પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈનો સરવાળો છે:
$H = h + \frac{u^2}{2g}$
$(ii)$ માંથી $h$ અને $u$ ની કિંમત મૂકતા:
$H = (\frac{1}{2} g t_2^2 - u t_2) + \frac{u^2}{2g}$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{g}{2}(t_2 - t_1)t_2 + \frac{1}{2g} \cdot \frac{g^2}{4}(t_2 - t_1)^2$
$H = \frac{1}{2} g t_2^2 - \frac{1}{2} g t_2^2 + \frac{1}{2} g t_1 t_2 + \frac{g}{8}(t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2)$
$H = \frac{g}{8}(4 t_1 t_2 + t_2^2 - 2 t_1 t_2 + t_1^2) = \frac{g}{8}(t_1^2 + 2 t_1 t_2 + t_2^2) = \frac{g}{8}(t_1 + t_2)^2$

(C) ધારો કે $m_1$ દળનો પ્રથમ પથ્થર $t=0$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
સમય $t$ પર,તેનો વેગ $v_1$ અને સ્થાનાંતર $s_1$ છે:
$v_1 = -gt$ અને $s_1 = -\frac{1}{2}gt^2$.
બીજો પથ્થર $m_2$ દળનો $\Delta t$ સમય પછી ફેંકવામાં આવતો હોવાથી,$t$ સમયે તેનો વેગ $v_2$ અને સ્થાનાંતર $s_2$ છે:
$v_2 = -g(t - \Delta t)$ અને $s_2 = -\frac{1}{2}g(t - \Delta t)^2$.
ઝડપનો તફાવત $\Delta v = |v_1 - v_2| = |-gt - (-g(t - \Delta t))| = |-g\Delta t| = g\Delta t$ છે.
$g$ અને $\Delta t$ અચળ હોવાથી,$\Delta v$ સમય સાથે અચળ રહે છે.
પરસ્પર અંતર $\Delta s = |s_1 - s_2|$ છે:
$\Delta s = |-\frac{1}{2}gt^2 - (-\frac{1}{2}g(t - \Delta t)^2)| = |\frac{1}{2}g((t - \Delta t)^2 - t^2)| = |\frac{1}{2}g(t^2 + \Delta t^2 - 2t\Delta t - t^2)| = |\frac{1}{2}g(\Delta t^2 - 2t\Delta t)|$.
જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ $2t\Delta t$ પદ વધે છે,જેના કારણે અંતર $\Delta s$ નું મૂલ્ય ઘટે છે.

(A) ધારો કે અથડામણની બરાબર પહેલા અને પછી દડાની ઝડપ $v$ છે. હવાનો અવરોધક બળ $F_r$ એ ઝડપના સમપ્રમાણમાં છે,તેથી $F_r = kv$,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
જ્યારે દડો નીચેની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે અને હવાનો અવરોધ $kv$ ઉપરની તરફ લાગે છે. પરિણામી બળ $F_{net} = mg - kv$ છે. પ્રવેગ $a_1$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_1 = \frac{mg - kv}{m} = g - \frac{k}{m}v$
જ્યારે દડો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ બળ $mg$ નીચેની તરફ લાગે છે અને હવાનો અવરોધ $kv$ પણ નીચેની તરફ (ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં) લાગે છે. પરિણામી બળ $F_{net} = mg + kv$ છે. પ્રવેગ $a_2$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_2 = \frac{mg + kv}{m} = g + \frac{k}{m}v$
આ બંને સમીકરણોની સરખામણી કરતા,સ્પષ્ટ થાય છે કે $a_2 > a_1$ અથવા $a_1 < a_2$.

(C) ધારો કે પ્રથમ દડો મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ સુધી પહોંચે છે.
જે ક્ષણે પ્રથમ દડો ઊંચાઈ $H$ પર પહોંચે છે,તે નીચે પડવાનું શરૂ કરે છે. ધારો કે બંને દડા જમીનથી $h$ ઊંચાઈએ,બીજા દડાને ફેંક્યા પછી $t$ સમય બાદ અથડાય છે.
પ્રથમ દડો $t$ સમયમાં $(H - h)$ અંતર કાપે છે. પ્રથમ દડા માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા:
$H - h = \frac{1}{2}gt^2 \quad \dots(i)$
બીજો દડો $t$ સમયમાં $h$ ઊંચાઈ સુધી ઉપર જાય છે. બીજા દડા માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા:
$h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:
$(H - h) + h = \frac{1}{2}gt^2 + ut - \frac{1}{2}gt^2$
$H = ut \implies t = \frac{H}{u}$
કારણ કે $H = \frac{u^2}{2g}$,તેથી $u = \sqrt{2gH}$. આમ,$t = \frac{H}{\sqrt{2gH}} = \sqrt{\frac{H}{2g}}$.
$t$ ની કિંમત સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા:
$h = u\left(\frac{H}{u}\right) - \frac{1}{2}g\left(\frac{H}{u}\right)^2 = H - \frac{1}{2}g\left(\frac{H^2}{u^2}\right)$
$u^2 = 2gH$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h = H - \frac{1}{2}g\left(\frac{H^2}{2gH}\right) = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$.

(B) ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $(g)$ હંમેશા પૃથ્વીના કેન્દ્ર તરફ શિરોલંબ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે,ભલે પદાર્થની ગતિની દિશા ગમે તે હોય.
કારણ કે ઉપરની દિશાને ધન તરીકે લેવામાં આવી છે,તેથી નીચેની દિશા ઋણ ગણાશે.
ઉપરની ગતિ દરમિયાન,પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે છે,પરંતુ પ્રવેગ હજુ પણ નીચેની તરફ જ હોય છે,તેથી તે ઋણ છે.
નીચેની ગતિ દરમિયાન,પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણની દિશામાં ગતિ કરે છે,પરંતુ પ્રવેગ હજુ પણ નીચેની તરફ જ હોય છે,તેથી તે ઋણ જ રહે છે.
તેથી,ઉપરની અને નીચેની બંને ગતિ દરમિયાન પ્રવેગ ઋણ હોય છે.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળની પદાર્થની ગતિ સંમિત હોય છે. ઉપરની તરફની ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં પદાર્થે કાપેલું અંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈએથી નીચેની તરફની ગતિની પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
નીચેની તરફની ગતિ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને સમય $t = 1 \, s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = 0 \times 1 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (1)^2$
$s = 4.9 \, m$
આમ,ઉપરની તરફની ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $4.9 \, m$ છે. આ અંતર પદાર્થની પ્રારંભિક ફેંકવાની ઝડપથી સ્વતંત્ર છે.

(B) જ્યારે કોઈ કણને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે જ્યાં તેનો અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$ થાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી,કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ તેનું ઉતરાણ (નીચેની તરફ ગતિ) શરૂ કરે છે.
તેના ઉતરાણની પ્રથમ સેકન્ડ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$,સમય $t = 1 \ s$,અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$s = ut + \frac{1}{2}at^2$,આપણને મળે છે:
$s = (0 \times 1) + \frac{1}{2} \times g \times (1)^2$
$s = \frac{g}{2}$.

(A) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પદાર્થની ગતિ સંમિત (symmetric) હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $5 \text{ s}$ છે,તેથી કુલ ઉડ્ડયન સમય $10 \text{ s}$ છે.
ગતિની સંમિતિને કારણે,ઉપરની તરફની મુસાફરી દરમિયાન કોઈપણ સમયગાળા $t$ માં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર,નીચેની તરફની મુસાફરી દરમિયાનના અનુરૂપ સમયગાળામાં કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,ઉપરની તરફની મુસાફરીની $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ ગતિના અંતથી $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર (એટલે કે $(10-n+1)^{\text{th}}$ સેકન્ડ) જેટલું હોય છે.
$1$. $n=1$ માટે: $1^{\text{st}}$ સેકન્ડમાં અંતર = $10^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં અંતર.
$2$. $n=2$ માટે: $2^{\text{nd}}$ સેકન્ડમાં અંતર = $9^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં અંતર.
$3$. $n=4$ માટે: $4^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં અંતર = $7^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં અંતર.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા:
- વિકલ્પ $(a)$ સાચો છે ($1^{\text{st}}$ અને $10^{\text{th}}$ સેકન્ડ).
- વિકલ્પ $(b)$ ખોટો છે ($2^{\text{nd}}$ અને $8^{\text{th}}$ સેકન્ડ સમાન નથી).
- વિકલ્પ $(c)$ ખોટો છે ($4^{\text{th}}$ અને $6^{\text{th}}$ સેકન્ડ સમાન નથી).
તેથી,સાચો જવાબ $(a)$ છે.

(C) પ્રથમ દડા માટે,કાપેલું અંતર $h = 122.5 \ m$ છે. ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$122.5 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5 \times 2}{9.8} = 25$
$t = 5 \ s$.
બીજો દડો $2 \ s$ પછી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેને પાણી સુધી પહોંચવા માટે માત્ર $(5 - 2) = 3 \ s$ નો સમય મળે છે.
બીજા દડા માટે ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2} g t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$122.5 = u(3) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$122.5 = 3u + 4.9 \times 9$
$122.5 = 3u + 44.1$
$3u = 122.5 - 44.1 = 78.4$
$u = \frac{78.4}{3} \approx 26.13 \ m/s$.

(B) $1$. ફુગ્ગાની પ્રારંભિક ગતિ: ફુગ્ગો સ્થિર સ્થિતિ $(u = 0)$ થી $a = 2 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે શરૂ થાય છે. $t = 1 \, s$ પછી,ફુગ્ગાનો વેગ $v = u + at = 0 + 2(1) = 2 \, m/s$ થાય છે. ફુગ્ગા દ્વારા કાપેલું અંતર $h = ut + \frac{1}{2}at^2 = 0 + \frac{1}{2}(2)(1)^2 = 1 \, m$ છે.
$2$. પથ્થરની ગતિ: જ્યારે પથ્થરને છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ તે ક્ષણે ફુગ્ગાના વેગ જેટલો એટલે કે $u_s = 2 \, m/s$ (ઉપરની તરફ) હોય છે. પથ્થર $1 \, m$ ની ઊંચાઈ પર છે અને તેના પર ગુરુત્વાકર્ષણ ($g = 9.8 \, m/s^2$ નીચેની તરફ) કાર્ય કરે છે.
$3$. પથ્થર માટે ગતિનું સમીકરણ: $s = u_s t - \frac{1}{2}gt^2$. અહીં,$s = -1 \, m$ (કારણ કે તે પ્રારંભિક બિંદુથી નીચે જમીન પર પડે છે).
$-1 = 2t - \frac{1}{2}(9.8)t^2$
$-1 = 2t - 4.9t^2$
$4.9t^2 - 2t - 1 = 0$
$4$. દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$t = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4(4.9)(-1)}}{2(4.9)} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 19.6}}{9.8} = \frac{2 \pm \sqrt{23.6}}{9.8}$
ધન કિંમત લેતા: $t = \frac{2 + 4.858}{9.8} \approx \frac{6.858}{9.8} \approx 0.7 \, s$.

(C) દડાને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ બે ક્રમિક ફેંક વચ્ચેનો સમયગાળો છે,જે $t = 2 \, s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,દડાનો અંતિમ વેગ $v = 0$ હોય છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u - gt$,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે:
$0 = u - (9.8)(2)$
$u = 19.6 \, m/s$.
દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ એ સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$H = \frac{(19.6)^2}{2 \times 9.8}$
$H = \frac{19.6 \times 19.6}{19.6}$
$H = 19.6 \, m$.

(B) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત ઝડપ $u$ છે. $t$ સમયે ઊંચાઈ $h$ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
દડો $t_1$ અને $t_2$ સમયે સમાન ઊંચાઈ $h$ પર હોવાથી,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બે બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = \frac{u}{g/2} = \frac{2u}{g}$ થાય છે.
$u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ મળે છે.

(A) ધારો કે દડાને જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે.
જ્યારે દડો $d = (h - y)$ જેટલું અંતર કાપે છે,જ્યાં $y$ એ જમીનથી તેની ઊંચાઈ છે,ત્યારે તેનો વેગ $v$ ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને શોધી શકાય છે: $v^2 = u^2 + 2as$.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$,પ્રવેગ $a = g$,અને કાપેલું અંતર $s = h - y$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે: $v^2 = 0^2 + 2g(h - y)$.
તેથી,ઊંચાઈ $y$ ના વિધેય તરીકે વેગ $v = \sqrt{2g(h - y)}$ થાય છે.

(B) ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2gh$,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$g$ એ ગુરુત્વ પ્રવેગ છે અને $h$ એ ટાવરની ઊંચાઈ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \, m/s$ (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
અંતિમ વેગ $v = -20 \, m/s$ (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
પ્રવેગ $g = -10 \, m/s^2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(-20)^2 = (10)^2 + 2(-10)(-h)$
$400 = 100 + 20h$
$300 = 20h$
$h = 15 \, m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $15 \, m$ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે અને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
ઊંચાઈના પ્રથમ અડધા ભાગ $(H/2)$ માટે,લાગતો સમય $t_1 = 10 \, s$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{H}{2} = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times g \times (10)^2$
$\frac{H}{2} = 50g \Rightarrow H = 100g$
કુલ ઊંચાઈ $H$ માટે,કુલ સમય $T$ નીચે મુજબ મળે છે:
$H = 0 \times T + \frac{1}{2} \times g \times T^2$
$100g = \frac{1}{2} \times g \times T^2$
$T^2 = 200$
$T = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, s$
$T = 10 \times 1.414 = 14.14 \, s$.

(C) ધારો કે $h = 5 \, m$ એ ઊંચાઈ છે અને $\Delta t = 10 \, s$ એ બે વાર પસાર થવા વચ્ચેનો સમયગાળો છે.
ગતિના સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ $gt^2 - 2ut + 2h = 0$.
ધારો કે $t_1$ અને $t_2$ એ બે સમય છે જ્યારે પદાર્થ $h$ ઊંચાઈ પર હોય. આ દ્વિઘાત સમીકરણ $t^2 - (2u/g)t + (2h/g) = 0$ ના બીજ છે.
બીજ વચ્ચેનો તફાવત $|t_2 - t_1| = \sqrt{(2u/g)^2 - 4(2h/g)} = 10$ છે.
ધારો કે $T = u/g$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય છે. તેથી $2T = 2u/g$.
તેથી,$\sqrt{(2T)^2 - 8h/g} = 10$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $4T^2 - 8h/g = 100$.
આપેલ છે કે $h = 5 \, m$ અને $g = 10 \, m/s^2$,તેથી $4T^2 - 8(5)/10 = 100$.
$4T^2 - 4 = 100 \Rightarrow 4T^2 = 104 \Rightarrow T^2 = 26$.
$T = \sqrt{26} \, s$.
ઉડ્ડયનનો કુલ સમય $2T = 2\sqrt{26} = \sqrt{4 \times 26} = \sqrt{104} \, s$ છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 52 \,m/s$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \,m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $gt^2 - 2ut + 2h = 0$ મળે છે.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જેના બે બીજ $t_1$ અને $t_2$ છે,જે તે સમય દર્શાવે છે જ્યારે પદાર્થ $h$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{2u}{g} = \frac{2 \times 52}{10} = 10.4 \,s$ છે.
બીજનો તફાવત $t_2 - t_1 = 10 \,s$ આપેલ છે.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2t_2 = 20.4 \,s \Rightarrow t_2 = 10.2 \,s$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2t_1 = 0.4 \,s \Rightarrow t_1 = 0.2 \,s$.
બીજનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = \frac{2h}{g}$ થાય છે.
કિંમતો મૂકતા: $0.2 \times 10.2 = \frac{2h}{10}$.
$2.04 = \frac{h}{5} \Rightarrow h = 2.04 \times 5 = 10.2 \,m$.

(B) ધારો કે પદાર્થ $h = 10 \, m$ ની ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરે છે. રેતીને અથડાતા પહેલા તે મુક્ત રીતે કાપેલું અંતર $h_1 = 10 \, m - 1 \, m = 9 \, m$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 - u^2 = 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = g$,અને $s = 9 \, m$:
$v^2 - 0 = 2g(9)$
$v^2 = 18g$
હવે,પદાર્થ રેતીમાં પ્રવેશે છે અને $s' = 1 \, m$ અંતર કાપ્યા પછી સ્થિર થાય છે. ધારો કે પ્રતિપ્રવેગ $a'$ છે. અંતિમ વેગ $v_f = 0$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_i^2 = v^2 = 18g$ છે.
$v_f^2 - v_i^2 = 2a's'$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 - 18g = 2(a')(1)$
$-18g = 2a'$
$a' = -9g$
આમ,પ્રતિપ્રવેગનું મૂલ્ય $9g$ છે.

(C) ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે. $h = H/3$ ઊંચાઈ પર વેગ $v = 10 \sqrt{2} \, m/s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પર,અંતિમ વેગ $v_f = 0$ થાય છે.
ઊંચાઈ $H/3$ અને મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ વચ્ચે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_f^2 = v^2 - 2g \Delta y$
અહીં,$\Delta y = H - H/3 = 2H/3$ અને $g = 10 \, m/s^2$ છે.
$0^2 = (10 \sqrt{2})^2 - 2 \times 10 \times (2H/3)$
$0 = 200 - 40H/3$
$40H/3 = 200$
$H = (200 \times 3) / 40 = 15 \, m$.
આમ,પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $15 \, m$ છે.

(C) ધારો કે $H$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પડવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે:
$H = \frac{1}{2} g T^2 \Rightarrow T = \sqrt{\frac{2H}{g}}$
ધારો કે મુસાફરીનો પ્રથમ અડધો ભાગ,એટલે કે $H/2$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે:
$\frac{H}{2} = \frac{1}{2} g t_1^2 \Rightarrow t_1 = \sqrt{\frac{H}{g}}$
મુસાફરીનો બીજો અડધો ભાગ કાપવા માટે લાગતો સમય એ કુલ સમય અને પ્રથમ અડધા ભાગ માટે લાગતા સમયનો તફાવત છે:
$t_2 = T - t_1 = \sqrt{\frac{2H}{g}} - \sqrt{\frac{H}{g}}$
$t_2 = \sqrt{\frac{H}{g}} (\sqrt{2} - 1)$