Mix Examples-Kinetic Theory of Gases Questions in Hindi

(C) प्रारंभिक मोल $n_i = 18.20 \ \text{mol}$ है।
आयतन $V = 30 \ \text{L} = 30 \times 10^{-3} \ \text{m}^3$ है।
तापमान $T = 27^{\circ} \text{C} = 300 \ \text{K}$ है।
गेज दाब $P_g = 11 \ \text{atm}$ है।
निरपेक्ष दाब $P_{abs} = P_g + P_{atm} = 11 + 1 = 12 \ \text{atm}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर, अंतिम मोल $n_f$:
$n_f = \frac{P_{abs} V}{RT} = \frac{12 \times 1.01 \times 10^5 \times 30 \times 10^{-3}}{(100/12) \times 300} = 14.544 \ \text{mol}$ है।
निकाली गई ऑक्सीजन के मोल $\Delta n = n_i - n_f = 18.20 - 14.544 = 3.656 \ \text{mol}$ है।
निकाली गई ऑक्सीजन का द्रव्यमान $m = \Delta n \times \text{आणविक द्रव्यमान} = 3.656 \times 32 \ \text{g} = 116.992 \ \text{g} \approx 0.117 \ \text{kg}$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार, द्रव्यमान $0.116 \ \text{kg}$ है।

(A) स्प्रिंग में विस्तार $x = \frac{L}{2} - \frac{2L}{5} = \frac{L}{10}$ है।
पिस्टन के फ्री बॉडी डायग्राम पर विचार करते हुए,उस पर कार्य करने वाले बल बाएं गैस का दबाव $(P_1 A)$,दाएं गैस का दबाव $(P_2 A)$,और स्प्रिंग बल $(kx)$ हैं।
चूंकि पिस्टन संतुलन में है,$P_1 A = P_2 A + kx$,जिससे $P_1 = P_2 + \frac{kx}{A} = P_2 + \frac{k(L/10)}{A} = P_2 + \frac{kL}{10A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि पिस्टन ऊष्मीय रूप से सुचालक है,दोनों डिब्बों में गैस का तापमान $T$ समान है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास $P_1 V_1 = n_1 RT$ और $P_2 V_2 = n_2 RT$ है।
यह देखते हुए कि $V_1 = V_2 = A(L/2)$,हमें $\frac{P_1}{P_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{3/2}{1} = \frac{3}{2}$ मिलता है,इसलिए $P_1 = 1.5 P_2$ है।
संतुलन समीकरण में $P_1$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $1.5 P_2 = P_2 + \frac{kL}{10A}$।
$0.5 P_2 = \frac{kL}{10A} \implies P_2 = \frac{kL}{5A} = \frac{kL}{A} \times 0.2$।
अतः,$\alpha = 0.2$।

(B) कंटेनर के अंदर गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $m$ मोलर द्रव्यमान है।
जब कंटेनर को अचानक रोका जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
चूंकि ऊर्जा संरक्षित रहती है,$\Delta U = K.E.$
मान रखने पर: $n \left( \frac{5}{2} R \right) \Delta T = n \left( \frac{1}{2} m V^2 \right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{5}{2} R \Delta T = \frac{1}{2} m V^2$.
अतः,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = \frac{mV^2}{5R}$ है।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणुओं के बीच होने वाली टक्करों को पूर्णतः प्रत्यास्थ (perfectly elastic) माना जाता है।
एक प्रत्यास्थ टक्कर में,निकाय का कुल रेखीय संवेग और कुल गतिज ऊर्जा दोनों संरक्षित रहते हैं।
इसलिए,जब गैस के दो अणु टकराते हैं,तो गतिज ऊर्जा और संवेग दोनों संरक्षित रहते हैं।

(A) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस द्वारा लगाया गया दबाव पात्र की दीवारों के साथ गैस के अणुओं की टक्करों के कारण होता है,न कि अणुओं के बीच होने वाली टक्करों के कारण।
इसलिए,कथन $A$ गलत है।
कथन $B$ गतिज सिद्धांत की एक मौलिक अभिधारणा है।
कथन $C$ एक आदर्श गैस के लिए मानक धारणा है।
कथन $D$ भी एक मौलिक अभिधारणा है,जिसमें यह माना जाता है कि टक्कर के अलावा कोई अंतर-आणविक बल मौजूद नहीं होते हैं।

(B) मान लीजिए कि गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस का कुल द्रव्यमान $M = nm$ है।
पात्र की गति के कारण गैस की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} M V^2 = \frac{1}{2} nm V^2$ है।
जब पात्र को अचानक रोक दिया जाता है,तो यह गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T$ द्वारा दिया जाता है।
गतिज ऊर्जा में हुई हानि को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2} nm V^2 = \frac{3}{2} n R \Delta T$.
दोनों पक्षों से $n$ और $\frac{1}{2}$ को हटाने पर:
$m V^2 = 3 R \Delta T$.
अतः,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = \frac{mV^2}{3 R}$ है।

(D) गैस के अणु की औसत स्थानांतरणीय गतिज ऊर्जा $\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = E_1$ द्वारा दी जाती है।
विरामावस्था से $V$ विभवांतर द्वारा त्वरित इलेक्ट्रॉन की गतिज ऊर्जा $E_2 = eV$ है।
यदि $E_1 = E_2$ है,तो:
$\frac{3}{2} \left( \frac{R}{N} \right) T = eV$
अतः,$T = \frac{2 N eV}{3 R}$.

(B) एक आदर्श गैस के लिए,स्थानांतरण गतिज ऊर्जा $K$ को $K = \frac{3}{2} PV$ द्वारा दिया जाता है। अतः,$PV = \frac{2}{3} K$. विकल्प $A$ और $D$ गलत हैं।
r.m.s. गति के लिए,$v_{rms} \propto \sqrt{T}$.
विकल्प $B$ में: $T_1 = -73 + 273 = 200 \ K$ और $T_2 = 527 + 273 = 800 \ K$. अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{800}{200}} = \sqrt{4} = 2$. इस प्रकार,r.m.s. गति दोगुनी हो जाती है। विकल्प $B$ सही है।
विकल्प $C$ में: $T_1 = -100 + 273 = 173 \ K$ और $T_2 = 627 + 273 = 900 \ K$. अनुपात $\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{900}{173}} \neq 4$. विकल्प $C$ गलत है।

(D) रूट मीन स्क्वायर वेग $V_{rms} = \sqrt{\frac{3KT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $V_{rms}^2 \propto T$।
जब r.m.s. वेग दोगुना हो जाता है,तो नया वेग $V_{rms}' = 2V_{rms}$ होता है।
इसलिए,$(2V_{rms})^2 \propto T_2 \Rightarrow 4(V_{rms}^2) \propto T_2$।
चूंकि $V_{rms}^2 \propto T_1$,हमें $T_2 = 4T_1$ प्राप्त होता है।
चार्ल्स के नियम के अनुसार,नियत दाब पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$V \propto T$ होता है।
अतः,$\frac{V_1}{V_2} = \frac{T_1}{T_2}$।
मान रखने पर,$\frac{V}{V_2} = \frac{T_1}{4T_1} = \frac{1}{4}$।
इसलिए,नया आयतन $V_2 = 4V$ होगा।

(A) $S.T.P.$ पर,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 273 \ K$ है।
चूंकि प्रक्रिया स्थिर दबाव पर होती है,चार्ल्स के नियम के अनुसार $V \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है $V_2 = 3V_1$,इसलिए $\frac{3V_1}{V_1} = \frac{T_2}{T_1} \Rightarrow T_2 = 3T_1$।
अतः,$T_2 = 3 \times 273 = 819 \ K$।
$r.m.s.$ गति $V_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $V_{rms} \propto \sqrt{T}$।
इस प्रकार,$\frac{V_{rms}'}{V_{rms}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{\frac{3T_1}{T_1}} = \sqrt{3}$।
दिया गया है $V_{rms} = u$,इसलिए नई $r.m.s.$ गति $V_{rms}' = \sqrt{3} u \ m/s$ होगी।

(B) वर्ग माध्य मूल (r.m.s.) वेग $v$ को $v = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $v \propto \sqrt{T}$।
अतः,$\frac{v_2}{v_1} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$।
दिया गया है कि r.m.s. वेग $2$ के गुणक से कम हो जाता है,इसलिए $v_2 = \frac{v_1}{2}$।
इसे अनुपात में प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{1}{2} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$,जिससे $\frac{T_1}{T_2} = 4$ प्राप्त होता है।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए,तापमान और आयतन के बीच संबंध $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$ है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{\gamma-1} = \frac{T_1}{T_2}$ प्राप्त होता है।
$\gamma = 1.5$ और $\frac{T_1}{T_2} = 4$ रखने पर,हमें $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{1.5-1} = 4$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\left(\frac{V_2}{V_1}\right)^{0.5} = 4$ हो जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,हमें $\frac{V_2}{V_1} = 4^2 = 16$ प्राप्त होता है।
अतः,गैस का $16$ गुना प्रसार किया जाना चाहिए।

(D) गैसों के अणुगति सिद्धांत के अनुसार,गैस द्वारा लगाया गया दबाव पात्र की दीवारों के साथ गैस के अणुओं की टक्कर के कारण होता है,न कि स्वयं अणुओं के बीच होने वाली टक्कर के कारण।
अणुओं के बीच की टक्करों को स्थूल दबाव में योगदान देने के संदर्भ में नगण्य माना जाता है।
अतः,कथन $D$ गलत है।

(C) जब कंटेनर को अचानक रोका जाता है,तो गैस की गतिज ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस का कुल द्रव्यमान $m_{total} = nM$ है।
गैस की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2} (nM) V^2$ है।
एकपरमाणुक गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_V \Delta T$ होता है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_V = \frac{3}{2} R$ होती है।
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$\frac{1}{2} n M V^2 = n \left( \frac{3}{2} R \right) \Delta T$
दोनों पक्षों को $n$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{2} M V^2 = \frac{3}{2} R \Delta T$
$\Delta T$ के लिए हल करने पर:
$\Delta T = \frac{MV^2}{3R}$

(A) आदर्श गैस का r.m.s. वेग $V_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M_0}}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $V_{\text{rms}} \propto \sqrt{T}$, इसलिए $T \propto V_{\text{rms}}^2$ होगा।
यदि $V_{\text{rms}}$ को $3$ गुना कम किया जाता है, तो $T_2 = \frac{T_1}{3^2} = \frac{T_1}{9}$, अतः $\frac{T_1}{T_2} = 9$ होगा।
रुद्धोष्म प्रक्रिया के लिए, $TV^{\gamma-1} = \text{नियतांक}$, जिसका अर्थ है $T_1 V_1^{\gamma-1} = T_2 V_2^{\gamma-1}$।
इसे व्यवस्थित करने पर $\frac{V_2}{V_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{1}{\gamma-1}}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $\gamma = 1.5$ है, इसलिए $\gamma - 1 = 0.5 = \frac{1}{2}$।
मान रखने पर: $\frac{V_2}{V_1} = (9)^{\frac{1}{1/2}} = (9)^2 = 81$।
अतः, गैस का $81$ गुना प्रसार करना होगा।

(B) आदर्श गैस में ध्वनि की गति $v = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,और गैस के अणुओं की rms गति $v_{\text{rms}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
अनुपात लेने पर,हमें $\frac{v}{v_{\text{rms}}} = \sqrt{\frac{\gamma}{3}}$ प्राप्त होता है।
हीलियम (एकपरमाणुक गैस) के लिए,$\gamma_{\text{He}} = \frac{5}{3}$ है। अतः,$X = \sqrt{\frac{5/3}{3}} = \sqrt{\frac{5}{9}}$.
ऑक्सीजन (द्विपरमाणुक गैस) के लिए,$\gamma_{\text{O}_2} = \frac{7}{5}$ है। अतः,$X^{\prime} = \sqrt{\frac{7/5}{3}} = \sqrt{\frac{7}{15}}$.
अब,अनुपात $\frac{X}{X^{\prime}} = \frac{\sqrt{5/9}}{\sqrt{7/15}} = \sqrt{\frac{5}{9} \times \frac{15}{7}} = \sqrt{\frac{5 \times 5}{3 \times 7}} = \sqrt{\frac{25}{21}} = \frac{5}{\sqrt{21}}$.

(B) स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा का सूत्र: $\Delta Q = n C_P \Delta T$ है।
चूंकि नाइट्रोजन $(N_2)$ एक द्वि-परमाणुक गैस है, इसलिए इसकी स्वतंत्रता की कोटि (degrees of freedom) $f = 5$ है।
स्थिर दाब पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_P = (\frac{f}{2} + 1) R = (\frac{5}{2} + 1) R = \frac{7}{2} R$ होती है।
मोलों की संख्या $n = \frac{M}{M_0}$, जहां $M$ गैस का द्रव्यमान है और $M_0$ आणविक द्रव्यमान $(28 \,g/mol)$ है।
मान रखने पर: $498 = (\frac{M}{28}) \times (\frac{7}{2}) \times 8.3 \times 40$.
समीकरण को सरल करने पर: $498 = M \times (\frac{7}{56}) \times 8.3 \times 40$.
$498 = M \times 0.125 \times 332$.
$498 = M \times 41.5$.
$M = \frac{498}{41.5} = 12 \,g$.

(C) गतिमान पात्र में स्थित गैस की जमीन के सापेक्ष कुल गतिज ऊर्जा,द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा और गैस के अणुओं की आंतरिक गतिज ऊर्जा का योग होती है।
$1$. जमीन के सापेक्ष गैस के द्रव्यमान केंद्र की गतिज ऊर्जा $K_{cm} = \frac{1}{2} M v^2$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ गैस का कुल द्रव्यमान है और $v$ पात्र का वेग है।
$2$. द्रव्यमान केंद्र के सापेक्ष द्विपरमाणुक गैस (जिसकी स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है) की आंतरिक गतिज ऊर्जा $U = n \frac{f}{2} R T$ होती है।
$3$. $f = 5$ रखने पर,हमें $U = \frac{5}{2} n R T$ प्राप्त होता है।
$4$. अतः,जमीन के सापेक्ष कुल गतिज ऊर्जा $K_{total} = K_{cm} + U = \frac{1}{2} M v^2 + \frac{5}{2} n R T$ होगी।

(D) मान लीजिए $N_2$ गैस के मोलों की संख्या $n$ है। गैस की गतिज ऊर्जा $K.E. = n \left( \frac{1}{2} M v^2 \right)$ है,जहाँ $M$ $N_2$ का मोलर द्रव्यमान $(28 \times 10^{-3} \ kg/mol)$ है।
चूंकि पात्र ऊष्मीय रूप से पृथक है,गतिज ऊर्जा में हुई हानि गैस की आंतरिक ऊर्जा (ऊष्मा) में परिवर्तित हो जाती है: $n \left( \frac{1}{2} M v^2 \right) = n C_v \Delta T$.
$N_2$ जैसी द्वि-परमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है,इसलिए $C_v = \frac{f}{2} R = \frac{5}{2} R$.
अतः,$\frac{1}{2} M v^2 = \frac{5}{2} R \Delta T \Rightarrow \Delta T = \frac{M v^2}{5 R}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,स्थिर आयतन प्रक्रिया के लिए दबाव में परिवर्तन $\Delta P = \frac{nR \Delta T}{V} = \frac{P \Delta T}{T}$ होता है।
दबाव में प्रतिशत परिवर्तन $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{\Delta T}{T} \times 100$ है।
$\Delta T = \frac{M v^2}{5 R}$ और $T = 300 \ K$ रखने पर:
$\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{M v^2}{5 R T} \times 100 = \frac{28 \times 10^{-3} \times 100^2}{5 \times 8.3 \times 300} \times 100 = \frac{280}{12450} \times 100 \approx 2.25 \%$.

(B) गैस में ध्वनि की गति का सूत्र $v = \sqrt{\frac{\gamma RT_1}{M}}$ है।
एक परमाण्विक गैस के लिए,एडियाबेटिक इंडेक्स $\gamma = \frac{5}{3}$ है।
गैस के अणुओं की rms गति का सूत्र $c = \sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$ है।
दिए गए तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$ और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$ हैं।
ध्वनि की गति और rms गति का अनुपात:
$\frac{v}{c} = \frac{\sqrt{\frac{\gamma RT_1}{M}}}{\sqrt{\frac{3RT_2}{M}}} = \sqrt{\frac{\gamma T_1}{3T_2}}$
मान रखने पर:
$\frac{v}{c} = \sqrt{\frac{(5/3) \times 300}{3 \times 400}} = \sqrt{\frac{500}{1200}} = \sqrt{\frac{5}{12}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{12}}$.

(D) $N_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 28 \ g/mol$ है। मोलों की संख्या $n = \frac{2.8 \ g}{28 \ g/mol} = 0.1 \ mol$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 127 + 273 = 400 \ K$ है।
rms गति $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जिसका अर्थ है $v_{rms} \propto \sqrt{T}$।
यदि गति में $41.4 \ \%$ की वृद्धि होती है,तो नई गति $v_2 = v_1(1 + 0.414) = 1.414 \ v_1$ होगी।
चूंकि $1.414 \approx \sqrt{2}$,इसलिए $v_2 = \sqrt{2} \ v_1$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$v_2^2 = 2 \ v_1^2$,जिसका अर्थ है $T_2 = 2 \ T_1 = 2 \times 400 = 800 \ K$।
नियत आयतन पर द्विपरमाणुक गैस के लिए आवश्यक ऊष्मा ऊर्जा $Q = n C_v \Delta T$ है।
$N_2$ के लिए,$C_v = \frac{5}{2}R$ है।
अतः,$Q = 0.1 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (800 - 400) = 0.1 \times 2.5 \times 8.31 \times 400 = 831 \ J$।

(B) गैस में ध्वनि की गति $v_1 = \sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\gamma$ रुद्धोष्म सूचकांक है,$R$ गैस नियतांक है,$T$ केल्विन में तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
एक द्विपरमाणुक गैस के लिए,$\gamma = 1.4 = \frac{7}{5}$ है।
$273^{\circ}C$ पर,$T_1 = 273 + 273 = 546 \ K$ है।
अतः,$v_1 = \sqrt{\frac{7RT_1}{5M}} = \sqrt{\frac{7R(546)}{5M}}$.
गैस के अणुओं की r.m.s. गति $v_2 = \sqrt{\frac{3RT_2}{M}}$ द्वारा दी जाती है।
$273 \ K$ पर,$T_2 = 273 \ K$ है।
अतः,$v_2 = \sqrt{\frac{3R(273)}{M}}$.
अब,अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7R(546)}{5M} \cdot \frac{M}{3R(273)}} = \sqrt{\frac{7 \cdot 546}{5 \cdot 3 \cdot 273}}$.
चूँकि $546 = 2 \cdot 273$,इसलिए $\frac{v_1}{v_2} = \sqrt{\frac{7 \cdot 2}{5 \cdot 3}} = \sqrt{\frac{14}{15}}$.

(B) एकपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_1 = 3$ है। दिया गया है $n_1 = 2$ मोल और $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$। आंतरिक ऊर्जा $U = \frac{n_1 f_1 R T_1}{2} = \frac{2 \times 3 \times R \times 300}{2} = 900 R$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्वतंत्रता की कोटि $f_2 = 5$ है। दिया गया है $n_2 = 3$ मोल और $T_2 = 127^{\circ} C = 400 \ K$। आंतरिक ऊर्जा $U' = \frac{n_2 f_2 R T_2}{2} = \frac{3 \times 5 \times R \times 400}{2} = 3000 R$ है।
अब,अनुपात ज्ञात करने पर: $\frac{U'}{U} = \frac{3000 R}{900 R} = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$।
अतः,$U' = \frac{10 U}{3}$।

(A) प्रारंभिक अवस्था: $T$ तापमान पर द्वि-परमाणुक गैस के $4$ मोल। आंतरिक ऊर्जा $U_i = 4 \times \frac{5}{2} RT = 10 RT$ है।
अंतिम अवस्था: विघटन के बाद,$2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस शेष रहती है,और $2$ मोल द्वि-परमाणुक गैस $4$ मोल एक-परमाणुक गैस में विघटित हो जाती है (क्योंकि $1$ मोल $X_2$ से $2$ मोल $X$ प्राप्त होते हैं)।
अंतिम आंतरिक ऊर्जा $U_f = (2 \times \frac{5}{2} RT) + (4 \times \frac{3}{2} RT) = 5 RT + 6 RT = 11 RT$ है।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए दी गई ऊष्मा $Q$ आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U$ के बराबर होती है।
$Q = U_f - U_i = 11 RT - 10 RT = RT$.

(D) स्थिर आयतन पर आवश्यक ऊष्मीय ऊर्जा का सूत्र $Q = n C_v \Delta T$ है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{3}{2} R$ होती है।
यहाँ $n_1 = 2 \text{ mol}$,$\Delta T_1 = 40^{\circ} C - 30^{\circ} C = 10 \text{ K}$ है।
अतः,$Q = 2 \times \frac{3}{2} R \times 10 = 30 R$।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,स्थिर आयतन पर मोलर विशिष्ट ऊष्मा $C_v = \frac{5}{2} R$ होती है।
यहाँ $n_2 = 4 \text{ mol}$,$\Delta T_2 = 33^{\circ} C - 28^{\circ} C = 5 \text{ K}$ है।
मान लीजिए आवश्यक ऊष्मा $Q'$ है।
$Q' = n_2 C_v \Delta T_2 = 4 \times \frac{5}{2} R \times 5 = 50 R$।
अब,अनुपात लेने पर: $\frac{Q'}{Q} = \frac{50 R}{30 R} = \frac{5}{3}$।
अतः,$Q' = \frac{5}{3} Q$।

(C) कथन $(I)$ असत्य है क्योंकि गैसों का ऊष्मीय प्रसार गुणांक तरल पदार्थों की तुलना में अधिक होता है,इसलिए गैस थर्मामीटर तरल थर्मामीटर की तुलना में अधिक संवेदनशील होते हैं।
कथन $(II)$ सत्य है। बोल्ट्ज़मैन नियतांक $k_B$ को सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ और आवोगाद्रो संख्या $N_A$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है,अर्थात $k_B = \frac{R}{N_A}$।
कथन $(III)$ सत्य है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,हमारे पास $PV = \frac{m}{M}RT$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,हमें $P = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है। स्थिर दाब $P$ पर,$\rho \propto \frac{1}{T}$।
अतः,कथन $(II)$ और $(III)$ सत्य हैं,लेकिन कथन $(I)$ असत्य है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT = (m/M)RT$ से,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूँकि $\rho = m/V$,हमारे पास $p = (\rho/M)RT$,या $\rho = pM / (RT)$ है।
प्रारंभ में,पात्र में गैस का द्रव्यमान $m_1 = \rho V$ है।
कुछ गैस बाहर निकलने के बाद,दबाव $p' = p - \Delta p$ हो जाता है। चूँकि आयतन $V$ और तापमान $T$ स्थिर रहते हैं,नया घनत्व $\rho' = p'M / (RT) = (p - \Delta p)M / (RT)$ है।
पात्र में गैस का नया द्रव्यमान $m_2 = \rho' V = \frac{(p - \Delta p)M}{RT} V = \frac{(p - \Delta p)}{p} \rho V$ है।
बाहर निकली गैस का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = \rho V - \frac{(p - \Delta p)}{p} \rho V$ है।
$\Delta m = \rho V \left(1 - \frac{p - \Delta p}{p}\right) = \rho V \left(\frac{p - p + \Delta p}{p}\right) = \frac{\rho V \Delta p}{p}$.

(C) गैस की rms चाल का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $v_{rms} \propto \sqrt{T}$,यदि चाल $v$ से बढ़कर $\sqrt{3}v$ हो जाती है,तो तापमान $T_1$ से बढ़कर $T_2$ हो जाता है,जहाँ $\frac{v_{rms2}}{v_{rms1}} = \sqrt{\frac{T_2}{T_1}} = \sqrt{3}$ है।
अतः,$\frac{T_2}{T_1} = 3$,जिसका अर्थ है $T_2 = 3T_1$।
नियत आयतन पर द्विपरमाणुक गैस के लिए आवश्यक ऊष्मा $Q = n C_v \Delta T$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए स्वतंत्रता की कोटि $f = 5$ है,इसलिए $C_v = \frac{5}{2}R$।
दिया गया है $n = 4 \ mol$,$Q = 83.1 \ kJ = 83100 \ J$,और $R = 8.31 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$।
मान रखने पर: $83100 = 4 \times \frac{5}{2} \times 8.31 \times (3T_1 - T_1)$।
$83100 = 10 \times 8.31 \times 2T_1$।
$83100 = 166.2 \times T_1$।
$T_1 = \frac{83100}{166.2} = 500 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T_1(^{\circ}C) = 500 - 273 = 227^{\circ}C$।

(B) जब पात्र अचानक रुक जाता है, तो पात्र की सामूहिक गति के कारण गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा गैस की आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है और $v$ पात्र का वेग है।
गैस के प्रति मोल गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2} M v^2$ है, जहाँ $M$ को $kg/mol$ में लिया गया है।
$M = 83 \, g/mol = 0.083 \, kg/mol$.
$K.E. = \frac{1}{2} \times 0.083 \times (30)^2 = \frac{1}{2} \times 0.083 \times 900 = 0.083 \times 450 = 37.35 \, J/mol$.
एकपरमाणुक गैस के लिए, आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = n C_v \Delta T$ होता है।
यहाँ $n=1$ मोल है और एकपरमाणुक गैस के लिए $C_v = \frac{3}{2} R$ होता है:
$\Delta U = 1 \times \frac{3}{2} \times 8.3 \times \Delta T = 12.45 \Delta T$.
गतिज ऊर्जा को आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर रखने पर:
$37.35 = 12.45 \Delta T$.
$\Delta T = \frac{37.35}{12.45} = 3 \, K$.

(A) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ} C = 300 \ K$,प्रारंभिक दबाव $P_1 = 600 \ kPa$ है।
एक-चौथाई गैस निकालने के बाद,शेष गैस की मात्रा $n_2 = \frac{3}{4} n_1$ है।
टैंक का आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $V_1 = V_2 = V$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ} C = 600 \ K$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$\frac{P_1 V}{n_1 T_1} = \frac{P_2 V}{n_2 T_2}$ प्राप्त होता है।
$P_2$ के लिए हल करने पर: $P_2 = P_1 \times \left( \frac{n_2}{n_1} \right) \times \left( \frac{T_2}{T_1} \right)$।
मान रखने पर: $P_2 = 600 \times \left( \frac{3}{4} \right) \times \left( \frac{600}{300} \right)$।
$P_2 = 600 \times 0.75 \times 2 = 900 \ kPa$।

(C) गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,गैस के अणु की औसत गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{3}{2} k_B T$ द्वारा दी जाती है। यह दर्शाता है कि तापमान $T$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा का सीधा माप है। अतः,कथन $(a)$ सत्य है।
तापमान एक अवस्था फलन है जो केवल कणों की औसत गतिज ऊर्जा पर निर्भर करता है और गैस की प्रकृति से स्वतंत्र होता है। अतः,कथन $(b)$ असत्य है।
गैस के अणुओं की औसत गति $v_{avg} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूंकि $v_{avg} \propto \frac{1}{\sqrt{M}}$,भारी अणुओं (अधिक $M$) की औसत गति कम होती है। अतः,कथन $(c)$ सत्य है और कथन $(d)$ असत्य है।
इसलिए,कथन $(a)$ और $(c)$ सत्य हैं।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर दबाव $P$ पर,तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P \frac{dV}{dT} = nR$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$।
आयतन प्रसार गुणांक $\gamma$ को $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\frac{dV}{dT} = \frac{nR}{P}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{nR}{P} \right) = \frac{nR}{PV}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $PV = nRT$,इसलिए $\gamma = \frac{nR}{nRT} = \frac{1}{T}$।
दिया गया तापमान $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
अतः,$\gamma = \frac{1}{300} \ K^{-1} \approx 0.00333 \ K^{-1} = 33 \times 10^{-4} \ K^{-1}$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,आयतन प्रसार गुणांक $(\gamma_V)$ और दाब गुणांक $(\gamma_P)$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\gamma_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P$
$\gamma_P = \frac{1}{P} (\frac{\partial P}{\partial T})_V$
आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है।
नियत दाब पर,$V = (\frac{nR}{P})T$,इसलिए $(\frac{\partial V}{\partial T})_P = \frac{nR}{P}$. अतः,$\gamma_V = \frac{1}{V} \cdot \frac{nR}{P} = \frac{1}{T}$.
नियत आयतन पर,$P = (\frac{nR}{V})T$,इसलिए $(\frac{\partial P}{\partial T})_V = \frac{nR}{V}$. अतः,$\gamma_P = \frac{1}{P} \cdot \frac{nR}{V} = \frac{1}{T}$.
चूंकि $\gamma_V = \gamma_P = \frac{1}{T}$,इसलिए उनका अंतर $\gamma_V - \gamma_P = 0$ है।

(D) स्थिर दाब पर दी गई ऊष्मा $Q = n C_p \Delta T$ द्वारा दी जाती है। चूंकि $Q$ और $n$ समान हैं,इसलिए दोनों गैसों के लिए $C_p \Delta T$ स्थिर रहेगा।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{p,1} = \frac{5}{2}R$ और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_1 = n C_{v,1} \Delta T_1 = n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1$ है।
द्विपरमाणुक गैस के लिए,$C_{p,2} = \frac{7}{2}R$ और आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U_2 = n C_{v,2} \Delta T_2 = n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2$ है।
चूंकि $Q = n C_{p,1} \Delta T_1 = n C_{p,2} \Delta T_2$,इसलिए $\frac{5}{2}R \Delta T_1 = \frac{7}{2}R \Delta T_2$,जिसका अर्थ है $\Delta T_1 = \frac{7}{5} \Delta T_2$।
आंतरिक ऊर्जा परिवर्तनों का अनुपात $\frac{\Delta U_1}{\Delta U_2} = \frac{n (\frac{3}{2}R) \Delta T_1}{n (\frac{5}{2}R) \Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{\Delta T_1}{\Delta T_2} = \frac{3}{5} \times \frac{7}{5} = \frac{21}{25}$ है।

(C) आदर्श गैस के $1 \text{ mole}$ के लिए,$pV = RT \Rightarrow p = \frac{RT}{V}$।
दी गई प्रक्रिया समीकरण: $p = p_0 \left(1 - \alpha \frac{V^3}{V_0^3}\right)$।
$p$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{RT}{V} = p_0 - \frac{\alpha p_0 V^3}{V_0^3} \Rightarrow T = \frac{p_0 V}{R} - \frac{\alpha p_0 V^4}{R V_0^3}$।
अधिकतम तापमान के लिए,$\frac{dT}{dV} = 0$: $\frac{dT}{dV} = \frac{p_0}{R} - \frac{4 \alpha p_0 V^3}{R V_0^3} = 0$।
इससे $V^3 = \frac{V_0^3}{4 \alpha}$ प्राप्त होता है।
$V^3$ को $T$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $T_{\max} = \frac{p_0}{R} \left( \frac{V_0}{(4 \alpha)^{1/3}} \right) - \frac{\alpha p_0}{R V_0^3} \left( \frac{V_0^3}{4 \alpha} \right) \left( \frac{V_0}{(4 \alpha)^{1/3}} \right) = \frac{p_0 V_0}{R (4 \alpha)^{1/3}} \left( 1 - \frac{1}{4} \right) = \frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R (4 \alpha)^{1/3}}$।
दिया गया है कि $T_{\max} = \frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R}$,इसलिए $\frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R} = \frac{3}{4} \frac{p_0 V_0}{R (4 \alpha)^{1/3}}$।
अतः,$(4 \alpha)^{1/3} = 1 \Rightarrow 4 \alpha = 1 \Rightarrow \alpha = \frac{1}{4}$।

(C) प्रारंभिक स्थिति: नली की लंबाई $100 \ cm$ है, जिसमें बीच में $10 \ cm$ का पारा है। प्रत्येक तरफ हवा की लंबाई $(100 - 10) / 2 = 45 \ cm$ है। प्रारंभिक दबाव $P_0 = 76 \ cm$ $Hg$, प्रारंभिक तापमान $T_0 = 31 + 273 = 304 \ K$ है।
आदर्श गैस समीकरण $\frac{PV}{T} = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करते हुए, प्रारंभिक स्थिति के लिए: $\frac{P_0 V_0}{T_0} = \frac{76 \times 45}{304}$।
अंतिम स्थिति: मान लीजिए कि $0^{\circ} C$ $(273 \ K)$ पर हवा के स्तंभ की नई लंबाई $l$ है, और $273^{\circ} C$ $(546 \ K)$ पर हवा के स्तंभ की लंबाई $(90 - l)$ है। मान लीजिए नया दबाव $P'$ है।
चूंकि पारे का स्तंभ स्थिर है, इसलिए दोनों तरफ का दबाव समान होना चाहिए: $P_2 = P_3 = P'$।
दोनों तरफ के लिए गैस नियम का उपयोग करते हुए:
$\frac{P' l}{273} = \frac{P' (90 - l)}{546} = \frac{76 \times 45}{304}$।
$\frac{P' l}{273} = \frac{P' (90 - l)}{546}$ से, हमें $2l = 90 - l$ मिलता है, जिसका अर्थ है $3l = 90$, इसलिए $l = 30 \ cm$।
अब, $l = 30 \ cm$ को समीकरण में रखने पर: $\frac{P' \times 30}{273} = \frac{76 \times 45}{304}$।
$P' = \frac{76 \times 45 \times 273}{304 \times 30} = 102.375 \approx 102.4 \ cm$ $Hg$।

(D) आदर्श गैस समीकरण से,हमारे पास $PV = nRT$ है।
चूंकि मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हम $PV = \frac{m}{M}RT$ लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों को आयतन $V$ से विभाजित करने पर,हमें $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है,जहाँ $\rho = \frac{m}{V}$ घनत्व है।
समान तापमान $T$ पर दो गैसों $A$ और $B$ के लिए,उनके आंशिक दबाव का अनुपात है:
$\frac{P_A}{P_B} = \frac{\rho_A R T / M_A}{\rho_B R T / M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{M_B}{M_A}$.
घनत्व का अनुपात ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{P_A}{P_B} \times \frac{M_A}{M_B}$.
दिया गया है कि $\frac{M_A}{M_B} = \frac{3}{4}$ और $\frac{P_A}{P_B} = \frac{2}{3}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{6}{12} = 0.5$।

(B) एकसमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में,द्रव्यमान केंद्र $(COM)$ और गुरुत्व केंद्र $(COG)$ एक ही बिंदु पर होते हैं।
द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई $y_{\text{cen}}$ का सूत्र: $y_{\text{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \, dm}{\int_{0}^{\infty} dm} = \frac{\int_{0}^{\infty} y \rho(y) \, dy}{\int_{0}^{\infty} \rho(y) \, dy}$.
बैरोमीटर के सूत्र के अनुसार,$y$ ऊँचाई पर गैस का घनत्व: $\rho(y) = \rho_{0} e^{-Mgy / RT}$.
इस मान को समाकलन में रखने पर:
$y_{\text{cen}} = \frac{\int_{0}^{\infty} y e^{-Mgy / RT} \, dy}{\int_{0}^{\infty} e^{-Mgy / RT} \, dy}$.
मानक समाकलन $\int_{0}^{\infty} x e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a^2}$ और $\int_{0}^{\infty} e^{-ax} \, dx = \frac{1}{a}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $a = \frac{Mg}{RT}$:
$y_{\text{cen}} = \frac{1/a^2}{1/a} = \frac{1}{a} = \frac{RT}{Mg}$.

(C) किसी प्रक्रिया के लिए,मोलर ऊष्मा धारिता $C = C_{V} + \frac{P}{n} \frac{dV}{dT}$ द्वारा दी जाती है।
एकपरमाणुक गैस के लिए,$C_{V} = \frac{3}{2} R$ है।
यह प्रक्रिया $V-T$ आरेख में एक सीधी रेखा है जो $(V_{0}, T_{0})$ और $(2V_{0}, 3T_{0})$ से होकर गुजरती है।
रेखा का समीकरण $V - V_{0} = \frac{2V_{0} - V_{0}}{3T_{0} - T_{0}} (T - T_{0}) = \frac{V_{0}}{2T_{0}} (T - T_{0})$ है।
अतः,$\frac{dV}{dT} = \frac{V_{0}}{2T_{0}}$ है।
आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ का उपयोग करने पर,$P = \frac{nRT}{V}$ प्राप्त होता है।
$(V_{0}, T_{0})$ बिंदु पर,$P = \frac{nRT_{0}}{V_{0}}$ है।
इन मानों को ऊष्मा धारिता के सूत्र में रखने पर:
$C = \frac{3}{2} R + \left( \frac{nRT_{0}}{V_{0}} \right) \frac{1}{n} \left( \frac{V_{0}}{2T_{0}} \right) = \frac{3}{2} R + \frac{R}{2} = 2R$।

(B) पात्र के अंदर कुल दबाव शुष्क हवा के आंशिक दबाव $(p)$ और पानी के संतृप्त वाष्प दबाव $(\bar{p})$ का योग है,इसलिए $P_{total} = p + \bar{p}$ है।
जब तापमान स्थिर रखकर आयतन को आधा $(V' = V/2)$ किया जाता है,तो शुष्क हवा का आंशिक दबाव बॉयल के नियम $(P_1V_1 = P_2V_2)$ का पालन करता है।
इस प्रकार,शुष्क हवा का नया दबाव $p' = p \times (V / (V/2)) = 2p$ हो जाता है।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,इसलिए पानी का संतृप्त वाष्प दबाव $(\bar{p})$ अपरिवर्तित रहता है क्योंकि यह केवल तापमान पर निर्भर करता है।
अतः,नया कुल दबाव $P'_{total} = p' + \bar{p} = 2p + \bar{p}$ होगा।

(B) टक्कर आवृत्ति $(Z)$ का सूत्र है: $Z = \sqrt{2} \pi d^2 N \bar{v}$,जहाँ $\bar{v} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$.
चूंकि दोनों गैसों के लिए तापमान $(T)$ और संख्या घनत्व $(N)$ समान हैं,इसलिए $Z \propto d^2 \sqrt{\frac{1}{M}}$.
दिया गया है: $d_A = \frac{d_B}{2}$ और $M_A = 4M_B$.
अतः,टक्कर आवृत्तियों का अनुपात:
$\frac{Z_A}{Z_B} = \left( \frac{d_A}{d_B} \right)^2 \sqrt{\frac{M_B}{M_A}}$
$\frac{Z_A}{Z_B} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \sqrt{\frac{M_B}{4M_B}} = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8}$.
चूंकि $Z_B = 32 \times 10^{18} /s$ दिया गया है,इसलिए:
$Z_A = \frac{32 \times 10^{18}}{8} = 4 \times 10^{18} /s$.

(A) घूर्णन अक्ष $A$ से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के गैस के एक छोटे अवयव पर विचार करें। मान लीजिए नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है।
इस अवयव पर लगने वाला नेट बल जो अभिकेंद्र त्वरण प्रदान करता है,$(P+dP)A - PA = (dm) \omega^2 x$ है।
$AdP = (dm) \omega^2 x$.
चूंकि $dm = \rho A dx$,इसलिए $dP = \rho \omega^2 x dx$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PM = \rho RT$ का उपयोग करते हुए,$\rho = \frac{PM}{RT}$ है।
$\rho$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,$dP = \left(\frac{PM}{RT}\right) \omega^2 x dx$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,$\frac{dP}{P} = \frac{M \omega^2}{RT} x dx$.
$x=0$ से $x=l$ और $P=P_A$ से $P=P_B$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{P_A}^{P_B} \frac{dP}{P} = \frac{M \omega^2}{RT} \int_0^l x dx$.
$\ln\left(\frac{P_B}{P_A}\right) = \frac{M \omega^2}{RT} \left[\frac{x^2}{2}\right]_0^l = \frac{M \omega^2 l^2}{2RT}$.
अतः,$P_B = P_A \exp\left(\frac{M \omega^2 l^2}{2RT}\right)$.

(A) कथन $I$ सही है। एक आदर्श गैस के लिए आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = nC_v \Delta T$ द्वारा दिया जाता है। चूँकि $C_v = \frac{R}{\gamma - 1}$,इसे प्रतिस्थापित करने पर $\Delta U = \frac{nR}{\gamma - 1}(T_f - T_i)$ प्राप्त होता है।
कथन $II$ भी सही है। स्थिर आयतन पर मोलर ऊष्मा धारिता $C_v = \frac{fR}{2}$ है और स्थिर दाब पर $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ है। इसलिए,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{fR}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$।
चूँकि दोनों कथन सत्य हैं और $f$ के संदर्भ में $\gamma$ की परिभाषा वह मूलभूत गुण है जिसका उपयोग कथन $I$ में व्यंजक को व्युत्पन्न करने के लिए किया जाता है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) आदर्श गैस अणु की औसत गतिज ऊर्जा का सूत्र $KE_{avg} = \frac{3}{2}kT$ है,जहाँ $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
चूंकि $KE_{avg}$ केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है,यदि $H_2$ और $O_2$ अणुओं की औसत गतिज ऊर्जा समान है,तो उनका तापमान समान होना चाहिए। अतः,अभिकथन $A$ सत्य है।
गैस अणुओं की रूट मीन स्क्वायर (r.m.s.) चाल $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,$T$ तापमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
चूंकि $H_2$ $(2 \ g/mol)$ और $O_2$ $(32 \ g/mol)$ का मोलर द्रव्यमान $M$ अलग-अलग है,इसलिए समान तापमान पर भी उनकी $v_{rms}$ चालें अलग-अलग होंगी। अतः,कारण $R$ असत्य है।

(A) माना प्रत्येक पात्र का आयतन $V$ है।
प्रारंभ में,मोलों की कुल संख्या $n = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{RT_0} + \frac{P_0 V}{RT_0} = \frac{2P_0 V}{RT_0}$ है।
यहाँ $P_0 = 90 \text{ kPa}$ और $T_0 = 400 \text{ K}$ दिया गया है,इसलिए $n = \frac{2 \cdot 90 \cdot V}{R \cdot 400} = \frac{180V}{400R}$।
अंत में,माना दोनों पात्रों में दाब $P'$ है क्योंकि वे जुड़े हुए हैं।
मोलों की कुल संख्या $n'$ स्थिर रहती है,इसलिए $n' = n$।
$n' = \frac{P' V}{RT_1} + \frac{P' V}{RT_2} = \frac{P' V}{R} (\frac{1}{400} + \frac{1}{500}) = \frac{P' V}{R} (\frac{5+4}{2000}) = \frac{9P' V}{2000R}$।
$n = n'$ को बराबर करने पर:
$\frac{180V}{400R} = \frac{9P' V}{2000R}$।
$P' = \frac{180}{400} \cdot \frac{2000}{9} = \frac{180}{9} \cdot \frac{2000}{400} = 20 \cdot 5 = 100 \text{ kPa}$।

(C) हम जानते हैं कि आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जिसका अर्थ है $P = \frac{nRT}{V}$।
दी गई प्रक्रिया का समीकरण $PT^3 = C$ है,जहाँ $C$ एक स्थिरांक है।
$P$ का मान प्रक्रिया समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\left(\frac{nRT}{V}\right) T^3 = C$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{T^4}{V} = \frac{C}{nR} = C'$ प्राप्त होता है,जहाँ $C'$ एक अन्य स्थिरांक है।
अतः,$V = \frac{1}{C'} T^4$,जिसका अर्थ है कि $V \propto T^4$ है।
$V = kT^4$ का लघुगणकीय अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{V} = 4 \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $\beta$ को $\beta = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अवकलन का मान रखने पर,हमें $\beta = \frac{1}{V} \left( \frac{4V}{T} \right) = \frac{4}{T}$ प्राप्त होता है।