Molar Specific Heat of gas and relation between them (Mayer's formula) Questions in Gujarati

(D) મેયરના સંબંધ મુજબ,કોઈપણ આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$C_P - C_V = R$.
$R$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક હોવાથી,તે વાયુના પ્રકાર પર આધાર રાખતું નથી.
તેથી,હાઇડ્રોજન વાયુ માટે,$C_P - C_V = a = R$.
ઑક્સિજન વાયુ માટે,$C_P - C_V = b = R$.
આ બંનેની સરખામણી કરતા,આપણને $a = b$ મળે છે.

(A) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_{P,m} - C_{V,m} = R$ છે,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
એકમ દળ માટે વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા $C = C_m / M$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
આમ,$C_P - C_V = \frac{C_{P,m}}{M} - \frac{C_{V,m}}{M} = \frac{R}{M}$.
નાઈટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 2 \times 14 = 28 \text{ g/mol}$ છે.
તેથી,$C_P - C_V = \frac{R}{28}$.

$(A)$ આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ, $C_P - C_V = R$ થાય છે।
અહીં એકમ $\text{cal/g mol-K}$ હોવાથી, સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ નું મૂલ્ય આશરે $2 \text{ cal/g mol-K}$ થાય છે।
તેથી, સૌથી વિશ્વસનીય સેટ માટેની શરત $C_P - C_V = 2$ છે।
વિકલ્પો તપાસતા:
$(A)$ $5 - 3 = 2$
$(B)$ $6 - 4 = 2$
$(C)$ $2 - 3 = -1$
$(D)$ $4.2 - 3 = 1.2$
વિકલ્પ $(A)$ અને $(B)$ બંને $C_P - C_V = 2$ સંબંધનું પાલન કરે છે। જોકે, વાયુ માટે $C_P$ એ $C_V$ કરતા મોટું હોવું જોઈએ અને ગુણોત્તર $\gamma = C_P/C_V$ એ $1$ કરતા મોટો હોવો જોઈએ।
$(A)$ માટે: $\gamma = 5/3 \approx 1.67$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ)।
$(B)$ માટે: $\gamma = 6/4 = 1.5$ (દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ)।
બંને ભૌતિક રીતે શક્ય છે, પરંતુ $C_V = 3$ અને $C_P = 5$ એ પ્રમાણભૂત એક-પરમાણ્વિક વાયુ (જેમ કે હિલિયમ) માટેનું મૂલ્ય છે, જે પાઠ્યપુસ્તકમાં સામાન્ય રીતે જોવા મળે છે। તેથી, $(A)$ સૌથી વધુ વિશ્વસનીય સેટ છે।

(B) વિધાન $A$ એ મેયરનો સંબંધ દર્શાવે છે,જે તમામ આદર્શ વાયુઓ માટે માન્ય છે.
વિધાન $B$ એ એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ દર્શાવે છે.
એક આણ્વિય વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) $f = 3$ છે.
તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} = 1 + 0.67 = 1.67$.
આમ,વિધાન $A$ બધા જ આદર્શ વાયુઓ માટે સાચું છે અને વિધાન $B$ ફક્ત એક આણ્વિય વાયુઓ માટે જ સાચું છે.

(C) આપણને $R/C_V = 0.67$ ગુણોત્તર આપેલ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મેયરનો સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે.
બંને બાજુ $C_V$ વડે ભાગતા,આપણને $(C_P/C_V) - 1 = R/C_V$ મળે છે.
ધારો કે $\gamma = C_P/C_V$ એ એડિઆબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
તેથી,$\gamma - 1 = 0.67$,જેનો અર્થ છે કે $\gamma = 1.67$.
એક-પરમાણ્વિય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ હોય છે.
એડિઆબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + (2/f) = 1 + (2/3) = 1 + 0.666... \approx 1.67$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગણતરી કરેલ $\gamma$ નું મૂલ્ય એક-પરમાણ્વિય વાયુ માટેના મૂલ્ય સાથે મેળ ખાતું હોવાથી,આ વાયુ એક-પરમાણ્વિય છે.

(A) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_P - C_V = R$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
જો વિશિષ્ટ ઉષ્માને ઉર્જાના એકમોમાં (જેમ કે જુલ) માપવામાં આવે અને વાયુ અચળાંક $R$ ને કાર્યના એકમોમાં દર્શાવવામાં આવે,તો આ સંબંધ સીધો જ લાગુ પડે છે.
જો કે,જૂની પદ્ધતિઓમાં જ્યાં ઉષ્માને કેલરીમાં અને કાર્યને જુલમાં માપવામાં આવે છે,ત્યાં એકમોને રૂપાંતરિત કરવા માટે ઉષ્માના યાંત્રિક તુલ્યાંક $J$ નો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,જેના પરિણામે $C_P - C_V = \frac{R}{J}$ સંબંધ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$C_P - C_V = R$.
હાઈડ્રોજન વાયુ માટે,$C_P - C_V = a$,તેથી $a = R$.
ઓક્સિજન વાયુ માટે,$C_P - C_V = b$,તેથી $b = R$.
આમ,$a$ અને $b$ બંને સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $R$ ની બરાબર હોવાથી,$a = b$ થાય છે.

(C) વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા એટલે વાયુના એકમ દળનું તાપમાન $1 \text{ K}$ જેટલું વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો જથ્થો.
વાયુને આપવામાં આવતી ઉષ્માનો ઉપયોગ તેની આંતરિક ઉર્જા બદલવા અને કાર્ય કરવા માટે થાય છે,અને થયેલું કાર્ય પ્રક્રિયા (સમદાબી,સમકદ,સમતાપી,સમોષ્મી અથવા કોઈપણ પોલીટ્રોપિક પ્રક્રિયા) પર આધારિત હોવાથી,વિશિષ્ટ ઉષ્મા બદલાઈ શકે છે.
સમતાપી પ્રક્રિયા માટે,તાપમાનમાં ફેરફાર $0$ હોય છે,તેથી $C = \Delta Q / (m \Delta T) = \infty$.
સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે,$\Delta Q = 0$ હોય છે,તેથી $C = 0$.
તેથી,થર્મોડાયનેમિક પ્રક્રિયાના આધારે વાયુની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $0$ અને $\infty$ ની વચ્ચે કોઈપણ કિંમત ધારણ કરી શકે છે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ (Mayer's relation) દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$1$ મોલ આદર્શ વાયુ માટે,$dQ = dU + dW$.
અચળ કદે,$dW = 0$,તેથી $dQ = C_V dT = dU$.
અચળ દબાણે,$dQ = C_P dT = dU + P dV$.
$1$ મોલ માટે $PV = RT$ હોવાથી,વિકલન કરતા $P dV = R dT$ મળે છે.
અચળ દબાણના સમીકરણમાં $dU = C_V dT$ અને $P dV = R dT$ મૂકતા,આપણને $C_P dT = C_V dT + R dT$ મળે છે.
$dT$ વડે ભાગતા,આપણને $C_P - C_V = R$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_P)$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_V)$ વચ્ચેનો તફાવત એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$C_P - C_V = R$.
જેથી $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,તેથી પદ $C_P - C_V$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક દર્શાવે છે.

(B) અચળ કદે આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta U = n C_V \Delta T$.
આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે,જેનો અર્થ છે કે $C_V = C_P - R$.
આપેલ છે: $n = 5 \ mol$,$C_P = 8 \ cal/mol \cdot K$,$R = 2 \ cal/mol \cdot K$,અને $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10 \ K$.
$C_V$ ની ગણતરી કરતા: $C_V = 8 - 2 = 6 \ cal/mol \cdot K$.
હવે,સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા: $\Delta U = 5 \times 6 \times 10 = 300 \ cal$.

(A) પાણી $(H_2O)$ એ અરેખીય ત્રિ-પરમાણ્વીય અણુ છે. ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક પરમાણુ $3$ સ્વતંત્રતાના અંશ ધરાવે છે.
$N$ પરમાણુઓ ધરાવતા અણુ માટે,કુલ સ્વતંત્રતાના અંશ $f = 3N$ થાય છે.
પાણી માટે,$N = 3$ (એક ઓક્સિજન અને બે હાઇડ્રોજન પરમાણુ),તેથી $f = 3 \times 3 = 9$ થાય.
$1 \text{ mole}$ પાણી માટે આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} RT = \frac{9}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જોકે,ઘન અવસ્થામાં (બરફ) પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્માધારિતાના સંદર્ભમાં અથવા કંપન મોડને ધ્યાનમાં લેતા,ત્રિ-પરમાણ્વીય ઘન પદાર્થ માટે ડુલૉન્ગ-પેટિટના નિયમનો ઉપયોગ કરવામાં આવે છે,જ્યાં દરેક પરમાણુ $3k_BT$ (ગતિજ + સ્થિતિજ ઉર્જા) ફાળો આપે છે.
કુલ ઉર્જા $U = 3 \times 3k_BT \times N_A = 9RT$.
તેથી,મોલર ઉષ્માધારિતા $C = \frac{dU}{dT} = 9R$ થાય.

(C) હિલિયમ એ એક પરમાણ્વિક વાયુ છે,તેથી તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ $C_v = \frac{3}{2}R$ અને $C_p = \frac{5}{2}R$ છે.
આપેલ છે: $n = 2 \text{ મોલ}$,$\Delta T = 100^{\circ}C = 100 \text{ K}$,અને $R \approx 2 \text{ cal/mol K}$.
અચળ કદે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q_v = n C_v \Delta T = 2 \times \frac{3}{2}R \times 100 = 300R = 300 \times 2 = 600 \text{ cal}$.
અચળ દબાણે જરૂરી ઉષ્મા $\Delta Q_p = n C_p \Delta T = 2 \times \frac{5}{2}R \times 100 = 500R = 500 \times 2 = 1000 \text{ cal}$.

(C) એક પરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા $C_P = \frac{5}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સંબંધ $R = n \times C_P$ છે.
$C_P$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $R = n \times \left( \frac{5}{2}R \right)$ મળે છે.
બંને બાજુથી $R$ ને દૂર કરતા,આપણને $1 = n \times \frac{5}{2}$ મળે છે.
તેથી,$n = \frac{2}{5} = 0.4$.

(A) આપેલ છે કે અચળ કદે મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા $C_V = \alpha R$ છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર ઉષ્મા ક્ષમતા $C_P = C_V + R$ થાય છે.
$C_V$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $C_P = \alpha R + R = R(\alpha + 1)$ મળે છે.
હવે,મોલર ઉષ્મા ક્ષમતાનો ગુણોત્તર $\frac{C_P}{C_V} = \frac{R(\alpha + 1)}{\alpha R}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને $\frac{C_P}{C_V} = \frac{\alpha + 1}{\alpha}$ મળે છે.

(B) અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્માનું સૂત્ર $(\Delta Q)_P = \mu C_P \Delta T$ છે.
અહીં $\mu = 2 \, mol$,$\Delta T = (35 - 30) = 5 \, K$ અને $(\Delta Q)_P = 70 \, cal$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $70 = 2 \times C_P \times 5 \Rightarrow C_P = 7 \, cal/mol \cdot K$.
મેયરના સંબંધ $C_P - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરતા,$C_V = C_P - R = 7 - 2 = 5 \, cal/mol \cdot K$ મળે છે.
અચળ કદ માટે જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = \mu C_V \Delta T$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\Delta Q)_V = 2 \times 5 \times 5 = 50 \, cal$.

(A) આર્ગોન એક એકપરમાણ્વિય વાયુ છે. અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા નીચે મુજબ મળે:
${C_v} = \frac{3}{2} R = \frac{3}{2} \times 2 = 3 \ cal/mol \ K$.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c_v)$ વચ્ચેનો સંબંધ ${C_v} = M_w \times c_v$ છે,જ્યાં $M_w$ એ પરમાણુભાર છે.
અહીં $c_v = 0.075 \ kcal/kg \ K = 0.075 \ cal/g \ K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $3 = M_w \times 0.075$.
$M_w = \frac{3}{0.075} = 40 \ g/mol$.

(A) અચળ દબાણે,આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1 \, mole$,$\Delta T = (30 - 20) = 10^{\circ}C$,અને $(\Delta Q)_P = 40 \, cal$ આપેલ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $40 = 1 \times C_P \times 10$,તેથી $C_P = 4 \, cal/(mol \cdot K)$ મળે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_P - C_V = R$ છે.
અહીં $R \approx 2 \, cal/(mol \cdot K)$ લેતા,$C_V = C_P - R = 4 - 2 = 2 \, cal/(mol \cdot K)$ મળે છે.
અચળ કદે,જરૂરી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $(\Delta Q)_V = 1 \times 2 \times 10 = 20 \, cal$.

(D) $1\, g$ હિલિયમ વાયુ માટે,વિશિષ્ટ વાયુ અચળાંક $r = \frac{R}{M_w}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M_w}$,આપણને $r = \frac{PV}{mT}$ મળે છે.
$NTP$ પર,$P = 76\, cm$ ઓફ $Hg = 76 \times 13.6 \times 981\, dyne/cm^2$,$V = 22400\, cm^3$ ($4\, g$ હિલિયમનું કદ),$m = 4\, g$,અને $T = 273\, K$.
આમ,$r = \frac{76 \times 13.6 \times 981 \times 22400}{4 \times 273} \approx 2.08 \times 10^7\, erg\, g^{-1} K^{-1}$.
મેયરના સંબંધ મુજબ,$c_p - c_v = \frac{r}{J}$.
કિંમતો મૂકતા: $c_p - c_v = \frac{2.08 \times 10^7}{4.186 \times 10^7} \approx 0.5\, cal\, g^{-1} K^{-1}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ ગુણોત્તર $\frac{R}{C_v} = 0.67$ છે.
$C_v$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા,આપણને $\frac{R}{R / (\gamma - 1)} = \gamma - 1 = 0.67$ મળે છે.
તેથી,$\gamma = 1.67$ થાય.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{3} \approx 1.67$ છે.
આમ,વાયુ એકપરમાણ્વીય છે.

(A) આપેલ છે: $\mu = 1 \, mole$,$\Delta T = 30^{\circ}C - 20^{\circ}C = 10 \, K$,$(\Delta Q)_p = 40 \, cal$,$R = 2 \, cal \, mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ દબાણે,ઉષ્માનો જથ્થો $(\Delta Q)_p = \mu C_p \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $40 = 1 \times C_p \times 10$,તેથી $C_p = 4 \, cal \, mol^{-1} K^{-1}$ મળે.
મેયરના સંબંધ $C_p - C_v = R$ નો ઉપયોગ કરતા,$C_v = C_p - R = 4 - 2 = 2 \, cal \, mol^{-1} K^{-1}$ મળે.
અચળ કદે,ઉષ્માનો જથ્થો $(\Delta Q)_v = \mu C_v \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\Delta Q)_v = 1 \times 2 \times 10 = 20 \, calories$.

(C) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનું સૂત્ર $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
આપેલ છે કે $C_v = \frac{3R}{2}$,તેથી બંને પદોને સરખાવતા:
$\frac{R}{\gamma - 1} = \frac{3R}{2}$.
બંને બાજુથી $R$ દૂર કરતા,આપણને મળે $\frac{1}{\gamma - 1} = \frac{3}{2}$.
વ્યસ્ત લેતા,$\gamma - 1 = \frac{2}{3}$.
તેથી,$\gamma = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
દશાંશ મૂલ્ય ગણતા,$\gamma \approx 1.67$.

(D) આપેલ છે:
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો તફાવત: $c_p - c_v = 4150 \, J/kg \cdot K$ ... $(i)$
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર: $\gamma = \frac{c_p}{c_v} = 1.4$
આના પરથી,આપણને મળે છે: $c_p = 1.4 c_v$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ ની કિંમત સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા:
$1.4 c_v - c_v = 4150$
$0.4 c_v = 4150$
$c_v = \frac{4150}{0.4}$
$c_v = 10375 \, J/kg \cdot K$
તેથી,અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્મા $10375 \, J/kg \cdot K$ છે.

(A) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઊર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \mu C_v T$ છે,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે,$C_v$ એ અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આદર્શ વાયુ માટે અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $\mu T = \frac{PV}{R}$.
અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\gamma$ એ એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ છે.
આ પદોને આંતરિક ઊર્જાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$U = \mu \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) T = \left( \frac{\mu RT}{\gamma - 1} \right)$.
કારણ કે $\mu RT = PV$,તેથી આપણને $U = \frac{PV}{\gamma - 1}$ મળે છે.

(D) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે અને અચળ દબાણ પર $C_P = \frac{7}{2}R$ છે.
જ્યારે અચળ દબાણે $\Delta Q$ જેટલી ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,ત્યારે આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T$ થાય છે.
આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર $\Delta U = n C_V \Delta T$ છે.
આંતરિક ઊર્જામાં રૂપાંતરિત થતી ઉષ્માનો ભાગ $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{n C_V \Delta T}{n C_P \Delta T} = \frac{C_V}{C_P}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\Delta U}{\Delta Q} = \frac{5/2 R}{7/2 R} = \frac{5}{7}$ મળે છે.

(C) અચળ દબાણે થતી પ્રક્રિયા માટે, આપવી પડતી ઉષ્મા ઊર્જાનું સૂત્ર: $(\Delta Q)_p = \mu C_p \Delta T$ છે.
$H_2$ એ દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ હોવાથી, અચળ દબાણે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \frac{7}{2}R$ થાય.
અહીં, $\mu = 5 \, \text{mole}$, $\Delta T = 60^{\circ}C - 30^{\circ}C = 30 \, K$ અને $R = 2 \, \text{cal/mol} \cdot K$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $(\Delta Q)_p = 5 \times (\frac{7}{2} \times 2) \times 30$.
$(\Delta Q)_p = 5 \times 7 \times 30 = 1050 \, \text{calorie}$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓ વચ્ચેનો સંબંધ $C_p - C_v = R$ છે.
અહીં $C_p = 7.2\,cal/mol/^{\circ}C$ અને $R = 2\,cal/mol/^{\circ}C$ આપેલ છે.
તેથી,$C_v = C_p - R = 7.2 - 2 = 5.2\,cal/mol/^{\circ}C$.
અચળ કદની પ્રક્રિયા (સમકદ પ્રક્રિયા) માટે,આપવી પડતી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_v \Delta T$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 5\,mol$,$C_v = 5.2\,cal/mol/^{\circ}C$,અને $\Delta T = 20^{\circ}C - 10^{\circ}C = 10^{\circ}C$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta Q = 5 \times 5.2 \times 10 = 260\,cal$.
નોંધ: આપેલ સંદર્ભ મુજબ $C_v \approx 5\,cal/mol/^{\circ}C$ લેતા,$\Delta Q = 5 \times 5 \times 10 = 250\,cal$ મળે છે.

(A) અહીં વાયુનું કદ અચળ રહેતું હોવાથી,તાપમાન વધારવા માટે જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા $\Delta Q = n C_V \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
હિલિયમ $(He)$ માટે,મોલર દળ $4\, g/mol$ છે. તેથી,$1\, g$ હિલિયમમાં મોલની સંખ્યા $n = \frac{1}{4}$ થાય.
હિલિયમ એક પરમાણ્વીય વાયુ છે,તેથી અચળ કદે તેની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{3}{2} R$ છે.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = T_2 - T_1$ આપેલ છે,આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\Delta Q = n C_V \Delta T = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{3}{2} R \right) (T_2 - T_1) = \frac{3}{8} R (T_2 - T_1)$.
સંબંધ $R = N_a k_B$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $N_a$ એ એવોગેડ્રો આંક અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,આપણને મળે છે:
$\Delta Q = \frac{3}{8} N_a k_B (T_2 - T_1)$.

(A) અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R$ છે.
$C_v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_p = \frac{f}{2}R + R = R(1 + \frac{f}{2}) = R(\frac{f+2}{2})$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ છે.
સૂત્રોની કિંમત મૂકતા,$\gamma = \frac{R(\frac{f+2}{2})}{\frac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.

(B) અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_p} = \frac{7}{2}R$ આપેલ છે.
મેયરના સંબંધ ${C_p} - {C_V} = R$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ${C_V}$ શોધી શકીએ છીએ.
${C_V} = {C_p} - R = \frac{7}{2}R - R = \frac{5}{2}R$.
અચળ દબાણે વિશિષ્ટ ઉષ્મા અને અચળ કદે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{{C_p}}{{C_V}}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\gamma = \frac{(7/2)R}{(5/2)R} = \frac{7}{5}$.

(C) ધારો કે $C_p$ અને $C_v$ એ આદર્શ વાયુની અનુક્રમે અચળ દબાણ અને અચળ કદ પરની મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C)$ અને એકમ દળ દીઠ વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(c)$ વચ્ચેનો સંબંધ $C = M \times c$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
તેથી,$C_p = M c_p$ અને $C_v = M c_v$ થાય.
આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક જેટલો હોય છે: $C_p - C_v = R$.
$C_p$ અને $C_v$ ના પદો મૂકતા,આપણને મળે છે: $M c_p - M c_v = R$.
બંને બાજુ $M$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $c_p - c_v = R/M$.

(A) આદર્શ વાયુ માટે મેયરના સંબંધ મુજબ,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{P})$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_{V})$ વચ્ચેનો તફાવત સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ જેટલો હોય છે:
$C_{P} - C_{V} = R$
આપેલ છે કે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર છે:
$\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}}$
આના પરથી,આપણે $C_{P}$ ને આ રીતે દર્શાવી શકીએ:
$C_{P} = \gamma C_{V}$
$C_{P}$ માટેના આ પદને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા:
$\gamma C_{V} - C_{V} = R$
$C_{V}$ ને સામાન્ય લેતા:
$C_{V}(\gamma - 1) = R$
$C_{V}$ માટે ઉકેલતા:
$C_{V} = \frac{R}{\gamma - 1}$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે આદર્શ વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_p)$ અને અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $(C_v)$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$C_p - C_v = R$
આપણને એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ આપેલ છે,જેનો અર્થ છે કે $C_p = \gamma C_v$.
આ કિંમતને મેયરના સંબંધમાં મૂકતા:
$\gamma C_v - C_v = R$
$C_v$ ને સામાન્ય લેતા:
$C_v(\gamma - 1) = R$
$C_v$ માટે ઉકેલતા:
$C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$

(C) $n$ સ્વતંત્રતાના અંશો માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{n}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મેયરના સંબંધ મુજબ,આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p - C_v = R$,જેનો અર્થ છે કે $C_p = C_v + R$.
$C_v$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે $C_p = \frac{n}{2}R + R = R\left(\frac{n}{2} + 1\right) = R\left(\frac{n+2}{2}\right)$.
વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$C_p$ અને $C_v$ ના સમીકરણો મૂકતા,આપણને મળે છે $\gamma = \frac{R(\frac{n+2}{2})}{\frac{n}{2}R} = \frac{n+2}{n} = 1 + \frac{2}{n}$.

(D) $CO$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ છે. દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{7}{2}R$ અને અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{5}{2}R$ છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma$ એ $\gamma = \frac{C_P}{C_V}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{7R/2}{5R/2} = \frac{7}{5} = 1.4$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(B) આદર્શ એકપરમાણ્વિય વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{5}{2}R$ અને અચળ કદ પર $C_V = \frac{3}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)_P = n C_P \Delta T = 210 \, J$ છે.
અચળ કદ પર આપેલી ઉષ્મા $(\Delta Q)_V = n C_V \Delta T$ છે.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{(\Delta Q)_V}{(\Delta Q)_P} = \frac{C_V}{C_P} = \frac{\frac{3}{2}R}{\frac{5}{2}R} = \frac{3}{5}$.
તેથી,$(\Delta Q)_V = \frac{3}{5} \times 210 \, J = 126 \, J$.

(C) દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_P = \frac{7}{2}R$ છે.
અચળ દબાણે આપવામાં આવતી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_P \Delta T = n (\frac{7}{2}R) \Delta T$ છે.
અચળ દબાણે વિસ્તરણ દરમિયાન થતું કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = n R \Delta T$ છે.
વિસ્તરણ માટે વપરાતી ઉષ્માનો ભાગ $\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{n R \Delta T}{n (\frac{7}{2}R) \Delta T} = \frac{1}{7/2} = \frac{2}{7}$ થાય.

(D) સમોષ્મી પ્રક્રિયા માટે, દબાણ $P$ અને કદ $V$ વચ્ચેનો સંબંધ $PV^{\gamma} = \text{અચળ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક લેતા, આપણને $\ln(PV^{\gamma}) = \ln(\text{અચળ})$ મળે છે.
આનું સાદું રૂપ $\ln P + \gamma \ln V = \text{અચળ}$ અથવા $\ln P = -\gamma \ln V + \text{અચળ}$ થાય છે.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા, ઢાળ $m$ એ $-\gamma$ ની બરાબર છે.
આપેલ આલેખ પરથી, $B$ માટેના ઢાળનું મૂલ્ય $A$ માટેના ઢાળના મૂલ્ય કરતા વધારે છે, એટલે કે $|\text{slope}_B| > |\text{slope}_A|$.
તેથી, $\gamma_B > \gamma_A$.
એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે સમોષ્મી અચળાંક $\gamma$ નું મૂલ્ય $1.67$ છે અને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે તે $1.4$ છે, તેથી આપણે કહી શકીએ કે વાયુ $B$ એકપરમાણ્વીય છે અને વાયુ $A$ દ્વિપરમાણ્વીય છે.

(A) આપેલ છે: સ્વતંત્રતાના અંશો $f = 6$,કાર્ય $\Delta W = 25 \ J$.
આદર્શ વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = 1 + \frac{2}{6} = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.
અચળ દબાણે,કાર્ય $\Delta W = P \Delta V = nR \Delta T$ થાય.
આપેલી ઉષ્મા $\Delta Q = n C_p \Delta T$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \frac{\gamma R}{\gamma - 1}$.
તેથી,$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{nR \Delta T}{n C_p \Delta T} = \frac{R}{C_p} = \frac{\gamma - 1}{\gamma}$.
$\gamma = \frac{4}{3}$ મૂકતા:
$\frac{\Delta W}{\Delta Q} = \frac{\frac{4}{3} - 1}{\frac{4}{3}} = \frac{1/3}{4/3} = \frac{1}{4}$.
તેથી,$\Delta Q = 4 \times \Delta W = 4 \times 25 \ J = 100 \ J$.

(D) વાયુનો એડિબેટિક બલ્ક મોડ્યુલસ $(B_{ad})$ નીચે મુજબ વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $B_{ad} = -V \frac{dp}{dV}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,દબાણ $(p)$ અને કદ $(V)$ વચ્ચેનો સંબંધ $pV^{\gamma} = \text{અચળ}$ છે.
$V$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{dp}{dV} V^{\gamma} + p \gamma V^{\gamma-1} = 0$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{dp}{dV} = -\gamma \frac{p}{V}$ મળે છે.
આ કિંમત બલ્ક મોડ્યુલસના સૂત્રમાં મૂકતા,$B_{ad} = -V (-\gamma \frac{p}{V}) = \gamma p$ મળે છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે,એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma = 1.4$ છે.
વાતાવરણીય દબાણે,$p = 1.013 \times 10^5 \, Nm^{-2}$ છે.
તેથી,$B_{ad} = 1.4 \times 1.013 \times 10^5 \, Nm^{-2} \approx 1.4 \times 10^5 \, Nm^{-2}$.

(D) $Mayer$ ના સંબંધ મુજબ,મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો તફાવત $C_{p,m} - C_{v,m} = R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકમ દળ દીઠ વિશિષ્ટ ઉષ્મા શોધવા માટે,આપણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માઓને વાયુના મોલર દળ $M$ વડે ભાગીએ છીએ.
નાઈટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M = 28 \ g/mol$ છે.
તેથી,વિશિષ્ટ ઉષ્માનો તફાવત $C_p - C_v = \frac{C_{p,m}}{M} - \frac{C_{v,m}}{M} = \frac{R}{M}$ થાય.
$M = 28$ મૂકતા,આપણને $C_p - C_v = \frac{R}{28}$ મળે છે.

(C) મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C_P$ અને $C_V$ વચ્ચેનો સંબંધ મેયરના સંબંધ દ્વારા આપવામાં આવે છે: $C_P - C_V = R$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $c$ (એકમ દળ દીઠ) એ મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા $C$ સાથે $c = \frac{C}{M}$ સંબંધ દ્વારા જોડાયેલ છે,જ્યાં $M$ એ વાયુનું મોલર દળ છે.
તેથી,$c_P - c_V = \frac{C_P - C_V}{M} = \frac{R}{M}$.
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે,મોલર દળ $M_H = 2 \ g/mol$ છે. તેથી,$a = \frac{R}{2}$.
નાઇટ્રોજન વાયુ $(N_2)$ માટે,મોલર દળ $M_N = 28 \ g/mol$ છે. તેથી,$b = \frac{R}{28}$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{a}{b} = \frac{R/2}{R/28} = \frac{28}{2} = 14$.
તેથી,$a = 14b$.

(B) $1$. મેયરના સંબંધ મુજબ,$C_p - C_v = R$,જ્યાં $R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે. આ મૂલ્ય વાયુની પરમાણ્વીયતાથી સ્વતંત્ર છે.
$2$. ગુણોત્તર $\gamma = C_p/C_v$ એ $1 + 2/f$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે. એકપરમાણ્વીય વાયુ $(f=3)$ માટે,$\gamma = 1.67$. દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ $(f=5)$ માટે,$\gamma = 1.4$. આમ,પરમાણ્વીયતા વધતા $\gamma$ ઘટે છે.
$3$. સરવાળો $C_p + C_v$ ને $C_v(1 + \gamma)$ તરીકે દર્શાવી શકાય છે. કારણ કે $C_v = fR/2$,તેથી $C_p + C_v = (fR/2)(1 + 1 + 2/f) = (fR/2)(2 + 2/f) = R(f + 1)$.
$4$. એકપરમાણ્વીય વાયુ $(f=3)$ માટે,$C_p + C_v = 4R$. દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ $(f=5)$ માટે,$C_p + C_v = 6R$. તેથી,$C_p + C_v$ એ દ્વિપરમાણ્વીય આદર્શ વાયુ માટે મોટું છે.

(A) ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$dQ = dU + dW$.
અચળ કદ ધરાવતા વાયુ માટે,કદમાં ફેરફાર $dV = 0$ છે,તેથી થયેલ કાર્ય $dW = P dV = 0$ થાય છે. આમ,પૂરી પાડવામાં આવેલી બધી ઉષ્મા આંતરિક ઉર્જા વધારવામાં વપરાય છે $(dQ = dU = C_v dT)$.
અચળ દબાણ ધરાવતા વાયુ માટે,જ્યારે ઉષ્મા આપવામાં આવે છે,ત્યારે દબાણ અચળ રાખવા માટે વાયુનું વિસ્તરણ થાય છે. આ વિસ્તરણ માટે વાયુએ બાહ્ય દબાણની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે $(dW = P dV > 0)$.
તેથી,તાપમાનમાં સમાન વધારો $(dT)$ મેળવવા માટે,આંતરિક ઉર્જામાં વધારો અને વિસ્તરણ દરમિયાન થયેલ કાર્ય બંને માટે અચળ દબાણે વધુ ઉષ્મા આપવી પડે છે $(C_p dT = dU + P dV)$.
જેથી $C_p dT > C_v dT$,એટલે કે $C_p > C_v$ સાબિત થાય છે.

(B) અચળ દબાણની પ્રક્રિયા માટે,થયેલ કાર્ય $W = nR \Delta T = 25 \ J$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = \left(1 + \frac{f}{2}\right) R$ છે.
મુક્તિના અંશો $f = 6$ આપેલ હોવાથી,$C_p = \left(1 + \frac{6}{2}\right) R = (1 + 3) R = 4R$ મળે.
વાયુ દ્વારા શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ છે.
$C_p = 4R$ અને $nR \Delta T = 25 \ J$ ની કિંમત મૂકતા,$Q = n(4R) \Delta T = 4(nR \Delta T) = 4 \times 25 \ J = 100 \ J$ મળે છે.

(D) મોલર ઉષ્મા ધારિતા $C$ નું સૂત્ર $C = C_V + \frac{dW}{n dT}$ છે.
આદર્શ વાયુ માટે,$C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$ છે.
$P = \alpha V$ પ્રક્રિયામાં થયેલ કાર્ય $W = \int P dV = \int \alpha V dV = \frac{1}{2} \alpha (V_f^2 - V_i^2) = \frac{1}{2} (P_f V_f - P_i V_i)$ છે.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$W = \frac{1}{2} nR (T_f - T_i) = \frac{1}{2} nR \Delta T$ મળે.
આમ,પ્રતિ મોલ પ્રતિ તાપમાન ફેરફાર દીઠ થયેલ કાર્ય $\frac{W}{n \Delta T} = \frac{R}{2}$ છે.
તેથી,$C = \frac{R}{\gamma - 1} + \frac{R}{2} = R \left( \frac{1}{\gamma - 1} + \frac{1}{2} \right) = \frac{R(\gamma + 1)}{2(\gamma - 1)}$.

(C) અચળ દબાણે,જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા નીચે મુજબ આપવામાં આવે છે:
$Q_{p} = \mu C_{p} \Delta T = 600 \, J$ (આપેલ છે),
જ્યાં $\mu$ એ આદર્શ વાયુના મોલની સંખ્યા છે.
અચળ કદ પર,જરૂરી ઉષ્મા ઊર્જા:
$Q_{v} = \mu C_{v} \Delta T = \mu (C_{p} - R) \Delta T$
કારણ કે $C_{p} - C_{v} = R$,આપણે તેને આ રીતે લખી શકીએ:
$Q_{v} = \mu C_{p} \Delta T - \mu R \Delta T$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$Q_{v} = 600 - (5 \times 8.31 \times 5)$
$Q_{v} = 600 - 207.75 = 392.25 \, J$.

(B) એકપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 3$ છે. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V(\text{mono}) = \frac{3}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_P(\text{mono}) = \frac{5}{2}R$ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુ માટે, મુક્તિના અંશો $f = 5$ છે. અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V(\text{dia}) = \frac{5}{2}R$ અને અચળ દબાણ પર $C_P(\text{dia}) = \frac{7}{2}R$ છે.
કિંમતોની સરખામણી કરતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $C_P(\text{mono}) = \frac{5}{2}R$ અને $C_V(\text{dia}) = \frac{5}{2}R$ છે.
તેથી, સંબંધ $C_P(\text{mono}) = C_V(\text{dia})$ સાચો છે.

(B) અચળ દબાણે,આપેલી ઉષ્મા $Q_P = n C_P \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $Q_P = 310 \ J$,$n = 2 \ moles$,અને $\Delta T = 35 - 25 = 10 \ K$ આપેલ છે.
$310 = 2 \times C_P \times 10 = 20 C_P$.
$C_P = \frac{310}{20} = 15.5 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
સંબંધ $C_P - C_V = R$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $R \approx 8.3 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ છે:
$C_V = C_P - R = 15.5 - 8.3 = 7.2 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
અચળ કદ પર,જરૂરી ઉષ્મા $Q_V = n C_V \Delta T$ છે.
$Q_V = 2 \times 7.2 \times 10 = 144 \ J$.

(D) આપેલ છે કે વિશિષ્ટ ઉષ્માઓનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_v} = 1.4$ અને તફાવત $C_p - C_v = 4150 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$ છે.
ગુણોત્તર પરથી,આપણને મળે છે $C_p = 1.4 C_v$.
આ કિંમતને તફાવતના સમીકરણમાં મૂકતા:
$1.4 C_v - C_v = 4150$
$0.4 C_v = 4150$
$C_v = \frac{4150}{0.4} = 10375 \ J \ kg^{-1} \ K^{-1}$.