Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Gujarati

(B) આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{\phi} = \gamma P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{\theta} = P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા અને આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\phi}}{E_{\theta}} = \frac{\gamma P}{P} = \gamma$ થાય છે.
આમ,$\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{C_p}{C_v}$ મળે છે.

(B) વાયુની એડિઆબેટિક સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{\text{adiabatic}} = \gamma P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિઆબેટિક ઇન્ડેક્સ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
વાયુની આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતા $E_{\text{isothermal}} = P$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એડિઆબેટિક અને આઇસોથર્મલ સ્થિતિસ્થાપકતાનો ગુણોત્તર $\frac{E_{\text{adiabatic}}}{E_{\text{isothermal}}} = \frac{\gamma P}{P} = \gamma$ થાય છે.
ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ (બિન-રેખીય) માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 6$ છે. એડિઆબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{4}{3}$ છે.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2})$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + f/2)}{(f/2)R} = \frac{1 + f/2}{f/2} = \frac{2}{f} + 1 = 1 + \frac{2}{f}$ થાય છે.

(D) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે સ્થાનાંતરિત,ભ્રમણીય અને કંપનશીલ મુક્તિના અંશો ધ્યાનમાં લેતા:
સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો $(f_t)$ = $3$.
ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો $(f_r)$ = $2$.
કંપનશીલ મુક્તિના અંશો $(f_v)$ = $1$ (જે કુલ મુક્તિના અંશોમાં $2$ નો ફાળો આપે છે કારણ કે તેમાં ગતિજ અને સ્થિતિ ઉર્જા બંનેનો સમાવેશ થાય છે).
કુલ મુક્તિના અંશો $(f)$ = $f_t + f_r + 2f_v = 3 + 2 + 2(1) = 7$.
જો કે,જો પ્રશ્ન $1$ કંપનશીલ મોડને મુક્તિના અંશના એક ભાગ તરીકે ગણાવે (જે અમુક સંદર્ભોમાં સરળતા માટે લેવાય છે),તો $f = 3 + 2 + 1 = 6$.
સૂત્ર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$f = 6$ માટે,$\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.

(B) નિયોન $(Ne)$ એ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે.
એક પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $(f)$ $3$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{f}{2}R$ છે.
$f = 3$ મૂકતા,આપણને $C_V = \frac{3}{2}R$ મળે છે.

(D) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,સામાન્ય તાપમાને મુક્તિના અંશો $(f)$ $5$ હોય છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા માટેના સૂત્ર $C_p = (\frac{f}{2} + 1)R$ નો ઉપયોગ કરતા.
$f = 5$ મૂકતા,આપણને $C_p = (\frac{5}{2} + 1)R = \frac{7}{2}R$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(D) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
સામાન્ય તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) હોય છે.
તેથી,$C_V = \frac{5}{2}R$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R \approx 2 \, cal/mol \cdot K$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C_V \approx \frac{5}{2} \times 2 = 5 \, cal/mol \cdot ^{\circ}C$ મળે છે.
આ તાપમાને તમામ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓ સમાન મુક્તિના અંશો ધરાવતા હોવાથી,અચળ કદ પર તેમની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા આશરે $5 \, cal/mol \cdot ^{\circ}C$ જેટલી સમાન હોય છે.

(C) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે $C_V = \frac{3R}{2}$.
બંનેને સરખાવતા,$\frac{R}{\gamma - 1} = \frac{3R}{2}$ મળે.
બંને બાજુ $R$ વડે ભાગતા,$\frac{1}{\gamma - 1} = \frac{3}{2}$ મળે.
વ્યસ્ત લેતા,$\gamma - 1 = \frac{2}{3}$ થાય.
તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
આમ,$\gamma$ નું મૂલ્ય આશરે $1.67$ થાય છે.

(A) મેયરના સંબંધ મુજબ,આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
જ્યારે $C_P$ અને $C_V$ ને કેલરી પ્રતિ મોલ પ્રતિ કેલ્વિન $(cal \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1})$ માં દર્શાવવામાં આવે અને $R$ ને જૂલ પ્રતિ મોલ પ્રતિ કેલ્વિન $(J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1})$ માં લેવામાં આવે,ત્યારે એકમોની સુસંગતતા જાળવવા માટે આપણે $R$ ને ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $(J)$ વડે ભાગવું પડે છે.
તેથી,સંબંધ $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_V \Delta T$.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $n = 1 \, mol$.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = 21.2 \, J/mol/^{\circ}C$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 1^{\circ}C$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta U = 1 \times 21.2 \times 1 = 21.2 \, J$.
તેથી,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $21.2 \, J$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$U = \frac{f}{2} RT$
જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
અચળ કદ પર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{dU}{dT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$C_V = \frac{d}{dT} (\frac{f}{2} RT) = \frac{f}{2} R$.
આદર્શ વાયુ માટે $f$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$C_V$ એ તાપમાન $T$ થી સ્વતંત્ર છે.
તે જ રીતે,$C_P = C_V + R$ પણ તાપમાનથી સ્વતંત્ર છે.
તેથી,આદર્શ વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $T$ થી સ્વતંત્ર છે.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર ${C_V} = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $f = 3$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને ${C_V} = \frac{3}{2}R$ મળે છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: ${C_P} - {C_V} = R$.
આપેલ એકમો $cal/gm-mole-K$ માં હોવાથી,સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R \approx 2 \; cal/mol-K$ છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,${C_V} = \frac{3}{2}R = 3 \; cal/mol-K$ અને ${C_P} = \frac{5}{2}R = 5 \; cal/mol-K$ થાય છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
વિકલ્પ $A$: ${C_P} - {C_V} = 5 - 3 = 2 = R$. આ મેયરના સંબંધનું પાલન કરે છે.
વિકલ્પ $B$: ${C_P} - {C_V} = 6 - 4 = 2 = R$. જોકે આ મેયરના સંબંધનું પાલન કરે છે,પરંતુ ${C_V} = 4$ એ સામાન્ય આદર્શ વાયુઓ માટે પ્રમાણિત મૂલ્ય નથી.
વિકલ્પ $C$: ${C_P} < {C_V}$,જે ભૌતિક રીતે અશક્ય છે કારણ કે ${C_P}$ હંમેશા ${C_V}$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ.
વિકલ્પ $D$: ${C_P} - {C_V} = 4.2 - 3 = 1.2 \neq R$.
આમ,વિકલ્પ $A$ માં આપેલો સેટ સૌથી વધુ વિશ્વસનીય છે કારણ કે તે એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટેના સૈદ્ધાંતિક મૂલ્યોને અનુરૂપ છે.

(A) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c_V$ વચ્ચેનો સંબંધ $C_V = M \cdot c_V$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
આપેલ છે કે $c_V = 0.075 \, kcal/kg-K = 0.075 \, cal/g-K$ અને $C_V = 2.98 \, cal/mole-K$.
મોલર દળ $M$ ની ગણતરી:
$M = \frac{C_V}{c_V} = \frac{2.98}{0.075} \approx 39.73 \, g/mole$.
એક પરમાણુનું દળ એ મોલર દળને એવોગેડ્રો આંક $N_A$ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$m = \frac{M}{N_A} = \frac{39.73}{6.02 \times 10^{23}} \approx 6.60 \times 10^{-23} \, g$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V} = \frac{R}{J(\gamma - 1)}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\gamma = 1.5$ મૂકતા,આપણને ${C_V} = \frac{R}{J(1.5 - 1)} = \frac{R}{J(0.5)} = \frac{2R}{J}$ મળે છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,${C_P} - {C_V} = \frac{R}{J}$,તેથી ${C_P} = {C_V} + \frac{R}{J}$ થાય.
${C_V}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને ${C_P} = \frac{2R}{J} + \frac{R}{J} = \frac{3R}{J}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ ${C_P} = \frac{3R}{J}$ છે.

(A) વ્યાખ્યા મુજબ,અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ એ $1 \text{ mole}$ વાયુનું તાપમાન $1 \text{ K}$ વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા છે જ્યારે કદ અચળ રાખવામાં આવે છે. આ કિસ્સામાં,કોઈ બાહ્ય કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$,તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલી તમામ ઉષ્મા વાયુની આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાય છે.
જો કે,અચળ દબાણે $(C_P)$,જ્યારે વાયુને ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,ત્યારે તે માત્ર આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરતું નથી પરંતુ અચળ બાહ્ય દબાણની વિરુદ્ધ વાયુના વિસ્તરણ માટે બાહ્ય કાર્ય $(W = P \Delta V)$ પણ કરે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + W$. કારણ કે $C_P$ માટે આ વિસ્તરણ કાર્ય કરવા માટે વધારાની ઉર્જાની જરૂર પડે છે,તેથી અચળ કદની પ્રક્રિયાની તુલનામાં સમાન તાપમાન વધારો મેળવવા માટે વધુ ઉષ્મા આપવી પડે છે. તેથી,$C_P > C_V$.

(C) વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાને $C = \frac{dQ}{m \cdot dT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ઉષ્મા ધારિતા પ્રક્રિયા (પથ) પર આધાર રાખતી હોવાથી,આપેલ તાપમાનના ફેરફાર $dT$ માટે,પ્રક્રિયા મુજબ આપેલ ઉષ્મા $dQ$ બદલાઈ શકે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,$dT = 0$,તેથી $C = \frac{dQ}{0} = \infty$.
એડિયાબેટિક (નિરુદ્ધોષ્મ) પ્રક્રિયા માટે,$dQ = 0$,તેથી $C = \frac{0}{m \cdot dT} = 0$.
તેથી,વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાના આધારે $0$ અને $\infty$ ની વચ્ચે કોઈપણ મૂલ્ય લઈ શકે છે.

(B) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V} = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધ ${C_P} - {C_V} = R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_P}$ શોધી શકીએ છીએ.
${C_P} = R + {C_V} = R + \frac{3}{2}R = \frac{5}{2}R$.

(C) એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે.
આપેલ છે કે $\gamma = 1.4$,તેથી $1.4 = 1 + \frac{2}{f}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{2}{f} = 0.4$,તેથી $f = \frac{2}{0.4} = 5$.
$f = 5$ મુક્તિની માત્રા ધરાવતો વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક હોય છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_v} = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_p} = {C_v} + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ છે.
તેથી,વાયુ દ્વિપરમાણ્વિક છે,${C_p} = \frac{7}{2}R$ અને ${C_v} = \frac{5}{2}R$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $C_P - C_V = R$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
તેથી,સૂત્ર $C_P - C_V = 2R$ ખોટું છે.

(B) દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $f = 5$ છે (ઓરડાના તાપમાને $3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય).
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{5}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{5}{2}R + R = \frac{7}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5} = 1.4$ મળે છે.

(D) મેયરના સંબંધ મુજબ,કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$C_p - C_v = R$.
જેમ કે $R$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે,તે તમામ આદર્શ વાયુઓ માટે સમાન રહે છે,પછી ભલે તેમનું આણ્વીય દળ કે બંધારણ ગમે તે હોય.
હાઇડ્રોજન વાયુ માટે,$C_p - C_v = a = R$.
ઓક્સિજન વાયુ માટે,$C_p - C_v = b = R$.
તેથી,$a = b$.

(D) આપેલ છે કે,બે વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો તફાવત $C_P - C_V = R = 4150 \ J/kg \ K$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1.4$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P = \gamma C_V$.
આ કિંમતને પ્રથમ સમીકરણમાં મૂકતા: $\gamma C_V - C_V = R$.
$C_V(\gamma - 1) = R$.
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$.
કિંમતો મૂકતા: $C_V = \frac{4150}{1.4 - 1} = \frac{4150}{0.4} = 10375 \ J/kg \ K$.

(A) અચળ કદ પર $n$ મોલ વાયુનું તાપમાન $\Delta T$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \text{ મોલ}$,$\Delta T = 1 \text{ K}$ આપેલ છે,તેથી જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = 1 \times C_V \times 1 = C_V$ થશે.
મોનોએટોમિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2}R$ છે.
તેથી,જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = \frac{3}{2}R$ થશે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ (Mayer's relation) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સંબંધ $C_P - C_V = R$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક (universal gas constant) છે.

(D) મેયરના સંબંધ મુજબ,કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
$C_P - C_V = R$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ નું મૂલ્ય આશરે $1.987 \, \text{cal/mol-K}$ છે,જેને ઘણીવાર $1.99 \, \text{cal/mol-K}$ તરીકે લેવામાં આવે છે.
તેથી,હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે,જે પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિઓમાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે,$C_P - C_V = 1.99 \, \text{cal/mol-K}$ એ સાચું વિધાન છે.

(A) $NH_3$ એ અરેખીય બહુપરમાણ્વીય વાયુ છે.
અરેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $f = 6$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$
સમીકરણમાં $f = 6$ મૂકતા:
$\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3} \approx 1.33$.
તેથી,$NH_3$ માટે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $1.33$ છે.

(A) અચળ કદે આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર: $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ છે.
અહીં $n = 1 \, mol$ હોવાથી,$(\Delta Q)_V = C_V \Delta T$ થાય.
આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2} R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
તેથી,$\Delta T = \frac{(\Delta Q)_V}{C_V} = \frac{(\Delta Q)_V}{\frac{f}{2} R} = \frac{2(\Delta Q)_V}{f R}$ મળે.
અહીં $(\Delta Q)_V$ અને $R$ અચળ હોવાથી,$\Delta T \propto \frac{1}{f}$ થાય.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $f = 3$ અને દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે $f = 5$ હોય છે.
જેથી $f_{\text{monoatomic}} < f_{\text{diatomic}}$ હોવાથી,$\Delta T_{\text{monoatomic}} > \Delta T_{\text{diatomic}}$ મળે.
આમ,તાપમાનમાં વધારો એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે વધુ હશે.

(C) મેયરના સંબંધ મુજબ,વાયુ અચળાંક $R$ અને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P$ તથા $C_V$ વચ્ચેનો સંબંધ $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$J$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા,$J = \frac{R}{C_P - C_V}$ મળે છે.
આપેલ મૂલ્યો $R = 8.32 \ J/mol \cdot K$ અને $C_P - C_V = 1.98 \ cal/mol \cdot K$ છે.
આ મૂલ્યોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$J = \frac{8.32}{1.98} \approx 4.20 \ J/cal$.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,એટલે કે $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$.
સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,$C_v = \frac{f}{2}R$ અને $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ થાય છે.
તેથી,$\gamma = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = 1 + \frac{2}{f}$.
સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા: $\gamma - 1 = \frac{2}{f}$.
$f$ માટે ઉકેલતા,આપણને $f = \frac{2}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(C) વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma$ એ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ નો ગુણોત્તર છે.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,પ્રતિ મોલ આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{n}{2}RT$ છે.
તેથી,$C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{n}{2}R$.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$C_P = C_V + R = \frac{n}{2}R + R = R(1 + \frac{n}{2})$.
આથી,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{R(1 + \frac{n}{2})}{\frac{n}{2}R} = \frac{1 + \frac{n}{2}}{\frac{n}{2}} = \frac{2}{n} + 1 = 1 + \frac{2}{n}$.

(B) અચળ કદ પર આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$C_V = C_P - R$.
અહીં $n = 5 \text{ મોલ}$,$C_P = 8 \text{ cal/mole } ^{\circ}C$,$R = 2 \text{ cal/mole } ^{\circ}C$,અને $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10^{\circ}C$.
$C_V = 8 - 2 = 6 \text{ cal/mole } ^{\circ}C$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \text{ cal}$.

(C) દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{7}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ કિંમતને $\frac{R}{C_P}$ પદમાં મૂકતા:
$\frac{R}{C_P} = \frac{R}{\frac{7}{2}R} = \frac{1}{\frac{7}{2}} = \frac{2}{7}$.
આમ,સાચું મૂલ્ય $\frac{2}{7}$ છે.

(B) આપેલ છે: $\mu = 2 \, moles$,$(\Delta Q)_P = 70 \, cal$,$\Delta T = 35^{\circ}C - 30^{\circ}C = 5 \, K$,$R = 2 \, cal/mol \cdot K$.
અચળ દબાણે,પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા $(\Delta Q)_P = \mu C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $70 = 2 \times C_P \times 5$.
$70 = 10 \times C_P$,જે $C_P = 7 \, cal/mol \cdot K$ આપે છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા: $C_P - C_V = R$.
$C_V = C_P - R = 7 - 2 = 5 \, cal/mol \cdot K$.
હવે,અચળ કદે,જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = \mu C_V \Delta T$ છે.
$(\Delta Q)_V = 2 \times 5 \times 5 = 50 \, cal$.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણે $C_p = \frac{5}{2}R$ છે.
આપેલ છે $R = 2 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$,તેથી $C_v = 3 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$ અને $C_p = 5 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$.
અચળ દબાણ પ્રક્રિયા માટે,ઉષ્મા $Q_p = n C_p \Delta T$ છે.
અહીં $Q_p = 40 \, \text{cal}$,$n = 1 \, \text{mole}$,અને $\Delta T = 10 \, \text{K}$ છે.
તેથી $40 = 1 \times C_p \times 10$,એટલે કે $C_p = 4 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$.
એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે $\gamma = 5/3$ હોવાથી,$C_v = C_p / \gamma = 4 \times (3/5) = 2.4 \, \text{cal} \, \text{mol}^{-1} \text{K}^{-1}$.
અચળ કદ માટે,$Q_v = n C_v \Delta T = 1 \times 2.4 \times 10 = 24 \, \text{cal}$.

(C) અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = C_p / C_v$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$NH_3$ (એમોનિયા) જેવા બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,જેમાં અરેખીય અણુઓ હોય છે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 6$ હોય છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સની ગણતરી $\gamma = 1 + (2/f)$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
$f = 6$ મૂકતા,આપણને $\gamma = 1 + (2/6) = 1 + 0.33 = 1.33$ મળે છે.
જોકે,વાસ્તવિક બહુપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,કંપનશીલ મુક્તિના અંશો પણ ભાગ ભજવે છે,જેના કારણે $\gamma$ નું મૂલ્ય સામાન્ય રીતે આદર્શ મૂલ્ય $1.33$ કરતા ઓછું હોય છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,ઓરડાના તાપમાને $NH_3$ માટે $1.28$ એ સૌથી સચોટ મૂલ્ય છે.

(C) આપેલ છે: $C_p = 7.2 \, cal/mol \cdot K$,$R = 8.3 \, J/mol \cdot K$. $1 \, cal \approx 4.18 \, J$ હોવાથી,આપણે $R$ ને $cal$ માં ફેરવીએ: $R = 8.3 / 4.18 \approx 2 \, cal/mol \cdot K$.
અચળ કદ પર મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_v = C_p - R$ દ્વારા મળે છે.
$C_v = 7.2 - 2 = 5.2 \, cal/mol \cdot K \approx 5 \, cal/mol \cdot K$.
મોલની સંખ્યા $n = 5 \, mol$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 20^\circ C - 10^\circ C = 10 \, K$.
અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ છે.
$\Delta Q = 5 \times 5 \times 10 = 250 \, cal$.

(D) અચળ દબાણે જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \, mol$,$(\Delta Q)_P = 207 \, J$,અને $\Delta T = 10 \, K$ આપેલ છે.
$207 = 1 \times C_P \times 10 \implies C_P = 20.7 \, J/mol \cdot K$.
મેયરના સંબંધ $C_P - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C_V = C_P - R$ મળે છે.
$C_V = 20.7 - 8.3 = 12.4 \, J/mol \cdot K$.
અચળ કદ પર જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ છે.
$(\Delta Q)_V = 1 \times 12.4 \times 10 = 124 \, J$.

(C) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ નું સૂત્ર $C_v = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે. એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 3$ હોય છે. તેથી,$C_v = \frac{3}{2}R$. આ મૂલ્ય અચળ છે અને તે તાપમાન $(T)$ પર આધાર રાખતું નથી. આમ,$C_v$ વિરુદ્ધ $T$ નો આલેખ $\frac{3}{2}R$ ના મૂલ્ય પર એક આડી સીધી રેખા મળે છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $C_V = R/(\gamma - 1)$ હોવાથી,$\Delta U = n (R/(\gamma - 1)) \Delta T$ થાય.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $pV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ $p$ માટે $p \Delta V = nR \Delta T$ મળે છે.
આ કિંમતને સમીકરણમાં મૂકતા,$\Delta U = p \Delta V / (\gamma - 1)$ મળે.
અહીં કદ $V$ થી બદલાઈને $2V$ થાય છે,તેથી કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = 2V - V = V$ છે.
આથી,$\Delta U = pV / (\gamma - 1)$ થાય.

(D) પૂરી પાડવામાં આવેલી ઉષ્મા ઉર્જાનો જે અંશ આંતરિક ઉર્જામાં વધારો કરે છે તે આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર અને અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્માના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = \frac{\Delta U}{(\Delta Q)_P} = \frac{(\Delta Q)_V}{(\Delta Q)_P} = \frac{\mu C_V \Delta T}{\mu C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$.
આદર્શ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7}{5}$ છે.
તેથી,અંશ $f = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7}$ થાય.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2}R$ અને અચળ કદ માટે $C_V = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરતી ઉષ્મા ઊર્જાનો અંશ $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5} = 0.6$ મળે છે.

(C) આપેલ છે કે,$\frac{R}{C_V} = 0.67$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $R = C_P - C_V$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{C_P - C_V}{C_V} = 0.67$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{C_P}{C_V} - 1 = 0.67$ મળે છે.
કારણ કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,તેથી $\gamma - 1 = 0.67$,જે દર્શાવે છે કે $\gamma = 1.67$.
એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,$\gamma = \frac{5}{3} \approx 1.67$ થાય છે.
તેથી,આ વાયુ એક-પરમાણ્વિક છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_P - C_V = R$.
આપેલ છે કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$,તેથી આપણે $C_P = \gamma C_V$ લખી શકીએ.
આ કિંમતને સંબંધમાં મૂકતા: $\gamma C_V - C_V = R$.
$C_V$ સામાન્ય લેતા: $C_V(\gamma - 1) = R$.
તેથી,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$.

(D) આપેલ છે: $n = 1$ $mol$,$\Delta T = 10$ $K$,$Q_P = 207$ $J$.
અચળ દબાણે,$Q_P = n C_P \Delta T$.
$207 = 1 \times C_P \times 10 \implies C_P = 20.7$ $J/mol$ $K$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P - C_V = R$.
$C_V = C_P - R = 20.7 - 8.3 = 12.4$ $J/mol$ $K$.
અચળ કદે,જરૂરી ઉષ્મા $Q_V = n C_V \Delta T$ છે.
$Q_V = 1 \times 12.4 \times 10 = 124$ $J$.

(B) આપેલ છે કે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{7}{2}R$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{7}{2}R - C_V = R$.
$C_V$ માટે સાદું રૂપ આપતા,$C_V = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$ મળે છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{(7/2)R}{(5/2)R} = \frac{7}{5}$ થાય છે.

(B) એક આણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_P = \frac{5}{2}R$ છે.
જ્યારે અચળ દબાણે ઉષ્મા $\Delta Q$ આપવામાં આવે છે,ત્યારે કુલ ઉષ્મા ઉર્જા $\Delta Q = \mu C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = \mu C_V \Delta T$ છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો ભાગ $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{\mu C_V \Delta T}{\mu C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{3/2 R}{5/2 R} = \frac{3}{5}$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદે તાપમાન બદલવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q = \mu C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી તેની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{fR}{2} = \frac{3R}{2}$ છે.
મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{1 \ g}{4 \ g/mol} = \frac{1}{4} \ mol$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta Q = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{3R}{2} \right) (T_2 - T_1) = \frac{3R}{8} (T_2 - T_1)$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R = N_A k_B$ હોવાથી,$R$ ની કિંમત મૂકતા:
$\Delta Q = \frac{3}{8} N_A k_B (T_2 - T_1)$.