Mean Free Path and Real Gases Questions in Gujarati

(N/A) વાયુના અણુઓ માટે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
જ્યાં:
- $\lambda$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે.
- $d$ એ વાયુના અણુનો વ્યાસ છે.
- $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા).

(A) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સંખ્યા ઘનતા $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda \propto \frac{1}{n})$.
તેથી,જો એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા $(n)$ ઘટે,તો સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ વધશે.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
જેમ જેમ વાયુના અણુનો વ્યાસ $d$ શૂન્યની નજીક જાય છે $(d \to 0)$,તેમ છેદ $\sqrt{2} \pi d^2 n$ પણ શૂન્યની નજીક જાય છે.
પરિણામે,સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ અનંત તરફ જાય છે $(\lambda \to \infty)$.

(N/A) વાસ્તવિક વાયુ $low$ $pressure$ (ઓછા દબાણ) અને $high$ $temperature$ (ઊંચા તાપમાન) ની સ્થિતિમાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
$low$ $pressure$ પર,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નહિવત હોય છે.
$high$ $temperature$ પર,વાયુના અણુઓની ગતિઊર્જા ખૂબ જ વધારે હોય છે,જેના કારણે અણુઓ વચ્ચેનું આકર્ષણ બળ નહિવત બની જાય છે.

(B) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ વાયુના અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ વાયુના અણુઓની સંખ્યા ઘનતા $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto \frac{1}{n}$.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે,$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $P$ એ દબાણ છે.
જો દબાણ $P$ અચળ રહેતું હોય,તો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે (એટલે કે,$\lambda \propto T$).

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\bar{l}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^{2} n}$
જ્યાં $d$ એ આણ્વિય વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
આપેલ છે કે વાયુઓ તાપમાન,દબાણ અને કદની સમાન પરિસ્થિતિમાં છે,તેથી બંને વાયુઓ માટે સંખ્યા ઘનતા $n$ અચળ રહે છે.
સૂત્ર પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\bar{l} \propto \frac{1}{d^{2}}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર:
$\frac{\bar{l}_{1}}{\bar{l}_{2}} = \left(\frac{d_{2}}{d_{1}}\right)^{2}$
અહીં $d_{1} = 1\,\mathring{A}$ અને $d_{2} = 2\,\mathring{A}$ આપેલ છે,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\bar{l}_{1}}{\bar{l}_{2}} = \left(\frac{2}{1}\right)^{2} = \frac{4}{1}$
આમ,સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનો નિયમ ત્યારે જ માન્ય રહે છે જ્યારે વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નહિવત હોય.
$1$. $H_2$ ના મોલની સંખ્યા ગણો: $n = \frac{\text{દળ}}{\text{મોલર દળ}} = \frac{0.5 \, g}{2 \, g/mol} = 0.25 \, mol$.
$2$. $H_2$ ના અણુઓની કુલ સંખ્યા $(N)$ ગણો: $N = n \times N_A = 0.25 \times 6.023 \times 10^{23} \approx 1.506 \times 10^{23}$ અણુઓ.
$3$. એક $H_2$ અણુનું કદ $(v_m)$ ગણો: $v_m = \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \times 3.14 \times (10^{-10} \, m)^3 \approx 4.19 \times 10^{-30} \, m^3$.
$4$. અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કુલ કદ $(V_{mol})$ ગણો: $V_{mol} = N \times v_m = 1.506 \times 10^{23} \times 4.19 \times 10^{-30} \approx 6.31 \times 10^{-7} \, m^3$.
$5$. બોઈલના નિયમ $(P_i V_i = P_f V_f)$ નો ઉપયોગ કરીને ચેમ્બરનું અંતિમ કદ $(V_f)$ ગણો:
$V_i = (3 \, cm)^3 = 27 \, cm^3 = 27 \times 10^{-6} \, m^3$.
$P_i = 1 \, atm$,$P_f = 100 \, atm$.
$V_f = \frac{P_i V_i}{P_f} = \frac{1 \times 27 \times 10^{-6}}{100} = 2.7 \times 10^{-7} \, m^3$.
$6$. સરખામણી: અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $(6.31 \times 10^{-7} \, m^3)$ એ પાત્રના કુલ કદ $(2.7 \times 10^{-7} \, m^3)$ કરતા વધારે છે. તેથી,આદર્શ વાયુનો નિયમ લાગુ પાડવો યોગ્ય નથી.

(D) અમે વિમાનોની ગતિને વાયુના અણુઓની યાદચ્છિક ગતિ તરીકે મોડેલ કરી શકીએ છીએ।
$(i)$ નજીકની અથડામણના સમયે, બે વિમાનોના કેન્દ્રો વચ્ચેનું અંતર $d = 2 \times 10 \ m = 20 \ m = 0.02 \ km$ છે।
$(ii)$ આપેલ કદમાં વિમાનોની સંખ્યા ઘનતા $n = \frac{N}{V} = \frac{10}{20 \times 20 \times 1.5} = \frac{10}{600} = 0.0167 \ km^{-3}$ છે।
$(iii)$ બે ક્રમિક નજીકની અથડામણો વચ્ચેનો સમય અંતરાલ સરેરાશ મુક્ત સમય દ્વારા આપવામાં આવે છે, $t = \frac{\bar{l}}{v}$, જ્યાં $\bar{l} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ છે।
આમ, $t = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2 v}$।
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 0.0167 \times (0.02)^2 \times 150}$
$t = \frac{1}{1.414 \times 3.14 \times 0.0167 \times 0.0004 \times 150}$
$t = \frac{1}{0.00444} \approx 225 \ \text{કલાક}$।

(D) આદર્શ વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\lambda = \frac{V}{\sqrt{2} \pi d^2 N}$
જ્યાં $V$ એ પાત્રનું કદ છે,$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે,અને $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે.
વાયુ બંધ પાત્રમાં હોવાથી,તાપમાન વધવા છતાં પાત્રનું કદ $V$ અને અણુઓની સંખ્યા $N$ અચળ રહે છે. તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ બદલાતો નથી.
સરેરાશ અથડામણ સમય $\tau$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ અને અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $(v_{av})$ ના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે:
$\tau = \frac{\lambda}{v_{av}}$
કારણ કે અણુઓની સરેરાશ ઝડપ $v_{av}$ એ $\sqrt{T}$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,તેથી:
$\tau \propto \frac{1}{\sqrt{T}}$
જેમ તાપમાન $T$ વધે છે,તેમ અણુઓની સરેરાશ ઝડપ વધે છે,જેના કારણે સરેરાશ અથડામણ સમય $\tau$ ઘટે છે.
આમ,વિધાનો $(B)$ અને $(C)$ સાચા છે.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે,જ્યાં $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
અચળ દબાણ $P$ માટે,$\lambda \propto T$ થાય.
અણુની સરેરાશ ઝડપ $v_{avg}$ નું સૂત્ર $v_{avg} = \sqrt{\frac{8 k_B T}{\pi m}}$ છે,તેથી $v_{avg} \propto \sqrt{T}$ થાય.
ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $t_0$ ને $t_0 = \frac{\lambda}{v_{avg}}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ચલ પ્રમાણતા મૂકતા: $t_0 \propto \frac{T}{\sqrt{T}} = \sqrt{T}$.
તેથી,ક્રમિક અથડામણો વચ્ચેનો સરેરાશ સમય $T$ સાથે $\sqrt{T}$ મુજબ બદલાય છે.

(C) સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલું સરેરાશ અંતર છે.
વાયુના ગતિવાદ મુજબ,સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
જ્યાં:
$d$ = અણુનો વ્યાસ
$n$ = સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા)
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^2}$ છે.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\ell$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
સરેરાશ મુક્ત પથ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\ell = \frac{1}{\sqrt{2} n \pi d^{2}}$
જ્યાં $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે $\ell$ એ વ્યાસ $d$ ના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$\ell \propto \frac{1}{d^{2}}$.

(B) રિલેક્સેશન સમય $\tau$ એ સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ અને રૂટ મીન સ્ક્વેર વેગ $V_{rms}$ નો ગુણોત્તર છે.
$\tau = \frac{\lambda}{V_{rms}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2} \cdot \frac{1}{\sqrt{3RT/M_0}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2} \sqrt{\frac{M_0}{3RT}}$
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = n_{mol}RT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = N/V = (n_{mol} N_A)/V = (P N_A)/(RT)$.
$n$ ની કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$\tau = \frac{RT}{\sqrt{2} \pi P N_A d^2} \sqrt{\frac{M_0}{3RT}} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi P N_A d^2} \sqrt{\frac{M_0 RT}{3}}$
આપેલ છે: $d = 2 \times \text{ત્રિજ્યા} = 80 \; \mathring{A} = 8 \times 10^{-9} \; \text{m}$,$P = 1.013 \times 10^5 \; \text{Pa}$,$T = 300 \; \text{K}$,$M_0 = 32 \times 10^{-3} \; \text{kg/mol}$,$N_A = 6.022 \times 10^{23} \; \text{mol}^{-1}$,$R = 8.314 \; \text{J/(mol K)}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા $\tau \approx 10^{-12} \; \text{s}$ મળે છે.

(D) સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ માટેનું સૂત્ર: $\lambda = \frac{k T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
તાપમાન $T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 K$.
દબાણ $P = 1.01 \times 10^{5} Pa$.
વ્યાસ $d = 0.3 nm = 0.3 \times 10^{-9} m$.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} J K^{-1}$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 300}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (0.3 \times 10^{-9})^2 \times 1.01 \times 10^{5}}$.
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-21}}{1.414 \times 3.14 \times 0.09 \times 10^{-18} \times 1.01 \times 10^{5}}$.
$\lambda = \frac{4.14 \times 10^{-21}}{0.403 \times 10^{-13}} \approx 1.027 \times 10^{-7} m$.
$nm$ માં ફેરવતા: $\lambda \approx 102.7 nm \approx 102 nm$.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,સંબંધ $C_{p} - C_{V} = R$ સાચો છે.
વાસ્તવિક વાયુઓ ઊંચા તાપમાને અને નીચા દબાણે આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
અવસ્થા $P$ માં,$C_{p} - C_{V} = R$ છે,જે દર્શાવે છે કે વાયુ આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
અવસ્થા $Q$ માં,$C_{p} - C_{V} = 1.10 R$ છે,જે $R$ કરતા વધારે છે. આ દર્શાવે છે કે વાયુ આદર્શ વર્તણૂકથી વિચલિત થઈ રહ્યો છે,જે સામાન્ય રીતે નીચા તાપમાને થાય છે.
અવસ્થા $P$ આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે અને અવસ્થા $Q$ બિન-આદર્શ વર્તણૂક દર્શાવે છે,તેથી તેનો અર્થ એ છે કે અવસ્થા $P$ નું તાપમાન અવસ્થા $Q$ કરતા વધારે હોવું જોઈએ.
તેથી,$T_{P} > T_{Q}$.

(B) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે.
આપેલ છે કે અણુઓ $A$ અને $B$ બંને માટે સંખ્યા ઘનતા $n$ સમાન છે,તેથી તેમના સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \frac{d_B^2}{d_A^2}$ થશે.
આપેલ કિંમતો $d_A = 10 \, \mathring{A}$ અને $d_B = 5 \, \mathring{A}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{\lambda_A}{\lambda_B} = \left( \frac{5}{10} \right)^2 = \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} = 0.25$.
આને જરૂરી સ્વરૂપમાં દર્શાવતા,$0.25 = 25 \times 10^{-2}$.
આમ,ગુણોત્તર $25 \times 10^{-2}$ છે.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં,છિદ્રમાંથી વાયુના અણુઓના પ્રસરણનો દર બંને બાજુથી સમાન હોવો જોઈએ. એવા છિદ્ર માટે જ્યાં $d \gg \lambda$ હોય,પ્રવાહ હાઇડ્રોડાયનેમિક પરિસ્થિતિઓ દ્વારા સંચાલિત થાય છે,જેનો અર્થ છે કે બંને ભાગોમાં દબાણ સમાન હોવું જોઈએ,એટલે કે $P_{I} = P_{II}$.
વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi d_{m}^{2}P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d_{m}$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
આ સમીકરણ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{T}{P}$.
આ સ્થિતિ માટે સ્થાયી અવસ્થામાં $P_{I} = P_{II}$ હોવાથી,સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{T_{I} / P_{I}}{T_{II} / P_{II}} = \frac{T_{I}}{T_{II}}$
આપેલ તાપમાનની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\lambda_{I}}{\lambda_{II}} = \frac{150}{300} = 0.5$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(b)$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા માત્ર તાપમાન પર આધાર રાખે છે કારણ કે તેમાં આંતરઆણ્વિય બળો હોતા નથી.
જોકે,બિન-આદર્શ (વાસ્તવિક) વાયુ માટે,અણુઓ એકબીજા પર આંતરઆણ્વિય બળો લગાડે છે.
તેથી,વાયુની સ્થિતિ ઉર્જા અણુઓ વચ્ચેના અંતર પર આધાર રાખે છે,જે કદ સાથે સંબંધિત છે.
વધુમાં,ગતિ ઉર્જા તાપમાન પર આધાર રાખે છે.
આમ,કુલ આંતરિક ઉર્જા એ ગતિ ઉર્જા અને સ્થિતિ ઉર્જાનો સરવાળો હોવાથી,બિન-આદર્શ વાયુ માટે તે તાપમાન,દબાણ અને કદ ત્રણેય પર આધાર રાખે છે.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
આ સૂત્ર પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સંખ્યા ઘનતા $n$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(\lambda \propto \frac{1}{n})$.
તેથી,જો સંખ્યા ઘનતા $n$ વધારવામાં આવે,તો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ ઘટે છે કારણ કે અણુઓ વચ્ચેની અથડામણની આવૃત્તિ વધે છે.

(A) વાસ્તવિક વાયુ માટે વાન ડર વાલ્સનું અવસ્થા સમીકરણ આ મુજબ છે: $(P + \frac{a}{V^2})(V - b) = RT$.
ક્રાંતિક બિંદુએ,દબાણ $P$,કદ $V$ અને તાપમાન $T$ એ અચળાંકો $a$ અને $b$ સાથે નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
ક્રાંતિક દબાણ: $P_C = \frac{a}{27b^2}$
ક્રાંતિક કદ: $V_C = 3b$
ક્રાંતિક તાપમાન: $T_C = \frac{8a}{27Rb}$
આમ,ક્રાંતિક તાપમાન માટેનું સાચું સૂત્ર $T_C = \frac{8a}{27Rb}$ છે.

(C) સરેરાશ મુક્ત પથ $\alpha$ એ ત્રણ પરસ્પર લંબ યામ અક્ષો $(x, y, z)$ પરના મુક્ત પથોનું પરિણામી મૂલ્ય છે.
વાયુની સમદિગ્ધર્મિતાને કારણે,દરેક અક્ષ પર સરેરાશ મુક્ત પથ સમાન હોય છે. ધારો કે દરેક અક્ષ પર સરેરાશ મુક્ત પથ $a$ છે.
તેથી,$\alpha = \sqrt{a^2 + a^2 + a^2}$.
$\alpha = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.
આમ,કોઈપણ યાદચ્છિક યામ અક્ષ પર સરેરાશ મુક્ત પથ $a = \frac{\alpha}{\sqrt{3}}$ થશે.

(B) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે.
દબાણ $P$ અને વ્યાસ $d$ અચળ હોવાથી,સરેરાશ મુક્ત પથ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\lambda \propto T$.
$STP$ પર,તાપમાન $T_1 = 273\,K$ અને સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda_1 = 1500\,d$ છે.
$T_2 = 373\,K$ તાપમાને,ધારો કે સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda_2$ છે.
સમપ્રમાણતા $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} = 1500\,d \times \frac{373}{273}$.
કિંમત ગણતા: $\lambda_2 \approx 1500 \times 1.3663 \approx 2049.45\,d$.
આમ,સરેરાશ મુક્ત પથ આશરે $2049\,d$ છે.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ બે ક્રમિક અથડામણો વચ્ચે અણુ દ્વારા કાપવામાં આવેલા સરેરાશ અંતર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે.
વાયુઓના ગતિવાદ (Kinetic Theory of Gases) મુજબ,સરેરાશ મુક્ત પથનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$
જ્યાં:
$n$ એ સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
આમ,સાચું સૂત્ર $\frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ છે.

(D) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ એ સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે. અહીં $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$ હોવાથી,વિધાન $(I)$ સાચું છે.
વાયુના અણુઓની સરેરાશ ગતિઊર્જા $KE_{avg} = \frac{3}{2} k_B T$ (એક-પરમાણ્વિક વાયુ માટે) દ્વારા આપવામાં આવે છે. અહીં $KE_{avg} \propto T$ હોવાથી,સરેરાશ ગતિઊર્જા એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં છે. તેથી,વિધાન $(II)$ પણ સાચું છે.
આમ,બંને વિધાનો સાચા છે.

(D) વાસ્તવિક વાયુ વાન્ડર વાલ્સના સમીકરણનું પાલન કરે છે:
$(P + \frac{an^2}{V^2})(V - nb) = nRT$
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિ ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે,જેના કારણે આંતર-આણ્વીય આકર્ષણ બળો નગણ્ય બની જાય છે.
નીચા દબાણે,વાયુનું કદ ખૂબ મોટું હોય છે,જેના કારણે વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ $(nb)$ કુલ કદ $(V)$ ની સરખામણીમાં નગણ્ય બની જાય છે.
આ પરિસ્થિતિઓમાં (ઊંચું તાપમાન અને નીચું દબાણ),વાન્ડર વાલ્સનું સમીકરણ આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં ફેરવાય છે: $PV = nRT$.
તેથી,વાસ્તવિક વાયુ નીચા દબાણે અને ઊંચા તાપમાને આદર્શ વાયુ જેવું વર્તન કરે છે.

(C) અથડામણની આવૃત્તિ $(f)$ એ એકમ સમયમાં થતી અથડામણોની સંખ્યા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જે સરેરાશ ઝડપ $(v_{avg})$ અને સરેરાશ મુક્ત પથ $(\lambda)$ ના ગુણોત્તર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f = \frac{v_{avg}}{\lambda}$
આપેલ છે:
$v_{avg} = 600 \ m/s$
$\lambda = 3 \times 10^{-7} \ m$
કિંમતો મૂકતા:
$f = \frac{600}{3 \times 10^{-7}}$
$f = 200 \times 10^7 \ s^{-1}$
$f = 2 \times 10^9 \ s^{-1}$

(B) વાસ્તવિક વાયુ ઓછા દબાણ અને ઊંચા તાપમાનની પરિસ્થિતિમાં આદર્શ વાયુ તરીકે વર્તે છે.
ઊંચા તાપમાને,વાયુના અણુઓની ગતિ ઊર્જા ખૂબ વધારે હોય છે,જેના કારણે આંતર-આણ્વિય આકર્ષણ બળો નગણ્ય બની જાય છે.
ઓછા દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ પાત્રના કુલ કદની સરખામણીમાં નગણ્ય હોય છે,જેનાથી વાયુના કણો બિંદુવત દળ તરીકે વર્તે છે.
આમ,વાયુના ગતિવાદની ધારણાઓ સંતોષાય છે અને વાયુ આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$ છે.
અચળ કદ માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ મુજબ,$P \propto T$ થાય છે.
તેથી,$\lambda \propto \frac{T}{P} \propto \frac{T}{T} = \text{અચળ}$.
પરંતુ આપેલા વિકલ્પો મુજબ,અહીં $\lambda \propto T$ સંબંધનો ઉપયોગ કરવામાં આવ્યો છે.
તેથી,$\lambda_2 = 1500 \ d \times \frac{373}{273}$.

(A) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા (સાંદ્રતા) છે.
આપેલ છે કે બંને વાયુઓ માટે સાંદ્રતા $n$ સમાન છે,તેથી સરેરાશ મુક્ત પથ એ વ્યાસના વર્ગના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\lambda \propto \frac{1}{d^2}$.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$ થશે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{d_1}{d_2} = \frac{1}{2}$ આપેલ હોવાથી,$\frac{d_2}{d_1} = \frac{2}{1}$ થાય.
આ કિંમત ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{\lambda_1}{\lambda_2} = \left(\frac{2}{1}\right)^2 = \frac{4}{1}$.
આમ,તેમના સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર $4: 1$ છે.

(A) વાયુના અણુના સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi n d^2}$
જ્યાં $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે અને $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે.
આપેલ છે:
$n = 2 \sqrt{2} \times 10^8 \text{ cm}^{-3}$
$\lambda = \frac{10^{-2}}{\pi} \text{ cm}$
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\frac{10^{-2}}{\pi} = \frac{1}{\sqrt{2} \pi (2 \sqrt{2} \times 10^8) d^2}$
$\frac{10^{-2}}{\pi} = \frac{1}{\pi (2 \times 2 \times 10^8) d^2}$
$\frac{10^{-2}}{\pi} = \frac{1}{\pi (4 \times 10^8) d^2}$
$d^2 = \frac{1}{4 \times 10^8 \times 10^{-2}} = \frac{1}{4 \times 10^6}$
$d = \sqrt{\frac{1}{4 \times 10^6}} = \frac{1}{2 \times 10^3} = 0.5 \times 10^{-3} \text{ cm} = 5 \times 10^{-4} \text{ cm}$.

(B) આપેલ છે: તાપમાન $T = 314 \,K$, દબાણ $p = 100 \,kPa = 1.0 \times 10^5 \,Pa$, ધ્વનિની ઝડપ $v = 1380 \,ms^{-1}$, અને વાયુના અણુની ત્રિજ્યા $r = 0.5 \,Å = 0.5 \times 10^{-10} \,m$. વ્યાસ $d = 2r = 10^{-10} \,m$.
સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{kT}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ છે.
ધ્વનિ તરંગની આવૃત્તિ $\nu = \frac{v}{\lambda}$ છે.
આવૃત્તિના સૂત્રમાં $\lambda$ ની કિંમત મૂકતા, $\nu = \frac{v \sqrt{2} \pi d^2 p}{kT}$ મળે.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times (10^{-10})^2 \times 1.0 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 314}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^{-20} \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23} \times 314}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^{-15}}{1.38 \times 314 \times 10^{-23}}$
$\nu = \frac{1380 \times \sqrt{2} \times 3.14 \times 10^8}{433.32} \approx 10 \times \sqrt{2} \times 10^8 \,Hz = \sqrt{2} \times 10^9 \,Hz = 1000 \sqrt{2} \,MHz$.
તેથી, સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n}$ છે, જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n$ એ સંખ્યા ઘનતા છે।
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 0.6 \times 10^{-10} \, m$, તેથી વ્યાસ $d = 2r = 1.2 \times 10^{-10} \, m$.
સંખ્યા ઘનતા $n = 2.44 \times 10^{25} \, \text{molecules}/m^3$.
કિંમતો મૂકતા:
$\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \times \pi \times (1.2 \times 10^{-10})^2 \times 2.44 \times 10^{25}}$
$\lambda = \frac{1}{1.414 \times \pi \times 1.44 \times 10^{-20} \times 2.44 \times 10^{25}}$
$\lambda = \frac{1}{4.97 \times \pi \times 10^5} \approx \frac{0.2}{\pi} \times 10^{-5} \, m$.

(B) આદર્શ વાયુનો નિયમ એવી ધારણા પર આધારિત છે કે વાયુના અણુઓ નહિવત કદ ધરાવે છે અને તેમની વચ્ચે કોઈ આંતરઆણ્વીય બળો હોતા નથી.
વધારે દબાણે,વાયુના અણુઓ દ્વારા રોકાયેલું કદ કુલ કદની સાપેક્ષમાં નોંધપાત્ર બને છે,તેથી તે શૂન્યની નજીક પહોંચતું નથી.
નીચા તાપમાને,અણુઓની ગતિ ઊર્જા ઘટે છે,જેના કારણે આંતરઆણ્વીય આકર્ષણ બળો નોંધપાત્ર બને છે.
તેથી,વધારે દબાણ અને નીચા તાપમાને,બધા જ વાસ્તવિક વાયુઓ આદર્શ વાયુના નિયમોથી વિચલિત થાય છે.

(B) આદર્શ વાયુના સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 p}$ છે,જ્યાં $d$ એ અણુનો વ્યાસ $(d = 2r)$ છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$T$ એ તાપમાન છે અને $p$ એ દબાણ છે.
$d = 2r$ મૂકતા,આપણને મળે છે $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi (2r)^2 p} = \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p}$.
આમ,પ્રારંભિક સરેરાશ મુક્ત પથ $L = \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$,નવું દબાણ $p' = 2p$ અને નવું તાપમાન $T' = 2T$ છે.
નવો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda'$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\lambda' = \frac{k_B (2T)}{4 \sqrt{2} \pi (2r)^2 (2p)}$
$\lambda' = \frac{2 k_B T}{4 \sqrt{2} \pi (4r^2) (2p)}$
$\lambda' = \frac{2}{8} \cdot \frac{k_B T}{4 \sqrt{2} \pi r^2 p} = \frac{1}{4} L$.
તેથી,નવો સરેરાશ મુક્ત પથ $\frac{L}{4}$ થશે.

(D) વાયુના અણુઓનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{1}{\sqrt{2} \pi d^2 n_V}$.
અહીં,$d$ એ અણુનો વ્યાસ છે અને $n_V$ એ અણુઓની સંખ્યા ઘનતા (એકમ કદ દીઠ અણુઓની સંખ્યા) છે.
$1$. સરેરાશ મુક્ત પથ એ સંખ્યા ઘનતા $(n_V)$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. સરેરાશ મુક્ત પથ એ અણુના કદ (વ્યાસ $d$) પર આધાર રાખે છે.
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $P = n_V k_B T$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $n_V = \frac{P}{k_B T}$ લખી શકીએ છીએ. તેથી,$\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$. આ દર્શાવે છે કે સરેરાશ મુક્ત પથ વાયુના તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે.
$4$. વાયુ અચળાંક $R$ એ સાર્વત્રિક અચળાંક છે અને તે વાયુના અણુઓના સરેરાશ મુક્ત પથના સમીકરણમાં આવતો નથી.
તેથી,સરેરાશ મુક્ત પથ એ વાયુ અચળાંક $R$ થી સ્વતંત્ર છે.

(D) વાયુના અણુનો સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\lambda = \frac{k_B T}{\sqrt{2} \pi d^2 P}$.
આ સંબંધ પરથી,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $\lambda \propto \frac{T}{P}$.
તેથી,બે અલગ-અલગ સ્થિતિઓમાં સરેરાશ મુક્ત પથનો ગુણોત્તર આ મુજબ છે: $\frac{\lambda_2}{\lambda_1} = \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2}$.
આપેલ કિંમતો છે: $T_1 = 300 \ K$,$P_1 = 600 \ \text{torr}$,$\lambda_1 = 10^{-7} \ m$,$T_2 = 400 \ K$,$P_2 = 200 \ \text{torr}$.
આ કિંમતોને ગુણોત્તરના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda_2 = \lambda_1 \times \frac{T_2}{T_1} \times \frac{P_1}{P_2} = 10^{-7} \times \frac{400}{300} \times \frac{600}{200}$.
$\lambda_2 = 10^{-7} \times \frac{4}{3} \times 3 = 10^{-7} \times 4 = 4 \times 10^{-7} \ m$.

(B) આપેલ સમીકરણ $P = \frac{RT}{2V - b} - \frac{a}{4b^{2}}$ છે.
પદોને ફરીથી ગોઠવતા, આપણને મળે: $P + \frac{a}{4b^{2}} = \frac{RT}{2V - b}$.
છેદમાંથી $2$ સામાન્ય લેતા: $P + \frac{a}{4b^{2}} = \frac{RT}{2(V - b/2)}$.
બંને બાજુ $2(V - b/2)$ વડે ગુણતા, આપણને મળે: $(P + \frac{a}{4b^{2}})(V - b/2) = \frac{RT}{2}$.
આને $n$ મોલ માટેના વાન ડર વાલ્સ સમીકરણ $(P + \frac{an^{2}}{V^{2}})(V - nb) = nRT$ સાથે સરખાવતા, આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે આપેલ સમીકરણ માટે $n = 1/2 \text{ મોલ}$ છે.
$O_{2}$ નું આણ્વીય દળ $32 \text{ g/mol}$ છે.
તેથી, વાયુનું દળ $m = n \times M = (1/2) \times 32 \text{ g} = 16 \text{ g}$ થાય.

(C) સરેરાશ મુક્ત પથ $\lambda$ માટેનું સૂત્ર $\lambda = \frac{k_{B}T}{\sqrt{2}\pi\sigma^{2}P}$ છે.
આપેલ કિંમતો:
$k_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K$
$T = 41^{\circ}C = 41 + 273 = 314 \ K$
$P = 1.38 \times 10^{5} \ Pa$
$\sigma = 5 \times 10^{-10} \ m$
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times (5 \times 10^{-10})^{2} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{1.38 \times 10^{-23} \times 314}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-20} \times 1.38 \times 10^{5}}$
$\lambda = \frac{314 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 3.14 \times 25 \times 10^{-15}}$
$\lambda = \frac{100 \times 10^{-23}}{\sqrt{2} \times 25 \times 10^{-15}} = \frac{4 \times 10^{-8}}{\sqrt{2}} = 2\sqrt{2} \times 10^{-8} \ m$.