Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(A) दिया गया दबाव-आयतन संबंध: $P = \frac{a}{1 + (V/b)^2}$.
जब $V = b$ हो,तो दबाव $P$ होगा: $P = \frac{a}{1 + (b/b)^2} = \frac{a}{1 + 1} = \frac{a}{2}$.
$n = 1$ मोल के लिए आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करने पर: $PV = nRT$.
$P = \frac{a}{2}$,$V = b$,और $n = 1$ मान रखने पर:
$(\frac{a}{2}) \times b = 1 \times R \times T$.
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{ab}{2R}$.

(A) प्रारंभिक स्थिति: $PV = n_1RT$. दिया गया है $P_1 = 2\, atm = 2 \times 10^5\, Pa$,$V = 8 \times 10^{-3}\, m^3$,$T = 300\, K$,$R = 8.31\, J/(mol\cdot K)$.
$n_1 = \frac{2 \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}}{8.31 \times 300} = 0.64\, mol$.
चूंकि तापमान $T$ और आयतन $V$ स्थिर हैं,$P \propto n$,इसलिए $\frac{P_2}{P_1} = \frac{n_2}{n_1}$.
$P_2 = 125\, kPa = 1.25 \times 10^5\, Pa$.
$n_2 = n_1 \times \frac{P_2}{P_1} = 0.64 \times \frac{1.25 \times 10^5}{2 \times 10^5} = 0.40\, mol$.
लीक हुए मोल $= n_1 - n_2 = 0.64 - 0.40 = 0.24\, mol$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{N}{N_A}$ है। अतः,$PV = \frac{N}{N_A}RT$,जिसका अर्थ है $N = \frac{PVN_A}{RT}$।
दाहिने भाग के लिए $(N_R)$: $P_R = 2P$,$V_R = 2V$,$T_R = T$।
$N_R = \frac{(2P)(2V)N_A}{RT} = \frac{4PVN_A}{RT}$।
बाएं भाग के लिए $(N_L)$: $P_L = P$,$V_L = V$,$T_L = T$।
$N_L = \frac{(P)(V)N_A}{RT} = \frac{PVN_A}{RT}$।
दाहिने भाग और बाएं भाग में अणुओं की संख्या का अनुपात:
$\frac{N_R}{N_L} = \frac{4PVN_A / RT}{PVN_A / RT} = \frac{4}{1}$।
अतः,अनुपात $4:1$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $\mu = \frac{m}{M_w}$ और $\rho = \frac{m}{V}$, इसलिए $m = \rho V$ प्राप्त होता है। $\mu = \frac{\rho V}{M_w}$ को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर:
$PV = \left( \frac{\rho V}{M_w} \right) RT \Rightarrow T = \frac{P M_w}{\rho R}$
दिया गया है:
$P = 1.4 \times 10^9 \, \text{atm} = 1.4 \times 10^9 \times 1.013 \times 10^5 \, N \, m^{-2} \approx 1.418 \times 10^{14} \, Pa$
$\rho = 1.4 \, g \, cm^{-3} = 1400 \, kg \, m^{-3}$
$M_w = 2 \, g \, mol^{-1} = 2 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$
$R = 8.4 \, J \, mol^{-1} \, K^{-1}$
मान रखने पर:
$T = \frac{(1.4 \times 10^9 \times 1.013 \times 10^5) \times (2 \times 10^{-3})}{1400 \times 8.4}$
$T = \frac{2.836 \times 10^{11}}{11760} \approx 2.41 \times 10^7 \, K$
अतः, सूर्य का तापमान लगभग $2.4 \times 10^7 \, K$ होगा।

(C) चूंकि पात्र जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों पात्रों में दबाव $P$ समान होना चाहिए,अर्थात $P_X = P_Y$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ का उपयोग करने पर,हमें $P = \frac{mRT}{MV}$ प्राप्त होता है।
दोनों पात्रों के लिए,$P = \frac{mRT}{MV}$ स्थिर है,इसलिए $\frac{m_X T_X}{V_X} = \frac{m_Y T_Y}{V_Y}$ होगा।
दिया गया है $V_X = 2V_Y$,$T_X = 200 \, K$,$T_Y = 400 \, K$ और $m_X = m$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{m \times 200}{2V_Y} = \frac{m_Y \times 400}{V_Y}$।
सरल करने पर: $\frac{100m}{V_Y} = \frac{400m_Y}{V_Y}$।
$100m = 400m_Y \Rightarrow m_Y = \frac{100m}{400} = \frac{m}{4}$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{m}{M_0}RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$M_0$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूँकि $m$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto \frac{1}{M_0 V}$ होगा।
अतः,दाब का अनुपात $\frac{P_A}{P_B} = \frac{M_{0,B}}{M_{0,A}} \times \frac{V_B}{V_A}$ होगा।
दिया गया है: $M_{0,A} (N_2) = 28 \, g/mol$,$M_{0,B} (O_2) = 32 \, g/mol$,और $V_B = 2V_A$।
इन मानों को रखने पर: $\frac{P_A}{P_B} = \frac{32}{28} \times \frac{2V_A}{V_A} = \frac{32}{28} \times 2 = \frac{64}{28} = \frac{16}{7}$।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
चूँकि $n = N/N_A$ (जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $N_A$ एवोगैड्रो संख्या है),समीकरण $PV = (N/N_A)RT$ हो जाता है।
पात्र $A$ के लिए: $P_A V_A = (N_A / N_{Avogadro}) R T_A \Rightarrow PV = (N_A / N_{Avogadro}) R T$.
पात्र $B$ के लिए: $P_B V_B = (N_B / N_{Avogadro}) R T_B \Rightarrow (2P)(V/4) = (N_B / N_{Avogadro}) R (2T) \Rightarrow PV/2 = (N_B / N_{Avogadro}) R (2T)$.
दोनों समीकरणों को विभाजित करने पर:
$\frac{PV}{PV/2} = \frac{N_A}{N_B} \times \frac{T}{2T} \Rightarrow 2 = \frac{N_A}{N_B} \times \frac{1}{2}$.
अतः,$\frac{N_A}{N_B} = 4$,जो $4:1$ है।

(B) सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ का सूत्र $R = \frac{PV}{nT}$ है।
$STP$ (मानक तापमान और दबाव) पर,एक आदर्श गैस के $n = 1 \ mol$ के लिए:
$P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$ (या $1 \ atm$),
$V = 22.4 \times 10^{-3} \ m^3$,
$T = 273.15 \ K$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{(1.013 \times 10^5 \ Pa) \times (22.4 \times 10^{-3} \ m^3)}{1 \ mol \times 273.15 \ K} \approx 8.314 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$.
अतः,इसका मान लगभग $8.31 \ J \ mol^{-1} K^{-1}$ है।

(C) आदर्श गैस नियम $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास संबंध $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$,$P_2 = 2P_1$,और $V_2 = 3V_1$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{(2P_1)(3V_1)}{T_2}$
$\frac{1}{T_1} = \frac{6}{T_2}$
$T_2 = 6T_1 = 6 \times 300 = 1800 \ K$।
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 1800 - 273 = 1527^{\circ}C$।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$।
चूंकि दाब $P$,आयतन $V$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर हैं,इसलिए $m_1 T_1 = m_2 T_2$ होगा।
दिया गया है: $m_1 = 13 \, g$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$,$T_2 = 52 + 273 = 325 \, K$।
मान रखने पर: $13 \times 300 = m_2 \times 325$।
$m_2 = \frac{13 \times 300}{325} = \frac{3900}{325} = 12 \, g$।
मुक्त की गई गैस की मात्रा $\Delta m = m_1 - m_2 = 13 \, g - 12 \, g = 1 \, g$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{m}{M}RT$ से,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
स्थिर दाब $P$ के लिए,आयतन $V$ को $V = (\frac{mR}{MP})T$ द्वारा दिया जाता है।
$V-T$ ग्राफ की ढाल (slope) $S = \frac{mR}{MP}$ है।
प्रारंभिक स्थिति के लिए,ढाल $S_1 = \frac{mR}{MP}$ है,जो ग्राफ $D$ के अनुरूप है।
दूसरी स्थिति के लिए,द्रव्यमान $2m$ है और दाब $P/2$ है।
नई ढाल $S_2 = \frac{(2m)R}{M(P/2)} = 4 \times \frac{mR}{MP} = 4S_1$ होगी।
चूंकि ग्राफ $D$ की ढाल $1$ के समानुपाती है,इसलिए नए ग्राफ की ढाल $4$ के समानुपाती होगी।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,ढाल $E$ से $A$ तक बढ़ती है। ग्राफ $D$ की ढाल $1$ के समानुपाती है और ग्राफ $A$ की ढाल $4$ के समानुपाती है (क्योंकि $4 \times 1 = 4$)।
अतः,सही ग्राफ $A$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ से,हमें प्राप्त होता है $P = \frac{\rho RT}{M}$,जहाँ $\rho$ गैस का घनत्व है।
अतः,$\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$.
चोटी पर दिया गया है: $P_{\text{top}} = 70 \text{ cm of Hg}$,$T_{\text{top}} = 7^{\circ}\text{C} = 280 \text{ K}$.
तल पर दिया गया है: $P_{\text{bottom}} = 76 \text{ cm of Hg}$,$T_{\text{bottom}} = 27^{\circ}\text{C} = 300 \text{ K}$.
इसलिए,चोटी पर घनत्व और तल पर घनत्व का अनुपात:
$\frac{\rho_{\text{top}}}{\rho_{\text{bottom}}} = \frac{P_{\text{top}}}{P_{\text{bottom}}} \times \frac{T_{\text{bottom}}}{T_{\text{top}}} = \frac{70}{76} \times \frac{300}{280} = \frac{70}{76} \times \frac{30}{28} = \frac{70}{76} \times \frac{15}{14} = \frac{5 \times 15}{76} = \frac{75}{76}$.

(B) स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस के लिए,दबाव $P$ पात्र में गैस के द्रव्यमान $m$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto m)$।
दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 10^7 \ N/m^2$
प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = 10 \ kg$
अंतिम दबाव $P_2 = 2.5 \times 10^6 \ N/m^2$
संबंध $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{10^7}{2.5 \times 10^6} = \frac{10}{m_2}$
$m_2$ के लिए हल करने पर:
$m_2 = \frac{2.5 \times 10^6 \times 10}{10^7} = 2.5 \ kg$
निकाली गई गैस का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = 10 \ kg - 2.5 \ kg = 7.5 \ kg$ है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $V \propto T$.
इसे $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$ और $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
मान रखने पर: $\frac{V}{300} = \frac{V_2}{600}$.
$V_2$ के लिए हल करने पर: $V_2 = V \times \frac{600}{300} = 2V$.
अतः,गैस का नया आयतन $2V$ होगा।

(A) माना कि प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ और प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ (केल्विन में) है।
दिया गया है कि दाब में $0.4\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया दाब $P_2 = P + 0.004P = 1.004P$ होगा।
दिया गया है कि तापमान में $1\,^{\circ}\text{C}$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया तापमान $T_2 = T + 1$ होगा।
यह मानते हुए कि आयतन स्थिर रहता है,गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ होगा।
मान रखने पर: $\frac{P}{T} = \frac{1.004P}{T + 1}$.
$T + 1 = 1.004T$.
$1 = 0.004T$.
$T = \frac{1}{0.004} = \frac{1000}{4} = 250\, \text{K}$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,हम लिख सकते हैं:
$P = \left( \frac{\mu R}{V} \right) T$
इसे एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = P$ और $x = T$,ढाल $m$ इस प्रकार है:
$m = \tan \theta = \frac{\mu R}{V}$
चूंकि मोलों की संख्या $\mu$ और गैस नियतांक $R$ स्थिर हैं,हमारे पास है:
$V \propto \frac{1}{\tan \theta}$
जैसे-जैसे कोण $\theta$ बढ़ता है,$\tan \theta$ बढ़ता है,और इसलिए आयतन $V$ घटता है।
ग्राफ से,रेखा $1$ की ढाल रेखा $2$ की ढाल के बराबर है (क्योंकि वे समानांतर हैं),इसलिए $V_1 = V_2$ है।
इसी प्रकार,रेखा $3$ की ढाल रेखा $4$ की ढाल के बराबर है,इसलिए $V_3 = V_4$ है।
चूंकि रेखा $3$ (और $4$) की ढाल रेखा $1$ (और $2$) की ढाल से अधिक है,इसलिए $\tan \theta_3 > \tan \theta_1$ है।
अतः,$V_3 < V_1$ या $V_2 > V_3$ है।
इस प्रकार,सही संबंध $V_1 = V_2, V_3 = V_4$ और $V_2 > V_3$ है।

(A) $S.T.P.$ (मानक तापमान और दबाव) पर,एक आदर्श गैस का मोलर आयतन $22.4 \, litres$ होता है।
एवोगाद्रो की परिकल्पना के अनुसार,किसी भी गैस के $1 \, mole$ में $6.023 \times 10^{23}$ अणु होते हैं।
इसलिए,$22.4 \, litres$ गैस में $6.023 \times 10^{23}$ अणु होते हैं।
$1 \, litre$ में अणुओं की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम अणुओं की कुल संख्या को मोलर आयतन से विभाजित करते हैं:
अणुओं की संख्या $= \frac{6.023 \times 10^{23}}{22.4} \approx 2.68 \times 10^{22}$ अणु।

(A) $N.T.P.$ पर,एक आदर्श गैस का मोलर आयतन $22.4 \, L$ होता है।
चूंकि $1 \, L = 1000 \, cm^{3}$,इसलिए $1 \, mole$ गैस का आयतन $22.4 \times 10^{3} \, cm^{3} = 22400 \, cm^{3}$ होता है।
एवोगैड्रो की परिकल्पना के अनुसार,किसी भी गैस के $1 \, mole$ में $6.023 \times 10^{23}$ अणु होते हैं।
इसलिए,$22400 \, cm^{3}$ में अणुओं की संख्या $6.023 \times 10^{23}$ है।
अतः,$1 \, cm^{3}$ में अणुओं की संख्या $\frac{6.023 \times 10^{23}}{22400}$ होगी।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$ होता है।
घनत्व और दाब का अनुपात $\frac{\rho}{P} = \frac{M}{RT}$ है।
चूंकि $M$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{\rho}{P} \propto \frac{1}{T}$ है।
माना $T_1 = 10^{\circ} C = 283 \ K$ पर अनुपात $x_1 = x$ है।
माना $T_2 = 110^{\circ} C = 383 \ K$ पर अनुपात $x_2$ है।
चूंकि $x \cdot T = \text{स्थिरांक}$ है,इसलिए $x_1 T_1 = x_2 T_2$ होगा।
$x \cdot 283 = x_2 \cdot 383$.
अतः,$x_2 = \left( \frac{283}{383} \right)x$।

(C) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,
$PV = nRT$
$V$ को $T$ के पदों में व्यवस्थित करने पर:
$V = \left( \frac{nR}{P} \right) T$
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,जहाँ ढाल (slope) $m$ इस प्रकार है:
$m = \frac{V}{T} = \frac{nR}{P}$
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए ढाल दाब $P$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(m \propto \frac{1}{P})$।
दी गई आकृति से,कोण $\theta_2 > \theta_1$ है,जिसका अर्थ है कि $P_2$ के लिए रेखा की ढाल $P_1$ के लिए रेखा की ढाल से अधिक है:
$(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$
चूंकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती होती है,इसलिए अधिक ढाल कम दाब के अनुरूप होती है:
$P_2 < P_1$

(C) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,एक आदर्श गैस का आणविक भार $M$ इस प्रकार दिया जाता है:
$M = \frac{\rho R T}{P}$
जहाँ $P$ दबाव है,$T$ तापमान है,$\rho$ घनत्व है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
गैसों $A$ और $B$ के लिए:
$M_A = \frac{\rho_A R T_A}{P_A}$ और $M_B = \frac{\rho_B R T_B}{P_B}$
उनके आणविक भार का अनुपात है:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{\rho_A}{\rho_B} \right) \left( \frac{T_A}{T_B} \right) \left( \frac{P_B}{P_A} \right)$
दिया गया है:
$\frac{\rho_A}{\rho_B} = 1.5 = \frac{3}{2}$
$T_A = T_B \implies \frac{T_A}{T_B} = 1$
$P_A = 2 P_B \implies \frac{P_B}{P_A} = \frac{1}{2}$
इन मानों को रखने पर:
$\frac{M_A}{M_B} = \left( \frac{3}{2} \right) \times (1) \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{3}{4} = 0.75$

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
हम जानते हैं कि $n = \frac{\text{गैस का द्रव्यमान}}{M}$,जहाँ $M$ मोलर द्रव्यमान है।
साथ ही,मोलर द्रव्यमान $M = m N_A$,जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
इन मानों को आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $PV = \left(\frac{\text{द्रव्यमान}}{m N_A}\right) RT$.
घनत्व $\rho = \frac{\text{द्रव्यमान}}{V}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\rho = \frac{P m N_A}{RT}$.
चूंकि बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $k = \frac{R}{N_A}$ है,इसलिए $R = N_A k$ होता है।
घनत्व समीकरण में $R$ का मान रखने पर: $\rho = \frac{P m N_A}{(N_A k) T} = \frac{Pm}{kT}$.

(C) आदर्श गैस समीकरण से,$PV = nRT$ होता है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{PV}{nT}$ प्राप्त होता है।
दाब $P$ का मात्रक $Pascal$ $(Pa)$ या $Joule/m^3$ है और आयतन $V$ का मात्रक $m^3$ है। अतः,गुणनफल $PV$ का मात्रक ऊर्जा का मात्रक होता है,जो $Joule$ $(J)$ है।
पदार्थ की मात्रा $n$ का मात्रक $mole$ $(mol)$ है और तापमान $T$ का मात्रक $Kelvin$ $(K)$ है।
इन मात्रकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $R$ का मात्रक $R = \frac{J}{mol \cdot K} = J\,K^{-1}mol^{-1}$ प्राप्त होता है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ होता है।
समतापी प्रक्रिया (isotherm) वह प्रक्रिया है जिसमें तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं, इसलिए समतापी प्रक्रिया के लिए $PV = \text{स्थिर}$ होता है।
दी गई प्रारंभिक स्थितियां: $P_i = 3$ और $V_i = 4$।
अतः, गुणनफल $P_i V_i = 3 \times 4 = 12$ है।
प्रत्येक प्रक्रिया के लिए $PV$ गुणनफल की जांच करते हैं:
प्रक्रिया $A$: $P \times V = 5 \times 7 = 35 \neq 12$।
प्रक्रिया $B$: $P \times V = 4 \times 6 = 24 \neq 12$।
प्रक्रिया $C$: $P \times V = 12 \times 1 = 12$।
प्रक्रिया $D$: $P \times V = 6 \times 3 = 18 \neq 12$।
इस प्रकार, केवल प्रक्रिया $C$ ही $P_f V_f = P_i V_i$ की शर्त को पूरा करती है।

(C) माना प्रारंभिक दबाव $P = 1 \text{ atm}$ और प्रारंभिक तापमान $T = 300 \text{ K}$ है।
प्रणाली में गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है।
प्रारंभिक मोल: $\mu = \frac{PV}{RT} + \frac{PV}{RT} = \frac{2PV}{RT}$.
माना अंतिम सामान्य दबाव $P'$ है।
अंतिम मोल: $\mu' = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2}$,जहाँ $T_1 = 600 \text{ K}$ और $T_2 = 300 \text{ K}$ है।
चूँकि $\mu = \mu'$,इसलिए: $\frac{2PV}{RT} = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2}$.
दोनों पक्षों से $V/R$ को हटाने पर: $\frac{2P}{T} = P' \left( \frac{1}{T_1} + \frac{1}{T_2} \right) = P' \left( \frac{T_1 + T_2}{T_1 T_2} \right)$.
$P'$ के लिए हल करने पर: $P' = \frac{2P T_1 T_2}{T(T_1 + T_2)}$.
मान रखने पर: $P' = \frac{2 \times 1 \times 600 \times 300}{300 \times (600 + 300)} = \frac{2 \times 600}{900} = \frac{1200}{900} = \frac{4}{3} \approx 1.33 \text{ atm}$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
दिया गया है:
दाब $P = 21 \times 10^4 \ N/m^2$
आयतन $V = 83 \ L = 83 \times 10^{-3} \ m^3$
तापमान $T = 27^\circ C = 27 + 273 = 300 \ K$
गैस नियतांक $R = 8.3 \ J/mol/K$
समीकरण में मान रखने पर:
$\mu = \frac{PV}{RT} = \frac{21 \times 10^4 \times 83 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300}$
$\mu = \frac{21 \times 10^4 \times 83 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300} = \frac{21 \times 830}{2490} = \frac{17430}{2490} = 7 \ gm-mole$.

(B) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = 720 \, kPa$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 40^\circ C = 273 + 40 = 313 \, K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 353^\circ C = 273 + 353 = 626 \, K$.
चूंकि गैस का $\frac{1}{4}$ भाग बाहर निकाल दिया गया है,शेष द्रव्यमान $m_2 = \frac{3}{4} m_1$ होगा।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ के अनुसार,$P \propto mT$ (जहाँ $V$ और $M$ नियत हैं)।
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \frac{T_2}{T_1}$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{720} = \frac{3}{4} \times \frac{626}{313} = \frac{3}{4} \times 2 = 1.5$.
$P_2 = 1.5 \times 720 = 1080 \, kPa$.

(B) चूंकि प्रेशर कुकर का आयतन स्थिर रहता है,इसलिए हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
दिया गया है: $P_1 = 1$ atm,$T_1 = 30^\circ C = 30 + 273 = 303$ $K$,और $P_2 = 3$ atm.
मान रखने पर: $\frac{1}{303} = \frac{3}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 3 \times 303 = 909$ $K$.
तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए: $T_2(^\circ C) = 909 - 273 = 636^\circ C$.

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = (m/M)RT$।
चूंकि तापमान $T$,आयतन $V$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto m$ होगा।
अतः,$\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1}{m_2}$।
दिया गया है $P_1 = 10^7\, N/m^2$,$m_1 = 10\, kg$,और $P_2 = 2.5 \times 10^6\, N/m^2$।
मान रखने पर: $\frac{10^7}{2.5 \times 10^6} = \frac{10}{m_2}$।
$4 = \frac{10}{m_2} \implies m_2 = \frac{10}{4} = 2.5\, kg$।
सिलेंडर से बाहर निकाली गई गैस का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = 10 - 2.5 = 7.5\, kg$ होगा।

(D) खुले मुँह वाले बर्तन के लिए,दाब $P$ स्थिर रहता है क्योंकि यह वायुमंडलीय दाब के बराबर होता है।
बर्तन का आयतन $V$ भी स्थिर है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT = \left( \frac{m}{M} \right) RT$ से,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,स्थिर $P$ और $V$ के लिए $m \propto \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।
अतः,$m_1 T_1 = m_2 T_2$,जिसका अर्थ है $\frac{T_2}{T_1} = \frac{m_1}{m_2}$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 60 + 273 = 333 \ K$ है।
चूंकि हवा का $1/4$ भाग बाहर निकल जाता है,शेष द्रव्यमान $m_2 = m_1 - \frac{1}{4}m_1 = \frac{3}{4}m_1$ है।
मान रखने पर: $\frac{T_2}{333} = \frac{m_1}{(3/4)m_1} = \frac{4}{3}$।
$T_2 = 333 \times \frac{4}{3} = 444 \ K$।
सेल्सियस में बदलने पर: $T = 444 - 273 = 171^oC$।

(D) आदर्श गैस समीकरण से,अणुओं की संख्या $N$ को $N = \frac{PV}{kT}$ द्वारा दिया जाता है।
डिब्बे $I$ के लिए,पैरामीटर $P, V, T$ हैं। अतः,अणुओं की संख्या $N_I = \frac{PV}{kT}$ है।
डिब्बे $II$ के लिए,पैरामीटर $2P, 2V, T$ हैं। अतः,अणुओं की संख्या $N_{II} = \frac{(2P)(2V)}{kT} = 4 \frac{PV}{kT} = 4N_I$ है।
डिब्बों $I$ और $II$ में अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_I}{N_{II}} = \frac{N_I}{4N_I} = \frac{1}{4}$ है।

(A) दिया गया है:
आयतन $V = 7 \text{ L} = 7 \times 10^{-3} \text{ m}^{3}$
तापमान $T = 0^{\circ}C = 273 \text{ K}$
दाब $P = 1.3 \times 10^{5} \text{ Pa}$
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करके,मोल की संख्या $n$ ज्ञात करते हैं:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{1.3 \times 10^{5} \times 7 \times 10^{-3}}{8.314 \times 273} \approx 0.4 \text{ moles}$
अणुओं की संख्या $N = n \times N_{A}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \text{ molecules/mol}$.
$N = 0.4 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 2.4 \times 10^{23} \text{ molecules}$.

(C) चूंकि पिस्टन एक तार से जुड़े हैं,इसलिए गैस का आयतन $V$ स्थिर रहता है।
स्थिर आयतन प्रक्रिया के लिए आदर्श गैस नियम का उपयोग करने पर: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
दिया गया है $P_1 = P_0$,$T_1 = T_0$,और $T_2 = 2T_0$,तो:
$\frac{P_0}{T_0} = \frac{P'}{2T_0} \Rightarrow P' = 2P_0$।
नली के अंदर का दबाव अब $2P_0$ है,जबकि बाहरी वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है।
प्रत्येक पिस्टन पर बाहर की ओर कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = (P' - P_0)A = (2P_0 - P_0)A = P_0 A$ है।
चूंकि तार दोनों पिस्टन को जोड़ता है,इसलिए तार में तनाव $T$ को इस शुद्ध बाहरी बल को संतुलित करना होगा।
अतः,तार में तनाव $T = P_0 A$ होगा।

(D) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार:
$P V = n R T$
चूंकि प्रत्येक बर्तन के लिए आयतन $V$ स्थिर है,हम लिख सकते हैं:
$P = \left( \frac{n R}{V} \right) T$
यह समीकरण $y = m x$ के रूप में है,जहाँ $y = P$,$x = T$,और ढाल $m = \frac{n R}{V}$ है।
चूंकि द्रव्यमान दिया गया है,$n$ स्थिर है। हालाँकि,छोटे और बड़े बर्तनों के आयतन $V$ अलग-अलग हैं।
इसलिए,दोनों बर्तनों के लिए ढाल $m = \frac{n R}{V}$ अलग-अलग होगी।
अतः,$P-T$ वक्र रैखिक हैं,जो मूल बिंदु से गुजरते हैं,लेकिन उनकी ढाल अलग-अलग है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ आर्गन का मोलर द्रव्यमान है।
पहली स्थिति के लिए: $PV = \frac{4}{M}RT$ ... $(i)$
दूसरी स्थिति के लिए,तापमान $(T + 50) \ K$ है,द्रव्यमान $(4.0 - 0.8) = 3.2 \ g$ है,और दबाव $p$ स्थिर रहता है: $PV = \frac{3.2}{M}R(T + 50)$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) की तुलना करने पर क्योंकि $PV$ स्थिर है:
$\frac{4}{M}RT = \frac{3.2}{M}R(T + 50)$
$4T = 3.2(T + 50)$
$4T = 3.2T + 160$
$0.8T = 160$
$T = \frac{160}{0.8} = 200 \ K$.

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,चूंकि आयतन $V$ और तापमान $T$ स्थिर हैं,इसलिए दबाव $P$ मोलों की संख्या $n$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto n)$।
मान लीजिए कि दोनों गैसों के आणविक भार $M_A$ और $M_B$ हैं।
पहली गैस $A$ के लिए,मोलों की संख्या $n_A = \frac{2}{M_A}$ है। दिया गया है कि $P_A = 1 \, atm$,इसलिए $\frac{2}{M_A} \propto 1 \dots (i)$।
जब दूसरी गैस $B$ मिलाई जाती है,तो कुल दबाव $1.5 \, atm$ हो जाता है। गैस $B$ का आंशिक दबाव $P_B = P_{total} - P_A = 1.5 - 1 = 0.5 \, atm$ है।
दूसरी गैस $B$ के लिए,मोलों की संख्या $n_B = \frac{3}{M_B}$ है। अतः,$\frac{3}{M_B} \propto 0.5 \dots (ii)$।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3/M_B}{2/M_A} = \frac{0.5}{1}$
$\frac{3}{M_B} \times \frac{M_A}{2} = 0.5$
$\frac{M_A}{M_B} = 0.5 \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
अतः,आणविक भार का अनुपात $M_A : M_B = 1 : 3$ है।

(C) प्रारंभ में,वायु स्तंभ की लंबाई $L_i = 0.05 \, m = 5 \, cm$ है। वायु का दबाव $P_i = P_{atm} = 76 \, cm$ $Hg$ है।
जब नली को $0.43 \, m = 43 \, cm$ ऊपर उठाया जाता है,तो मान लें कि वायु स्तंभ की नई लंबाई $x \, cm$ है। नली के अंदर पारे का स्तर प्रारंभिक स्थिति के सापेक्ष $(48 - x) \, cm$ बढ़ जाता है,जहाँ $48 \, cm$ पारे की सतह के सापेक्ष नली का कुल विस्थापन है।
नली के अंदर वायु का अंतिम दबाव $P_f = P_{atm} - (48 - x) = 76 - 48 + x = (28 + x) \, cm$ $Hg$ है।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_i V_i = P_f V_f$।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर मानते हुए:
$76 \times 5 \times A = (28 + x) \times x \times A$
$380 = 28x + x^2$
$x^2 + 28x - 380 = 0$
द्विघात समीकरण को हल करने पर:
$x = \frac{-28 \pm \sqrt{28^2 - 4(1)(-380)}}{2} = \frac{-28 \pm \sqrt{784 + 1520}}{2} = \frac{-28 \pm \sqrt{2304}}{2} = \frac{-28 \pm 48}{2}$
धनात्मक मान लेने पर: $x = \frac{20}{2} = 10 \, cm = 0.1 \, m$।

(B) हवा का प्रारंभिक द्रव्यमान $M_1 = M$ और तापमान $T_1 = 60 + 273 = 333 \ K$ है।
चूँकि बर्तन खुला है,इसलिए दबाव स्थिर (वायुमंडलीय दबाव) रहता है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT = \frac{M}{m}RT$,जहाँ $m$ हवा का मोलर द्रव्यमान है।
चूँकि $P$,$V$ और $m$ स्थिर हैं,इसलिए $M_1 T_1 = M_2 T_2$ होगा।
गर्म करने के बाद,हवा का एक-चौथाई भाग बाहर निकल जाता है,इसलिए शेष द्रव्यमान $M_2 = M - \frac{M}{4} = \frac{3M}{4}$ है।
मान रखने पर: $M \times 333 = \frac{3M}{4} \times T_2$.
$T_2 = 333 \times \frac{4}{3} = 444 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T = 444 - 273 = 171^{\circ}C$.

(D) आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ गैस के रिसाव से पहले और बाद में दोनों स्थितियों में मान्य होना चाहिए।
चूंकि फ्लास्क का आयतन $V$ स्थिर रहता है,इसलिए $\frac{P_i}{n_i T_i} = \frac{P_f}{n_f T_f}$ होगा।
प्रारंभिक स्थितियाँ: $P_i = 10\, atm$,$T_i = 57 + 273 = 330\, K$,$m_i = 28\, g$,$n_i = \frac{28}{28} = 1\, mol$.
अंतिम स्थितियाँ: $P_f = \frac{10}{2} = 5\, atm$,$T_f = 27 + 273 = 300\, K$.
संबंध $n_f = \frac{P_f}{P_i} \cdot \frac{T_i}{T_f} \cdot n_i$ का उपयोग करने पर:
$n_f = \frac{5}{10} \cdot \frac{330}{300} \cdot 1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{11}{10} = \frac{11}{20}\, mol$.
अंतिम द्रव्यमान $m_f = n_f \times M = \frac{11}{20} \times 28 = 15.4\, g$.
बाहर निकली $N_2$ गैस का द्रव्यमान $\Delta m = m_i - m_f = 28 - 15.4 = 12.6\, g$ है।
$12.6\, g$ को भिन्न में बदलने पर: $12.6 = \frac{126}{10} = \frac{63}{5}\, g$।

(A) प्रारंभिक स्थिति: $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$,$V_1 = V_2 = 100\,cm^3$,$P_1 = P_2 = P$।
अंतिम स्थिति: एक भाग $T_1' = 300\,K$ पर और दूसरा $T_2' = 100 + 273 = 373\,K$ पर है।
मान लीजिए पिस्टन $x$ दूरी तक चलता है। नए आयतन $V_1' = 100 - 10.85x$ और $V_2' = 100 + 10.85x$ होंगे।
चूंकि पिस्टन संतुलन में है,अंतिम दबाव समान होंगे: $P_1' = P_2' = P'$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि मोल की संख्या $n$ स्थिर रहती है:
$P_1 V_1 / T_1 = P_1' V_1' / T_1' \implies P(100) / 300 = P'(100 - 10.85x) / 300 \implies P' = P \cdot 100 / (100 - 10.85x)$।
$P_2 V_2 / T_2 = P_2' V_2' / T_2' \implies P(100) / 300 = P'(100 + 10.85x) / 373$।
दोनों से $P'$ की तुलना करने पर: $P \cdot 100 / (100 - 10.85x) = P \cdot 100 \cdot 373 / (300(100 + 10.85x))$।
$300(100 + 10.85x) = 373(100 - 10.85x)$।
$30000 + 3255x = 37300 - 4047.05x$।
$7302.05x = 7300 \implies x \approx 1\,cm$।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $w = 12\,g$,प्रारंभिक आयतन $V_1 = 4\times 10^{-3}\,m^3$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 7 + 273 = 280\,K$.
घनत्व $\rho = \frac{w}{V}$। चूंकि दाब $P$ स्थिर है,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{w}{M}RT$ से,हमें प्राप्त होता है $P = \frac{\rho RT}{M}$।
चूंकि $P$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $\rho_1 T_1 = \rho_2 T_2$ होगा।
प्रारंभिक घनत्व $\rho_1 = \frac{w}{V_1} = \frac{12}{4 \times 10^{-3}} = 3000\,g/m^3 = 3 \times 10^{-3}\,g/cc$।
अंतिम घनत्व $\rho_2 = 6 \times 10^{-4}\,g/cc = 0.6 \times 10^{-3}\,g/cc$।
$\rho_1 T_1 = \rho_2 T_2$ का उपयोग करने पर:
$T_2 = \frac{\rho_1 T_1}{\rho_2} = \frac{3 \times 10^{-3} \times 280}{0.6 \times 10^{-3}} = \frac{3 \times 280}{0.6} = 5 \times 280 = 1400\,K$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($M$ मोलर द्रव्यमान है)।
स्थिर दाब $P$ पर,समीकरण $V = \left(\frac{mR}{MP}\right)T$ हो जाता है।
$V-T$ ग्राफ की ढाल (slope) $S = \frac{mR}{MP}$ द्वारा दी जाती है।
पहले मामले में,ढाल $S_1 = \frac{mR}{MP}$ है।
दूसरे मामले में,द्रव्यमान $2m$ है और दाब $2P$ है। नई ढाल $S_2$ इस प्रकार है:
$S_2 = \frac{(2m)R}{M(2P)} = \frac{mR}{MP} = S_1$।
चूंकि ढाल समान रहती है,इसलिए गैस का विस्तार उसी सीधी रेखा $B$ द्वारा दर्शाया जाएगा।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है)।
चूँकि पात्र एक पतली नली द्वारा जुड़े हैं,इसलिए साम्यावस्था में दोनों पात्रों में दबाव $P$ समान होगा।
पात्र $X$ के लिए: $V_X = 2V$,$T_X = 200\,K$,और द्रव्यमान $m_X = m$ है।
अतः,$P(2V) = \left(\frac{m}{M}\right) R(200) \implies P = \frac{mR(200)}{2VM} = \frac{100mR}{VM}$।
पात्र $Y$ के लिए: $V_Y = V$,$T_Y = 400\,K$,और द्रव्यमान $m_Y = m_Y$ है।
अतः,$P(V) = \left(\frac{m_Y}{M}\right) R(400) \implies P = \frac{400m_Y R}{VM}$।
$P$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{100mR}{VM} = \frac{400m_Y R}{VM}$।
$m_Y$ के लिए हल करने पर: $100m = 400m_Y \implies m_Y = \frac{100m}{400} = \frac{m}{4}$।

(C) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर तापमान $T$ पर,मोलों की संख्या $n$ के लिए गुणनफल $PV = nRT$ स्थिर रहता है।
ग्राफ से,एक निश्चित आयतन $V$ के लिए,दबाव $P_B > P_A$ है।
चूंकि $P_B V = n_B RT$ और $P_A V = n_A RT$,हमारे पास $P_B V > P_A V$ है,जिसका अर्थ है कि $n_B RT > n_A RT$।
इसलिए,$n_B > n_A$।
चूंकि $n_B > n_A$,इसलिए कथन $n_A > n_B$ (विकल्प $C$) गलत है।
द्रव्यमान $M_A$ और $M_B$ के संबंध में,यह गैसों के मोलर द्रव्यमान पर निर्भर करता है,जो निर्दिष्ट नहीं है। अतः,गैस के प्रकार के आधार पर $M_A > M_B$ या $M_A < M_B$ दोनों सत्य हो सकते हैं। हालाँकि,ग्राफ के आधार पर $n_A > n_B$ निश्चित रूप से गलत है।

(A) एवोगैड्रो के नियम के अनुसार,समान तापमान और दबाव पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है। चूंकि $N.T.P$ पर दोनों गैसों का आयतन $(1 \, cm^3)$ समान है,इसलिए दोनों में अणुओं की संख्या समान है।
आदर्श गैस की आंतरिक ऊर्जा केवल उसके तापमान पर निर्भर करती है $(U = \frac{f}{2} nRT)$। चूंकि दोनों गैसें समान तापमान पर हैं और समान आयतन के कारण उनके मोलों की संख्या भी समान है,इसलिए उनकी आंतरिक ऊर्जा समान है।
गैस के अणुओं का औसत वेग (वर्ग माध्य मूल वेग) $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ द्वारा दिया जाता है। हाइड्रोजन $(H_2)$ और ऑक्सीजन $(O_2)$ का मोलर द्रव्यमान $(M)$ अलग-अलग होने के कारण,उनके औसत वेग अलग-अलग होंगे। इसलिए,कथन $B$ गलत है।
चूंकि कथन $B$ गलत है,इसलिए कथन $D$ भी गलत है। इस प्रकार,$A$ और $C$ दोनों सही हैं,लेकिन मानक बहुविकल्पीय प्रश्नों के संदर्भ में,$N.T.P$ स्थितियों से प्राप्त सबसे मौलिक गुण अणुओं की संख्या है।

(C) चूंकि पात्र का तापमान $T$ और आयतन $V$ स्थिर हैं,हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हैं।
इससे,$n = \frac{PV}{RT}$ प्राप्त होता है। चूंकि $V, R,$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $n \propto P$ होगा।
प्रारंभिक स्थिति: $P_1 = 5 \text{ atm}$,$n_1 = n$.
अंतिम स्थिति: $P_2 = 4 \text{ atm}$,$n_2 = n'$.
अतः,$\frac{n'}{n} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{4}{5} = 0.8$.
इसका अर्थ है कि $n' = 0.8n$.
बाहर निकली गैस की मात्रा $\Delta n = n - n' = n - 0.8n = 0.2n$ है।
बाहर निकली गैस का प्रतिशत = $\frac{0.2n}{n} \times 100\% = 20\%$.

(D) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_i = 17 + 273 = 290 \ K$।
अंतिम तापमान $T_f = 27 + 273 = 300 \ K$।
वायुमंडलीय दबाव $P = 1 \times 10^5 \ Pa$।
कमरे का आयतन $V = 30 \ m^3$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = N k_B T$ के अनुसार अणुओं की संख्या $N = \frac{PV}{k_B T}$ होती है,जहाँ $k_B$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक $(k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J/K)$ है।
प्रारंभिक अणुओं की संख्या $N_i = \frac{PV}{k_B T_i}$।
अंतिम अणुओं की संख्या $N_f = \frac{PV}{k_B T_f}$।
अणुओं की संख्या में परिवर्तन $N_f - N_i = \frac{PV}{k_B} \left( \frac{1}{T_f} - \frac{1}{T_i} \right)$।
मान रखने पर: $N_f - N_i = \frac{1 \times 10^5 \times 30}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{1}{300} - \frac{1}{290} \right)$।
$N_f - N_i = \frac{30 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{290 - 300}{300 \times 290} \right)$।
$N_f - N_i = \frac{30 \times 10^5}{1.38 \times 10^{-23}} \left( \frac{-10}{87000} \right) \approx -2.5 \times 10^{25}$।

(D) प्रारंभिक स्थिति: हवा के स्तंभ की लंबाई $L_1 = 8 \ cm$ है और दबाव वायुमंडलीय है,$P_1 = 76 \ cm$ of $Hg$.
अंतिम स्थिति: नली को $46 \ cm$ और ऊपर उठाया जाता है। मान लीजिए हवा के स्तंभ की नई लंबाई $L_2$ है। मान लीजिए नली के अंदर पारे के स्तंभ की ऊंचाई बाहरी पारे के स्तर से $x$ है। बाहरी पारे के स्तर से नली की कुल लंबाई $8 + 46 = 54 \ cm$ है। अतः,$L_2 = 54 - x$.
अंतिम स्थिति में फंसी हुई हवा का दबाव $P_2 = P_0 - x = 76 - x$ है।
बॉयल के नियम $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ का उपयोग करते हुए और अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ स्थिर मानते हुए:
$76 \times A \times 8 = (76 - x) \times A \times (54 - x)$
$608 = 4104 - 76x - 54x + x^2$
$x^2 - 130x + 3496 = 0$
द्विघात समीकरण के सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके हल करने पर:
$x = \frac{130 \pm \sqrt{16900 - 13984}}{2} = \frac{130 \pm \sqrt{2916}}{2} = \frac{130 \pm 54}{2}$
$x_1 = 92$ (असंभव क्योंकि $x < 54$) या $x_2 = 38 \ cm$.
अतः,हवा के स्तंभ की लंबाई $L_2 = 54 - 38 = 16 \ cm$ होगी।

(D) मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_0$ है और प्रत्येक बल्ब का आयतन $V$ है। दोनों बल्बों का प्रारंभिक तापमान $T_0 = 273 \ K$ है।
गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है:
$n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{P_0 V}{R T_0} + \frac{P_0 V}{R T_0} = \frac{2 P_0 V}{R T_0}$
जब एक बल्ब बर्फ $(T_1 = 273 \ K)$ में और दूसरा गर्म पानी $(T_2 = T)$ में होता है,तो नया दबाव $P = 1.5 P_0$ हो जाता है।
मोलों की नई संख्या:
$n'_{total} = \frac{P V}{R T_1} + \frac{P V}{R T_2} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$
चूंकि $n_{total} = n'_{total}$:
$\frac{2 P_0 V}{R (273)} = \frac{1.5 P_0 V}{R (273)} + \frac{1.5 P_0 V}{R T}$
दोनों पक्षों को $\frac{P_0 V}{R}$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T}$
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T}$
$T = \frac{1.5 \times 273}{0.5} = 3 \times 273 = 819 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर:
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546^{\circ}C$.