Mean Free Path and Real Gases Questions in Gujarati

(A) વાસ્તવિક વાયુઓ વાન્ડર વાલ્સના સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$(P + \frac{n^2 a}{V^2})(V - nb) = nRT$
ઊંચા તાપમાને $(T)$ અને નીચા દબાણે $(P)$,કદ $V$ ખૂબ મોટું બને છે. પરિણામે,સુધારાના પદો $\frac{n^2 a}{V^2}$ અને $nb$ એ અનુક્રમે $P$ અને $V$ ની સરખામણીમાં અવગણ્ય બની જાય છે.
આમ,સમીકરણ $PV = nRT$ માં પરિણમે છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.

(B) ક્રિટીકલ તાપમાન (critical temperature) એ તાપમાન છે જેની ઉપર કોઈપણ વાયુને માત્ર દબાણ આપીને પ્રવાહીમાં રૂપાંતરિત કરી શકાતો નથી.
ક્રિટીકલ તાપમાનની નીચે,વાયુ અવસ્થામાં રહેલા પદાર્થને બાષ્પ કહેવામાં આવે છે,કારણ કે તેને દબાણ વધારીને પ્રવાહીમાં ફેરવી શકાય છે.
ક્રિટીકલ તાપમાનની ઉપર,પદાર્થ એવી અવસ્થામાં હોય છે કે તેને ગમે તેટલું દબાણ આપવા છતાં પ્રવાહીમાં ફેરવી શકાતો નથી,અને તે વાયુ તરીકે વર્તે છે.
તેથી,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(D) વાયુનું ક્રાંતિક તાપમાન એ તાપમાન છે કે જેની ઉપર વાયુને માત્ર દબાણ દ્વારા પ્રવાહીમાં ફેરવી શકાતો નથી,પછી ભલે ગમે તેટલું દબાણ આપવામાં આવે.
તેથી,વાયુને દબાણ દ્વારા પ્રવાહીમાં ફેરવવા માટે તેને તેના ક્રાંતિક તાપમાન અથવા તેનાથી નીચેના તાપમાન સુધી ઠંડો કરવો આવશ્યક છે.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(C) સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ એ વાયુના અણુ દ્વારા ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે કાપેલું સરેરાશ અંતર છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$
જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે, $T$ એ તાપમાન છે, $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ એ અણુના વ્યાસના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે:
$\lambda \propto \frac{1}{d^2}$
તેથી, $\lambda \propto d^{-2}$.
આમ, વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) વાસ્તવિક વાયુ ઓછા દબાણ અને ઊંચા તાપમાનની સ્થિતિમાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે અને $PV = RT$ સમીકરણનું પાલન કરે છે.
ઊંચા તાપમાને,અણુઓની ગતિ ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે,જેના કારણે અણુઓ વચ્ચેના આકર્ષણ કે અપાકર્ષણના આંતરઆણ્વિય બળો નગણ્ય બની જાય છે.
ઓછા દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે.
તેથી,આ પરિસ્થિતિઓમાં વાયુના ગતિવાદની ધારણાઓ સાચી ઠરે છે અને વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુના નિયમનું પાલન કરે છે.

(C) આપેલ આલેખ પદાર્થનો $T-s$ (તાપમાન-એન્ટ્રોપી) આલેખ દર્શાવે છે.
રેખા $l$ એ સંતૃપ્ત પ્રવાહી રેખા દર્શાવે છે અને રેખા $g$ એ સંતૃપ્ત વાયુ રેખા દર્શાવે છે.
આ બે રેખાઓ વચ્ચેનો વિસ્તાર 'વેટ રિજન' (ભીનો વિસ્તાર) છે,જ્યાં પ્રવાહી અને વાયુ બંને અવસ્થાઓ સંતુલનમાં એકસાથે અસ્તિત્વ ધરાવે છે.
$T_c$ એ ક્રાંતિક તાપમાન દર્શાવે છે,જે મહત્તમ તાપમાન છે કે જેના પર પદાર્થ પ્રવાહી અને વાયુ બંને અવસ્થામાં એકસાથે રહી શકે છે.
તેથી,પદાર્થ વાયુ અને પ્રવાહી અવસ્થામાં એકસાથે અસ્તિત્વ ધરાવે તે માટે,તાપમાન ક્રાંતિક તાપમાન કરતા ઓછું $(T < T_c)$ હોવું જોઈએ.
સાચો વિકલ્પ - વિકલ્પ-$C$

(A) એક મોલ વાયુ માટે Vander Waals સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$
ક્રાંતિક બિંદુએ,દબાણ $P$ એ કદ $V$ ના વિધેય તરીકે નીચેની શરતોનું પાલન કરે છે:
$\frac{\partial P}{\partial V} = 0$ અને $\frac{\partial^2 P}{\partial V^2} = 0$
અવસ્થાના સમીકરણ પરથી,$P = \frac{RT}{V-b} - \frac{a}{V^2}$.
$V$ ની સાપેક્ષમાં પ્રથમ વિકલન લેતા:
$\frac{\partial P}{\partial V} = -\frac{RT}{(V-b)^2} + \frac{2a}{V^3} = 0 \implies \frac{RT}{(V-b)^2} = \frac{2a}{V^3}$ ... $(1)$
$V$ ની સાપેક્ષમાં દ્વિતીય વિકલન લેતા:
$\frac{\partial^2 P}{\partial V^2} = \frac{2RT}{(V-b)^3} - \frac{6a}{V^4} = 0 \implies \frac{RT}{(V-b)^3} = \frac{3a}{V^4}$ ... $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{V-b}{1} = \frac{2a/V^3}{3a/V^4} = \frac{2V}{3}$
$3V - 3b = 2V \implies V_c = 3b$
$V_c = 3b$ ને સમીકરણ $(1)$ માં મૂકતા:
$\frac{RT_c}{(3b-b)^2} = \frac{2a}{(3b)^3}$
$\frac{RT_c}{4b^2} = \frac{2a}{27b^3}$
$T_c = \frac{8a}{27Rb}$

(C) વાસ્તવિક વાયુના એક મોલ માટે વેન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ $\left( P + \frac{a}{V^2} \right)(V - b) = RT$ છે.
આ સમીકરણમાં,પદ $\frac{a}{V^2}$ એ દબાણ સુધારણા પદ છે,જે વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોને ધ્યાનમાં લે છે.
પદ $b$ એ કદ સુધારણા પદ છે,જે વાયુના અણુઓના મર્યાદિત કદને કારણે બાકાત રાખવામાં આવેલા કદને ધ્યાનમાં લે છે.
તેથી,$a$ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળ દર્શાવે છે અને $b$ કદમાં સુધારો દર્શાવે છે.
સાચો વિકલ્પ - $C$.

(C) વાસ્તવિક વાયુઓ માટે વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ $(P + a(n/V)^2)(V - nb) = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,પદ $a(n/V)^2$ એ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળોને કારણે દબાણ માટેનો સુધારાનો અવયવ દર્શાવે છે.
અહીં,$n$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $V$ એ વાયુનું કદ છે.
વાયુની સપાટી પરના અણુ દ્વારા અનુભવાતું આકર્ષણ બળ એ અણુઓની ઘનતા $(n/V)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
દબાણમાં થતો ઘટાડો એ દીવાલ સાથે અથડાતા અણુઓની ઘનતા અને તેમને પાછા ખેંચતા અણુઓની ઘનતાના ગુણાકારના પ્રમાણમાં હોવાથી,દબાણમાં થતો ઘટાડો $(n/V) \times (n/V) = (n/V)^2$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
તેથી,દબાણ $(n/V)^2$ ના પ્રમાણમાં ઘટે છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો જવાબ છે.

(B) ગેસના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
આદર્શ ગેસનું દબાણ $P$ એ સંખ્યા ઘનતા સાથે $P = nkT$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,અચળ તાપમાને દબાણ ઘટાડવાનો અર્થ એ છે કે સંખ્યા ઘનતા $n$ ઘટે છે.
જેમ કે $n$ એ $\lambda$ ના સૂત્રમાં છેદમાં છે,તેથી $n$ માં ઘટાડો થવાથી સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,જ્યારે બંધ પાત્રમાંથી ગેસ બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ વધે છે.

(B) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે,$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{P}$.
જો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ બમણો કરવામાં આવે (એટલે કે $\lambda' = 2\lambda$),તો નવું દબાણ $P'$ નીચે મુજબ થશે:
$P' = \frac{P}{2}$.
તેથી,જો સરેરાશ મુક્ત પથ બમણો થાય,તો વાયુનું દબાણ તેના પ્રારંભિક મૂલ્ય કરતા અડધું થઈ જશે.

(C) વાસ્તવિક વાયુઓ માટે વાન્ડર વાલ્સ સમીકરણ મુજબ,દબાણ $P_{real} = P_{ideal} - a(n/V)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,પદ $a(n/V)^2$ એ આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળોને કારણે દબાણમાં થતો ઘટાડો દર્શાવે છે.
જો આ આંતરઆણ્વિય બળો ગેરહાજર હોય (એટલે કે $a = 0$),તો અવલોકિત દબાણ $P$ એ આદર્શ દબાણ જેટલું હશે,જે બળો હાજર હોય ત્યારે અવલોકિત દબાણ કરતા વધારે હોય છે.
તેથી,આવા બળોની ગેરહાજરીમાં અવલોકિત દબાણ એ બળોની હાજરીમાં અવલોકિત દબાણ $P$ કરતા વધારે હશે.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,સંકોચનીયતા અવયવ $Z = \frac{PV}{nRT} = 1$ હોય છે. $n = 1$ મોલ માટે,$Z = \frac{PV}{RT} = 1$ થાય.
ઓછા દબાણે,બધા વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુની જેમ વર્તે છે,તેથી જેમ $P$ એ $0$ ની નજીક જાય છે તેમ $\frac{PV}{RT}$ એ $1$ ની નજીક જાય છે.
જેમ દબાણ વધે છે,તેમ અણુઓનું મર્યાદિત કદ અને આંતર-આણ્વિય બળો વિચલનનું કારણ બને છે.
મોટાભાગના વાસ્તવિક વાયુઓ માટે ઊંચા દબાણે,અણુઓનું કદ નોંધપાત્ર બને છે,જેનાથી વાયુ આદર્શ વાયુ કરતા ઓછો સંકોચનીય બને છે,જે $Z > 1$ તરફ દોરી જાય છે. આ આલેખમાં ઉપરની તરફના વલણને અનુરૂપ છે.
વક્ર $B$ આ લાક્ષણિક વર્તણૂક દર્શાવે છે જ્યાં દબાણ વધતા $\frac{PV}{RT}$ નું મૂલ્ય $1$ થી વધે છે.

(C) સંકોચનીયતા અવયવ $Z$ ને $Z = PV/RT$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. આદર્શ વાયુ માટે,તમામ દબાણ અને તાપમાને $Z = 1$ હોય છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા દબાણે આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
નાઈટ્રોજન વાયુ માટે,જેમ તાપમાન વધે છે,તેમ વાયુ વધુ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તે છે.
આપેલ ઊંચા દબાણે,તાપમાન વધવાની સાથે $Z = 1$ થી વિચલન ઘટે છે.
આલેખ જોતા,વક્ર $1$ એ આદર્શ વાયુની વર્તણૂક $(Z = 1)$ દર્શાવે છે.
વક્ર $2, 3,$ અને $4$ વિવિધ તાપમાને વાસ્તવિક વાયુની વર્તણૂક દર્શાવે છે.
જેમ ઊંચું તાપમાન આદર્શ વર્તણૂકની નજીક લઈ જાય છે,તેમ જે વક્ર આદર્શ રેખા $(Z = 1)$ ની સૌથી નજીક રહે છે તે સૌથી ઊંચું તાપમાન દર્શાવે છે.
તેથી,વક્ર $2$ એ દર્શાવેલ વાસ્તવિક વાયુના વક્રોમાં સૌથી ઊંચું તાપમાન દર્શાવે છે,કારણ કે તે આદર્શ વર્તણૂકથી સૌથી ઓછું વિચલન દર્શાવે છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુ માટે એન્ડ્રુઝ આઇસોથર્મ આકૃતિમાં,ક્રાંતિક તાપમાન એ તાપમાન તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે જ્યાં આઇસોથર્મનો આડો ભાગ (જે વાયુમાંથી પ્રવાહીમાં તબક્કાના સંક્રમણને દર્શાવે છે) એક જ ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુમાં ઘટાડો થાય છે.
આપેલ $P-V$ વક્રોને જોતા:
- તાપમાન ${T_4}$ અને ${T_3}$ પર,પ્રવાહી અને વાયુ તબક્કાઓના સહઅસ્તિત્વને દર્શાવતો સ્પષ્ટ આડો પ્રદેશ છે.
- તાપમાન ${T_2}$ પર,આડો પ્રદેશ એક ઇન્ફ્લેક્શન બિંદુ સુધી સંકોચાઈ ગયો છે,જે ક્રાંતિક આઇસોથર્મની લાક્ષણિકતા છે.
- તાપમાન ${T_1}$ પર,વક્ર સરળ છે અને કોઈ તબક્કાનું સંક્રમણ દર્શાવતું નથી,જે સૂચવે છે કે તે ક્રાંતિક તાપમાન કરતા વધારે છે.
તેથી,વાયુનું ક્રાંતિક તાપમાન ${T_2}$ છે.

(B) વાસ્તવિક વાયુ માટેના $P-V$ આલેખમાં,સમતાપી વક્રનો આડો ભાગ વાયુમાંથી પ્રવાહીમાં થતા કલા રૂપાંતરણને દર્શાવે છે,જેને પ્રવાહીકરણ કહેવામાં આવે છે.
આપેલ આકૃતિમાં,વિભાગ $BC$ એ અચળ દબાણ વાળો વિસ્તાર દર્શાવે છે જ્યાં અચળ તાપમાને પ્રવાહી અને વાયુ બંને અવસ્થાઓ સહઅસ્તિત્વ ધરાવે છે.
તેથી,$CB$ (અથવા $BC$) એ પ્રવાહીકરણની પ્રક્રિયા દર્શાવે છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો જવાબ છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઊર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. પ્રક્રિયા સમતાપી હોવાથી (તાપમાન અચળ રહે છે),આદર્શ વાયુ $A$ માટે આંતરિક ઊર્જામાં થતો ફેરફાર શૂન્ય છે.
વાસ્તવિક વાયુ $B$ માટે,આંતરિક ઊર્જા તાપમાન અને કદ બંને પર આધાર રાખે છે કારણ કે તેમાં આંતરઆણ્વિય બળો હાજર હોય છે. જ્યારે વાસ્તવિક વાયુનું કદ વધે છે,ત્યારે આ આકર્ષી આંતરઆણ્વિય બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે,જે સિસ્ટમની આંતરિક ઊર્જામાં વધારો કરે છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ $B$ ની આંતરિક ઊર્જામાં થતો વધારો આદર્શ વાયુ $A$ કરતા વધારે હોય છે.

(B) ઓછા દબાણે,ઇલેક્ટ્રોનનો સરેરાશ મુક્ત પથ (mean free path) નોંધપાત્ર રીતે વધે છે.
આને કારણે,ઇલેક્ટ્રોન ઉર્જા ગુમાવ્યા વિના ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે લાંબુ અંતર કાપી શકે છે.
પરિણામે,તેઓ લાગુ કરેલા વિદ્યુત ક્ષેત્રમાંથી પૂરતી ગતિજ ઉર્જા પ્રાપ્ત કરે છે જેથી અથડામણ સમયે વાયુના પરમાણુઓનું આયનીકરણ થઈ શકે.
આ આયનીકરણની પ્રક્રિયા વધુ વિદ્યુતભારીત કણો (આયનો અને ઇલેક્ટ્રોન) બનાવે છે,જે વાયુને વિદ્યુતનું વહન કરવા દે છે.

(C) વાન્ડરવાલ્સ સમીકરણ $\left( P + \frac{a}{V^2} \right)(V - b) = RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આ સમીકરણમાં,પદ $\frac{a}{V^2}$ ને દબાણ $P$ માં ઉમેરવામાં આવે છે જે વાયુના અણુઓ વચ્ચેના આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળને દર્શાવે છે. તેથી,$a$ એ આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળ સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.
પદ $b$ ને મોલર કદ $V$ માંથી બાદ કરવામાં આવે છે જે વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલા વાસ્તવિક કદને દર્શાવે છે. તેથી,$b$ એ કદમાં સુધારા (બાકાત કદ) સાથે સંબંધિત અચળાંક છે.
આમ,$a$ એ આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળ અને $b$ એ કદમાં સુધારો સૂચવે છે.

(D) વાયુના ગતિવાદ મુજબ,ધારણાઓ નીચે મુજબ છે:
$1$. અણુઓ બિંદુવત દળ ધરાવે છે અને બધી દિશાઓમાં યાદચ્છિક રીતે ગતિ કરે છે.
$2$. અણુઓ વચ્ચેની અને પાત્રની દીવાલ સાથેની અથડામણ સંપૂર્ણ સ્થિતિસ્થાપક હોય છે.
$3$. અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ હોતું નથી.
$4$. અણુઓ અલગ-અલગ વેગથી ગતિ કરે છે,જે મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણને અનુસરે છે.
$5$. બે ક્રમિક અથડામણ વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્ત પથ કહેવામાં આવે છે.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચું વિધાન છે.

(C) જ્યારે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો નગણ્ય હોય અને વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય,ત્યારે વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
આ શરતો ઉંચા તાપમાન (જ્યાં ગતિઊર્જા આંતરઆણ્વીય બળો પર પ્રભુત્વ ધરાવે છે) અને નીચી ઘનતા (જ્યાં અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધારે હોય છે,જેનાથી અણુઓનું કદ નગણ્ય બને છે) પર સંતોષાય છે.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ ઉંચા તાપમાન અને નીચી ઘનતાએ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = RT$ નું પાલન કરે છે.

(A) વાન્ડર વાલ્સ વાયુ માટે,ક્રિટિકલ અચળાંકો નીચે મુજબ છે:
$P_c = \frac{a}{27b^2}$
$V_c = 3b$
$T_c = \frac{8a}{27Rb}$
હવે,$P_cV_c/T_c$ ગુણોત્તરની ગણતરી કરીએ:
$\frac{P_cV_c}{T_c} = \frac{(\frac{a}{27b^2}) \times (3b)}{\frac{8a}{27Rb}}$
$= \frac{\frac{3a}{27b}}{\frac{8a}{27Rb}}$
$= \frac{3a}{27b} \times \frac{27Rb}{8a}$
$= \frac{3}{8} R$
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $P$ એ વાયુનું દબાણ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે (એટલે કે,$\lambda \propto \frac{1}{P}$).
તેથી,જો દબાણ $P$ ઘટાડવામાં આવે,તો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ વધશે કારણ કે અણુઓ અન્ય અણુ સાથે અથડાય તે પહેલાં સરેરાશ લાંબુ અંતર કાપશે.

(D) વાન્ડરવાલ્સ અચળાંક '$b$' એ વાયુના પ્રતિ મોલ દીઠ બાકાત રાખેલ કદ દર્શાવે છે.
તેનું સૂત્ર: $b = 4 \times N_A \times V_{molecule}$ છે,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે અને $V_{molecule} = \frac{4}{3} \pi r^3$ છે.
અહીં વ્યાસ $d = 2.94 \times 10^{-10} \ m$ આપેલ છે,તેથી ત્રિજ્યા $r = \frac{d}{2} = 1.47 \times 10^{-10} \ m$ થાય.
$b = 4 \times (6.022 \times 10^{23}) \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.47 \times 10^{-10})^3$.
$b = 4 \times (6.022 \times 10^{23}) \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (3.1765 \times 10^{-30})$.
$b \approx 32 \times 10^{-6} \ m^3/mol$.

(C) આપેલ છે: આણ્વિક ત્રિજ્યા $r = 0.5 \ \mathring A$,તેથી અથડામણનો વ્યાસ $d = 2r = 1 \ \mathring A = 10^{-10} \ m$.
તાપમાન $T = 0 \ ^\circ C = 273 \ K$.
દબાણ $P = 1 \ atm = 1.01 \times 10^5 \ N \ m^{-2}$.
સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = n k_B T$ નો ઉપયોગ કરતા,સંખ્યા ઘનતા $n = \frac{P}{k_B T}$ મળે.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા: $\bar{l} = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi P d^2}$.
$\bar{l} = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 273}{\sqrt{2} \times 3.14159 \times 1.01 \times 10^5 \times (10^{-10})^2}$.
$\bar{l} = \frac{3.7674 \times 10^{-21}}{4.495 \times 10^{-15}} \approx 8.38 \times 10^{-7} \ m$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ: $\bar{l} \approx 8.425 \times 10^{-7} \ m = 8425 \times 10^{-10} \ m = 8425 \ \mathring A$.

(B) વિદ્યુતક્ષેત્ર $E$ માં સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ દરમિયાન ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા મેળવેલી ઉર્જા એ કરેલા કાર્ય જેટલી હોય છે: $W = qE\lambda$.
અહીં આપેલી ઉર્જા $W = 2 \;eV$,વિદ્યુતભાર $q = e$,અને સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = 4 \times 10^{-8} \;m$ છે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $2 \;eV = e \times E \times (4 \times 10^{-8} \;m)$.
$1 \;eV$ એ ઇલેક્ટ્રોન દ્વારા $1 \;V$ ના વિદ્યુતસ્થિતિમાનના તફાવત હેઠળ મેળવેલી ઉર્જા હોવાથી,$2 \;e \;V = e \times E \times 4 \times 10^{-8} \;m$.
બંને બાજુ $e$ અને $4 \times 10^{-8} \;m$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે: $E = \frac{2}{4 \times 10^{-8}} \;V/m$.
$E = 0.5 \times 10^8 \;V/m = 5 \times 10^7 \;V/m$.

(B) વાયુના અણુઓ માટે સરેરાશ મુક્તપથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{kT}{\pi d^2 P}$ છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ છે કે સરેરાશ મુક્તપથ $\lambda$ એ દબાણ $P$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{P}$.
જો સરેરાશ મુક્તપથ બમણો કરવામાં આવે $(\lambda' = 2\lambda)$,તો નવું દબાણ $P'$ એ $\lambda' \propto \frac{1}{P'}$ સંબંધનું પાલન કરશે.
તેથી,$2\lambda \propto \frac{1}{P'}$ હોવાથી,આપણને $P' = \frac{P}{2}$ મળે છે.
આમ,દબાણ $P/2$ થશે.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$
જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
અણુની ત્રિજ્યા $r$ હોવાથી,વ્યાસ $d = 2r$ થાય.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi (2r)^2} = \frac{1}{4\sqrt{2} n \pi r^2}$
આ સમીકરણ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{r^2}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ $r^2$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.

(B) અથડામણ વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $\tau = \frac{\lambda}{v_{rms}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે અને $v_{rms}$ એ રૂટ મીન સ્ક્વેર ઝડપ છે.
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 (N/V)} \propto V$.
$v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} \propto \sqrt{T}$.
આમ,$\tau \propto \frac{V}{\sqrt{T}}$.
એડિબેટિક પ્રક્રિયા માટે,$TV^{\gamma-1} = \text{અચળ}$,જેનો અર્થ છે કે $T \propto V^{1-\gamma}$.
આ કિંમત $\tau$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tau \propto \frac{V}{(V^{1-\gamma})^{1/2}} = \frac{V}{V^{(1-\gamma)/2}} = V^{1 - \frac{1-\gamma}{2}} = V^{\frac{2-1+\gamma}{2}} = V^{\frac{\gamma+1}{2}}$.
આને $V^q$ સાથે સરખાવતા,આપણને $q = \frac{\gamma+1}{2}$ મળે છે.

(C) વાયુ માટે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 n}$ છે,જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{mol} RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n_{mol} = \frac{N}{N_a}$,આપણને મળે છે $P = \frac{N}{V} \frac{RT}{N_a} = n \frac{RT}{N_a}$.
તેથી,$n = \frac{P N_a}{RT}$.
$\lambda$ ના સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda = \frac{RT}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 P N_a}$ મળે છે.
અણુઓની ગતિ આઇસોટ્રોપિક હોવાથી,સરેરાશ મુક્ત પથના ઘટકો વચ્ચેનો સંબંધ $\lambda^2 = \lambda_x^2 + \lambda_y^2 + \lambda_z^2$ છે. સંમિતિને કારણે,$\lambda_x = \lambda_y = \lambda_z$,તેથી $\lambda^2 = 3 \lambda_x^2$,જેનો અર્થ છે કે $\lambda_x = \frac{\lambda}{\sqrt{3}}$.
$\lambda$ ની કિંમત મૂકતા,$\lambda_x = \frac{RT}{\sqrt{3} \sqrt{2} P N_a \pi \sigma^2} = \frac{RT}{\sqrt{6} P N_a \pi \sigma^2}$ મળે છે.

(A) જ્યારે આંતરઆણ્વિય બળો નગણ્ય હોય અને વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય ત્યારે વાસ્તવિક વાયુ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.
નીચા દબાણે,અણુઓ એકબીજાથી દૂર હોય છે,જેનાથી આંતરઆણ્વિય બળો નગણ્ય બને છે.
ઊંચા તાપમાને,અણુઓની ગતિઊર્જા વધારે હોય છે,જે આંતરઆણ્વિય બળોની અસરને પણ નગણ્ય બનાવે છે.
આમ,વિધાન-$1$ સાચું છે.
નીચા દબાણે,આપેલ દળ માટે વાયુનું કદ નોંધપાત્ર રીતે વધે છે,જેનો અર્થ છે કે ઘનતા $(\rho = m/V)$ ખૂબ જ ઓછી થઈ જાય છે.
આ ઓછી ઘનતા સૂચવે છે કે અણુઓ વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર વધારે છે,જે વાયુ શા માટે આદર્શ રીતે વર્તે છે તેનું કારણ આપે છે.
તેથી,વિધાન-$2$ સાચું છે અને તે વિધાન-$1$ ની સાચી સમજૂતી છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,મેયરનો સંબંધ $C_p - C_v = R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અવસ્થા $A$ માં,$C_p - C_v = 1.00 R$,જે સૂચવે છે કે વાયુ આ અવસ્થામાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
અવસ્થા $B$ માં,$C_p - C_v = 1.06 R$,જે $R$ ની બરાબર નથી,જેનો અર્થ છે કે વાયુ આ અવસ્થામાં આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થાય છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે આદર્શ વર્તણૂક તરફ અભિગમ ધરાવે છે.
અવસ્થા $A$ એ અવસ્થા $B$ કરતા આદર્શ વર્તણૂકની વધુ નજીક હોવાથી,તે અવસ્થા $B$ ની તુલનામાં ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે હોવી જોઈએ.
તેથી,$P_A < P_B$ અને $T_A > T_B$.

(B) આદર્શ વાયુમાં,આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો હોતા નથી. જ્યારે તે શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે (જૂલ વિસ્તરણ),ત્યારે કોઈ કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$ અને સિસ્ટમ ઉષ્મીય રીતે અલગ હોવાથી,કોઈ ઉષ્માનું આદાન-પ્રદાન થતું નથી $(Q = 0)$. ઉષ્માગતિશાસ્ત્રના પ્રથમ નિયમ મુજબ,$\Delta U = Q - W = 0$. આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે $(U = f(T))$,તેથી $\Delta U = 0$ નો અર્થ છે $\Delta T = 0$. આમ,તાપમાન અચળ રહે છે.
વાસ્તવિક વાયુમાં,આંતરઆણ્વિય આકર્ષણ બળો હોય છે. જ્યારે વાસ્તવિક વાયુ શૂન્યાવકાશમાં વિસ્તરણ પામે છે,ત્યારે અણુઓએ તેમના અંતરને વધારવા માટે આ આકર્ષણ બળોની વિરુદ્ધ કાર્ય કરવું પડે છે. વિસ્તરણ એડિયાબેટિક $(Q = 0)$ હોવાથી અને કોઈ બાહ્ય કાર્ય થતું નથી $(W = 0)$,આ આંતરિક કાર્ય અણુઓની ગતિજ ઉર્જાના ભોગે થાય છે. પરિણામે,વાસ્તવિક વાયુનું તાપમાન ઘટે છે.
વિધાન $-2$ સાચું છે કારણ કે આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા સંપૂર્ણપણે ગતિજ (સ્થાનાંતરીય) હોય છે,જ્યારે વાસ્તવિક વાયુ માટે,તેમાં આંતરઆણ્વિય ક્રિયાપ્રતિક્રિયાઓને કારણે ગતિજ ઉર્જા અને સ્થિતિજ ઉર્જા બંનેનો સમાવેશ થાય છે. વિધાન $-2$ સમજાવે છે કે શા માટે વાસ્તવિક વાયુ માટે આંતરિક ઉર્જા બદલાય છે (જે ઠંડક તરફ દોરી જાય છે) પરંતુ આદર્શ વાયુ માટે નહીં,તેથી તે વિધાન $-1$ માટે સાચી સમજૂતી છે.

(B) બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $\tau = \frac{\lambda}{v_{avg}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે અને $v_{avg}$ એ સરેરાશ ઝડપ છે.
કારણ કે $\lambda \propto \frac{T}{P}$ અને $v_{avg} \propto \sqrt{T}$,તેથી $\tau \propto \frac{T/P}{\sqrt{T}} \propto \frac{\sqrt{T}}{P}$ થાય.
આપેલ છે કે $P_1 = 2 \, atm$,$T_1 = 300 \, K$,અને $\tau_1 = 6 \times 10^{-8} \, s$.
નવી સ્થિતિ માટે,$P_2 = 2 P_1 = 4 \, atm$ અને $T_2 = 500 \, K$.
ગુણોત્તર $\frac{\tau_2}{\tau_1} = \frac{P_1}{P_2} \sqrt{\frac{T_2}{T_1}}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\tau_2}{6 \times 10^{-8}} = \frac{2}{4} \sqrt{\frac{500}{300}} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{5}{3}}$.
$\tau_2 = 6 \times 10^{-8} \times 0.5 \times 1.29 \approx 3.87 \times 10^{-8} \, s$.
આ કિંમત $4 \times 10^{-8} \, s$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) અથડામણ આવૃત્તિ $Z = \frac{v_{avg}}{\lambda}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 n}$ છે,જ્યાં $n = \frac{N}{V} = \frac{N_A}{V}$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\lambda = \frac{V}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 N_A}$ મળે છે.
આમ,$Z = \frac{v_{avg} \sqrt{2} \pi \sigma^2 N_A}{V}$.
આપેલ છે: $V = 25 \times 10^{-3} \, m^3$,$\sigma = 0.3 \times 10^{-9} \, m$,$v_{rms} = 200 \, m/s$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \, mol^{-1}$.
$v_{avg} = \sqrt{\frac{8}{3\pi}} v_{rms} \approx 0.921 \times 200 \approx 184.2 \, m/s$ નો ઉપયોગ કરતા.
$Z = \frac{184.2 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times (0.3 \times 10^{-9})^2 \times 6.022 \times 10^{23}}{25 \times 10^{-3}}$.
$Z \approx \frac{184.2 \times 1.414 \times 3.14 \times 0.09 \times 10^{-18} \times 6.022 \times 10^{23}}{0.025} \approx \frac{439.5}{0.025} \times 10^5 \approx 1.75 \times 10^{10} \, s^{-1}$.
તેથી,અથડામણ દર $\sim 10^{10} \, s^{-1}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુનો નિયમ એ ધારણા પર આધારિત છે કે વાયુના કણોનું કદ નગણ્ય છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વિય બળો નથી.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે,જ્યાં કણોની ગતિ ઊર્જા વધારે હોય છે અને તેમની વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર ઘણું વધારે હોય છે.
તેનાથી વિપરીત,નીચા તાપમાને અને ઊંચા દબાણે,આંતરઆણ્વિય બળો નોંધપાત્ર બને છે અને વાયુના કણોના કદને અવગણી શકાતું નથી.
તેથી,વાયુ નીચા તાપમાને અને ઊંચા દબાણે આદર્શ વાયુના નિયમથી મહત્તમ વિચલન દર્શાવે છે.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનું સરેરાશ અંતર છે.
તેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 P}$ છે,જ્યાં $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ તાપમાન છે,$\sigma$ અણુનો વ્યાસ છે અને $P$ દબાણ છે.
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V} = \frac{M P}{R T}$ હોવાથી,આપણે સરેરાશ મુક્ત પથને ઘનતાના સંદર્ભમાં $\lambda = \frac{m}{\sqrt{2} \pi \sigma^2 \rho}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
આ સંબંધો પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\lambda \propto \frac{1}{P}$ અને $\lambda \propto \frac{1}{\rho}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ એ વાયુના દબાણ અને ઘનતા બંનેના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
વિધાનમાં જણાવ્યા મુજબ તે ઘનતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે અને કારણમાં જણાવ્યા મુજબ તે દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,તેથી બંને સાચા છે.
વધુમાં,દબાણ અને ઘનતા વચ્ચેનો સંબંધ (અચળ તાપમાને) સમજાવે છે કે શા માટે સરેરાશ મુક્ત પથ બંને પર વ્યસ્ત રીતે આધાર રાખે છે,તેથી કારણ એ વિધાનની સાચી સમજૂતી છે.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n_{v} d^{2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n_{v}$ એ સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ પરમાણુનો વ્યાસ છે.
સરેરાશ મુક્ત સમય $\tau$ ને $\tau = \frac{\lambda}{v_{rms}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$.
$\tau$ ના સમીકરણમાં $\lambda$ અને $v_{rms}$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tau = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n_{v} d^{2}} \sqrt{\frac{M}{3RT}}$.
કારણ કે બંને વાયુઓ માટે $n_{v}$,$R$,અને $T$ સમાન છે,તેથી સરેરાશ મુક્ત સમયનો ગુણોત્તર $\tau_{Ar} / \tau_{Xe}$ નીચે મુજબ થશે:
$\frac{\tau_{Ar}}{\tau_{Xe}} = \sqrt{\frac{M_{Ar}}{M_{Xe}}} \times \left( \frac{d_{Xe}}{d_{Ar}} \right)^{2}$.
આપેલ છે કે $M_{Ar} = 40$,$M_{Xe} = 140$,$d_{Ar} = 2 \times 0.07 \; nm$,અને $d_{Xe} = 2 \times 0.1 \; nm$:
$\frac{\tau_{Ar}}{\tau_{Xe}} = \sqrt{\frac{40}{140}} \times \left( \frac{0.1}{0.07} \right)^{2} = \sqrt{\frac{2}{7}} \times \left( \frac{10}{7} \right)^{2} \approx 0.5345 \times 2.0408 \approx 1.09$.

(N/A) થર્મોમીટર $A$ માટે:
પાણીના ત્રિબિંદુએ,$T = 273.16 \; K$,$P_A = 1.250 \times 10^{5} \; Pa$.
સલ્ફરના ગલનબિંદુએ,$P_1 = 1.797 \times 10^{5} \; Pa$.
ચાર્લ્સના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$T_1 = (P_1 / P_A) \times 273.16 = (1.797 / 1.250) \times 273.16 = 392.69 \; K$.
થર્મોમીટર $B$ માટે:
પાણીના ત્રિબિંદુએ,$T = 273.16 \; K$,$P_B = 0.200 \times 10^{5} \; Pa$.
સલ્ફરના ગલનબિંદુએ,$P_2 = 0.287 \times 10^{5} \; Pa$.
ચાર્લ્સના નિયમનો ઉપયોગ કરતા,$T_1 = (P_2 / P_B) \times 273.16 = (0.287 / 0.200) \times 273.16 = 391.98 \; K$.
$(b)$ ઓક્સિજન અને હાઇડ્રોજન વાયુઓ સંપૂર્ણપણે આદર્શ નથી. આ વિસંગતતા વાસ્તવિક વાયુઓના આદર્શ વાયુ વર્તણૂકથી વિચલનને કારણે ઉદ્ભવે છે. આ વિસંગતતા ઘટાડવા માટે,પ્રયોગ ઓછા દબાણ હેઠળ કરવો જોઈએ,જ્યાં વાયુઓ આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.

સરેરાશ મુક્ત પથ $l$ નું સૂત્ર $l = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
પાણીના અણુ માટે,વ્યાસ $d \approx 2 \times 10^{-10} \; m$ છે.
સંખ્યા ઘનતા $n = \frac{\rho}{m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\rho = 0.6 \; kg \; m^{-3}$ અને $m$ એ પાણીના એક અણુ $(H_2O)$ નું દળ છે.
પાણીના એક અણુનું દળ $m = \frac{18 \times 10^{-3} \; kg}{6.022 \times 10^{23}} \approx 3 \times 10^{-26} \; kg$ છે.
તેથી,$n = \frac{0.6}{3 \times 10^{-26}} = 2 \times 10^{25} \; m^{-3}$.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$l = \frac{1}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (2 \times 10^{-10})^2 \times 2 \times 10^{25}}$
$l = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 4 \times 10^{-20} \times 2 \times 10^{25}}$
$l = \frac{1}{35.47 \times 10^5} \approx 2.8 \times 10^{-7} \; m$.

(B) ઓક્સિજન અણુનો વ્યાસ,$d = 3 \mathring A = 3 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
ત્રિજ્યા,$r = \frac{d}{2} = 1.5 \times 10^{-8} \text{ cm}$.
$STP$ પર $1 \text{ mole}$ ઓક્સિજન વાયુ દ્વારા રોકાયેલ વાસ્તવિક કદ $= 22400 \text{ cm}^3$.
$1 \text{ mole}$ ઓક્સિજન વાયુનું આણ્વિય કદ,$V_m = N_A \times \frac{4}{3} \pi r^3$,જ્યાં $N_A = 6.023 \times 10^{23} \text{ molecules/mole}$.
$V_m = 6.023 \times 10^{23} \times \frac{4}{3} \times 3.14 \times (1.5 \times 10^{-8})^3$.
$V_m \approx 8.51 \text{ cm}^3$.
આણ્વિય કદ અને વાસ્તવિક કદનો ગુણોત્તર $\frac{V_m}{V_{STP}} = \frac{8.51}{22400} \approx 3.8 \times 10^{-4}$ છે.

(A) આપેલ છે: દબાણ $P = 2.0 \; atm = 2.026 \times 10^{5} \; Pa$,તાપમાન $T = 17^{\circ} C = 290 \; K$,ત્રિજ્યા $r = 1.0 \; \mathring{A} = 1.0 \times 10^{-10} \; m$,વ્યાસ $d = 2r = 2.0 \times 10^{-10} \; m$,આણ્વીય દળ $M = 28.0 \times 10^{-3} \; kg/mol$.
$1$. સરેરાશ વર્ગિત વેગ $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8.314 \times 290}{28 \times 10^{-3}}} \approx 508.26 \; m/s$.
$2$. સરેરાશ મુક્ત પથ $l = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^{2} P}$. બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$ નો ઉપયોગ કરતા,$l = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 290}{\sqrt{2} \times 3.1416 \times (2.0 \times 10^{-10})^{2} \times 2.026 \times 10^{5}} \approx 1.11 \times 10^{-7} \; m$.
$3$. અથડામણ આવૃત્તિ $f = \frac{v_{rms}}{l} = \frac{508.26}{1.11 \times 10^{-7}} \approx 4.58 \times 10^{9} \; s^{-1}$.
$4$. અથડામણનો સમય $t_{c} = \frac{d}{v_{rms}} = \frac{2.0 \times 10^{-10}}{508.26} \approx 3.93 \times 10^{-13} \; s$.
$5$. બે અથડામણ વચ્ચેનો સમય $t_{f} = \frac{l}{v_{rms}} = \frac{1.11 \times 10^{-7}}{508.26} \approx 2.18 \times 10^{-10} \; s$.
ગુણોત્તર $\frac{t_{f}}{t_{c}} = \frac{2.18 \times 10^{-10}}{3.93 \times 10^{-13}} \approx 555 \approx 500$.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે. જો કે,વાસ્તવિક વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા વાયુના તાપમાન અને કદ બંને પર આધાર રાખે છે. આનું કારણ એ છે કે વાસ્તવિક વાયુઓમાં આંતર-આણ્વિય બળો હોય છે,અને જેમ અણુઓ વચ્ચેનું અંતર (જે કદ સાથે સંબંધિત છે) બદલાય છે,તેમ આ બળો સાથે સંકળાયેલી સ્થિતિ ઉર્જા પણ બદલાય છે.

(N/A) દ્રવ્ય પરમાણુઓ અથવા અણુઓનું બનેલું છે. પરમાણુઓને ઇલેક્ટ્રોન માઇક્રોસ્કોપ અથવા ટનલિંગ માઇક્રોસ્કોપનો ઉપયોગ કરીને જોઈ શકાય છે. પરમાણુનું પરિમાણ $10^{-10} \; m$ ના ક્રમનું હોય છે.
દ્રવ્યની ત્રણ અવસ્થાઓ ઘન,પ્રવાહી અને વાયુ છે.
$1$. ઘન: ઘન પદાર્થોમાં પરમાણુઓ નજીકથી ગોઠવાયેલા હોય છે અને બે પરમાણુઓ વચ્ચેનું અંતર $2 \; \mathring{A}$ ના ક્રમનું હોય છે. પરમાણુઓની નિકટતાને કારણે,આંતર-પરમાણ્વીય બળો મજબૂત હોય છે,જે તેમને મુક્તપણે ગતિ કરતા અટકાવે છે.
$2$. પ્રવાહી: પ્રવાહીમાં પરમાણુઓ ઘન પદાર્થોની જેમ સખત રીતે જકડાયેલા હોતા નથી. પરમાણુઓ આસપાસ ફરી શકે છે,જેના કારણે પ્રવાહી વહી શકે છે. ઘન પદાર્થોની જેમ,પ્રવાહીમાં પણ પરમાણુઓ એકબીજાની ખૂબ નજીક હોય છે,જેના પરિણામે નોંધપાત્ર આંતર-પરમાણ્વીય બળો લાગે છે.
$3$. વાયુ: વાયુઓમાં આંતર-પરમાણ્વીય અંતર મોટું હોય છે,જે સામાન્ય રીતે $10 \; \mathring{A}$ ના ક્રમનું હોય છે. પરિણામે,આંતર-પરમાણ્વીય બળો ખૂબ જ નબળા હોય છે અને પરમાણુઓ કોઈપણ દિશામાં સ્વતંત્ર રીતે ગતિ કરવા માટે મુક્ત હોય છે. વાયુઓ ખુલ્લા પાત્રમાં રહેતા નથી અને ફેલાઈ જાય છે. વાયુનું વર્તન ગતિશીલ સંતુલન દ્વારા વર્ગીકૃત થયેલ છે,જ્યાં અણુઓ અથડાય છે અને તેમની ઝડપ બદલે છે,જ્યારે તેમના સરેરાશ ગુણધર્મો અચળ રહે છે. અણુ અથડાયા વિના જે સરેરાશ અંતર કાપે છે તેને 'મીન ફ્રી પાથ' (સરેરાશ મુક્ત પથ) કહેવામાં આવે છે,જે $10^{3} \; \mathring{A}$ ના ક્રમનું હોય છે.

(N/A) સરેરાશ મુક્ત પથ એટલે વાયુના અણુ દ્વારા બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્ત પથ કહેવામાં આવે છે.
જો કોઈ અણુ $n$ ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3, ..., \lambda_n$ જેટલું અંતર કાપે,તો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચે મુજબ મળે:
$\lambda = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + ... + \lambda_n}{n}$.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,તેને $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.

(N/A)

આદર્શ વાયુ	વાસ્તવિક વાયુ
$(1)$ તે તમામ તાપમાન અને દબાણ માટે $PV = \mu RT$ નું પાલન કરે છે.	$(1)$ તે તમામ તાપમાન અને દબાણ માટે $PV = \mu RT$ નું પાલન કરતું નથી.
$(2)$ આદર્શ વાયુના અણુઓનું કદ શૂન્ય ગણવામાં આવે છે.	$(2)$ વાસ્તવિક વાયુના અણુઓનું કદ શૂન્ય હોતું નથી.
$(3)$ આદર્શ વાયુમાં અણુઓ વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વીય બળ લાગતું નથી.	$(3)$ અણુઓ વચ્ચેના અંતરના આધારે તેમની વચ્ચે આકર્ષણ કે અપાકર્ષણ બળ લાગે છે.
$(4)$ આંતરપરમાણ્વીય બળ શૂન્ય હોય છે, તેથી સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોય છે.	$(4)$ આંતરપરમાણ્વીય બળ શૂન્ય હોતું નથી, તેથી સ્થિતિ ઊર્જા શૂન્ય હોતી નથી.
$(5)$ માત્ર ગતિ ઊર્જા ધરાવે છે.	$(5)$ ગતિ ઊર્જા અને સ્થિતિ ઊર્જા બંને ધરાવે છે.
$(6)$ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાને આદર્શ વાયુનું કદ, દબાણ અને આંતરિક ઊર્જા શૂન્ય થઈ જાય છે.	$(6)$ તમામ વાસ્તવિક વાયુઓ નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન પહેલાં પ્રવાહી અવસ્થામાં આવી જાય છે અને પ્રવાહી અવસ્થામાં વાયુની આંતરિક ઊર્જા શૂન્ય હોતી નથી.

(N/A) ઉદાહરણ: રસોડામાં સિલિન્ડરમાંથી લીક થતો ગેસ રૂમના બીજા ખૂણા સુધી પહોંચવામાં ઘણો સમય લે છે.
આનું કારણ એ છે કે ગેસના અણુઓ નાના કદના સખત ગોળા જેવા વર્તે છે,તેથી તેઓ યાદચ્છિક ગતિ દરમિયાન એકબીજા સાથે અથડાય છે,જેના કારણે તેમની ઝડપ અને દિશા બદલાય છે.
બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે,અણુઓ અચળ ઝડપ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
મુક્ત પથ: ગેસના અણુ દ્વારા બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અચળ ઝડપથી કાપવામાં આવેલા રેખીય અંતરને મુક્ત પથ કહેવામાં આવે છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ: અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા આવા મુક્ત પથોની સરેરાશને સરેરાશ મુક્ત પથ કહેવામાં આવે છે.
ધારો કે ક્રમિક અથડામણોમાં અણુના મુક્ત પથો $1, 2, 3, \ldots$ એ $l_{1}, l_{2}, l_{3}, \ldots$ છે.
$\therefore \text{સરેરાશ મુક્ત પથ } \bar{l} = \frac{\text{મુક્ત પથોનો સરવાળો}}{\text{અથડામણોની સંખ્યા}} = \frac{l_{1} + l_{2} + l_{3} + \ldots}{n}$

(N/A) વાયુના અણુઓ દ્વારા બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે કાપેલા સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્ત પથ કહે છે.
સરેરાશ મુક્ત પથની ગણતરી બે ધારણાઓ પર આધારિત છે:
$(1)$ વાયુના અણુઓ '$d$' વ્યાસ ધરાવતા સખત ગોળાઓ છે.
$(2)$ ગતિ કરતા એક અણુ સિવાયના અન્ય અણુઓને સ્થિર માનવામાં આવે છે.
ધારો કે વાયુના અણુનો વ્યાસ $d$ છે અને એક અણુની સરેરાશ ઝડપ $\langle v \rangle$ છે.
ધારો કે આ અણુ એવા કોઈપણ અણુ સાથે અથડાય છે જે તેમના કેન્દ્રો વચ્ચે $d$ અંતરની અંદર આવે છે.
તે $\Delta t$ સમયગાળામાં $\pi d^{2} \langle v \rangle \Delta t$ જેટલું કદ આવરી લે છે.
જો $n$ એ એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા હોય,તો અણુ $\Delta t$ સમયગાળામાં $n \pi d^{2} \langle v \rangle \Delta t$ અથડામણો અનુભવે છે.
આમ,અથડામણનો દર $n \pi d^{2} \langle v \rangle$ છે.
બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સમયગાળો:
$\tau = \frac{1}{n \pi \langle v \rangle d^{2}}$
બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેના સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્ત પથ કહે છે,જેને $\bar{l}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\therefore \bar{l} = \langle v \rangle \tau$
$\therefore \bar{l} = \frac{1}{n \pi d^{2}}$

(N/A) આપેલ છે:
સરેરાશ ઝડપ $\langle v \rangle = 485 \ m/s$
સંખ્યા ઘનતા $n = 2.7 \times 10^{25} \ m^{-3}$
વ્યાસ $d = 2 \ \mathring{A} = 2 \times 10^{-10} \ m$
$1$. સરેરાશ મુક્ત પથ $(\bar{l})$:
સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ છે.
$\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \times (2.7 \times 10^{25}) \times 3.14 \times (2 \times 10^{-10})^2}$
$\bar{l} = \frac{1}{1.414 \times 2.7 \times 10^{25} \times 3.14 \times 4 \times 10^{-20}}$
$\bar{l} \approx 2.08 \times 10^{-7} \ m$.
$2$. રિલેક્સેશન સમય $(\tau)$:
રિલેક્સેશન સમયનું સૂત્ર $\tau = \frac{\bar{l}}{\langle v \rangle}$ છે.
$\tau = \frac{2.08 \times 10^{-7}}{485}$
$\tau \approx 4.29 \times 10^{-10} \ s$.

(N/A) $1$. મુક્ત પથ: વાયુના અણુ દ્વારા બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે કાપવામાં આવેલા અંતરને મુક્ત પથ કહેવામાં આવે છે. આ સમયગાળા દરમિયાન,અણુ અચળ વેગ સાથે સીધી રેખામાં ગતિ કરે છે.
$2$. સરેરાશ મુક્ત પથ: વાયુના અણુ દ્વારા બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતરને સરેરાશ મુક્ત પથ કહેવામાં આવે છે. તેને $\lambda$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. જો કોઈ અણુ $n$ અથડામણો વચ્ચે $\lambda_1, \lambda_2, \dots, \lambda_n$ અંતર કાપે,તો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda = \frac{\lambda_1 + \lambda_2 + \dots + \lambda_n}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,તે $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.