Mix Examples-Mechanical Properties of Solids Questions in Hindi

(D) शियरिंग कोण $(\theta)$ और ट्विस्ट कोण $(\phi)$ के बीच का संबंध इस प्रकार है: $\theta = \frac{r \phi}{L}$.
यहाँ दिया गया है:
तार की त्रिज्या $(r)$ = $1 \,mm = 1 \times 10^{-3} \,m$.
तार की लंबाई $(L)$ = $5 \,m$.
ट्विस्ट कोण $(\phi)$ = $30^{\circ}$.
सूत्र में मान रखने पर:
$\theta = \frac{1 \times 10^{-3} \times 30^{\circ}}{5} = 0.2 \times 10^{-3} \times 30^{\circ} = 6 \times 10^{-3}$ डिग्री.
इस मान को मिनट में बदलने पर: $6 \times 10^{-3} \times 60 = 0.36^{\prime}$.
अतः,सही उत्तर $0.36^{\prime}$ है।

(D) माना प्रत्येक ब्लॉक का द्रव्यमान $m = 3 \,kg$ है। निकाय का कुल द्रव्यमान $3m = 9 \,kg$ है।
गति उत्पन्न करने वाला बल ब्लॉक $R$ का भार है,जो $F = mg = 3 \times 10 = 30 \,N$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{F}{\text{कुल द्रव्यमान}} = \frac{30}{3m} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3} \,m/s^2$ है।
तार $B$,ब्लॉक $R$ को ब्लॉक $Q$ से जोड़ता है। तार $B$ में तनाव $T_1$ को ब्लॉक $R$ की गति पर विचार करके ज्ञात किया जा सकता है:
$mg - T_1 = ma$
$30 - T_1 = 3 \times \frac{10}{3} = 10$
$T_1 = 30 - 10 = 20 \,N$.
तार $B$ में प्रतिबल (stress) $\sigma = \frac{T_1}{A}$ है,जहाँ $A = 0.005 \,cm^2 = 0.005 \times 10^{-4} \,m^2 = 5 \times 10^{-7} \,m^2$ है।
$\sigma = \frac{20}{5 \times 10^{-7}} = 4 \times 10^7 \,N/m^2$.
अनुदैर्ध्य विकृति (longitudinal strain) $\epsilon = \frac{\sigma}{Y} = \frac{4 \times 10^7}{2 \times 10^{11}} = 2 \times 10^{-4}$ है।
अतः,विकृति $2 \times 10^{-4}$ है।

(A) मान लीजिए $\rho$ घनत्व है,$\sigma$ ब्रेकिंग स्ट्रेस है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $L$ तार की लंबाई है।
तार के टूटने की स्थिति में,उसके अपने वजन के कारण तार के ऊपरी सिरे पर लगने वाला प्रतिबल (स्ट्रेस) ब्रेकिंग स्ट्रेस के बराबर होता है।
तार का वजन $W = mg = (\rho A L) g'$ है।
यहाँ,$g'$ ग्रह पर गुरुत्वीय त्वरण है,जो $g' = \frac{g}{3} = \frac{10}{3} \ m/s^2$ द्वारा दिया गया है।
ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma = \frac{W}{A} = \frac{\rho A L g'}{A} = \rho L g'$ है।
$L$ के लिए हल करने पर,$L = \frac{\sigma}{\rho g'}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $\sigma = 1.2 \times 10^8 \ N/m^2$,$\rho = 6 \times 10^4 \ kg/m^3$,और $g' = \frac{10}{3} \ m/s^2$.
$L = \frac{1.2 \times 10^8}{6 \times 10^4 \times (10/3)} = \frac{1.2 \times 10^8 \times 3}{6 \times 10^4 \times 10} = \frac{3.6 \times 10^8}{6 \times 10^5} = 0.6 \times 10^3 = 600 \ m$.

(C) जब एक स्प्रिंग को उसके मुक्त सिरे पर भार लगाकर खींचा जाता है,तो स्प्रिंग का तार लंबाई में परिवर्तन (अनुदैर्ध्य विकृति) और कुंडलियों पर लगने वाले टॉर्क के कारण मरोड़ प्रभाव (अपरूपण विकृति) दोनों का अनुभव करता है। इसलिए,स्प्रिंग में उत्पन्न विकृति अनुदैर्ध्य और अपरूपण विकृति का संयोजन होती है।

(C) एक आदर्श द्रव के लिए,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक अनंत (असंपीड्य) होता है और अपरूपण गुणांक शून्य (अपरूपण प्रतिबल का विरोध नहीं कर सकता) होता है। अतः,कथन $(A)$ सही है।
कथन $(B)$ के लिए,आयतन प्रत्यास्थता गुणांक $B = 140 \text{ GPa} = 1.4 \times 10^{11} \text{ Pa}$ है। दबाव $p = 7 \times 10^6 \text{ Pa}$ है। प्रारंभिक आयतन $V = a^3 = (0.1 \text{ m})^3 = 0.001 \text{ m}^3$ है।
सूत्र $B = -\frac{p}{\Delta V / V}$ का उपयोग करने पर,हमें $\Delta V = -\frac{pV}{B} = -\frac{(7 \times 10^6)(0.001)}{1.4 \times 10^{11}} = -5 \times 10^{-8} \text{ m}^3$ प्राप्त होता है।
चूंकि $-5 \times 10^{-8} \text{ m}^3 \neq -0.05 \text{ m}^3$,इसलिए कथन $(B)$ गलत है।
कथन $(C)$ के लिए,जब एक सर्पिल स्प्रिंग से वजन जोड़ा जाता है,तो उसमें खिंचाव होता है,जो तन्य विकृति को दर्शाता है। अतः,कथन $(C)$ सही है।

(A) दिया गया है:
तार की त्रिज्या,$r = 8 \,mm = 8 \times 10^{-3} \,m$
तार की लंबाई,$l = 100 \,cm = 1 \,m$
मरोड़ का कोण,$\phi = 45^{\circ}$
माना अपरूपण कोण $\theta$ है।
एक सिरे पर मरोड़े गए तार के लिए,अपरूपण कोण $\theta$,त्रिज्या $r$,लंबाई $l$ और मरोड़ के कोण $\phi$ (रेडियन में) के बीच का संबंध $r\phi = l\theta$ है।
$\phi$ को डिग्री में रखते हुए:
$\theta = \frac{r \phi}{l} = \frac{8 \times 10^{-3} \,m \times 45^{\circ}}{1 \,m} = 0.36^{\circ}$.

(B) पर्वत के अपने वजन के कारण उसके आधार पर लगने वाला दबाव चट्टान की प्रत्यास्थ सीमा से अधिक नहीं होना चाहिए ताकि वह विकृत न हो।
मान लीजिए $h$ अधिकतम ऊँचाई है,$\rho$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
आधार पर लगने वाला दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
इसे चट्टान की प्रत्यास्थ सीमा के बराबर रखने पर:
$h \rho g = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$h \times (3 \times 10^3 \ kg m^{-3}) \times (10 \ m s^{-2}) = 30 \times 10^7 \ N m^{-2}$.
$h \times (3 \times 10^4) = 30 \times 10^7$.
$h = \frac{30 \times 10^7}{3 \times 10^4} = 10 \times 10^3 \ m$.
$h = 10,000 \ m = 10 \ km$.

(A) तार के लिए ब्रेकिंग तनाव बल $F = \sigma \cdot A$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $F = (4.8 \times 10^7 \ N \ m^{-2}) \times (10^{-6} \ m^2) = 48 \ N$.
यह तनाव बल वस्तु को क्षैतिज वृत्त में घूमने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल प्रदान करता है: $F_C = m \omega^2 r = 48 \ N$.
यहाँ $m = 10 \ kg$ और $r = 0.3 \ m$ दिया गया है,इसलिए $10 \times \omega^2 \times 0.3 = 48$.
$3 \omega^2 = 48 \Rightarrow \omega^2 = 16$.
अतः,$\omega = 4 \ rad \ s^{-1}$।

(C) ऊर्ध्वाधर वृत्त के सबसे निचले बिंदु पर,तार में तनाव $T$ आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करता है और गोले के भार को संतुलित करता है।
गति का समीकरण: $T - mg = m \omega^2 l$,जहाँ $m = 4 \,kg$,$l = 1 \,m$,$\omega = 10 \,rad \,s^{-1}$,और $g = 10 \,ms^{-2}$ है।
$T = m(g + \omega^2 l) = 4(10 + 10^2 \times 1) = 4(10 + 100) = 4(110) = 440 \,N$.
हुक के नियम के अनुसार विस्तार $\Delta l$ है: $\Delta l = \frac{Tl}{AY}$,जहाँ $A = \pi r^2$ और $r = 1 \,mm = 10^{-3} \,m$ है।
$A = \pi (10^{-3})^2 = \pi \times 10^{-6} \,m^2$.
$\Delta l = \frac{440 \times 1}{\pi \times 10^{-6} \times 20 \times 10^{10}} = \frac{440}{20 \pi \times 10^4} = \frac{22}{\pi} \times 10^{-4} \,m$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$\Delta l \approx \frac{22}{3.14} \times 10^{-4} \approx 7.006 \times 10^{-4} \,m = 0.7 \,mm$.

(C) मान लीजिए कि डोरी के खंडों $AC$ और $BC$ में तनाव $T$ है। बिंदु $C$ पर ऊर्ध्वाधर दिशा में संतुलन की स्थिति लागू करने पर:
$F = 2T \sin \theta$
खींची हुई स्थिति में प्रत्येक खंड $AC$ और $BC$ की लंबाई $L' = \frac{L/2}{\cos \theta}$ है।
प्रत्येक खंड में विस्तार $\Delta L = L' - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} \left( \frac{1}{\cos \theta} - 1 \right) = \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right)$ है।
बल और विस्तार का अनुपात $K$ दिया गया है,इसलिए तनाव $T = K \Delta L = K \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right)$ होगा।
$T$ का मान बल के समीकरण में रखने पर:
$F = 2 \left[ K \frac{L}{2} \left( \frac{1 - \cos \theta}{\cos \theta} \right) \right] \sin \theta$
$F = K L (1 - \cos \theta) \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$
$F = K L (1 - \cos \theta) \tan \theta$.

(B) कर्तन मापांक,कर्तन प्रतिबल और कर्तन विकृति का अनुपात है,जो विरूपण बल के विरुद्ध प्रतिरोध को दर्शाता है। अतः,$A \rightarrow V$.
$(B)$ कर्तन प्रतिबल वह बल है जो सतह पर स्पर्शरेखीय रूप से लगाया जाता है,जिसे स्पर्शरेखीय प्रतिबल भी कहा जाता है। अतः,$B \rightarrow III$.
$(C)$ प्रत्यास्थ थकान बार-बार लगने वाले वैकल्पिक विरूपण बल के कारण किसी पदार्थ के प्रत्यास्थ गुणों का अस्थायी नुकसान है। अतः,$C \rightarrow IV$.
$(D)$ प्रत्यास्थता मापांक प्रत्यास्थ सीमा के भीतर प्रतिबल और विकृति के बीच का समानुपातिकता स्थिरांक है। अतः,$D \rightarrow II$.
इसलिए,सही मिलान $A-V, B-III, C-IV, D-II$ है।

(B) सबसे पहले, तार में तनाव $T$ की गणना करें। घिरनी के ऊपर से गुजरने वाले तार से जुड़े दो ब्लॉकों के निकाय के लिए, त्वरण $a = \frac{(m_2 - m_1)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)10}{2 + 1} = \frac{10}{3} \,m s^{-2}$ है。
तार में तनाव $T = m_1(g + a) = 1(10 + \frac{10}{3}) = \frac{40}{3} \,N$ है。
ब्रेकिंग स्ट्रेस को $\sigma = \frac{T}{A}$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहाँ $A = \pi r^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है。
दिया गया है $\sigma = \frac{40}{3 \pi} \times 10^6 \,N m^{-2}$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{40}{3 \pi} \times 10^6 = \frac{40/3}{\pi r^2}$।
सरल करने पर: $\frac{40}{3 \pi} \times 10^6 = \frac{40}{3 \pi r^2}$।
अतः, $10^6 = \frac{1}{r^2}$, जिसका अर्थ है $r^2 = 10^{-6} \,m^2$।
इसलिए, $r = 10^{-3} \,m = 1 \,mm$।

(C) सही मिलान इस प्रकार है:
$A$. हुक का नियम: प्रत्यास्थ सीमा के भीतर,प्रतिबल विकृति के सीधे आनुपातिक होता है। अतः,$A-3$.
$B$. अपरूपण विकृति: इसे उस कोण (रेडियन में) के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके द्वारा किसी घनाकार पिंड की स्थिर सतह के लंबवत एक तल स्पर्शरेखीय बल के प्रभाव में मुड़ जाता है। इसे स्पर्शरेखीय विकृति भी कहा जाता है। अतः,$B-1$.
$C$. आयतन विकृति: एक ठोस के लिए,आयतन विकृति (वॉल्यूमेट्रिक विकृति) रैखिक विकृति के $3$ गुना के बराबर होती है। अतः,$C-4$.
$D$. प्रत्यास्थ थकान: बार-बार बदलने वाले विरूपक बलों की क्रिया के कारण प्रत्यास्थ गुणों के अस्थायी नुकसान को प्रत्यास्थ थकान कहा जाता है। अतः,$D-2$.
इसलिए,सही मिलान $A-3, B-1, C-4, D-2$ है,जो विकल्प $C$ के अनुरूप है।

(A) तार में स्ट्रेस $\text{Stress} = \frac{\text{Tension}}{\text{Area of cross-section}}$ द्वारा दिया जाता है।
टूटने से बचने के लिए, स्ट्रेस ब्रेकिंग स्ट्रेस से अधिक नहीं होना चाहिए।
मान लीजिए तार में तनाव $T$ है और निकाय का त्वरण $a$ है।
दो ब्लॉकों के लिए गति के समीकरण इस प्रकार हैं:
$1 \, kg$ ब्लॉक के लिए: $T - 1(10) = 1a \implies T - 10 = a$ (समीकरण $1$)
$2 \, kg$ ब्लॉक के लिए: $2(10) - T = 2a \implies 20 - T = 2a$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और समीकरण $2$ को जोड़ने पर:
$(T - 10) + (20 - T) = a + 2a$
$10 = 3a \implies a = \frac{10}{3} \, m/s^2$
समीकरण $1$ में $a$ का मान रखने पर:
$T = 10 + \frac{10}{3} = \frac{40}{3} \, N$
ब्रेकिंग स्ट्रेस $\sigma_{max} = 2 \times 10^9 \, N/m^2$ है। अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
न्यूनतम त्रिज्या $r$ ज्ञात करने के लिए स्ट्रेस को ब्रेकिंग स्ट्रेस के बराबर रखने पर:
$\frac{T}{A} = \sigma_{max} \implies \frac{40/3}{\pi r^2} = 2 \times 10^9$
$r^2 = \frac{40}{3 \times \pi \times 2 \times 10^9} = \frac{20}{3 \pi \times 10^9} \approx 2.122 \times 10^{-9} \, m^2$
$r = \sqrt{2.122 \times 10^{-9}} \approx 4.6 \times 10^{-5} \, m$.

(B) जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो तार में तनाव $T = m(g + a)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 10 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $a = 2 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $T = 10(10 + 2) = 120 \ N$ होगा।
अनुदैर्ध्य विकृति को $\text{Strain} = \frac{\Delta \ell}{L} = \frac{\text{Stress}}{Y} = \frac{T}{AY}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$ और यंग मापांक $Y = 2.0 \times 10^{11} \ N/m^2$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\text{Strain} = \frac{120}{(2 \times 10^{-4}) \times (2.0 \times 10^{11})} = \frac{120}{4 \times 10^7} = 30 \times 10^{-7} = 3 \times 10^{-6}$।

(B) कुल विस्तार $\Delta L$ दोनों तारों के विस्तार का योग है: $\Delta L = \Delta L_A + \Delta L_B = \frac{F L_A}{Y_A A} + \frac{F L_B}{Y_B A}$.
यहाँ $F = mg = 0.8 \times 10 = 8 \text{ N}$.
तार $A$ के लिए: $L_A = 0.314 \text{ m}$,$Y_A = 2 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
तार $B$ के लिए: $L_B = 2 L_A = 0.628 \text{ m}$,$Y_B = 2 Y_A = 4 \times 10^{10} \text{ N/m}^2$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.2 \times 10^{-3} \text{ m})^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-8} = 1.256 \times 10^{-7} \text{ m}^2$.
$\Delta L_A$ की गणना: $\Delta L_A = \frac{8 \times 0.314}{2 \times 10^{10} \times 1.256 \times 10^{-7}} = \frac{2.512}{2512} = 0.001 \text{ m} = 1 \text{ mm}$.
$\Delta L_B$ की गणना: $\Delta L_B = \frac{8 \times 0.628}{4 \times 10^{10} \times 1.256 \times 10^{-7}} = \frac{5.024}{5024} = 0.001 \text{ m} = 1 \text{ mm}$.
कुल विस्तार $\Delta L_{total} = \Delta L_A + \Delta L_B = 1 \text{ mm} + 1 \text{ mm} = 2 \text{ mm}$.

(B) तार में किसी भी बिंदु पर प्रतिबल उस बिंदु पर अनुप्रस्थ काट पर कार्य करने वाला कुल बल और क्षेत्रफल $A$ का अनुपात होता है।
ऊपर से $x$ दूरी पर,अनुप्रस्थ काट द्वारा समर्थित कुल वजन नीचे लटका हुआ वजन $W$ और उस बिंदु के नीचे तार के हिस्से का वजन होता है।
ऊपर से $l/3$ दूरी पर स्थित बिंदु के नीचे तार की लंबाई $l - l/3 = 2l/3$ है।
चूंकि तार एक समान है,इस हिस्से का वजन $w' = w \cdot (2l/3) / l = 2w/3$ होगा।
इस अनुप्रस्थ काट पर कुल बल $F = W + 2w/3$ है।
प्रतिबल $\sigma = F/A = (W + 2w/3) / A = W/A + (2/3)(w/A)$ है।
दिए गए व्यंजक $(W/A + \gamma \cdot w/A)$ के साथ तुलना करने पर,हमें $\gamma = 2/3$ प्राप्त होता है।

(B) . यंग मापांक $(Y)$ अनुदैर्ध्य प्रतिबल और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है,जो $Y = \frac{FL}{A\Delta L}$ $(II)$ द्वारा दिया जाता है।
$B$. संपीड्यता $(K)$ आयतन मापांक का व्युत्क्रम है,जो $K = -\frac{1}{\Delta P}(\frac{\Delta V}{V})$ $(III)$ द्वारा दिया जाता है।
$C$. आयतन मापांक $(B)$ को $-\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$D$. प्वासों अनुपात $(\sigma)$ पार्श्व विकृति और अनुदैर्ध्य विकृति का अनुपात है,जो $\sigma = -\frac{\Delta D/D}{\Delta L/L}$ $(IV)$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,सही विकल्प $(2)$ है।