Motion Under Gravity Questions in Gujarati

(B) ધારો કે કાપેલું અંતર $s$ છે. સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થતા કણ માટે,$a_i$ પ્રવેગ ધરાવતા ગ્રહ પર વેગ $v_i$ અને સમય $t_i$ નીચે મુજબ છે: $v_i = \sqrt{2a_is}$ અને $t_i = \sqrt{2s/a_i}$.
આપેલ છે કે $a_1 = 2g$ અને $a_2 = 8g$,તેથી $v_1 = \sqrt{2(2g)s} = 2\sqrt{gs}$ અને $v_2 = \sqrt{2(8g)s} = 4\sqrt{gs}$.
તે જ રીતે,$t_1 = \sqrt{2s/2g} = \sqrt{s/g}$ અને $t_2 = \sqrt{2s/8g} = 0.5\sqrt{s/g}$.
વેગમાં ફેરફાર $v = v_2 - v_1 = 4\sqrt{gs} - 2\sqrt{gs} = 2\sqrt{gs}$.
સમયમાં ફેરફાર $t = t_1 - t_2 = \sqrt{s/g} - 0.5\sqrt{s/g} = 0.5\sqrt{s/g}$.
બીજા સમીકરણ પરથી,$\sqrt{s/g} = 2t$. આ કિંમતને વેગના સમીકરણમાં મૂકતા: $v = 2\sqrt{g} \cdot \sqrt{s} = 2\sqrt{g} \cdot (2t\sqrt{g}) = 4gt$.

(A) ધારો કે પ્રથમ દડો $B_1$ છે અને બીજો દડો $B_2$ છે.
$B_1$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_1 = 5 \ m/s$. અથડામણના બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_1 = 2 \ s + 2 \ s = 4 \ s$ છે.
$B_1$ દ્વારા કાપેલું અંતર $h = u_1 t_1 + \frac{1}{2} g t_1^2 = 5(4) + \frac{1}{2}(10)(4^2) = 20 + 80 = 100 \ m$ છે.
$B_2$ માટે,પ્રારંભિક વેગ $u_2$ છે અને અથડામણના બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = 2 \ s$ છે.
$B_2$ દ્વારા કાપેલું અંતર સમાન હોવું જોઈએ,તેથી $h = u_2 t_2 + \frac{1}{2} g t_2^2$.
કિંમતો મૂકતા: $100 = u_2(2) + \frac{1}{2}(10)(2^2)$.
$100 = 2u_2 + 20$.
$2u_2 = 80$.
$u_2 = 40 \ m/s$.

(C) દડા દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ એ પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે $h = \frac{u^2}{2g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $h = 5 \ m$ અને $g = 10 \ m/s^2$ લેતા,$5 = \frac{u^2}{2 \times 10}$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $u^2 = 100$,તેથી $u = 10 \ m/s$.
મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય (ઉપર જવાનો સમય) $t = \frac{u}{g} = \frac{10}{10} = 1 \ s$ છે.
કારણ કે પછીનો દડો ત્યારે ફેંકવામાં આવે છે જ્યારે અગાઉનો દડો તેની મહત્તમ ઊંચાઈ પર હોય,તેથી બે ક્રમિક દડાઓ ફેંકવા વચ્ચેનો સમયગાળો $1 \ s$ છે.
તેથી,પ્રતિ મિનિટ ફેંકવામાં આવતા દડાઓની સંખ્યા $\frac{60 \ s}{1 \ s/\text{ball}} = 60 \ \text{balls/min}$ થશે.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. યાંત્રિક ઉર્જા સંરક્ષણના નિયમ મુજબ, ટાવરની ટોચ પરની કુલ ઉર્જા અને જમીન પરની કુલ ઉર્જા સમાન હોય છે.
દડા $A$ માટે (ઉપરની તરફ ફેંકાયેલ): પ્રારંભિક ઉર્જા $E_A = \frac{1}{2}mu^2 + mgh$. જમીન પર અંતિમ ઉર્જા $E'_A = \frac{1}{2}mv_A^2 + 0$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_A^2$, જે $v_A = \sqrt{u^2 + 2gh}$ આપે છે.
દડા $B$ માટે (નીચેની તરફ ફેંકાયેલ): પ્રારંભિક ઉર્જા $E_B = \frac{1}{2}mu^2 + mgh$. જમીન પર અંતિમ ઉર્જા $E'_B = \frac{1}{2}mv_B^2 + 0$.
ઉર્જા સંરક્ષણ મુજબ: $\frac{1}{2}mu^2 + mgh = \frac{1}{2}mv_B^2$, જે $v_B = \sqrt{u^2 + 2gh}$ આપે છે.
બંને દડા સમાન ઊંચાઈ $h$ પરથી સમાન પ્રારંભિક ઝડપ $u$ થી શરૂ થતા હોવાથી, બંને સમાન અંતિમ વેગ $v = \sqrt{u^2 + 2gh}$ સાથે જમીન પર પહોંચશે.
તેથી, વિકલ્પ $C$ સાચો જવાબ છે.

(A) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે. ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા (નીચેની દિશાને ધન લેતા):
દડા $B$ માટે (નીચે ફેંકાયેલ): $h = ut_B + \frac{1}{2}gt_B^2$.
દડા $A$ માટે (ઉપર ફેંકાયેલ): સ્થાનાંતર $s = -h$ અને પ્રારંભિક વેગ $u_A = -u$ લેતા,$-h = -ut_A + \frac{1}{2}gt_A^2$,જે $h = ut_A - \frac{1}{2}gt_A^2$ બને છે.
વૈકલ્પિક રીતે,દડો $A$ જ્યારે ટાવરની ટોચ પર પાછો આવશે ત્યારે તેનો વેગ નીચેની તરફ $u$ હશે,જે દડા $B$ ના પ્રારંભિક વેગ જેવો જ છે. તેથી,દડા $A$ ને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય એ ટાવરની ટોચ પર પાછા આવવાનો સમય વત્તા દડા $B$ ને લાગતો સમય છે. તેથી,$t_A > t_B$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g = 10 \ m/s^2$ છે.
દડા $A$ માટે જે ઉપર ફેંકવામાં આવે છે: $-h = ut_A - \frac{1}{2}gt_A^2 \implies -h = 6u - \frac{1}{2}(10)(6)^2 \implies -h = 6u - 180 \implies h = 180 - 6u$ (સમીકરણ $1$)
દડા $B$ માટે જે નીચે ફેંકવામાં આવે છે: $h = ut_B + \frac{1}{2}gt_B^2 \implies h = 2u + \frac{1}{2}(10)(2)^2 \implies h = 2u + 20$ (સમીકરણ $2$)
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $180 - 6u = 2u + 20$
$160 = 8u \implies u = 20 \ m/s$
$u$ ની કિંમત સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $h = 2(20) + 20 = 40 + 20 = 60 \ m$.
આમ,ટાવરની ઊંચાઈ $60 \ m$ છે.

(C) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને $g = 10 \ m/s^2$ છે.
ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા $A$ માટે: $-h = ut_A - \frac{1}{2}gt_A^2$.
$t_A = 6 \ s$ મૂકતા: $-h = 6u - \frac{1}{2}(10)(36) = 6u - 180$.
નીચેની તરફ ફેંકવામાં આવેલા દડા $B$ માટે: $-h = -ut_B - \frac{1}{2}gt_B^2$.
$t_B = 2 \ s$ મૂકતા: $-h = -2u - \frac{1}{2}(10)(4) = -2u - 20$.
$-h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $6u - 180 = -2u - 20$.
$8u = 160$,જે આપણને $u = 20 \ m/s$ આપે છે.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પ્રારંભિક વેગ $u$ છે.
દડા $A$ (ઉપરની તરફ) માટે: $h = -ut_A + \frac{1}{2}gt_A^2$.
દડા $B$ (નીચેની તરફ) માટે: $h = ut_B + \frac{1}{2}gt_B^2$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને મળે છે $h = \frac{1}{2}gt_A t_B$.
દડા $C$ (સમક્ષિતિજ) માટે: શિરોલંબ સ્થાનાંતર $h = \frac{1}{2}gt_C^2$ છે.
તેથી,$t_C^2 = t_A t_B \implies t_C = \sqrt{t_A t_B}$.
$t_A = 6 \ s$ અને $t_B = 2 \ s$ આપેલ છે:
$t_C = \sqrt{6 \times 2} = \sqrt{12} \approx 3.46 \ s$.

(D) ધારો કે $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. જીવા $AB$ ની લંબાઈ $AB = 2R \cos \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાર પર મણકાનો પ્રવેગ $a = g \cos \theta$ છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2as$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $s = AB = 2R \cos \theta$:
$v^2 = 0 + 2(g \cos \theta)(2R \cos \theta) = 4Rg \cos^2 \theta$
$v = 2\sqrt{Rg} \cos \theta$. આમ,$v \propto \cos \theta$.
સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$2R \cos \theta = 0 + \frac{1}{2}(g \cos \theta)t^2$
$2R \cos \theta = \frac{1}{2}g \cos \theta t^2$
$t^2 = \frac{4R}{g} \Rightarrow t = 2\sqrt{\frac{R}{g}}$.
કારણ કે $t$ એ $\theta$ થી સ્વતંત્ર છે,તેથી વિધાનો $(A)$ અને $(B)$ બંને સાચા છે.

(C) ધારો કે દડાનું દળ $m$ છે. દડા પર લાગતા બળો ગુરુત્વાકર્ષણ બળ ($mg$ નીચેની તરફ) અને હવાનો અવરોધક બળ ($F_r = -kv$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે અને $v$ વેગ છે) છે.
કોઈપણ બિંદુએ,પરિણામી બળ $F_{net} = -mg - kv$ છે (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
પ્રવેગ $a = F_{net}/m = -g - (k/m)v$ છે.
સૌથી ઊંચા બિંદુએ,દડાનો વેગ $v = 0$ હોય છે.
પ્રવેગના સમીકરણમાં $v = 0$ મૂકતા: $a = -g - (k/m)(0) = -g$.
તેથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a| = g$ થાય છે.

(B) જ્યારે કોઈ પદાર્થને હવામાં ઊભી રીતે ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે અને હવાનો અવરોધ $|D| = bv$ હોય,ત્યારે ગતિનું સમીકરણ $m(dv/dt) = -mg - bv$ થાય છે.
ઉપરની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ અને હવાનો અવરોધ બંને નીચેની તરફ કાર્ય કરે છે,તેથી ચોખ્ખું બળ $F = -(mg + bv)$ છે. આ હવાનો અવરોધ ન હોય તેવા કિસ્સાની તુલનામાં વધુ મંદન (deceleration) પેદા કરે છે,જેનો અર્થ છે કે વેગ વધુ ઝડપથી ઘટે છે.
નીચેની ગતિ દરમિયાન,ગુરુત્વાકર્ષણ નીચેની તરફ અને હવાનો અવરોધ ઉપરની તરફ કાર્ય કરે છે,તેથી ચોખ્ખું બળ $F = -mg + bv$ છે. જેમ પદાર્થ નીચે પડે છે,તેમ તેની ઝડપ વધે છે અને ઉપરની તરફનો હવાનો અવરોધ વધે છે,જે નીચેની તરફના ચોખ્ખા પ્રવેગને ઘટાડે છે.
તેથી,વેગ-સમયનો આલેખ ઉપરની ગતિ દરમિયાન વધુ ઢાળ અને નીચેની ગતિ દરમિયાન ઓછો ઢાળ દર્શાવશે કારણ કે તે ટર્મિનલ વેગની નજીક પહોંચે છે. આલેખ $B$ આ લાક્ષણિકતાઓને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) નીચેની તરફની ગતિ માટે,વેગ $v = -gt$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. વેગ નીચેની દિશામાં વધે છે,જેના પરિણામે $v$ અને $t$ વચ્ચે ઋણ ઢાળવાળી સીધી રેખા મળે છે.
ગતિનું સમીકરણ $y - y_0 = ut + \frac{1}{2}at^2$ લાગુ પાડતા,આપણને $y - h = -\frac{1}{2}gt^2$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $y = h - \frac{1}{2}gt^2$ થાય છે. આ $t = 0$ સમયે $y = h$ થી શરૂ થતો નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે.
સ્થિતિસ્થાપક અથડામણ પછી ઉપરની તરફની ગતિ માટે,વેગની દિશા ઉલટાય છે અને તેનું મૂલ્ય સમાન રહે છે. વેગ $v = u - gt$ ને અનુસરે છે,જ્યાં $u$ એ અથડામણ પછીનો તરતનો વેગ છે. જેમ $t$ વધે છે,તેમ $v$ ઋણ ઢાળ સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે.
ઉપરની તરફની ગતિ માટે સમયના વિધેય તરીકે ઊંચાઈ $y = ut - \frac{1}{2}gt^2$ ને અનુસરે છે,જે ઉપરની તરફ ખુલતો પરવલયનો ભાગ છે. આ બંનેને જોડતા,વેગ-સમયનો આલેખ ઋણ ઢાળ સાથે 'સો-ટૂથ' (sawtooth) પેટર્ન દર્શાવે છે અને ઊંચાઈ-સમયનો આલેખ પરવલયાકાર કમાનની શ્રેણી દર્શાવે છે. આલેખ $B$ આ ભૌતિક વર્તણૂકોને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(B) ધારો કે સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે। સૌથી ઉચ્ચતમ બિંદુ પર, અંતિમ વેગ $0$ હોય છે। $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને $0 = u - gt_1$ મળે છે, તેથી $t_1 = \frac{u}{g}$.
ધારો કે જમીન પર અથડાવા માટે લાગતો કુલ સમય $T$ છે। ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા, જ્યાં સ્થાનાંતર $s = -H$, પ્રારંભિક વેગ $u$, અને પ્રવેગ $a = -g$ છે, આપણને મળે છે:
$-H = uT - \frac{1}{2}gT^2$
$\frac{1}{2}gT^2 - uT - H = 0$
આપેલ છે કે $T = nt_1 = n(\frac{u}{g}) = \frac{nu}{g}$.
$T$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{1}{2}g(\frac{nu}{g})^2 - u(\frac{nu}{g}) - H = 0$
$\frac{n^2u^2}{2g} - \frac{nu^2}{g} - H = 0$
$2g$ વડે ગુણતા:
$n^2u^2 - 2nu^2 - 2gH = 0$
$n^2u^2 - 2nu^2 = 2gH$
$nu^2(n - 2) = 2gH$.

(B) $h$ ઊંચાઈએથી મુક્ત પતન કરતા $m$ દળના કોઈપણ પદાર્થને જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો સમય ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ હોવાથી,$h = \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે.
સમય $t$ માટે સાદુંરૂપ આપતા,$t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
આમ,સમય $t$ માત્ર ઊંચાઈ $h$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,તે પદાર્થના દળથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,સમાન ઊંચાઈએથી ફેંકવામાં આવેલા બે દડાઓ માટે લાગતો સમય સમાન હશે,એટલે કે $t_1 = t_2$.

(D) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $v_i = u$ (ઉપરની તરફ) છે અને જમીન પરનો અંતિમ વેગ $v_f = -4u$ (નીચેની તરફ) છે.
ગતિના ત્રીજા સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,$v_f^2 = v_i^2 + 2as$,જ્યાં $a = -g$ અને $s = -h$ (ટાવરની ટોચથી જમીન સુધીનું સ્થાનાંતર).
$(-4u)^2 = u^2 + 2(-g)(-h)$
$16u^2 = u^2 + 2gh$
$15u^2 = 2gh$
$h = \frac{15u^2}{2g}$

(C) જ્યારે દડાને પ્રારંભિક વેગ $u$ સાથે ફેંકવામાં આવે ત્યારે તેને મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{u}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $0$ હોય છે. $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $0 = u^2 - 2gh$ મળે છે,તેથી $u = \sqrt{2gh}$.
સમયના સમીકરણમાં $u$ ની કિંમત મૂકતા: $t = \frac{\sqrt{2gh}}{g} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$.
અહીં $h = 5\, m$ અને $g = 10\, ms^{-2}$ આપેલ છે,તેથી લાગતો સમય $t = \sqrt{\frac{2 \times 5}{10}} = \sqrt{1} = 1\, s$.
કારણ કે જ્યારે અગાઉનો દડો તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે ત્યારે પછીનો દડો ફેંકવામાં આવે છે,તેથી દર $1\, s$ માં એક દડો ફેંકવામાં આવે છે.
તેથી,પ્રતિ મિનિટ $(60\, s)$ ફેંકવામાં આવતા દડાઓની સંખ્યા $\frac{60\, s}{1\, s/\text{ball}} = 60\, \text{balls/minute}$ થશે.

(A) ફુગ્ગો સ્થિર સ્થિતિમાંથી $a = 4.9 \, m/s^2$ ના પ્રવેગ સાથે ગતિ શરૂ કરે છે. $t = 2 \, s$ પછી,ફુગ્ગાનો (અને દડાનો) વેગ $v = u + at = 0 + 4.9 \times 2 = 9.8 \, m/s$ થશે.
$t = 2 \, s$ સમયે ફુગ્ગાની ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2}at^2 = 0.5 \times 4.9 \times (2)^2 = 9.8 \, m$ છે.
જ્યારે દડો છોડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ $9.8 \, m/s$ છે અને તે $9.8 \, m$ ની ઊંચાઈ પર છે. દડા દ્વારા છોડ્યા પછી પ્રાપ્ત કરેલી વધારાની ઊંચાઈ $s$ માટે $v^2 = u^2 - 2gs$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં મહત્તમ ઊંચાઈએ અંતિમ વેગ $0$ થાય છે.
$0 = (9.8)^2 - 2 \times 9.8 \times s \implies s = \frac{9.8 \times 9.8}{2 \times 9.8} = 4.9 \, m$.
જમીનથી મહત્તમ ઊંચાઈ $H = h + s = 9.8 + 4.9 = 14.7 \, m$ છે.

(A) શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ માટે ગતિનું સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ છે.
$s = h$ અને $a = -g$ મૂકતા,આપણને $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે.
આને $t$ માં દ્વિઘાત સમીકરણ તરીકે ગોઠવતા: $\frac{1}{2}gt^2 - ut + h = 0$,અથવા $t^2 - \frac{2u}{g}t + \frac{2h}{g} = 0$.
ચોક્કસ ઊંચાઈ $h$ માટે,આ દ્વિઘાત સમીકરણના બીજ એ બે સમયના ક્ષણો $t_1$ અને $t_2$ છે જેના પર પદાર્થ તે ઊંચાઈએ હોય છે.
દ્વિઘાત સમીકરણના ગુણધર્મો મુજબ,બીજનો સરવાળો એ $t$ ના સહગુણકને ઋણ ચિહ્ન સાથે લેવાથી મળે છે.
તેથી,$t_1 + t_2 = \frac{2u}{g}$.
આ સરવાળો માત્ર પ્રારંભિક વેગ $u$ અને ગુરુત્વપ્રવેગ $g$ પર આધાર રાખે છે,ઊંચાઈ $h$ પર નહીં,તેથી કોઈપણ ઊંચાઈ $h$ માટે સમયની ક્ષણોનો સરવાળો સમાન રહેશે.
આમ,$t_1 + t_2 = t'_1 + t'_2$.

(D) ગતિના સમીકરણ $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$,આપણને $S = \frac{1}{2}gt^2$ મળે છે,જેનો અર્થ થાય છે $t = \sqrt{\frac{2S}{g}}$.
પ્રથમ ઊંચાઈ $h$ માટે,લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ છે.
પ્રથમ બે ઊંચાઈઓ (કુલ અંતર $2h$) માટે,લાગતો સમય $T_2 = \sqrt{\frac{2(2h)}{g}} = \sqrt{\frac{4h}{g}}$ છે. તેથી,બીજા અંતરાલ $h$ માટે લાગતો સમય $t_2 = T_2 - t_1 = \sqrt{\frac{4h}{g}} - \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{2} - 1)$ છે.
પ્રથમ ત્રણ ઊંચાઈઓ (કુલ અંતર $3h$) માટે,લાગતો સમય $T_3 = \sqrt{\frac{2(3h)}{g}} = \sqrt{\frac{6h}{g}}$ છે. તેથી,ત્રીજા અંતરાલ $h$ માટે લાગતો સમય $t_3 = T_3 - T_2 = \sqrt{\frac{6h}{g}} - \sqrt{\frac{4h}{g}} = \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$ છે.
ગુણોત્તર $t_1 : t_2 : t_3$ લેતા:
$t_1 : t_2 : t_3 = \sqrt{\frac{2h}{g}} : \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{2} - 1) : \sqrt{\frac{2h}{g}}(\sqrt{3} - \sqrt{2})$
$t_1 : t_2 : t_3 = 1 : (\sqrt{2} - 1) : (\sqrt{3} - \sqrt{2})$.

(C) $n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{g}{2}(2n - 1)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ ઉપરની તરફ ગતિ કરતો હોવાથી,ગુરુત્વાકર્ષણને કારણે પ્રવેગ $-g$ છે.
તેથી,$S_n = u - \frac{g}{2}(2n - 1)$.
આપેલ છે કે $5^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર અને $6^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર સમાન છે.
કણ મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે અને પાછો ફરે છે,તેથી $5^{th}$ અને $6^{th}$ સેકન્ડની વચ્ચે તે ટોચ પર પહોંચે છે.
ટોચ પર પહોંચવાનો સમય $t = u/g$ છે.
સમાન અંતર માટે,ટોચ $t = 5.5$ સેકન્ડે હોવી જોઈએ.
$5.5 = u / 9.8$
$u = 5.5 \times 9.8 = 53.9 \, m/s$ (નોંધ: જો અંતરનું મૂલ્ય સમાન હોય,તો $u = 5g = 49 \, m/s$ મળે છે).
ગણતરી મુજબ: $u - 4.5g = -(u - 5.5g) \Rightarrow 2u = 10g \Rightarrow u = 5g = 49 \, m/s$.

(C) ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે. દડાનું પ્રારંભિક સ્થાન $y_0 = 40\,m$ છે અને જ્યારે તે જમીન પર અથડાય છે ત્યારે અંતિમ સ્થાન $y = 0\,m$ છે. સ્થાનાંતર $s = y - y_0 = 0 - 40 = -40\,m$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $u = +10\,m/s$ છે અને પ્રવેગ $a = -g = -10\,m/s^2$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-40 = 10t + \frac{1}{2}(-10)t^2$
$-40 = 10t - 5t^2$
$-5$ વડે ભાગતા:
$8 = -2t + t^2$
$t^2 - 2t - 8 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(t - 4)(t + 2) = 0$
સમય ઋણ હોઈ શકે નહીં,તેથી આપણે $t = 4\,s$ લઈએ છીએ.

(C) સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરતા પદાર્થ માટે,$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s = \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અંતરાલ ($t = 0$ થી $t = t_0$) માં કાપેલું અંતર $s_1 = \frac{1}{2} g t_0^2$ છે.
પ્રથમ $2 t_0$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s_{0-2t_0} = \frac{1}{2} g (2 t_0)^2 = 4 \left( \frac{1}{2} g t_0^2 \right) = 4 s_1$ છે.
તેથી,બીજા અંતરાલ ($t = t_0$ થી $t = 2 t_0$) માં કાપેલું અંતર $s_2 = s_{0-2t_0} - s_1 = 4 s_1 - s_1 = 3 s_1$ થાય.
પ્રથમ $3 t_0$ સમયમાં કાપેલું અંતર $s_{0-3t_0} = \frac{1}{2} g (3 t_0)^2 = 9 \left( \frac{1}{2} g t_0^2 \right) = 9 s_1$ છે.
તેથી,ત્રીજા અંતરાલ ($t = 2 t_0$ થી $t = 3 t_0$) માં કાપેલું અંતર $s_3 = s_{0-3t_0} - s_{0-2t_0} = 9 s_1 - 4 s_1 = 5 s_1$ થાય.
દરેક અંતરાલમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર $s_1 : s_2 : s_3 = s_1 : 3 s_1 : 5 s_1 = 1 : 3 : 5$ છે.

(A) $n^{th}$ સેકન્ડમાં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$s_{n} = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$
આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g$ છે.
$4^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 4)$:
$s_{4} = 0 + \frac{g}{2}(2 \times 4 - 1) = \frac{g}{2}(7) = \frac{7g}{2}$
$5^{th}$ સેકન્ડ માટે $(n = 5)$:
$s_{5} = 0 + \frac{g}{2}(2 \times 5 - 1) = \frac{g}{2}(9) = \frac{9g}{2}$
$4^{th}$ અને $5^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનો ગુણોત્તર:
$\frac{s_{4}}{s_{5}} = \frac{7g/2}{9g/2} = \frac{7}{9}$

(D) ધારો કે બિંદુ $A$ પર કણનો પ્રારંભિક વેગ $u$ છે અને બિંદુ $B$ પર વેગ $v$ છે. $A$ થી $B$ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે. ગતિના સમીકરણ $v = u - gt_1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v = u - gt_1$ મળે છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચ્યા પછી,કણ $B$ પર પાછો આવે છે અને પછી $A$ પર પહોંચે છે. $B$ થી જમીન (બિંદુ $A$) સુધી પાછા આવવા માટે લાગતો સમય $t_2$ છે. બિંદુ $B$ પર વેગ $v$ (ઉપરની તરફ) છે. જ્યારે તે નીચે આવતી વખતે ફરીથી $B$ પર આવે છે,ત્યારે વેગ $-v$ (નીચેની તરફ) હોય છે. $B$ થી જમીન સુધી મુસાફરી કરવા માટેનો સમય $t_2$ છે. $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $-u = v - gt_2$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $v = gt_2 - u$.
$v$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $u - gt_1 = gt_2 - u$,જે $2u = g(t_1 + t_2)$ આપે છે,અથવા $u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$.
જમીનથી બિંદુ $B$ ની ઊંચાઈ $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$u$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \left[\frac{1}{2}g(t_1 + t_2)\right]t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}gt_1^2 + \frac{1}{2}gt_1t_2 - \frac{1}{2}gt_1^2 = \frac{1}{2}gt_1t_2$.

(D) પદાર્થને $v_0$ પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{up} = \frac{v_0}{g}$ છે.
પ્રશ્નમાં $t = \frac{v_0}{g}$ સમયગાળા માટે સરેરાશ ઝડપ પૂછવામાં આવી છે,જે મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય છે.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,સ્થાનાંતર $s$ એ મહત્તમ ઊંચાઈ $H_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$ જેટલું હોય છે.
આ સમયગાળા દરમિયાન પદાર્થ એક જ દિશામાં સીધી રેખામાં ગતિ કરતો હોવાથી,કાપેલું કુલ અંતર એ સ્થાનાંતર જેટલું જ થાય છે.
સરેરાશ ઝડપ = $\frac{\text{કુલ અંતર}}{\text{કુલ સમય}} = \frac{H_{max}}{t} = \frac{v_0^2 / 2g}{v_0 / g} = \frac{v_0}{2}$.

(C) પ્રારંભિક વેગ $u = 48\, m/s$ અને પ્રવેગ $a = -g = -10\, m/s^2$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ પ્રાપ્ત કરવા માટે લાગતો સમય $t = u/g = 48/10 = 4.8\, s$ છે.
$5$ મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ $t = 4\, s$ અને $t = 5\, s$ વચ્ચે કાપેલું અંતર છે.
$t = 4\, s$ સમયે,સ્થાન $s_4 = ut + \frac{1}{2}at^2 = 48(4) - 5(4)^2 = 192 - 80 = 112\, m$ છે.
$t = 4.8\, s$ (મહત્તમ ઊંચાઈ) સમયે,સ્થાન $s_{4.8} = 48(4.8) - 5(4.8)^2 = 230.4 - 115.2 = 115.2\, m$ છે.
$t = 5\, s$ સમયે,સ્થાન $s_5 = 48(5) - 5(5)^2 = 240 - 125 = 115\, m$ છે.
$5$ મી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ $t = 4\, s$ થી $t = 4.8\, s$ સુધીનું અંતર અને $t = 4.8\, s$ થી $t = 5\, s$ સુધીના અંતરનો સરવાળો છે.
અંતર $= (s_{4.8} - s_4) + (s_{4.8} - s_5) = (115.2 - 112) + (115.2 - 115) = 3.2 + 0.2 = 3.4\, m$.

(B) ધારો કે ટાવરની ઊંચાઈ $h$ છે અને પદાર્થને જમીન સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$ છે.
અહીં,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \; m/s^2$ છે.
કુલ ઊંચાઈ $h = \frac{1}{2} g t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
છેલ્લા બે સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર એ કુલ ઊંચાઈ અને $(t-2)$ સેકન્ડમાં કાપેલ ઊંચાઈ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$40 = \frac{1}{2} g t^2 - \frac{1}{2} g (t-2)^2$.
$g = 10 \; m/s^2$ મૂકતા:
$40 = 5 t^2 - 5 (t^2 - 4t + 4)$.
$40 = 5 t^2 - 5 t^2 + 20 t - 20$.
$40 = 20 t - 20$.
$60 = 20 t \implies t = 3 \; s$.
હવે,ઊંચાઈ $h$ ની ગણતરી કરીએ:
$h = \frac{1}{2} \times 10 \times (3)^2 = 5 \times 9 = 45 \; m$.

(A) ધારો કે પદાર્થ ઉપરના બિંદુએ $t$ સમયે અને નીચેના બિંદુએ $(t+1) \ s$ સમયે પહોંચે છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી મુક્ત પતન માટે ગતિના સમીકરણ $S = \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(t+1)$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S_2 = \frac{1}{2}g(t+1)^2$ છે.
$t$ સમયમાં કાપેલું અંતર $S_1 = \frac{1}{2}gt^2$ છે.
બંને બિંદુઓ વચ્ચેનું અંતર $S_2 - S_1 = 30 \ m$ છે.
$30 = \frac{1}{2}g(t+1)^2 - \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2}g(2t+1)$.
$g = 10 \ m \ s^{-2}$ મૂકતા:
$30 = 5(2t+1) \implies 6 = 2t + 1 \implies 2t = 5 \implies t = 2.5 \ s$.
શરૂઆતના બિંદુથી ઉપરના બિંદુ સુધીનું અંતર $S_1 = \frac{1}{2}gt^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times (2.5)^2 = 5 \times 6.25 = 31.25 \ m$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ પથ્થર ટાવરની ટોચ પરથી નીચે પડે છે. $t$ સમયમાં તેના દ્વારા કપાયેલ અંતર $S_1 = \frac{1}{2} g t^2$ છે.
ધારો કે બીજો પથ્થર જમીન પરથી ઉપરની તરફ ફેંકવામાં આવે છે. $t$ સમયમાં તેના દ્વારા કપાયેલ અંતર $S_2 = u t - \frac{1}{2} g t^2$ છે,જ્યાં $u = 25 \ m/s$ છે.
ટાવરની કુલ ઊંચાઈ $100 \ m$ હોવાથી,જ્યારે પથ્થરો મળે ત્યારે તેમના દ્વારા કપાયેલા અંતરનો સરવાળો ટાવરની ઊંચાઈ જેટલો થવો જોઈએ:
$S_1 + S_2 = 100$
$S_1$ અને $S_2$ ના સમીકરણો મૂકતા:
$\frac{1}{2} g t^2 + (u t - \frac{1}{2} g t^2) = 100$
$u t = 100$
$25 t = 100$
$t = \frac{100}{25} = 4 \ s$.
આમ,બંને પથ્થરો $4 \ s$ પછી મળશે.

(D) પગલું $1$: ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ $20\,m$ પડ્યા પછી પેરાશૂટિસ્ટનો વેગ $(g = 10\,m/s^2)$ શોધો.
$v^2 = u^2 + 2as$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$,$a = 10\,m/s^2$,અને $s = 20\,m$:
$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$
$v = 20\,m/s$.
પગલું $2$: પેરાશૂટ ખુલ્યા પછીની ગતિ ધ્યાનમાં લો.
આ તબક્કા માટે પ્રારંભિક વેગ $u' = 20\,m/s$,અંતિમ વેગ $v' = 4\,m/s$,અને મંદન $a' = -2\,m/s^2$ છે.
$v'^2 = u'^2 + 2a'h$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h$ એ પેરાશૂટ ખુલ્યા પછી કાપેલું અંતર છે:
$4^2 = 20^2 + 2(-2)h$
$16 = 400 - 4h$
$4h = 400 - 16 = 384$
$h = 96\,m$.
પગલું $3$: કુલ ઊંચાઈ $H$ શોધો.
$H = 20\,m + 96\,m = 116\,m$.

(A) $u$ જેટલા પ્રારંભિક વેગ સાથે શિરોલંબ ઉપર ફેંકવામાં આવેલા પદાર્થ દ્વારા પ્રાપ્ત મહત્તમ ઊંચાઈ $H$ નું સૂત્ર $H = \frac{u^2}{2g}$ છે.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $H \propto u^2$ થાય.
ધારો કે નવો વેગ $u'$ છે જેના માટે મહત્તમ ઊંચાઈ $H' = 2H$ છે.
પ્રમાણસરતાનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{H'}{H} = \frac{(u')^2}{u^2}.$
$H' = 2H$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{2H}{H} = \frac{(u')^2}{u^2}.$
$2 = \frac{(u')^2}{u^2} \implies (u')^2 = 2u^2.$
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,આપણને $u' = \sqrt{2}u$ મળે છે.

(D) શરૂઆતનો વેગ $u = 48\, ft/s$ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ $g = 32\, ft/s^2$ (નીચેની તરફ).
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0$ થાય છે.
ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 - 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $h$ એ પ્રક્ષેપણ બિંદુથી ઉપર પહોંચેલી ઊંચાઈ છે:
$0^2 = (48)^2 - 2(32)h$
$0 = 2304 - 64h$
$64h = 2304$
$h = \frac{2304}{64} = 36\, ft$.
જમીનથી કુલ ઊંચાઈ એ ટાવરની ઊંચાઈ અને ટાવરની ઉપર પહોંચેલી ઊંચાઈનો સરવાળો છે:
$H_{max} = 64\, ft + 36\, ft = 100\, ft$.

(A) દડાનું વેગમાન $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $v$ એ વેગ છે.
ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળની ગતિ માટે,વેગ $v$ અને ઊંચાઈ $h$ વચ્ચેનો સંબંધ $v^2 = u^2 - 2gh$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $u$ એ પ્રારંભિક વેગ છે.
સમીકરણમાં $v = p/m$ મૂકતા,આપણને $(p/m)^2 = u^2 - 2gh$ મળે છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $p^2 = m^2u^2 - 2gm^2h$ મળે છે,જેને $p^2 = -2gm^2h + m^2u^2$ તરીકે લખી શકાય છે.
આ $p^2 = -Ah + B$ સ્વરૂપના પરવલયનું સમીકરણ છે,જ્યાં $A = 2gm^2$ અને $B = m^2u^2$ છે.
જેમ દડો ઉપર જાય છે,તેમ $h$ એ $0$ થી $H_{max}$ સુધી વધે છે અને $p$ એ $mu$ થી $0$ સુધી ઘટે છે. જેમ તે પાછો નીચે આવે છે,તેમ $h$ એ $H_{max}$ થી $0$ સુધી ઘટે છે અને $p$ ઋણ બને છે તથા તેનું મૂલ્ય $0$ થી $-mu$ સુધી વધે છે.
સાચો આલેખ એ ઋણ $h$-અક્ષ તરફ ખુલતો પરવલય છે,જે $p = mu$ (ધન) થી શરૂ થાય છે,$h=H_{max}$ પર $p=0$ માંથી પસાર થાય છે અને $h=0$ પર $p = -mu$ (ઋણ) પર સમાપ્ત થાય છે.

(B) જ્યારે દડો ઉપરની તરફ ગતિ કરે છે,ત્યારે ગુરુત્વાકર્ષણ અને ડ્રેગ ફોર્સ બંને નીચેની તરફ લાગે છે. ગતિનું સમીકરણ: $m \frac{dv}{dt} = -mg - m\gamma v^2$.
$m$ વડે ભાગતા: $\frac{dv}{dt} = -(g + \gamma v^2)$.
સંકલન માટે ગોઠવતા: $dt = -\frac{dv}{g + \gamma v^2} = -\frac{1}{\gamma} \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2}$.
$t=0$ થી $T$ અને $v=V_0$ થી $0$ સુધી સંકલન કરતા: $\int_0^T dt = -\frac{1}{\gamma} \int_{V_0}^0 \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2}$.
ધારો કે $a^2 = g/\gamma$,તો $\int \frac{dv}{a^2 + v^2} = \frac{1}{a} \tan^{-1}(\frac{v}{a})$.
$T = \frac{1}{\gamma} \int_0^{V_0} \frac{dv}{(g/\gamma) + v^2} = \frac{1}{\gamma} [\frac{1}{\sqrt{g/\gamma}} \tan^{-1}(\frac{v}{\sqrt{g/\gamma}})]_0^{V_0}$.
$T = \frac{1}{\sqrt{\gamma g}} \tan^{-1} (V_0 \sqrt{\frac{\gamma}{g}})$.

(C) ધારો કે પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે. $h$ ઊંચાઈ કાપ્યા પછી,વેગ $v$ છે. ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $v^2 = 2gh$ મળે છે.
ધારો કે પદાર્થ વધારાનું $x$ અંતર કાપે છે જેથી તેનો વેગ $2v$ થાય.
કુલ અંતર $(h + x)$ માટે સમાન સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(2v)^2 = 0 + 2g(h + x)$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા $4v^2 = 2g(h + x)$ મળે છે.
સમીકરણમાં $v^2 = 2gh$ મૂકતા,આપણને $4(2gh) = 2g(h + x)$ મળે છે.
$8gh = 2gh + 2gx$.
$6gh = 2gx$,જેનો અર્થ છે કે $x = 3h$.
તેથી,વધારાનું અંતર $3h$ છે.

(B) ધારો કે જમીન પર પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t$ સેકન્ડ છે. પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ અને પ્રવેગ $a = g = 10 \, m/s^2$ છે.
પ્રથમ સેકન્ડ $(t=1)$ માં કાપેલું અંતર:
$x = u(1) + \frac{1}{2}g(1)^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 10 \times 1 = 5 \, m$.
છેલ્લી સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $7x$ આપેલું છે. તેથી,છેલ્લી સેકન્ડમાં અંતર $7 \times 5 = 35 \, m$ થાય.
$n^{th}$ સેકન્ડમાં કાપેલા અંતરનું સૂત્ર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$35 = 0 + \frac{10}{2}(2t - 1)$
$35 = 5(2t - 1)$
$7 = 2t - 1$
$2t = 8$
$t = 4 \, s$.
આમ,પદાર્થને જમીન પર પહોંચતા $4 \, s$ સમય લાગે છે.

(C) ધારો કે બારીનો ઉપરનો ભાગ પથ્થરના શરૂઆતના બિંદુથી $h_1 = 40\,cm$ અંતરે છે.
ધારો કે બારીનો નીચેનો ભાગ પથ્થરના શરૂઆતના બિંદુથી $h_2 = 40\,cm + 50\,cm = 90\,cm$ અંતરે છે.
બારીના ઉપરના ભાગ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_1 = \sqrt{\frac{2h_1}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 40}{980}} = \sqrt{\frac{80}{980}} = \sqrt{\frac{4}{49}} = \frac{2}{7}\,s$ છે.
બારીના નીચેના ભાગ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_2 = \sqrt{\frac{2h_2}{g}} = \sqrt{\frac{2 \times 90}{980}} = \sqrt{\frac{180}{980}} = \sqrt{\frac{9}{49}} = \frac{3}{7}\,s$ છે.
બારીને ઓળંગવા માટે લાગતો સમય $\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{3}{7} - \frac{2}{7} = \frac{1}{7}\,s$ છે.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ $h$ પર,અંતિમ વેગ $0$ થાય છે. $v = u - gt$ નો ઉપયોગ કરતા,$0 = u - gt$,તેથી $u = gt$. મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટેનો સમય $t = \frac{u}{g}$ છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h = \frac{u^2}{2g} = \frac{(gt)^2}{2g} = \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હવે,$t' = \frac{t}{2}$ સમયમાં કાપેલ ઊંચાઈ $h'$ ગતિના સમીકરણ $s = ut - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને શોધીએ:
$h' = u(\frac{t}{2}) - \frac{1}{2}g(\frac{t}{2})^2$
$u = gt$ મૂકતા:
$h' = (gt)(\frac{t}{2}) - \frac{1}{2}g(\frac{t^2}{4})$
$h' = \frac{gt^2}{2} - \frac{gt^2}{8}$
$h' = \frac{4gt^2 - gt^2}{8} = \frac{3gt^2}{8}$
કારણ કે $h = \frac{1}{2}gt^2$,તેથી $gt^2 = 2h$.
આ કિંમત $h'$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$h' = \frac{3(2h)}{8} = \frac{3h}{4}$.

(B) જ્યારે ફૂડ પેકેટને હેલિકોપ્ટરમાંથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે તેનો પ્રારંભિક વેગ હેલિકોપ્ટરના વેગ જેટલો જ હોય છે,એટલે કે $u = +4 \, ms^{-1}$ (ઉપરની દિશાને ધન લેતા).
પેકેટ મુક્ત થયા પછી તેના પર લાગતો પ્રવેગ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,તેથી $a = -g = -9.8 \, ms^{-2}$.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણ $v = u + at$ નો ઉપયોગ કરતા:
$v = 4 + (-9.8 \times 3)$
$v = 4 - 29.4$
$v = -25.4 \, ms^{-1}$.
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે વેગ નીચેની દિશામાં છે. વેગનું મૂલ્ય $25.4 \, ms^{-1}$ છે.

(B) ધારો કે પ્રથમ $1 \ m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_1$ છે અને પ્રથમ $2 \ m$ અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t$ છે.
ગતિના સમીકરણ $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $u = 0$ અને $a = g$:
પ્રથમ $1 \ m$ માટે: $1 = \frac{1}{2} g t_1^2 \implies t_1 = \sqrt{\frac{2}{g}}$.
પ્રથમ $2 \ m$ માટે: $2 = \frac{1}{2} g t^2 \implies t = \sqrt{\frac{4}{g}}$.
બીજા મીટરનું અંતર કાપવા માટે લાગતો સમય $t_2 = t - t_1 = \sqrt{\frac{4}{g}} - \sqrt{\frac{2}{g}}$ છે.
પ્રથમ મીટર અને બીજા મીટર માટે લાગતા સમયનો ગુણોત્તર $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2/g}}{\sqrt{4/g} - \sqrt{2/g}}$ છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{4} - \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા: $\frac{\sqrt{2}(2 + \sqrt{2})}{(2 - \sqrt{2})(2 + \sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2} + 2}{4 - 2} = \frac{2(\sqrt{2} + 1)}{2} = \sqrt{2} + 1$.

(D) કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 4 \, s$ છે. ગતિ સંમિત હોવાથી,મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t = \frac{T}{2} = \frac{4}{2} = 2 \, s$ થાય.
મહત્તમ ઊંચાઈએ,અંતિમ વેગ $v = 0 \, m/s$ હોય છે.
ગતિના પ્રથમ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $v = u - gt$,જ્યાં $g = 10 \, m/s^2$.
$0 = u - (10 \times 2)$
$u = 20 \, m/s$.
વૈકલ્પિક રીતે,ઉડ્ડયન સમયના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $T = \frac{2u}{g} \Rightarrow u = \frac{gT}{2} = \frac{10 \times 4}{2} = 20 \, m/s$.

(B) ધારો કે બિંદુની ઊંચાઈ $h$ છે. ગતિના સમીકરણ $h = ut - \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$.
ધારો કે પરત મુસાફરી દરમિયાન તે જ બિંદુ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો કુલ સમય $t_2$ છે. તેથી $h = ut_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$.
$h$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2 = ut_2 - \frac{1}{2}gt_2^2$.
પદોને ગોઠવતા: $u(t_1 - t_2) = \frac{1}{2}g(t_1^2 - t_2^2) = \frac{1}{2}g(t_1 - t_2)(t_1 + t_2)$.
$t_1 \neq t_2$ હોવાથી,આપણે $(t_1 - t_2)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ,જેથી $u = \frac{1}{2}g(t_1 + t_2)$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $t_1 + t_2 = \frac{2u}{g}$.
બે પસાર થવાના સમય વચ્ચેનો સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1$ છે.
$t_2 = \frac{2u}{g} - t_1$ પરથી,આપણને $\Delta t = \left(\frac{2u}{g} - t_1\right) - t_1 = \frac{2u}{g} - 2t_1 = 2\left(\frac{u}{g} - t_1\right)$ મળે છે.

(B) $n^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉપરની ગતિ માટે,$a = -g$ છે.
$5^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં અંતર: $S_5 = u - \frac{g}{2}(2 \times 5 - 1) = u - 4.5g$.
$6^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં અંતર: $S_6 = u - \frac{g}{2}(2 \times 6 - 1) = u - 5.5g$.
કાપેલું અંતર સમાન હોવાથી,આપણે તેમના મૂલ્યોને સરખાવીએ: $|u - 4.5g| = |u - 5.5g|$.
આનો અર્થ એ છે કે પદાર્થ $5^{\text{th}}$ અને $6^{\text{th}}$ સેકન્ડની વચ્ચે તેની મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચે છે,એટલે કે તે દિશા બદલે છે. $5^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં કાપેલું અંતર ઉપરની તરફ છે અને $6^{\text{th}}$ સેકન્ડમાં નીચેની તરફ છે.
તેથી,$u - 4.5g = -(u - 5.5g)$.
$u - 4.5g = -u + 5.5g$.
$2u = 10g$.
$u = 5g = 5 \times 9.8 = 49 \, m/s$.

(A) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતા પદાર્થને $h$ ઊંચાઈ પરથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,ત્યારે જમીન સાથે અથડાય તે પહેલાં તેનો વેગ $v$ એ ગતિના સમીકરણ $v^2 = u^2 + 2gh$ દ્વારા મળે છે. પદાર્થને મુક્ત કરવામાં આવ્યો હોવાથી,પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે,તેથી $v = \sqrt{2gh}$.
પદાર્થનું વેગમાન $p$ એ $p = mv$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $p = m\sqrt{2gh}$ મળે છે.
દળ $m$ શોધવા માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $m = \frac{p}{\sqrt{2gh}}$ મળે છે.

(C) પુલ અને નદી વચ્ચેનું અંતર $S = 122.5\, m$ છે.
પ્રથમ દડા માટે,નદી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$ નો ઉપયોગ કરીને ગણી શકાય:
$122.5 = 0 + \frac{1}{2} \times 9.8 \times t^2$
$t^2 = \frac{122.5 \times 2}{9.8} = 25$
$t = 5\, s$.
બીજો દડો પ્રથમ દડાના $2\, s$ પછી ફેંકવામાં આવે છે,તેથી તેને પાણી સુધી પહોંચવા માટે $(5 - 2) = 3\, s$ નો સમય મળે છે.
બીજા દડા માટે,$S = 122.5\, m$ અને $t = 3\, s$ લઈને $S = ut + \frac{1}{2}gt^2$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$122.5 = u(3) + \frac{1}{2} \times 9.8 \times (3)^2$
$122.5 = 3u + 44.1$
$3u = 122.5 - 44.1 = 78.4$
$u = \frac{78.4}{3} \approx 26.13\, m/s$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,પ્રારંભિક વેગ $26.1\, m/s$ છે.

(C) ધારો કે બે પદાર્થોના પ્રારંભિક સ્થાન $y_1 = 9.8\,m$ અને $y_2 = 0\,m$ છે.
બંને પદાર્થોને એકસાથે મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી તેમનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0\,m/s$ અને પ્રવેગ $a = g$ (નીચેની તરફ) છે.
$t$ સમયે પ્રથમ પદાર્થનું સ્થાન $y_1(t) = 9.8 + 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$t$ સમયે બીજા પદાર્થનું સ્થાન $y_2(t) = 0 + 0(t) + \frac{1}{2}gt^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેમની વચ્ચેનું સાપેક્ષ અંતર $|y_1(t) - y_2(t)| = |(9.8 + \frac{1}{2}gt^2) - (\frac{1}{2}gt^2)| = 9.8\,m$ છે.
બંને પદાર્થો સમાન ગુરુત્વાકર્ષણ પ્રવેગ અનુભવતા હોવાથી,તેમનો સાપેક્ષ વેગ અને સાપેક્ષ પ્રવેગ બંને શૂન્ય છે.
તેથી,સમય ગમે તેટલો પસાર થાય,તેમની વચ્ચેનું અંતર $9.8\,m$ અચળ રહે છે.

(D) પ્રથમ $2 \, s$ માં પદાર્થ દ્વારા કાપેલું અંતર $h_1 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20 \, m$ છે.
$2 \, s$ પછી,પદાર્થને અટકાવવામાં આવે છે,જેનો અર્થ છે કે તે ક્ષણે તેનો વેગ $0 \, m/s$ થઈ જાય છે.
ત્યારબાદ તેને ફરીથી મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પછીના $2 \, s$ માટે,તે સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે જ્યાં પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \, m/s$ છે.
પછીના $2 \, s$ માં કાપેલું અંતર $h_2 = \frac{1}{2} g t^2 = \frac{1}{2} \times 10 \times 2^2 = 20 \, m$ છે.
ટોચથી કાપેલું કુલ અંતર $h_1 + h_2 = 20 + 20 = 40 \, m$ છે.
તેથી,જમીનથી પદાર્થની ઊંચાઈ $H - 40 \, m$ હશે.

(A) ધારો કે કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = t_1 + t_2$ છે. કુલ ઉડ્ડયન સમય $T = 2u/g$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તેથી $u = g(t_1 + t_2)/2$ થાય.
$t_1$ સમયે ઊંચાઈ $h$ ગતિના સમીકરણ દ્વારા મળે છે: $h = ut_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$.
સમીકરણમાં $u = \frac{g(t_1 + t_2)}{2}$ મૂકતા:
$h = \left[ \frac{g(t_1 + t_2)}{2} \right] t_1 - \frac{1}{2}gt_1^2$
પદનું સાદું રૂપ આપતા:
$h = \frac{gt_1^2}{2} + \frac{gt_1t_2}{2} - \frac{gt_1^2}{2}$
$h = \frac{gt_1t_2}{2}$
તેથી,$t_1t_2 = \frac{2h}{g}$.

(A) ધારો કે પથ્થરને તળાવની સપાટી સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{1}$ છે.
ગતિના સમીકરણ $h = ut + \frac{1}{2}gt^{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
પથ્થરને મુક્ત કરવામાં આવે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
તેથી,$h = \frac{1}{2}gt_{1}^{2}$.
$t_{1}$ માટે ઉકેલતા,આપણને $t_{1} = \sqrt{\frac{2h}{g}}$ મળે છે.
હવે,છબછબિયાંનો અવાજ તળાવની સપાટીથી ટાવરની ટોચ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_{2} = \frac{h}{v}$ છે,જ્યાં $v$ એ અવાજની ઝડપ છે.
કુલ સમય $t$ જે પછી અવાજ સંભળાય છે તે પથ્થરને પડવા માટે લાગતો સમય અને અવાજને ઉપર આવવા માટે લાગતા સમયનો સરવાળો છે:
$t = t_{1} + t_{2} = \sqrt{\frac{2h}{g}} + \frac{h}{v}$.

(C) મહત્તમ ઊંચાઈ સુધી પહોંચવા માટે લાગતો સમય $t_0 = \frac{v_0}{g}$ છે.
આપેલ સમય $t = \frac{1.5 v_0}{g}$ એ $t_0$ કરતા વધારે હોવાથી,પથ્થર મહત્તમ ઊંચાઈએ પહોંચીને પાછો નીચે પડે છે.
કાપેલું કુલ અંતર એ મહત્તમ ઊંચાઈ સુધીનું અંતર અને ત્યાંથી નીચે પડેલ અંતરનો સરવાળો છે.
મહત્તમ ઊંચાઈ $h_{max} = \frac{v_0^2}{2g}$.
પાછા પડવા માટે લાગતો સમય $t' = t - t_0 = \frac{1.5 v_0}{g} - \frac{v_0}{g} = \frac{0.5 v_0}{g} = \frac{v_0}{2g}$.
$t'$ સમયમાં કાપેલું અંતર $d' = \frac{1}{2} g (t')^2 = \frac{1}{2} g \left(\frac{v_0}{2g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{8g}$.
કુલ અંતર = $h_{max} + d' = \frac{v_0^2}{2g} + \frac{v_0^2}{8g} = \frac{4v_0^2 + v_0^2}{8g} = \frac{5 v_0^2}{8g}$.