Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Hindi

(B) प्रारंभिक स्थिति: $V_1 = 2.4 \times 10^{-3} \, m^3$,$P_1 = 1.0 \times 10^5 \, Pa$,$T_1 = 300 \, K$.
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = A \times x = 8 \times 10^{-3} \, m^2 \times 0.1 \, m = 0.8 \times 10^{-3} \, m^3$.
अंतिम आयतन: $V_2 = V_1 + \Delta V = 2.4 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3} = 3.2 \times 10^{-3} \, m^3$.
स्प्रिंग द्वारा पिस्टन पर लगाया गया दबाव $P_{spring} = \frac{F}{A} = \frac{kx}{A} = \frac{8000 \times 0.1}{8 \times 10^{-3}} = \frac{800}{8 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 \, Pa$.
अंतिम दबाव: $P_2 = P_1 + P_{spring} = 1.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 = 2.0 \times 10^5 \, Pa$.
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
$\frac{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}}{300} = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3}}{T_2}$.
$T_2 = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3} \times 300}{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}} = \frac{2.0 \times 3.2 \times 300}{2.4} = \frac{6.4 \times 300}{2.4} = \frac{1920}{2.4} = 800 \, K$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,जब गैस को गर्म किया जाता है,तो उसका तापमान $T$ बढ़ता है,जिससे दबाव $P$ में वृद्धि होती है। पिस्टन पर लगने वाला बल $F = PA$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दाईं ओर के पिस्टन का क्षेत्रफल $A$ बाईं ओर के पिस्टन की तुलना में अधिक है,इसलिए समान दबाव $P$ के लिए दाईं ओर के पिस्टन पर लगने वाला बल $F$ बाईं ओर के पिस्टन की तुलना में अधिक होगा। अतः,परिणामी बल पिस्टन को बाईं ओर धकेलेगा।

(C) स्थिर दाब $P$ पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए आदर्श गैस समीकरण से:
$PV = nRT$
स्थिर दाब पर अवकलन (differential) लेने पर:
$P\Delta V = nR\Delta T$
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{P\Delta V}{PV} = \frac{nR\Delta T}{nRT}$
$\frac{\Delta V}{V} = \frac{\Delta T}{T}$
$\delta$ ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\delta = \frac{\Delta V}{V\Delta T} = \frac{1}{T}$
चूंकि $\delta = \frac{1}{T}$,$\delta$ और $T$ के बीच का संबंध एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) है,जिसमें $T$ बढ़ने पर $\delta$ घटता है।

(A) नियत तापमान पर एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = \text{constant}$ है।
$P$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $P \frac{dV}{dP} + V = 0$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $\frac{dV}{dP} = - \frac{V}{P}$ प्राप्त होता है।
इस मान को $\beta$ के दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = - \frac{1}{V} \left( - \frac{V}{P} \right) = \frac{1}{P}$.
यह एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है, जहाँ $\beta$, $P$ के व्युत्क्रमानुपाती है। अतः, $\beta$ बनाम $P$ का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय है, जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(B) चूंकि $4.0 \, g$ गैस $NTP$ पर $22.4 \, L$ आयतन घेरती है,इसलिए गैस का आणविक द्रव्यमान $M = 4.0 \, g \, mol^{-1} = 4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$ है।
गैस में ध्वनि की चाल का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma R T}{M}}$ है।
$\gamma$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\gamma = \frac{M v^2}{R T}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $v = 952 \, m s^{-1}$,$R = 8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}$ और $T = 273 \, K$ ($NTP$ पर) है:
$\gamma = \frac{(4.0 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}) \times (952 \, m s^{-1})^2}{(8.3 \, J K^{-1} mol^{-1}) \times (273 \, K)} \approx 1.6$.
हम जानते हैं कि $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$,इसलिए $C_p = \gamma C_v$.
$C_v = 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ दिया गया है,अतः $C_p = 1.6 \times 5.0 \, J K^{-1} mol^{-1} = 8.0 \, J K^{-1} mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) गैस का तापमान उसके अणुओं की यादृच्छिक (disordered) गति से जुड़ी औसत गतिज ऊर्जा का माप है। जब बर्तन को तेज गति से चलती ट्रेन में रखा जाता है,तो पूरा बर्तन और उसके अंदर के गैस के अणु एक सामान्य व्यवस्थित वेग (ट्रेन का वेग) प्राप्त कर लेते हैं। यह व्यवस्थित गति गैस के अणुओं की आंतरिक ऊर्जा या यादृच्छिक गतिज ऊर्जा में योगदान नहीं देती है। चूंकि गैस के द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष अणुओं की यादृच्छिक गति अपरिवर्तित रहती है,इसलिए गैस का तापमान समान रहता है।

(B) वास्तविक गैस के $\mu$ मोल के लिए वान डर वाल्स समीकरण इस प्रकार है:
$(P + \frac{\mu^2 a}{V^2})(V - \mu b) = \mu RT$
$P$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P = \frac{\mu RT}{V - \mu b} - \frac{\mu^2 a}{V^2}$
दिए गए समीकरण $P = \frac{RT}{2V - b} - \frac{a}{4V^2}$ की तुलना मानक समीकरण से करने पर,हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P = \frac{RT}{2(V - b/2)} - \frac{a}{4V^2}$
इस तुलना से हमें $\mu = 1/2$ प्राप्त होता है।
चूंकि मोलों की संख्या $\mu = \frac{m}{M}$ है,जहाँ $M$ $CO_2$ का मोलर द्रव्यमान $(44 \ g/mol)$ है:
$m = \mu \times M = \frac{1}{2} \times 44 = 22 \ g$.

(C) दिया गया ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु से नहीं गुजरती है। रेखा का समीकरण $V = mT + c$ है,जहाँ $m$ ढाल है और $c$ $V$-अक्ष पर अंतःखंड है। चूँकि अंतःखंड $c$ धनात्मक है,हम $V = aT + b$ लिख सकते हैं (जहाँ $a, b > 0$)।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,हमारे पास $P = \frac{\mu RT}{V}$ है।
$V = aT + b$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P = \frac{\mu RT}{aT + b} = \frac{\mu R}{a + b/T}$ प्राप्त होता है।
जैसे-जैसे $T$ बढ़ता है,पद $b/T$ घटता है,जिसका अर्थ है कि हर $(a + b/T)$ घटता है।
चूँकि $T$ बढ़ने पर हर घटता है,इसलिए तापमान बढ़ने के साथ दबाव $P$ बढ़ना चाहिए।
यह दिया गया है कि $T_2 > T_1$,इसलिए $P_2 > P_1$,या $P_1 < P_2$ होगा।

(B) माना गैस का कुल द्रव्यमान $m$ है। पात्र की गति के कारण गैस की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे तापमान में $\Delta T$ की वृद्धि होती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के संबंध का उपयोग करते हुए,$\Delta U = \mu C_V \Delta T$,जहाँ $\mu = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर: $\frac{1}{2}mv^2 = \frac{m}{M} C_V \Delta T$.
चूँकि $C_V = \frac{R}{\gamma - 1}$,हम इस मान को समीकरण में रखते हैं:
$\frac{1}{2}mv^2 = \frac{m}{M} \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$.
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर और $\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{Mv^2(\gamma - 1)}{2R}$.

(B) वर्ग माध्य मूल वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
$v_{rms}$ को $2$ गुना कम करने के लिए,तापमान $T$ को $2^2 = 4$ गुना कम करना होगा। अतः,$\frac{T'}{T} = \frac{1}{4}$।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $TV^{\gamma - 1} = T'V'^{\gamma - 1}$ है।
आयतन अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{V'}{V} = \left(\frac{T}{T'}\right)^{\frac{1}{\gamma - 1}}$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 1.5$ और $\frac{T}{T'} = 4$ मान रखने पर,$\frac{V'}{V} = (4)^{\frac{1}{1.5 - 1}} = (4)^{\frac{1}{0.5}} = (4)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,गैस का $16$ गुना प्रसार करना होगा।

(C) त्वरित नली के फ्रेम में,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a = g + g = 2g$ नीचे की ओर कार्य करता है।
गैस में दाब प्रवणता $\frac{dP}{dh} = \rho g_{eff}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $h$ मध्य बिंदु से मापी गई गहराई है।
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\rho = \frac{PM}{RT}$,इसलिए $\frac{dP}{dh} = \frac{PM}{RT} (2g)$।
पदों को व्यवस्थित करके मध्य बिंदु $(h=0, P=P_m)$ से निचले सिरे $(h=H/2, P=P_B)$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{P_m}^{P_B} \frac{dP}{P} = \int_{0}^{H/2} \frac{2Mg}{RT} dh$
$\ln\left(\frac{P_B}{P_m}\right) = \frac{2Mg}{RT} \cdot \frac{H}{2} = \frac{MgH}{RT}$
दोनों पक्षों का चरघातांकी लेने पर,हमें $\frac{P_B}{P_m} = \exp\left(\frac{MgH}{RT}\right)$ प्राप्त होता है।

(A) जब गैस को अचानक रोक दिया जाता है,तो उसकी गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
$KE = \Delta U$
$\frac{1}{2} m v^2 = n C_v \Delta T$
यहाँ $m = 30 \, g = 0.03 \, kg$,$v = 100 \, m/s$,और $n = \frac{m}{M} = \frac{30 \, g}{30 \, g/mol} = 1 \, mol$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ होती है। द्विपरमाणुक गैस के लिए $\gamma = 1.4$ है,इसलिए $C_v = \frac{R}{1.4 - 1} = \frac{R}{0.4} = 2.5R$ होगा।
मान रखने पर:
$\frac{1}{2} \times (0.03) \times (100)^2 = 1 \times \frac{R}{0.4} \times \Delta T$
$0.5 \times 0.03 \times 10000 = \frac{R}{0.4} \times \Delta T$
$150 = \frac{R}{0.4} \times \Delta T$
$\Delta T = \frac{150 \times 0.4}{R} = \frac{60}{R}$

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,$n = 1$ मोल के लिए,$T = \frac{PV}{R}$ होता है।
अवस्था $1$: $P_1 = P_0, V_1 = V_0$. अतः,$T_1 = \frac{P_0 V_0}{R} = T_0$.
अवस्था $2$: $P_2 = 4P_0, V_2 = V_0$. अतः,$T_2 = \frac{4P_0 V_0}{R} = 4T_0$.
अवस्था $3$: $P_3 = P_0, V_3 = 4V_0$. अतः,$T_3 = \frac{P_0 (4V_0)}{R} = 4T_0$.
औसत आणविक चाल $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
अतः,अवस्था $1, 2$ और $3$ में औसत आणविक चाल का अनुपात है:
$v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{T_1} : \sqrt{T_2} : \sqrt{T_3}$
$v_1 : v_2 : v_3 = \sqrt{T_0} : \sqrt{4T_0} : \sqrt{4T_0}$
$v_1 : v_2 : v_3 = 1 : 2 : 2$.

(A) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब और आयतन के बीच का संबंध $P V^{\gamma} = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि सभी गैसों के लिए प्रारंभिक दाब $P_1$ और प्रारंभिक आयतन $V_1$ समान हैं, इसलिए आयतन के $V_2 = V_1/2$ तक संपीड़ित होने के बाद अंतिम दाब $P_2 = P_1 (V_1/V_2)^{\gamma} = P_1 (2)^{\gamma}$ होगा।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma$ को $C_p/C_v$ के रूप में परिभाषित किया गया है। एकपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 5/3 \approx 1.67$ होता है। द्विपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma = 7/5 = 1.4$ होता है। त्रिपरमाणुक गैस के लिए, $\gamma$ का मान और भी कम होता है (जैसे, गैर-रेखीय के लिए $4/3 \approx 1.33$)।
चूंकि $P_2 = P_1 \cdot 2^{\gamma}$, जिस गैस के लिए $\gamma$ का मान सबसे अधिक होगा, उसका अंतिम दाब $P_2$ सबसे अधिक होगा।
इसलिए, एकपरमाणुक गैस का अंतिम दाब अधिकतम होगा।

(D) $1$. गैस के एक ऊर्ध्वाधर स्तंभ में,ऊपर स्थित गैस के स्तंभ के भार के कारण ऊँचाई $h$ बढ़ने पर दाब $p$ घटता है। अतः,$\frac{dp}{dh} = -\rho g$ गैस के लिए हाइड्रोस्टेटिक संतुलन का सही समीकरण है।
$2$. आदर्श गैस नियम $pV = nRT$ से,हम $p = \frac{n}{V} RT$ लिख सकते हैं। चूँकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है (जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है),हमें $p = \frac{m}{VM} RT$ प्राप्त होता है। चूँकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,इसलिए $p = \rho \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है।
$3$. चूँकि दाब $p$ घनत्व $\rho$ और ऊँचाई $h$ पर निर्भर करता है,और गैस स्तंभ का भार नीचे की ओर कार्य करता है,इसलिए बेलन में ऊपर जाने पर दाब कम होना चाहिए।
$4$. अतः,दिए गए सभी कथन सही हैं।

(D) गुरुत्वाकर्षण के तहत संतुलन में गैस के लिए,ऊंचाई में छोटे परिवर्तन $dh$ के लिए दबाव में परिवर्तन $dp = -\rho g dh$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करके,हम $\rho = \frac{pM}{RT}$ लिख सकते हैं।
इसे दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dp = -\frac{pM}{RT} g dh$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT} dh$.
आधार $(h=0, p=p_0)$ से ऊंचाई $h$ $(p=p)$ तक समाकलन करने पर: $\int_{p_0}^{p} \frac{dp}{p} = -\int_{0}^{h} \frac{Mg}{RT} dh$.
यह $\ln(\frac{p}{p_0}) = -\frac{Mgh}{RT}$ देता है,जो सरल होकर $p = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$ हो जाता है।
चूंकि $\rho = \frac{pM}{RT}$,हमारे पास $\rho = \frac{p_0 M}{RT} e^{-\frac{Mgh}{RT}} = \rho_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$ है।
इस प्रकार,दबाव और घनत्व दोनों ऊंचाई के साथ घातीय रूप से घटते हैं। इसलिए,सभी कथन सही हैं।

(D) गुरुत्वाकर्षण के तहत एक ऊर्ध्वाधर सिलेंडर में,दबाव में परिवर्तन $dp = -\rho g dh$ द्वारा दिया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण $p = \frac{\rho RT}{M}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\rho = \frac{pM}{RT}$ है।
इसे दबाव समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $dp = -\frac{pMg}{RT} dh$,जो $\frac{dp}{p} = -\frac{Mg}{RT} dh$ देता है।
आधार $(h=0, p=p_0)$ से ऊंचाई $h$ तक एकीकृत करने पर: $\ln(\frac{p}{p_0}) = -\frac{Mgh}{RT}$,इसलिए $p = p_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$।
चूंकि $\rho = \frac{pM}{RT}$,घनत्व $\rho = \rho_0 e^{-\frac{Mgh}{RT}}$ है।
समतापीय स्थितियों में ($T$ स्थिर है),$\rho$ $h$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह समान नहीं हो सकता है। अतः,कथन $A$ और $B$ सही हैं।
समान घनत्व के लिए,$\frac{d\rho}{dh} = 0$ होना चाहिए। $\rho = \frac{pM}{RT}$ से,हमारे पास $\frac{d\rho}{dh} = \frac{M}{R} \frac{d}{dh} (\frac{p}{T}) = 0$ है।
$dp = -\rho g dh$ का उपयोग करते हुए,हमें $\frac{d}{dh} (\frac{p}{T}) = \frac{1}{T} \frac{dp}{dh} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = -\frac{\rho g}{T} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = 0$ मिलता है।
$\rho = \frac{pM}{RT}$ को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $-\frac{pMg}{RT^2} - \frac{p}{T^2} \frac{dT}{dh} = 0$ मिलता है,जो सरल होकर $\frac{dT}{dh} = -\frac{Mg}{R}$ हो जाता है। अतः,सभी कथन सही हैं।

(D) दी गई शर्त: $\frac{P^2}{\rho} = \text{नियतांक}$.
आदर्श गैस समीकरण से,$P = \frac{\rho RT}{M}$,इसलिए $\rho = \frac{PM}{RT}$.
दी गई शर्त में $\rho$ का मान रखने पर: $\frac{P^2}{PM/RT} = \frac{PRT}{M} = \text{नियतांक}$.
चूंकि $R$ और $M$ नियतांक हैं,इसलिए $PT = \text{नियतांक}$.
यह $P-T$ आरेख पर एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है,इसलिए कथन $(C)$ सही है।
अब,विस्तार के लिए जहाँ $\rho_2 = \rho/2$:
$\frac{P_1^2}{\rho_1} = \frac{P_2^2}{\rho_2}$ का उपयोग करने पर $\Rightarrow \frac{P^2}{\rho} = \frac{P_2^2}{\rho/2} \Rightarrow P_2^2 = \frac{P^2}{2} \Rightarrow P_2 = \frac{P}{\sqrt{2}}$.
$P_1 T_1 = P_2 T_2$ का उपयोग करने पर (क्योंकि $PT = \text{नियतांक}$):
$PT = \left(\frac{P}{\sqrt{2}}\right) T_2 \Rightarrow T_2 = \sqrt{2} T$.
इस प्रकार,कथन $(B)$ भी सही है।
अतः,सही विकल्प $(D)$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
चूंकि $V$,$R$ और $T$ दोनों पात्रों के लिए स्थिर हैं,इसलिए $P \propto n$ है।
दिया गया है कि दबाव का अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए अणुओं की संख्या का अनुपात भी $\frac{n_1}{n_2} = \frac{1}{2}$ होगा।
साथ ही,रूट मीन स्क्वायर वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पात्रों के लिए $T$ और $M$ समान हैं,इसलिए $v_{rms}$ का अनुपात $1 : 1$ होगा।
अतः,कथन $(B)$ और $(C)$ दोनों सही हैं।

(D) दिया गया है: $M_A = 16 M_B$ और $m_A = 2 m_B$.
$(i)$ प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} k_B T$ होती है। चूंकि दोनों गैसें एक ही पात्र में समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा दोनों के लिए समान होगी। कथन $(i)$ सत्य है।
$(ii)$ $RMS$ वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है। अतः,$\frac{v_{rms, B}}{v_{rms, A}} = \sqrt{\frac{M_A}{M_B}} = \sqrt{16} = 4$. यानी $v_{rms, B} = 4 v_{rms, A}$. कथन $(ii)$ सत्य है।
$(iii)$ मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है। अतः,$n_A = \frac{m_A}{M_A} = \frac{2 m_B}{16 M_B} = \frac{1}{8} n_B$. दबाव $P = \frac{nRT}{V}$ है। चूंकि $V$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto n$. अतः,$P_A = \frac{1}{8} P_B$,या $P_B = 8 P_A$. कथन $(iii)$ सत्य है।
$(iv)$ अणुओं की संख्या $N = n N_A$ है। चूंकि $n_B = 8 n_A$,इसलिए $N_B = 8 N_A$. कथन $(iv)$ सत्य है।
चूंकि सभी कथन सत्य हैं,इसलिए सही विकल्प $(D)$ है।

(D) $1$. विशिष्ट ऊष्मा का अनुपात $(\gamma = C_p / C_v)$ गैस की परमाणुकता पर निर्भर करता है। $O_2$ एक द्विपरमाणुक गैस है,इसलिए $\gamma = 1.4$ है। $NH_3$ एक बहुपरमाणुक गैस है,इसलिए इसका $\gamma$ मान अलग है (आमतौर पर $\approx 1.3$)। अतः,यह समान नहीं है।
$2$. औसत वेग $v_{avg} = \sqrt{8RT / \pi M}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि $O_2$ $(32 \ g/mol)$ और $NH_3$ $(17 \ g/mol)$ के मोलर द्रव्यमान $M$ अलग-अलग हैं,इसलिए समान तापमान पर उनके औसत वेग अलग होंगे।
$3$. कंपनशील स्वतंत्रता की कोटि की संख्या अणु की संरचना पर निर्भर करती है। $O_2$ में $1$ कंपन मोड होता है,जबकि $NH_3$ में $6$ कंपन मोड होते हैं। अतः,यह भी समान नहीं है।
$4$. चूंकि सूचीबद्ध गुणों में से कोई भी दोनों गैसों के लिए समान नहीं है,इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(C) जब एक पिस्टन को धीरे-धीरे एक आदर्श गैस वाले धातु के सिलेंडर में धकेला जाता है,तो इस प्रक्रिया को समतापीय (isothermal) माना जाता है क्योंकि संपीड़न द्वारा उत्पन्न ऊष्मा आसपास के वातावरण के साथ तापीय संतुलन बनाए रखने के लिए धातु की दीवारों से बाहर निकल सकती है।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $T$ स्थिर है,गैस के अणुओं की औसत गति,जो केवल तापमान पर निर्भर करती है $(v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}})$,स्थिर रहती है।
इसलिए,कथन $C$ गलत है।
कथन $A$,$B$,और $D$ सही हैं क्योंकि जैसे-जैसे आयतन $V$ घटता है,दबाव $P$ बढ़ता है (बॉयल का नियम),संख्या घनत्व $n/V$ बढ़ता है,और उच्च घनत्व तथा दबाव के कारण टकराने की आवृत्ति बढ़ जाती है।

(B) $RMS$ गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
दिया गया है: $T = 27 + 273 = 300 \, K$,$M = 32 \, g/mol = 32 \times 10^{-3} \, kg/mol$,$R = 8.314 \, J/(mol \cdot K)$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 300}{32 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7482.6}{0.032}} \approx \sqrt{233831} \approx 483.55 \, m/s \approx 484 \, m/s$.
अतः,कथन $A$ सही है।
चूंकि कथन $A$ सही है,इसलिए कथन $B$ $(968 \, m/s)$ गलत है।
किसी भी गैस के लिए,$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$,$v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$,और $v_{mp} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $\sqrt{3} \approx 1.732$,$\sqrt{8/\pi} \approx 1.596$,$\sqrt{2} \approx 1.414$.
चूंकि $1.732 > 1.596$,इसलिए $v_{rms} > v_{avg}$ सही है।
वास्तविक गैसें कम दबाव और उच्च तापमान पर आदर्श व्यवहार के करीब पहुंचती हैं,इसलिए कथन $D$ सही है।
अतः,गलत कथन $B$ है।

(D) दिया गया है: संख्या घनत्व $n = 10^{26} \text{ m}^{-3}$,प्रत्येक अणु का द्रव्यमान $m = 3 \times 10^{-27} \text{ kg}$,वेग $v = 2000 \text{ m/s}$।
केवल $1/6$ अणु दीवार की ओर गति कर रहे हैं। समय $\Delta t$ में $A$ क्षेत्रफल पर टकराने वाले अणुओं की संख्या $N = (n/6) \times A \times v \times \Delta t$ द्वारा दी जाती है।
$A = 1 \text{ m}^2$ और $\Delta t = 1 \text{ s}$ के लिए,दीवार से टकराने वाले अणुओं की संख्या $N = (10^{26} / 6) \times 1 \times 2000 = 0.333 \times 10^{29} = 3.33 \times 10^{28} \text{ molecules/s}$ है। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
प्रत्येक प्रत्यास्थ टक्कर के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ है।
दीवार पर लगाया गया बल $F = N \times \Delta p = (n/6 \times A \times v) \times (2mv) = (n/3) \times A \times m \times v^2$ है।
दबाव $P = F/A = (n/3) \times m \times v^2$।
मान रखने पर: $P = (10^{26} / 3) \times (3 \times 10^{-27}) \times (2000)^2 = 10^{-1} \times 4 \times 10^6 = 4 \times 10^5 \text{ Pa}$। अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, दाब $P$ और आयतन $V$ के बीच संबंध $PV^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक (natural logarithm) लेने पर, हमें $\ln P + \gamma \ln V = \text{स्थिरांक}$ प्राप्त होता है, जिसे $\ln P = -\gamma \ln V + \text{स्थिरांक}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
यह एक सीधी रेखा का समीकरण $y = mx + c$ है, जहाँ ढाल $m = -\gamma$ है।
ग्राफ से, गैस $X$ के लिए ढाल का परिमाण गैस $Y$ के लिए ढाल के परिमाण से अधिक है। चूंकि ढाल ऋणात्मक हैं, $|m_X| > |m_Y|$, जिसका अर्थ है $\gamma_1 > \gamma_2$।
रुद्धोष्म सूचकांक $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $\gamma_1 > \gamma_2$, इसलिए $1 + \frac{2}{f_1} > 1 + \frac{2}{f_2}$, जिसका अर्थ है $\frac{2}{f_1} > \frac{2}{f_2}$, या $f_2 > f_1$।
स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_V = \frac{f}{2}R$ होती है।
चूंकि $f_2 > f_1$, इसलिए $C_{V2} > C_{V1}$ सिद्ध होता है।
अतः, $(B)$ और $(C)$ दोनों कथन सही हैं।

(B) गैस का आयतन $V$,द्रव्यमान $m$ और घनत्व $\rho$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{m}{\rho} = \frac{1 \; kg}{4 \; kg/m^3} = 0.25 \; m^3$.
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा $U$ (या तापीय गति के कारण ऊर्जा) का सूत्र है:
$U = \frac{f}{2} PV$,जहाँ $f$ स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,$f = 5$.
मान रखने पर:
$U = \frac{5}{2} \times (8 \times 10^4 \; N/m^2) \times (0.25 \; m^3)$
$U = \frac{5}{2} \times 8 \times 10^4 \times \frac{1}{4}$
$U = 5 \times 10^4 \; J$.
अतः,ऊर्जा $5 \times 10^4 \; J$ है।

(D) चूंकि बक्से थर्मल संपर्क में हैं और परिवेश से अलग हैं,हीलियम गैस द्वारा खोई गई ऊष्मा नाइट्रोजन गैस द्वारा प्राप्त ऊष्मा के बराबर होगी।
हीलियम (एकपरमाणुक गैस) के लिए,$C_v = \frac{3}{2}R$। नाइट्रोजन (द्विपरमाणुक गैस) के लिए,$C_v = \frac{5}{2}R$।
मान लीजिए $n_1 = 1$ मोल He और $n_2 = 1$ मोल $N_2$ है।
हीलियम द्वारा खोई गई ऊष्मा = $n_1 C_{v,He} (T_{initial,He} - T_f) = 1 \cdot \frac{3}{2}R \cdot (\frac{7}{3}T_0 - T_f)$।
नाइट्रोजन द्वारा प्राप्त ऊष्मा = $n_2 C_{v,N_2} (T_f - T_{initial,N_2}) = 1 \cdot \frac{5}{2}R \cdot (T_f - T_0)$।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{3}{2}R (\frac{7}{3}T_0 - T_f) = \frac{5}{2}R (T_f - T_0)$।
$R/2$ से विभाजित करने पर: $3(\frac{7}{3}T_0 - T_f) = 5(T_f - T_0)$।
$7T_0 - 3T_f = 5T_f - 5T_0$।
$12T_0 = 8T_f$।
$T_f = \frac{12}{8}T_0 = \frac{3}{2}T_0$।

(C) माना गैस का कुल द्रव्यमान $m$ है। गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} m v^2$ है।
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो गैस की पूरी गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे गैस का तापमान बढ़ जाता है।
संबंध $\Delta U = \mu C_v \Delta T$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\mu = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है और $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$ स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा है:
$\frac{1}{2} m v^2 = \frac{m}{M} \left( \frac{R}{\gamma - 1} \right) \Delta T$
दोनों पक्षों से $m$ को हटाने पर:
$\frac{1}{2} v^2 = \frac{R}{M(\gamma - 1)} \Delta T$
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{M v^2 (\gamma - 1)}{2R}$.

(B) कथन-$1$ सत्य है। एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $U$ को उसके अणुओं की यादृच्छिक स्थानांतरणीय,घूर्णी और कंपन गतियों के कारण उनकी गतिज ऊर्जा के योग के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक आदर्श गैस के लिए,$U = nC_VT$ होता है।
कथन-$2$ सत्य है। जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो गैस की स्थूल गतिज ऊर्जा (पात्र की गति के कारण) टक्करों के माध्यम से गैस के अणुओं की सूक्ष्म गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। सूक्ष्म गतिज ऊर्जा में यह वृद्धि गैस के तापमान में वृद्धि का कारण बनती है।
हालाँकि,कथन-$2$ ऊर्जा रूपांतरण (यांत्रिक से तापीय) की प्रक्रिया का वर्णन करता है और यह स्पष्ट नहीं करता है कि आंतरिक ऊर्जा को $U = nC_VT$ के रूप में क्यों परिभाषित किया गया है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(D) $\mu$ मोल गैस की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $E = \mu \cdot \frac{f}{2} RT$ है।
$CO_2$ जैसी त्रि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 7$ ली जाती है।
मोल की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{आणविक भार}} = \frac{1}{44}$ है।
$R = N k$ का उपयोग करने पर,समीकरण $E = \mu \cdot \frac{f}{2} NkT$ हो जाता है।
मान रखने पर: $E = \frac{1}{44} \cdot \frac{7}{2} NkT = \frac{7}{88} NkT$.

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $E = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। अतः,$E \propto T$ है।
चूंकि तापमान $300 \ K$ से बढ़कर $600 \ K$ (दोगुना) हो जाता है,इसलिए नई औसत ऊर्जा $E' = 2 \times 6.21 \times 10^{-21} \ J = 12.42 \times 10^{-21} \ J$ होगी।
रूट मीन स्क्वायर $(rms)$ गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है। अतः,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$ है।
जब तापमान दोगुना हो जाता है,तो नई $rms$ गति $v'_{rms} = \sqrt{2} \times v_{rms} = 1.414 \times 484 \ m/s \approx 684 \ m/s$ होगी।
अतः,$600 \ K$ पर सही मान $12.42 \times 10^{-21} \ J$ और $684 \ m/s$ हैं।

(C) जब बॉक्स को अचानक रोक दिया जाता है,तो बॉक्स की गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए गैस के मोलों की संख्या $n$ है,जहाँ $n = \frac{m_{total}}{M}$ है।
बॉक्स की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} m_{total} v^2 = \frac{1}{2} n M v^2$ है।
द्वि-परमाणुक गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2} n M v^2 = n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T$
दोनों पक्षों से $n$ और $\frac{1}{2}$ को हटाने पर:
$M v^2 = 5 R \Delta T$
अतः,तापमान में परिवर्तन है:
$\Delta T = \frac{M v^2}{5 R}$

(A) $N$ मोल द्वि-परमाणुक गैस की प्रारंभिक आंतरिक ऊर्जा $U_i = N \left( \frac{5}{2} RT \right)$ है।
जब $n$ मोल द्वि-परमाणुक गैस का एक-परमाणुक गैस में विघटन होता है,तो प्रत्येक द्वि-परमाणुक अणु दो एक-परमाणुक परमाणुओं में विभाजित हो जाता है। इस प्रकार,$n$ मोल द्वि-परमाणुक गैस $2n$ मोल एक-परमाणुक गैस उत्पन्न करती है।
शेष द्वि-परमाणुक गैस $(N-n)$ मोल है।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_f$ एक-परमाणुक गैस और शेष द्वि-परमाणुक गैस की ऊर्जा का योग है:
$U_f = (2n) \left( \frac{3}{2} RT \right) + (N-n) \left( \frac{5}{2} RT \right)$.
$U_f = 3nRT + \frac{5}{2}NRT - \frac{5}{2}nRT = \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT$.
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = U_f - U_i$ है:
$\Delta U = \left( \frac{5}{2}NRT + \frac{1}{2}nRT \right) - \left( \frac{5}{2}NRT \right) = \frac{1}{2}nRT$.

(C) एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा $(U)$ पूरी तरह से गतिज होती है क्योंकि इसमें कोई अंतर-आणविक आकर्षण बल नहीं होता है $(U_p = 0)$। अतः,$U = U_k = \frac{3}{2} \mu R T$,जो केवल परम तापमान $T$ पर निर्भर करता है। इसलिए,कथन-$1$ सत्य है।
ऊष्मा की दी गई मात्रा $\Delta Q$ के लिए,तापमान में परिवर्तन $\Delta T$ को $\Delta Q = \mu C \Delta T$ द्वारा दिया जाता है,या $\Delta T = \frac{\Delta Q}{\mu C}$।
चूंकि स्थिर दबाव पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_P)$,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $(C_V)$ से अधिक होती है,यानी $C_P > C_V$,इसलिए समान $\Delta Q$ के लिए,$(\Delta T)_P < (\Delta T)_V$ होता है। अतः,कथन-$2$ सत्य है।
हालाँकि,कथन-$2$ विशिष्ट ऊष्मा और तापमान वृद्धि के बीच संबंध का वर्णन करता है,जो यह कारण नहीं है कि आंतरिक ऊर्जा केवल तापमान पर क्यों निर्भर करती है। इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या नहीं है।

(C) समतापीय प्रक्रिया के लिए,किया गया कार्य $W = nRT \ln(V_2/V_1)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $W = 575\,J$,$V_1 = V$,$V_2 = 2V$,और द्रव्यमान $m = 10\,g = 0.01\,kg$.
$575 = nRT \ln(2V/V) = nRT \ln(2)$.
चूंकि $nRT = PV$,हमें $PV = 575 / \ln(2) \approx 575 / 0.693 \approx 829.7\,J$ प्राप्त होता है।
वर्ग-माध्य-मूल चाल $v_{rms} = \sqrt{3PV/m}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $v_{rms} = \sqrt{(3 \times 829.7) / 0.01} = \sqrt{248910} \approx 498.9\,m/s$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $499\,m/s$ प्राप्त होता है।

(C) गैस के अणुओं का rms वेग $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $v_{rms} \propto \sqrt{T},$ यदि वेग दोगुना हो जाता है,तो तापमान $4$ गुना बढ़ जाना चाहिए।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300\,K.$
अंतिम तापमान $T_2 = 4 \times 300 = 1200\,K.$
नाइट्रोजन $(N_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है,इसलिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{15}{28}.$
नियत आयतन पर स्थानांतरित ऊष्मा $\Delta Q = n C_v \Delta T = n \left( \frac{f}{2}R \right) (T_2 - T_1).$
मान रखने पर: $\Delta Q = \left( \frac{15}{28} \right) \times \left( \frac{5}{2} \times 8.3 \right) \times (1200 - 300).$
$\Delta Q = \left( \frac{15}{28} \right) \times 20.75 \times 900 \approx 10000\,J = 10\,kJ.$

(A) अणुओं की कुल संख्या $N$ पूरे आयतन पर संख्या घनत्व $n(r)$ के समाकलन द्वारा प्राप्त की जाती है।
गोलीय निर्देशांक में,आयतन अवयव $dV = 4\pi r^2 dr$ है।
अतः,$N = \int_{0}^{\infty} n(r) dV = \int_{0}^{\infty} n_0 e^{-\alpha r^4} (4\pi r^2) dr$.
$N = 4\pi n_0 \int_{0}^{\infty} r^2 e^{-\alpha r^4} dr$.
मान लीजिए $u = \alpha r^4$,तो $r = (u/\alpha)^{1/4}$ और $dr = \frac{1}{4} \alpha^{-1/4} u^{-3/4} du$.
इन मानों को समाकलन में रखने पर:
$N = 4\pi n_0 \int_{0}^{\infty} (u/\alpha)^{2/4} e^{-u} (\frac{1}{4} \alpha^{-1/4} u^{-3/4}) du$.
$N = \pi n_0 \alpha^{-1/2} \alpha^{-1/4} \int_{0}^{\infty} u^{1/2 - 3/4} e^{-u} du = \pi n_0 \alpha^{-3/4} \int_{0}^{\infty} u^{-1/4} e^{-u} du$.
समाकलन $\int_{0}^{\infty} u^{-1/4} e^{-u} du$ एक स्थिरांक (Gamma फलन $\Gamma(3/4)$) है।
इसलिए,$N \propto n_0 \alpha^{-3/4}$.

(B) गैस अणु की स्थितिज ऊर्जा $U = \frac{M}{r^6} - \frac{N}{r^{12}}$ द्वारा दी गई है।
संतुलन की स्थिति में,अणु पर कार्य करने वाला बल $F$ शून्य होता है।
बल और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध $F = -\frac{dU}{dr}$ है।
अवकलन करने पर: $F = -\frac{d}{dr} \left( \frac{M}{r^6} - \frac{N}{r^{12}} \right) = - \left( -\frac{6M}{r^7} + \frac{12N}{r^{13}} \right) = \frac{6M}{r^7} - \frac{12N}{r^{13}}$.
संतुलन के लिए $F = 0$ रखने पर: $\frac{6M}{r^7} = \frac{12N}{r^{13}}$.
इसे सरल करने पर $r^6 = \frac{12N}{6M} = \frac{2N}{M}$ प्राप्त होता है।
अब,$r^6 = \frac{2N}{M}$ का मान स्थितिज ऊर्जा के समीकरण में रखने पर:
$U = \frac{M}{r^6} - \frac{N}{(r^6)^2} = \frac{M}{(2N/M)} - \frac{N}{(2N/M)^2}$.
$U = \frac{M^2}{2N} - \frac{N}{4N^2/M^2} = \frac{M^2}{2N} - \frac{M^2}{4N}$.
$U = \frac{2M^2 - M^2}{4N} = \frac{M^2}{4N}$.

(B) बल $F$ को स्थितिज ऊर्जा के ऋणात्मक प्रवणता द्वारा दिया जाता है: $F = -\frac{dU}{dr}$.
$F = -\frac{d}{dr} \left[ \frac{M}{r^6} - \frac{N}{r^{12}} \right] = -\left[ -\frac{6M}{r^7} + \frac{12N}{r^{13}} \right] = \frac{6M}{r^7} - \frac{12N}{r^{13}}$.
साम्यावस्था पर,कुल बल शून्य होता है: $F = 0$.
$\frac{6M}{r^7} = \frac{12N}{r^{13}} \implies r^6 = \frac{12N}{6M} = \frac{2N}{M}$.
$r^6 = \frac{2N}{M}$ को स्थितिज ऊर्जा $U$ के व्यंजक में रखने पर:
$U = \frac{M}{(r^6)} - \frac{N}{(r^6)^2} = \frac{M}{(2N/M)} - \frac{N}{(2N/M)^2}$.
$U = \frac{M^2}{2N} - \frac{N \cdot M^2}{4N^2} = \frac{M^2}{2N} - \frac{M^2}{4N} = \frac{M^2}{4N}$.

(C) कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,जब बॉक्स को अचानक रोका जाता है,तो बॉक्स की गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना गैस का द्रव्यमान $m$ है और इसका मोलर द्रव्यमान $M$ है। मोलों की संख्या $\mu = \frac{m}{M}$ द्वारा दी जाती है।
बॉक्स की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ है।
गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \mu C_v \Delta T$ है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2}R$ होती है।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2}mv^2 = \left(\frac{m}{M}\right) \left(\frac{5}{2}R\right) \Delta T$
दोनों पक्षों से $m$ और $\frac{1}{2}$ को हटाने पर:
$v^2 = \frac{5R}{M} \Delta T$
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{Mv^2}{5R}$

(D) जब बर्तन को स्थिर किया जाता है तो गैस की गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
मान लीजिए कि गैस के मोलों की संख्या $n$ है।
गैस की कुल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} (nM) v^2$ है,जहाँ $nM$ गैस का कुल द्रव्यमान है।
एक आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{nR \Delta T}{\gamma - 1}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बर्तन ऊष्मीय रूप से पृथक है,इसलिए गतिज ऊर्जा पूरी तरह से आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$\frac{1}{2} (nM) v^2 = \frac{nR \Delta T}{\gamma - 1}$
दोनों पक्षों से $n$ को हटाने पर:
$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{R \Delta T}{\gamma - 1}$
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{M v^2 (\gamma - 1)}{2R}$

(B) ड्राइविंग के दौरान,टायर और सड़क के बीच घर्षण,और टायर के निरंतर संपीड़न और विस्तार के कारण गर्मी उत्पन्न होती है। इससे टायर के अंदर फंसी हवा का तापमान बढ़ जाता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,दबाव $P$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$। इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,टायर के अंदर हवा का दबाव बढ़ जाता है। यह पुष्टि करता है कि अभिकथन सही है।
कारण के संबंध में,परम शून्य तापमान $(0 \ K)$ को उस तापमान के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर गैस के अणुओं की शास्त्रीय गतिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। हालाँकि,क्वांटम यांत्रिकी में,शून्य-बिंदु ऊर्जा परम शून्य पर भी मौजूद होती है। इस प्रकार,यह कथन कि 'परम शून्य तापमान शून्य ऊर्जा तापमान नहीं है' वैज्ञानिक रूप से सही है।
हालाँकि,कारण यह नहीं बताता है कि कार के टायर में दबाव क्यों बढ़ता है; दबाव में वृद्धि घर्षण के कारण तापमान बढ़ने के कारण होती है,न कि परम शून्य ऊर्जा की प्रकृति के कारण। इसलिए,दोनों सही हैं,लेकिन कारण अभिकथन की सही व्याख्या नहीं है।

(D) माध्य मुक्त समय $t$ को माध्य मुक्त पथ $\lambda$ और गैस के अणुओं की औसत गति $v_{avg}$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
$t = \frac{\lambda}{v_{avg}}$
माध्य मुक्त पथ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi D^{2} n}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D$ आणविक व्यास है और $n$ संख्या घनत्व है। यदि हम संख्या घनत्व $n$ को स्थिर मानते हैं,तो $\lambda$ स्थिर रहता है।
औसत गति $v_{avg} = \sqrt{\frac{8 RT}{\pi M_{w}}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{avg} \propto \sqrt{T}$।
इसलिए,$t = \frac{\lambda}{v_{avg}} \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$।
अतः,$t$ और $1/\sqrt{T}$ के बीच का आलेख मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होगी। इसलिए,सही आलेख $t$ बनाम $1/\sqrt{T}$ है।

(N/A) हाइड्रोजन परमाणु की त्रिज्या,$r = 0.5 \; \mathring{A} = 0.5 \times 10^{-10} \; m$.
एक हाइड्रोजन परमाणु का आयतन $= \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.1416 \times (0.5 \times 10^{-10})^3 \approx 0.524 \times 10^{-30} \; m^3$.
$1$ मोल हाइड्रोजन में परमाणुओं की संख्या $= 6.023 \times 10^{23}$.
$1$ मोल हाइड्रोजन परमाणुओं का आयतन,$V_a = 6.023 \times 10^{23} \times 0.524 \times 10^{-30} \approx 3.16 \times 10^{-7} \; m^3$.
$STP$ पर $1$ मोल गैस का मोलर आयतन,$V_m = 22.4 \; L = 22.4 \times 10^{-3} \; m^3$.
अनुपात $\frac{V_m}{V_a} = \frac{22.4 \times 10^{-3}}{3.16 \times 10^{-7}} \approx 7.08 \times 10^4$.
यह अनुपात बड़ा है क्योंकि गैस में अणु अपने आकार की तुलना में बहुत अधिक दूरी पर स्थित होते हैं,जिसका अर्थ है कि गैस में अधिकांश स्थान खाली होता है।

(A) हाँ; टक्कर प्रत्यास्थ है।
$1$. संवेग संरक्षण: किसी भी टक्कर में,निकाय (अणु + दीवार) का कुल संवेग संरक्षित रहता है,बशर्ते निकाय पर कोई बाहरी बल कार्य न करे। चूँकि दीवार पात्र का हिस्सा है और प्रभावी रूप से स्थिर (या अनंत द्रव्यमान वाली) है,अणु का संवेग बदलता है,लेकिन निकाय का कुल संवेग संरक्षित रहता है।
$2$. टक्कर की प्रकृति: अणु $200 \; m s^{-1}$ की चाल से दीवार से टकराता है और उसी $200 \; m s^{-1}$ की चाल से वापस लौटता है। चूँकि टक्कर से पहले अणु की गतिज ऊर्जा $K_i = \frac{1}{2} m v^2$ है और टक्कर के बाद भी $K_f = \frac{1}{2} m v^2$ है,इसलिए गतिज ऊर्जा अपरिवर्तित रहती है $(K_i = K_f)$। अतः,यह टक्कर प्रत्यास्थ है।

(N/A) दिया गया है: ऑक्सीजन अणु का द्रव्यमान $m = 5.30 \times 10^{-26} \; kg$,जड़त्व आघूर्ण $I = 1.94 \times 10^{-46} \; kg \cdot m^{2}$,औसत चाल $v = 500 \; m/s$.
स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $KE_{trans} = \frac{1}{2} m v^{2}$ है।
घूर्णन गतिज ऊर्जा $KE_{rot} = \frac{1}{2} I \omega^{2}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$KE_{rot} = \frac{2}{3} KE_{trans}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} I \omega^{2} = \frac{2}{3} (\frac{1}{2} m v^{2})$.
$I \omega^{2} = \frac{2}{3} m v^{2}$.
$\omega^{2} = \frac{2 m v^{2}}{3 I}$.
$\omega = \sqrt{\frac{2 m v^{2}}{3 I}} = v \sqrt{\frac{2 m}{3 I}}$.
मान रखने पर: $\omega = 500 \times \sqrt{\frac{2 \times 5.30 \times 10^{-26}}{3 \times 1.94 \times 10^{-46}}}$.
$\omega = 500 \times \sqrt{\frac{10.60 \times 10^{-26}}{5.82 \times 10^{-46}}} = 500 \times \sqrt{1.821 \times 10^{20}}$.
$\omega = 500 \times 1.349 \times 10^{10} \approx 6.75 \times 10^{12} \; rad/s$.

(A) द्रव जल का घनत्व $\rho_{liquid} = 1000 \; kg \; m^{-3}$ है।
जल वाष्प का घनत्व $\rho_{vapour} = 0.6 \; kg \; m^{-3}$ है।
यह मानते हुए कि जल के अणु का अपना घनत्व द्रव जल के घनत्व के बराबर है,दिए गए द्रव्यमान $M$ के लिए आणविक आयतन $V_{mol} = M / \rho_{liquid}$ होगा।
उसी द्रव्यमान $M$ द्वारा वाष्प अवस्था में घेरा गया कुल आयतन $V_{vapour} = M / \rho_{vapour}$ है।
आणविक आयतन और कुल आयतन का अनुपात इस प्रकार है:
$\text{Ratio} = \frac{V_{mol}}{V_{vapour}} = \frac{M / \rho_{liquid}}{M / \rho_{vapour}} = \frac{\rho_{vapour}}{\rho_{liquid}}$.
दिए गए मानों को रखने पर:
$\text{Ratio} = \frac{0.6}{1000} = 0.6 \times 10^{-3} = 6 \times 10^{-4}$.

(C) द्रव जल के घनत्व और जल वाष्प के घनत्व का अनुपात $\frac{1000}{0.6} \approx 1.67 \times 10^3$ है।
इसका अर्थ है कि वाष्प अवस्था में पानी के एक निश्चित द्रव्यमान द्वारा घेरा गया आयतन,द्रव अवस्था में घेरे गए आयतन का $1.67 \times 10^3$ गुना है।
चूंकि आयतन $V$,त्रिज्या $r$ के घन $(V \propto r^3)$ के समानुपाती होता है,इसलिए अणुओं के बीच की औसत दूरी आयतन के घनमूल के साथ बदलती है।
द्रव अवस्था में अणु की त्रिज्या $2 \; \mathring{A}$ है,इसलिए अणुओं के बीच की औसत दूरी $2 \times 2 = 4 \; \mathring{A}$ है।
जब आयतन $10^3$ गुना बढ़ता है,तो दूरी $10$ गुना बढ़ जाती है।
अतः,वाष्प में औसत दूरी $10 \times 4 \; \mathring{A} = 40 \; \mathring{A}$ होगी।

(A) याद रखने योग्य महत्वपूर्ण बिंदु यह है कि किसी भी आदर्श गैस (चाहे वह आर्गन जैसी एकपरमाणुक हो,क्लोरीन जैसी द्विपरमाणुक हो या बहुपरमाणुक हो) की प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा हमेशा $\frac{3}{2}k_{B}T$ के बराबर होती है। यह केवल तापमान पर निर्भर करती है और गैस की प्रकृति से स्वतंत्र है।
$(i)$ चूंकि फ्लास्क में आर्गन और क्लोरीन दोनों का तापमान समान है,इसलिए दोनों गैसों की प्रति अणु औसत गतिज ऊर्जा का अनुपात $1:1$ है।
$(ii)$ वर्ग माध्य मूल चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}$ है,जहाँ $m$ अणु का द्रव्यमान है। इसलिए,आर्गन और क्लोरीन के लिए $v_{rms}$ का अनुपात:
$\frac{(v_{rms})_{Ar}}{(v_{rms})_{Cl}} = \sqrt{\frac{m_{Cl}}{m_{Ar}}} = \sqrt{\frac{M_{Cl}}{M_{Ar}}} = \sqrt{\frac{70.9}{39.9}} \approx \sqrt{1.776} \approx 1.33$.
अतः,अनुपात $1.33:1$ है।

(A) मान लीजिए कि बल्ले के पीछे विकेट के सापेक्ष गेंद की गति $u$ है। यदि बल्ला विकेट के सापेक्ष $V$ गति से गेंद की ओर बढ़ रहा है,तो बल्ले के सापेक्ष गेंद की सापेक्ष गति $V+u$ है। जब गेंद (विशाल बल्ले से टकराने के बाद) वापस लौटती है,तो बल्ले के सापेक्ष उसकी गति $V+u$ होती है। इसलिए,विकेट के सापेक्ष वापस लौटने वाली गेंद की गति $V+(V+u) = 2V+u$ होती है। इस प्रकार,बल्ले के साथ टक्कर के बाद गेंद तेज गति से चलती है।
$(b)$ जब पिस्टन को सिलेंडर में धकेला जाता है,तो गैस के अणु गतिमान पिस्टन से टकराते हैं। गेंद के गतिमान बल्ले से टकराने की तरह ही,अणु अधिक गति से वापस लौटते हैं। चूंकि अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,इसलिए गैस का तापमान बढ़ जाता है।
$(c)$ जब गैस पिस्टन को बाहर धकेलकर फैलती है,तो अणु दूर जा रहे पिस्टन से टकराते हैं। अणु कम गति से वापस लौटते हैं,जिसके परिणामस्वरूप गैस के अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा में कमी आती है। परिणामस्वरूप,गैस का तापमान गिर जाता है।
$(d)$ हाँ,भारी बल्ले का उपयोग करना फायदेमंद है। चूंकि बल्ला विशाल है,इसलिए गेंद के साथ टक्कर पर यह अपनी गति नहीं खोता है। गेंद उच्च गति $(2V+u)$ के साथ वापस लौटती है,जिससे बल्लेबाज को गेंद को दूर तक मारने में मदद मिलती है।