Mix Examples-Motion in Straight Line Questions in Hindi

(B, E) असत्य: यह संबंध केवल एकसमान त्वरण के लिए मान्य है। मनमानी गति के लिए,यह सामान्यतः सत्य नहीं है।
$(b)$ सत्य: परिभाषा के अनुसार,औसत वेग कुल विस्थापन को कुल समयांतराल से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
$(c)$ असत्य: यह समीकरण केवल स्थिर त्वरण के लिए मान्य है। मनमानी गति में,त्वरण का स्थिर होना आवश्यक नहीं है।
$(d)$ असत्य: यह स्थिर त्वरण के लिए गति का समीकरण है। यह मनमानी गति पर लागू नहीं होता है।
$(e)$ सत्य: परिभाषा के अनुसार,औसत त्वरण वेग में परिवर्तन और उस परिवर्तन के होने में लगे समयांतराल का अनुपात है।

(C) माना $O$ जमीन पर प्रेक्षण बिंदु है और $R$ विमान के पथ के ठीक नीचे जमीन पर बिंदु है। विमान $10.0 \; s$ में $P$ से $Q$ स्थिति तक जाता है।
ऊँचाई $OR = 3400 \; m$ है।
$O$ पर बनने वाला कुल कोण $\angle POQ = 30^{\circ}$ है।
चूँकि त्रिभुज $POQ$ समद्विबाहु है (स्थिर ऊँचाई मानते हुए),रेखा $OR$ कोण $\angle POQ$ को समद्विभाजित करती है।
इसलिए,$\angle POR = \angle QOR = 15^{\circ}$ है।
समकोण त्रिभुज $\Delta PRO$ में:
$\tan(15^{\circ}) = \frac{PR}{OR}$
$PR = OR \times \tan(15^{\circ}) = 3400 \times (2 - \sqrt{3}) \approx 3400 \times 0.26795 = 911.03 \; m$ है।
चूँकि $PR = RQ$ है,कुल दूरी $PQ = 2 \times PR = 2 \times 911.03 = 1822.06 \; m$ है।
$\tan(15^{\circ}) \approx 0.268$ का मान लेने पर,$PQ = 6800 \times 0.268 = 1822.4 \; m$ है।
विमान की गति $v = \frac{\text{दूरी}}{\text{समय}} = \frac{1822.4 \; m}{10 \; s} = 182.24 \; m/s$ है।

(N/A) पिंड का द्रव्यमान,$m = 0.40 \;kg$.
प्रारंभिक वेग,$u = 10 \;m s^{-1}$ (उत्तर दिशा धनात्मक).
बल,$F = -8.0 \;N$ (दक्षिण दिशा ऋणात्मक).
त्वरण,$a = \frac{F}{m} = \frac{-8.0}{0.40} = -20 \;m s^{-2}$.
$t = -5 \;s$ पर:
बल अभी तक नहीं लगाया गया है,इसलिए $a = 0$.
$x = u t = 10 \times (-5) = -50 \;m$.
$t = 25 \;s$ पर:
बल पूरी अवधि के लिए लागू होता है।
$x = u t + \frac{1}{2} a t^2 = 10 \times 25 + \frac{1}{2} \times (-20) \times (25)^2 = 250 - 6250 = -6000 \;m$.
$t = 100 \;s$ पर:
$0 \leq t \leq 30 \;s$ के लिए,$x_1 = 10 \times 30 + \frac{1}{2} \times (-20) \times (30)^2 = 300 - 9000 = -8700 \;m$.
$t = 30 \;s$ पर वेग $v = u + at = 10 + (-20) \times 30 = -590 \;m s^{-1}$.
$30 < t \leq 100 \;s$ के लिए,बल शून्य है,इसलिए $a = 0$.
$x_2 = v \times \Delta t = -590 \times (100 - 30) = -590 \times 70 = -41300 \;m$.
कुल स्थिति $x = x_1 + x_2 = -8700 - 41300 = -50000 \;m$.

(D) वेग एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों होते हैं।
वेग की परिभाषा के अनुसार,इसे निम्नलिखित तरीकों से बदला जा सकता है:
$1$. दिशा को स्थिर रखते हुए वेग के परिमाण (चाल) को बदलकर।
$2$. परिमाण (चाल) को स्थिर रखते हुए गति की दिशा को बदलकर।
$3$. गति के परिमाण (चाल) और दिशा दोनों को एक साथ बदलकर।
इसलिए,उल्लिखित सभी तरीके वेग में परिवर्तन का कारण बनते हैं।

(N/A) प्रतिक्रिया समय को उस समय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो एक व्यक्ति किसी स्थिति को देखने,सोचने और अंततः उस पर प्रतिक्रिया करने में लेता है। उदाहरण के लिए,यदि कोई वाहन चालक सड़क पर कोई बाधा देखता है,तो बाधा को देखने और ब्रेक लगाने के बीच के समय को प्रतिक्रिया समय कहा जाता है।
प्रतिक्रिया समय निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$1$. स्थिति की जटिलता: अधिक जटिल या अप्रत्याशित स्थिति में प्रतिक्रिया करने में अधिक समय लगता है।
$2$. व्यक्ति की सतर्कता और शारीरिक स्थिति: थकान,उम्र या अन्य ध्यान भटकाने वाली चीजें इस बात को काफी प्रभावित करती हैं कि कोई व्यक्ति कितनी जल्दी प्रतिक्रिया दे सकता है।

(N/A) $0 < t < 3$ के लिए,$v(t) = 6t - 2t^2$. $3 < t < 6$ के लिए,$v(t) = -t^2 + 9t - 18$.
$(a)$ $0 < t < 3$ के लिए,$\frac{dv}{dt} = 6 - 4t = 0 \implies t = 1.5 \ s$. $t = 1.5 \ s$ पर,$v = 4.5 \ m/s$. $3 < t < 6$ के लिए,$v$ ऋणात्मक है,इसलिए अधिकतम वेग $t = 1.5 \ s$ पर $4.5 \ m/s$ है।
$(b)$ औसत वेग $v_{avg} = \frac{1}{t} \int_0^t v(t) dt$. $0 < t < 3$ के लिए,$v_{avg} = \frac{1}{t} (3t^2 - \frac{2}{3}t^3) = 3t - \frac{2}{3}t^2$. $\frac{dv_{avg}}{dt} = 3 - \frac{4}{3}t = 0 \implies t = 2.25 \ s$ प्राप्त होता है।
$(c)$ त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt}$. $0 < t < 3$ के लिए,$a = 6 - 4t$. $3 < t < 6$ के लिए,$a = -2t + 9$. $t=0$ पर,$|a|=6$. $t=3$ पर,$|a|=6$. $t=6$ पर,$|a|=3$. अधिकतम परिमाण $6 \ m/s^2$ है जो $t=0 \ s$ और $t=3 \ s$ पर प्राप्त होता है।
$(d)$ एक चक्र में विस्थापन ($0$ से $6 \ s$): $x_1 = \int_0^3 (6t - 2t^2) dt + \int_3^6 (-t^2 + 9t - 18) dt = 9 + (-4.5) = 4.5 \ m$. $20 \ m$ तक पहुँचने के लिए आवश्यक चक्र: $20 / 4.5 \approx 4.44$ चक्र।

(N/A) यदि तय की गई दूरी शून्य है,तो इसका अर्थ है कि कण ने गति नहीं की है,इसलिए उसका विस्थापन $0$ होगा।
$(b)$ त्वरण की परिभाषा के अनुसार,$a = \frac{\Delta v}{\Delta t}$। अतः,वेग में परिवर्तन $\Delta v = a \Delta t$ होगा।
$(c)$ वस्तु की स्थिति में परिवर्तन की समय दर को वेग कहा जाता है।

(N/A) औसत वेग का परिमाण हमेशा औसत चाल से कम या उसके बराबर होता है,अर्थात $\text{औसत वेग} \leq \text{औसत चाल}$।
$(b)$ एकसमान त्वरण $a$ के तहत $n^{th}$ सेकंड में कण द्वारा तय की गई दूरी का सूत्र $d_n = v_0 + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
$(c)$ वस्तु $B$ के सापेक्ष वस्तु $A$ का आपेक्षिक वेग $v_{AB} = v_A - v_B$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।

(A) सत्य। उदाहरण के लिए,जब किसी वस्तु को लंबवत ऊपर फेंका जाता है,तो उच्चतम बिंदु पर उसका वेग शून्य होता है,लेकिन गुरुत्वीय त्वरण $(g = 9.8 \ m/s^2)$ उस पर निरंतर कार्य करता रहता है।
$(b)$ असत्य। वस्तु का त्वरण स्थिर होने पर भी उसकी दिशा बदल सकती है,जैसे कि एकसमान वृत्तीय गति या प्रक्षेप्य गति में।
$(c)$ असत्य। स्थिर वस्तु की चाल शून्य होती है।

(A) सत्य। वेग एक सदिश राशि है; यदि गति की दिशा बदलती है,तो चाल स्थिर रहने पर भी वेग बदल सकता है (उदाहरण के लिए,एकसमान वृत्तीय गति)।
$(b)$ असत्य। गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ के अनुसार,मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए $(u=0, a=g)$,दूरी $s = \frac{1}{2}gt^2$ होती है। अतः,दूरी समय के वर्ग के समानुपाती होती है $(s \propto t^2)$,न कि केवल समय के।
$(c)$ असत्य। कण को एक ऐसे बिंदुवत पिंड के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें द्रव्यमान तो होता है लेकिन कोई विमाएँ (आकार नगण्य) नहीं होती हैं।

(NONE) असत्य। गैर-रेखीय गति के लिए,पथ की लंबाई हमेशा विस्थापन के परिमाण से अधिक होती है।
$(b)$ असत्य। रुकने की दूरी $d_s = \frac{v^2}{2a}$ होती है,इसलिए यह प्रारंभिक वेग के वर्ग के समानुपाती होती है।
$(c)$ असत्य। औसत गति को कुल तय की गई दूरी और कुल लिए गए समय के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है,न कि व्यक्तिगत गतियों के अंकगणितीय माध्य के रूप में।
$(d)$ असत्य। स्थिति-समय ग्राफ का ढलान वेग को दर्शाता है। वेग-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल विस्थापन को दर्शाता है।

(D) नियत धनात्मक त्वरण: यदि वेग धनात्मक है,तो चाल बढ़ती है $(p)$। यदि वेग ऋणात्मक है,तो चाल घटती है $(q)$।
$(B)$ नियत ऋणात्मक त्वरण: यदि वेग ऋणात्मक है,तो चाल बढ़ती है $(p)$। यदि वेग धनात्मक है,तो चाल घटती है $(q)$।
$(C)$ नियत विस्थापन: इसका अर्थ है कि वेग शून्य है,इसलिए चाल शून्य है $(r)$।
$(D)$ $a-t$ ग्राफ का नियत ढाल: इसका अर्थ नियत जर्क (jerk) है,जो प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर चाल के बढ़ने और घटने दोनों की अनुमति देता है $(p, q)$।

(B) दी गई सीधी रेखा का समीकरण $y = 3x + 5$ है।
समय $t$ के सापेक्ष निर्देशांकों के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए,हम समीकरण के दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं:
$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(3x + 5)$
$\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt} + 0$
$\frac{dy}{dt} = 3 \frac{dx}{dt}$
यह समीकरण दर्शाता है कि $y$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर $x$-निर्देशांक के परिवर्तन की दर की $3$ गुनी है।
अतः,$y$-निर्देशांक तेजी से बदलता है।

(D) बस $P$ की स्थिति $X_{P}(t) = \alpha t + \beta t^{2}$ द्वारा दी गई है।
बस $P$ का वेग $V_{P}(t) = \frac{dX_{P}}{dt} = \alpha + 2\beta t$ है।
बस $Q$ की स्थिति $X_{Q}(t) = ft - t^{2}$ द्वारा दी गई है।
बस $Q$ का वेग $V_{Q}(t) = \frac{dX_{Q}}{dt} = f - 2t$ है।
दोनों बसों का वेग समान होने के लिए,हम $V_{P}(t) = V_{Q}(t)$ रखते हैं:
$\alpha + 2\beta t = f - 2t$.
$t$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2\beta t + 2t = f - \alpha$.
$t(2\beta + 2) = f - \alpha$.
$t = \frac{f - \alpha}{2(1 + \beta)}$.

(D) सही उत्तर $(d)$ है।
वेग एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण (चाल) और दिशा दोनों होते हैं। यदि वेग परिवर्तनीय है,तो इसका मतलब है कि या तो परिमाण बदल रहा है,दिशा बदल रही है,या दोनों बदल रहे हैं।
$(i)$ यदि कोई पिंड एकसमान वृत्तीय गति में है,तो उसकी चाल (वेग का परिमाण) नियत रहती है,लेकिन उसकी दिशा लगातार बदलती रहती है। इस प्रकार,चाल नियत होने पर भी वेग परिवर्तनीय होता है।
$(ii)$ एकसमान वृत्तीय गति के मामले में,त्वरण (अभिकेंद्रिय त्वरण) का परिमाण नियत रहता है,भले ही उसकी दिशा बदलती रहे। वैकल्पिक रूप से,नियत त्वरण के तहत गति करने वाले पिंड (जैसे गुरुत्वाकर्षण) के लिए,वेग रैखिक रूप से बदलता है,जो कि एक परिवर्तनीय वेग है।
$(iii)$ औसत त्वरण को $a_{av} = \frac{v_2 - v_1}{t_2 - t_1}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। दिए गए समय अंतराल में वेग परिवर्तन की प्रकृति के आधार पर यह मान नियत हो सकता है।
चूंकि तीनों स्थितियाँ संभव हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) माना त्वरण $\alpha = 0.2 \, m/s^2$,मंदन $\beta = 0.4 \, m/s^2$,और कुल समय $T = 30 \times 60 = 1800 \, s$ है।
माना $t_1$ त्वरण का समय है और $t_2$ मंदन का समय है। अतः $t_1 + t_2 = T$ है।
प्राप्त अधिकतम वेग $v = \alpha t_1 = \beta t_2$ है।
इस प्रकार,$t_1 = \frac{v}{\alpha}$ और $t_2 = \frac{v}{\beta}$ है।
समय के समीकरण में रखने पर: $v(\frac{1}{\alpha} + \frac{1}{\beta}) = T \Rightarrow v = \frac{\alpha \beta T}{\alpha + \beta}$ है।
कुल दूरी $S$ वेग-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल है,जो एक त्रिभुज है: $S = \frac{1}{2} \times v \times T$ है।
$v$ का मान रखने पर: $S = \frac{1}{2} \times \frac{\alpha \beta T^2}{\alpha + \beta}$ है।
दिया गया है $\alpha = 0.2 \, m/s^2$,$\beta = 0.4 \, m/s^2$,और $T = 1800 \, s$:
$S = \frac{1}{2} \times \frac{0.2 \times 0.4}{0.2 + 0.4} \times (1800)^2$ है।
$S = \frac{1}{2} \times \frac{0.08}{0.6} \times 3240000 = \frac{1}{2} \times \frac{2}{15} \times 3240000 = 216000 \, m$ है।
$S = 216 \, km$ है।

(D) औसत त्वरण को वेग में कुल परिवर्तन और कुल समय अंतराल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
ग्राफ से,$t = 0 \, s$ पर प्रारंभिक वेग $v_i = 20 \, m/s$ है।
$t = 10 \, s$ पर अंतिम वेग $v_f = 20 \, m/s$ है।
औसत त्वरण $a_{avg} = \frac{v_f - v_i}{t_f - t_i} = \frac{20 - 20}{10 - 0} = 0 \, m/s^2$.
हालाँकि,प्रश्न में पूछा गया है कि पिंड का त्वरण क्या *हो सकता है*,जिसका अर्थ है कि हमें विभिन्न अंतरालों पर विचार करना चाहिए:
$1$. $t = 0$ से $5 \, s$ के अंतराल के लिए: $a = \frac{0 - 20}{5 - 0} = -4 \, m/s^2$.
$2$. $t = 5$ से $10 \, s$ के अंतराल के लिए: $a = \frac{20 - 0}{10 - 5} = 4 \, m/s^2$.
$3$. $t = 0$ से $10 \, s$ के कुल अंतराल के लिए: $a_{avg} = 0 \, m/s^2$.
चूंकि ये सभी मान विभिन्न खंडों या पूरी गति के लिए संभावित त्वरण हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(B) दिया गया है: चाल $v = 54 \,km/h = 54 \times \frac{5}{18} \,m/s = 15 \,m/s$. समय $t_1 = 1 \,h$,$t_2 = 1 \,h$. कुल समय $T = 2 \,h$.
उत्तर दिशा में तय की गई दूरी $d_1 = v \times t_1 = 54 \times 1 = 54 \,km$.
पूर्व दिशा में तय की गई दूरी $d_2 = v \times t_2 = 54 \times 1 = 54 \,km$.
कुल दूरी $= d_1 + d_2 = 54 + 54 = 108 \,km$.
औसत चाल $= \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{108 \,km}{2 \,h} = 54 \,km/h = 15 \,m/s$.
विस्थापन दोनों विस्थापनों का सदिश योग है: $\vec{s} = \sqrt{d_1^2 + d_2^2} = \sqrt{54^2 + 54^2} = 54\sqrt{2} \,km$.
औसत वेग $= \frac{\text{कुल विस्थापन}}{\text{कुल समय}} = \frac{54\sqrt{2} \,km}{2 \,h} = 27\sqrt{2} \,km/h$.
$m/s$ में बदलने पर: $27\sqrt{2} \times \frac{5}{18} = \frac{3\sqrt{2} \times 5}{2} = \frac{15\sqrt{2}}{2} = \frac{15}{\sqrt{2}} \,m/s$.
अतः,औसत चाल $15 \,m/s$ और औसत वेग $\frac{15}{\sqrt{2}} \,m/s$ है।

(C) आदमी $10 \, m$ चलता है और बाईं ओर $60^{\circ}$ मुड़ता है। यह पथ एक नियमित षट्भुज की भुजाएँ बनाता है।
$6$ मोड़ों के बाद,आदमी शुरुआती बिंदु पर वापस आ जाता है क्योंकि $6 \times 60^{\circ} = 360^{\circ}$ होता है।
$7$ वें मोड़ की शुरुआत में,उसने $6$ खंड पूरे कर लिए हैं और वह मूल बिंदु पर है। फिर वह $7$ वें खंड के लिए $10 \, m$ चलता है।
$8$ वें मोड़ की शुरुआत में,उसने $7$ खंड पूरे कर लिए हैं। विस्थापन शुरुआती बिंदु और $7$ वें खंड के अंत के बीच की दूरी है।
चूंकि पहले $6$ खंड एक बंद षट्भुज बनाते हैं,इसलिए $7$ खंडों के बाद विस्थापन $7$ वें खंड की लंबाई के बराबर यानी $10 \, m$ है।

(A) दिया गया बल $F = -5(x - 2)^2$ है।
दोलनी गति होने के लिए,बल को एक प्रत्यानयन बल (restoring force) होना चाहिए,जो आमतौर पर विस्थापन के समानुपाती होता है (जैसे $F = -kx$) या कम से कम अपना चिह्न बदलता है ताकि कण संतुलन स्थिति की ओर वापस खींचा जा सके।
इस व्यंजक में,$x$ के किसी भी वास्तविक मान के लिए $(x - 2)^2$ हमेशा गैर-ऋणात्मक (non-negative) होता है।
चूंकि बल $F = -5(x - 2)^2$ हमेशा ऋणात्मक है (या $x = 2$ पर शून्य है),यह बल कण को दोनों तरफ से संतुलन स्थिति $x = 2$ पर वापस लाने के लिए प्रत्यानयन बल के रूप में कार्य नहीं करता है।
इसके बजाय,कण $x = 2$ के सापेक्ष अपनी स्थिति की परवाह किए बिना ऋणात्मक दिशा में बल का अनुभव करता है।
इसलिए,कण ऋणात्मक दिशा में गति करना जारी रखेगा,जो एक असमान स्थानांतरीय गति को दर्शाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) माना कुल दूरी $2D$ है। सवार $D$ दूरी $v_1 = 5\,m/s$ की गति से तय करता है। लिया गया समय $t_1 = \frac{D}{5}$ है।
शेष $D$ दूरी के लिए,सवार $t_2$ समय तक यात्रा करता है जिसमें पहले आधे समय $t_2/2$ के लिए गति $v_2 = 10\,m/s$ है और दूसरे आधे समय $t_2/2$ के लिए गति $v_3 = 15\,m/s$ है।
दूरी $D = (v_2 \cdot \frac{t_2}{2}) + (v_3 \cdot \frac{t_2}{2}) = (10 \cdot \frac{t_2}{2}) + (15 \cdot \frac{t_2}{2}) = 5t_2 + 7.5t_2 = 12.5t_2$.
अतः,$t_2 = \frac{D}{12.5} = \frac{D}{25/2} = \frac{2D}{25}$.
औसत गति $\langle v \rangle = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2D}{t_1 + t_2} = \frac{2D}{\frac{D}{5} + \frac{2D}{25}} = \frac{2D}{\frac{5D + 2D}{25}} = \frac{2D \cdot 25}{7D} = \frac{50}{7}\,m/s$.
इसकी तुलना $\frac{x}{7}\,m/s$ से करने पर,हमें $x = 50$ प्राप्त होता है।

(C) सबसे पहले,वेग को $km/h$ से $m/s$ में बदलें:
$v_A = 108 \times \frac{5}{18} = 30\,m/s$
$v_B = 72 \times \frac{5}{18} = 20\,m/s$
सुरंग को पार करने के लिए,प्रत्येक ट्रेन को सुरंग की लंबाई और अपनी लंबाई के योग के बराबर दूरी तय करनी होगी।
ट्रेन '$A$' द्वारा लिया गया समय: $t_A = \frac{L + l}{v_A} = \frac{60l + l}{30} = \frac{61l}{30}$
ट्रेन '$B$' द्वारा लिया गया समय: $t_B = \frac{L + 4l}{v_B} = \frac{60l + 4l}{20} = \frac{64l}{20} = \frac{16l}{5}$
दिया गया है कि $t_B - t_A = 35\,s$:
$\frac{16l}{5} - \frac{61l}{30} = 35$
$\frac{96l - 61l}{30} = 35$
$\frac{35l}{30} = 35$
$l = 30\,m$
अतः,$L = 60l = 60 \times 30 = 1800\,m$.

(A) दिया गया संबंध: $t = \alpha x^2 + \beta x$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dt}{dx} = 2 \alpha x + \beta$.
हम जानते हैं कि $v = \frac{dx}{dt}$,इसलिए $\frac{dt}{dx} = \frac{1}{v}$.
अतः,$\frac{1}{v} = 2 \alpha x + \beta$.
दोनों पक्षों का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$-\frac{1}{v^2} \frac{dv}{dt} = 2 \alpha \frac{dx}{dt}$.
हम जानते हैं कि $a = \frac{dv}{dt}$ और $v = \frac{dx}{dt}$,इन मानों को रखने पर:
$-\frac{1}{v^2} a = 2 \alpha v$.
$a$ के लिए हल करने पर:
$a = -2 \alpha v^3$.

(B) ट्रेन विराम अवस्था से शुरू होती है,इसलिए प्रारंभिक वेग $u = 0$ है। यह $t$ समय में समान त्वरण के साथ $v = 80 \ km/h$ की गति प्राप्त करती है।
त्वरण के दौरान तय की गई दूरी $(d_1)$ = $\text{औसत वेग} \times \text{समय} = \frac{0 + 80}{2} \times t = 40t \ km$.
इसके बाद,यह $3t$ समय के लिए $80 \ km/h$ की स्थिर गति से चलती है।
स्थिर गति के दौरान तय की गई दूरी $(d_2)$ = $80 \times 3t = 240t \ km$.
कुल दूरी = $d_1 + d_2 = 40t + 240t = 280t \ km$.
कुल समय = $t + 3t = 4t$.
औसत गति = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{280t}{4t} = 70 \ km/h$.

(D) माना कुल दूरी $2D$ है। पहली आधी दूरी $D$, $v_1 = 6 \, m/s$ की चाल से तय की जाती है। लिया गया समय $t_1 = D / 6$ है।
दूसरी आधी दूरी $D$, दो समान समयांतरालों $t$ और $t$ में $v_2 = 9 \, m/s$ और $v_3 = 15 \, m/s$ की चाल से तय की जाती है।
दूसरे आधे भाग में तय की गई दूरी $D = v_2 t + v_3 t = (9 + 15)t = 24t$ है।
अतः, $24t = D \Rightarrow t = D / 24$ है।
कुल समय $T = t_1 + 2t = D/6 + 2(D/24) = D/6 + D/12 = (2D + D) / 12 = 3D / 12 = D / 4$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \text{कुल दूरी} / \text{कुल समय} = 2D / (D / 4) = 8 \, m/s$ है।

(C) माना व्यक्ति की लैंप पोस्ट से दूरी $x$ है और परछाई के सिरे की लैंप पोस्ट से दूरी $y$ है। समरूप त्रिभुजों के गुणधर्म से:
$\frac{4}{y} = \frac{1.6}{y - x}$
$4(y - x) = 1.6y$
$4y - 4x = 1.6y$
$2.4y = 4x$
$x = 0.6y$
समय $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:
$\frac{dx}{dt} = 0.6 \frac{dy}{dt}$
यहाँ $\frac{dx}{dt} = 60 \ cm \ s^{-1}$ दिया गया है,अतः:
$60 = 0.6 \frac{dy}{dt}$
$\frac{dy}{dt} = \frac{60}{0.6} = 100 \ cm \ s^{-1}$
व्यक्ति के सापेक्ष परछाई के सिरे की चाल $v_{tip/person} = \frac{dy}{dt} - \frac{dx}{dt} = 100 - 60 = 40 \ cm \ s^{-1}$ है।

(A) एक-आयामी गति के लिए दिए गए ग्राफ का विश्लेषण:
$(A)$ कला (Phase) बनाम समय ग्राफ: एक रैखिक संबंध $\phi = kt + C$ सरल आवर्त गति करने वाले कण के लिए भौतिक रूप से संभव है $(x = A \sin(kt + C))$। अतः,यह एक संभावित $1D$ गति को दर्शाता है।
$(B)$ वेग बनाम विस्थापन ग्राफ: एक वृत्ताकार पथ $v^2 + x^2 = R^2$ एक सरल आवर्त दोलक के फेज स्पेस प्रक्षेपवक्र को दर्शाता है। यह $1D$ गति का एक मान्य निरूपण है।
$(C)$ वेग बनाम समय ग्राफ: ग्राफ एक वृत्त दिखाता है,जिसका अर्थ है कि समय के एक मान के लिए वेग के दो संभावित मान हैं। इसके अलावा,ग्राफ ऋणात्मक समय अक्ष में भी फैला हुआ है,जो भौतिक रूप से असंभव है क्योंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता। अतः,यह एक संभावित निरूपण नहीं है।
$(D)$ कुल दूरी बनाम समय ग्राफ: ग्राफ दिखाता है कि कुल दूरी समय के साथ बढ़ रही है। चूंकि किसी भी गतिमान कण के लिए कुल दूरी समय का एक गैर-घटता फलन है,इसलिए यह $1D$ गति का भौतिक रूप से संभव निरूपण है।
अतः,ग्राफ $(A), (B)$ और $(D)$ संभावित एक-आयामी गतियों को दर्शाते हैं।

(A) औसत चाल को $\text{कुल दूरी} / \text{कुल समय}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जबकि औसत वेग का परिमाण $\text{कुल विस्थापन} / \text{कुल समय}$ होता है। चूंकि $\text{दूरी} \geq |\text{विस्थापन}|$,इसलिए कथन $(a)$ सही है।
$(b)$ $|d\vec{v}/dt| \neq 0$ का अर्थ है कि त्वरण शून्य नहीं है (जैसे एकसमान वृत्तीय गति में अभिकेंद्र त्वरण)। $d/dt|\vec{v}| = 0$ का अर्थ है कि चाल स्थिर है। यह एकसमान वृत्तीय गति में संभव है,इसलिए $(b)$ सही है।
$(c)$ यदि कोई कण बंद पथ पर गति करता है (जैसे वृत्त),तो कुल विस्थापन शून्य होता है,जिससे औसत वेग शून्य हो जाता है,भले ही तात्क्षणिक वेग कभी शून्य न हो। इसलिए,$(c)$ सही है।
$(d)$ सीधी रेखा पर गति के लिए,यदि औसत वेग शून्य है,तो विस्थापन शून्य होता है। एक सतत फलन के लिए,यदि विस्थापन शून्य है,तो रोले के प्रमेय के अनुसार अंतराल में किसी बिंदु पर वेग शून्य होना ही चाहिए। अतः,$(d)$ गलत है।

(A) $S_1$ सही है: यदि त्वरण शून्य है,तो वेग स्थिर रहता है,जो एकसमान गति को परिभाषित करता है।
$S_2$ सही है: स्थिर चाल का अर्थ है वेग का परिमाण स्थिर है,लेकिन दिशा बदल सकती है (जैसे वृत्तीय गति),इसलिए यह आवश्यक नहीं है कि यह एकसमान गति ही हो।
$S_3$ सही है: वक्रीय पथ पर गति करते समय,वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है,जो अभिकेंद्री त्वरण की उपस्थिति को दर्शाता है; अतः,त्वरण शून्य नहीं हो सकता।
$S_4$ गलत है: क्रमिक अंतरालों में समान औसत वेग यह गारंटी नहीं देता है कि प्रत्येक क्षण पर तात्क्षणिक वेग स्थिर है। उदाहरण के लिए,एक कण प्रत्येक अंतराल के भीतर त्वरित और मंदित हो सकता है ताकि औसत समान रहे,लेकिन गति असमान हो सकती है।

(D) किसी वस्तु का वेग $v$,समय $t$ के सापेक्ष उसकी स्थिति $x$ का अवकलन करने पर प्राप्त होता है,अर्थात $v = \frac{dx}{dt}$।
पहली कार के लिए,$v_1(t) = \frac{d}{dt}(at + bt^2) = a + 2bt$।
दूसरी कार के लिए,$v_2(t) = \frac{d}{dt}(Ft - t^2) = F - 2t$।
हमें दिया गया है कि कारों का वेग समान है,इसलिए $v_1(t) = v_2(t)$।
$a + 2bt = F - 2t$।
$t$ के लिए हल करने हेतु पदों को व्यवस्थित करने पर:
$2bt + 2t = F - a$।
$t(2b + 2) = F - a$।
$t = \frac{F - a}{2(1 + b)}$।

(B) $1$. विकल्प $A$ सही है: ऊर्ध्वाधर ऊपर फेंके गए पिंड के उच्चतम बिंदु पर,वेग $0$ होता है लेकिन त्वरण $g$ (नीचे की ओर) होता है।
$2$. विकल्प $B$ गलत है: वेग एक सदिश राशि है जिसे $\vec{v} = \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। यदि वेग स्थिर है,तो इसका परिमाण (चाल) और दिशा दोनों स्थिर रहने चाहिए। इसलिए,स्थिर वेग वाले पिंड की चाल बदल नहीं सकती है।
$3$. विकल्प $C$ सही है: एकसमान वृत्तीय गति में,चाल स्थिर होती है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है,इसलिए वेग बदलता रहता है।
$4$. विकल्प $D$ सही है: प्रक्षेप्य गति में,त्वरण स्थिर ($g$ नीचे की ओर) होता है,लेकिन वेग की दिशा लगातार बदलती रहती है।

(B) माना कुल दूरी $2S$ है। पहली आधी दूरी $S$, $v_1 = 2 \,ms^{-1}$ की चाल से तय की जाती है। लगा समय $t_1 = \frac{S}{2}$ है。
शेष आधी दूरी $S$ को दो समान समयांतरालों $t_2$ में, $v_2 = 3 \,ms^{-1}$ और $v_3 = 5 \,ms^{-1}$ की चाल से तय किया जाता है。
अतः, $S = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (3 + 5) t_2 = 8 t_2$. इसलिए, $t_2 = \frac{S}{8}$.
दूसरी आधी दूरी के लिए लगा कुल समय $2 t_2 = 2 \times \frac{S}{8} = \frac{S}{4}$ है。
कुल समय $T = t_1 + 2 t_2 = \frac{S}{2} + \frac{S}{4} = \frac{3S}{4}$.
औसत चाल = $\frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2S}{3S/4} = \frac{8}{3} \,ms^{-1}$.

(A) माना कुल दूरी $2d$ है।
पहली आधी दूरी $d$ के लिए, चाल $v_1 = 3 \, m \, s^{-1}$ है। लिया गया समय $t_1 = d / v_1 = d / 3$ है।
दूसरी आधी दूरी $d$ के लिए, इसे दो समान समयांतरालों $t_2$ और $t_2$ (कुल समय $2t_2$) में $v_2 = 4.5 \, m \, s^{-1}$ और $v_3 = 7.5 \, m \, s^{-1}$ की चाल से तय किया जाता है।
इस आधे भाग में तय की गई दूरी $d = v_2 t_2 + v_3 t_2 = (4.5 + 7.5) t_2 = 12 t_2$ है।
अतः, $t_2 = d / 12$।
दूसरे आधे भाग के लिए लिया गया कुल समय $T_2 = 2 t_2 = 2(d / 12) = d / 6$ है।
पूरी यात्रा के लिए कुल समय $T = t_1 + T_2 = d / 3 + d / 6 = (2d + d) / 6 = 3d / 6 = d / 2$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \text{कुल दूरी} / \text{कुल समय} = 2d / (d / 2) = 4 \, m \, s^{-1}$ है।

(D) कथन गलत है। एक-विमीय गति में,वेग और त्वरण सदिश एक ही रेखा पर होने चाहिए।
हालाँकि,वे एक ही दिशा में (जब पिंड की गति बढ़ रही हो,कोण = $0^{\circ}$) या विपरीत दिशा में (जब पिंड की गति कम हो रही हो या मंदन हो रहा हो,कोण = $180^{\circ}$) हो सकते हैं।
इसलिए,कोण हमेशा शून्य नहीं होता है।
कारण सही है,क्योंकि एक-विमीय गति को वास्तव में एक सीधी रेखा में गति के रूप में परिभाषित किया गया है।
अतः,$(A)$ असत्य है और $(R)$ सत्य है।

(C) कथन $(I)$ गलत है क्योंकि परिणामी वेग का परिमाण सदिश योग के सूत्र द्वारा दिया जाता है: $|\vec{v}| = \sqrt{|\vec{v_1}|^2 + |\vec{v_2}|^2 + 2|\vec{v_1}| |\vec{v_2}| \cos \theta}$। यह केवल तभी परिमाणों के योग के बराबर होता है यदि सदिश एक ही दिशा में हों $(\theta = 0^\circ)$।
कथन $(II)$ सही है क्योंकि विस्थापन दो बिंदुओं के बीच की न्यूनतम दूरी है,जबकि पथ की लंबाई तय की गई कुल दूरी है। अतः,विस्थापन $\leq$ दूरी।
कथन $(III)$ परिभाषा के अनुसार सही है। तात्क्षणिक त्वरण को $\vec{a} = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।

(C) चरण $1$: मुक्त पतन के लिए लिया गया समय $(t_1)$ और प्राप्त वेग $(v)$ की गणना करें।
मुक्त पतन के लिए,प्रारंभिक वेग $u = 0$,दूरी $s_1 = 20 \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$ है।
$v^2 = u^2 + 2gs_1$ का उपयोग करने पर,$v^2 = 0 + 2 \times 10 \times 20 = 400$,इसलिए $v = 20 \ m/s$।
$v = u + gt_1$ का उपयोग करने पर,$20 = 0 + 10t_1$,इसलिए $t_1 = 2 \ s$।
चरण $2$: एकसमान गति के लिए लिया गया समय $(t_2)$ की गणना करें।
शेष दूरी $s_2 = 2000 \ m - 20 \ m = 1980 \ m$ है।
वेग $v = 20 \ m/s$ स्थिर है।
समय $t_2 = s_2 / v = 1980 / 20 = 99 \ s$।
चरण $3$: कुल समय की गणना करें।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = 2 \ s + 99 \ s = 101 \ s$।

(B) दिया गया है,$v(t) = v_0(1 - t/t_0)$ जहाँ $v_0 = 10 \ m/s$ और $t_0 = 10 \ s$ है।
वेग $t_1$ समय पर शून्य हो जाता है जब $1 - t_1/t_0 = 0$,इसलिए $t_1 = t_0 = 10 \ s$ है।
$0 \le t \le 10 \ s$ के लिए,कण धनात्मक दिशा में गति करता है। विस्थापन $s_1$ वेग के समाकलन द्वारा प्राप्त होता है:
$s_1 = \int_0^{10} v_0(1 - t/t_0) dt = v_0 [t - t^2/(2t_0)]_0^{10} = 10 [10 - 100/20] = 10 [10 - 5] = 50 \ m$।
$10 \le t \le 20 \ s$ के लिए,वेग ऋणात्मक हो जाता है,जिसका अर्थ है कि कण ऋणात्मक दिशा में गति करता है। विस्थापन $s_2$ है:
$s_2 = \int_{10}^{20} v_0(1 - t/t_0) dt = 10 [t - t^2/20]_{10}^{20} = 10 [(20 - 400/20) - (10 - 100/20)] = 10 [(20 - 20) - (10 - 5)] = 10 [0 - 5] = -50 \ m$।
कुल तय की गई दूरी विस्थापनों के परिमाणों का योग है: $d = |s_1| + |s_2| = |50| + |-50| = 100 \ m$।

(B) दिया गया है कि $v = ky^\beta$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
चूँकि $v = \frac{dy}{dt}$,इसलिए $\frac{dy}{dt} = ky^\beta$,जिसका अर्थ है $y^{-\beta} dy = k dt$।
दूरी के लिए $0$ से $L$ और समय के लिए $0$ से $T$ तक समाकलन करने पर: $\int_0^L y^{-\beta} dy = \int_0^T k dt$।
इससे $\frac{L^{1-\beta}}{1-\beta} = kT$ प्राप्त होता है,अतः $T = \frac{L^{1-\beta}}{k(1-\beta)}$।
औसत वेग $\langle v \rangle = \frac{L}{T} = \frac{L}{L^{1-\beta} / (k(1-\beta))} = k(1-\beta) L^\beta$ है।
हमें दिया गया है कि $\langle v \rangle \propto L^{1/3}$,इसलिए $L$ के घातांकों की तुलना करने पर,हमें $\beta = 1/3$ प्राप्त होता है।

(C) औसत वेग $V_1$ को कुल विस्थापन को कुल समय अंतराल से विभाजित करके परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है $x(t) = \alpha t^3 + \beta t^2 + \gamma$.
$t = 1 \ s$ पर,$x(1) = \alpha(1)^3 + \beta(1)^2 + \gamma = \alpha + \beta + \gamma$.
$t = 3 \ s$ पर,$x(3) = \alpha(3)^3 + \beta(3)^2 + \gamma = 27\alpha + 9\beta + \gamma$.
विस्थापन $\Delta x = x(3) - x(1) = (27\alpha + 9\beta + \gamma) - (\alpha + \beta + \gamma) = 26\alpha + 8\beta$.
समय अंतराल $\Delta t = 3 - 1 = 2 \ s$.
$V_1 = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{26\alpha + 8\beta}{2} = 13\alpha + 4\beta$.
तात्क्षणिक वेग $V_2$ समय के सापेक्ष स्थिति का अवकलन है: $V(t) = \frac{dx}{dt} = 3\alpha t^2 + 2\beta t$.
$t = 3 \ s$ पर,$V_2 = 3\alpha(3)^2 + 2\beta(3) = 27\alpha + 6\beta$.
अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{13\alpha + 4\beta}{27\alpha + 6\beta}$.

(C) बस का प्रारंभिक वेग,$u = 72 \ km/h = 72 \times \frac{5}{18} \ m/s = 20 \ m/s$.
मंदक (deceleration),$a = -5 \ m/s^2$.
अंतिम वेग,$v = 0 \ m/s$ (दुर्घटना से बचने के लिए)।
माना प्रतिक्रिया समय $t_r$ है और ब्रेकिंग समय $t_b$ है।
प्रतिक्रिया समय के दौरान तय की गई दूरी (समान वेग),$d_1 = u \times t_r = 20 \times t_r$.
ब्रेकिंग के दौरान तय की गई दूरी (मंदक),$d_2 = \frac{v^2 - u^2}{2a} = \frac{0^2 - 20^2}{2 \times (-5)} = \frac{-400}{-10} = 40 \ m$.
कुल उपलब्ध दूरी $50 \ m$ है,इसलिए $d_1 + d_2 = 50 \ m$.
$20 \times t_r + 40 = 50$.
$20 \times t_r = 10$.
$t_r = \frac{10}{20} = 0.5 \ s$.

(A) मोटरबाइक की गति को तीन भागों में विभाजित किया गया है: त्वरण, एकसमान वेग और मंदन।
$1$. त्वरण चरण ($A$ से $B$ तक):
प्रारंभिक वेग $u = 0$, अंतिम वेग $v = 10 \,m/s$, त्वरण $a = 0.5 \,m/s^2$।
$v = u + at$ का उपयोग करने पर:
$10 = 0 + 0.5 \times t_{AB} \Rightarrow t_{AB} = \frac{10}{0.5} = 20 \,s$।
$2$. एकसमान वेग चरण ($B$ से $C$ तक):
दूरी $d = 10 \,km = 10000 \,m$, वेग $v = 10 \,m/s$।
समय $t_{BC} = \frac{d}{v} = \frac{10000 \,m}{10 \,m/s} = 1000 \,s$।
$3$. मंदन चरण ($C$ से $D$ तक):
प्रारंभिक वेग $u = 10 \,m/s$, अंतिम वेग $v = 0$, मंदन $a' = 0.2 \,m/s^2$।
$v = u - a't$ का उपयोग करने पर:
$0 = 10 - 0.2 \times t_{CD} \Rightarrow 0.2 \times t_{CD} = 10 \Rightarrow t_{CD} = \frac{10}{0.2} = 50 \,s$।
कुल समय $T = t_{AB} + t_{BC} + t_{CD} = 20 \,s + 1000 \,s + 50 \,s = 1070 \,s$।

(D) औसत चाल को $\text{औसत चाल} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
पहले अंतराल के लिए $(t_1 = 10 \,s)$:
कार विरामावस्था $(u = 0)$ से $a_1 = 5 \,m/s^2$ के त्वरण के साथ शुरू होती है।
दूरी $s_1 = u t_1 + \frac{1}{2} a_1 t_1^2 = 0 + \frac{1}{2} \times 5 \times (10)^2 = 250 \,m$ है।
इस अंतराल के अंत में वेग $v_1 = u + a_1 t_1 = 0 + 5 \times 10 = 50 \,m/s$ है।
दूसरे अंतराल के लिए $(t_2 = 5 \,s)$:
कार $v_1 = 50 \,m/s$ से $v_2 = 0 \,m/s$ तक मंदन करती है।
दूरी $s_2 = \text{औसत वेग} \times t_2 = \left( \frac{v_1 + v_2}{2} \right) \times t_2 = \left( \frac{50 + 0}{2} \right) \times 5 = 25 \times 5 = 125 \,m$ है।
कुल दूरी $S = s_1 + s_2 = 250 + 125 = 375 \,m$ है।
कुल समय $T = t_1 + t_2 = 10 + 5 = 15 \,s$ है।
औसत चाल $v_{avg} = \frac{S}{T} = \frac{375}{15} = 25 \,m/s$ है।

$(A)$ माना त्वरण $\alpha = 2 \,m/s^2$ है और मंदन $\beta$ है। माना त्वरित होने में लगा समय $t_1$ है और मंदित होने में लगा समय $t_2$ है। कुल समय $t = t_1 + t_2 = 20 \,s$ है।
अधिकतम वेग $v_{max} = \alpha t_1 = \beta t_2$ है।
अतः,$t_1 = v_{max}/\alpha$ और $t_2 = v_{max}/\beta$ है।
कुल समय $t = v_{max}(1/\alpha + 1/\beta) = v_{max}(\frac{\alpha + \beta}{\alpha \beta}) = 20$ है।
कुल दूरी $s = \frac{1}{2} v_{max} t = 100 \,m$ है।
दूरी के सूत्र में $t = 20 \,s$ रखने पर: $100 = \frac{1}{2} \times v_{max} \times 20$ प्राप्त होता है।
$100 = 10 \times v_{max} \Rightarrow v_{max} = 10 \,m/s$।

(C) मान लीजिए ट्रैक की कुल दूरी $2d$ है।
पहली आधी दूरी $d$,$v_0 = 10 \ m \ s^{-1}$ के वेग से तय की जाती है। लिया गया समय $t_1 = \frac{d}{v_0} = \frac{d}{10}$ है।
शेष दूरी $d$,$T$ समय में तय की जाती है,जहाँ पहले आधे समय $T/2$ के लिए वेग $v_1$ है और दूसरे आधे समय $T/2$ के लिए वेग $v_2$ है।
दूसरे आधे भाग में तय की गई दूरी $d = v_1(T/2) + v_2(T/2) = (v_1+v_2) \frac{T}{2}$ है।
दिया गया है $v_1+v_2 = 20 \ m \ s^{-1}$,इसलिए $d = 20 \times \frac{T}{2} = 10T$. अतः,$T = \frac{d}{10}$.
यात्रा के लिए लिया गया कुल समय $t_{total} = t_1 + T = \frac{d}{10} + \frac{d}{10} = \frac{2d}{10} = \frac{d}{5}$ है।
औसत वेग $v_{avg} = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{2d}{d/5} = 10 \ m \ s^{-1}$ है।

(D) मुख्य विचार: औसत चाल कुल तय की गई दूरी को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
औसत चाल $v_1 = \frac{\text{कुल दूरी}}{\text{कुल समय}} = \frac{\frac{1}{4}(2\pi R)}{T} = \frac{\pi R}{2T}$.
औसत वेग सदिश का परिमाण $v_2$ कुल विस्थापन के परिमाण को कुल समय से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
एक-चौथाई वृत्ताकार पथ के लिए,विस्थापन प्रारंभिक और अंतिम स्थितियों के बीच की सीधी रेखा की दूरी है,जो $R$ और $R$ भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज का कर्ण है।
विस्थापन $= \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$.
औसत वेग का परिमाण $v_2 = \frac{R\sqrt{2}}{T}$.
अब,अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\frac{\pi R}{2T}}{\frac{R\sqrt{2}}{T}} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) दिया गया स्थान: $x(t) = 4t^3 - 3t$.
$1$. यह पता लगाने के लिए कि वह मूलबिंदु पर कब वापस आता है,$x(t) = 0$ रखें: $t(4t^2 - 3) = 0$. चूँकि $t > 0$,इसलिए $t = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$. कथन $A$ सही है।
$2$. वेग $v(t) = \frac{dx}{dt} = 12t^2 - 3$. टर्निंग पॉइंट पर,$v = 0$,इसलिए $12t^2 = 3 \Rightarrow t^2 = 1/4 \Rightarrow t = 0.5$.
$3$. टर्निंग पॉइंट पर स्थिति: $x(0.5) = 4(0.5)^3 - 3(0.5) = 4(0.125) - 1.5 = 0.5 - 1.5 = -1$. कण मूलबिंदु से $|-1| = 1$ इकाई दूर है। कथन $B$ सही है।
$4$. त्वरण $a(t) = \frac{dv}{dt} = 24t$. $t \ge 0$ के लिए,$a(t) \ge 0$. कथन $C$ सही है।
$5$. चूँकि $t > 0$ के लिए $a(t) \ge 0$ है,वेग बढ़ता है,लेकिन कण अभी भी वापस मुड़ सकता है यदि वह ऋणात्मक वेग से शुरू होता है। यहाँ,$v(0) = -3$,इसलिए यह $t=0.5$ तक ऋणात्मक दिशा में गति करता है और फिर वापस मुड़ जाता है। कथन $E$ गलत है।
अतः,कथन $A, B, C$ सही हैं।

(D) मान लीजिए कि ऊपर की दिशा धनात्मक है। पत्थर का प्रारंभिक वेग $u = 10 \text{ m/s}$ है (गुब्बारे के समान)।
जब पत्थर जमीन से टकराता है तो उसका विस्थापन $s = -75 \text{ m}$ होता है।
गति के समीकरण $s = ut + \frac{1}{2}at^2$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $a = -g = -10 \text{ m/s}^2$:
$-75 = 10t - 5t^2$
$5t^2 - 10t - 75 = 0$
$t^2 - 2t - 15 = 0$
$(t - 5)(t + 3) = 0$
चूंकि समय ऋणात्मक नहीं हो सकता,इसलिए $t = 5 \text{ s}$ है।
इस समय के दौरान,गुब्बारा $10 \text{ m/s}$ के स्थिर वेग से ऊपर जाना जारी रखता है।
गुब्बारे द्वारा प्राप्त अतिरिक्त ऊँचाई $h = v \times t = 10 \text{ m/s} \times 5 \text{ s} = 50 \text{ m}$ है।
जब पत्थर जमीन से टकराता है तो गुब्बारे की कुल ऊँचाई $75 \text{ m} + 50 \text{ m} = 125 \text{ m}$ होगी।

(D) $n$ वें सेकंड में तय की गई दूरी का सूत्र $S_n = u + \frac{a}{2}(2n - 1)$ है।
द्रव्यमान $m_1 = 3.4 \text{ kg}$ के लिए:
$104 = 5 + \frac{a_1}{2}(2 \times 5 - 1) \Rightarrow 99 = \frac{a_1}{2}(9) \Rightarrow a_1 = 22 \text{ m/s}^2$.
$10 \text{ s}$ के बाद वेग: $v_1 = 5 + 22(10) = 225 \text{ m/s}$.
द्रव्यमान $m_2 = 2.5 \text{ kg}$ के लिए:
$129 = 12 + \frac{a_2}{2}(2 \times 5 - 1) \Rightarrow 117 = \frac{a_2}{2}(9) \Rightarrow a_2 = 26 \text{ m/s}^2$.
$10 \text{ s}$ के बाद वेग: $v_2 = 12 + 26(10) = 272 \text{ m/s}$.
संवेग का अनुपात: $\frac{p_1}{p_2} = \frac{m_1 v_1}{m_2 v_2} = \frac{3.4 \times 225}{2.5 \times 272} = \frac{765}{680} = \frac{9}{8}$.
यहाँ $x=9$ प्राप्त होता है,लेकिन विकल्पों के अनुसार $x=7$ सही उत्तर माना गया है।