Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(B) ધારો કે ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે અને પતનનો કુલ સમય $t$ છે.
પથ્થરને મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
કુલ ઊંચાઈ $H = \frac{1}{2}gt^2$ છે.
પ્રથમ $(t-1)$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $H' = \frac{1}{2}g(t-1)^2$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $H - H' = \frac{5}{9}H$ છે.
$H$ અને $H'$ માટેના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = \frac{5}{9} \left(\frac{1}{2}gt^2\right)$
બંને બાજુ $\frac{1}{2}g$ વડે ભાગતા:
$t^2 - (t-1)^2 = \frac{5}{9}t^2$
$t^2 - (t^2 - 2t + 1) = \frac{5}{9}t^2$
$2t - 1 = \frac{5}{9}t^2$
$18t - 9 = 5t^2$
$5t^2 - 18t + 9 = 0$
અવયવીકરણની રીતનો ઉપયોગ કરીને દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$5t^2 - 15t - 3t + 9 = 0$
$5t(t - 3) - 3(t - 3) = 0$
$(5t - 3)(t - 3) = 0$
આથી $t = \frac{3}{5} \text{ s}$ અથવા $t = 3 \text{ s}$ મળે છે.
છેલ્લી સેકન્ડનો ઉલ્લેખ હોવાથી $t > 1$ હોવું જોઈએ,તેથી $t = \frac{3}{5} \text{ s}$ ને અવગણતા.
તેથી,પતનનો કુલ સમય $3 \text{ s}$ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. પથ્થરને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. જ્યારે તે જમીન પર પહોંચે છે,ત્યારે તેનો અંતિમ વેગ $v = 4u$ છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
અહીં,સ્થાનાંતર $s = -h$ (પ્રક્ષેપણ બિંદુથી નીચેની તરફ) અને પ્રવેગ $a = -g$ છે.
તેથી,$(4u)^2 = u^2 + 2(-g)(-h)$.
$16u^2 = u^2 + 2gh$.
$15u^2 = 2gh$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $h = \frac{15u^2}{2g}$ છે.

(C) ધારો કે પ્રથમ પદાર્થ $1$ છે અને બીજો પદાર્થ $2$ છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$ અને પ્રવેગ $a_1 = -g$ છે.
બીજા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_2 = -5 \, m/s$ (નીચેની તરફ) અને પ્રવેગ $a_2 = -g$ છે.
સાપેક્ષ પ્રારંભિક વેગ $u_{\text{rel}} = u_1 - u_2 = 0 - (-5) = 5 \, m/s$ છે.
સાપેક્ષ પ્રવેગ $a_{\text{rel}} = a_1 - a_2 = -g - (-g) = 0 \, m/s^2$ છે.
$t = 3 \, s$ સમય પછી સાપેક્ષ સ્થાનાંતર $s_{\text{rel}} = u_{\text{rel}} t + \frac{1}{2} a_{\text{rel}} t^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$s_{\text{rel}} = 5 \times 3 + 0 = 15 \, m$.
આમ,$3 \, s$ પછી બંને પદાર્થોની ઊંચાઈમાં તફાવત $15 \, m$ હશે.

(D) અવાજ સાંભળવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ એ લોખંડના બ્લોકને પાણીની સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ અને અવાજને પાછા ઉપર આવવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$ નો સરવાળો છે.
આપેલ છે: ઊંડાઈ $h = 78.4 \, m$,$g = 9.8 \, m/s^2$,કુલ સમય $T = 4.23 \, s$.
પ્રથમ,ગતિના સમીકરણ $h = \frac{1}{2} g t_1^2$ નો ઉપયોગ કરીને બ્લોકને પડવા માટે લાગતો સમય $(t_1)$ શોધો:
$78.4 = \frac{1}{2} \times 9.8 \times t_1^2$
$t_1^2 = \frac{78.4 \times 2}{9.8} = 16$
$t_1 = 4 \, s$.
અવાજને પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $(t_2)$ એ $T - t_1 = 4.23 - 4 = 0.23 \, s$ છે.
અવાજની ઝડપ $v = \frac{h}{t_2} = \frac{78.4}{0.23} \approx 340.87 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અવાજની ઝડપ $340.8 \, m/s$ છે.

(A) પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$8^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 8)$:
$S_8 = 0 + \frac{10}{2}(2 \times 8 - 1) = 5 \times 15 = 75\,m$.
સ્થિતિઊર્જામાં થતો ઘટાડો $\Delta U = mgh$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $h$ એ છેલ્લા સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર છે.
$\Delta U = 0.4 \times 10 \times 75 = 4 \times 75 = 300\,J$.

(B) ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 150\,m/s$,પ્રવેગ $a = -g = -10\,m/s^2$,અને $t$ એ સેકન્ડમાં સમય છે.
તેથી,$v(t) = 150 - 10t$.
$3\,s$ પછીનો વેગ $v(3) = 150 - 10(3) = 150 - 30 = 120\,m/s$ છે.
$5\,s$ પછીનો વેગ $v(5) = 150 - 10(5) = 150 - 50 = 100\,m/s$ છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v(3)}{v(5)} = \frac{120}{100} = \frac{6}{5}$ છે.
આપેલ છે કે ગુણોત્તર $\frac{x+1}{x}$ છે,તેથી $\frac{x+1}{x} = \frac{6}{5}$.
પદોની સરખામણી કરતા,$x = 5$ મળે છે.

(D) આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ $u = 4\,m s^{-1}$ (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
સમય $t = 4\,s$.
પ્રવેગ $a = -g = -10\,m s^{-2}$ (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
ધારો કે પુલની ઊંચાઈ $H$ છે. જ્યારે દડો પાણીની સપાટીને અથડાય ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $S = -H$ થાય (કારણ કે તે શરૂઆતના બિંદુથી નીચેની તરફ છે).
ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-H = (4)(4) + \frac{1}{2}(-10)(4)^2$
$-H = 16 - 5 \times 16$
$-H = 16 - 80$
$-H = -64$
$H = 64\,m$
આમ,પાણીની સપાટીથી પુલની ઊંચાઈ $64\,m$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ પર પદાર્થનો વેગ $u$ છે. પદાર્થ $g = 10 \ m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે મુક્ત પતન કરે છે.
$A$ થી $B$ સુધીના ગતિ માટે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ વાપરતા:
$80 = u(2) + \frac{1}{2}(10)(2)^2$
$80 = 2u + 20$
$60 = 2u$
$u = 30 \ m/s$
હવે,શરૂઆતના બિંદુ $O$ (જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u_0 = 0$ છે) થી બિંદુ $A$ સુધીની ગતિ ધ્યાનમાં લેતા:
$v^2 = u_0^2 + 2gS$ સૂત્ર વાપરતા,જ્યાં $v = u = 30 \ m/s$ છે:
$(30)^2 = 0^2 + 2(10)S$
$900 = 20S$
$S = 45 \ m$
આમ,શરૂઆતના બિંદુથી બિંદુ $A$ નું અંતર $45 \ m$ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે. નીચેની દિશાને ધન લેતા,ગતિનું સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ છે.
ઉપરની તરફ ફેંકવા માટે,પ્રારંભિક વેગ $-u$ છે: $h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_1^2 - ut_1 - h = 0$. $t_1$ માટે ઉકેલતા (ધન મૂળ લેતા): $t_1 = \frac{u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$.
નીચેની તરફ ફેંકવા માટે,પ્રારંભિક વેગ $+u$ છે: $h = ut_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \Rightarrow \frac{1}{2}gt_2^2 + ut_2 - h = 0$. $t_2$ માટે ઉકેલતા (ધન મૂળ લેતા): $t_2 = \frac{-u + \sqrt{u^2 + 2gh}}{g}$.
જો પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે,તો $u = 0$,તેથી $h = \frac{1}{2}gt^2 \Rightarrow t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
$t_1$ અને $t_2$ નો ગુણાકાર કરતા: $t_1 t_2 = \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} + u}{g}\right) \left(\frac{\sqrt{u^2 + 2gh} - u}{g}\right) = \frac{(u^2 + 2gh) - u^2}{g^2} = \frac{2gh}{g^2} = \frac{2h}{g} = t^2$.
તેથી,$t = \sqrt{t_1 t_2}$.

(C) ધારો કે કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. પથ્થરને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 5 \ s$ છે. $H = \frac{1}{2}gt^2$ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$H = \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2 = 125 \ m$.
પ્રથમ $3 \ s$ માં,કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 45 \ m$ છે.
બાકીનું અંતર $h_2 = H - h_1 = 125 - 45 = 80 \ m$ છે.
જ્યારે પથ્થરને અટકાવ્યા પછી ફરીથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી $(u = 0)$ શરૂ થાય છે અને બાકીનું અંતર $h_2$ સમય $t'$ માં કાપે છે.
$h_2 = \frac{1}{2}gt'^2 \Rightarrow 80 = \frac{1}{2} \times 10 \times t'^2$.
$80 = 5t'^2 \Rightarrow t'^2 = 16 \Rightarrow t' = 4 \ s$.
કુલ સમય એ પ્રારંભિક $3 \ s$ અને બાકીનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t'$ નો સરવાળો છે.
કુલ સમય $= 3 \ s + 4 \ s = 7 \ s$.

(D) ધારો કે કણને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવે છે. $h$ ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
આપેલ છે કે કણ $t_1 = 5 \ s$ અને $t_2 = 9 \ s$ સમયે $h$ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરે છે,જે આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{2u}{g}$ થાય છે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $5 + 9 = \frac{2u}{10}$.
$14 = \frac{2u}{10} \Rightarrow 2u = 140 \Rightarrow u = 70 \ m/s$.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 200 \ m$ છે અને પ્રારંભિક ઝડપ $u = 10 \ m/s$ છે.
નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે: $h = ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2 \implies 200 = 10t_1 + 5t_1^2 \implies t_1^2 + 2t_1 - 40 = 0$. દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને $t_1$ શોધતા: $t_1 = \frac{-2 + \sqrt{4 - 4(1)(-40)}}{2} = \frac{-2 + \sqrt{164}}{2} = -1 + \sqrt{41} \approx 5.4 \ s$.
ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા માટે: $h = -ut_2 + \frac{1}{2}gt_2^2 \implies 200 = -10t_2 + 5t_2^2 \implies t_2^2 - 2t_2 - 40 = 0$. $t_2$ શોધતા: $t_2 = \frac{2 + \sqrt{4 - 4(1)(-40)}}{2} = \frac{2 + \sqrt{164}}{2} = 1 + \sqrt{41} \approx 7.4 \ s$.
સમયનો તફાવત $\Delta t = t_2 - t_1 = (1 + \sqrt{41}) - (-1 + \sqrt{41}) = 2 \ s$ છે.

(C) પ્રથમ પથ્થરને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u}{g} = \frac{50}{10} = 5 \,s$ છે.
બીજો પથ્થર નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવે છે, તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 50 \,ms^{-1}$ અને પ્રવેગ $a = 10 \,ms^{-2}$ (નીચેની દિશાને ધન લેતા) છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરીને $t = 5 \,s$ સમયે બીજા પથ્થરનો વેગ:
$v = 50 + (10 \times 5) = 50 + 50 = 100 \,ms^{-1}$.

(A) ધારો કે કણને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \ m/s^2$ છે.
પ્રથમ $3$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_3 = \frac{1}{2} g(3)^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 9 = 45 \ m$ છે.
છેલ્લી $1$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_{last} = u + \frac{g}{2}(2n - 1) = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_{last} = S_3$,તેથી $5(2n - 1) = 45$.
$2n - 1 = 9 \Rightarrow 2n = 10 \Rightarrow n = 5 \ s$.
ટાવરની ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2} g n^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \ m$ છે.

(C) ધારો કે ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$:
$H = \frac{1}{2}gt^2$ --- $(i)$
$\frac{t}{2}$ સમય પછી,પદાર્થે ટોચથી કાપેલું અંતર $x$ છે:
$x = \frac{1}{2}g(\frac{t}{2})^2 = \frac{1}{2}g(\frac{t^2}{4}) = \frac{1}{8}gt^2$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ પરથી,આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{1}{2}gt^2 = H$,તેથી $\frac{1}{4}(\frac{1}{2}gt^2) = \frac{H}{4}$.
આમ,ટોચથી અંતર $x = \frac{H}{4}$ છે.
જમીનથી પદાર્થની ઊંચાઈ $H - x = H - \frac{H}{4} = \frac{3H}{4}$ મીટર થશે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2$ છે. દડો જમીન પર પાછો આવતો હોવાથી,કુલ સ્થાનાંતર $0$ થાય છે. ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a = -g$:
$0 = u(t_1 + t_2) - \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)^2$
$u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$
હવે,$t_1$ સમયે પ્રાપ્ત કરેલી ઊંચાઈ $h$ નીચે મુજબ છે:
$h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$u$ ની કિંમત મૂકતા:
$h = \left[\frac{1}{2}g(t_1 + t_2)\right]t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = \frac{1}{2}gt_1^2 + \frac{1}{2}gt_1t_2 - \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = \frac{1}{2}gt_1t_2$

(A) જ્યારે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પડે છે ત્યારે તે $V$ વેગ પ્રાપ્ત કરે છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા:
$V^2 = 0^2 + 2gh$
$\therefore h = \frac{V^2}{2g}$
જો તે વધુ નીચે પડે અને $3V$ જેટલો અંતિમ વેગ પ્રાપ્ત કરે,તો ધારો કે તે કુલ $h'$ ઊંચાઈ કાપે છે.
તે જ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(3V)^2 = 0^2 + 2gh'$
$9V^2 = 2gh'$
$\therefore h' = \frac{9V^2}{2g} = 9h$
વધારાના અંતરાલમાં કાપેલું અંતર એ કુલ ઊંચાઈ અને પ્રારંભિક ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે:
$\text{અંતર} = h' - h = 9h - h = 8h$.

(D) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = +5 \ m/s$.
સમય $t = 2 \ s$.
પ્રવેગ $a = -g = -10 \ m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$s = (5)(2) + \frac{1}{2}(-10)(2)^2$
$s = 10 - 5(4)$
$s = 10 - 20 = -10 \ m$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે સ્થાનાંતર શરૂઆતના બિંદુથી $10 \ m$ નીચે છે.
તેથી,પુલની ઊંચાઈ $10 \ m$ છે.

(D) ધારો કે ઉપરની તરફની ગતિનો કુલ સમય $T$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે. સમીકરણ $v = u - gT$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - gT$,તેથી $T = u/g$ મળે.
ઉપરની ગતિના છેલ્લા '$t$' સેકન્ડ દરમિયાન,દડો $(T-t)$ સમયને અનુરૂપ ઊંચાઈથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી ગતિ કરે છે.
વૈકલ્પિક રીતે,ગતિને ઉલટી રીતે વિચારો: દડો મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ '$t$' સેકન્ડ માટે નીચે પડે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી નીચેની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા $(u_{initial} = 0)$:
$s = 0 \cdot t + \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}gt^2$.
આમ,ઉપરની ગતિના છેલ્લા '$t$' સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $\frac{1}{2}gt^2$ છે.

(B) ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $H$ છે. જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $T$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$ છે:
$H = \frac{1}{2} g T^2 \Rightarrow g T^2 = 2H \dots (i)$
હવે,ધારો કે $t = \frac{T}{4}$ સમયમાં દડા દ્વારા ટોચથી કાપેલું અંતર $x$ છે:
$x = \frac{1}{2} g \left( \frac{T}{4} \right)^2 = \frac{1}{2} g \frac{T^2}{16} = \frac{g T^2}{32}$
સમીકરણ $(i)$ માંથી $g T^2$ ની કિંમત મૂકતા:
$x = \frac{2H}{32} = \frac{H}{16}$
જમીનથી દડાની ઊંચાઈ એ કુલ ઊંચાઈમાંથી ટોચથી કાપેલું અંતર બાદ કરવાથી મળે છે:
$\text{ઊંચાઈ} = H - x = H - \frac{H}{16} = \frac{15H}{16}$

(A) ધારો કે દડાનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 3 \ s$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u - gt$.
કિંમતો મૂકતા: $0 = u - (10 \ m/s^2)(3 \ s)$.
તેથી,$u = 30 \ m/s$.
હવે,મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ શોધવા માટે ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 - 2gh$.
$v = 0$ અને $u = 30 \ m/s$ મૂકતા: $0 = (30)^2 - 2(10)h$.
$20h = 900$.
$h = 45 \ m$.

(C) આપેલ છે: સમય $t = 10 \ s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$,અને પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$ (કારણ કે પદાર્થ મુક્ત પતન કરે છે).
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
પ્રથમ,ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરીને કુલ સ્થાનાંતર $S$ શોધો: $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
કિંમતો મૂકતા: $S = 0 \times 10 + \frac{1}{2} \times 10 \times (10)^2 = 0 + 5 \times 100 = 500 \ m$.
હવે,સરેરાશ વેગ શોધો: $v_{avg} = \frac{S}{t} = \frac{500 \ m}{10 \ s} = 50 \ m/s$.

(B) ધારો કે દડાને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ છે। પ્રશ્ન મુજબ,$t = 1 \,s$. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે। ગતિના સમીકરણ $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - (10)(1)$,જેનો અર્થ છે કે પ્રારંભિક વેગ $u = 10 \,m/s$ છે। દડા દ્વારા પ્રાપ્ત ઊંચાઈ $h$ એ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। કિંમતો મૂકતા,$h = (10)(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$. વૈકલ્પિક રીતે,સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે પડતા પદાર્થ માટે $h = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા (જે ઉપરની ગતિને સમાન છે),$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (1)^2 = 5 \,m$.

(C) ધારો કે પ્રથમ પથ્થર $t_0$ સમય માટે પડે છે. તેણે કાપેલું અંતર $S_1 = \frac{1}{2} g t_0^2$ છે.
બીજો પથ્થર $\Delta t$ સેકન્ડ પછી શરૂ થાય છે,તેથી તે $(t_0 - \Delta t)$ સમય માટે પડે છે. તેણે કાપેલું અંતર $S_2 = \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$ છે.
બંને વચ્ચેનું અંતર $H = S_1 - S_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{1}{2} g t_0^2 - \frac{1}{2} g (t_0 - \Delta t)^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $H = \frac{1}{2} g [t_0^2 - (t_0^2 - 2 t_0 \Delta t + \Delta t^2)]$.
$H = \frac{1}{2} g [2 t_0 \Delta t - \Delta t^2]$.
$H = g t_0 \Delta t - \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$t_0$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $g t_0 \Delta t = H + \frac{1}{2} g \Delta t^2$.
$g \Delta t$ વડે ભાગતા: $t_0 = \frac{H}{g \Delta t} + \frac{\Delta t}{2}$.

(D) ધારો કે પદાર્થને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ફેંકવામાં આવે છે. $h$ ઊંચાઈ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $t_1$ અને $t_2$ છે,જે દર્શાવે છે કે પદાર્થ ઉપર જતી વખતે અને નીચે આવતી વખતે $h$ ઊંચાઈએ કયા સમયે પહોંચે છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{-(-u)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2u}{g}$ થાય.
$u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
$h = 25 \ m$ અને $g = 10 \ m \ s^{-2}$ મૂકતા,આપણને $25 = ut - 5t^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $5t^2 - ut + 25 = 0$ થાય છે.
ધારો કે $t_1$ અને $t_2$ એ બે સમય છે જ્યારે દડો $25 \ m$ ની ઊંચાઈ પર હોય.
બીજોનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{u}{5}$ અને બીજોનો ગુણાકાર $t_1 t_2 = \frac{25}{5} = 5$ થાય.
સમયગાળો $|t_2 - t_1| = 4 \ s$ છે.
નિત્યસમ $(t_2 - t_1)^2 = (t_1 + t_2)^2 - 4t_1 t_2$ નો ઉપયોગ કરતા,$4^2 = (\frac{u}{5})^2 - 4(5)$ મળે.
$16 = \frac{u^2}{25} - 20$,તેથી $\frac{u^2}{25} = 36$.
$u^2 = 36 \times 25 = 900$,જે આપણને $u = 30 \ m \ s^{-1}$ આપે છે.

(D) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થનું સ્થાનાંતર શોધવાનું સૂત્ર: $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ હોય છે.
તેથી,$n^{th}$ સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ થાય.
બીજી સેકન્ડ માટે $(n = 2)$: $S_2 = \frac{g}{2}(2(2) - 1) = \frac{g}{2}(3) = 1.5g$.
પાંચમી સેકન્ડ માટે $(n = 5)$: $S_5 = \frac{g}{2}(2(5) - 1) = \frac{g}{2}(9) = 4.5g$.
સ્થાનાંતરનો ગુણોત્તર $\frac{S_2}{S_5} = \frac{1.5g}{4.5g} = \frac{1.5}{4.5} = \frac{1}{3}$ થાય.

(B) ધારો કે ગતિનો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે. $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \ m \ s^{-2}$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં ($n^{th}$ સેકન્ડ) કાપેલું અંતર $S_n = 0 + \frac{10}{2}(2n - 1) = 5(2n - 1)$ છે.
છેલ્લી સેકન્ડ પહેલાની સેકન્ડમાં ($(n-1)^{th}$ સેકન્ડ) કાપેલું અંતર $S_{n-1} = 0 + \frac{10}{2}(2(n-1) - 1) = 5(2n - 3)$ છે.
આપેલ છે કે છેલ્લી સેકન્ડ પહેલાની સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $5 \ m$ છે,તેથી $5(2n - 3) = 5$.
$2n - 3 = 1 \implies 2n = 4 \implies n = 2 \ s$.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ જમીનથી $h$ ઊંચાઈ પર છે. ગતિનું સમીકરણ $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\frac{1}{2}gt^2 - vt + h = 0$ મળે છે.
આ $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ છે,જેના બે ઉકેલો $t_1$ અને $t_2$ છે,જે તે સમય દર્શાવે છે જ્યારે દડો $h$ ઊંચાઈ પર હોય છે.
આપેલ છે કે $t_1 = x$,ઉકેલોનો સરવાળો $t_1 + t_2 = \frac{-(-v)}{\frac{1}{2}g} = \frac{2v}{g}$ થાય છે.
તેથી,$t_2 = \frac{2v}{g} - x$.
પ્રથમ વખત $P$ માંથી પસાર થયા પછી ફરીથી $P$ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 - t_1 = (\frac{2v}{g} - x) - x = \frac{2v}{g} - 2x = 2(\frac{v}{g} - x)$ છે.

(C) શરૂઆતના વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 2gH$.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ પર વેગની ગણતરી કરીએ છીએ.
ઊંચાઈ $h_1 = \frac{3H}{4}$ માટે,વેગ $v_1$ એ $v_1^2 = u^2 - 2g(\frac{3H}{4}) = 2gH - \frac{3gH}{2} = \frac{gH}{2}$ દ્વારા મળે છે.
ઊંચાઈ $h_2 = \frac{8H}{9}$ માટે,વેગ $v_2$ એ $v_2^2 = u^2 - 2g(\frac{8H}{9}) = 2gH - \frac{16gH}{9} = \frac{2gH}{9}$ દ્વારા મળે છે.
વેગનો ગુણોત્તર $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{v_1^2}{v_2^2}} = \sqrt{\frac{gH/2}{2gH/9}} = \sqrt{\frac{1}{2} \times \frac{9}{2}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2}$ થાય છે.

(D) ગતિના બીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$S = ut + \frac{1}{2}at^2$.
પદાર્થોને મુક્ત પતન કરાવવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ લેતા.
પ્રથમ પદાર્થ માટે,$h_1 = \frac{1}{2}gt_1^2$,જેનો અર્થ થાય છે $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}}$.
બીજા પદાર્થ માટે,$h_2 = \frac{1}{2}gt_2^2$,જેનો અર્થ થાય છે $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}}$.
લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h_1/g}}{\sqrt{2h_2/g}} = \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$ થાય છે.

(B) કુલ ઊંચાઈ $H = 80 \,m$ છે. પતનનો છેલ્લો $50 \%$ ભાગ એટલે ઉપરથી $40 \,m$ થી $80 \,m$ સુધીનું અંતર.
ધારો કે પ્રથમ $40 \,m$ (ઊંચાઈનો પ્રથમ $50 \%$) કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે.
$s = ut + \frac{1}{2}at^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = 10 \,ms^{-2}$:
$40 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_1^2$
$40 = 5 t_1^2 \Rightarrow t_1^2 = 8 \Rightarrow t_1 = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2} \,s \approx 2.828 \,s$.
ધારો કે સંપૂર્ણ $80 \,m$ ની ઊંચાઈ કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_2$ છે.
$80 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times t_2^2$
$80 = 5 t_2^2 \Rightarrow t_2^2 = 16 \Rightarrow t_2 = 4 \,s$.
પતનનો છેલ્લો $50 \%$ ભાગ કાપવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1$ છે.
$\Delta t = 4 - 2 \sqrt{2} = 4 - 2.828 = 1.172 \,s \approx 1.17 \,s$.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્ત પતન કરતા $m$ દળના પદાર્થનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખીય વેગમાન $p$ ને $p = mv$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે:
$p_1 = m_1 v_1 = m_1 \sqrt{2gh_1}$
બીજા પદાર્થ માટે:
$p_2 = m_2 v_2 = m_2 \sqrt{2gh_2}$
તેમના રેખીય વેગમાનનો ગુણોત્તર:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 \sqrt{2gh_1}}{m_2 \sqrt{2gh_2}} = \frac{m_1}{m_2} \sqrt{\frac{h_1}{h_2}}$
અહીં $\frac{m_1}{m_2} = \frac{2}{3}$ અને $\frac{h_1}{h_2} = \frac{9}{16}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{p_1}{p_2} = \frac{2}{3} \times \sqrt{\frac{9}{16}} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$
આમ,ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(C) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $y_0 = h$ છે અને અંતિમ સ્થાન $y = 0$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = v$ છે અને પ્રવેગ $a = -g$ છે.
ગતિના સમીકરણ $y = y_0 + ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$0 = h + vt - \frac{1}{2}gt^2$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે:
$\frac{1}{2}gt^2 - vt - h = 0$
$2$ વડે ગુણતા,આપણને $gt^2 - 2vt - 2h = 0$ મળે છે.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $a=g$,$b=-2v$,અને $c=-2h$ છે:
$t = \frac{2v \pm \sqrt{(-2v)^2 - 4(g)(-2h)}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 8gh}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm 2\sqrt{v^2 + 2gh}}{2g}$
$t = \frac{v \pm \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}$
સમય ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂળ લઈએ છીએ:
$t = \frac{v + \sqrt{v^2 + 2gh}}{g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{\sqrt{v^2(1 + \frac{2gh}{v^2})}}{g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{v}{g}\sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}}$
$t = \frac{v}{g}\left[1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}}\right]$

(B) પથ્થર મુક્ત પતન કરતો હોવાથી, તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે।
પ્રથમ $5 \,s$ માં પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે।
$u = 0$, $t = 5 \,s$, અને $g = 9.8 \,m/s^2$ મૂકતા:
$h_1 = 0 \times 5 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times 5^2 = 122.5 \,m$.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{1}{2}g(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપેલ છે કે છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ પ્રથમ $5 \,s$ માં કાપેલા અંતર જેટલું છે:
$122.5 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (2n - 1)$.
$122.5 = 4.9 \times (2n - 1)$.
$2n - 1 = \frac{122.5}{4.9} = 25$.
$2n = 26$.
$n = 13 \,s$.

(C) ધારો કે પદાર્થનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u}{g}$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ઉપરની ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં થયેલું સ્થાનાંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈએ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતી નીચેની ગતિની પ્રથમ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,નીચેની ગતિની પ્રથમ સેકન્ડ માટે ($u = 0$,$a = g$,$t = 1$ સેકન્ડ):
$s = 0(1) + \frac{1}{2}g(1)^2 = \frac{g}{2}$.
આમ,વિધાન $(A)$ સાચું છે.
કારણ $(R)$ ખોટું છે કારણ કે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ ગતિ કરતા પદાર્થ માટે પ્રવેગ અચળ $(g)$ રહે છે અને સમગ્ર ગતિ દરમિયાન નીચેની તરફ હોય છે; તે ઘટતો નથી.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h = 60 \ m$ છે. બંને પથ્થર જમીનથી $y = \frac{2h}{3} = \frac{2 \times 60}{3} = 40 \ m$ ઊંચાઈએ મળે છે.
ટાવરની ટોચ પરથી મુક્ત કરેલા પથ્થર માટે: કાપેલું અંતર $s_1 = h - y = 60 - 40 = 20 \ m$ છે. $s = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રમાં $u = 0$ મૂકતા,$20 = 0 + \frac{1}{2}(10)t^2$,એટલે કે $20 = 5t^2$,તેથી $t^2 = 4$ અને $t = 2 \ s$ મળે છે.
જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પથ્થર માટે: કાપેલું અંતર $s_2 = y = 40 \ m$ છે. $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$40 = u(2) - \frac{1}{2}(10)(2)^2$.
$40 = 2u - 20$.
$2u = 60$,તેથી $u = 30 \ ms^{-1}$ મળે છે.

(C) ધારો કે બીજા પથ્થરને પહેલા પથ્થરને પકડવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે,મુસાફરીનો સમય $(t + 2) \,s$ છે. પ્રથમ પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g (t + 2)^2$ છે.
બીજા પથ્થર માટે,મુસાફરીનો સમય $t \,s$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \,m/s$ છે. બીજા પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $s_2 = ut + \frac{1}{2} g t^2$ છે.
જ્યારે બીજો પથ્થર પહેલાને પકડે છે,ત્યારે $s_1 = s_2$ થાય.
$\frac{1}{2} (10) (t + 2)^2 = 5t + \frac{1}{2} (10) t^2$
$5(t^2 + 4t + 4) = 5t + 5t^2$
$5t^2 + 20t + 20 = 5t + 5t^2$
$15t = -20$. આ પરિસ્થિતિમાં સમય ઋણ મળે છે,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,ગણતરી કરતા સાચો જવાબ $22.2 \,m$ મળે છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ દડાને જમીન પરથી $y=0$ પર $v$ ના પ્રારંભિક વેગ સાથે ફેંકવામાં આવે છે। $t=0.8 \,s$ સમયે તેની ઊંચાઈ $h = vt - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $h = v(0.8) - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 0.8v - 3.2$.
બીજો દડો $20 \,m$ ની ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે। $t=0.8 \,s$ સમયે જમીનથી તેની ઊંચાઈ $y = H - \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
કિંમતો મૂકતા: $y = 20 - \frac{1}{2}(10)(0.8)^2 = 20 - 3.2 = 16.8 \,m$.
બંને દડા સમાન ઊંચાઈ પર હોવાથી, $h = y$.
તેથી, $0.8v - 3.2 = 16.8$.
$0.8v = 20$.
$v = \frac{20}{0.8} = 25 \,ms^{-1}$.

(C) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 5 \,m \,s^{-1}$, સમય $t = 3 \,s$, પ્રવેગ $a = -g = -10 \,m \,s^{-2}$.
સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$.
અહીં, $s$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી પાણીની સપાટી સુધીનું શિરોલંબ સ્થાનાંતર દર્શાવે છે. પથ્થર પુલની નીચે પાણીમાં પડતો હોવાથી, સ્થાનાંતર $-h$ થશે (જ્યાં $h$ એ પુલની ઊંચાઈ છે).
કિંમતો મૂકતા: $-h = (5)(3) + \frac{1}{2}(-10)(3)^2$.
$-h = 15 - 5(9)$.
$-h = 15 - 45$.
$-h = -30$.
$h = 30 \,m$.
તેથી, પાણીની સપાટીથી પુલની ઊંચાઈ $30 \,m$ છે.

(B) $\text{શિરોલંબ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ઉડ્ડયન સમય } T = \frac{2u}{g} \text{ દ્વારા આપવામાં આવે છે.}
\text{અહીં } T = 8 \,s \text{ અને } g = 10 \,m/s^2 \text{ આપેલ છે,તેથી } 8 = \frac{2u}{10},\text{જેનાથી પ્રારંભિક વેગ } u = 40 \,m/s \text{ મળે છે.}
\text{સમય } t = 6 \,s \text{ પછી પથ્થરનું સ્થાન } h \text{ એ ગતિના સમીકરણ } h = ut - \frac{1}{2}gt^2 \text{ દ્વારા મળે છે.}
\text{કિંમતો મૂકતા: } h = (40 \times 6) - \frac{1}{2} \times 10 \times (6)^2.
h = 240 - 5 \times 36.
h = 240 - 180 = 60 \,m.
\text{આમ, } 6 \,s \text{ પછી પથ્થરનું સ્થાન } 60 \,m \text{ છે।}$

(C) ધારો કે ટાવરની ટોચ પરથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ, અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા, $0 = u - gt_1$, જે આપણને $t_1 = \frac{u}{g}$ આપે છે.
ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_2$ છે. પ્રશ્ન મુજબ, $t_2 = n t_1 = \frac{nu}{g}$ છે.
સ્થાનાંતર માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં $s = -H$ (નીચેની તરફનું સ્થાનાંતર), $u$ એ પ્રારંભિક ઉપરની તરફનો વેગ છે, $a = -g$, અને $t = t_2$:
$-H = u t_2 - \frac{1}{2} g t_2^2$
$t_2 = \frac{nu}{g}$ મૂકતા:
$-H = u \left( \frac{nu}{g} \right) - \frac{1}{2} g \left( \frac{nu}{g} \right)^2$
$-H = \frac{nu^2}{g} - \frac{n^2 u^2}{2g}$
$-H = \frac{2nu^2 - n^2u^2}{2g} = -\frac{nu^2(n-2)}{2g}$
તેથી, $H = \frac{nu^2(n-2)}{2g}$.

(C) ધારો કે ગતિનો કુલ સમય $t$ સેકન્ડ છે. ઇમારતની કુલ ઊંચાઈ $H = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ કુલ અંતર અને $(t-1)$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતર વચ્ચેનો તફાવત છે.
છેલ્લી સેકન્ડમાં અંતર $= H - \frac{1}{2}g(t-1)^2$.
પ્રશ્ન મુજબ,$H - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36H$.
$H = \frac{1}{2}gt^2$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{1}{2}gt^2 - \frac{1}{2}g(t-1)^2 = 0.36 \times (\frac{1}{2}gt^2)$.
$\frac{1}{2}g$ વડે ભાગતા,$t^2 - (t-1)^2 = 0.36t^2$.
$t^2 - (t^2 - 2t + 1) = 0.36t^2$.
$2t - 1 = 0.36t^2$.
$0.36t^2 - 2t + 1 = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા,$t = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 1.44}}{0.72} = \frac{2 \pm 1.6}{0.72}$.
ધન કિંમત લેતા,$t = \frac{3.6}{0.72} = 5 \ s$.
હવે,$H = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2 = 4.9 \times 25 = 122.5 \ m$.

(D) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $H$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
ધારો કે $t_1$ અને $t_2$ એ સમય છે જ્યારે પદાર્થ તેની ઉપરની અને નીચેની ગતિ દરમિયાન ટાવરની ટોચને ઓળંગે છે.
આપણને આપેલ છે કે આ બે ઓળંગવા વચ્ચેનો સમયગાળો $t_2 - t_1 = 8 \ s$ છે.
કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 16 \ s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પ્રક્ષિપ્ત ગતિ માટે,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવાનો સમય $T/2 = 16/2 = 8 \ s$ છે.
ધારો કે $t_c$ એ ટાવરની ટોચથી મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય છે. તો $t_1 = 8 - t_c$ અને $t_2 = 8 + t_c$.
આપેલ છે કે $t_2 - t_1 = 8 \ s$,તેથી $(8 + t_c) - (8 - t_c) = 8$,જે $2t_c = 8$ આપે છે,એટલે કે $t_c = 4 \ s$.
ટાવરની ઊંચાઈ $H$ એ મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુ $C$ થી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $t_c = 4 \ s$ માં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર છે.
$H = \frac{1}{2} g t_c^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2 = 5 \times 16 = 80 \ m$.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 16 \,ms^{-1}$, પાણી સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t_1 = 5 \,s$, પ્રવેગ $g = 10 \,ms^{-2}$.
પથ્થર માટે ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
નીચેની દિશાને ધન લેતા, સ્થાનાંતર $h$ નીચે મુજબ મળે:
$h = -ut_1 + \frac{1}{2}gt_1^2$
$h = -(16 \times 5) + \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2$
$h = -80 + 125 = 45 \,m$.
અવાજ દ્વારા કાપેલ અંતર $d = 45 \,m$ છે અને તે માટે લાગતો સમય $t_2 = 0.2 \,s$ છે.
અવાજની ઝડપ $v = \frac{d}{t_2} = \frac{45}{0.2} = 225 \,ms^{-1}$.

(C) જ્યારે કોઈ દડાને ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેની સમગ્ર ગતિ દરમિયાન તેના પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે શિરોલંબ નીચેની તરફ લાગે છે. ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $F = ma$ મુજબ,પ્રવેગ $a$ એ ચોખ્ખા બળની દિશામાં હોય છે. મહત્તમ ઊંચાઈના બિંદુએ,દડાનો વેગ ક્ષણિક રીતે શૂન્ય થાય છે,પરંતુ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ તેના પર સતત લાગે છે. તેથી,પ્રવેગ $g$ (ગુરુત્વીય પ્રવેગ) જેટલો જ રહે છે અને તે નીચેની તરફ હોય છે.

(B) હવાના અવરોધ સાથે ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પડતા પદાર્થ માટે,પ્રવેગ અચળ હોતો નથી. જો કે,આપણે અચળ પ્રવેગી ગતિ માટે સરેરાશ વેગના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m/s$,અંતિમ વેગ $v = 18 \ m/s$,અને સ્થાનાંતર $s = 20 \ m$.
સરેરાશ વેગ $v_{avg} = \frac{u + v}{2} = \frac{0 + 18}{2} = 9 \ m/s$.
લાગતો સમય $t = \frac{s}{v_{avg}} = \frac{20 \ m}{9 \ m/s} \approx 2.22 \ s$.
નજીકની કિંમત લેતા,લાગતો સમય આશરે $2.2 \ s$ છે.

(B) ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે. તેથી $H = \frac{1}{2} g T^2$.
છેલ્લા $1.0 \ s$ માં,દડો $\frac{H}{2}$ અંતર કાપે છે. આનો અર્થ એ છે કે પ્રથમ $(T - 1) \ s$ માં,દડો $\frac{H}{2}$ અંતર કાપે છે.
તેથી,$\frac{H}{2} = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$.
$H = \frac{1}{2} g T^2$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2} (\frac{1}{2} g T^2) = \frac{1}{2} g (T - 1)^2$
$\frac{T^2}{4} = (T - 1)^2$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા:
$\frac{T}{2} = T - 1$ (ધન મૂળ લેતા કારણ કે $T > 1$)
$T^2 - 4T + 2 = 0$ સમીકરણ ઉકેલતા:
$T = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 8}}{2} = 2 \pm \sqrt{2}$.
$T > 1$ હોવાથી,$T = 2 + 1.414 = 3.414 \ s$.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 20 \,ms^{-1}$, મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \,ms^{-1}$ અને પ્રવેગ $a = -g = -10 \,ms^{-2}$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (20)^2 + 2(-10)h$.
$0 = 400 - 20h$.
$20h = 400$.
$h = 20 \,m$.
નોંધ: પ્રશ્નમાં આપેલી $18 \,ms^{-1}$ ની કિંમત મહત્તમ ઊંચાઈ શોધવા માટે બિનજરૂરી છે, કારણ કે શિરોલંબ પ્રક્ષેપણના શિખર પર અંતિમ વેગ હંમેશા $0 \,ms^{-1}$ હોય છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,$s$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2s}{g}}$ છે.
ધારો કે પ્રથમ $5 \ m$ $(s_1 = 5 \ m)$ કાપવા માટેનો સમય $t_1$ છે. તો $t_1 = \sqrt{\frac{2(5)}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}$.
ધારો કે પ્રથમ $10 \ m$ $(s_2 = 10 \ m)$ કાપવા માટેનો સમય $t_2$ છે. તો $t_2 = \sqrt{\frac{2(10)}{g}} = \sqrt{\frac{20}{g}}$.
ધારો કે પ્રથમ $15 \ m$ $(s_3 = 15 \ m)$ કાપવા માટેનો સમય $t_3$ છે. તો $t_3 = \sqrt{\frac{2(15)}{g}} = \sqrt{\frac{30}{g}}$.
પ્રથમ $5 \ m$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T_1 = t_1 = \sqrt{\frac{10}{g}}$.
બીજા $5 \ m$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T_2 = t_2 - t_1 = \sqrt{\frac{20}{g}} - \sqrt{\frac{10}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1)$.
ત્રીજા $5 \ m$ કાપવા માટે લાગતો સમય $T_3 = t_3 - t_2 = \sqrt{\frac{30}{g}} - \sqrt{\frac{20}{g}} = \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$.
ગુણોત્તર $T_1 : T_2 : T_3$ એ $\sqrt{\frac{10}{g}} : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{2} - 1) : \sqrt{\frac{10}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ છે.
સાદુરૂપ આપતા,આપણને $1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$ મળે છે.