Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t=0$ થી શરૂ થતા સમાન સમયના અંતરાલ $\Delta t$ માં કાપેલું અંતર એકી સંખ્યાઓના ગુણોત્તરમાં હોય છે.
ધારો કે સમયનો અંતરાલ $\Delta t = 2\,s$ છે.
પ્રથમ $2\,s$ માં અંતર ($t=0$ થી $t=2$): $S_1 = \frac{1}{2}g(2)^2 = 2g$.
બીજા $2\,s$ માં અંતર ($t=2$ થી $t=4$): $S_2 = \frac{1}{2}g(4)^2 - \frac{1}{2}g(2)^2 = 8g - 2g = 6g$.
ત્રીજા $2\,s$ માં અંતર ($t=4$ થી $t=6$): $S_3 = \frac{1}{2}g(6)^2 - \frac{1}{2}g(4)^2 = 18g - 8g = 10g$.
તેથી ગુણોત્તર $S_1 : S_2 : S_3 = 2g : 6g : 10g = 1 : 3 : 5$ છે.

(C) ધારો કે બંને દડા $t$ સમય પછી $P$ બિંદુએ મળે છે.
ટોચ પરથી નીચે ફેંકવામાં આવેલા દડા $A$ દ્વારા કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2}gt^2$ છે.
પાયાથી ઉપર ફેંકવામાં આવેલા દડા $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર $h_2 = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે,જ્યાં $u = 50 \ m/s$ છે.
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h_1 + h_2 = 400 \ m$ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{1}{2}gt^2 + (ut - \frac{1}{2}gt^2) = 400$.
આ સાદું રૂપ આપતા $ut = 400$ મળે છે.
$u = 50 \ m/s$ આપેલ હોવાથી,$50t = 400$,તેથી $t = 8 \ s$ મળે છે.
પાયાથી ઊંચાઈ એ દડા $B$ દ્વારા કાપેલું અંતર છે,જે $h_2 = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
$g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$h_2 = 50(8) - \frac{1}{2}(10)(8^2) = 400 - 5(64) = 400 - 320 = 80 \ m$.

(A) $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ પરથી મળે છે. અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,$h = \frac{1}{2}gt^2$,જેનું સાદું રૂપ $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ થાય છે.
પ્રથમ દડા માટે જે $h_1 = h$ ઊંચાઈએથી પાડવામાં આવે છે,લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
બીજા દડા માટે જે $h_2 = 2h$ ઊંચાઈએથી પાડવામાં આવે છે,લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$ છે.
સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2h/g}}{\sqrt{4h/g}} = \sqrt{\frac{2h}{4h}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $1:\sqrt{2}$ છે.

(B) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કપાયેલું અંતર શોધવાનું સૂત્ર: $h_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ છે.
અહીં પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
આપેલ છે કે $g = 10\,m/s^2$ અને $n = 5$ સેકન્ડ.
સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$h_5 = 0 + \frac{10}{2}(2 \times 5 - 1)$
$h_5 = 5(10 - 1)$
$h_5 = 5 \times 9 = 45\,m$.
આમ,પાંચમી સેકન્ડમાં કપાયેલું અંતર $45\,m$ છે.

(A) શરૂઆતના વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{\max}$ માટેનું સૂત્ર $h_{\max} = \frac{u^2}{2g}$ છે.
અહીં,શરૂઆતનો વેગ $u = 15 \, m/s$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ આપેલ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$h_{\max} = \frac{(15)^2}{2 \times 10}$
$h_{\max} = \frac{225}{20}$
$h_{\max} = 11.25 \, m$.
તેથી,પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $11.25 \, m$ છે.

(B) જ્યારે પથ્થરને ઉપર જતા ફુગ્ગામાંથી છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $u$ એ ફુગ્ગાના વેગ જેટલો જ ઉપરની દિશામાં હોય છે. ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = +29 \,ms^{-1}$.
લાગતો સમય $t = 10 \,s$.
ગુરુત્વપ્રવેગ $g = -9.8 \,ms^{-2}$.
ધારો કે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ $h$ છે. જ્યારે પથ્થર જમીન પર પહોંચે ત્યારે તેનું સ્થાનાંતર $s = -h$ થાય.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-h = (29)(10) + \frac{1}{2}(-9.8)(10)^2$
$-h = 290 - 4.9 \times 100$
$-h = 290 - 490$
$-h = -200$
$h = 200 \,m$.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવેલા દડા માટે,$T$ સમયમાં કાપેલું કુલ અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$h = ut + \frac{1}{2}gT^2$
અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી:
$h = \frac{1}{2}gT^2$ --- $(1)$
$t = \frac{T}{3}$ સમય પછી,દડા દ્વારા ટોચથી કાપેલું અંતર $h'$ છે:
$h' = \frac{1}{2}g\left(\frac{T}{3}\right)^2 = \frac{1}{2}g\left(\frac{T^2}{9}\right) = \frac{1}{9} \left(\frac{1}{2}gT^2\right)$
સમીકરણ $(1)$ ની કિંમત આમાં મૂકતા:
$h' = \frac{h}{9}$
જમીનથી દડાનું સ્થાન એ કુલ ઊંચાઈમાંથી ટોચથી કાપેલું અંતર બાદ કરવાથી મળે છે:
$\text{જમીનથી સ્થાન} = h - h' = h - \frac{h}{9} = \frac{8h}{9} \text{ મીટર}$.

(C) ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળની ગતિના સમીકરણો મુજબ,$h$ ઊંચાઈએથી નીચે પડવા માટે લાગતો સમય $t$ એ $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનું સાદું રૂપ $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ થાય છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે ઉદ્ભવતો પ્રવેગ $g$ એ પદાર્થના દળ કે ઘનતાથી સ્વતંત્ર હોવાથી,બંને દડા સમાન પ્રવેગ અનુભવશે.
તેથી,બંને દડા પૃથ્વી પર એકસાથે પહોંચશે.

(C) જ્યારે પેકેટને ફુગ્ગામાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે શરૂઆતમાં ફુગ્ગા જેટલો જ વેગ ધરાવે છે,જે $u = +12 \, m/s$ છે (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
મુક્ત થયા પછી,પેકેટ ફક્ત ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $a = -g = -9.8 \, m/s^2$ છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v = u + at$:
$v = 12 + (-9.8) \times 2$
$v = 12 - 19.6$
$v = -7.6 \, m/s$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે પેકેટ નીચેની તરફ ગતિ કરી રહ્યું છે.

(B) મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 9.8 \ m/s^2$ છે.
કુલ સમય $t$ માટે ગતિની છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર નીચે મુજબ છે:
$S_{\text{last}} = u + \frac{g}{2}(2t - 1) = 0 + \frac{9.8}{2}(2t - 1) = 4.9(2t - 1)$.
પ્રથમ $3 \ s$ માં કાપેલું અંતર:
$S_{3} = ut + \frac{1}{2}gt^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2 = 4.9 \times 9 = 44.1 \ m$.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_{\text{last}} = S_{3}$:
$4.9(2t - 1) = 44.1$
$2t - 1 = \frac{44.1}{4.9}$
$2t - 1 = 9$
$2t = 10$
$t = 5 \ s$.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને $a$ પ્રવેગ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તેના પર નીચેની તરફ ગુરુત્વાકર્ષણનો પ્રવેગ $g$ પણ લાગે છે.
અહીં પ્રવેગ $a$ ઉપરની દિશામાં છે અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ નીચેની દિશામાં છે,તેથી ચોખ્ખો (અસરકારક) પ્રવેગ બંનેનો તફાવત થશે.
તેથી,અસરકારક પ્રવેગ = $a - g$.

(B) $n$ મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પદાર્થ ઉપરની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $-g$ છે. તેથી,$S_n = u - \frac{g}{2}(2n - 1)$.
$5$ મી સેકન્ડ માટે $(n=5)$: $S_5 = u - \frac{g}{2}(2(5) - 1) = u - 4.5g$.
$6$ મી સેકન્ડ માટે $(n=6)$: $S_6 = u - \frac{g}{2}(2(6) - 1) = u - 5.5g$.
જોકે,કાપેલું અંતર એ સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય છે. જો પદાર્થ $5$ મી અને $6$ મી સેકન્ડની વચ્ચે તેના મહત્તમ બિંદુએ પહોંચે,તો $5$ મી સેકન્ડમાં સ્થાનાંતર ધન હોય અને $6$ મી સેકન્ડમાં ઋણ હોય.
આપેલ છે કે $|S_5| = |S_6|$,તેથી $u - 4.5g = -(u - 5.5g)$.
$u - 4.5g = -u + 5.5g$.
$2u = 10g$.
$u = 5g = 5 \times 9.8 = 49\, m/s$.

(B) કોઈ પદાર્થને શિરોલંબ ઉપરની તરફ $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગથી ફેંકતા પ્રાપ્ત થતી મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર: $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $H \propto u^2$.
હવાના અવરોધની ગેરહાજરીમાં પદાર્થનું દળ મહત્તમ ઊંચાઈને અસર કરતું નથી,તેથી દળમાં થતો ફેરફાર અહીં ધ્યાનમાં લેવાની જરૂર નથી.
જો પ્રારંભિક વેગ બમણો $(u' = 2u)$ કરવામાં આવે,તો નવી મહત્તમ ઊંચાઈ $H'$ આ મુજબ થશે: $H' = \frac{(2u)^2}{2g} = 4 \times \frac{u^2}{2g} = 4H$.
અહીં $H = 50 \,m$ આપેલ છે,તેથી નવી ઊંચાઈ $H' = 4 \times 50 \,m = 200 \,m$ થશે.

(A) $1$. મુક્ત પતનનો તબક્કો (બિંદુ $A$ થી $B$ સુધી): પેરાશૂટિસ્ટ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $s_1 = 50\, m$ અંતર સુધી મુક્ત પતન કરે છે. પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$,પ્રવેગ $a_1 = 9.8\, m/s^2$.
બિંદુ $B$ પર વેગ $v$ નીચે મુજબ મળે: $v^2 = u_1^2 + 2a_1s_1 = 0 + 2 \times 9.8 \times 50 = 980$.
તેથી,$v = \sqrt{980}\, m/s$.
$2$. મંદનનો તબક્કો (બિંદુ $B$ થી $C$ સુધી): પેરાશૂટ ખુલે છે અને પેરાશૂટિસ્ટ $a_2 = -2\, m/s^2$ ના દરે મંદન અનુભવે છે. જમીન પર અંતિમ વેગ $v_f = 3\, m/s$ છે. ધારો કે કાપેલું અંતર $h$ છે.
સમીકરણ $v_f^2 = v^2 + 2a_2h$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(3)^2 = 980 + 2(-2)h$
$9 = 980 - 4h$
$4h = 980 - 9 = 971$
$h = 971 / 4 = 242.75\, m$.
$3$. કુલ ઊંચાઈ: તેણે જે ઊંચાઈએથી કૂદકો માર્યો તે કુલ ઊંચાઈ $H = s_1 + h = 50 + 242.75 = 292.75\, m \approx 293\, m$ છે.

(A) ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, જો કોઈ કણ પર માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગતું હોય, તો તેની કુલ યાંત્રિક ઉર્જા અચળ રહે છે.
ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને દરેક કણની પ્રારંભિક ઝડપ $u$ છે.
ટાવરની ટોચ પર દરેક કણની પ્રારંભિક ઉર્જા $E_i = \frac{1}{2}mu^2 + mgh$ છે.
જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં દરેક કણની અંતિમ ઉર્જા $E_f = \frac{1}{2}mV^2 + 0$ છે, જ્યાં $V$ એ અંતિમ ઝડપ છે.
$E_i = E_f$ હોવાથી, આપણને મળે છે:
$\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mV^2$
$u^2 + 2gh = V^2$
$V = \sqrt{u^2 + 2gh}$
ત્રણેય કણો માટે $u$ અને $h$ સમાન હોવાથી, પ્રક્ષેપણની દિશા ગમે તે હોય, ત્રણેય કણો માટે અંતિમ ઝડપ $V$ સમાન રહેશે.
તેથી, $V_A = V_B = V_C$.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ લાગે છે.
પ્રથમ પથ્થર માટે જેને $u$ ઝડપથી ઉપર ફેંકવામાં આવ્યો છે:
જ્યારે તે ટાવરની ટોચના સ્તરે પાછો આવે છે,ત્યારે તેની ઝડપ નીચેની તરફ $u$ હોય છે. ગતિના ત્રીજા સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $v$ એ જમીન પરની અંતિમ ઝડપ છે,$u$ એ ટાવરની ટોચ પરની પ્રારંભિક ઝડપ છે,$a = g$ અને $s = h$ છે:
$v_1^2 = u^2 + 2gh$
બીજા પથ્થર માટે જેને $u$ ઝડપથી નીચે ફેંકવામાં આવ્યો છે:
નીચેની તરફ $u$ પ્રારંભિક ઝડપ અને $a = g$ સાથે સમાન ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$v_2^2 = u^2 + 2gh$
અંતિમ ઝડપ $v_1$ અને $v_2$ માત્ર પ્રારંભિક ઝડપ $u$,ઊંચાઈ $h$ અને પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,તેથી બંને પથ્થરો સમાન ઝડપ સાથે જમીન પર અથડાશે. હવાનો અવરોધ ન હોવાથી દળ અંતિમ ઝડપને અસર કરતું નથી.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) જ્યારે કોઈ દડાને $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવે ત્યારે તે પ્રાપ્ત કરતી મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ નું સૂત્ર $h = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી જોઈ શકાય છે કે $h \propto u^2$,જેનો અર્થ છે કે $u \propto \sqrt{h}$.
ધારો કે $h$ ઊંચાઈ માટે પ્રારંભિક વેગ $V_o$ છે અને $3h$ ઊંચાઈ માટે નવો વેગ $V'$ છે.
તેથી,$\frac{V'}{V_o} = \sqrt{\frac{3h}{h}} = \sqrt{3}$.
આમ,$V' = \sqrt{3} V_o$.

(C) $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરેલા પથ્થર માટે ગતિનું સમીકરણ: $h = \frac{1}{2} g t^2$ ... $(i)$
$u$ વેગથી ઉપરની તરફ ફેંકાયેલા પથ્થર માટે: $h = u t_1 - \frac{1}{2} g t_1^2$ ... (ii)
$u$ વેગથી નીચેની તરફ ફેંકાયેલા પથ્થર માટે: $h = u t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2$ ... (iii)
$(i)$,(ii) અને (iii) ને સરખાવતા:
$u t_1 = \frac{1}{2} g (t^2 + t_1^2)$ ... (iv)
$u t_2 = \frac{1}{2} g (t^2 - t_2^2)$ ... $(v)$
(iv) ને $(v)$ વડે ભાગતા:
$\frac{t_1}{t_2} = \frac{t^2 + t_1^2}{t^2 - t_2^2}$
$t^2 (t_1 - t_2) = t_1 t_2 (t_1 - t_2)$
આમ,$t^2 = t_1 t_2$,તેથી $t = \sqrt{t_1 t_2}$.

(C) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે અને નીચેની દિશા ઋણ છે. પ્રારંભિક સ્થાન $y_0 = h$ અને અંતિમ સ્થાન $y = 0$ છે.
ગતિના સમીકરણ $y = y_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$0 = h + vt - \frac{1}{2} g t^2$
પદોને ગોઠવીને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મેળવતા:
$\frac{1}{2} g t^2 - vt - h = 0$
$g t^2 - 2vt - 2h = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{2v \pm \sqrt{(-2v)^2 - 4(g)(-2h)}}{2g}$
$t = \frac{2v \pm \sqrt{4v^2 + 8gh}}{2g}$
સમય ધન હોવો જોઈએ,તેથી આપણે ધન મૂલ્ય લઈએ છીએ:
$t = \frac{2v + 2\sqrt{v^2 + 2gh}}{2g}$
$t = \frac{v}{g} + \frac{\sqrt{v^2(1 + \frac{2gh}{v^2})}}{g}$
$t = \frac{v}{g} \left[ 1 + \sqrt{1 + \frac{2gh}{v^2}} \right]$

(C) ધારો કે કણ $d = 1\, m$ ના ક્રમિક અંતરો કાપે છે.
કુલ અંતર $H_n = n \times d = n$ મીટર કાપવા માટે લાગતો કુલ સમય $T_n$ એ $H_n = \frac{1}{2}g T_n^2$ દ્વારા મળે છે,જેનો અર્થ છે $T_n = \sqrt{\frac{2n}{g}}$.
$n$-મા $1\, m$ ના અંતર માટે લાગતો સમય $t_n$ એ $n$ મીટર કાપવા માટેના કુલ સમય અને $(n-1)$ મીટર કાપવા માટેના કુલ સમયનો તફાવત છે.
$t_n = T_n - T_{n-1} = \sqrt{\frac{2n}{g}} - \sqrt{\frac{2(n-1)}{g}} = \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{n} - \sqrt{n-1})$.
આમ,ક્રમિક અંતરો માટે લાગતો સમય $(\sqrt{1} - \sqrt{0}), (\sqrt{2} - \sqrt{1}), (\sqrt{3} - \sqrt{2}), \dots$ ના પ્રમાણમાં હોય છે,જે $1, (\sqrt{2} - 1), (\sqrt{3} - \sqrt{2}), \dots$ તરીકે સરળ બને છે.

(D) ક્રમિક ફેંકવા વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = 2\,s$ છે.
કોઈપણ સમયે બે કરતા વધારે દડા હવામાં રહે તે માટે,પ્રથમ દડાનો ઉડ્ડયન સમય $(T)$ એ ત્રીજો દડો ફેંકવામાં આવે તે સમય કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
પ્રથમ દડો $t = 0$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
બીજો દડો $t = 2\,s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
ત્રીજો દડો $t = 4\,s$ સમયે ફેંકવામાં આવે છે.
જ્યારે ત્રીજો દડો ફેંકવામાં આવે ત્યારે પ્રથમ દડો હવામાં રહે તે માટે,તેનો ઉડ્ડયન સમય $T > 4\,s$ હોવો જોઈએ.
ઉડ્ડયન સમય $T = \frac{2u}{g}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{2u}{9.8} > 4$
$2u > 39.2$
$u > 19.6\,m/s$.
તેથી,ફેંકવાની ઝડપ $19.6\,m/s$ કરતા વધારે હોવી જોઈએ.

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડાની ગતિ સંમિત હોય છે. દડા દ્વારા તેની ઉપરની ગતિના છેલ્લા $t$ સેકન્ડ દરમિયાન કપાયેલું અંતર,તે મહત્તમ ઊંચાઈએથી નીચેની તરફની ગતિના પ્રથમ $t$ સેકન્ડમાં કપાયેલા અંતર જેટલું જ હોય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,નીચેની તરફની ગતિ માટે પ્રારંભિક વેગ $u_{down} = 0$ છે.
નીચેની તરફની ગતિ માટે ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
અહીં,$u = 0$,$a = g$,અને સમય $= t$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$h = (0)t + \frac{1}{2}gt^2$
$h = \frac{1}{2}gt^2$
તેથી,તેની ઉપરની ગતિના છેલ્લા $t$ સેકન્ડ દરમિયાન કપાયેલું અંતર $\frac{1}{2}gt^2$ છે.

(D) ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $v = u - gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અંતિમ વેગ છે,$u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે,$g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $t$ એ સમય છે.
અહીં $g$ અચળ હોવાથી,આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જે એક સુરેખ રેખા દર્શાવે છે.
તેથી,ઊર્ધ્વદિશામાં ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે વેગ-સમયનો આલેખ $-g$ જેટલા ઋણ ઢાળવાળી એક સુરેખ રેખા હોય છે.

(B) જ્યારે દડાને શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે હવાનો અવરોધ ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં કાર્ય કરે છે.
ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ $(g)$ અને હવાનો અવરોધ $(a)$ બંને નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે. તેથી,ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_{up} = -(g + a)$ છે,જે અચળ છે અને નીચેની તરફ છે. પ્રવેગ અચળ હોવાથી,ઝડપ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
નીચેની તરફની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ $(g)$ નીચેની તરફ અને હવાનો અવરોધ $(a)$ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે. તેથી,ચોખ્ખો પ્રવેગ $a_{down} = (g - a)$ છે,જે પણ અચળ છે અને નીચેની તરફ છે. પ્રવેગ અચળ હોવાથી,ઝડપ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે.
જો કે,$|a_{up}| > |a_{down}|$ હોવાથી,ઝડપ-સમયના આલેખનો ઢાળ (જે પ્રવેગનું મૂલ્ય દર્શાવે છે) ઉપરની તરફની ગતિ દરમિયાન નીચેની તરફની ગતિ કરતા વધુ તીવ્ર હશે. આ આલેખ વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થને ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવે છે,ત્યારે તે ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ મુક્ત પતન કરે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી નીચે પડતા પદાર્થ માટે ગતિના સમીકરણો મુજબ,શરૂઆતના બિંદુથી $h$ અંતરે વેગ $v = \sqrt{2gh}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $g$ અચળ છે અને તે પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર હોવાથી,જમીનથી કોઈપણ ઊંચાઈએ બંને પદાર્થો દ્વારા પ્રાપ્ત થયેલ વેગ સમાન હશે.
તેથી,જમીનથી $20 cm$ ના અંતરે,બંને પદાર્થોનો વેગ સમાન હશે.

(B) $h$ ઊંચાઈએથી ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ પડતી વસ્તુ માટે નીચે આવવાનો સમય $t$ એ ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દડાઓને સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત કરવામાં આવતા હોવાથી,$u = 0$,તેથી $h = \frac{1}{2}gt^2$ થાય.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં,કોઈ હવા અવરોધ નથી,અને વસ્તુઓ પર લાગતું એકમાત્ર બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે. સમય $t$ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,જે વસ્તુના દળ કે પદાર્થથી સ્વતંત્ર છે,તેથી બંને દડા જમીન પર પહોંચવા માટે સમાન સમય લેશે.
તેથી,લાગતો સમય ચોક્કસપણે સમાન છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ પરથી સ્થિર સ્થિતિમાંથી પડતા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = \frac{1}{2}gt^2$ છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વપ્રવેગ છે અને $t$ એ લાગતો સમય છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
શૂન્યાવકાશમાં કોઈ હવાના અવરોધ હોતો નથી,અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ એ પડતા પદાર્થના દળ અને કદથી સ્વતંત્ર છે.
બંને દડા સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે અને સમાન પ્રવેગ $g$ અનુભવે છે,તેથી જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t$ બંને માટે સમાન રહેશે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ બોલને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે શિરોલંબ ઉપરની દિશામાં ફેંકવામાં આવે,ત્યારે કોઈપણ સમયે $t$ પર તેનો વેગ $v = u - gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $g$ એ ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ છે.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,તેથી $\text{Speed} = |v| = |u - gt|$.
ઉપરની ગતિ દરમિયાન,જેમ $t$ એ $0$ થી $u/g$ સુધી વધે છે,તેમ વેગ $u$ થી $0$ સુધી રેખીય રીતે ઘટે છે. આમ,ઝડપ રેખીય રીતે ઘટે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ $0$ હોય છે,તેથી ઝડપ પણ $0$ હોય છે.
નીચેની ગતિ દરમિયાન,વેગ ઋણ બને છે અને જેમ $t$ એ $u/g$ થી વધે છે,તેમ તેનું મૂલ્ય $0$ થી રેખીય રીતે વધે છે. આમ,ઝડપ રેખીય રીતે વધે છે.
તેથી,ઝડપ-સમયનો આલેખ બે સીધી રેખાઓનો બનેલો છે જે સમયની ધરી પર મળે છે,જે રેખીય ઘટાડો અને ત્યારબાદ રેખીય વધારો દર્શાવે છે. આ વિકલ્પ $C$ ને અનુરૂપ છે.

(D) જ્યારે દડાને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે તે નીચેની તરફ લાગતા અચળ ગુરુત્વીય પ્રવેગ $g$ ની અસર હેઠળ ગતિ કરે છે.
ઉપરની દિશાને ધન લેતા,કોઈપણ સમયે $t$ પર વેગ $v = u - gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું એક રેખીય સમીકરણ છે,જ્યાં ઢાળ $-g$ (અચળ ઋણ મૂલ્ય) છે.
શરૂઆતમાં,વેગ ધન હોય છે અને જેમ દડો ઉપર જાય છે તેમ તે રેખીય રીતે ઘટે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,વેગ શૂન્ય થઈ જાય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી,દડો નીચેની તરફ ગતિ કરવાનું શરૂ કરે છે,તેથી તેનો વેગ ઋણ બને છે અને ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે અચળ દરે ઘટવાનું (વધુ ઋણ બનવાનું) ચાલુ રાખે છે.
તેથી,વેગ-સમયનો આલેખ એ અચળ ઋણ ઢાળવાળી એક સીધી રેખા છે જે સમયની ધરીને પસાર કરે છે,જે ઉપરની ગતિ (ધન વેગ) થી નીચેની ગતિ (ઋણ વેગ) માં સંક્રમણ દર્શાવે છે.
આ વિકલ્પ $D$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 15 \ m/s$,મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $v = 0 \ m/s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 - 2gH$.
કિંમતો મૂકતા: $0^2 = (15)^2 - 2 \times 10 \times H$.
$0 = 225 - 20H$.
$20H = 225$.
$H = \frac{225}{20} = 11.25 \ m$.
આમ,દડો $11.25 \ m$ ની મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરશે.

(A) દડાને મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $T = \frac{u}{g}$ છે.
ઉપરની ગતિના છેલ્લા $t$ સેકન્ડમાં ગતિ એ સ્થિર સ્થિતિમાંથી $t$ સેકન્ડ માટે મુક્ત પતન કરતા પદાર્થની ગતિને સમાન છે.
ધારો કે દડો $T = \frac{u}{g}$ સમયે મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે. આ બિંદુએ,તેનો વેગ $v = 0$ છે.
ગતિને ઉલટી રીતે જોતા (મહત્તમ ઊંચાઈથી $t=0$ સમયે શરૂ કરીને,પ્રારંભિક વેગ $u_0 = 0$ અને નીચેની તરફ પ્રવેગ $g$ સાથે),$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે:
$h = u_0 t + \frac{1}{2} g t^2$
અહીં $u_0 = 0$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$h = 0 \cdot t + \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} g t^2$
આમ,છેલ્લા $t$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $\frac{1}{2} g t^2$ છે.

(B) ધારો કે મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ છે. પ્રારંભિક વેગ $u$ છે. મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $0$ થાય છે.
સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ માટે,$0 = u^2 - 2gH$,જે આપણને $u^2 = 2gH$ આપે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈની અડધી ઊંચાઈએ,$h = H/2$,વેગ $v = 10 \ m/s$ છે.
આ કિંમતોને $v^2 = u^2 - 2gh$ સમીકરણમાં મૂકતા:
$(10)^2 = u^2 - 2g(H/2)$
$100 = u^2 - gH$
કારણ કે $u^2 = 2gH$,આપણે આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકીએ:
$100 = 2gH - gH$
$100 = gH$
$g = 10 \ m/s^2$ આપેલ હોવાથી,$100 = 10 \times H$.
તેથી,$H = 10 \ m$.

(B) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન અને નીચેની દિશા ઋણ છે।
પ્રારંભિક વેગ $u = +20 \, m/s$.
સ્થાનાંતર $s = -200 \, m$ (કારણ કે તે શરૂઆતના બિંદુથી નીચે પડે છે)।
પ્રવેગ $a = g = -10 \, m/s^2$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2as$.
$v^2 = (20)^2 + 2(-10)(-200)$.
$v^2 = 400 + 4000 = 4400$.
$v = \sqrt{4400} \approx 66.33 \, m/s$.
જો આપણે ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ:
ટોચ પર કુલ ઉર્જા = તળિયે કુલ ઉર્જા।
$\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv^2$.
$v^2 = u^2 + 2gh = (20)^2 + 2(10)(200) = 400 + 4000 = 4400$.
$v = \sqrt{4400} \approx 66.33 \, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ, સૌથી નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત $65 \, m/s$ છે।

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$h$ અંતર કાપ્યા પછીનો વેગ $v$ એ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $u = 0$,$a = g$,અને $s = h$ છે.
તેથી,$V^2 = 0 + 2gh$ ... $(i)$
ધારો કે $2V$ વેગ પ્રાપ્ત કરવા માટે કાપેલું કુલ અંતર $x$ છે. સમાન સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા:
$(2V)^2 = 0 + 2gx$
$4V^2 = 2gx$ ... (ii)
સમીકરણ (ii) ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$4V^2 / V^2 = (2gx) / (2gh)$
$4 = x / h$
$x = 4h$
$2V$ વેગ સુધી પહોંચવા માટેનું કુલ અંતર $4h$ છે. તેથી,બિંદુ $B$ થી તેણે વધુ કેટલું અંતર કાપવું પડે તે $x - h = 4h - h = 3h$ થાય.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ છે. મુક્ત પતન માટે લાગતો સમય $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
જ્યારે પથ્થરને $V_0$ વેગથી ઉપર ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર $-h$ થાય છે:
$-h = V_0 t_1 - \frac{1}{2}g t_1^2 \implies h = \frac{1}{2}g t_1^2 - V_0 t_1$. કારણ કે $h = \frac{1}{2}gt^2$,તેથી $\frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g t_1^2 - V_0 t_1 \implies V_0 t_1 = \frac{1}{2}g(t_1^2 - t^2) \dots (1)$.
જ્યારે પથ્થરને $V_0$ વેગથી નીચે ફેંકવામાં આવે છે,ત્યારે સ્થાનાંતર $-h$ થાય છે:
$-h = -V_0 t_2 - \frac{1}{2}g t_2^2 \implies h = V_0 t_2 + \frac{1}{2}g t_2^2$. કારણ કે $h = \frac{1}{2}gt^2$,તેથી $\frac{1}{2}gt^2 = V_0 t_2 + \frac{1}{2}g t_2^2 \implies V_0 t_2 = \frac{1}{2}g(t^2 - t_2^2) \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V_0 t_1}{V_0 t_2} = \frac{\frac{1}{2}g(t_1^2 - t^2)}{\frac{1}{2}g(t^2 - t_2^2)} \implies \frac{t_1}{t_2} = \frac{t_1^2 - t^2}{t^2 - t_2^2}$.
ગુણાકાર કરતા: $t_1 t^2 - t_1 t_2^2 = t_2 t_1^2 - t_2 t^2$.
$t^2(t_1 + t_2) = t_1 t_2(t_1 + t_2)$.
$t^2 = t_1 t_2 \implies t = \sqrt{t_1 t_2}$.

(B) ધારો કે પદાર્થને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $n$ સેકન્ડ છે.
કુલ કાપેલું અંતર $h = \frac{1}{2}gn^2$ છે ---$(1)$
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$S_n = \frac{9h}{25}$ છે.
સમીકરણ $(1)$ માંથી $h$ ની કિંમત $S_n$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{g}{2}(2n - 1) = \frac{9}{25} \times (\frac{1}{2}gn^2)$
$(2n - 1) = \frac{9n^2}{25}$
$50n - 25 = 9n^2$
$9n^2 - 50n + 25 = 0$
દ્વિઘાત સૂત્ર $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરીને ઉકેલતા:
$n = \frac{50 \pm \sqrt{2500 - 900}}{18} = \frac{50 \pm \sqrt{1600}}{18} = \frac{50 \pm 40}{18}$
ધન કિંમત લેતા,$n = \frac{90}{18} = 5 \, s$ મળે છે.
હવે,$n = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(1)$ માં $g = 9.8 \, m/s^2$ સાથે મૂકતા:
$h = \frac{1}{2} \times 9.8 \times (5)^2 = 4.9 \times 25 = 122.5 \, m$.

(A) પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0\, m/s$ છે.
જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = 4\, s$ છે.
મુક્ત પતન માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$.
અહીં $u = 0$,$g = 10\, m/s^2$ અને $t = 4\, s$ કિંમતો મૂકતા:
$h = 0 \times 4 + \frac{1}{2} \times 10 \times (4)^2$.
$h = 0 + 5 \times 16$.
$h = 80\, m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $80\, m$ છે.

(A) $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને પદાર્થોને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેમનો પ્રારંભિક વેગ $0$ છે અને તેઓ સમાન ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ ની અસર હેઠળ છે.
પદાર્થ $A$ ને લાગતો સમય $(t_A)$ અને પદાર્થ $B$ ને લાગતો સમય $(t_B)$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{t_A}{t_B} = \frac{\sqrt{\frac{2h_A}{g}}}{\sqrt{\frac{2h_B}{g}}} = \sqrt{\frac{h_A}{h_B}}$
અહીં $h_A = 16\,m$ અને $h_B = 25\,m$ આપેલ છે:
$\frac{t_A}{t_B} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} = 0.8$
આમ,લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $0.8$ છે.

(A) ધારો કે પ્લેટફોર્મથી જે અંતરે બંને દડા મળે છે તે અંતર $x$ છે.
પ્રથમ દડા માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$,સમય $t_1 = 18\,s$,પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = 0 \times 18 + \frac{1}{2} \times 10 \times (18)^2 = 5 \times 324 = 1620\,m$.
બીજા દડા માટે:
પ્રારંભિક વેગ $u_2 = v$,સમય $t_2 = 18 - 6 = 12\,s$,પ્રવેગ $g = 10\,m/s^2$.
ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x = v \times 12 + \frac{1}{2} \times 10 \times (12)^2 = 12v + 5 \times 144 = 12v + 720$.
$x$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$1620 = 12v + 720$
$12v = 1620 - 720 = 900$
$v = \frac{900}{12} = 75\,m/s$.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$,ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ અને ઊંચાઈ $h = 20 \, m$.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v^2 = u^2 + 2gh$.
કિંમતો મૂકતા: $v^2 = 0^2 + 2 \times 10 \times 20$.
$v^2 = 400$.
વર્ગમૂળ લેતા: $v = \sqrt{400} = 20 \, m/s$.
તેથી,પથ્થર જે વેગથી જમીન સાથે અથડાશે તે $20 \, m/s$ છે.

(B) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે $(u = 0)$,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $h = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$1$. પ્રથમ $5 \ s$ માં કાપેલું અંતર $(t = 5 \ s)$:
$h_1 = \frac{1}{2}g(5)^2 = \frac{25}{2}g$ ... $(i)$
$2$. પ્રથમ $10 \ s$ માં કાપેલું અંતર $(t = 10 \ s)$:
$h_1 + h_2 = \frac{1}{2}g(10)^2 = \frac{100}{2}g$ ... (ii)
$3$. પ્રથમ $15 \ s$ માં કાપેલું અંતર $(t = 15 \ s)$:
$h_1 + h_2 + h_3 = \frac{1}{2}g(15)^2 = \frac{225}{2}g$ ... (iii)
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$h_2 = (h_1 + h_2) - h_1 = \frac{100}{2}g - \frac{25}{2}g = \frac{75}{2}g = 3 \left( \frac{25}{2}g \right) = 3h_1$
(iii) માંથી (ii) બાદ કરતા:
$h_3 = (h_1 + h_2 + h_3) - (h_1 + h_2) = \frac{225}{2}g - \frac{100}{2}g = \frac{125}{2}g = 5 \left( \frac{25}{2}g \right) = 5h_1$
આમ,$h_1 = \frac{h_2}{3} = \frac{h_3}{5}$.

(B) જ્યારે પથ્થરને $h$ ઊંચાઈ પરથી પાડવામાં આવે છે,ત્યારે જમીન સાથે અથડાતી વખતે તેનો વેગ $v = \sqrt{2gh}$ હોય છે.
તેથી,પ્રારંભિક વેગમાન $P = m\sqrt{2gh} \dots (i)$ છે.
જો ઊંચાઈમાં $100\%$ નો વધારો કરવામાં આવે,તો નવી ઊંચાઈ $h' = h + 100\% \text{ of } h = h + h = 2h$ થાય.
નવું વેગમાન $P'$ એ $P' = m\sqrt{2g(2h)} = m\sqrt{2gh} \times \sqrt{2} = P\sqrt{2}$ છે.
અહીં $\sqrt{2} \approx 1.414$ લેતા.
વેગમાનમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{P' - P}{P} \times 100\% = \frac{P\sqrt{2} - P}{P} \times 100\% = (\sqrt{2} - 1) \times 100\%$.
$= (1.414 - 1) \times 100\% = 0.414 \times 100\% = 41.4\% \approx 41\%$.

(A) $h$ ઊંચાઈ પરથી નીચે પાડવામાં આવેલા પ્રથમ પથ્થર માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 0$ છે. $t$ સમયમાં તેના દ્વારા કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2}gt^2$ છે.
જમીન પરથી ઉપર તરફ ફેંકવામાં આવેલા બીજા પથ્થર માટે,તે મહત્તમ $H = 4h$ ઊંચાઈ સુધી પહોંચે છે. $H = \frac{u_2^2}{2g}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$4h = \frac{u_2^2}{2g}$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $u_2^2 = 8gh$ અથવા $u_2 = \sqrt{8gh}$.
$t$ સમયમાં બીજા પથ્થર દ્વારા કાપેલું અંતર $h_2 = u_2t - \frac{1}{2}gt^2 = \sqrt{8gh}t - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
જ્યારે પથ્થરો એકબીજાને ઓળંગે છે,ત્યારે તેમના દ્વારા કાપેલા અંતરનો સરવાળો કુલ ઊંચાઈ $h$ જેટલો થવો જોઈએ,તેથી $h_1 + h_2 = h$.
પદોને મૂકતા: $\frac{1}{2}gt^2 + (\sqrt{8gh}t - \frac{1}{2}gt^2) = h$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\sqrt{8gh}t = h$ મળે છે.
$t$ માટે ઉકેલતા,$t = \frac{h}{\sqrt{8gh}} = \sqrt{\frac{h^2}{8gh}} = \sqrt{\frac{h}{8g}}$ મળે છે.

(A) ધારો કે ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \, m/s^2$ છે.
પ્રથમ લખોટી $t = 0$ સમયે પાડવામાં આવે છે અને $t = 4 \, s$ સમયે જમીન પર પહોંચે છે. ટોચથી તેનું અંતર $h_1 = \frac{1}{2} g (4)^2 = 8g = 80 \, m$ છે.
બીજી લખોટી $t = 1 \, s$ સમયે પાડવામાં આવે છે,તેથી $t = 4 \, s$ સમયે,તે $3 \, s$ સુધી નીચે પડી હશે. તેનું અંતર $h_2 = \frac{1}{2} g (3)^2 = 4.5g = 45 \, m$ છે.
ત્રીજી લખોટી $t = 2 \, s$ સમયે પાડવામાં આવે છે,તેથી $t = 4 \, s$ સમયે,તે $2 \, s$ સુધી નીચે પડી હશે. તેનું અંતર $h_3 = \frac{1}{2} g (2)^2 = 2g = 20 \, m$ છે.
ચોથી લખોટી $t = 3 \, s$ સમયે પાડવામાં આવે છે,તેથી $t = 4 \, s$ સમયે,તે $1 \, s$ સુધી નીચે પડી હશે. તેનું અંતર $h_4 = \frac{1}{2} g (1)^2 = 0.5g = 5 \, m$ છે.
પ્રથમ અને બીજી લખોટી વચ્ચેનું અંતર $h_1 - h_2 = 80 - 45 = 35 \, m$ છે.
બીજી અને ત્રીજી લખોટી વચ્ચેનું અંતર $h_2 - h_3 = 45 - 20 = 25 \, m$ છે.
ત્રીજી અને ચોથી લખોટી વચ્ચેનું અંતર $h_3 - h_4 = 20 - 5 = 15 \, m$ છે.
આમ,અંતર $35 \, m, 25 \, m$ અને $15 \, m$ છે.

(B) ફુગ્ગો સ્થિર સ્થિતિમાંથી $a = g/8$ પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. $h$ ઊંચાઈએ તેનો વેગ $v^2 = u^2 + 2ah = 0 + 2(g/8)h = gh/4$ મુજબ $v = \frac{1}{2}\sqrt{gh}$ થાય.
જ્યારે પથ્થર મુક્ત થાય છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $v = \frac{1}{2}\sqrt{gh}$ (ઉપરની તરફ) હોય છે.
પથ્થર માટે ગતિનું સમીકરણ વાપરતા: $s = ut + \frac{1}{2}at^2$,જ્યાં $s = -h$ (નીચે તરફનું સ્થાનાંતર),$u = v = \frac{1}{2}\sqrt{gh}$,અને $a = -g$.
$-h = (\frac{1}{2}\sqrt{gh})t - \frac{1}{2}gt^2$.
આ સમીકરણને ગોઠવતા: $\frac{1}{2}gt^2 - (\frac{1}{2}\sqrt{gh})t - h = 0$.
$2/g$ વડે ગુણતા: $t^2 - (\sqrt{h/g})t - 2h/g = 0$.
દ્વિઘાત સૂત્ર $t = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$t = \frac{\sqrt{h/g} \pm \sqrt{h/g + 8h/g}}{2} = \frac{\sqrt{h/g} \pm 3\sqrt{h/g}}{2}$.
ધન કિંમત લેતા,$t = \frac{4\sqrt{h/g}}{2} = 2\sqrt{\frac{h}{g}}$.

(B) ધારો કે ટાવર ઉગમબિંદુ છે. શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકાયેલા પદાર્થ માટે,$t$ સમય પછીનું સ્થાનાંતર $y_1 = v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
શિરોલંબ નીચેની તરફ ફેંકાયેલા પદાર્થ માટે,$t$ સમય પછીનું સ્થાનાંતર $y_2 = -v_0t - \frac{1}{2}gt^2$ છે (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
બંને પદાર્થો વચ્ચેનું અંતર તેમના સ્થાનના તફાવતનું મૂલ્ય છે: $d = |y_1 - y_2|$.
$d = |(v_0t - \frac{1}{2}gt^2) - (-v_0t - \frac{1}{2}gt^2)|$.
$d = |v_0t - \frac{1}{2}gt^2 + v_0t + \frac{1}{2}gt^2| = |2v_0t| = 2v_0t$.

(D) ધારો કે ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $h$ છે અને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$ સેકન્ડ છે.
પદાર્થ મુક્ત પતન કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$.
ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$h = \frac{1}{2}gt^2$ ... $(i)$.
છેલ્લી સેકન્ડમાં,પદાર્થ કુલ ઊંચાઈના $36\%$ એટલે કે $0.36h$ અંતર કાપે છે.
તેથી,પ્રથમ $(t - 1)$ સેકન્ડમાં,પદાર્થ બાકીની ઊંચાઈ કાપે છે: $h - 0.36h = 0.64h$.
$(t - 1)$ સેકન્ડ માટે ગતિના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $0.64h = \frac{1}{2}g(t - 1)^2$ ... $(ii)$.
સમીકરણ $(ii)$ ને સમીકરણ $(i)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.64h}{h} = \frac{\frac{1}{2}g(t - 1)^2}{\frac{1}{2}gt^2}$
$0.64 = \frac{(t - 1)^2}{t^2}$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $0.8 = \frac{t - 1}{t}$.
$0.8t = t - 1 \implies 0.2t = 1 \implies t = 5 \text{ s}$.
$t = 5$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા ($g = 10 \text{ m/s}^2$ લેતા):
$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (5)^2 = 5 \times 25 = 125 \text{ m}$.

(D) ધારો કે પ્રક્ષિપ્ત વેગ $u$ છે. ઊંચાઈ $h$ પર કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ મળે છે: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$.
આ સમીકરણના બીજ $t_1$ અને $t_2$ છે,જે દર્શાવે છે કે કણ ઉપર જતી વખતે અને નીચે આવતી વખતે $h$ ઊંચાઈ પર કયા સમયે હોય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો $t_1 + t_2 = -\frac{b}{a} = \frac{u}{1/2g} = \frac{2u}{g}$ થાય છે.
પ્રારંભિક વેગ $u$ માટે ઉકેલતા,આપણને $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ મળે છે.

(C) પ્રથમ પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,$t$ સમયે ઊંચાઈ $h_1 = ut - \frac{1}{2}gt^2$ છે.
બીજા પ્રક્ષિપ્ત પદાર્થ માટે,જે $T$ સમય પછી ફેંકવામાં આવે છે,$t$ સમયે ઊંચાઈ $h_2 = u(t - T) - \frac{1}{2}g(t - T)^2$ છે.
જ્યારે બંને મળે ત્યારે $h_1 = h_2$ થાય.
$ut - \frac{1}{2}gt^2 = u(t - T) - \frac{1}{2}g(t - T)^2$.
જમણી બાજુનું વિસ્તરણ કરતા: $ut - \frac{1}{2}gt^2 = ut - uT - \frac{1}{2}g(t^2 - 2tT + T^2)$.
$ut - \frac{1}{2}gt^2 = ut - uT - \frac{1}{2}gt^2 + gtT - \frac{1}{2}gT^2$.
સમાન પદોને દૂર કરતા: $0 = -uT + gtT - \frac{1}{2}gT^2$.
$uT + \frac{1}{2}gT^2 = gtT$.
$gT$ વડે ભાગતા: $t = \frac{u}{g} + \frac{T}{2}$.
$t$ ની કિંમત $h_1$ માં મૂકતા: $h_1 = u(\frac{u}{g} + \frac{T}{2}) - \frac{1}{2}g(\frac{u}{g} + \frac{T}{2})^2$.
$h_1 = \frac{u^2}{g} + \frac{uT}{2} - \frac{1}{2}g(\frac{u^2}{g^2} + \frac{uT}{g} + \frac{T^2}{4})$.
$h_1 = \frac{u^2}{g} + \frac{uT}{2} - \frac{u^2}{2g} - \frac{uT}{2} - \frac{gT^2}{8}$.
$h_1 = \frac{u^2}{2g} - \frac{gT^2}{8}$.