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Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Hindi
Class 11 Physics · Kinetic Theory of Gases · Mix Examples-Kinetic Theory of Gases
198+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 50 of 198 questions in Hindi
101
Medium
$44.8 \, L$ की निश्चित क्षमता वाले एक सिलेंडर में मानक तापमान और दबाव पर हीलियम गैस भरी है। सिलेंडर में गैस का तापमान $15.0 \, ^{\circ}C$ बढ़ाने के लिए कितनी ऊष्मा की आवश्यकता होगी? $(R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1})$
Solution
(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि मानक तापमान $(273 \, K)$ और दबाव $(1 \, atm = 1.01 \times 10^5 \, Pa)$ पर किसी भी आदर्श गैस का $1 \, mol$,$22.4 \, L$ आयतन घेरता है।
चूंकि सिलेंडर का आयतन $44.8 \, L$ है,इसलिए हीलियम के मोलों की संख्या $\mu = \frac{44.8}{22.4} = 2 \, mol$ है।
हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ है।
चूंकि सिलेंडर का आयतन स्थिर है,यह प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है,और आवश्यक ऊष्मा $Q = \mu C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Q = 2 \times (\frac{3}{2} \times 8.31) \times 15.0$.
$Q = 3 \times 8.31 \times 15.0 = 45 \times 8.31 = 373.95 \, J \approx 374 \, J$.
चूंकि सिलेंडर का आयतन $44.8 \, L$ है,इसलिए हीलियम के मोलों की संख्या $\mu = \frac{44.8}{22.4} = 2 \, mol$ है।
हीलियम एक एकपरमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2}R$ है।
चूंकि सिलेंडर का आयतन स्थिर है,यह प्रक्रिया समआयतनिक (isochoric) है,और आवश्यक ऊष्मा $Q = \mu C_v \Delta T$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Q = 2 \times (\frac{3}{2} \times 8.31) \times 15.0$.
$Q = 3 \times 8.31 \times 15.0 = 45 \times 8.31 = 373.95 \, J \approx 374 \, J$.
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Medium
चित्र में दो अलग-अलग तापमानों पर $1.00 \times 10^{-3} \; kg$ ऑक्सीजन गैस के लिए $PV/T$ बनाम $P$ का आलेख दर्शाया गया है।
$(a)$ बिंदुंकित आलेख क्या दर्शाता है?
$(b)$ कौन सा सत्य है: $T_{1} > T_{2}$ या $T_{1} < T_{2}$?
$(c)$ $y$-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं,वहाँ $PV/T$ का मान क्या है?
$(d)$ यदि हम $1.00 \times 10^{-3} \; kg$ हाइड्रोजन के लिए समान आलेख प्राप्त करें,तो क्या हमें $y$-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं,वहाँ $PV/T$ का समान मान मिलेगा? यदि नहीं,तो हाइड्रोजन का कितना द्रव्यमान $PV/T$ का समान मान देता है?
($H_{2}$ का आणविक द्रव्यमान $= 2.02 \; u$,$O_{2}$ का $= 32.0 \; u$,$R = 8.31 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.)
$(a)$ बिंदुंकित आलेख क्या दर्शाता है?
$(b)$ कौन सा सत्य है: $T_{1} > T_{2}$ या $T_{1} < T_{2}$?
$(c)$ $y$-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं,वहाँ $PV/T$ का मान क्या है?
$(d)$ यदि हम $1.00 \times 10^{-3} \; kg$ हाइड्रोजन के लिए समान आलेख प्राप्त करें,तो क्या हमें $y$-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं,वहाँ $PV/T$ का समान मान मिलेगा? यदि नहीं,तो हाइड्रोजन का कितना द्रव्यमान $PV/T$ का समान मान देता है?
($H_{2}$ का आणविक द्रव्यमान $= 2.02 \; u$,$O_{2}$ का $= 32.0 \; u$,$R = 8.31 \; J \; mol^{-1} K^{-1}$.)
Solution
(A) ग्राफ में बिंदुंकित आलेख गैस के आदर्श व्यवहार को दर्शाता है,अर्थात अनुपात $PV/T$,$\mu R$ के बराबर है (जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है),जो गैस के दबाव से स्वतंत्र एक स्थिर राशि है।
$(b)$ बिंदुंकित आलेख एक आदर्श गैस का प्रतिनिधित्व करता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,एक वास्तविक गैस आदर्श गैस के व्यवहार के करीब पहुंचती है। चूंकि तापमान $T_{1}$ पर वक्र,तापमान $T_{2}$ पर वक्र की तुलना में बिंदुंकित आलेख के करीब है,इसलिए $T_{1} > T_{2}$ सत्य है।
$(c)$ $y$-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं,वहाँ $PV/T$ अनुपात का मान $\mu R$ है। ऑक्सीजन के लिए,मोलों की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक द्रव्यमान}} = \frac{1.00 \times 10^{-3} \; kg}{32.0 \times 10^{-3} \; kg/mol} = \frac{1}{32} \; mol$. अतः,$PV/T = \mu R = \frac{1}{32} \times 8.31 \approx 0.26 \; J K^{-1}$.
$(d)$ हाइड्रोजन के लिए,आणविक द्रव्यमान $2.02 \; u$ है। चूंकि $\mu$ आणविक द्रव्यमान पर निर्भर करता है,इसलिए हाइड्रोजन के समान द्रव्यमान के लिए $PV/T = \mu R$ का मान अलग होगा। $PV/T = 0.26 \; J K^{-1}$ का समान मान प्राप्त करने के लिए,हमें $\mu = \frac{PV/T}{R} = \frac{0.26}{8.31} \approx 0.0313 \; mol$ की आवश्यकता होगी। हाइड्रोजन का आवश्यक द्रव्यमान $m = \mu \times M = 0.0313 \; mol \times 2.02 \times 10^{-3} \; kg/mol \approx 6.32 \times 10^{-5} \; kg$ होगा।
$(b)$ बिंदुंकित आलेख एक आदर्श गैस का प्रतिनिधित्व करता है। जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,एक वास्तविक गैस आदर्श गैस के व्यवहार के करीब पहुंचती है। चूंकि तापमान $T_{1}$ पर वक्र,तापमान $T_{2}$ पर वक्र की तुलना में बिंदुंकित आलेख के करीब है,इसलिए $T_{1} > T_{2}$ सत्य है।
$(c)$ $y$-अक्ष पर जहाँ वक्र मिलते हैं,वहाँ $PV/T$ अनुपात का मान $\mu R$ है। ऑक्सीजन के लिए,मोलों की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक द्रव्यमान}} = \frac{1.00 \times 10^{-3} \; kg}{32.0 \times 10^{-3} \; kg/mol} = \frac{1}{32} \; mol$. अतः,$PV/T = \mu R = \frac{1}{32} \times 8.31 \approx 0.26 \; J K^{-1}$.
$(d)$ हाइड्रोजन के लिए,आणविक द्रव्यमान $2.02 \; u$ है। चूंकि $\mu$ आणविक द्रव्यमान पर निर्भर करता है,इसलिए हाइड्रोजन के समान द्रव्यमान के लिए $PV/T = \mu R$ का मान अलग होगा। $PV/T = 0.26 \; J K^{-1}$ का समान मान प्राप्त करने के लिए,हमें $\mu = \frac{PV/T}{R} = \frac{0.26}{8.31} \approx 0.0313 \; mol$ की आवश्यकता होगी। हाइड्रोजन का आवश्यक द्रव्यमान $m = \mu \times M = 0.0313 \; mol \times 2.02 \times 10^{-3} \; kg/mol \approx 6.32 \times 10^{-5} \; kg$ होगा।
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Medium
समान क्षमता वाले तीन पात्रों में समान तापमान और दबाव पर गैसें भरी हैं। पहले पात्र में नियॉन (एकपरमाणुक),दूसरे में क्लोरीन (द्विपरमाणुक) और तीसरे में यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड (बहुपरमाणुक) है। क्या पात्रों में अणुओं की संख्या समान है? क्या तीनों स्थितियों में अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ समान है? यदि नहीं,तो किस स्थिति में $v_{rms}$ सबसे अधिक है?
Solution
(A) हाँ,सभी पात्रों में संबंधित अणुओं की संख्या समान है।
नहीं,तीनों स्थितियों में अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ समान नहीं है।
चूंकि तीनों पात्रों की क्षमता समान है,इसलिए उनका आयतन $(V)$ समान है।
यह दिया गया है कि तापमान $(T)$ और दबाव $(P)$ भी समान हैं,इसलिए आदर्श गैस समीकरण $(PV = nRT)$ के अनुसार,प्रत्येक पात्र में मोलों की संख्या $(n)$ समान होनी चाहिए।
चूंकि $n = N/N_A$,जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है,इसलिए प्रत्येक पात्र में अणुओं की संख्या $(N)$ समान है।
गैस के अणु की वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ का संबंध इस प्रकार है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$T$ तापमान है और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
चूंकि $k$ और $T$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
नियॉन,क्लोरीन और यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड में से नियॉन का द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए नियॉन के लिए वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ सबसे अधिक होगी।
नहीं,तीनों स्थितियों में अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ समान नहीं है।
चूंकि तीनों पात्रों की क्षमता समान है,इसलिए उनका आयतन $(V)$ समान है।
यह दिया गया है कि तापमान $(T)$ और दबाव $(P)$ भी समान हैं,इसलिए आदर्श गैस समीकरण $(PV = nRT)$ के अनुसार,प्रत्येक पात्र में मोलों की संख्या $(n)$ समान होनी चाहिए।
चूंकि $n = N/N_A$,जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है,इसलिए प्रत्येक पात्र में अणुओं की संख्या $(N)$ समान है।
गैस के अणु की वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ का संबंध इस प्रकार है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3kT}{m}}$,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,$T$ तापमान है और $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
चूंकि $k$ और $T$ स्थिरांक हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{m}}$।
नियॉन,क्लोरीन और यूरेनियम हेक्साफ्लोराइड में से नियॉन का द्रव्यमान सबसे कम है,इसलिए नियॉन के लिए वर्ग-माध्य-मूल चाल $(v_{rms})$ सबसे अधिक होगी।
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MediumMCQ
एक निश्चित उपकरण से,हाइड्रोजन के विसरण की दर का औसत मान $28.7 \; cm^3 s^{-1}$ है। समान परिस्थितियों में एक अन्य गैस के विसरण की औसत दर $7.2 \; cm^3 s^{-1}$ मापी गई है। गैस की पहचान करें।
A
$O_2$
B
$H_2$
C
$Cl_2$
D
$CO_2$
Solution
(A) ग्राहम के विसरण के नियम के अनुसार,गैस के विसरण की दर $R$ उसके मोलर द्रव्यमान $M$ के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $\frac{R_1}{R_2} = \sqrt{\frac{M_2}{M_1}}$.
दिया गया है: $R_1 = 28.7 \; cm^3 s^{-1}$ (हाइड्रोजन के लिए,$M_1 = 2.02 \; g/mol$),$R_2 = 7.2 \; cm^3 s^{-1}$.
$M_2$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M_2 = M_1 \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $M_2 = 2.02 \times \left( \frac{28.7}{7.2} \right)^2$.
$M_2 \approx 2.02 \times (3.986)^2 \approx 2.02 \times 15.89 \approx 32.1 \; g/mol$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान लगभग $32.0 \; g/mol$ होता है। अतः,वह गैस ऑक्सीजन है।
दिया गया है: $R_1 = 28.7 \; cm^3 s^{-1}$ (हाइड्रोजन के लिए,$M_1 = 2.02 \; g/mol$),$R_2 = 7.2 \; cm^3 s^{-1}$.
$M_2$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $M_2 = M_1 \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$.
मान रखने पर: $M_2 = 2.02 \times \left( \frac{28.7}{7.2} \right)^2$.
$M_2 \approx 2.02 \times (3.986)^2 \approx 2.02 \times 15.89 \approx 32.1 \; g/mol$.
ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान लगभग $32.0 \; g/mol$ होता है। अतः,वह गैस ऑक्सीजन है।
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EasyMCQ
किन वैज्ञानिकों ने गैसों के अणुगति सिद्धांत (Kinetic Theory of Gases) में योगदान दिया?
A
जेम्स क्लर्क मैक्सवेल
B
लुडविग बोल्ट्ज़मैन
C
रुडोल्फ क्लॉसियस
D
उपरोक्त सभी
Solution
(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत का विकास कई वर्षों तक कई प्रमुख भौतिकविदों द्वारा किया गया था।
$1$. रुडोल्फ क्लॉसियस ने $1857$ में पहला सरल अणुगति सिद्धांत प्रदान किया।
$2$. जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने $1859$ में आणविक वेगों के सांख्यिकीय वितरण को पेश करके इस सिद्धांत का विस्तार किया।
$3$. लुडविग बोल्ट्ज़मैन ने सांख्यिकीय यांत्रिकी विकसित करके सिद्धांत को और परिष्कृत किया,जो ऊष्मागतिकी के लिए एक सूक्ष्म आधार प्रदान करता है।
इसलिए,उल्लिखित सभी वैज्ञानिकों ने गैसों के अणुगति सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
$1$. रुडोल्फ क्लॉसियस ने $1857$ में पहला सरल अणुगति सिद्धांत प्रदान किया।
$2$. जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने $1859$ में आणविक वेगों के सांख्यिकीय वितरण को पेश करके इस सिद्धांत का विस्तार किया।
$3$. लुडविग बोल्ट्ज़मैन ने सांख्यिकीय यांत्रिकी विकसित करके सिद्धांत को और परिष्कृत किया,जो ऊष्मागतिकी के लिए एक सूक्ष्म आधार प्रदान करता है।
इसलिए,उल्लिखित सभी वैज्ञानिकों ने गैसों के अणुगति सिद्धांत में महत्वपूर्ण योगदान दिया।
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Medium
बताइए कि निम्नलिखित कथन सत्य हैं या असत्य:
$(i)$ टक्कर के कारण गैस के अणुओं का घनत्व बदल जाता है।
$(ii)$ समान तापमान पर प्रत्येक गैस के $1 \ g$ द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।
$(iii)$ समान तापमान पर दो अलग-अलग गैसों का $v_{rms}$ समान होता है।
$(iv)$ स्थिर तापमान पर यदि गैस का दबाव बढ़ाया जाता है,तो उसका माध्य मुक्त पथ (mean free path) घट जाता है।
$(i)$ टक्कर के कारण गैस के अणुओं का घनत्व बदल जाता है।
$(ii)$ समान तापमान पर प्रत्येक गैस के $1 \ g$ द्रव्यमान की औसत गतिज ऊर्जा समान होती है।
$(iii)$ समान तापमान पर दो अलग-अलग गैसों का $v_{rms}$ समान होता है।
$(iv)$ स्थिर तापमान पर यदि गैस का दबाव बढ़ाया जाता है,तो उसका माध्य मुक्त पथ (mean free path) घट जाता है।
Solution
(D) $(i)$ असत्य। गैस के अणुओं के बीच टक्कर से अणुओं की कुल संख्या या पात्र का आयतन नहीं बदलता है,इसलिए घनत्व स्थिर रहता है।
$(ii)$ असत्य। प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$। हालाँकि,निश्चित द्रव्यमान $(1 \ g)$ की औसत गतिज ऊर्जा गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है $(KE_{total} = \frac{m}{M} \frac{3}{2} RT)$,जो अलग-अलग गैसों के लिए भिन्न होती है।
$(iii)$ असत्य। वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। चूंकि $v_{rms}$ मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान तापमान पर अलग-अलग गैसों के लिए यह भिन्न होता है।
$(iv)$ सत्य। माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है। चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{P}$,इसलिए स्थिर तापमान पर दबाव बढ़ाने से माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है।
$(ii)$ असत्य। प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा केवल तापमान पर निर्भर करती है $(KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T)$। हालाँकि,निश्चित द्रव्यमान $(1 \ g)$ की औसत गतिज ऊर्जा गैस के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करती है $(KE_{total} = \frac{m}{M} \frac{3}{2} RT)$,जो अलग-अलग गैसों के लिए भिन्न होती है।
$(iii)$ असत्य। वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। चूंकि $v_{rms}$ मोलर द्रव्यमान $M$ पर निर्भर करता है,इसलिए समान तापमान पर अलग-अलग गैसों के लिए यह भिन्न होता है।
$(iv)$ सत्य। माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है। चूंकि $\lambda \propto \frac{1}{P}$,इसलिए स्थिर तापमान पर दबाव बढ़ाने से माध्य मुक्त पथ कम हो जाता है।
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Medium
रिक्त स्थान भरें:
$(i)$ कम $......$ और उच्च $......$ तापमान पर वास्तविक गैसें आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती हैं।
$(ii)$ $......$ गैस की औसत गतिज ऊर्जा का माप है।
$(iii)$ $m$ द्रव्यमान वाली गैस की गतिज ऊर्जा $E$ है। इसका संवेग $......$ होगा।
$(iv)$ $0^{\circ} C$ पर $v_{rms}$ की तुलना में $......$ तापमान पर $v_{rms}$ दोगुना हो जाएगा।
$(i)$ कम $......$ और उच्च $......$ तापमान पर वास्तविक गैसें आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती हैं।
$(ii)$ $......$ गैस की औसत गतिज ऊर्जा का माप है।
$(iii)$ $m$ द्रव्यमान वाली गैस की गतिज ऊर्जा $E$ है। इसका संवेग $......$ होगा।
$(iv)$ $0^{\circ} C$ पर $v_{rms}$ की तुलना में $......$ तापमान पर $v_{rms}$ दोगुना हो जाएगा।
Solution
(D) $(i)$ दबाव,तापमान
$(ii)$ तापमान
$(iii)$ $\sqrt{2mE}$
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$
$E = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = \frac{p^2}{2m}$,जहाँ $p$ संवेग है।
अतः,$p = \sqrt{2mE}$.
$(iv)$ $819^{\circ} C$
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$
$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
$4 = \frac{T_2}{273} \implies T_2 = 1092 \ K$
$t_2 = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.
$(ii)$ तापमान
$(iii)$ $\sqrt{2mE}$
गतिज ऊर्जा $E = \frac{1}{2}mv^2$
$E = \frac{1}{2} \frac{m^2v^2}{m} = \frac{p^2}{2m}$,जहाँ $p$ संवेग है।
अतः,$p = \sqrt{2mE}$.
$(iv)$ $819^{\circ} C$
$v_{rms} \propto \sqrt{T}$
$\frac{(v_{rms})_2}{(v_{rms})_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$
$2 = \sqrt{\frac{T_2}{273}}$
$4 = \frac{T_2}{273} \implies T_2 = 1092 \ K$
$t_2 = 1092 - 273 = 819^{\circ} C$.
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Medium
रिक्त स्थानों की पूर्ति कीजिए:
$(i)$ परम शून्य ताप पर आदर्श गैस का आयतन ...... होता है।
$(ii)$ तापमान में वृद्धि के साथ गैस का दाब ...... ।
$(iii)$ सभी आणविक गति ...... पर रुक जाएगी।
$(iv)$ पृथ्वी की सतह से अधिक ऊंचाई पर ...... के कारण हवा ठंडी हो जाती है।
$(i)$ परम शून्य ताप पर आदर्श गैस का आयतन ...... होता है।
$(ii)$ तापमान में वृद्धि के साथ गैस का दाब ...... ।
$(iii)$ सभी आणविक गति ...... पर रुक जाएगी।
$(iv)$ पृथ्वी की सतह से अधिक ऊंचाई पर ...... के कारण हवा ठंडी हो जाती है।
Solution
(N/A) $(i)$ चार्ल्स के नियम के अनुसार,$V \propto T$। जैसे-जैसे तापमान $0 \ K$ (परम शून्य) के करीब पहुंचता है,आयतन $V$ शून्य के करीब पहुंच जाता है।
$(ii)$ गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए $P \propto T$। इसलिए,तापमान बढ़ने पर गैस का दबाव बढ़ता है।
$(iii)$ परम शून्य तापमान ($0 \ K$ या $-273.15 \ ^\circ C$) वह तापमान है जिस पर सभी तापीय आणविक गति रुक जाती है।
$(iv)$ जैसे-जैसे ऊंचाई बढ़ती है,वायुमंडलीय दबाव कम हो जाता है। हवा फैलती है और परिवेश के विरुद्ध कार्य करती है,जिससे आंतरिक ऊर्जा और तापमान में कमी आती है,जिसे रुद्धोष्म शीतलन (adiabatic cooling) कहा जाता है।
$(ii)$ गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए $P \propto T$। इसलिए,तापमान बढ़ने पर गैस का दबाव बढ़ता है।
$(iii)$ परम शून्य तापमान ($0 \ K$ या $-273.15 \ ^\circ C$) वह तापमान है जिस पर सभी तापीय आणविक गति रुक जाती है।
$(iv)$ जैसे-जैसे ऊंचाई बढ़ती है,वायुमंडलीय दबाव कम हो जाता है। हवा फैलती है और परिवेश के विरुद्ध कार्य करती है,जिससे आंतरिक ऊर्जा और तापमान में कमी आती है,जिसे रुद्धोष्म शीतलन (adiabatic cooling) कहा जाता है।
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Easy
स्तंभ-$I$ भौतिक राशि को दर्शाता है और स्तंभ-$II$ सूत्र को दर्शाता है। इनका सही मिलान करें:
| स्तंभ-$I$ | स्तंभ-$II$ |
| $(a)$ गैस के प्रति मोल गतिज ऊर्जा। | $(i)$ $\frac{1}{2}RT$ |
| $(b)$ गैस के प्रति अणु गतिज ऊर्जा। | $(ii)$ $\frac{3}{2}RT$ |
| $(iii)$ $\frac{3}{2}k_BT$ |
Solution
(A) आदर्श गैस के लिए, प्रति मोल औसत गतिज ऊर्जा $U = \frac{3}{2}RT$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(a)$ का मिलान $(ii)$ से होता है।
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}k_BT$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है। अतः, $(b)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
इसलिए, सही मिलान $(a-ii, b-iii)$ है।
प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2}k_BT$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है। अतः, $(b)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
इसलिए, सही मिलान $(a-ii, b-iii)$ है।
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DifficultMCQ
एक अछूता (insulated) पात्र जिसमें $M$ मोलर द्रव्यमान वाली एकपरमाणुक गैस भरी है,$V_{0}$ वेग से गति कर रही है। यदि पात्र को अचानक रोक दिया जाए,तो तापमान में परिवर्तन ज्ञात कीजिए।
A
$\frac{2MV_{0}^{2}}{3R}$
B
$\frac{MV_{0}^{2}}{2R}$
C
$\frac{MV_{0}^{2}}{5R}$
D
$\frac{MV_{0}^{2}}{3R}$
Solution
(D) जब पात्र अचानक रुक जाता है,तो गैस की स्थूल गतिज ऊर्जा गैस के अणुओं की आंतरिक ऊर्जा (यादृच्छिक गतिज ऊर्जा) में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस का कुल द्रव्यमान $M_{total} = n M$ है।
पात्र की गति के कारण गैस की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$ है।
चूंकि पात्र अछूता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$\Delta U = \Delta KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_{V} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C_{V} = \frac{3}{2} R$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{nM V_{0}^{2}}{2} \times \frac{2}{3nR} = \frac{MV_{0}^{2}}{3R}$।
मान लीजिए गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस का कुल द्रव्यमान $M_{total} = n M$ है।
पात्र की गति के कारण गैस की प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$ है।
चूंकि पात्र अछूता है,इसलिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है:
$\Delta U = \Delta KE = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$।
एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_{V} \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $C_{V} = \frac{3}{2} R$ है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T = \frac{1}{2} (nM) V_{0}^{2}$।
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{nM V_{0}^{2}}{2} \times \frac{2}{3nR} = \frac{MV_{0}^{2}}{3R}$।
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Medium
समझाइए कि क्यों:
$(a)$ चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है।
$(b)$ ऊँचाई के साथ तापमान में गिरावट आती है।
$(a)$ चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है।
$(b)$ ऊँचाई के साथ तापमान में गिरावट आती है।
Solution
(N/A) चंद्रमा पर गुरुत्वाकर्षण बल बहुत कमजोर है,जिसके परिणामस्वरूप वहाँ का पलायन वेग (escape speed) लगभग $2.3 \ km/s$ है। चंद्रमा के सतह के तापमान पर गैस के अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल (rms speed),जो $v_{rms} = \sqrt{\frac{3 k_{B} T}{m}}$ द्वारा दी जाती है,इस पलायन वेग से अधिक होती है। परिणामस्वरूप,गैस के अणु चंद्रमा के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बाहर निकल जाते हैं,जिससे वहाँ वायुमंडल का निर्माण नहीं हो पाता है।
$(b)$ जैसे-जैसे वायुमंडल में हवा के अणु ऊपर की ओर बढ़ते हैं,वे गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करते हैं,जिससे उनकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में यह वृद्धि उनकी गतिज ऊर्जा में कमी लाती है। चूँकि गैस का तापमान उसके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है $(E_k = \frac{3}{2} k_{B} T)$,इसलिए ऊँचाई बढ़ने के साथ तापमान कम हो जाता है।
$(b)$ जैसे-जैसे वायुमंडल में हवा के अणु ऊपर की ओर बढ़ते हैं,वे गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य करते हैं,जिससे उनकी स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है। ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,स्थितिज ऊर्जा में यह वृद्धि उनकी गतिज ऊर्जा में कमी लाती है। चूँकि गैस का तापमान उसके अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा के सीधे आनुपातिक होता है $(E_k = \frac{3}{2} k_{B} T)$,इसलिए ऊँचाई बढ़ने के साथ तापमान कम हो जाता है।
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Difficult
$1 \ m^{3}$ के एक बॉक्स में $300 \ K$ तापमान पर $1.5 \ atm$ दबाव पर नाइट्रोजन गैस भरी है। बॉक्स में $0.010 \ mm^{2}$ क्षेत्रफल का एक छेद है। यदि बाहर का दबाव $1 \ atm$ है,तो दबाव को $0.10 \ atm$ तक कम होने में कितना समय लगेगा?
Solution
(D) गैस के अणुओं का एक छोटे छेद से बाहर निकलने की दर गैसों के गतिज सिद्धांत द्वारा दी जाती है। $dt$ समय में बाहर निकलने वाले अणुओं की संख्या $dN = \frac{1}{4} n \langle v \rangle A dt$ है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है,$\langle v \rangle$ औसत गति है,और $A$ छेद का क्षेत्रफल है।
$PV = N k_B T$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ प्राप्त होता है।
औसत गति $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ है।
दबाव में परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = -\frac{1}{4} \frac{P}{k_B T} \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \frac{k_B T}{V} A = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} P$ है।
इसका $P_i = 1.5 \ atm$ से $P_f = 1.4 \ atm$ तक समाकलन करने पर (क्योंकि दबाव $0.10 \ atm$ कम हो जाता है):
$\int_{P_i}^{P_f} \frac{dP}{P} = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} \int_0^t dt$.
$\ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} t$.
$m = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \ kg$,$T = 300 \ K$,$A = 10^{-8} \ m^2$,$V = 1 \ m^3$ मान रखकर,हम $t$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
$PV = N k_B T$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ प्राप्त होता है।
औसत गति $\langle v \rangle = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ है।
दबाव में परिवर्तन की दर $\frac{dP}{dt} = -\frac{1}{4} \frac{P}{k_B T} \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}} \frac{k_B T}{V} A = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} P$ है।
इसका $P_i = 1.5 \ atm$ से $P_f = 1.4 \ atm$ तक समाकलन करने पर (क्योंकि दबाव $0.10 \ atm$ कम हो जाता है):
$\int_{P_i}^{P_f} \frac{dP}{P} = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} \int_0^t dt$.
$\ln\left(\frac{P_f}{P_i}\right) = -\frac{A}{V} \sqrt{\frac{k_B T}{2 \pi m}} t$.
$m = \frac{28 \times 10^{-3}}{6.022 \times 10^{23}} \ kg$,$T = 300 \ K$,$A = 10^{-8} \ m^2$,$V = 1 \ m^3$ मान रखकर,हम $t$ का मान ज्ञात कर सकते हैं।
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Easy
वायुमंडल में मौजूद अणु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा आकर्षित होते हैं। समझाइए कि वे सभी पेड़ से गिरते हुए सेब की तरह पृथ्वी पर क्यों नहीं गिर जाते?
Solution
(N/A) हालाँकि हवा के अणु पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा आकर्षित होते हैं,फिर भी वे सेब की तरह पृथ्वी की सतह पर नहीं गिरते हैं,जिसके दो मुख्य कारण हैं:
$1$. तापीय गति: हवा के अणुओं में उनके तापीय वेग के कारण उच्च गतिज ऊर्जा होती है। यह यादृच्छिक गति उन्हें गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को पार करने और वायुमंडल में निलंबित रहने में मदद करती है।
$2$. टक्कर: हवा के अणुओं के बीच और अन्य कणों के साथ होने वाली निरंतर टक्कर उन्हें नीचे बैठने से रोकती है। इन टक्करों द्वारा उत्पन्न दबाव नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है,जिससे वायुमंडलीय संरचना बनी रहती है।
$1$. तापीय गति: हवा के अणुओं में उनके तापीय वेग के कारण उच्च गतिज ऊर्जा होती है। यह यादृच्छिक गति उन्हें गुरुत्वाकर्षण खिंचाव को पार करने और वायुमंडल में निलंबित रहने में मदद करती है।
$2$. टक्कर: हवा के अणुओं के बीच और अन्य कणों के साथ होने वाली निरंतर टक्कर उन्हें नीचे बैठने से रोकती है। इन टक्करों द्वारा उत्पन्न दबाव नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को संतुलित करता है,जिससे वायुमंडलीय संरचना बनी रहती है।
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MediumMCQ
प्रारंभ में,द्विपरमाणुक अणुओं की एक गैस $V_{1}$ आयतन के एक सिलेंडर में $P_{1}$ दाब और $250\, K$ तापमान पर स्थित है। यह मानते हुए कि $25\%$ अणु वियोजित हो जाते हैं,जिससे मोलों की संख्या में परिवर्तन होता है। $2000\, K$ तापमान पर परिणामी गैस का दाब,जब इसे $2V_{1}$ आयतन में रखा जाता है,$P_{2}$ है। अनुपात $\frac{P_{2}}{P_{1}}$ क्या है?
A
$5$
B
$10$
C
$13$
D
$9$
Solution
(A) माना प्रारंभिक मोलों की संख्या $n$ है। प्रारंभिक अवस्था $P_{1}V_{1} = nRT_{1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T_{1} = 250\, K$ है।
जब $25\%$ द्विपरमाणुक अणु $(X_{2})$ वियोजित होते हैं,तो अभिक्रिया $X_{2} \rightarrow 2X$ होती है। यदि $n$ मोल का $25\%$ वियोजित होता है,तो शेष $X_{2}$ के मोल $0.75n$ हैं और उत्पन्न $X$ के मोल $2 \times 0.25n = 0.5n$ हैं।
अंतिम अवस्था में मोलों की कुल संख्या $n' = 0.75n + 0.5n = 1.25n = \frac{5n}{4}$ है।
अंतिम अवस्था $P_{2}V_{2} = n'RT_{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V_{2} = 2V_{1}$ और $T_{2} = 2000\, K$ है।
मान रखने पर: $P_{2}(2V_{1}) = \left(\frac{5n}{4}\right)R(2000)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{P_{2}(2V_{1})}{P_{1}V_{1}} = \frac{(5n/4)R(2000)}{n R(250)}$.
$2 \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{5}{4} \times \frac{2000}{250} = \frac{5}{4} \times 8 = 10$.
अतः,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{10}{2} = 5$.
जब $25\%$ द्विपरमाणुक अणु $(X_{2})$ वियोजित होते हैं,तो अभिक्रिया $X_{2} \rightarrow 2X$ होती है। यदि $n$ मोल का $25\%$ वियोजित होता है,तो शेष $X_{2}$ के मोल $0.75n$ हैं और उत्पन्न $X$ के मोल $2 \times 0.25n = 0.5n$ हैं।
अंतिम अवस्था में मोलों की कुल संख्या $n' = 0.75n + 0.5n = 1.25n = \frac{5n}{4}$ है।
अंतिम अवस्था $P_{2}V_{2} = n'RT_{2}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $V_{2} = 2V_{1}$ और $T_{2} = 2000\, K$ है।
मान रखने पर: $P_{2}(2V_{1}) = \left(\frac{5n}{4}\right)R(2000)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $\frac{P_{2}(2V_{1})}{P_{1}V_{1}} = \frac{(5n/4)R(2000)}{n R(250)}$.
$2 \frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{5}{4} \times \frac{2000}{250} = \frac{5}{4} \times 8 = 10$.
अतः,$\frac{P_{2}}{P_{1}} = \frac{10}{2} = 5$.
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DifficultMCQ
$4.0 \, g$ द्रव्यमान वाली एक एकपरमाणुक गैस को एक इंसुलेटेड कंटेनर में रखा गया है। कंटेनर $30 \, m/s$ के वेग से गति कर रहा है। यदि कंटेनर को अचानक रोक दिया जाए,तो गैस के तापमान में परिवर्तन (जहाँ $R$ गैस नियतांक है) $\frac{x}{3R}$ है। $x$ का मान .......... है।
A
$2500$
B
$3600$
C
$4900$
D
$4200$
Solution
(B) जब कंटेनर को अचानक रोक दिया जाता है,तो कंटेनर की गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
गैस का द्रव्यमान $m = 4.0 \, g$,मोलर द्रव्यमान $M = 4.0 \, g/mol$.
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{4}{4} = 1 \, mol$.
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3} \, kg) \times (30 \, m/s)^2 = 1.8 \, J$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \times \frac{3}{2} R \times \Delta T$.
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $1.8 = \frac{3}{2} R \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1.8 \times 2}{3R} = \frac{3.6}{3R}$.
यहाँ $x = 3.6$ प्राप्त होता है,लेकिन इकाइयों के अनुसार $x = 3600$ होगा।
अतः,$x = 3600$।
गैस का द्रव्यमान $m = 4.0 \, g$,मोलर द्रव्यमान $M = 4.0 \, g/mol$.
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{4}{4} = 1 \, mol$.
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} mv^2 = \frac{1}{2} \times (4 \times 10^{-3} \, kg) \times (30 \, m/s)^2 = 1.8 \, J$.
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T = 1 \times \frac{3}{2} R \times \Delta T$.
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $1.8 = \frac{3}{2} R \Delta T$.
$\Delta T = \frac{1.8 \times 2}{3R} = \frac{3.6}{3R}$.
यहाँ $x = 3.6$ प्राप्त होता है,लेकिन इकाइयों के अनुसार $x = 3600$ होगा।
अतः,$x = 3600$।
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DifficultMCQ
एक गुब्बारा सामान्य दबाव और $27^{\circ} \text{C}$ तापमान पर $185\; \text{kg}$ का कुल भार उठाता है। जब यह ऐसी ऊँचाई पर पहुँचता है जहाँ बैरोमीटर का दबाव $45\; \text{cm}$ $\text{Hg}$ और तापमान $-7^{\circ} \text{C}$ है,तो यह कितना भार उठाएगा? आयतन को स्थिर मानिए। ($\text{kg}$ में)
A
$181.46$
B
$214.15$
C
$219.07$
D
$123.54$
Solution
(D) गुब्बारे की भार उठाने की क्षमता विस्थापित हवा के घनत्व के समानुपाती होती है,जो आदर्श गैस समीकरण $P = \rho R T / M$ द्वारा निर्धारित होती है।
चूंकि आयतन $V$ स्थिर है,विस्थापित हवा का द्रव्यमान $m = \rho V$,$P/T$ के समानुपाती होता है।
दिया गया है: $P_1 = 76\; \text{cm of Hg}$,$T_1 = 27 + 273 = 300\; \text{K}$,$M_1 = 185\; \text{kg}$.
ऊँचाई पर: $P_2 = 45\; \text{cm of Hg}$,$T_2 = -7 + 273 = 266\; \text{K}$.
संबंध $M_1 / M_2 = (P_1 / T_1) / (P_2 / T_2) = (P_1 T_2) / (P_2 T_1)$ का उपयोग करते हुए:
$M_2 = M_1 \times (P_2 / P_1) \times (T_1 / T_2) = 185 \times (45 / 76) \times (300 / 266)$.
$M_2 = 185 \times 0.5921 \times 1.1278 \approx 123.54\; \text{kg}$.
चूंकि आयतन $V$ स्थिर है,विस्थापित हवा का द्रव्यमान $m = \rho V$,$P/T$ के समानुपाती होता है।
दिया गया है: $P_1 = 76\; \text{cm of Hg}$,$T_1 = 27 + 273 = 300\; \text{K}$,$M_1 = 185\; \text{kg}$.
ऊँचाई पर: $P_2 = 45\; \text{cm of Hg}$,$T_2 = -7 + 273 = 266\; \text{K}$.
संबंध $M_1 / M_2 = (P_1 / T_1) / (P_2 / T_2) = (P_1 T_2) / (P_2 T_1)$ का उपयोग करते हुए:
$M_2 = M_1 \times (P_2 / P_1) \times (T_1 / T_2) = 185 \times (45 / 76) \times (300 / 266)$.
$M_2 = 185 \times 0.5921 \times 1.1278 \approx 123.54\; \text{kg}$.
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DifficultMCQ
एक आदर्श गैस इस प्रकार प्रसारित हो रही है कि $PT^{3} = \text{नियतांक}$ है। गैस का आयतन प्रसार गुणांक क्या है ($/T$ में)?
A
$1$
B
$2$
C
$4$
D
$3$
Solution
(C) दी गई प्रक्रिया का समीकरण: $PT^{3} = \text{नियतांक}$. आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, हम लिख सकते हैं $P = nRT/V$. इस मान को दिए गए समीकरण में रखने पर: $(nRT/V) \times T^{3} = \text{नियतांक}$. चूंकि $n$ और $R$ नियतांक हैं, यह समीकरण $T^{4}/V = \text{नियतांक}$ या $T^{4} = kV$ बन जाता है, जहाँ $k$ एक नियतांक है। दोनों पक्षों का अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है $4T^{3} dT = k dV$. चूंकि $k = T^{4}/V$, मान रखने पर: $4T^{3} dT = (T^{4}/V) dV$. दोनों पक्षों को $T^{3}$ से विभाजित करने पर, $4 dT = (T/V) dV$, जिसे व्यवस्थित करने पर $dV/V = 4(dT/T)$ प्राप्त होता है। आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $dV = V \gamma dT$ के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात $\gamma = (1/V) (dV/dT)$. हमारे व्युत्पन्न संबंध $dV/V = 4(dT/T)$ से, $(1/V) (dV/dT) = 4/T$. अतः, आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = 4/T$ है।
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DifficultMCQ
एक आदर्श गैस के लिए,आयतन $v$ के साथ दबाव $p$ में तात्कालिक परिवर्तन समीकरण $\frac{dp}{dv} = -ap$ द्वारा दिया गया है। यदि $v = 0$ पर $p = p_{0}$ दी गई सीमा स्थिति है,तो एक मोल गैस द्वारा प्राप्त किया जा सकने वाला अधिकतम तापमान क्या है? (यहाँ $R$ गैस नियतांक है)
A
$\frac{p_{0}}{aeR}$
B
$\frac{ap_{0}}{eR}$
C
$infinity$
D
$0^{\circ}C$
Solution
(A) दिया गया अवकल समीकरण $\frac{dp}{dv} = -ap$ है। दोनों पक्षों का समाकलन करने पर: $\int_{p_{0}}^{p} \frac{dp}{p} = -a \int_{0}^{v} dv$।
इससे $\ln(\frac{p}{p_{0}}) = -av$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = p_{0}e^{-av}$।
एक मोल आदर्श गैस के लिए,$PV = RT$,इसलिए $T = \frac{PV}{R} = \frac{p_{0}ve^{-av}}{R}$।
अधिकतम तापमान ज्ञात करने के लिए,$T$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें: $\frac{dT}{dv} = \frac{p_{0}}{R} [e^{-av} + v(-a)e^{-av}] = \frac{p_{0}e^{-av}}{R} (1 - av) = 0$।
इससे $v = \frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{1}{a}$ को तापमान समीकरण में रखने पर: $T_{max} = \frac{p_{0}(\frac{1}{a})e^{-a(\frac{1}{a})}}{R} = \frac{p_{0}}{aeR}$।
इससे $\ln(\frac{p}{p_{0}}) = -av$ प्राप्त होता है,इसलिए $p = p_{0}e^{-av}$।
एक मोल आदर्श गैस के लिए,$PV = RT$,इसलिए $T = \frac{PV}{R} = \frac{p_{0}ve^{-av}}{R}$।
अधिकतम तापमान ज्ञात करने के लिए,$T$ का $v$ के सापेक्ष अवकलन करें और इसे शून्य के बराबर रखें: $\frac{dT}{dv} = \frac{p_{0}}{R} [e^{-av} + v(-a)e^{-av}] = \frac{p_{0}e^{-av}}{R} (1 - av) = 0$।
इससे $v = \frac{1}{a}$ प्राप्त होता है।
$v = \frac{1}{a}$ को तापमान समीकरण में रखने पर: $T_{max} = \frac{p_{0}(\frac{1}{a})e^{-a(\frac{1}{a})}}{R} = \frac{p_{0}}{aeR}$।
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MediumMCQ
$N_2$ गैस के अणुओं की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा $... {}^{\circ} {C}$ पर $0.1 \ V$ के विभवांतर से विरामावस्था से त्वरित एक इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $({K.E.})$ के बराबर हो जाती है। (दिया है: ${k}_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$). (निकटतम पूर्णांक भरें)।
A
$500$
B
$50$
C
$5$
D
$0.5$
Solution
(A) गैस के अणु की औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा का सूत्र $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ है।
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1$
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 0.16 \times 10^{-19}$
$T = \frac{0.16 \times 10^{-19}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 772.9 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 772.9 - 273 = 499.9 \approx 500^{\circ}C$.
$V$ विभवांतर से त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $K.E. = eV$ है,जहाँ $e = 1.6 \times 10^{-19} \ C$ है।
दोनों ऊर्जाओं को बराबर करने पर:
$\frac{3}{2} k_B T = eV$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{3}{2} \times 1.38 \times 10^{-23} \times T = 1.6 \times 10^{-19} \times 0.1$
$2.07 \times 10^{-23} \times T = 0.16 \times 10^{-19}$
$T = \frac{0.16 \times 10^{-19}}{2.07 \times 10^{-23}} \approx 772.9 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 772.9 - 273 = 499.9 \approx 500^{\circ}C$.
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MediumMCQ
स्तंभ $- I$ और स्तंभ $- II$ का मिलान करें और दिए गए विकल्पों में से सही मिलान चुनें।
| स्तंभ $- I$ | स्तंभ $- II$ |
| $(A)$ गैस अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल | $(P)$ $\frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ |
| $(B)$ आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब | $(Q)$ $\sqrt{\frac{3 RT}{M}}$ |
| $(C)$ एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा | $(R)$ $\frac{5}{2} RT$ |
| $(D)$ $1$ मोल द्वि-परमाणुक गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा | $(S)$ $\frac{3}{2} k_{B} T$ |
A
$(A) - (R), (B) - (P), (C) - (S), (D) - (Q)$
B
$(A) - (Q), (B) - (R), (C) - (S), (D) - (P)$
C
$(A) - (Q), (B) - (P), (C) - (S), (D) - (R)$
D
$(A) - (R), (B) - (Q), (C) - (P), (D) - (S)$
Solution
(C) गैस अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल चाल $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(A) - (Q)$.
$(B)$ आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब $P = \frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ है, जहाँ $n$ संख्या घनत्व है, $m$ अणु का द्रव्यमान है, और $\bar{v}^{2}$ माध्य वर्ग चाल है। अतः, $(B) - (P)$.
$(C)$ आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ होती है। अतः, $(C) - (S)$.
$(D)$ $1$ मोल द्वि-परमाणुक गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} RT$ होती है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है। इसलिए, $U = \frac{5}{2} RT$। अतः, $(D) - (R)$.
$(B)$ आदर्श गैस द्वारा लगाया गया दाब $P = \frac{1}{3} n m \bar{v}^{2}$ है, जहाँ $n$ संख्या घनत्व है, $m$ अणु का द्रव्यमान है, और $\bar{v}^{2}$ माध्य वर्ग चाल है। अतः, $(B) - (P)$.
$(C)$ आदर्श गैस के एक अणु की औसत गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_{B} T$ होती है। अतः, $(C) - (S)$.
$(D)$ $1$ मोल द्वि-परमाणुक गैस की कुल आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{f}{2} RT$ होती है। द्वि-परमाणुक गैस के लिए, स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है। इसलिए, $U = \frac{5}{2} RT$। अतः, $(D) - (R)$.
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MediumMCQ
$0.056 \, kg$ नाइट्रोजन को $127 \, ^{\circ}C$ तापमान पर एक पात्र में रखा गया है। इसके अणुओं की गति को दोगुना करने के लिए आवश्यक ऊष्मा की मात्रा $k \, cal$ है। ($R = 2 \, cal \, mole^{-1} K^{-1}$ लें)
A
$12$
B
$18$
C
$17$
D
$122$
Solution
(A) $N_{2}$ का दिया गया द्रव्यमान $= 0.056 \, kg = 56 \, g$ है।
$N_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $= 28 \, g/mol$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{56}{28} = 2 \, moles$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 127 + 273 = 400 \, K$ है।
चूंकि आर.एम.एस. गति $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होती है,इसलिए गति को दोगुना करने के लिए तापमान को $2^{2} = 4$ के गुणक से बढ़ना चाहिए।
अतः,$T_{2} = 4 \times T_{1} = 4 \times 400 = 1600 \, K$ होगा।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 1600 - 400 = 1200 \, K$ है।
नाइट्रोजन एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ है।
आवश्यक ऊष्मा $Q = \frac{f}{2} n R \Delta T$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Q = \frac{5}{2} \times 2 \times 2 \times 1200 = 5 \times 2400 = 12000 \, cal = 12 \, kcal$।
$N_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $= 28 \, g/mol$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{56}{28} = 2 \, moles$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 127 + 273 = 400 \, K$ है।
चूंकि आर.एम.एस. गति $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होती है,इसलिए गति को दोगुना करने के लिए तापमान को $2^{2} = 4$ के गुणक से बढ़ना चाहिए।
अतः,$T_{2} = 4 \times T_{1} = 4 \times 400 = 1600 \, K$ होगा।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_{2} - T_{1} = 1600 - 400 = 1200 \, K$ है।
नाइट्रोजन एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ है।
आवश्यक ऊष्मा $Q = \frac{f}{2} n R \Delta T$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Q = \frac{5}{2} \times 2 \times 2 \times 1200 = 5 \times 2400 = 12000 \, cal = 12 \, kcal$।
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गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,निम्नलिखित में से कौन से कथन सही हैं?
$A$. $0^{\circ} C$ पर गैस के अणुओं की गति रुक जाती है।
$B$. यदि अणुओं का घनत्व बढ़ाया जाता है तो गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ (mean free path) घट जाता है।
$C$. यदि दाब को स्थिर रखकर तापमान बढ़ाया जाता है तो गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ बढ़ जाता है।
$D$. प्रति अणु प्रति स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_{B} T$ है (एकपरमाणुक गैसों के लिए)।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:
$A$. $0^{\circ} C$ पर गैस के अणुओं की गति रुक जाती है।
$B$. यदि अणुओं का घनत्व बढ़ाया जाता है तो गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ (mean free path) घट जाता है।
$C$. यदि दाब को स्थिर रखकर तापमान बढ़ाया जाता है तो गैस के अणुओं का माध्य मुक्त पथ बढ़ जाता है।
$D$. प्रति अणु प्रति स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_{B} T$ है (एकपरमाणुक गैसों के लिए)।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सबसे उपयुक्त उत्तर चुनें:
A
केवल $A$ और $C$
B
केवल $B$ और $C$
C
केवल $A$ और $B$
D
केवल $C$ और $D$
Solution
(B) कथन $A$ गलत है क्योंकि अणुओं की गति केवल परम शून्य ($0 \ K$ या $-273.15^{\circ} C$) पर ही रुकती है।
कथन $B$ सही है। माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है। यदि घनत्व $n$ बढ़ता है,तो $\lambda$ घट जाता है।
कथन $C$ सही है। आदर्श गैस समीकरण $PV = N k_B T$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ प्राप्त होता है। इस मान को माध्य मुक्त पथ के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$। यदि $P$ स्थिर है,तो $\lambda \propto T$,इसलिए तापमान $T$ बढ़ने पर $\lambda$ बढ़ता है।
कथन $D$ गलत है। प्रति अणु प्रति स्वतंत्रता की कोटि औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है। एकपरमाणुक गैस के लिए कुल औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_B T$ होती है।
कथन $B$ सही है। माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है। यदि घनत्व $n$ बढ़ता है,तो $\lambda$ घट जाता है।
कथन $C$ सही है। आदर्श गैस समीकरण $PV = N k_B T$ का उपयोग करते हुए,$n = \frac{N}{V} = \frac{P}{k_B T}$ प्राप्त होता है। इस मान को माध्य मुक्त पथ के सूत्र में रखने पर: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$। यदि $P$ स्थिर है,तो $\lambda \propto T$,इसलिए तापमान $T$ बढ़ने पर $\lambda$ बढ़ता है।
कथन $D$ गलत है। प्रति अणु प्रति स्वतंत्रता की कोटि औसत गतिज ऊर्जा $\frac{1}{2} k_B T$ होती है। एकपरमाणुक गैस के लिए कुल औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_B T$ होती है।
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निम्नलिखित कथन दिए गए हैं:
$(1)$ जब तापमान कम किया जाता है तो गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
$(2)$ स्थिर तापमान पर दबाव बढ़ने के साथ गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
$(3)$ आयतन बढ़ने के साथ गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
$(4)$ स्थिर आयतन पर तापमान बढ़ने के साथ गैस का दबाव बढ़ जाता है।
$(5)$ तापमान बढ़ने के साथ गैस का आयतन कम हो जाता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
$(1)$ जब तापमान कम किया जाता है तो गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
$(2)$ स्थिर तापमान पर दबाव बढ़ने के साथ गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
$(3)$ आयतन बढ़ने के साथ गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
$(4)$ स्थिर आयतन पर तापमान बढ़ने के साथ गैस का दबाव बढ़ जाता है।
$(5)$ तापमान बढ़ने के साथ गैस का आयतन कम हो जाता है।
नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
केवल $(1)$ और $(4)$
B
केवल $(1), (2)$ और $(4)$
C
केवल $(2)$ और $(4)$
D
केवल $(1), (2)$ और $(5)$
Solution
(A) एक आदर्श गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{\text{avg}} = \frac{3}{2} k_B T$ है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है और $T$ निरपेक्ष तापमान है।
कथन $(1)$ सही है: चूंकि $KE_{\text{avg}} \propto T$,इसलिए तापमान कम करने पर औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
कथन $(2)$ गलत है: स्थिर तापमान पर,दबाव में बदलाव के बावजूद $KE_{\text{avg}}$ स्थिर रहता है।
कथन $(3)$ गलत है: स्थिर तापमान पर,आयतन में बदलाव के बावजूद $KE_{\text{avg}}$ स्थिर रहता है।
कथन $(4)$ सही है: गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर,गैस का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
कथन $(5)$ गलत है: चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर,आयतन तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(V \propto T)$,इसलिए तापमान बढ़ने पर आयतन बढ़ता है।
अतः,कथन $(1)$ और $(4)$ सही हैं।
कथन $(1)$ सही है: चूंकि $KE_{\text{avg}} \propto T$,इसलिए तापमान कम करने पर औसत गतिज ऊर्जा कम हो जाती है।
कथन $(2)$ गलत है: स्थिर तापमान पर,दबाव में बदलाव के बावजूद $KE_{\text{avg}}$ स्थिर रहता है।
कथन $(3)$ गलत है: स्थिर तापमान पर,आयतन में बदलाव के बावजूद $KE_{\text{avg}}$ स्थिर रहता है।
कथन $(4)$ सही है: गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर,गैस का दबाव उसके निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
कथन $(5)$ गलत है: चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर,आयतन तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(V \propto T)$,इसलिए तापमान बढ़ने पर आयतन बढ़ता है।
अतः,कथन $(1)$ और $(4)$ सही हैं।
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एक ही गैस को समान आयतन के दो पात्रों में समान तापमान पर भरा जाता है। यदि अणुओं की संख्या का अनुपात $1:4$ है,तो:
$A.$ दोनों पात्रों में गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग समान होगा।
$B.$ इन पात्रों में दबाव का अनुपात $1:4$ होगा।
$C.$ दबाव का अनुपात $1:1$ होगा।
$D.$ दोनों पात्रों में गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $1:4$ के अनुपात में होगा।
$A.$ दोनों पात्रों में गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग समान होगा।
$B.$ इन पात्रों में दबाव का अनुपात $1:4$ होगा।
$C.$ दबाव का अनुपात $1:1$ होगा।
$D.$ दोनों पात्रों में गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $1:4$ के अनुपात में होगा।
A
केवल $A$ और $C$
B
केवल $B$ और $D$
C
केवल $A$ और $B$
D
केवल $C$ और $D$
Solution
(C) गैसों के गतिज सिद्धांत $(KTG)$ के अनुसार:
$1$. गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि तापमान $T$ और मोलर द्रव्यमान $M_m$ दोनों पात्रों के लिए समान हैं,इसलिए $r.m.s.$ वेग समान होगा। अतः,कथन $A$ सही है।
$2$. आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ से,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,हमें $P = \frac{NkT}{V}$ प्राप्त होता है। चूंकि $V$,$T$ और $k$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto N$। अतः,दबाव का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{N_1}{N_2} = 1:4$ होगा। अतः,कथन $B$ सही है।
चूंकि कथन $A$ और $B$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।
$1$. गैस के अणुओं का $r.m.s.$ वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_m}}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि तापमान $T$ और मोलर द्रव्यमान $M_m$ दोनों पात्रों के लिए समान हैं,इसलिए $r.m.s.$ वेग समान होगा। अतः,कथन $A$ सही है।
$2$. आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ से,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,हमें $P = \frac{NkT}{V}$ प्राप्त होता है। चूंकि $V$,$T$ और $k$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto N$। अतः,दबाव का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{N_1}{N_2} = 1:4$ होगा। अतः,कथन $B$ सही है।
चूंकि कथन $A$ और $B$ सही हैं,इसलिए सही विकल्प $C$ है।
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एक पात्र में $27^{\circ}\,C$ तापमान पर $14\,g$ नाइट्रोजन गैस भरी है। इसके अणुओं की r.m.s. चाल को दोगुना करने के लिए गैस को दी जाने वाली ऊष्मा की मात्रा $......J$ होगी। ($R = 8.32\,J\,mol^{-1}K^{-1}$ लें)
A
$2229$
B
$5616$
C
$9360$
D
$13104$
Solution
(C) वर्ग माध्य मूल चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि चाल को दोगुना किया जाता है,तो तापमान $2^2 = 4$ गुना बढ़ना चाहिए।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 27^{\circ}C = 300\,K$.
अंतिम तापमान $T_f = 4 \times 300\,K = 1200\,K$.
नाइट्रोजन $(N_2)$ के मोलों की संख्या $n = \frac{14\,g}{28\,g/mol} = 0.5\,mol$ है।
नाइट्रोजन एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{5}{2}R$ है।
स्थानांतरित ऊष्मा $Q = nC_v \Delta T$ है।
$Q = 0.5 \times \frac{5}{2} \times 8.32 \times (1200 - 300)$.
$Q = 0.5 \times 2.5 \times 8.32 \times 900$.
$Q = 1.25 \times 7488 = 9360\,J$.
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि चाल को दोगुना किया जाता है,तो तापमान $2^2 = 4$ गुना बढ़ना चाहिए।
प्रारंभिक तापमान $T_i = 27^{\circ}C = 300\,K$.
अंतिम तापमान $T_f = 4 \times 300\,K = 1200\,K$.
नाइट्रोजन $(N_2)$ के मोलों की संख्या $n = \frac{14\,g}{28\,g/mol} = 0.5\,mol$ है।
नाइट्रोजन एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए स्थिर आयतन पर इसकी मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{5}{2}R$ है।
स्थानांतरित ऊष्मा $Q = nC_v \Delta T$ है।
$Q = 0.5 \times \frac{5}{2} \times 8.32 \times (1200 - 300)$.
$Q = 0.5 \times 2.5 \times 8.32 \times 900$.
$Q = 1.25 \times 7488 = 9360\,J$.
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एक एयर-टाइट कंटेनर में हवा के अणुओं के लिए निम्नलिखित कथनों पर विचार करें:
$(I)$ अणुओं की औसत गति,रूट मीन स्क्वायर (rms) गति से अधिक है।
$(II)$ अणुओं का माध्य मुक्त पथ (mean free path),अणुओं के बीच की औसत दूरी से अधिक है।
$(III)$ अणुओं का माध्य मुक्त पथ तापमान के साथ बढ़ता है।
$(IV)$ नाइट्रोजन की rms गति ऑक्सीजन अणु से कम है।
उपरोक्त में से कौन से कथन सही हैं?
$(I)$ अणुओं की औसत गति,रूट मीन स्क्वायर (rms) गति से अधिक है।
$(II)$ अणुओं का माध्य मुक्त पथ (mean free path),अणुओं के बीच की औसत दूरी से अधिक है।
$(III)$ अणुओं का माध्य मुक्त पथ तापमान के साथ बढ़ता है।
$(IV)$ नाइट्रोजन की rms गति ऑक्सीजन अणु से कम है।
उपरोक्त में से कौन से कथन सही हैं?
A
केवल कथन $II$ सही है
B
कथन $II$ और $III$ सही हैं
C
कथन $II$ और $IV$ सही हैं
D
कथन $I, II$ और $IV$ सही हैं
Solution
(A) $1$. औसत गति $\bar{c}$ और $c_{rms}$ के बीच संबंध $\bar{c} = \sqrt{\frac{8}{3\pi}} c_{rms} \approx 0.92 c_{rms}$ है। चूंकि $0.92 < 1$,इसलिए औसत गति rms गति से कम होती है। अतः,कथन $(I)$ गलत है।
$2$. गैस में,माध्य मुक्त पथ $\lambda$ अणुओं के बीच की औसत दूरी $d \approx (V/N)^{1/3}$ से काफी बड़ा होता है। अतः,कथन $(II)$ सही है।
$3$. माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है। स्थिर आयतन पर,$P \propto T$,इसलिए तापमान के साथ $\lambda$ स्थिर रहता है। अतः,कथन $(III)$ गलत है।
$4$. rms गति $c_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। नाइट्रोजन का आणविक द्रव्यमान $(M_{N_2} = 28 \text{ g/mol})$ ऑक्सीजन $(M_{O_2} = 32 \text{ g/mol})$ से कम है,इसलिए नाइट्रोजन की rms गति ऑक्सीजन से अधिक होती है। अतः,कथन $(IV)$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $(II)$ सही है।
$2$. गैस में,माध्य मुक्त पथ $\lambda$ अणुओं के बीच की औसत दूरी $d \approx (V/N)^{1/3}$ से काफी बड़ा होता है। अतः,कथन $(II)$ सही है।
$3$. माध्य मुक्त पथ का सूत्र $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ है। स्थिर आयतन पर,$P \propto T$,इसलिए तापमान के साथ $\lambda$ स्थिर रहता है। अतः,कथन $(III)$ गलत है।
$4$. rms गति $c_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। नाइट्रोजन का आणविक द्रव्यमान $(M_{N_2} = 28 \text{ g/mol})$ ऑक्सीजन $(M_{O_2} = 32 \text{ g/mol})$ से कम है,इसलिए नाइट्रोजन की rms गति ऑक्सीजन से अधिक होती है। अतः,कथन $(IV)$ गलत है।
इसलिए,केवल कथन $(II)$ सही है।
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निम्नलिखित में से कौन सा योजनाबद्ध ग्राफ एक मोल आदर्श गैस के लिए $p V$ (जूल में) बनाम $T$ (केल्विन में) के परिवर्तन को सबसे अच्छी तरह दर्शाता है? (बिंदुदार रेखा $p V=T$ को दर्शाती है)
A
B
C
D
Solution
(A) आदर्श गैस समीकरण से,हमारे पास $p V=n R T$ है।
एक मोल आदर्श गैस के लिए,$n=1$,इसलिए समीकरण $p V=R T$ हो जाता है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,जिसका मान लगभग $8.314 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
समीकरण $p V=R T$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $R$ के बराबर है।
बिंदुदार रेखा $p V=T$ को दर्शाती है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
चूंकि $R \approx 8.314 > 1$,इसलिए रेखा $p V=R T$ का ढाल रेखा $p V=T$ के ढाल से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,वह ग्राफ जिसमें ठोस रेखा ($p V=R T$ को दर्शाती है) का ढाल बिंदुदार रेखा ($p V=T$ को दर्शाती है) से अधिक है,सही निरूपण है।
एक मोल आदर्श गैस के लिए,$n=1$,इसलिए समीकरण $p V=R T$ हो जाता है।
यहाँ,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,जिसका मान लगभग $8.314 \ J \cdot mol^{-1} \cdot K^{-1}$ है।
समीकरण $p V=R T$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $R$ के बराबर है।
बिंदुदार रेखा $p V=T$ को दर्शाती है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली $1$ ढाल वाली एक सीधी रेखा है।
चूंकि $R \approx 8.314 > 1$,इसलिए रेखा $p V=R T$ का ढाल रेखा $p V=T$ के ढाल से अधिक होना चाहिए।
इसलिए,वह ग्राफ जिसमें ठोस रेखा ($p V=R T$ को दर्शाती है) का ढाल बिंदुदार रेखा ($p V=T$ को दर्शाती है) से अधिक है,सही निरूपण है।
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एक हॉट एयर बैलून अपने पेलोड के साथ हवा में ऊपर उठता है। मान लीजिए कि बैलून गोलाकार है और इसका व्यास $11.7 \, m$ है और बैलून तथा पेलोड का द्रव्यमान (अंदर की गर्म हवा के बिना) $210 \, kg$ है। बाहर की हवा का तापमान और दबाव क्रमशः $27^{\circ} C$ और $1 \, atm = 10^5 \, N/m^2$ है। शुष्क हवा का मोलर द्रव्यमान $30 \, g/mol$ है। अंदर की गर्म हवा का तापमान लगभग .......... $^{\circ} C$ है। [गैस नियतांक,$R = 8.31 \, J K^{-1} mol^{-1}$]
A
$27$
B
$52$
C
$105$
D
$171$
Solution
(C) हॉट एयर बैलून के ऊपर उठने के लिए,उत्प्लावन बल (buoyant force) बैलून,पेलोड और अंदर की गर्म हवा के कुल वजन से अधिक या उसके बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $V$ बैलून का आयतन है,$\rho_o$ बाहर की हवा का घनत्व है,और $\rho_i$ अंदर की गर्म हवा का घनत्व है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5.85)^3 \approx 838.5 \, m^3$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$PV = nRT = \frac{m}{M} RT$,इसलिए $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
बलों को संतुलित करने पर: $V \rho_o g = V \rho_i g + m_{payload} g$.
$V(\rho_o - \rho_i) = 210$.
$V \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_o} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
मान रखने पर: $838.5 \times \frac{10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{8.31} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$302647 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$\frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \approx 0.0006938$.
$\frac{1}{T_i} \approx 0.003333 - 0.0006938 = 0.002639$.
$T_i \approx 378.9 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_i \approx 378.9 - 273 = 105.9^{\circ} C$.
अतः,तापमान $105^{\circ} C$ के करीब है।
मान लीजिए $V$ बैलून का आयतन है,$\rho_o$ बाहर की हवा का घनत्व है,और $\rho_i$ अंदर की गर्म हवा का घनत्व है।
$V = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi (5.85)^3 \approx 838.5 \, m^3$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$PV = nRT = \frac{m}{M} RT$,इसलिए $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$.
बलों को संतुलित करने पर: $V \rho_o g = V \rho_i g + m_{payload} g$.
$V(\rho_o - \rho_i) = 210$.
$V \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_o} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
मान रखने पर: $838.5 \times \frac{10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{8.31} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$302647 \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \right) = 210$.
$\frac{1}{300} - \frac{1}{T_i} \approx 0.0006938$.
$\frac{1}{T_i} \approx 0.003333 - 0.0006938 = 0.002639$.
$T_i \approx 378.9 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_i \approx 378.9 - 273 = 105.9^{\circ} C$.
अतः,तापमान $105^{\circ} C$ के करीब है।
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एक मोल आदर्श गैस नीचे दिए गए चित्र में दिखाए अनुसार एक रैखिक प्रक्रिया से गुजरती है। आयतन $V$ के फलन के रूप में इसका तापमान क्या होगा?
A
$\frac{p_0 V_0}{R}$
B
$\frac{p_0 V}{R}$
C
$\frac{p_0 V}{R}\left(1-\frac{V}{V_0}\right)$
D
$\frac{p_0 V_0}{R}\left(1-\left(\frac{V}{V_0}\right)^2\right)$
Solution
(C) यह प्रक्रिया $p-V$ आरेख में एक सीधी रेखा द्वारा दर्शाई गई है।
प्रक्रिया का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम सीधी रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप का उपयोग करते हैं: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
यहाँ,रेखा पर दो बिंदु $(V_1, p_1) = (0, p_0)$ और $(V_2, p_2) = (V_0, 0)$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p - p_0 = \frac{0 - p_0}{V_0 - 0}(V - 0)$
$p - p_0 = -\frac{p_0}{V_0} V$
$p = p_0 - \frac{p_0}{V_0} V = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
एक मोल आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $pV = RT$ है,जिसका अर्थ है $p = \frac{RT}{V}$.
$p$ के इस व्यंजक को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर:
$\frac{RT}{V} = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$
$T = \frac{p_0 V}{R} \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
प्रक्रिया का समीकरण ज्ञात करने के लिए,हम सीधी रेखा के समीकरण के दो-बिंदु रूप का उपयोग करते हैं: $y - y_1 = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$.
यहाँ,रेखा पर दो बिंदु $(V_1, p_1) = (0, p_0)$ और $(V_2, p_2) = (V_0, 0)$ हैं।
इन मानों को समीकरण में रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$p - p_0 = \frac{0 - p_0}{V_0 - 0}(V - 0)$
$p - p_0 = -\frac{p_0}{V_0} V$
$p = p_0 - \frac{p_0}{V_0} V = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
एक मोल आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $pV = RT$ है,जिसका अर्थ है $p = \frac{RT}{V}$.
$p$ के इस व्यंजक को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर:
$\frac{RT}{V} = p_0 \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$
$T = \frac{p_0 V}{R} \left(1 - \frac{V}{V_0}\right)$.
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DifficultMCQ
एक सिलेंडर में भरी आदर्श गैस $V$ आयतन घेरती है। गैस को समतापीय रूप से $V/3$ आयतन तक संपीड़ित किया जाता है। अब,सिलेंडर का वाल्व खोला जाता है और तापमान को समान रखते हुए गैस को बाहर निकलने दिया जाता है। सिलेंडर में दबाव को उसके मूल मान पर वापस लाने के लिए कितने प्रतिशत अणुओं को बाहर निकल जाना चाहिए ($\%$ में)?
A
$66$
B
$33$
C
$0.33$
D
$0.66$
Solution
(A) मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $p$ है और प्रारंभिक मोलों की संख्या $n_1$ है। आदर्श गैस नियम के अनुसार,$pV = n_1RT$ है।
$V/3$ आयतन तक समतापीय संपीड़न के बाद,नया दबाव $p'$ का मान $p' = n_1RT / (V/3) = 3(n_1RT/V) = 3p$ हो जाता है।
अब,वाल्व खोला जाता है और गैस तब तक बाहर निकलती है जब तक कि दबाव वापस मूल मान $p$ पर न आ जाए,जबकि आयतन $V/3$ रहता है और तापमान $T$ स्थिर रहता है।
मान लीजिए मोलों की नई संख्या $n_2$ है। अतः,$p(V/3) = n_2RT$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $(pV) / (pV/3) = n_1 / n_2$,जिससे $3 = n_1 / n_2$ प्राप्त होता है,या $n_2 = n_1 / 3$ है।
बाहर निकलने वाले मोलों की संख्या $\Delta n = n_1 - n_2 = n_1 - n_1/3 = 2n_1/3$ है।
बाहर निकलने वाले अणुओं का प्रतिशत $(\Delta n / n_1) \times 100 = (2/3) \times 100 \approx 66 \%$ है।
$V/3$ आयतन तक समतापीय संपीड़न के बाद,नया दबाव $p'$ का मान $p' = n_1RT / (V/3) = 3(n_1RT/V) = 3p$ हो जाता है।
अब,वाल्व खोला जाता है और गैस तब तक बाहर निकलती है जब तक कि दबाव वापस मूल मान $p$ पर न आ जाए,जबकि आयतन $V/3$ रहता है और तापमान $T$ स्थिर रहता है।
मान लीजिए मोलों की नई संख्या $n_2$ है। अतः,$p(V/3) = n_2RT$ है।
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर: $(pV) / (pV/3) = n_1 / n_2$,जिससे $3 = n_1 / n_2$ प्राप्त होता है,या $n_2 = n_1 / 3$ है।
बाहर निकलने वाले मोलों की संख्या $\Delta n = n_1 - n_2 = n_1 - n_1/3 = 2n_1/3$ है।
बाहर निकलने वाले अणुओं का प्रतिशत $(\Delta n / n_1) \times 100 = (2/3) \times 100 \approx 66 \%$ है।
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DifficultMCQ
सैलून में,हेयर डाई और अन्य उत्पादों में उपयोग किए जाने वाले अमोनिया-आधारित रसायनों के कारण हमेशा एक विशिष्ट गंध होती है। मान लीजिए कि अमोनिया के अणुओं की प्रारंभिक सांद्रता $1000 \text{ molecules}/m^3$ है। वायु संचार के कारण,एक मिनट में बाहर निकलने वाले अणुओं की संख्या उस मिनट की शुरुआत में मौजूद अणुओं का दसवां हिस्सा है। अमोनिया के अणुओं की सांद्रता $1 \text{ molecule}/m^3$ तक पहुँचने में कितना समय लगेगा?
A
$7$ मिनट
B
$70$ मिनट
C
$100$ मिनट
D
बहुत लंबा समय जिसकी गणना नहीं की जा सकती।
Solution
(B) मान लीजिए $N_0 = 1000 \text{ molecules}/m^3$ प्रारंभिक सांद्रता है।
एक मिनट में,बाहर निकलने वाले अणुओं की संख्या $\frac{1}{10} N_0$ है। अतः,$1 \text{ minute}$ के बाद शेष सांद्रता $N_1 = N_0 - \frac{1}{10} N_0 = \frac{9}{10} N_0 = 0.9 N_0$ है।
यह $N_t = N_0(0.9)^t$ मॉडल का पालन करता है,जहाँ $t$ मिनट में है।
हमें $t$ ज्ञात करना है ताकि $N_t = 1 \text{ molecule}/m^3$ हो जाए।
$1 = 1000(0.9)^t$
$(0.9)^t = 0.001$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$t \ln(0.9) = \ln(0.001)$
$t \approx \frac{-6.9077}{-0.10536} \approx 65.56 \text{ मिनट}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$t \approx 70 \text{ मिनट}$.
एक मिनट में,बाहर निकलने वाले अणुओं की संख्या $\frac{1}{10} N_0$ है। अतः,$1 \text{ minute}$ के बाद शेष सांद्रता $N_1 = N_0 - \frac{1}{10} N_0 = \frac{9}{10} N_0 = 0.9 N_0$ है।
यह $N_t = N_0(0.9)^t$ मॉडल का पालन करता है,जहाँ $t$ मिनट में है।
हमें $t$ ज्ञात करना है ताकि $N_t = 1 \text{ molecule}/m^3$ हो जाए।
$1 = 1000(0.9)^t$
$(0.9)^t = 0.001$
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर:
$t \ln(0.9) = \ln(0.001)$
$t \approx \frac{-6.9077}{-0.10536} \approx 65.56 \text{ मिनट}$।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,$t \approx 70 \text{ मिनट}$.
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MediumMCQ
एक बंद बेलनाकार पात्र में $T$ तापमान पर $N$ मोल आदर्श द्विपरमाणुक गैस भरी है। ऊष्मा देने पर,तापमान समान रहता है,लेकिन $n$ मोल परमाणुओं में वियोजित हो जाते हैं। दी गई ऊष्मा ......... है।
A
$\frac{5}{2}(N-n) R T$
B
$\frac{5}{2} n R T$
C
$\frac{1}{2} n R T$
D
$\frac{3}{2} n R T$
Solution
(C) दी गई ऊष्मा निकाय की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होती है क्योंकि आयतन स्थिर है और तापमान अपरिवर्तित रहता है।
प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $(U_i)$: चूंकि गैस द्विपरमाणुक है,आंतरिक ऊर्जा $U_i = \frac{5}{2} N R T$ है।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $(U_f)$: $n$ मोल के वियोजित होने के बाद,हमारे पास $(N-n)$ मोल द्विपरमाणुक गैस और $2n$ मोल एकपरमाणुक परमाणु हैं। अतः,$U_f = \frac{5}{2}(N-n) R T + \frac{3}{2}(2n) R T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$: $\Delta U = U_f - U_i = \left[ \frac{5}{2}(N-n) R T + 3n R T \right] - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = \frac{5}{2} N R T - \frac{5}{2} n R T + 3n R T - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = 3n R T - 2.5n R T = 0.5n R T = \frac{1}{2} n R T$.
अतः,दी गई ऊष्मा $\frac{1}{2} n R T$ है।
प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $(U_i)$: चूंकि गैस द्विपरमाणुक है,आंतरिक ऊर्जा $U_i = \frac{5}{2} N R T$ है।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $(U_f)$: $n$ मोल के वियोजित होने के बाद,हमारे पास $(N-n)$ मोल द्विपरमाणुक गैस और $2n$ मोल एकपरमाणुक परमाणु हैं। अतः,$U_f = \frac{5}{2}(N-n) R T + \frac{3}{2}(2n) R T$ है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $(\Delta U)$: $\Delta U = U_f - U_i = \left[ \frac{5}{2}(N-n) R T + 3n R T \right] - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = \frac{5}{2} N R T - \frac{5}{2} n R T + 3n R T - \frac{5}{2} N R T$.
$\Delta U = 3n R T - 2.5n R T = 0.5n R T = \frac{1}{2} n R T$.
अतः,दी गई ऊष्मा $\frac{1}{2} n R T$ है।
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EasyMCQ
एक बंद पात्र में आदर्श गैस भरी है और पात्र क्षैतिज दिशा में एकसमान त्वरण के साथ गति कर रहा है। गुरुत्वाकर्षण को नगण्य मानें। पात्र के अंदर का दबाव ...............
A
हर जगह समान
B
सामने की ओर कम
C
पीछे की ओर कम
D
ऊपर की ओर कम
Solution
(B) जब गैस से भरा एक पात्र क्षैतिज दिशा में $a$ के एकसमान त्वरण के साथ गति करता है,तो गैस के अणु त्वरण की विपरीत दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) का अनुभव करते हैं।
मान लीजिए कि त्वरण $+x$ दिशा में है। गैस के अणु $-x$ दिशा में छद्म बल का अनुभव करते हैं।
यह छद्म बल गैस के अणुओं को पात्र के पिछले हिस्से की ओर धकेलता है।
परिणामस्वरूप,पात्र के पिछले हिस्से में गैस का घनत्व अधिक और सामने के हिस्से में कम होता है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,दबाव $P$ अणुओं के संख्या घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है $(P = nkT)$।
चूंकि सामने के हिस्से में घनत्व कम है,इसलिए पात्र के सामने के हिस्से में दबाव कम होता है।
मान लीजिए कि त्वरण $+x$ दिशा में है। गैस के अणु $-x$ दिशा में छद्म बल का अनुभव करते हैं।
यह छद्म बल गैस के अणुओं को पात्र के पिछले हिस्से की ओर धकेलता है।
परिणामस्वरूप,पात्र के पिछले हिस्से में गैस का घनत्व अधिक और सामने के हिस्से में कम होता है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,दबाव $P$ अणुओं के संख्या घनत्व के सीधे आनुपातिक होता है $(P = nkT)$।
चूंकि सामने के हिस्से में घनत्व कम है,इसलिए पात्र के सामने के हिस्से में दबाव कम होता है।
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DifficultMCQ
एक मोल आदर्श गैस का तापमान $(T)$ इसके आयतन $(V)$ के साथ $T = -\alpha V^3 + \beta V^2$ के रूप में बदलता है,जहाँ $\alpha$ और $\beta$ धनात्मक स्थिरांक हैं। इस प्रक्रिया के दौरान गैस का अधिकतम दबाव ............ है।
A
$\frac{\alpha \beta}{2 R}$
B
$\frac{\beta^2 R}{4 \alpha}$
C
$\frac{(\alpha+\beta) R}{2 \beta^2}$
D
$\frac{\alpha^2 R}{2 \beta}$
Solution
(B) दिया गया है,$T = -\alpha V^3 + \beta V^2$ और $n = 1$ मोल के लिए आदर्श गैस समीकरण $PV = RT$ है,जिसका अर्थ है $P = \frac{RT}{V}$।
$T$ के व्यंजक को दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{R}{V} (-\alpha V^3 + \beta V^2) = R(-\alpha V^2 + \beta V)$।
अधिकतम दबाव ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $V$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dV} = R(-2\alpha V + \beta) = 0$।
इससे $V = \frac{\beta}{2\alpha}$ प्राप्त होता है।
यह अधिकतम है या नहीं,इसकी जांच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज लेते हैं: $\frac{d^2P}{dV^2} = -2\alpha R$,जो ऋणात्मक है क्योंकि $\alpha > 0$,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
$V = \frac{\beta}{2\alpha}$ को $P$ के समीकरण में रखने पर:
$P_{max} = R \left( -\alpha \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right)^2 + \beta \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right) \right) = R \left( -\frac{\beta^2}{4\alpha} + \frac{\beta^2}{2\alpha} \right) = R \left( \frac{\beta^2}{4\alpha} \right) = \frac{\beta^2 R}{4\alpha}$।
$T$ के व्यंजक को दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P = \frac{R}{V} (-\alpha V^3 + \beta V^2) = R(-\alpha V^2 + \beta V)$।
अधिकतम दबाव ज्ञात करने के लिए,हम $P$ का $V$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dP}{dV} = R(-2\alpha V + \beta) = 0$।
इससे $V = \frac{\beta}{2\alpha}$ प्राप्त होता है।
यह अधिकतम है या नहीं,इसकी जांच करने के लिए हम द्वितीय अवकलज लेते हैं: $\frac{d^2P}{dV^2} = -2\alpha R$,जो ऋणात्मक है क्योंकि $\alpha > 0$,जो अधिकतम मान की पुष्टि करता है।
$V = \frac{\beta}{2\alpha}$ को $P$ के समीकरण में रखने पर:
$P_{max} = R \left( -\alpha \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right)^2 + \beta \left( \frac{\beta}{2\alpha} \right) \right) = R \left( -\frac{\beta^2}{4\alpha} + \frac{\beta^2}{2\alpha} \right) = R \left( \frac{\beta^2}{4\alpha} \right) = \frac{\beta^2 R}{4\alpha}$।
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DifficultMCQ
नाइट्रोजन गैस एक इंसुलेटेड कंटेनर में भरी हुई है। यदि मोल का $\alpha$ अंश बिना किसी ऊर्जा के आदान-प्रदान के विघटित हो जाता है,तो इसके तापमान में आंशिक परिवर्तन ............. है।
A
$\frac{-\alpha}{5+\alpha}$
B
$\frac{\alpha}{3+\alpha}$
C
$\frac{-3 \alpha}{2+\alpha}$
D
$\frac{5 \alpha}{2+3 \alpha}$
Solution
(A) द्विपरमाणुक नाइट्रोजन $(N_2)$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि (degree of freedom) $f = 5$ है।
एकपरमाणुक नाइट्रोजन $(N)$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है।
मान लीजिए कि मोल की प्रारंभिक संख्या $n$ है। यदि $\alpha$ अंश विघटित होता है,तो शेष $N_2$ के मोल $n(1-\alpha)$ हैं।
चूंकि $N_2$ का प्रत्येक मोल $2$ मोल $N$ में विघटित होता है,इसलिए बनने वाले $N$ के मोल $2n\alpha$ होंगे।
चूंकि कंटेनर इंसुलेटेड है,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है $(U_i = U_f)$।
प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा: $U_i = n \times \frac{5}{2} RT$.
अंतिम आंतरिक ऊर्जा: $U_f = n(1-\alpha) \times \frac{5}{2} RT_2 + 2n\alpha \times \frac{3}{2} RT_2$.
$U_i = U_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{5}{2} nRT = nRT_2 [\frac{5}{2}(1-\alpha) + 3\alpha] = nRT_2 [\frac{5 - 5\alpha + 6\alpha}{2}] = nRT_2 [\frac{5+\alpha}{2}]$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = \frac{5T}{5+\alpha}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T = \frac{5T}{5+\alpha} - T = \frac{5T - 5T - \alpha T}{5+\alpha} = \frac{-\alpha T}{5+\alpha}$.
तापमान में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-\alpha}{5+\alpha}$ है।
एकपरमाणुक नाइट्रोजन $(N)$ के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 3$ है।
मान लीजिए कि मोल की प्रारंभिक संख्या $n$ है। यदि $\alpha$ अंश विघटित होता है,तो शेष $N_2$ के मोल $n(1-\alpha)$ हैं।
चूंकि $N_2$ का प्रत्येक मोल $2$ मोल $N$ में विघटित होता है,इसलिए बनने वाले $N$ के मोल $2n\alpha$ होंगे।
चूंकि कंटेनर इंसुलेटेड है,इसलिए कुल आंतरिक ऊर्जा स्थिर रहती है $(U_i = U_f)$।
प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा: $U_i = n \times \frac{5}{2} RT$.
अंतिम आंतरिक ऊर्जा: $U_f = n(1-\alpha) \times \frac{5}{2} RT_2 + 2n\alpha \times \frac{3}{2} RT_2$.
$U_i = U_f$ को बराबर करने पर:
$\frac{5}{2} nRT = nRT_2 [\frac{5}{2}(1-\alpha) + 3\alpha] = nRT_2 [\frac{5 - 5\alpha + 6\alpha}{2}] = nRT_2 [\frac{5+\alpha}{2}]$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = \frac{5T}{5+\alpha}$.
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T = \frac{5T}{5+\alpha} - T = \frac{5T - 5T - \alpha T}{5+\alpha} = \frac{-\alpha T}{5+\alpha}$.
तापमान में आंशिक परिवर्तन $\frac{\Delta T}{T} = \frac{-\alpha}{5+\alpha}$ है।
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MediumMCQ
समान आयतन के दो बंद पात्र $P_0$ दाब और $T_0$ तापमान पर हवा से भरे हुए हैं। दोनों एक संकीर्ण नली द्वारा जुड़े हुए हैं। यदि एक पात्र को $T_0$ तापमान पर और दूसरे को $T$ तापमान पर रखा जाता है,तो पात्रों में नया दाब क्या होगा?
A
$\frac{2 P_0 T}{T+T_0}$
B
$\frac{P_0 T}{T+T_0}$
C
$\frac{P_0 T}{2(T+T_0)}$
D
$\frac{T+T_0}{P_0}$
Solution
(A) माना प्रत्येक पात्र का आयतन $V$ है। प्रारंभ में,दोनों पात्रों में गैस के मोलों की कुल संख्या $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{R T_0} + \frac{P_0 V}{R T_0} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$ है।
जब तापमान को बदलकर क्रमशः $T_0$ और $T$ कर दिया जाता है,तो माना नया दाब $P$ है। चूंकि गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है,इसलिए:
$n_{total} = \frac{P V}{R T_0} + \frac{P V}{R T} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$.
दोनों पक्षों से $V/R$ को हटाने पर:
$\frac{P}{T_0} + \frac{P}{T} = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ को कॉमन लेने पर:
$P \left( \frac{1}{T_0} + \frac{1}{T} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P \left( \frac{T + T_0}{T T_0} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ के लिए हल करने पर:
$P = \frac{2 P_0}{T_0} \times \frac{T T_0}{T + T_0} = \frac{2 P_0 T}{T + T_0}$.
जब तापमान को बदलकर क्रमशः $T_0$ और $T$ कर दिया जाता है,तो माना नया दाब $P$ है। चूंकि गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है,इसलिए:
$n_{total} = \frac{P V}{R T_0} + \frac{P V}{R T} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$.
दोनों पक्षों से $V/R$ को हटाने पर:
$\frac{P}{T_0} + \frac{P}{T} = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ को कॉमन लेने पर:
$P \left( \frac{1}{T_0} + \frac{1}{T} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P \left( \frac{T + T_0}{T T_0} \right) = \frac{2 P_0}{T_0}$.
$P$ के लिए हल करने पर:
$P = \frac{2 P_0}{T_0} \times \frac{T T_0}{T + T_0} = \frac{2 P_0 T}{T + T_0}$.
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$S.T.P.$ पर $10 \, g$ नाइट्रोजन की आंतरिक ऊर्जा लगभग ......... $J$ है।
A
$2575$
B
$2025$
C
$3721$
D
$4051$
Solution
(B) आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ का सूत्र $U = \frac{f}{2} n R T$ है।
नाइट्रोजन $(N_2)$ जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,कमरे के तापमान पर स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{10 \, g}{28 \, g/mol} = \frac{5}{14} \, mol$ है।
$S.T.P.$ पर,तापमान $T = 273 \, K$ और गैस नियतांक $R \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ है।
इन मानों को रखने पर: $U = \frac{5}{2} \times \frac{5}{14} \times 8.314 \times 273$.
$U \approx 2025 \, J$.
नाइट्रोजन $(N_2)$ जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,कमरे के तापमान पर स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ होती है।
मोलों की संख्या $n = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{10 \, g}{28 \, g/mol} = \frac{5}{14} \, mol$ है।
$S.T.P.$ पर,तापमान $T = 273 \, K$ और गैस नियतांक $R \approx 8.314 \, J/(mol \cdot K)$ है।
इन मानों को रखने पर: $U = \frac{5}{2} \times \frac{5}{14} \times 8.314 \times 273$.
$U \approx 2025 \, J$.
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$40 \, g/mol$ आण्विक द्रव्यमान वाली एक द्विपरमाणुक गैस $30^{\circ} C$ तापमान पर एक कठोर पात्र में भरी है। यह $200 \, m/s$ के वेग से गति कर रही है। यदि इसे अचानक रोक दिया जाए,तो गैस के तापमान में वृद्धि ......... है।
A
$\frac{32}{R} ^{\circ} C$
B
$\frac{320}{R} ^{\circ} C$
C
$\frac{3200}{R} ^{\circ} C$
D
$\frac{3.2}{R} ^{\circ} C$
Solution
(B) माना गैस के मोलों की संख्या $n$ है।
गैस का द्रव्यमान $m = n \times M = n \times 40 \, g = 0.04n \, kg$ है।
$v = 200 \, m/s$ के वेग से गति कर रही गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times (0.04n) \times (200)^2 = 0.02n \times 40000 = 800n \, J$.
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है,इसलिए $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $800n = n \times \frac{5}{2} R \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{800 \times 2}{5R} = \frac{1600}{5R} = \frac{320}{R} ^{\circ} C$.
गैस का द्रव्यमान $m = n \times M = n \times 40 \, g = 0.04n \, kg$ है।
$v = 200 \, m/s$ के वेग से गति कर रही गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
$K.E. = \frac{1}{2} \times (0.04n) \times (200)^2 = 0.02n \times 40000 = 800n \, J$.
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है,इसलिए $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $800n = n \times \frac{5}{2} R \times \Delta T$.
$\Delta T = \frac{800 \times 2}{5R} = \frac{1600}{5R} = \frac{320}{R} ^{\circ} C$.
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MediumMCQ
गैसों के गतिज सिद्धांत में,इनमें से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(i)$ गैस का दबाव अणुओं की औसत गति के समानुपाती होता है।
$(ii)$ अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल गति (rms speed) दबाव के समानुपाती होती है।
$(iii)$ विसरण की दर अणुओं की औसत गति के समानुपाती होती है।
$(iv)$ गैस की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा उसके केल्विन तापमान के समानुपाती होती है।
$(i)$ गैस का दबाव अणुओं की औसत गति के समानुपाती होता है।
$(ii)$ अणुओं की वर्ग-माध्य-मूल गति (rms speed) दबाव के समानुपाती होती है।
$(iii)$ विसरण की दर अणुओं की औसत गति के समानुपाती होती है।
$(iv)$ गैस की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा उसके केल्विन तापमान के समानुपाती होती है।
A
केवल $(ii)$ और $(iii)$
B
केवल $(i), (ii)$ और $(iv)$
C
केवल $(i)$ और $(iii)$
D
केवल $(iii)$ और $(iv)$
Solution
(D) कथन $(i)$ गलत है: दबाव $P = \frac{1}{3} \rho v_{rms}^2$ होता है। यह वर्ग-माध्य-मूल गति के वर्ग के समानुपाती है,न कि औसत गति के।
कथन $(ii)$ गलत है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$। चूंकि $P \propto T$,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{P}$,न कि $P$ के समानुपाती।
कथन $(iii)$ सत्य है: विसरण की दर गैस के अणुओं की औसत गति के सीधे समानुपाती होती है।
कथन $(iv)$ सत्य है: प्रति अणु औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जो निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,कथन $(iii)$ और $(iv)$ सही हैं। सही विकल्प $(D)$ है।
कथन $(ii)$ गलत है: $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$। चूंकि $P \propto T$,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{P}$,न कि $P$ के समानुपाती।
कथन $(iii)$ सत्य है: विसरण की दर गैस के अणुओं की औसत गति के सीधे समानुपाती होती है।
कथन $(iv)$ सत्य है: प्रति अणु औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है,जो निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होती है।
अतः,कथन $(iii)$ और $(iv)$ सही हैं। सही विकल्प $(D)$ है।
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MediumMCQ
कथन $(A):$ एक आदर्श गैस के दिए गए द्रव्यमान के सभी अणुओं की कुल स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा उसके दबाव और आयतन के गुणनफल की $1.5$ गुना होती है।
कारण $(R):$ गैस के अणु एक-दूसरे से टकराते हैं और टक्कर के कारण अणुओं का वेग बदल जाता है।
कारण $(R):$ गैस के अणु एक-दूसरे से टकराते हैं और टक्कर के कारण अणुओं का वेग बदल जाता है।
A
यदि कथन और कारण दोनों सत्य हैं और कारण,कथन की सही व्याख्या है।
B
यदि कथन और कारण दोनों सत्य हैं लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।
C
यदि कथन सत्य है लेकिन कारण असत्य है।
D
यदि कथन और कारण दोनों असत्य हैं।
Solution
(B) एक आदर्श गैस की कुल स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} nRT$ है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि गैस के अणु टकराते हैं और उनके वेग बदलते हैं। यह गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,जो सत्य है।
हालाँकि,अणुओं की टक्कर वह कारण नहीं है कि गतिज ऊर्जा इस विशिष्ट तरीके से $PV$ से संबंधित है; $K = 1.5 PV$ का संबंध तापमान की परिभाषा और आदर्श गैस नियम से प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
इसे गतिज ऊर्जा के सूत्र में रखने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
कारण $(R)$ बताता है कि गैस के अणु टकराते हैं और उनके वेग बदलते हैं। यह गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,जो सत्य है।
हालाँकि,अणुओं की टक्कर वह कारण नहीं है कि गतिज ऊर्जा इस विशिष्ट तरीके से $PV$ से संबंधित है; $K = 1.5 PV$ का संबंध तापमान की परिभाषा और आदर्श गैस नियम से प्राप्त किया जाता है।
इसलिए,कथन और कारण दोनों सत्य हैं,लेकिन कारण,कथन की सही व्याख्या नहीं है।
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MediumMCQ
नीचे दो कथन दिए गए हैं:
कथन $I$: एक गैस का तापमान $-73^{\circ} C$ है। जब गैस को $527^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है,तो अणुओं की वर्ग माध्य मूल (root mean square) चाल दोगुनी हो जाती है।
कथन $II$: एक आदर्श गैस के दाब और आयतन का गुणनफल अणुओं की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
कथन $I$: एक गैस का तापमान $-73^{\circ} C$ है। जब गैस को $527^{\circ} C$ तक गर्म किया जाता है,तो अणुओं की वर्ग माध्य मूल (root mean square) चाल दोगुनी हो जाती है।
कथन $II$: एक आदर्श गैस के दाब और आयतन का गुणनफल अणुओं की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा के बराबर होता है।
उपर्युक्त कथनों के आलोक में,नीचे दिए गए विकल्पों में से सही उत्तर चुनें:
A
कथन $I$ और कथन $II$ दोनों सत्य हैं।
B
कथन $I$ सत्य है लेकिन कथन $II$ असत्य है।
C
कथन $I$ और कथन $II$ दोनों असत्य हैं।
D
कथन $I$ असत्य है लेकिन कथन $II$ सत्य है।
Solution
(B) कथन $I$ का विश्लेषण:
गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = -73^{\circ} C = 200 K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 527^{\circ} C = 800 K$.
चालों का अनुपात $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_{rms,2} = 2 v_{rms,1}$। इसलिए कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ का विश्लेषण:
आदर्श गैस के लिए,दाब-आयतन गुणनफल $PV = nRT$ होता है।
आदर्श गैस की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_{trans})$ का सूत्र $KE_{trans} = \frac{3}{2} nRT$ होता है।
इसलिए,$PV = \frac{2}{3} KE_{trans}$।
चूंकि $PV \neq KE_{trans}$,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
गैस के अणुओं की वर्ग माध्य मूल चाल $(v_{rms})$ का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = -73^{\circ} C = 200 K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 527^{\circ} C = 800 K$.
चालों का अनुपात $\frac{v_{rms,2}}{v_{rms,1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$v_{rms,2} = 2 v_{rms,1}$। इसलिए कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$ का विश्लेषण:
आदर्श गैस के लिए,दाब-आयतन गुणनफल $PV = nRT$ होता है।
आदर्श गैस की स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(KE_{trans})$ का सूत्र $KE_{trans} = \frac{3}{2} nRT$ होता है।
इसलिए,$PV = \frac{2}{3} KE_{trans}$।
चूंकि $PV \neq KE_{trans}$,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
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MediumMCQ
$1 \text{ cm}^3$ में हवा के अणुओं की संख्या $3 \times 10^{19}$ से बढ़कर $12 \times 10^{19}$ हो जाती है। संख्या में वृद्धि से पहले और बाद में हवा के अणुओं की टक्कर आवृत्ति का अनुपात क्रमशः $.........$ है।
A
$1.25$
B
$0.25$
C
$0.75$
D
$0.50$
Solution
(B) गैस के अणुओं की टक्कर आवृत्ति $f$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$f = \sqrt{2} \pi d^2 v n_v$
जहाँ $d$ अणु का व्यास है,$v$ औसत गति है,और $n_v$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि टक्कर आवृत्ति संख्या घनत्व के सीधे आनुपातिक है: $f \propto n_v$.
प्रारंभिक संख्या घनत्व $n_{v1} = 3 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ और अंतिम संख्या घनत्व $n_{v2} = 12 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ दिया गया है।
टक्कर आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_{v1}}{n_{v2}} = \frac{3 \times 10^{19}}{12 \times 10^{19}} = \frac{3}{12} = 0.25$.
$f = \sqrt{2} \pi d^2 v n_v$
जहाँ $d$ अणु का व्यास है,$v$ औसत गति है,और $n_v$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
सूत्र से यह स्पष्ट है कि टक्कर आवृत्ति संख्या घनत्व के सीधे आनुपातिक है: $f \propto n_v$.
प्रारंभिक संख्या घनत्व $n_{v1} = 3 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ और अंतिम संख्या घनत्व $n_{v2} = 12 \times 10^{19} \text{ molecules/cm}^3$ दिया गया है।
टक्कर आवृत्तियों का अनुपात है:
$\frac{f_1}{f_2} = \frac{n_{v1}}{n_{v2}} = \frac{3 \times 10^{19}}{12 \times 10^{19}} = \frac{3}{12} = 0.25$.
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DifficultMCQ
यदि $27^{\circ} C$ पर एक बंद कक्ष में हाइड्रोजन अणुओं की टक्कर आवृत्ति $Z$ है,तो $127^{\circ} C$ पर उसी प्रणाली की टक्कर आवृत्ति क्या होगी?
A
$\frac{\sqrt{3}}{2} Z$
B
$\frac{4}{3} Z$
C
$\frac{2}{\sqrt{3}} Z$
D
$\frac{3}{4} Z$
Solution
(C) गैस अणुओं की टक्कर आवृत्ति $Z$ संबंध $Z \propto n \sigma v_{avg}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है,$\sigma$ टक्कर क्रॉस-सेक्शन है,और $v_{avg}$ औसत गति है।
एक बंद कक्ष में,संख्या घनत्व $n$ और टक्कर क्रॉस-सेक्शन $\sigma$ स्थिर रहते हैं।
औसत गति $v_{avg}$ निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
इसलिए,टक्कर आवृत्ति $Z \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{Z_2}{Z_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,$Z_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} Z$।
एक बंद कक्ष में,संख्या घनत्व $n$ और टक्कर क्रॉस-सेक्शन $\sigma$ स्थिर रहते हैं।
औसत गति $v_{avg}$ निरपेक्ष तापमान के वर्गमूल के समानुपाती होती है,अर्थात $v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
इसलिए,टक्कर आवृत्ति $Z \propto \sqrt{T}$।
दिया गया है,$T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{Z_2}{Z_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{400}{300}} = \sqrt{\frac{4}{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,$Z_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} Z$।
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AdvancedMCQ
एक निश्चित ऊष्मीय रूप से सुचालक बेलन की त्रिज्या $R$ और ऊँचाई $L_0$ है। बेलन अपने निचले सिरे पर खुला है और इसके शीर्ष पर एक छोटा छेद है। $M$ द्रव्यमान का एक पिस्टन शीर्ष सतह से $L$ दूरी पर रखा गया है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है।
$1.$ पिस्टन को अब धीरे-धीरे बाहर खींचा जाता है और शीर्ष से $2L$ दूरी पर रखा जाता है। तब बेलन में इसके शीर्ष और पिस्टन के बीच का दबाव होगा
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ जब पिस्टन शीर्ष से $2L$ दूरी पर होता है,तो शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। पिस्टन को फिर एक ऐसी स्थिति में छोड़ा जाता है जहाँ वह संतुलन में रह सके। इस स्थिति में,शीर्ष से पिस्टन की दूरी है
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ पिस्टन को बेलन से पूरी तरह बाहर निकाल लिया जाता है। शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। एक पानी की टंकी को बेलन के नीचे लाया जाता है और ऐसी स्थिति में रखा जाता है कि टंकी में पानी की सतह बेलन के शीर्ष के समान स्तर पर हो,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी का घनत्व $\rho$ है। संतुलन में,बेलन में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $H$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
$1.$ पिस्टन को अब धीरे-धीरे बाहर खींचा जाता है और शीर्ष से $2L$ दूरी पर रखा जाता है। तब बेलन में इसके शीर्ष और पिस्टन के बीच का दबाव होगा
$(A) P_0$ $(B) \frac{P_0}{2}$ $(C) \frac{P_0}{2} + \frac{Mg}{\pi R^2}$ $(D) \frac{P_0}{2} - \frac{Mg}{\pi R^2}$
$2.$ जब पिस्टन शीर्ष से $2L$ दूरी पर होता है,तो शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। पिस्टन को फिर एक ऐसी स्थिति में छोड़ा जाता है जहाँ वह संतुलन में रह सके। इस स्थिति में,शीर्ष से पिस्टन की दूरी है
$(A) \left(\frac{2P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 + Mg}\right)(2L)$ $(B) \left(\frac{P_0 \pi R^2 - Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(C) \left(\frac{P_0 \pi R^2 + Mg}{\pi R^2 P_0}\right)(2L)$ $(D) \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$
$3.$ पिस्टन को बेलन से पूरी तरह बाहर निकाल लिया जाता है। शीर्ष पर स्थित छेद को सील कर दिया जाता है। एक पानी की टंकी को बेलन के नीचे लाया जाता है और ऐसी स्थिति में रखा जाता है कि टंकी में पानी की सतह बेलन के शीर्ष के समान स्तर पर हो,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पानी का घनत्व $\rho$ है। संतुलन में,बेलन में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $H$ निम्नलिखित में से किस समीकरण को संतुष्ट करती है?
$(A) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
$(B) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(C) \rho g(L_0 - H)^2 + P_0(L_0 - H) - L_0 P_0 = 0$
$(D) \rho g(L_0 - H)^2 - P_0(L_0 - H) + L_0 P_0 = 0$
प्रश्न $1, 2$ और $3$ के उत्तर दें।
A
$B, A, D$
B
$A, D, C$
C
$C, A, D$
D
$B, D, C$
Solution
(B,D,C) $1.$ चूंकि बेलन ऊष्मीय रूप से सुचालक है और प्रक्रिया धीमी है,इसलिए यह समतापीय है। प्रारंभिक अवस्था: $P_1 = P_0$,$V_1 = \pi R^2 L$. अंतिम अवस्था: $V_2 = \pi R^2 (2L)$. बॉयल के नियम के अनुसार,$P_1 V_1 = P_2 V_2 \implies P_0 (\pi R^2 L) = P_2 (\pi R^2 2L) \implies P_2 = \frac{P_0}{2}$. सही विकल्प $(B)$ है।
$2.$ मान लीजिए कि नई संतुलन दूरी $x$ है। अंदर का दबाव $P$ है। संतुलन की स्थिति: $P_0 \pi R^2 = P \pi R^2 + Mg \implies P = P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}$. $2L$ वाली स्थिति से समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_{initial} V_{initial} = P_{final} V_{final} \implies P_0 (\pi R^2 2L) = (P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}) (\pi R^2 x) \implies x = \frac{P_0 (2L)}{P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}} = \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$. सही विकल्प $(D)$ है।
$3.$ हवा की प्रारंभिक अवस्था: $P_0, V_0 = \pi R^2 L_0$. अंतिम अवस्था: $P, V = \pi R^2 (L_0 - H)$. बॉयल के नियम के अनुसार: $P_0 (\pi R^2 L_0) = P (\pi R^2 (L_0 - H)) \implies P = \frac{P_0 L_0}{L_0 - H}$. हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से: $P + \rho g (L_0 - H) = P_0 \implies \frac{P_0 L_0}{L_0 - H} + \rho g (L_0 - H) = P_0$. $(L_0 - H)$ से गुणा करने पर: $P_0 L_0 + \rho g (L_0 - H)^2 = P_0 (L_0 - H) \implies \rho g (L_0 - H)^2 - P_0 (L_0 - H) + P_0 L_0 = 0$. सही विकल्प $(C)$ है।
$2.$ मान लीजिए कि नई संतुलन दूरी $x$ है। अंदर का दबाव $P$ है। संतुलन की स्थिति: $P_0 \pi R^2 = P \pi R^2 + Mg \implies P = P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}$. $2L$ वाली स्थिति से समतापीय प्रक्रिया का उपयोग करते हुए: $P_{initial} V_{initial} = P_{final} V_{final} \implies P_0 (\pi R^2 2L) = (P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}) (\pi R^2 x) \implies x = \frac{P_0 (2L)}{P_0 - \frac{Mg}{\pi R^2}} = \left(\frac{P_0 \pi R^2}{\pi R^2 P_0 - Mg}\right)(2L)$. सही विकल्प $(D)$ है।
$3.$ हवा की प्रारंभिक अवस्था: $P_0, V_0 = \pi R^2 L_0$. अंतिम अवस्था: $P, V = \pi R^2 (L_0 - H)$. बॉयल के नियम के अनुसार: $P_0 (\pi R^2 L_0) = P (\pi R^2 (L_0 - H)) \implies P = \frac{P_0 L_0}{L_0 - H}$. हाइड्रोस्टेटिक संतुलन से: $P + \rho g (L_0 - H) = P_0 \implies \frac{P_0 L_0}{L_0 - H} + \rho g (L_0 - H) = P_0$. $(L_0 - H)$ से गुणा करने पर: $P_0 L_0 + \rho g (L_0 - H)^2 = P_0 (L_0 - H) \implies \rho g (L_0 - H)^2 - P_0 (L_0 - H) + P_0 L_0 = 0$. सही विकल्प $(C)$ है।
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DifficultMCQ
$STATEMENT-1$: एक आदर्श गैस के दिए गए द्रव्यमान के सभी अणुओं की कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा उसके दाब और आयतन के गुणनफल की $1.5$ गुनी होती है। क्योंकि
$STATEMENT-2$: गैस के अणु एक-दूसरे से टकराते हैं और टक्कर के कारण अणुओं के वेग में परिवर्तन होता है।
$STATEMENT-2$: गैस के अणु एक-दूसरे से टकराते हैं और टक्कर के कारण अणुओं के वेग में परिवर्तन होता है।
A
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या है।
B
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है; $STATEMENT-2$,$STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
C
$STATEMENT-1$ सत्य है,$STATEMENT-2$ असत्य है।
D
$STATEMENT-1$ असत्य है,$STATEMENT-2$ सत्य है।
Solution
(B) एक आदर्श गैस के लिए,कुल स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $(K)$ का सूत्र $K = \frac{3}{2} nRT$ है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
$nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है।
$STATEMENT-2$ गैस में आणविक टक्करों की प्रकृति का वर्णन करता है,जो गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि गतिज ऊर्जा $PV$ के साथ $1.5$ के अनुपात में क्यों संबंधित है। इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है लेकिन यह $STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम जानते हैं कि $PV = nRT$ होता है।
$nRT$ को $PV$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $K = \frac{3}{2} PV = 1.5 PV$ प्राप्त होता है।
अतः,$STATEMENT-1$ सत्य है।
$STATEMENT-2$ गैस में आणविक टक्करों की प्रकृति का वर्णन करता है,जो गैसों के गतिज सिद्धांत का एक मूलभूत सिद्धांत है,लेकिन यह यह नहीं समझाता है कि गतिज ऊर्जा $PV$ के साथ $1.5$ के अनुपात में क्यों संबंधित है। इसलिए,$STATEMENT-2$ सत्य है लेकिन यह $STATEMENT-1$ की सही व्याख्या नहीं है।
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MediumMCQ
एक आदर्श गैस ऊष्मागतिक संतुलन में है। गैस के एक अणु की स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $n$ है। गैस के एक मोल की आंतरिक ऊर्जा $U_n$ है और गैस में ध्वनि की गति $v_n$ है। निश्चित तापमान और दबाव पर,निम्नलिखित में से कौन सा विकल्प सही है?
A
$v_3 < v_6$ और $U_3 > U_6$
B
$v_5 > v_3$ और $U_3 > U_5$
C
$v_5 > v_7$ और $U_5 < U_7$
D
$v_6 < v_7$ और $U_6 < U_7$
Solution
(C) आदर्श गैस के एक मोल की आंतरिक ऊर्जा $U_n = \frac{n}{2} RT$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $T$ स्थिर है,$U_n$ सीधे $n$ के समानुपाती है। इसलिए,यदि $n_1 < n_2$ है,तो $U_{n_1} < U_{n_2}$ होगा।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v_n = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma = 1 + \frac{2}{n}$ है।
$\gamma$ का मान रखने पर,$v_n = \sqrt{\left(1 + \frac{2}{n}\right) \frac{RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,पद $(1 + \frac{2}{n})$ घटता है,जिसका अर्थ है कि $n$ बढ़ने पर $v_n$ घटता है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $n=5$ और $n=7$ है। चूँकि $5 < 7$ है,इसलिए $U_5 < U_7$ और $v_5 > v_7$ होगा। यह शर्त सही है।
आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v_n = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ है,जहाँ $\gamma = 1 + \frac{2}{n}$ है।
$\gamma$ का मान रखने पर,$v_n = \sqrt{\left(1 + \frac{2}{n}\right) \frac{RT}{M}}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $n$ बढ़ता है,पद $(1 + \frac{2}{n})$ घटता है,जिसका अर्थ है कि $n$ बढ़ने पर $v_n$ घटता है।
विकल्पों की तुलना करने पर:
विकल्प $C$ के लिए: $n=5$ और $n=7$ है। चूँकि $5 < 7$ है,इसलिए $U_5 < U_7$ और $v_5 > v_7$ होगा। यह शर्त सही है।
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View Solution147
AdvancedMCQ
एक समतल प्लेट एक स्थिर बल $F$ के प्रभाव में गैस के माध्यम से अपने तल के लंबवत गति कर रही है। गैस को बहुत कम दबाव पर रखा गया है। प्लेट की गति $v$,गैस के अणुओं की औसत गति $u$ से बहुत कम है। निम्नलिखित में से कौन सा/से विकल्प सही है/हैं?
A
$A, C, D$
B
$A, C, B$
C
$A, B, D$
D
$A, C$
Solution
(C) जब एक प्लेट $v$ गति से ऐसी गैस में चलती है जहाँ अणुओं की औसत गति $u$ $(v \ll u)$ है,तो सामने के चेहरे पर प्रति इकाई समय में होने वाली टक्करों की संख्या $(u + v)$ के समानुपाती होती है और पिछले चेहरे पर $(u - v)$ के समानुपाती होती है।
प्रत्येक टक्कर सापेक्ष वेग के समानुपाती संवेग परिवर्तन प्रदान करती है। शुद्ध प्रतिरोधी बल $F_{res}$ संवेग स्थानांतरण दरों के अंतर के समानुपाती होता है,जो $F_{res} \propto (u+v)^2 - (u-v)^2 = 4uv$ की ओर ले जाता है। चूँकि $v \ll u$,यह $F_{res} \propto uv$ में सरल हो जाता है। अतः,प्रतिरोधी बल $v$ के समानुपाती होता है।
चूँकि $F_{res} \propto v$,गति का समीकरण $m(dv/dt) = F - kv$ है। जैसे-जैसे $v$ बढ़ता है,$F_{res}$ तब तक बढ़ता है जब तक कि $F_{res} = F$ न हो जाए,जिस बिंदु पर त्वरण शून्य हो जाता है और प्लेट टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है।
इसलिए,विकल्प $A$,$B$ और $D$ सही हैं।
प्रत्येक टक्कर सापेक्ष वेग के समानुपाती संवेग परिवर्तन प्रदान करती है। शुद्ध प्रतिरोधी बल $F_{res}$ संवेग स्थानांतरण दरों के अंतर के समानुपाती होता है,जो $F_{res} \propto (u+v)^2 - (u-v)^2 = 4uv$ की ओर ले जाता है। चूँकि $v \ll u$,यह $F_{res} \propto uv$ में सरल हो जाता है। अतः,प्रतिरोधी बल $v$ के समानुपाती होता है।
चूँकि $F_{res} \propto v$,गति का समीकरण $m(dv/dt) = F - kv$ है। जैसे-जैसे $v$ बढ़ता है,$F_{res}$ तब तक बढ़ता है जब तक कि $F_{res} = F$ न हो जाए,जिस बिंदु पर त्वरण शून्य हो जाता है और प्लेट टर्मिनल वेग प्राप्त कर लेती है।
इसलिए,विकल्प $A$,$B$ और $D$ सही हैं।
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AdvancedMCQ
चित्र में योजनाबद्ध रूप से दिखाए अनुसार,दो पात्रों में पोटेशियम परमैंगनेट $(KMnO_4)$ के विभिन्न सांद्रता $n_1$ और $n_2$ $(n_1 > n_2)$ अणु प्रति इकाई आयतन वाले जलीय घोल (तापमान $T$ पर) हैं,जहाँ $\Delta n = (n_1 - n_2) \ll n_1$ है। जब उन्हें $\ell$ लंबाई और $S$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाली नली से जोड़ा जाता है,तो $KMnO_4$ नली के माध्यम से बाएं से दाएं पात्र में विसरित होने लगता है। अणुओं के संग्रह को तनु आदर्श गैसों के रूप में व्यवहार करने वाला मानें और दोनों पात्रों में उनके आंशिक दबाव का अंतर विसरण का कारण है। अणुओं की गति $v$ प्रत्येक अणु पर लगने वाले श्यान बल $-\beta v$ द्वारा सीमित है,जहाँ $\beta$ एक स्थिरांक है। $(\Delta n)^2$ के क्रम के सभी पदों की उपेक्षा करते हुए,निम्नलिखित में से कौन सा/से सही है/हैं? ($k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है)
$(A)$ अणुओं को नली के पार ले जाने वाला बल $\Delta n k_B T S$ है
$(B)$ बल संतुलन का तात्पर्य है $n_1 \beta v \ell = \Delta n k_B T$
$(C)$ प्रति सेकंड नली के पार जाने वाले अणुओं की कुल संख्या $\left(\frac{\Delta n}{\ell}\right)\left(\frac{k_B T}{\beta}\right) S$ है
$(D)$ नली के माध्यम से स्थानांतरित होने वाले अणुओं की दर समय के साथ नहीं बदलती है
$(A)$ अणुओं को नली के पार ले जाने वाला बल $\Delta n k_B T S$ है
$(B)$ बल संतुलन का तात्पर्य है $n_1 \beta v \ell = \Delta n k_B T$
$(C)$ प्रति सेकंड नली के पार जाने वाले अणुओं की कुल संख्या $\left(\frac{\Delta n}{\ell}\right)\left(\frac{k_B T}{\beta}\right) S$ है
$(D)$ नली के माध्यम से स्थानांतरित होने वाले अणुओं की दर समय के साथ नहीं बदलती है
A
$A, B, C$
B
$A, B, D$
C
$A, B$
D
$A, C$
Solution
(A) दो पात्रों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = (n_1 - n_2) k_B T = \Delta n k_B T$ है।
नली में अणुओं पर लगने वाला कुल बल $F = \Delta P \cdot S = \Delta n k_B T S$ है। अतः,$(A)$ सही है।
नली में अणुओं के लिए,प्रत्येक अणु पर लगने वाला श्यान बल $\beta v$ है। नली में अणुओं की कुल संख्या $N = n_1 \cdot S \cdot \ell$ है (चूंकि $\Delta n \ll n_1$,हम नली में सांद्रता को $n_1$ मानते हैं)।
प्रेरक बल को कुल श्यान बल के बराबर करने पर: $F = N \cdot \beta v = (n_1 S \ell) \beta v$.
इसलिए,$\Delta n k_B T S = n_1 \beta v \ell S$,जो सरल होकर $\Delta n k_B T = n_1 \beta v \ell$ हो जाता है। अतः,$(B)$ सही है।
इकाई समय में नली को पार करने वाले अणुओं की संख्या (दर) $R = n_1 v S$ है।
बल संतुलन से,$v = \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell}$.
$v$ का मान दर समीकरण में रखने पर: $R = n_1 \left( \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell} \right) S = \left( \frac{\Delta n}{\ell} \right) \left( \frac{k_B T}{\beta} \right) S$. अतः,$(C)$ सही है।
जैसे-जैसे अणु विसरित होते हैं,$\Delta n$ समय के साथ घटता है,इसलिए स्थानांतरण की दर $R$ समय के साथ घटती है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही विकल्प $(A), (B),$ और $(C)$ हैं।
नली में अणुओं पर लगने वाला कुल बल $F = \Delta P \cdot S = \Delta n k_B T S$ है। अतः,$(A)$ सही है।
नली में अणुओं के लिए,प्रत्येक अणु पर लगने वाला श्यान बल $\beta v$ है। नली में अणुओं की कुल संख्या $N = n_1 \cdot S \cdot \ell$ है (चूंकि $\Delta n \ll n_1$,हम नली में सांद्रता को $n_1$ मानते हैं)।
प्रेरक बल को कुल श्यान बल के बराबर करने पर: $F = N \cdot \beta v = (n_1 S \ell) \beta v$.
इसलिए,$\Delta n k_B T S = n_1 \beta v \ell S$,जो सरल होकर $\Delta n k_B T = n_1 \beta v \ell$ हो जाता है। अतः,$(B)$ सही है।
इकाई समय में नली को पार करने वाले अणुओं की संख्या (दर) $R = n_1 v S$ है।
बल संतुलन से,$v = \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell}$.
$v$ का मान दर समीकरण में रखने पर: $R = n_1 \left( \frac{\Delta n k_B T}{n_1 \beta \ell} \right) S = \left( \frac{\Delta n}{\ell} \right) \left( \frac{k_B T}{\beta} \right) S$. अतः,$(C)$ सही है।
जैसे-जैसे अणु विसरित होते हैं,$\Delta n$ समय के साथ घटता है,इसलिए स्थानांतरण की दर $R$ समय के साथ घटती है। अतः,$(D)$ गलत है।
इसलिए,सही विकल्प $(A), (B),$ और $(C)$ हैं।
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AdvancedMCQ
$8 \ m$ ऊंचाई का एक ऊष्मीय रूप से पृथक बेलनाकार बंद पात्र लंबवत रखा गया है। इसे $8.3 \ kg$ द्रव्यमान के एक डायथर्मिक (पूर्ण ऊष्मा चालक) घर्षणहीन विभाजक द्वारा दो समान भागों में विभाजित किया गया है। इस प्रकार,विभाजक को शुरू में ऊपर से $4 \ m$ की दूरी पर रखा गया है। पात्र के दोनों भागों में $300 \ K$ तापमान पर $0.1 \ mol$ आदर्श गैस भरी है। अब विभाजक को मुक्त किया जाता है और यह पात्र के एक भाग से दूसरे भाग में गैस के रिसाव के बिना गति करता है। जब संतुलन प्राप्त हो जाता है,तो ऊपर से विभाजक की दूरी ($m$ में) क्या होगी? (गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ और सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ लें)।
A
$3$
B
$4$
C
$5$
D
$6$
Solution
(D) मान लीजिए बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। प्रारंभ में,विभाजक ऊपर से $4 \ m$ पर है,इसलिए प्रत्येक भाग का आयतन $V_0 = A \times 4$ है।
चूंकि विभाजक डायथर्मिक है,इसलिए दोनों भागों के लिए तापमान $T = 300 \ K$ स्थिर रहता है।
मान लीजिए विभाजक अपनी प्रारंभिक स्थिति से $x$ दूरी नीचे जाता है। नए आयतन $V_1' = A(4 + x)$ और $V_2' = A(4 - x)$ हैं।
बॉयल के नियम $(PV = nRT)$ का उपयोग करते हुए,संतुलन पर दोनों भागों में दबाव:
$P_1' = \frac{nRT}{V_1'} = \frac{nRT}{A(4+x)}$ और $P_2' = \frac{nRT}{V_2'} = \frac{nRT}{A(4-x)}$.
संतुलन पर,विभाजक पर बल संतुलन है:
$(P_2' - P_1')A = mg$
$\left[ \frac{nRT}{A(4-x)} - \frac{nRT}{A(4+x)} \right] A = mg$
$nRT \left[ \frac{1}{4-x} - \frac{1}{4+x} \right] = mg$
मान रखने पर $n = 0.1 \ mol$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$,$T = 300 \ K$,$m = 8.3 \ kg$,और $g = 10 \ m/s^2$:
$(0.1)(8.3)(300) \left[ \frac{(4+x) - (4-x)}{16-x^2} \right] = (8.3)(10)$
$249 \left[ \frac{2x}{16-x^2} \right] = 83$
$3 \left( \frac{2x}{16-x^2} \right) = 1$
$6x = 16 - x^2 \implies x^2 + 6x - 16 = 0$
$(x+8)(x-2) = 0$. चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 2 \ m$.
ऊपर से विभाजक की दूरी $4 + x = 4 + 2 = 6 \ m$ होगी।
चूंकि विभाजक डायथर्मिक है,इसलिए दोनों भागों के लिए तापमान $T = 300 \ K$ स्थिर रहता है।
मान लीजिए विभाजक अपनी प्रारंभिक स्थिति से $x$ दूरी नीचे जाता है। नए आयतन $V_1' = A(4 + x)$ और $V_2' = A(4 - x)$ हैं।
बॉयल के नियम $(PV = nRT)$ का उपयोग करते हुए,संतुलन पर दोनों भागों में दबाव:
$P_1' = \frac{nRT}{V_1'} = \frac{nRT}{A(4+x)}$ और $P_2' = \frac{nRT}{V_2'} = \frac{nRT}{A(4-x)}$.
संतुलन पर,विभाजक पर बल संतुलन है:
$(P_2' - P_1')A = mg$
$\left[ \frac{nRT}{A(4-x)} - \frac{nRT}{A(4+x)} \right] A = mg$
$nRT \left[ \frac{1}{4-x} - \frac{1}{4+x} \right] = mg$
मान रखने पर $n = 0.1 \ mol$,$R = 8.3 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$,$T = 300 \ K$,$m = 8.3 \ kg$,और $g = 10 \ m/s^2$:
$(0.1)(8.3)(300) \left[ \frac{(4+x) - (4-x)}{16-x^2} \right] = (8.3)(10)$
$249 \left[ \frac{2x}{16-x^2} \right] = 83$
$3 \left( \frac{2x}{16-x^2} \right) = 1$
$6x = 16 - x^2 \implies x^2 + 6x - 16 = 0$
$(x+8)(x-2) = 0$. चूंकि $x > 0$,इसलिए $x = 2 \ m$.
ऊपर से विभाजक की दूरी $4 + x = 4 + 2 = 6 \ m$ होगी।
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MediumMCQ
एक बंद पात्र में $300 \ K$ पर $10 \ g$ आदर्श गैस $X$ है,जो $2 \ atm$ दाब उत्पन्न करती है। उसी तापमान पर,इसमें $80 \ g$ एक अन्य आदर्श गैस $Y$ मिलाई जाती है और दाब $6 \ atm$ हो जाता है। $300 \ K$ पर $X$ और $Y$ के वर्ग माध्य मूल वेगों का अनुपात क्या है?
A
$2 \sqrt{2}: \sqrt{3}$
B
$2 \sqrt{2}: 1$
C
$1: 2$
D
$2: 1$
Solution
(D) आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है।
चूंकि $T$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto P$ होगा।
माना गैस $X$ और $Y$ के मोलों की संख्या क्रमशः $n_X$ और $n_Y$ है।
गैस $X$ के लिए: $n_X = \frac{10}{M_X} \propto 2 \ atm$ ---$(1)$
जब गैस $Y$ मिलाई जाती है,तो कुल दाब $6 \ atm$ हो जाता है। अतः गैस $Y$ के कारण दाब $6 - 2 = 4 \ atm$ है।
गैस $Y$ के लिए: $n_Y = \frac{80}{M_Y} \propto 4 \ atm$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10/M_X}{80/M_Y} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{10}{M_X} \times \frac{M_Y}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{8M_X} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{M_X} = 4$.
वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,$\frac{(V_{rms})_X}{(V_{rms})_Y} = \sqrt{\frac{M_Y}{M_X}} = \sqrt{4} = 2$.
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।
चूंकि $T$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto P$ होगा।
माना गैस $X$ और $Y$ के मोलों की संख्या क्रमशः $n_X$ और $n_Y$ है।
गैस $X$ के लिए: $n_X = \frac{10}{M_X} \propto 2 \ atm$ ---$(1)$
जब गैस $Y$ मिलाई जाती है,तो कुल दाब $6 \ atm$ हो जाता है। अतः गैस $Y$ के कारण दाब $6 - 2 = 4 \ atm$ है।
गैस $Y$ के लिए: $n_Y = \frac{80}{M_Y} \propto 4 \ atm$ ---$(2)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{10/M_X}{80/M_Y} = \frac{2}{4} \Rightarrow \frac{10}{M_X} \times \frac{M_Y}{80} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{8M_X} = \frac{1}{2} \Rightarrow \frac{M_Y}{M_X} = 4$.
वर्ग माध्य मूल वेग का सूत्र $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है,इसलिए $V_{rms} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$.
अतः,$\frac{(V_{rms})_X}{(V_{rms})_Y} = \sqrt{\frac{M_Y}{M_X}} = \sqrt{4} = 2$.
इस प्रकार,अनुपात $2:1$ है।
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View SolutionKinetic Theory of Gases — Mix Examples-Kinetic Theory of Gases · Frequently Asked Questions
1Are these Kinetic Theory of Gases questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
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