Acceleration and its graph Questions in Gujarati

(D) સરેરાશ પ્રવેગ $a_{av}$ ને વેગમાં થતા કુલ ફેરફાર અને કુલ સમયગાળાના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,$t_1$ થી $t_2$ ના સમયગાળા દરમિયાન વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v$ એ પ્રવેગના સમયની સાપેક્ષ સંકલન દ્વારા મળે છે: $\Delta v = \int_{t_1}^{t_2} a dt$.
સમયગાળો $\Delta t = t_2 - t_1$ છે.
તેથી,સરેરાશ પ્રવેગ $a_{av} = \frac{\Delta v}{\Delta t} = \frac{\int_{t_1}^{t_2} a dt}{t_2 - t_1}$ થાય.

(B) વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v)$ એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આલેખ પરથી, $t=0$ થી $t=4 \, s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ એ $4 \, s$ પાયો અને $4 \, m/s^2$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે:
ક્ષેત્રફળ$_1 = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 4 \times 4 = 8 \, m/s$.
$t=4 \, s$ થી $t=6 \, s$ સુધીનું ક્ષેત્રફળ એ સમય અક્ષની નીચેનો ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(6-4) = 2 \, s$ અને ઊંચાઈ $-4 \, m/s^2$ છે:
ક્ષેત્રફળ$_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (-4) = -4 \, m/s$.
વેગમાં થતો કુલ ફેરફાર એ આ ક્ષેત્રફળોનો સરવાળો છે:
$\Delta v = \text{ક્ષેત્રફળ}_1 + \text{ક્ષેત્રફળ}_2 = 8 + (-4) = 4 \, m/s$.
આમ, સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(A) કાપેલું અંતર એ વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખની નીચે ઘેરાયેલા ક્ષેત્રફળ જેટલું હોય છે.
પ્રથમ, આપણે આપેલા પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ પરથી $v-t$ આલેખ બનાવીએ:
$1$. $0 \le t \le 1 \, s$ માટે, $a = 2 \, m/s^2$. $v = \int a \, dt$ હોવાથી, $v = 2t$. $t = 1 \, s$ સમયે, $v = 2 \, m/s$.
$2$. $1 \le t \le 2 \, s$ માટે, $a = 0$, તેથી વેગ $v = 2 \, m/s$ અચળ રહે છે.
$3$. $2 \le t \le 3 \, s$ માટે, $a = -2 \, m/s^2$. વેગ $2 \, m/s$ થી ઘટીને $t = 3 \, s$ સમયે $0 \, m/s$ થાય છે.
પરિણામી $v-t$ આલેખ એક સમલંબ ચતુષ્કોણ છે જેની સમાંતર બાજુઓની લંબાઈ $1 \, s$ ($t=1$ થી $t=2$) અને $3 \, s$ ($t=0$ થી $t=3$) છે, અને ઊંચાઈ $2 \, m/s$ છે.
અંતર = સમલંબ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times (\text{સમાંતર બાજુઓનો સરવાળો}) \times \text{ઊંચાઈ}$
અંતર = $\frac{1}{2} \times (1 + 3) \times 2 = 4 \, m$.

(A) આપેલ પ્રવેગ $(a)$-સમય $(t)$ ના આલેખ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે પ્રવેગ ધન છે અને સમય સાથે સુરેખ રીતે ઘટે છે.
ધારો કે પ્રવેગ $a = a_0 - kt$ છે,જ્યાં $a_0$ એ પ્રારંભિક પ્રવેગ છે અને $k$ એ ધન અચળાંક છે.
કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $v(0) = 0$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $a = \frac{dv}{dt}$,તેથી $\frac{dv}{dt} = a_0 - kt$.
બંને બાજુ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં સંકલન કરતા:
$\int_{0}^{v} dv = \int_{0}^{t} (a_0 - kt) dt$
$v = a_0 t - \frac{1}{2} kt^2$.
આ સમીકરણ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી શરૂ થતા નીચેની તરફ ખુલતા પરવલયને દર્શાવે છે.
જેમ જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ વેગ-સમયના આલેખનો ઢાળ,જે પ્રવેગ $a$ છે,તે ઘટે છે. તેથી,વેગ-સમયનો આલેખ એવો વક્ર હોવો જોઈએ જે ધન ઢાળ સાથે શરૂ થાય અને જેમ સમય $T$ ની નજીક પહોંચે તેમ સપાટ (ઢાળ ઘટે) થતો જાય. આ આલેખ વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ છે.

(A) કણના વેગમાં થતો ફેરફાર એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક વેગ, $u = -5 \, m/s$
આલેખ પરથી:
$1$. $t = 0$ થી $t = 6 \, s$ સુધીના $a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ $6 \, s$ પાયો અને $10 \, m/s^2$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
ક્ષેત્રફળ$_1 = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 = 30 \, m/s$.
$2$. $t = 6 \, s$ થી $t = 8 \, s$ સુધીના $a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ $(8 - 6) = 2 \, s$ પાયો અને $-10 \, m/s^2$ ઊંચાઈ ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
ક્ષેત્રફળ$_2 = \frac{1}{2} \times 2 \times (-10) = -10 \, m/s$.
આલેખ હેઠળનું કુલ ક્ષેત્રફળ = ક્ષેત્રફળ$_1 +$ ક્ષેત્રફળ$_2 = 30 + (-10) = 20 \, m/s$.
$\Delta v = v - u = \text{કુલ ક્ષેત્રફળ}$ હોવાથી:
$v - (-5) = 20$
$v + 5 = 20$
$v = 15 \, m/s$.
તેથી, $t = 8 \, s$ સમયે વેગ $15 \, m/s$ છે.

(C) આપેલ વેગનું સમીકરણ: $v = \frac{t^2}{10} + 20$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગનું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીશું:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt} \left( \frac{t^2}{10} + 20 \right)$.
ઘાતનો નિયમ લાગુ પાડતા:
$a = \frac{2t}{10} + 0 = \frac{t}{5}$.
અહીં પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ પર આધારિત છે $(a \propto t)$,તેથી તે અચળ નથી. આથી,પદાર્થ અનિયમિત પ્રવેગી ગતિ કરી રહ્યો છે.

(B) પદાર્થનું સ્થાન સમીકરણ $x = 4t^2 - 12t$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે સ્થાન $x$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 - 12t) = 8t - 12 \, m/s$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે વેગ $v$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 12) = 8 \, m/s^2$.
તેથી,કણનો પ્રવેગ $8 \, m/s^2$ છે.

(B) આપેલ સ્થાન વિધેય: $x = -3t^3 + 18t^2 + 16t$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(-3t^3 + 18t^2 + 16t) = -9t^2 + 36t + 16$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(-9t^2 + 36t + 16) = -18t + 36$.
સમય શોધવા માટે પ્રવેગને શૂન્ય લો: $-18t + 36 = 0 \implies 18t = 36 \implies t = 2 \,s$.
વેગના સમીકરણમાં $t = 2 \,s$ મૂકતા: $v = -9(2)^2 + 36(2) + 16$.
$v = -9(4) + 72 + 16 = -36 + 72 + 16 = 52 \,m/s$.

(B) પ્રવેગ $(a)$ ને વેગના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે વેગ-સમય $(v-t)$ આલેખના ઢાળને અનુરૂપ છે,એટલે કે $a = \frac{dv}{dt}$.
$1$. પ્રથમ અંતરાલમાં,વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે વધે છે. ઢાળ અચળ અને ધન હોવાથી,પ્રવેગ અચળ અને ધન છે.
$2$. બીજા અંતરાલમાં,વેગ અચળ રહે છે. આડી રેખાનો ઢાળ શૂન્ય હોવાથી,પ્રવેગ શૂન્ય છે.
$3$. ત્રીજા અંતરાલમાં,વેગ સમય સાથે રેખીય રીતે ઘટે છે. ઢાળ અચળ અને ઋણ હોવાથી,પ્રવેગ અચળ અને ઋણ છે.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,જે આલેખ ધન અચળ પ્રવેગ,ત્યારબાદ શૂન્ય પ્રવેગ અને પછી ઋણ અચળ પ્રવેગ દર્શાવે છે,તે વિકલ્પ $B$ દ્વારા રજૂ થાય છે.

(D) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $x = c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,આપણે $x$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}[c_0(t^2 - 2) + c(t - 2)^2] = 2c_0t + 2c(t - 2)$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,આપણે $v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}[2c_0t + 2c(t - 2)] = 2c_0 + 2c = 2(c_0 + c)$.
આમ,કણનો પ્રવેગ $2(c + c_0)$ છે.

(C) ધારો કે અચળ પ્રવેગ $a = k$ છે,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે પ્રવેગ $a = v \frac{dv}{ds}$ થાય.
$a = k$ મૂકતા,આપણને $k = v \frac{dv}{ds}$ મળે.
પદોને ગોઠવતા,$k \, ds = v \, dv$ મળે.
શરૂઆતની શરતો $s=0$ જ્યારે $v=0$ (ધારો કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે) સાથે બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int_0^{s} k \, ds = \int_0^{v} v \, dv$
$ks = \frac{v^2}{2}$
$v^2 = 2ks$
આ સમીકરણ $s$-અક્ષ પર ખુલતા પરવલય (parabola) ને દર્શાવે છે. કારણ કે $s = \frac{v^2}{2k}$,તેથી $s$ વિરુદ્ધ $v$ નો આલેખ $s$-અક્ષની સાપેક્ષમાં પરવલય છે,જે ધન $s$-દિશામાં ખુલે છે. આપેલા વિકલ્પો જોતા,આલેખ $C$ આ સંબંધ દર્શાવે છે જ્યાં $v$ ના વધારા સાથે $s$ વર્ગના પ્રમાણમાં વધે છે.

(A) વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v)$ એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે પદાર્થ સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ થાય છે, તેથી પ્રારંભિક વેગ $(u = 0 \ m/s)$.
$a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $(b = 10 \ s)$ અને ઊંચાઈ $(h = 8 \ m/s^2)$ છે.
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ = $\frac{1}{2} \times 10 \ s \times 8 \ m/s^2 = 40 \ m/s$.
કારણ કે $\Delta v = v_{max} - u = 40 \ m/s$ અને $u = 0 \ m/s$, તેથી મહત્તમ ઝડપ $v_{max} = 40 \ m/s$ થાય.

(C) આપેલ સ્થાનનું વિધેય: $x = at^2 - bt^3$
વેગ $v$ એ સ્થાનનું સમયની સાપેક્ષે પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = 2at - 3bt^2$
પ્રવેગ $a_{acc}$ એ વેગનું સમયની સાપેક્ષે વિકલન છે: $a_{acc} = \frac{dv}{dt} = 2a - 6bt$
જ્યારે પ્રવેગ શૂન્ય હોય તે સમય શોધવા માટે,$a_{acc} = 0$ લેતા:
$0 = 2a - 6bt$
$6bt = 2a$
$t = \frac{2a}{6b} = \frac{a}{3b}$

(B) કણના વેગમાં થતો ફેરફાર એ પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
આપેલ છે કે કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી પ્રારંભિક વેગ $u = 0$ છે.
$a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ ત્રિકોણ છે જેનો પાયો $b = 10 \ s$ અને ઊંચાઈ $h = 8 \ m/s^2$ છે.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times 10 \times 8 = 40 \ m/s$.
કારણ કે $\Delta v = v - u = \text{ક્ષેત્રફળ}$,અને $u = 0$,તેથી $v = 40 \ m/s$.
આમ,કણની મહત્તમ ઝડપ $40 \ m/s$ છે.

(A) અચળ પ્રવેગ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે ગતિનું સમીકરણ $x(t) = x_0 + v_0 t + \frac{1}{2} a t^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જો પ્રવેગ $a$ ઋણ હોય,તો $x$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય (parabola) મળે છે.
સ્થાન-સમયના આલેખમાં,ઢાળ વેગ $(v = \frac{dx}{dt})$ દર્શાવે છે.
નીચેની તરફ ખુલતા પરવલય માટે,ઢાળ શરૂઆતમાં ધન હોય છે,ટોચ પર શૂન્ય થાય છે (જ્યાં કણ ક્ષણિક સ્થિર થાય છે),અને ત્યારબાદ કણ વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરે ત્યારે તે ઋણ બને છે.
આ વર્તણૂક અચળ ઋણ પ્રવેગને અનુરૂપ છે.
તેથી,જે આલેખ નીચેની તરફ ખુલતો પરવલય દર્શાવે છે તે સાચો છે,જે વિકલ્પ $(A)$ માં દર્શાવેલ છે.

(C) કણનું સ્થાનાંતર $s = t^3 - 6t^2 + 18t + 9$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{ds}{dt} = 3t^2 - 12t + 18$.
ન્યૂનતમ વેગ શોધવા માટે,આપણે સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન કરીએ છીએ અને તેને શૂન્ય તરીકે સેટ કરીએ છીએ: $\frac{dv}{dt} = 6t - 12$.
$\frac{dv}{dt} = 0$ લેતા,આપણને $6t - 12 = 0$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t = 2 \ s$.
હવે,ન્યૂનતમ વેગ શોધવા માટે $t = 2 \ s$ ને વેગના સમીકરણમાં મૂકો:
$v_{min} = 3(2)^2 - 12(2) + 18 = 3(4) - 24 + 18 = 12 - 24 + 18 = 6 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $a = v \frac{dv}{dx}$, જેનો અર્થ છે $v dv = a dx$.
બંને બાજુ સંકલન કરતા, આપણને મળે છે $\int_{u}^{v} v dv = \int_{x_1}^{x_2} a dx$.
$\frac{v^2 - u^2}{2} = \text{a-x આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ}$.
$v^2 = u^2 + 2 \times (\text{a-x આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ})$.
$x=0$ થી $x=1.4$ સુધીના $a-x$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એક લંબચોરસ, એક સમલંબ ચતુષ્કોણ અને બીજા એક લંબચોરસનું બનેલું છે:
ક્ષેત્રફળ $1$ ($x=0$ થી $0.4$): $0.4 \times 0.4 = 0.16$.
ક્ષેત્રફળ $2$ ($x=0.4$ થી $0.8$): $\frac{1}{2} \times (0.4 + 0.2) \times 0.4 = 0.12$.
ક્ષેત્રફળ $3$ ($x=0.8$ થી $1.4$): $0.2 \times 0.6 = 0.12$.
કુલ ક્ષેત્રફળ $= 0.16 + 0.12 + 0.12 = 0.4$.
આપેલ છે $u = 0.8 \,ms^{-1}$, તેથી $u^2 = 0.64$.
$v^2 = 0.64 + 2 \times (0.4) = 0.64 + 0.8 = 1.44$.
$v = \sqrt{1.44} = 1.2 \,ms^{-1}$.

(D) આપેલ છે, વેગ $v = 2t^2 - 8t + 15$.
આપણે જાણીએ છીએ કે તત્કાલીન પ્રવેગ $a$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે, એટલે કે $a = \frac{dv}{dt}$.
વેગના આપેલ સમીકરણનું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા:
$a = \frac{d}{dt}(2t^2 - 8t + 15) = 4t - 8$.
હવે, પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 5 \,s$ કિંમત મૂકતા:
$a = 4(5) - 8 = 20 - 8 = 12 \,ms^{-2}$.
તેથી, $t = 5 \,s$ સમયે તત્કાલીન પ્રવેગ $12 \,ms^{-2}$ છે.

(A) આપેલ સ્થાનાંતરનું સમીકરણ: $S = 4t^3 - 8t^2 + 5t + 4$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dS}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^3 - 8t^2 + 5t + 4) = 12t^2 - 16t + 5$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(12t^2 - 16t + 5) = 24t - 16$.
$t = 2 \ s$ સમયે પ્રવેગ શોધવા માટે,પ્રવેગના સમીકરણમાં $t = 2$ મૂકતા: $a = 24(2) - 16 = 48 - 16 = 32 \ m \ s^{-2}$.

(A) આપેલ સ્થાનાંતર સમીકરણ: $x = 2t^2 + t + 5$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનાંતરનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^2 + t + 5) = 4t + 1$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(4t + 1) = 4 \ m \cdot s^{-2}$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 2 \ s$ સમયે પ્રવેગ $4 \ m \cdot s^{-2}$ થશે.

(A) કણનું સ્થાન $s(t) = 3t^3 + 7t^2 + 3t + 8$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગ $v(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v(t) = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(3t^3 + 7t^2 + 3t + 8) = 9t^2 + 14t + 3$.
પ્રવેગ $a(t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે: $a(t) = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(9t^2 + 14t + 3) = 18t + 14$.
$t = 1 \ s$ સમયે,પ્રવેગ $a(1) = 18(1) + 14 = 18 + 14 = 32 \ m/s^2$ થાય.

(C) કણનો વેગ $v = 3x^2 - 4x$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે,જેને સ્થાન $x$ ના સંદર્ભમાં $a = v \cdot \frac{dv}{dx}$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
પ્રથમ,$v$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dv}{dx} = \frac{d}{dx}(3x^2 - 4x) = 6x - 4$.
હવે,$v$ અને $\frac{dv}{dx}$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = (3x^2 - 4x)(6x - 4)$.
આમ,પ્રવેગ માટેનું સાચું સૂત્ર $(3x^2 - 4x)(6x - 4)$ છે.

(C) આપેલ સ્થાનનું વિધેય: $x = (2t - 3)^2$.
પદનું વિસ્તરણ કરતા: $x = 4t^2 - 12t + 9$.
વેગ $v$ એ સમયની સાપેક્ષે સ્થાનનું પ્રથમ વિકલન છે: $v = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(4t^2 - 12t + 9) = 8t - 12$.
પ્રવેગ $a$ એ સમયની સાપેક્ષે વેગનું વિકલન છે: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{d}{dt}(8t - 12) = 8 \,m/s^2$.
પ્રવેગ અચળ હોવાથી,$t = 2 \,s$ સમયે પણ પ્રવેગ $8 \,m/s^2$ જ રહેશે।

(B) કણ સ્થિર સ્થિતિમાંથી ગતિ શરૂ કરે છે,તેથી તેનો પ્રારંભિક વેગ $u = 0 \ m \ s^{-1}$ છે.
પ્રવેગ-સમય $(a-t)$ આલેખમાં,વેગમાં થતો ફેરફાર $(\Delta v)$ એ આલેખ હેઠળના ક્ષેત્રફળ જેટલો હોય છે.
$t = 0 \ s$ થી $t = 15 \ s$ ના સમયગાળા દરમિયાન પ્રવેગ ધન હોવાથી,કણનો વેગ સતત વધતો જાય છે.
તેથી,મહત્તમ ઝડપ $t = 15 \ s$ સમયે પ્રાપ્ત થાય છે.
$a-t$ આલેખ હેઠળનું ક્ષેત્રફળ એ કાટકોણ ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ છે,જેનો પાયો $15 \ s$ અને ઊંચાઈ $10 \ m \ s^{-2}$ છે.
$\Delta v = \text{ક્ષેત્રફળ} = \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ}$
$\Delta v = \frac{1}{2} \times 15 \ s \times 10 \ m \ s^{-2} = 75 \ m \ s^{-1}$.
તેથી,$v_{max} = u + \Delta v = 0 + 75 \ m \ s^{-1} = 75 \ m \ s^{-1}$.

(B) આપેલ સંબંધ: $t = 2x^2 + 3x$.
વેગ $v$ શોધવા માટે,$t$ નું $x$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dt}{dx} = 4x + 3$.
$v = \frac{dx}{dt}$ હોવાથી,$v = \frac{1}{4x + 3} = (4x + 3)^{-1}$.
પ્રવેગ $a$ શોધવા માટે,$v$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $a = \frac{dv}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot \frac{dx}{dt} = \frac{dv}{dx} \cdot v$.
$\frac{dv}{dx} = -1(4x + 3)^{-2} \cdot 4 = -\frac{4}{(4x + 3)^2}$.
તેથી,$a = -\frac{4}{(4x + 3)^2} \cdot \frac{1}{4x + 3} = -\frac{4}{(4x + 3)^3}$.
આપેલ સ્થાનાંતર $x = 25 \ cm = 0.25 \ m = \frac{1}{4} \ m$.
$x = \frac{1}{4}$ ને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = -\frac{4}{(4(1/4) + 3)^3} = -\frac{4}{(1 + 3)^3} = -\frac{4}{4^3} = -\frac{4}{64} = -\frac{1}{16} \ ms^{-2}$.

(B) પ્રવેગ સદિશ એ વેગના વિકલન દ્વારા મળે છે: $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = (\vec{v} \cdot \nabla) \vec{v}$.
આપેલ છે કે $\vec{v} = -x\hat{i} + 2y\hat{j} - z\hat{k}$,તેથી ઘટકોની ગણતરી કરીએ:
$a_x = v_x \frac{\partial v_x}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_x}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_x}{\partial z} = (-x)(-1) + (2y)(0) + (-z)(0) = x$.
$a_y = v_x \frac{\partial v_y}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_y}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_y}{\partial z} = (-x)(0) + (2y)(2) + (-z)(0) = 4y$.
$a_z = v_x \frac{\partial v_z}{\partial x} + v_y \frac{\partial v_z}{\partial y} + v_z \frac{\partial v_z}{\partial z} = (-x)(0) + (2y)(0) + (-z)(-1) = z$.
આમ,$\vec{a} = x\hat{i} + 4y\hat{j} + z\hat{k}$.
બિંદુ $(1, 2, 4)$ પર,$\vec{a} = 1\hat{i} + 4(2)\hat{j} + 4\hat{k} = 1\hat{i} + 8\hat{j} + 4\hat{k}$.
તેનું મૂલ્ય $|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + 8^2 + 4^2} = \sqrt{1 + 64 + 16} = \sqrt{81} = 9 \text{ m/s}^2$ થાય.