Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Gujarati

(B) અચળ દબાણે પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા $Q_p = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ $f = \frac{\Delta U}{Q_p} = \frac{n C_v \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{C_v}{C_p} = \frac{1}{\gamma}$ છે.
આદર્શ અરેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f_{deg} = 6$ છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f_{deg}} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ થાય.
તેથી,અંશ $f = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4} = 0.75$ મળે.

(D) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ, દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) અણુની સરેરાશ ઊર્જામાં $\frac{1}{2} k_B T$ નો ફાળો આપે છે.
ઘન પદાર્થ માટે, દરેક પરમાણુ $3D$ હાર્મોનિક ઓસિલેટર તરીકે વર્તે છે, જેમાં ગતિ ઊર્જા માટે $3$ અને સ્થિતિ ઊર્જા માટે $3$ એમ કુલ $6$ સ્વતંત્રતાના અંશ હોય છે.
પરમાણુ દીઠ સરેરાશ ઊર્જા $U = 6 \times \frac{1}{2} k_B T = 3 k_B T$ છે.
$1 \, \text{mole}$ પદાર્થ માટે, આંતરિક ઊર્જા $U_m = 3 R T$ થાય.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_v = \frac{dU_m}{dT} = 3 R$ છે.
અહીં $R = 8.314 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$ અને પરમાણુ દળ $M = 27 \times 10^{-3} \, kg/mol$ આપેલ છે, તેથી વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c = \frac{C_v}{M} = \frac{3 R}{M}$ મળે.
કિંમતો મૂકતા: $c = \frac{3 \times 8.314}{27 \times 10^{-3}} \approx \frac{24.942}{0.027} \approx 923.77 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $925 \, J \, kg^{-1} \, K^{-1}$ છે.

(A) આઈસોબારિક પ્રક્રિયા માટે,પૂરી પાડવામાં આવેલ ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે અને $C_p$ એ અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા છે.
આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\frac{Q}{\Delta T} = n C_p$ છે.
બધા વાયુઓ માટે મોલની સંખ્યા $n$ સમાન હોવાથી,ઢાળ એ $C_p$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C_p = C_v + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$ છે,જ્યાં $f$ એ ડિગ્રી ઓફ ફ્રીડમ છે.
મોનોએટોમિક વાયુ $(M)$ માટે,$f = 3$,તેથી $C_p = (1.5 + 1) R = 2.5 R$.
ડાયેટોમિક વાયુ $(D)$ માટે,$f = 5$,તેથી $C_p = (2.5 + 1) R = 3.5 R$.
પોલીએટોમિક વાયુ $(P)$ માટે,$f = 6$,તેથી $C_p = (3 + 1) R = 4 R$.
આમ,$C_p(P) > C_p(D) > C_p(M)$.
ઢાળ $C_p$ ના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,ઢાળનો ક્રમ: $\text{slope}(a) > \text{slope}(b) > \text{slope}(c)$ થશે.
તેથી,રેખા $a$ એ $P$ ને,રેખા $b$ એ $D$ ને અને રેખા $c$ એ $M$ ને અનુરૂપ છે.

(C) $STP$ પર,આદર્શ વાયુનું મોલર કદ $22.4 \, L/mol$ હોય છે.
હિલિયમ વાયુના મોલની સંખ્યા $n = \frac{67.2 \, L}{22.4 \, L/mol} = 3 \, mol$ છે.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2}R$ થાય.
જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 3 \times \left(\frac{3}{2} \times 8.31 \right) \times 20$.
$\Delta Q = 3 \times 1.5 \times 8.31 \times 20 = 4.5 \times 166.2 = 747.9 \, J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,$\Delta Q \approx 748 \, J$ મળે છે.

(C) સખત અણુઓ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2} R$ છે.
આપેલ છે કે અચળ કદ પર $Q$ ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,તેથી $Q = n C_V \Delta T = n (\frac{5}{2} R) \Delta T$.
અચળ દબાણે તાપમાનમાં સમાન ફેરફાર $\Delta T$ માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q' = n C_P \Delta T$ છે,જ્યાં $C_P = \frac{7}{2} R$ છે.
ગુણોત્તર લેતા,આપણને મળે છે $\frac{Q'}{Q} = \frac{n C_P \Delta T}{n C_V \Delta T} = \frac{C_P}{C_V} = \frac{7/2 R}{5/2 R} = \frac{7}{5}$.
તેથી,$Q' = \frac{7}{5} Q$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\Delta U = n \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) (T_f - T_i)$ મળે છે.
$PV = nRT$ હોવાથી,$nRT_f = P_f V_f$ અને $nRT_i = P_i V_i$ થાય.
આ કિંમતો મૂકતા,$\Delta U = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1}$ મળે છે.
આને વિકલ્પ $C$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\frac{P_f V_f - P_i V_i}{1 - \gamma} = - \left( \frac{P_f V_f - P_i V_i}{\gamma - 1} \right)$,જે ખોટું છે. તેથી,વિકલ્પ $C$ એ ખોટો સંબંધ છે.

(B) આદર્શ એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જામાં ફેરફાર $dU = nC_v dT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $C_v = \frac{3}{2}R$ છે.
આપેલ પ્રક્રિયાની શરત $dQ = 3dU$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ ને $C = \frac{dQ}{n dT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આપેલ શરત મૂકતા: $C = \frac{3dU}{n dT} = \frac{3(nC_v dT)}{n dT} = 3C_v$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે $C_v$ ની કિંમત મૂકતા: $C = 3 \times \left(\frac{3}{2}R\right) = \frac{9}{2}R = 4.5R$.

(D) આપેલ સમીકરણ $\left( \frac{T^7}{P^2} \right)^{1/5} = \text{અચળ}$ છે.
આને $T^{7/5} P^{-2/5} = \text{અચળ}$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા માટે,તાપમાન $T$ અને દબાણ $P$ ને જોડતું સમીકરણ $T^{\gamma} P^{1-\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$T$ અને $P$ ના ઘાતાંકોની સરખામણી કરતા,આપણને $\gamma = 7/5$ અને $1 - \gamma = -2/5$ મળે છે.
$\gamma$ માટે ઉકેલતા,આપણને $\gamma = 1 + 2/5 = 7/5 = 1.4$ મળે છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v$ નું સૂત્ર $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
$\gamma = 7/5$ મૂકતા,આપણને $C_v = \frac{R}{7/5 - 1} = \frac{R}{2/5} = 2.5 R$ મળે છે.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c_p)$ અને અચળ કદ પર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c_v)$ વચ્ચેનો તફાવત $c_p - c_v = R/M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
નાઈટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 28 \ g/mol$ છે.
આ કિંમતને સંબંધમાં મૂકતા,આપણને $c_p - c_v = R/28$ મળે છે.

(D) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P - C_V = R$,જેનો અર્થ છે કે $C_V = C_P - R$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા,આપણને $\gamma = \frac{C_P}{C_P - R}$ મળે છે.
વળી,$C_P - C_V = R$ પરથી,આપણે $C_P = C_V + R$ લખી શકીએ,તેથી $\gamma = \frac{C_V + R}{C_V} = 1 + \frac{R}{C_V}$.
વધુમાં,$\gamma = \frac{C_P}{C_P - R} = \frac{1}{\frac{C_P - R}{C_P}} = \frac{1}{1 - \frac{R}{C_P}}$.
આમ,ત્રણેય અભિવ્યક્તિઓ સમાન હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) વાયુનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$1\,g$ હિલિયમ (મોલર દળ $M = 4\,g/mol$) માટે મોલની સંખ્યા $n = \frac{1}{4}$ છે.
હિલિયમ જેવા એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\Delta Q = \frac{1}{4} \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times (T_2 - T_1) = \frac{3}{8} R (T_2 - T_1)$.
સંબંધ $R = N_a k_B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $N_a$ એ એવોગેડ્રો આંક અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,આપણને $\Delta Q = \frac{3}{8} N_a k_B (T_2 - T_1)$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા એટલે $1 \text{ mole}$ વાયુનું તાપમાન $1 \text{ K}$ (અથવા $1^{\circ}C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
જુદી જુદી થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ દરમિયાન,વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલ કાર્ય અને આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર અલગ-અલગ હોય છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C$ એ $C = \frac{dQ}{dT} = \frac{dU}{dT} + \frac{dW}{dT}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને કરવામાં આવેલ કાર્ય $dW$ એ અનુસરવામાં આવતી પ્રક્રિયા પર આધાર રાખે છે,તેથી $C$ નું મૂલ્ય નિશ્ચિત નથી.
કારણ કે અસંખ્ય શક્ય થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાઓ હોઈ શકે છે,તેથી વાયુને અસંખ્ય વિશિષ્ટ ઉષ્મા હોઈ શકે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(A) જો $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) હોય,તો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 3$ છે.
તેથી,$\gamma_{\text{mono}} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$f = 5$ છે.
તેથી,$\gamma_{\text{dia}} = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5} = 1.4$.
કારણ કે $1.4 < 1.67$,તેથી દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટેનો ગુણોત્તર એક-પરમાણ્વીય વાયુ કરતા ઓછો છે.
કારણ સાચું છે કારણ કે દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુઓ માટે મુક્તિની માત્રા $(f=5)$ એ એક-પરમાણ્વીય અણુઓ $(f=3)$ કરતા વધારે હોય છે,જેના પરિણામે $\gamma$ નું મૂલ્ય નાનું મળે છે.

(C) મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_p - C_v = R$. $R > 0$ હોવાથી,$C_p > C_v$ થાય છે. આનું કારણ એ છે કે જ્યારે વાયુને અચળ દબાણે ગરમ કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે વિસ્તરણ પામે છે અને બાહ્ય દબાણ સામે કાર્ય કરે છે. તેથી,આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઉપરાંત આ કાર્ય કરવા માટે વધારાની ઉષ્માની જરૂર પડે છે. તેનાથી વિપરીત,અચળ કદ પર,વાયુ દ્વારા કોઈ કાર્ય થતું નથી,તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલી તમામ ઉષ્માનો ઉપયોગ ફક્ત આંતરિક ઉર્જા વધારવા માટે થાય છે. આમ,વિધાન સાચું છે,પરંતુ કારણ વિપરીત વાત કરે છે (કે અચળ કદ પર વધારાની ઉષ્માની જરૂર પડે છે),તેથી કારણ ખોટું છે.

(N/A) કોષ્ટકમાં દર્શાવેલ વાયુઓ દ્વિ-પરમાણ્વિક છે. સ્થાનાંતરિત (translational) સ્વતંત્રતાના અંશો ઉપરાંત,તેઓ પરિભ્રમણ (rotational) સ્વતંત્રતાના અંશો પણ ધરાવે છે.
વાયુને આપવામાં આવતી ઉષ્મા આ તમામ ગતિના પ્રકારોની સરેરાશ ઉર્જામાં વધારો કરે છે. પરિણામે,દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુઓની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા એક-પરમાણ્વિક વાયુઓ કરતા વધારે હોય છે.
જો માત્ર સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણ ગતિને ધ્યાનમાં લેવામાં આવે,તો દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુની સૈદ્ધાંતિક મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$R \approx 1.98 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $C_v = 2.5 \times 1.98 = 4.95 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1}$ મળે છે.
કોષ્ટકમાંના મોટાભાગના વાયુઓ $4.95 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1}$ ની નજીકના મૂલ્યો દર્શાવે છે. જો કે,ક્લોરિનનું મૂલ્ય નોંધપાત્ર રીતે વધારે $(6.17 \; cal\, mol^{-1}\, K^{-1})$ છે. આ સૂચવે છે કે ઓરડાના તાપમાને,ક્લોરિનના અણુઓ સ્થાનાંતરિત અને પરિભ્રમણ ગતિ ઉપરાંત કંપન (vibrational) સ્વતંત્રતાના અંશો પણ ધરાવે છે,જે કુલ આંતરિક ઉર્જામાં ફાળો આપે છે અને તેથી મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મામાં વધારો કરે છે.

(B) નાઈટ્રોજનનું દળ,$m = 2.0 \times 10^{-2} \; kg = 20 \; g$.
તાપમાનમાં વધારો,$\Delta T = 45 \; ^{\circ}C$.
$N_{2}$ નું આણ્વીય દળ,$M = 28 \; g/mol$.
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક,$R = 8.3 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.
મોલની સંખ્યા,$n = \frac{m}{M} = \frac{20}{28} = \frac{5}{7} \; mol$.
નાઈટ્રોજન જેવા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{p} = \frac{7}{2} R$ છે.
$C_{p} = \frac{7}{2} \times 8.3 = 29.05 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ દબાણે આપેલી કુલ ઉષ્મા $\Delta Q = n C_{p} \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
$\Delta Q = \left( \frac{5}{7} \right) \times 29.05 \times 45$.
$\Delta Q = \frac{5}{7} \times \left( \frac{7}{2} \times 8.3 \right) \times 45 = \frac{5}{2} \times 8.3 \times 45$.
$\Delta Q = 2.5 \times 373.5 = 933.75 \; J$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં,આપેલી ઉષ્મા $933 \; J$ છે.

(N/A) જો પદાર્થનો જથ્થો $kg$ માં દળ $m$ ને બદલે મોલ $\mu$ ના સ્વરૂપમાં દર્શાવવામાં આવે,તો પદાર્થની પ્રતિ મોલ ઉષ્માધારિતા નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય:
$C = \frac{1}{\mu} \frac{\Delta Q}{\Delta T}$
જ્યાં $C$ ને પદાર્થની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા કહેવામાં આવે છે. $C$ એ પદાર્થના પ્રકાર અને તેના તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાનો $SI$ એકમ $J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ છે.
વાયુઓ માટે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માને બે રીતે વ્યાખ્યાયિત કરી શકાય છે:
$(i)$ અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$: જો ઉષ્માના સ્થાનાંતરણ દરમિયાન વાયુનું દબાણ અચળ રાખવામાં આવે,તો તેને અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા કહેવાય છે,જેને $C_P$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$(ii)$ અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$: જો ઉષ્માના સ્થાનાંતરણ દરમિયાન વાયુનું કદ અચળ રાખવામાં આવે,તો તેને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતા કહેવાય છે,જેને $C_V$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.

(N/A) $1$. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$: વાયુના $1 \text{ mole}$ તાપમાનમાં $1 \text{ K}$ (અથવા $1^{\circ}\text{C}$) નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માને,જ્યારે તેનું કદ અચળ રાખવામાં આવે,ત્યારે તેને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા કહે છે.
$2$. અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$: વાયુના $1 \text{ mole}$ તાપમાનમાં $1 \text{ K}$ (અથવા $1^{\circ}\text{C}$) નો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માને,જ્યારે તેનું દબાણ અચળ રાખવામાં આવે,ત્યારે તેને અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા કહે છે.

(C) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમનો ઉપયોગ ઘન પદાર્થોની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતાની આગાહી કરવા માટે કરી શકાય છે. ધારો કે એક ઘન પદાર્થ $N$ પરમાણુઓનો બનેલો છે,જે દરેક પોતાની સરેરાશ સ્થિતિની આસપાસ દોલન કરે છે.
એક પરિમાણમાં એક દોલકની સરેરાશ ઊર્જા $= 2 \times \frac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T$ છે,જ્યાં $k_{B}$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
ત્રણ પરિમાણમાં,સરેરાશ ઊર્જા $= 3 k_{B} T$ થાય.
તેથી,એક મોલ ઘન પદાર્થ માટે,કુલ આંતરિક ઊર્જા $U$ એ સરેરાશ ઊર્જા અને એક મોલમાં રહેલા પરમાણુઓની સંખ્યા $(N_{A})$ નો ગુણાકાર છે:
$U = 3 k_{B} T \times N_{A}$
કારણ કે $k_{B} N_{A} = R$ (સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક),તેથી:
$U = 3 RT$
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા $C$ શોધવા માટે,આપણે $U$ નું તાપમાન $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$C = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT}(3 RT) = 3R$
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta Q = \Delta U + \Delta W$. ઘન પદાર્થ માટે,કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V$ નગણ્ય છે,તેથી કાર્ય $\Delta W = P \Delta V \approx 0$ થાય. આમ,$\Delta Q = \Delta U$. તેથી,ઘન પદાર્થની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા $C = 3R$ મળે છે.

(N/A) વાયુઓ માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા તરીકે ઓળખવામાં આવે છે.
$1$. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(C_{V})$: અચળ કદ રાખીને $1$ મોલ વાયુનું તાપમાન $1 \ K$ (અથવા $1^{\circ}C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થાને અચળ કદ પરની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(C_{V})$ કહે છે.
$2$. અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(C_{P})$: અચળ દબાણ રાખીને $1$ મોલ વાયુનું તાપમાન $1 \ K$ (અથવા $1^{\circ}C$) વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માના જથ્થાને અચળ દબાણ પરની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $(C_{P})$ કહે છે.
આ બે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાઓ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_{P} - C_{V} = R$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.

(N/A) $1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,ઉષ્માગતિશાસ્ત્રનો પ્રથમ નિયમ $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$ છે.
અચળ કદે,$\Delta W = 0$,તેથી $\Delta Q = \Delta U$. કારણ કે $\Delta U = C_V \Delta T$,તેથી $C_V = \frac{\Delta U}{\Delta T}$ મળે.
આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U$ માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે,તેથી કોઈપણ પ્રક્રિયા માટે $\Delta U = C_V \Delta T$ સાચું છે.
અચળ દબાણે,$\Delta Q = \Delta U + P \Delta V$. $\Delta T$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{\Delta Q}{\Delta T} = \frac{\Delta U}{\Delta T} + P \frac{\Delta V}{\Delta T}$ મળે છે.
આનાથી $C_P = C_V + P \frac{\Delta V}{\Delta T}$ મળે છે.
$1$ મોલ માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ છે. અચળ દબાણે વિકલન કરતા,$P \Delta V = R \Delta T$ મળે,જેનો અર્થ છે કે $P \frac{\Delta V}{\Delta T} = R$.
આ કિંમત $C_P$ ના સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $C_P = C_V + R$ મળે છે.
તેથી,સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે.

(B) સંબંધ $C_P - C_V = R$ તમામ આદર્શ વાયુઓ માટે સાચો છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
જો કે,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ એ વાયુની પરમાણ્વિકતા પર આધાર રાખે છે.
એકપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,$\gamma = 1.67$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,$\gamma = 1.40$ છે.
બહુપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,$\gamma$ ના મૂલ્યો અલગ-અલગ હોય છે.
જેમ કે $\gamma$ એ વાયુના અણુઓની મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) પર આધાર રાખે છે,તેથી તે બધા વાયુઓ માટે અચળ નથી.

(A) હા,આપણે વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા નક્કી કરવા માટે મુક્તિની માત્રા $(f)$ નો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,અણુ દીઠ દરેક મુક્તિની માત્રા સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ છે.
$f$ મુક્તિની માત્રા ધરાવતા વાયુ માટે,$1$ મોલ વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા $(U)$ નીચે મુજબ છે:
$U = f \times \left( \frac{1}{2} k_{B} T \right) \times N_{A} = \frac{f}{2} RT$ (કારણ કે $k_{B} N_{A} = R$)
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{V})$ તાપમાનની સાપેક્ષમાં આંતરિક ઉર્જાના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$C_{V} = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT} \left( \frac{f}{2} RT \right) = \frac{f}{2} R$
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{P})$ છે:
$C_{P} = C_{V} + R = \frac{f}{2} R + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $(\gamma)$ છે:
$\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = 1 + \frac{2}{f}$

(D) દ્વિપરમાણ્વીય દ્રઢ રોટેટર વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $(f)$ $5$ છે અને દરેક મુક્તિના અંશ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ છે.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,$1 \text{ mole}$ વાયુની કુલ આંતરિક ઉર્જા $(U)$:
$U = 5 \times \frac{1}{2} k_{B} T \times N_{A}$
$U = \frac{5}{2} (k_{B} N_{A}) T$
કારણ કે $k_{B} N_{A} = R$,તેથી:
$U = \frac{5}{2} RT \quad \dots(1)$
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{V})$:
$C_{V} = \frac{dU}{dT} \quad \dots(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ માં મૂકતા:
$C_{V} = \frac{d}{dT} \left[ \frac{5}{2} RT \right] = \frac{5}{2} R$
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{P})$ માટે મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$C_{P} - C_{V} = R$
$C_{P} = C_{V} + R = \frac{5}{2} R + R = \frac{7}{2} R$
તેથી,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$:
$\frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{\frac{7}{2} R}{\frac{5}{2} R} = \frac{7}{5} = 1.4$

(D) અ-રેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $(f)$ $6$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત + $3$ ભ્રમણીય). જોકે,જો પ્રશ્ન ઊંચા તાપમાને કંપન મોડ સક્રિય હોય તેવા ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુનો ઉલ્લેખ કરતો હોય,તો $f = 7$ હોઈ શકે છે. ઓરડાના તાપમાને અ-રેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે પ્રમાણભૂત કિસ્સો લેતા,$f = 6$.
$C_V = \frac{f}{2} R = \frac{6}{2} R = 3R$
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$C_P = C_V + R = 3R + R = 4R$
તેથી,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{4R}{3R} = 1.33$.
જો વાયુમાં $f=7$ (કંપન મોડ સહિત) લેવામાં આવે,તો $C_V = \frac{7}{2}R$ અને $C_P = \frac{9}{2}R$ થાય,જેનાથી $\gamma = \frac{9}{7} \approx 1.28$ મળે છે.

(D) બહુપરમાણ્વીય વાયુમાં $3$ સ્થાનાંતરિત,$3$ ભ્રમણીય અને $f$ કંપનશીલ મુક્તિના અંશો હોય છે. તેથી,કુલ મુક્તિના અંશો $f_{total} = (3 + 3 + f) = (6 + f)$ થશે.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f_{total}}{2} RT = \frac{6+f}{2} RT$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V} = \frac{dU}{dT} = \frac{6+f}{2} R$ છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,$C_{P} = C_{V} + R = \left(\frac{6+f}{2} + 1\right) R = \left(\frac{8+f}{2}\right) R$.
તેથી,ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{\frac{8+f}{2} R}{\frac{6+f}{2} R} = \frac{8+f}{6+f}$.

(D) $f$ સ્વતંત્રતાના અંશ ધરાવતા વાયુ માટે,$1 \text{ mole}$ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નીચે મુજબ છે:
$U = f \times \frac{1}{2} k_B T \times N_A = \frac{1}{2} f RT$ (કારણ કે $k_B N_A = R$).
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માની વ્યાખ્યા મુજબ:
$C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT} \left( \frac{1}{2} f RT \right) = \frac{1}{2} f R$.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા માટે મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા:
$C_P = C_V + R = \frac{1}{2} f R + R = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = \frac{(\frac{f}{2} + 1) R}{\frac{1}{2} f R}$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$\gamma = \frac{f + 2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.

(N/A) જો આપણે પાણીના અણુને ઘન પદાર્થ તરીકે ગણીએ,તો તેમાં ત્રણ પરમાણુઓ ($2$ હાઇડ્રોજન અને $1$ ઓક્સિજન) હોય છે જે તેમના સરેરાશ સ્થાનની આસપાસ કંપન કરે છે.
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,પાણીના એક અણુ સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા:
$= 2 \times \frac{1}{2} k_{B} T = k_{B} T$ (ગતિ ઉર્જા માટે).
ત્રણ પરિમાણોમાં કંપન ઉર્જાને ધ્યાનમાં લેતા (દરેક પરમાણુ પાસે કંપન માટે $3$ સ્વતંત્રતાના અંશો હોય છે,જે પ્રતિ પરમાણુ $k_{B} T$ ફાળો આપે છે):
પાણીના એક અણુની કુલ ઉર્જા $= 3 \times k_{B} T = 3 k_{B} T$ (ગતિ ઉર્જા માટે) અને $3 \times k_{B} T$ (સ્થિતિ ઉર્જા માટે).
પાણીના એક અણુની કુલ ઉર્જા $= 3 \times (k_{B} T + k_{B} T) = 6 k_{B} T$ (ઘન જેવા વર્તન માટેનું સરળ મોડેલ).
પાણીના એક મોલની કુલ ઉર્જા:
$U = 6 k_{B} T \times N_{A} = 6 RT$.
પાણીની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા:
$C = \frac{dU}{dT} = \frac{d}{dT}(6 RT) = 6R$.
$C = 6 \times 8.31 = 49.86 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$.
(નોંધ: પ્રવાહી પાણીની વાસ્તવિક વિશિષ્ટ ઉષ્મા હાઇડ્રોજન બંધનને કારણે ઘણી વધારે હોય છે,જે સરળ ગતિવાદના મોડેલોમાં ધ્યાનમાં લેવામાં આવતી નથી.)

(N/A) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક મુક્તિના અંશ (degree of freedom) સિસ્ટમની આંતરિક ઉર્જામાં $\frac{1}{2} k_B T$ જેટલો ફાળો આપે છે.
$f$ મુક્તિના અંશ ધરાવતા વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = f \cdot \frac{1}{2} n R T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{dU}{dT} = \frac{f}{2} R$ છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = (\frac{f}{2} + 1) R$ છે.
આ શાસ્ત્રીય અનુમાન એવું માને છે કે તમામ મુક્તિના અંશ દરેક તાપમાને સક્રિય હોય છે.
જોકે,પ્રાયોગિક અવલોકનો દર્શાવે છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્મા તાપમાન સાથે બદલાય છે અને $T \to 0 \ K$ પર શૂન્યની નજીક પહોંચે છે,જે સૂચવે છે કે નીચા તાપમાને મુક્તિના અંશ 'સ્થિર' અથવા નિષ્ક્રિય થઈ જાય છે.
શાસ્ત્રીય યંત્રશાસ્ત્રની આ મર્યાદા ક્વોન્ટમ મિકેનિક્સ દ્વારા સમજાવવામાં આવે છે,જ્યાં મુક્તિના અંશને ઉત્તેજિત કરવા માટે લઘુત્તમ ઉર્જાની જરૂર હોય છે.

(A) એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $(f)$ $3$ છે.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = C_V + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$\gamma = \frac{\frac{5}{2}R}{\frac{3}{2}R} = \frac{5}{3} \approx 1.67$.

(B) અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ ના ગુણોત્તરને એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ અથવા વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર કહેવામાં આવે છે,જેને $\gamma$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે.
ઓરડાના તાપમાને દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) હોય છે.
સૂત્રમાં $f$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.40$.
તેથી,દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે ગુણોત્તર $1.40$ છે.

(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ સામાન્ય રીતે $6$ હોય છે (ધારી લઈએ કે અ-રેખીય અણુઓ માટે મધ્યમ તાપમાને ભ્રમણ અને કંપન ગતિ અવગણવામાં આવે છે).
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ નું સૂત્ર $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે.
સૂત્રમાં $f = 6$ મૂકતા:
$\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = 1.33$.
તેથી,બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે $\gamma$ નું મૂલ્ય આશરે $1.33$ છે.

(A) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V} = \frac{f}{2}R = \frac{3}{2}R$ થાય. મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, ${C_P} = {C_V} + R = \frac{3}{2}R + R = \frac{5}{2}R$. તેથી, $(a)$ એ $(ii)$ સાથે જોડાય છે.
કંપન સાથેના દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો $f = 7$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપન) છે. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V} = \frac{f}{2}R = \frac{7}{2}R$ થાય. મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા, ${C_P} = {C_V} + R = \frac{7}{2}R + R = \frac{9}{2}R$. તેથી, $(b)$ એ $(iv)$ સાથે જોડાય છે.
સાચી જોડ $(a-ii, b-iv)$ છે.

(B) ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ એ એક પરિમાણરહિત રાશિ છે જે વાયુની પરમાણ્વિકતા વિશે માહિતી આપે છે.
$\gamma$ નું મૂલ્ય જાણીને,$\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને વાયુના અણુઓના મુક્તિના અંશો $(f)$ નક્કી કરી શકાય છે.
આના દ્વારા આપણે એકપરમાણ્વિક,દ્વિપરમાણ્વિક અને બહુપરમાણ્વિક વાયુઓ વચ્ચે તફાવત કરી શકીએ છીએ.

(N/A) $C_P - C_V = R$ એ મેયરનો સંબંધ છે,જ્યાં $C_P$ અને $C_V$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે જે ઉર્જાના એકમોમાં (જૂલ પ્રતિ મોલ પ્રતિ કેલ્વિન) માપવામાં આવે છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1})$ છે.
જ્યારે $C_P$ અને $C_V$ ને ઉષ્મીય એકમોમાં (કેલરી પ્રતિ મોલ પ્રતિ કેલ્વિન) દર્શાવવામાં આવે ત્યારે $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ નો ઉપયોગ થાય છે. અહીં,$J$ એ ઉષ્માનો યાંત્રિક તુલ્યાંક $(J \approx 4.18 \ J/cal)$ છે,જે ઉર્જા એકમ $R$ ને કેલરીમાં રૂપાંતરિત કરે છે.
જ્યારે $C_P$ અને $C_V$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માને બદલે એકમ દળ દીઠ વિશિષ્ટ ઉષ્મા હોય ત્યારે $C_P - C_V = \frac{r}{J}$ નો ઉપયોગ થાય છે. અહીં,$r$ એ વિશિષ્ટ વાયુ અચળાંક છે,જે $r = \frac{R}{M}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે. આ સમીકરણ કેલરી પ્રતિ ગ્રામ પ્રતિ કેલ્વિનના એકમમાં તફાવત આપે છે.

(C) આપેલ છે:
અચળ દબાણે ઉષ્મા: $Q_P = n C_P \Delta T_1 = 160 \text{ cal}$,જ્યાં $\Delta T_1 = 50^{\circ} C$.
અચળ કદ પર ઉષ્મા: $Q_V = n C_V \Delta T_2 = 240 \text{ cal}$,જ્યાં $\Delta T_2 = 100^{\circ} C$.
પ્રથમ સમીકરણ પરથી: $n C_P = \frac{160}{50} = 3.2$.
બીજા સમીકરણ પરથી: $n C_V = \frac{240}{100} = 2.4$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{C_P}{C_V} = \gamma = \frac{3.2}{2.4} = \frac{4}{3}$.
મુક્તિના અંશો $f$ અને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ વચ્ચેનો સંબંધ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે.
$\gamma = \frac{4}{3}$ મૂકતા: $\frac{4}{3} = 1 + \frac{2}{f} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{2}{f} \Rightarrow f = 6$.

(A) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{v}} = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
$(A)$ એકપરમાણ્વીય: $f = 3$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$ $(IV)$.
$(B)$ દ્વિપરમાણ્વીય દ્રઢ અણુઓ: $f = 5$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ $(I)$.
$(C)$ દ્વિપરમાણ્વીય અદ્રઢ અણુઓ: $f = 7$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{7} = \frac{9}{7}$ $(II)$.
$(D)$ ત્રિપરમાણ્વીય દ્રઢ અણુઓ: $f = 6$,તેથી $\gamma = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$ $(III)$.
આમ,સાચી જોડ $A-IV, B-I, C-II, D-III$ છે.

(C) થર્મોડાયનેમિક્સના પ્રથમ નિયમ મુજબ, $\Delta Q = \Delta U + \Delta W$.
અહીં કોઈ કાર્ય થતું નથી, તેથી $\Delta W = 0$.
તેથી, આપેલી ઉષ્મા એ આંતરિક ઉર્જામાં થતા ફેરફાર જેટલી છે: $\Delta Q = \Delta U = n C_v \Delta T$.
સખત દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે, અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{5}{2} R$ છે.
અહીં $n = 4 \, \text{mole}$ અને $\Delta T = 50^{\circ} \text{C} - 0^{\circ} \text{C} = 50 \, \text{K}$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 4 \times \frac{5}{2} R \times 50 = 10 \times 50 \, R = 500 \, R$.

(B) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V} = \frac{fR}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ સ્વતંત્રતાના અંશ છે અને $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_{P} = C_{V} + R$.
$C_{V}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_{P} = \frac{fR}{2} + R = R\left(1 + \frac{f}{2}\right) = R\left(\frac{f+2}{2}\right)$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$ આ રીતે ગણવામાં આવે છે:
$\gamma = \frac{R\left(\frac{f+2}{2}\right)}{\frac{fR}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.

(C) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $U = n C_v T$ છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{3}{2} R$ થાય છે.
આપેલ છે: $n = 2\,mol$,$T = 300\,K$,અને $R = 8.31\,J/mol\cdot K$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = 2 \times \left( \frac{3}{2} R \right) \times 300$
$U = 3 \times R \times 300$
$U = 900 \times 8.31$
$U = 7479\,J$.

(C) $STP$ પર વાયુના મોલની સંખ્યા $n$ એ કદને $STP$ પરના મોલર કદ $(22.4 \, L/mol)$ વડે ભાગવાથી મળે છે:
$n = \frac{44.8 \, L}{22.4 \, L/mol} = 2 \, mol$.
હિલિયમ એક પરમાણ્વિક વાયુ હોવાથી,અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
તાપમાનમાં $\Delta T = 20.0^{\circ} C$ (જે $20.0 \, K$ ને સમાન છે) જેટલો વધારો કરવા માટે જરૂરી ઉષ્માનું સૂત્ર:
$\Delta Q = n C_V \Delta T$.
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta Q = 2 \times (\frac{3}{2} R) \times 20.0$
$\Delta Q = 3 \times R \times 20.0 = 60 R$.
$R = 8.3 \, J \, K^{-1} \, mol^{-1}$ આપેલ હોવાથી:
$\Delta Q = 60 \times 8.3 = 498 \, J$.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{nR}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = \frac{nR}{2} + R = \frac{(n+2)R}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ કદ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ દબાણ પરની વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\frac{C_v}{C_p} = \frac{\frac{nR}{2}}{\frac{(n+2)R}{2}} = \frac{n}{n+2}$ થાય છે.

(B) સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.
મેયરનો સંબંધ,$C_p - C_V = R$,આદર્શ વાયુના અવસ્થા સમીકરણ $(PV = nRT)$ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે.
આ સંબંધ કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે સાચો છે,પછી ભલે તે એકપરમાણ્વીય,દ્વિપરમાણ્વીય કે બહુપરમાણ્વીય હોય.
વાસ્તવિક વાયુઓ માટે,આ સંબંધ $C_p - C_V = TV \beta^2 / K_T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K_T$ એ સમતાપી સંકોચનક્ષમતા છે અને $\beta$ એ સમદાબ ઉષ્મીય પ્રસરણ ગુણાંક છે. વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુના નિયમનું ચોક્કસ પાલન કરતા ન હોવાથી,આ સંબંધ $C_p - C_V = R$ માત્ર આદર્શ વાયુઓ માટે જ સચોટ રીતે સાચો છે.

(D) વાયુની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C = \frac{dQ}{n dT}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
એડિયાબેટિક પ્રક્રિયા (ઉષ્માની આપ-લે ન થાય) માટે,$dQ = 0$,તેથી $C_A = 0$.
સમતાપી પ્રક્રિયા (અચળ તાપમાન) માટે,$dT = 0$,તેથી $C_T = \frac{dQ}{0} = \infty$.
સમદાબ પ્રક્રિયા (અચળ દબાણ) માટે,$C_P = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.
સમકદ પ્રક્રિયા (અચળ કદ) માટે,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$.
આપેલા વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,વિધાન $C_V = \frac{R}{\gamma}$ ખોટું છે કારણ કે સાચું સૂત્ર $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 5/3$ છે.
અચળ દબાણે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_P = n C_P \Delta T = 20 \, J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ કદે,આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q_V = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_P = \gamma C_V$,તેથી $C_V = C_P / \gamma$.
આ કિંમતને અચળ કદના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\Delta Q_V = n (C_P / \gamma) \Delta T = \frac{1}{\gamma} (n C_P \Delta T)$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\Delta Q_V = \frac{1}{5/3} \times 20 = \frac{3}{5} \times 20 = 12 \, J$.

(C) અચળ દબાણે આંતરિક ઉર્જા બદલવા માટે વપરાતી ઉષ્મા ઉર્જાનો અંશ $\frac{\Delta U}{\Delta Q}$ ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$\Delta Q = n C_P \Delta T$ અને $\Delta U = n C_V \Delta T$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{1}{\gamma}$.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = \frac{5}{3}$,તેથી $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{5/3} = \frac{3}{5} = 0.60$.
દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,$\gamma = \frac{7}{5}$,તેથી $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{7/5} = \frac{5}{7} \approx 0.71$.
ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુ (અરેખીય) માટે,$\gamma = \frac{4}{3}$,તેથી $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{1}{4/3} = \frac{3}{4} = 0.75$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$0.75 > 0.71 > 0.60$. આમ,આંતરિક ઉર્જા બદલવા માટે વપરાતી આંશિક ઉર્જા ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુમાં મહત્તમ હોય છે.

(B) અચળ દબાણે શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q_P = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં $\Delta Q_P = 105 \, cal$, $n = 3 \, moles$ અને $\Delta T = 35^{\circ} C - 30^{\circ} C = 5^{\circ} C$ છે।
અચળ કદે શોષાયેલી ઉષ્મા $\Delta Q_V = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
આપણે જાણીએ છીએ કે $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$, જેનો અર્થ છે કે $C_P = \gamma C_V$.
તેથી, $\frac{\Delta Q_P}{\Delta Q_V} = \frac{n C_P \Delta T}{n C_V \Delta T} = \frac{C_P}{C_V} = \gamma$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{105}{\Delta Q_V} = 1.4$.
$\Delta Q_V = \frac{105}{1.4} = 75 \, cal$.
બંને કિસ્સામાં તાપમાનનો ફેરફાર $\Delta T$ સમાન $(5^{\circ} C)$ હોવાથી, અચળ કદે જરૂરી ઉષ્મા $75 \, cal$ થશે.

(A) આદર્શ ત્રિ-પરમાણ્વિય વાયુ (અરેખીય) માટે,મુક્તિના અંશો $f = 6$ છે (કંપન મોડને અવગણતા).
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{f+2}{2} R = \frac{6+2}{2} R = 4R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે આપવામાં આવેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T = n(4R) \Delta T = 800 \,cal$ છે.
અચળ દબાણે વાયુ દ્વારા કરવામાં આવેલું કાર્ય $\Delta W = n R \Delta T$ છે.
ઉષ્માના સમીકરણ પરથી,આપણને મળે છે $n R \Delta T = \frac{800}{4} = 200 \,cal$.
તેથી,વાયુ દ્વારા આસપાસની વિરુદ્ધ કરવામાં આવેલા કાર્યમાં વપરાતી ઉર્જા $\Delta W = 200 \,cal$ છે.

(A) અરેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો: $3$ ($x, y, z$ અક્ષો પર).
$2$. ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો: $3$ (તે અરેખીય હોવાથી,તે ત્રણ પરસ્પર લંબ અક્ષો પર ફરી શકે છે).
$3$. કુલ મુક્તિના અંશો: $f = 3 + 3 = 6$.
અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ નું સૂત્ર:
$C_v = \frac{f}{2} R$
સૂત્રમાં $f = 6$ મૂકતા:
$C_v = \frac{6}{2} R = 3 R$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે: અચળ દબાણે ઉષ્મા $Q_P = 50 \, cal$,મોલની સંખ્યા $n = 1 \, mol$,તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 25^{\circ} C - 20^{\circ} C = 5 \, K$,અને વાયુ અચળાંક $R = 2 \, cal / mol \cdot K$.
પ્રથમ,આપણે અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ શોધીએ:
$Q_P = n C_P \Delta T$
$50 = 1 \times C_P \times 5$
$C_P = 10 \, cal / mol \cdot K$.
મેયરના સંબંધ $C_P - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ શોધીએ:
$C_V = C_P - R$
$C_V = 10 - 2 = 8 \, cal / mol \cdot K$.
હવે,અચળ કદે જરૂરી ઉષ્મા $(Q_V)$ ની ગણતરી કરીએ:
$Q_V = n C_V \Delta T$
$Q_V = 1 \times 8 \times 5 = 40 \, cal$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.