Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(A) स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = \text{स्थिरांक}$ है。
$P$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $P \frac{dV}{dP} + V = 0$ प्राप्त होता है。
इसका अर्थ है $P \frac{dV}{dP} = -V$, या $\frac{dV}{dP} = -\frac{V}{P}$।
इस मान को $\beta$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\beta = - \left( \frac{dV}{dP} \right) / V = - \left( -\frac{V}{P} \right) / V = \frac{1}{P}$।
अतः, $\beta \propto \frac{1}{P}$।
यह एक आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है, जहाँ $P$ बढ़ने पर $\beta$ घटता है। इसलिए, सही ग्राफ वह है जो आयताकार अतिपरवलय को दर्शाता है।

(A) $r$ त्रिज्या और $t$ मोटाई वाले गोलाकार पात्र के लिए,धातु का आयतन $V_m = 4\pi r^2 t$ होता है।
पतली दीवार वाले गोलाकार पात्र के लिए हूप स्ट्रेस $\sigma = \frac{Pr}{2t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ आंतरिक दबाव है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$,जहाँ $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
$P = \frac{2t\sigma}{r}$ को आदर्श गैस नियम में रखने पर: $n = \frac{PV}{RT} = \frac{(2t\sigma/r)(4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{8\pi r^2 t \sigma}{3RT}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V_m = 4\pi r^2 t$,इसलिए $r^2 t = \frac{V_m}{4\pi}$ होता है।
इस मान को $n$ के व्यंजक में रखने पर: $n = \frac{8\pi (V_m / 4\pi) \sigma}{3RT} = \frac{2 V_m \sigma}{3RT}$।

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = \frac{m}{M}RT$,जहाँ $P$ दबाव है,$V$ आयतन है,$m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ तापमान है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए $P$,$V$,$m$ और $R$ समान हैं,इसलिए हमारे पास $T = \frac{PVM}{mR}$ है।
यह दर्शाता है कि $T \propto M$.
हीलियम का मोलर द्रव्यमान $(M_{He} = 4 \ g/mol)$ नाइट्रोजन के मोलर द्रव्यमान $(M_{N_2} = 28 \ g/mol)$ से कम है।
इसलिए,$T_{helium} < T_{nitrogen}$.

(B) आदर्श गैस नियम से,हमारे पास $PV = nRT$ है।
हम जानते हैं कि मोल की संख्या $n = \frac{m}{M}$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PV = \frac{m}{M} RT$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \left(\frac{m}{V}\right) \frac{RT}{M}$ मिलता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,इसलिए समीकरण $P = \rho \frac{RT}{M}$ हो जाता है।
नियत तापमान $(T)$ पर,गैस नियतांक $(R)$ और मोलर द्रव्यमान $(M)$ भी स्थिर रहते हैं।
इसलिए,$P \propto \rho$,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,सही ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जो ग्राफ $B$ के अनुरूप है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$N$ अणुओं की कुल संख्या है,$k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ परम ताप है।
हमें प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या ज्ञात करनी है,जिसे $n = \frac{N}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आदर्श गैस समीकरण से,हम लिख सकते हैं $n = \frac{N}{V} = \frac{P}{kT}$।
दिया गया दाब $P = (6.02 \times 10^{23})kT$ है।
$P$ का यह मान $n$ के समीकरण में रखने पर:
$n = \frac{(6.02 \times 10^{23})kT}{kT} = 6.02 \times 10^{23}$।
अतः,प्रति इकाई आयतन में अणुओं की संख्या $6.02 \times 10^{23}$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
हम जानते हैं कि $n = \frac{m}{M_w}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M_w$ मोलर द्रव्यमान है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $PV = \frac{m}{M_w} RT$ प्राप्त होता है।
दबाव $P$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर,$P = \left(\frac{m}{V}\right) \frac{RT}{M_w}$ मिलता है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,इसलिए समीकरण $P = \frac{\rho RT}{M_w}$ हो जाता है।
स्थिर तापमान $T$ और एक विशिष्ट गैस (स्थिर $M_w$) के लिए,दबाव $P$ घनत्व $\rho$ के सीधे समानुपाती होता है,अर्थात $P \propto \rho$।

(B) फ्लास्क में गैस के लिए, जब हवा बाहर निकलती है तो दबाव $P$ और आयतन $V$ स्थिर रहते हैं।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार, $PV = \mu RT$, जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है (जो द्रव्यमान के समानुपाती होती है) और $T$ केल्विन में निरपेक्ष तापमान है।
चूंकि $P$ और $V$ स्थिर हैं, इसलिए $\mu T = \text{स्थिरांक}$ होगा।
मान लीजिए प्रारंभिक द्रव्यमान $m$ (मोल $\mu_1 = \mu$) है और तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$ है।
गर्म करने के बाद, आधा द्रव्यमान बाहर निकल जाता है, इसलिए शेष द्रव्यमान $m/2$ (मोल $\mu_2 = \mu/2$) तापमान $T_2$ पर होगा।
संबंध $\mu_1 T_1 = \mu_2 T_2$ का उपयोग करने पर:
$\mu \times 300 = (\mu/2) \times T_2$
$300 = T_2 / 2$
$T_2 = 600 \, K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2 = 600 - 273 = 327 \, ^{\circ}C$.

(B) आदर्श गैस प्रक्रिया के लिए दिया गया नियम: $VP^2 = K$ (जहाँ $K$ एक स्थिरांक है)।
आदर्श गैस समीकरण से, हमारे पास $PV = nRT$ है, जिसका अर्थ है $P = \frac{nRT}{V}$।
इस मान को दिए गए नियम में रखने पर:
$V \left( \frac{nRT}{V} \right)^2 = K$
$V \left( \frac{n^2 R^2 T^2}{V^2} \right) = K$
$\frac{n^2 R^2 T^2}{V} = K$
चूंकि $n$ और $R$ स्थिरांक हैं, हम लिख सकते हैं कि $T^2 \propto V$, या $T \propto \sqrt{V}$।
इसलिए, $\frac{T_2}{T_1} = \sqrt{\frac{V_2}{V_1}}$।
यहाँ $V_1 = V$, $T_1 = T$, और $V_2 = 2V$ दिया गया है, इसलिए:
$\frac{T'}{T} = \sqrt{\frac{2V}{V}} = \sqrt{2}$।
अतः, $T' = \sqrt{2} T$।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
आयतन $V$ को तापमान $T$ के फलन के रूप में व्यवस्थित करने पर,हमें $V = (nR/P)T$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $m = nR/P$ है।
चूंकि गैस का द्रव्यमान समान है,इसलिए $n$ स्थिर है। अतः,ढाल $m$ दबाव $P$ के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $m \propto 1/P$।
दिए गए ग्राफ से,$P_2$ के संगत रेखा का ढाल $P_1$ के संगत रेखा के ढाल से अधिक है (अर्थात $m_2 > m_1$)।
चूंकि $m \propto 1/P$,इसलिए बड़ा ढाल कम दबाव को दर्शाता है।
अतः,$P_2 < P_1$,या $P_1 > P_2$।

(D) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT = \frac{M}{M_{mol}} RT$ है,जहाँ $M$ गैस का द्रव्यमान है।
चूँकि दबाव $P$ स्थिर है,हमारे पास $V \propto MT$ है,जिसका अर्थ है $\frac{V_1}{V_2} = \frac{M_1 T_1}{M_2 T_2}$।
मान लीजिए प्रारंभिक आयतन $V_1 = 100V$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 100T$ और प्रारंभिक द्रव्यमान $M_1 = 100M$ है।
परिवर्तनों के बाद,आयतन $10\%$ कम हो जाता है,इसलिए $V_2 = 90V$।
तापमान $20\%$ बढ़ जाता है,इसलिए $T_2 = 120T$।
इन मानों को समानुपाती समीकरण में रखने पर:
$\frac{100V}{90V} = \frac{100M \times 100T}{M_2 \times 120T}$
$\frac{10}{9} = \frac{10000M}{120M_2}$
$1200M_2 = 90000M$
$M_2 = \frac{90000}{1200}M = 75M$।
बाहर निकली गैस का प्रतिशत $\frac{M_1 - M_2}{M_1} \times 100\% = \frac{100M - 75M}{100M} \times 100\% = 25\%$ है।

(A) दिए गए $P-T$ आरेख से,प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
आदर्श गैस के लिए,$PV = nRT$,जिसका अर्थ है $V = \frac{nRT}{P}$।
आरेख के अनुसार,प्रक्रिया $1 \rightarrow 2$ के लिए $P/T$ का अनुपात स्थिर रहता है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ स्थिर रहता है।
हालाँकि,प्रश्न में $\frac{V_2}{V_1} = 2$ दिया गया है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,यदि हम दिए गए अनुपात का उपयोग करें,तो $T_2 = T_1 \times \frac{V_2}{V_1} = (27 + 273) \times 2 = 300 \times 2 = 600 \, K$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M_w}$ ($m$ द्रव्यमान है,$M_w$ मोलर द्रव्यमान है)।
$V = \frac{m}{\rho}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $P \left( \frac{m}{\rho} \right) = \frac{m}{M_w} RT$ प्राप्त होता है।
घनत्व और दबाव के अनुपात के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{\rho}{P} = \frac{M_w}{RT}$ प्राप्त होता है।
माना $y = \frac{\rho}{P} = \frac{M_w}{RT}$ है।
$T_1 = 273\, \text{K}$ $(0\,^{\circ}\text{C})$ पर,$y_1 = x = \frac{M_w}{R(273)}$ है।
$T_2 = 373\, \text{K}$ $(100\,^{\circ}\text{C})$ पर,$y_2 = \frac{M_w}{R(373)}$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{y_2}{x} = \frac{273}{373}$।
अतः,$y_2 = \frac{273}{373}x$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,और $\rho = \frac{m}{V}$ घनत्व है।
अतः,$P = \frac{\rho RT}{M}$,जिसका अर्थ है $\rho = \frac{PM}{RT}$।
बिंदु $A$ पर: $P_A = 3P_0$,$T_A = 2T_0$,और $\rho_A = \rho_0 = \frac{(3P_0)M}{R(2T_0)} = \frac{3P_0 M}{2RT_0}$।
बिंदु $B$ पर: $P_B = 5P_0$,$T_B = 4T_0$,और $\rho_B = \frac{(5P_0)M}{R(4T_0)} = \frac{5P_0 M}{4RT_0}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{\rho_B}{\rho_0} = \frac{5P_0 M / 4RT_0}{3P_0 M / 2RT_0} = \frac{5}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$।
इसलिए,$\rho_B = \frac{5}{6}\rho_0$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
चूंकि $n = m/M$ और घनत्व $\rho = m/V$ है,हम $V = m/\rho$ लिख सकते हैं।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P(m/\rho) = (m/M)RT$।
यह सरल होकर $P = (\rho RT)/M$ हो जाता है।
नियत तापमान $T$ पर,गैस नियतांक $R$ और मोलर द्रव्यमान $M$ भी नियत रहते हैं।
इसलिए,$P = k\rho$,जहाँ $k = (RT)/M$ एक नियतांक है।
यह समीकरण दबाव $P$ और घनत्व $\rho$ के बीच एक रैखिक संबंध को दर्शाता है,जो मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
अतः,सही ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(C) दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 8.0 \times 10^{-3} \, m^2$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300 \, K$
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 2.4 \times 10^{-3} \, m^3$
पिस्टन का विस्थापन $\Delta x = 0.1 \, m$
स्प्रिंग नियतांक $k = 8000 \, N/m$
वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 1.0 \times 10^5 \, N/m^2$
$1$. अंतिम आयतन $V_2$ की गणना:
$V_2 = V_1 + A \Delta x = 2.4 \times 10^{-3} + (8.0 \times 10^{-3} \times 0.1) = 2.4 \times 10^{-3} + 0.8 \times 10^{-3} = 3.2 \times 10^{-3} \, m^3$
$2$. अंतिम दबाव $P_2$ की गणना:
अंतिम दबाव वायुमंडलीय दबाव और स्प्रिंग बल द्वारा लगाए गए दबाव का योग है:
$P_2 = P_0 + \frac{k \Delta x}{A} = 1.0 \times 10^5 + \frac{8000 \times 0.1}{8.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 + \frac{800}{8.0 \times 10^{-3}} = 1.0 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 = 2.0 \times 10^5 \, N/m^2$
$3$. आदर्श गैस समीकरण $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ का उपयोग करते हुए:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = P_0 = 1.0 \times 10^5 \, N/m^2$ (क्योंकि स्प्रिंग शुरू में शिथिल अवस्था में है)।
$\frac{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}}{300} = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3}}{T_2}$
$T_2 = \frac{2.0 \times 10^5 \times 3.2 \times 10^{-3} \times 300}{1.0 \times 10^5 \times 2.4 \times 10^{-3}} = \frac{2.0 \times 3.2 \times 300}{2.4} = \frac{6.4 \times 300}{2.4} = \frac{1920}{2.4} = 800 \, K$

(B) मान लीजिए कि दोनों सिरों पर हवा के स्तंभों की प्रारंभिक लंबाई $l_0 = (100 - 20) / 2 = 40 \ cm$ है। जब नली को ऊर्ध्वाधर रखा जाता है तो पारा $y$ से विस्थापित हो जाता है।
हवा के दबाव में परिवर्तन बॉयल के नियम $(PV = \text{स्थिरांक})$ के अनुसार होता है:
निचले भाग के लिए: $P_0 (40 A) = P_1 (40 - y) A \Rightarrow P_1 = \frac{40 P_0}{40 - y}$
ऊपरी भाग के लिए: $P_0 (40 A) = P_2 (40 + y) A \Rightarrow P_2 = \frac{40 P_0}{40 + y}$
ऊर्ध्वाधर स्थिति में, निचले हिस्से का दबाव ऊपरी हिस्से का दबाव + $20 \ cm$ पारे के स्तंभ का दबाव है:
$P_1 = P_2 + h \rho g$
$P_0 = 76 \ cm$ ऑफ $Hg$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{40 \times 76 \rho g}{40 - y} = \frac{40 \times 76 \rho g}{40 + y} + 20 \rho g$
$\rho g$ से विभाजित करने पर:
$\frac{3040}{40 - y} - \frac{3040}{40 + y} = 20$
$3040 \left( \frac{2y}{1600 - y^2} \right) = 20$
$304 y = 1600 - y^2$
$y^2 + 304 y - 1600 = 0$
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर, $y \approx 5.18 \ cm$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है,प्रारंभिक आयतन $V_{1} = V$ और अंतिम आयतन $V_{2} = 2V$ है।
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर गैस का आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$.
मान रखने पर: $\frac{V}{300} = \frac{2V}{T_{2}}$.
$T_{2}$ के लिए हल करने पर: $T_{2} = 2 \times 300 = 600 \text{ K}$.
अंतिम तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T_{2} = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(D) मान लीजिए कि बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है। पिस्टन पर कार्य करने वाले बल ऊपर की गैस का दबाव ($P_1 A$ नीचे की ओर),नीचे की गैस का दबाव ($P_2 A$ ऊपर की ओर) और पिस्टन का भार ($mg$ नीचे की ओर) हैं।
पिस्टन के संतुलन में होने के लिए,कुल बल शून्य होना चाहिए:
$P_2 A = P_1 A + mg$
$mg = (P_2 - P_1) A$
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $V = Al$,हमें $P = \frac{nRT}{Al}$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_1 = \frac{nRT}{Al_1}$ और $P_2 = \frac{nRT}{Al_2}$.
इन मानों को संतुलन समीकरण में रखने पर:
$mg = \left( \frac{nRT}{Al_2} - \frac{nRT}{Al_1} \right) A$
$mg = nRT \left( \frac{1}{l_2} - \frac{1}{l_1} \right)$
$m = \frac{nRT}{g} \left( \frac{l_1 - l_2}{l_1 l_2} \right)$

(C) दिया गया है $n = 1$ मोल।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = RT$,इसलिए $P = \frac{RT}{V}$।
इस मान को दिए गए संबंध $P = P_0 \left[ 1 - \frac{1}{2} \left( \frac{V_0}{V} \right)^2 \right]$ में रखने पर:
$\frac{RT}{V} = P_0 \left[ 1 - \frac{V_0^2}{2V^2} \right]$
$T = \frac{P_0}{R} \left[ V - \frac{V_0^2}{2V} \right]$
अब,$V = V_0$ और $V = 2V_0$ पर तापमान की गणना करने पर:
$T_1 = T(V_0) = \frac{P_0}{R} \left[ V_0 - \frac{V_0^2}{2V_0} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ V_0 - \frac{V_0}{2} \right] = \frac{P_0 V_0}{2R}$
$T_2 = T(2V_0) = \frac{P_0}{R} \left[ 2V_0 - \frac{V_0^2}{2(2V_0)} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ 2V_0 - \frac{V_0}{4} \right] = \frac{P_0}{R} \left[ \frac{7V_0}{4} \right] = \frac{7 P_0 V_0}{4R}$
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_2 - T_1 = \frac{7 P_0 V_0}{4R} - \frac{P_0 V_0}{2R} = \frac{7 P_0 V_0 - 2 P_0 V_0}{4R} = \frac{5 P_0 V_0}{4R}$।

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT = \frac{m}{M}RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}$ होता है।
चूंकि $M$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\rho \propto \frac{P}{T}$ होगा।
बिंदु $A$ पर,निर्देशांक $(T_0, P_0)$ हैं,इसलिए $\left(\frac{P}{T}\right)_A = \frac{P_0}{T_0}$ है।
बिंदु $B$ पर,निर्देशांक $(2T_0, 3P_0)$ हैं,इसलिए $\left(\frac{P}{T}\right)_B = \frac{3P_0}{2T_0} = \frac{3}{2} \left(\frac{P_0}{T_0}\right)$ है।
चूंकि $\rho \propto \frac{P}{T}$,इसलिए $\frac{\rho_B}{\rho_A} = \frac{(P/T)_B}{(P/T)_A} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\rho_B = \frac{3}{2} \rho_A = \frac{3}{2} \rho_0$ होगा।

(C) एक बंद पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है।
गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए $P \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{P}{T} = \text{स्थिरांक}$.
इसका अवकलन करने पर,हमें $\frac{dP}{P} = \frac{dT}{T}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि दबाव में $0.5\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{dP}{P} = 0.005$ है।
तापमान में परिवर्तन $dT = 1\, K$ दिया गया है (क्योंकि $1\,^{\circ}C$ का परिवर्तन $1\, K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $0.005 = \frac{1}{T}$।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{1}{0.005} = 200\, K$ प्राप्त होता है।
तापमान को केल्विन से सेल्सियस में बदलने के लिए,हम $t(^{\circ}C) = T(K) - 273.15$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
अतः,$t = 200 - 273 = -73\, ^{\circ}C$।

(D) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था समीकरण $PV = nRT = (m/M)RT$ है, जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है। चूँकि घनत्व $\rho = m/V$ है, हम $P = (\rho/M)RT$ लिख सकते हैं, जिसका अर्थ है $\rho = (PM)/(RT)$।
ग्राफ $(i)$ में, $T$ स्थिर है और $P$ बढ़ रहा है। चूँकि $\rho \propto P/T$, यदि $T$ स्थिर है और $P$ बढ़ता है, तो घनत्व $\rho$ बढ़ता है। अतः, कथन $(A)$ सही है।
ग्राफ $(ii)$ में, $P$ स्थिर है और $T$ बढ़ रहा है। चूँकि $\rho \propto P/T$, यदि $P$ स्थिर है और $T$ बढ़ता है, तो घनत्व $\rho$ घटता है। अतः, कथन $(B)$ सही है।
ग्राफ $(iii)$ में, ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है, इसलिए $P/T = \text{constant}$। चूँकि $\rho = (PM)/(RT)$, यदि $P/T$ स्थिर है, तो घनत्व $\rho$ स्थिर रहता है। अतः, कथन $(C)$ सही है।
चूँकि सभी कथन $(A), (B)$ और $(C)$ सही हैं, इसलिए गलत कथन उपरोक्त में से कोई नहीं है।

(B) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर तापमान (समतापीय) प्रक्रिया के लिए,$T$ स्थिर है। चूंकि $n$ और $R$ भी स्थिरांक हैं,इसलिए उनका गुणनफल $nRT$ भी स्थिर रहेगा,मान लीजिए कि यह $k$ है।
अतः,समीकरण $PV = k$ हो जाता है,जिसे $P = k \left( \frac{1}{V} \right)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = P$,$x = \frac{1}{V}$,और ढाल $m = nRT$ एक धनात्मक स्थिरांक है।
इसलिए,$P$ बनाम $\frac{1}{V}$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(C) एक खुले पात्र के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ स्थिर रहते हैं।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = \mu RT$,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है और $R$ गैस नियतांक है।
चूंकि $P$ और $V$ स्थिर हैं,इसलिए $\mu T = \text{स्थिरांक}$.
अतः,$\mu_1 T_1 = \mu_2 T_2$.
दिया गया है: $\mu_1 = x$,$T_1 = T$,और $T_2 = 3T$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $x \times T = \mu_2 \times (3T)$.
$\mu_2$ के लिए हल करने पर: $\mu_2 = \frac{x}{3}$,जो पात्र में बची हुई गैस की मात्रा है।
पात्र से बाहर निकलने वाली गैस की मात्रा प्रारंभिक मात्रा और शेष मात्रा का अंतर है: $\Delta \mu = x - \frac{x}{3} = \frac{2x}{3}$.

(B) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = \frac{m}{M}RT$ है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम तापमान है।
चूँकि $T$ स्थिर है,$PV = \text{स्थिरांक} \times m$ होगा।
एक निश्चित दबाव $P$ के लिए,ग्राफ से देखा जा सकता है कि द्रव्यमान $m_2$ के अनुरूप आयतन $V_2$,द्रव्यमान $m_1$ के अनुरूप आयतन $V_1$ से अधिक है (अर्थात $V_2 > V_1$)।
आदर्श गैस समीकरण से,$m = \frac{PVM}{RT}$।
चूँकि $P, M, R,$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $m \propto V$ होगा।
अतः,चूँकि $V_2 > V_1$ है,इसलिए $m_2 > m_1$ होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M_w}RT$ से,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M_w$ मोलर द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{\rho RT}{M_w}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{\rho}{P} = \frac{M_w}{RT}$।
दिया गया है कि $T_1 = 273\,K$ $(0\,^{\circ}\text{C})$ पर,$\frac{\rho_1}{P_1} = x = \frac{M_w}{R(273)}$ है।
$T_2 = 373\,K$ $(100\,^{\circ}\text{C})$ पर,नया भागफल $x' = \frac{M_w}{R(373)}$ है।
दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर: $\frac{x'}{x} = \frac{M_w / (R \cdot 373)}{M_w / (R \cdot 273)} = \frac{273}{373}$।
अतः,$x' = \frac{273}{373}x$।

(B) दी गई प्रक्रिया का समीकरण $P = \frac{2V^2}{1+V^2}$ है।
$V_i = 1 \, m^3$ के लिए,प्रारंभिक दाब $P_i = \frac{2(1)^2}{1+(1)^2} = \frac{2}{2} = 1 \, Pa$ है।
$V_f = 2 \, m^3$ के लिए,अंतिम दाब $P_f = \frac{2(2)^2}{1+(2)^2} = \frac{8}{5} \, Pa$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,$n = 1$ मोल के लिए,$T = \frac{PV}{R}$ होता है।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = T_f - T_i = \frac{P_f V_f - P_i V_i}{nR}$ है।
मान रखने पर: $\Delta T = \frac{(\frac{8}{5} \times 2) - (1 \times 1)}{1 \times R} = \frac{\frac{16}{5} - 1}{R} = \frac{16-5}{5R} = \frac{11}{5R} \, K$.

(A) एक बंद पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,दबाव $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
इसका अर्थ है $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$,या $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T = 250\,K$,तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 1\,K$।
दबाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta P}{P} \times 100$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{\Delta T}{T} \times 100 = \frac{1}{250} \times 100 = 0.4\%$।

(C) साम्यावस्था पर,दोनों फ्लास्क में दबाव $P$ समान होना चाहिए।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है):
$P = \frac{mRT}{MV}$
चूँकि $P$,$R$,और $M$ दोनों फ्लास्क के लिए स्थिर हैं,इसलिए:
$\frac{m_1 T_1}{V_1} = \frac{m_2 T_2}{V_2}$
दिया गया है कि $V_1 = 2V_2$,$T_1 = 100\,K$,$T_2 = 200\,K$,और $m_1 = m$:
$\frac{m \times 100}{2V_2} = \frac{m_2 \times 200}{V_2}$
$\frac{100m}{2} = 200m_2$
$50m = 200m_2$
$m_2 = \frac{50m}{200} = \frac{m}{4}$

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,गैस की निश्चित मात्रा के लिए,हमारे पास $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ है।
दिया गया प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$ है।
प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम दाब $P_2 = 2P$ और अंतिम आयतन $V_2 = 3V$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{P \cdot V}{300} = \frac{(2P) \cdot (3V)}{T_2}$.
$\frac{1}{300} = \frac{6}{T_2}$.
$T_2 = 6 \times 300 = 1800 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 1800 - 273 = 1527^{\circ}C$.

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,दबाव और आयतन एक-दूसरे के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं,अर्थात $P \propto \frac{1}{V}$.
इसलिए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
झील की तली पर,दबाव $P_1$ वायुमंडलीय दबाव $P_0$ और $h$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ के कारण दबाव का योग है: $P_1 = P_0 + h \rho_w g$.
सतह पर,दबाव $P_2$ वायुमंडलीय दबाव $P_0$ के बराबर होता है।
दिया गया है: $h = 47.6 \ m = 4760 \ cm$,$V_1 = 50 \ cm^3$,$P_0 = 70 \ cm$ $Hg = 70 \times 13.6 \times g \ \text{dynes/cm}^2$,$\rho_w = 1 \ g/cm^3$.
समीकरण $P_0 V_1 + h \rho_w g V_1 = P_0 V_2$ में मान रखने पर:
$V_2 = V_1 \left( 1 + \frac{h \rho_w g}{P_0} \right) = V_1 \left( 1 + \frac{h \rho_w g}{h_{Hg} \rho_{Hg} g} \right) = V_1 \left( 1 + \frac{h \rho_w}{h_{Hg} \rho_{Hg}} \right)$.
$V_2 = 50 \left( 1 + \frac{4760 \times 1}{70 \times 13.6} \right) = 50 \left( 1 + \frac{4760}{952} \right) = 50 (1 + 5) = 50 \times 6 = 300 \ cm^3$.

(C) ऑक्सीजन के मोलों की संख्या $(n_{O_2})$ $8/32 = 0.25\,mol$ है।
नाइट्रोजन के मोलों की संख्या $(n_{N_2})$ $7/28 = 0.25\,mol$ है।
डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम के अनुसार,कुल दबाव $P_{total} = (n_{O_2} + n_{N_2}) \frac{RT}{V} = 10\,atm$ है।
चूंकि $n_{O_2} = n_{N_2} = 0.25\,mol$,इसलिए प्रत्येक गैस का आंशिक दबाव समान होगा।
$P_{O_2} = P_{N_2} = \frac{10}{2} = 5\,atm$।
जब ऑक्सीजन को हटा दिया जाता है,तो पात्र में केवल नाइट्रोजन शेष रहता है।
अतः,सिस्टम में नया दबाव नाइट्रोजन के आंशिक दबाव के बराबर होगा,जो कि $5\,atm$ है।

(B) चूंकि फ्लास्क का आयतन स्थिर रहता है,हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
यहाँ प्रारंभिक दबाव $P_1 = 1\,atm$ और प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300\,K$ है।
कॉर्क को बाहर निकालने के लिए आवश्यक अंतिम दबाव $P_2 = 2.5\,atm$ है।
मान रखने पर: $\frac{1}{300} = \frac{2.5}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 2.5 \times 300 = 750\,K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $750 - 273 = 477\,^{\circ}C$.

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$P = n k T$,जहाँ $n$ संख्या घनत्व (प्रति इकाई आयतन अणुओं की संख्या) है।
$n = P / (k T)$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$n = (4 \times 10^{-10}) / (1.38 \times 10^{-23} \times 300)$
$n \approx (4 \times 10^{-10}) / (4.14 \times 10^{-21})$
$n \approx 0.966 \times 10^{11} \approx 10^{11} \text{ अणु/m}^3$
चूंकि $1\,m^3 = 10^6\,cm^3$,इसलिए प्रति $cm^3$ अणुओं की संख्या होगी:
$n_{cm^3} = 10^{11} / 10^6 = 10^5 \text{ अणु/cm}^3$.

(C) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर दबाव $P$ के लिए,आयतन $V$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(V \propto T)$।
दिए गए $P-V$ ग्राफ से,यदि हम एक स्थिर दबाव $P$ पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं,तो वक्र $T_2$ के अनुरूप आयतन,वक्र $T_1$ के अनुरूप आयतन से अधिक है $(V_2 > V_1)$।
चूंकि $V \propto T$,समान दबाव पर बड़ा आयतन उच्च तापमान को दर्शाता है।
इसलिए,$T_2 > T_1$ या $T_1 < T_2$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($M$ मोलर द्रव्यमान है)।
अतः,$V = \frac{mR}{MP} T$।
दिए गए ग्राफ में,$V-T$ आलेख परम शून्य $(-273.15\, ^\circ\text{C})$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है,जहाँ ढाल $S = \frac{mR}{MP}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए,ढाल $S_1 = \frac{mR}{MP}$ है।
दूसरी स्थिति के लिए,द्रव्यमान $2m$ और दाब $2P$ है,इसलिए नया ढाल $S_2 = \frac{(2m)R}{M(2P)} = \frac{mR}{MP}$ होगा।
चूँकि $S_1 = S_2$,ढाल अपरिवर्तित रहता है।
इसलिए,विस्तार को उसी सीधी रेखा $B$ द्वारा दर्शाया जाएगा।

(B) दिया गया है: आयतन $V = 8 \, L = 8 \times 10^{-3} \, m^3$,प्रारंभिक दाब $P_1 = 2 \, atm \approx 2 \times 10^5 \, Pa$.
प्रारंभिक मोल $n_1 = \frac{P_1 V}{RT} = \frac{2 \times 10^5 \times 8 \times 10^{-3}}{8.314 \times 300} \approx 0.641 \, mol$.
अंतिम दाब $P_2 = 125 \, kPa = 1.25 \times 10^5 \, Pa$.
चूंकि तापमान $T$ और आयतन $V$ स्थिर हैं,$P \propto n$,इसलिए $\frac{n_2}{n_1} = \frac{P_2}{P_1}$.
$n_2 = n_1 \times \frac{P_2}{P_1} = 0.641 \times \frac{1.25 \times 10^5}{2 \times 10^5} = 0.641 \times 0.625 \approx 0.40 \, mol$.
बाहर निकले मोल $\Delta n = n_1 - n_2 = 0.64 - 0.40 = 0.24 \, mol$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ गैस के मोलों की संख्या है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 32\,g/mol$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 5\,g$ है।
मोलों की संख्या $\mu = \frac{m}{M} = \frac{5}{32}\,mol$ है।
इस मान को आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PV = \frac{5}{32}\,RT$ प्राप्त होता है।

(C) $6.02 \times 10^{23}$ संख्या को एवोगैड्रो संख्या $(N_A)$ के रूप में जाना जाता है।
परिभाषा के अनुसार,किसी भी पदार्थ के एक मोल में हमेशा $6.02 \times 10^{23}$ प्राथमिक इकाइयाँ (परमाणु,अणु या आयन) होती हैं,चाहे पदार्थ का तापमान,दबाव या आयतन कुछ भी हो।
इसलिए,Assertion सही है।
हालाँकि,मोल की परिभाषा $S.T.P.$ (मानक तापमान और दबाव) स्थितियों पर निर्भर नहीं करती है।
$S.T.P.$ स्थितियाँ केवल तब प्रासंगिक होती हैं जब एक आदर्श गैस के एक मोल द्वारा घेरे गए आयतन की गणना की जाती है ($S.T.P.$ पर यह $22.4 \ L$ होता है)।
अतः,Reason गलत है।

(N/A) बॉयल का नियम: स्थिर तापमान पर एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, दबाव $P$ उसके आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। गणितीय रूप से, $P \propto 1/V$ या $PV = \text{स्थिरांक}$.
चार्ल्स का नियम: स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, आयतन $V$ उसके परम तापमान $T$ के समानुपाती होता है। गणितीय रूप से, $V \propto T$ या $V/T = \text{स्थिरांक}$.

(N/A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम ताप है।
परम ताप पैमाने (जिसे केल्विन पैमाना भी कहा जाता है) का आधार परम शून्य ताप है,जो $-273.15 \ ^{\circ}C$ है। इस तापमान पर एक आदर्श गैस का दाब शून्य हो जाता है,जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है जहाँ दाब-ताप रेखा $-273.15 \ ^{\circ}C$ पर शून्य दाब की ओर जाती है।

(N/A) दबाव $(P)$,आयतन $(V)$ और निरपेक्ष तापमान $(T)$ से संबंधित आदर्श गैस समीकरण इस प्रकार है:
$PV = nRT$
जहाँ:
$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है $= 8.314 \; J \; mol^{-1} \; K^{-1}$
$n = 1 \; mol$
$T = 273.15 \; K$ (मानक तापमान)
$P = 1.01325 \times 10^{5} \; Pa$ ($1 \; atm$ का मानक दबाव)
आयतन के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$V = \frac{nRT}{P}$
मान रखने पर:
$V = \frac{1 \times 8.314 \times 273.15}{1.01325 \times 10^{5}}$
$V \approx 0.02241 \; m^{3}$
चूंकि $1 \; m^{3} = 1000 \; L$:
$V \approx 22.41 \; L$
अतः,$STP$ पर एक आदर्श गैस का मोलर आयतन लगभग $22.4 \; L$ होता है।

(A) निरपेक्ष दाब $P$,$P = P_{gauge} + P_{atm}$ द्वारा दिया जाता है। मान लीजिए $P_{atm} = 1 \; atm = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
प्रारंभिक निरपेक्ष दाब $P_{1} = 15 + 1 = 16 \; atm = 1.6208 \times 10^{6} \; Pa$.
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 27 + 273 = 300 \; K$.
आयतन $V = 30 \; L = 30 \times 10^{-3} \; m^{3}$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = (m/M)RT$ का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक द्रव्यमान $m_{1} = (P_{1} V M) / (R T_{1})$.
$m_{1} = (1.6208 \times 10^{6} \times 30 \times 10^{-3} \times 32 \times 10^{-3}) / (8.31 \times 300) \approx 0.624 \; kg$.
अंतिम निरपेक्ष दाब $P_{2} = 11 + 1 = 12 \; atm = 1.2156 \times 10^{6} \; Pa$.
अंतिम तापमान $T_{2} = 17 + 273 = 290 \; K$.
अंतिम द्रव्यमान $m_{2} = (P_{2} V M) / (R T_{2})$.
$m_{2} = (1.2156 \times 10^{6} \times 30 \times 10^{-3} \times 32 \times 10^{-3}) / (8.31 \times 290) \approx 0.485 \; kg$.
बाहर निकाली गई ऑक्सीजन का द्रव्यमान $\Delta m = m_{1} - m_{2} = 0.624 - 0.485 = 0.139 \; kg \approx 0.13 \; kg$.

(B) हवा के बुलबुले का प्रारंभिक आयतन,$V_{1} = 1.0 \; cm^{3} = 1.0 \times 10^{-6} \; m^{3}$.
झील की गहराई,$d = 40 \; m$.
तली पर प्रारंभिक तापमान,$T_{1} = 12 \; ^{\circ}C = 285 \; K$.
सतह पर अंतिम तापमान,$T_{2} = 35 \; ^{\circ}C = 308 \; K$.
सतह पर दबाव,$P_{2} = 1 \; atm = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
तली पर दबाव,$P_{1} = P_{2} + d \rho g$,जहाँ $\rho = 10^{3} \; kg/m^{3}$ और $g = 9.8 \; m/s^{2}$.
$P_{1} = 1.013 \times 10^{5} + (40 \times 10^{3} \times 9.8) = 1.013 \times 10^{5} + 3.92 \times 10^{5} = 4.933 \times 10^{5} \; Pa$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए,$\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}$.
$V_{2} = \frac{P_{1} V_{1} T_{2}}{T_{1} P_{2}} = \frac{(4.933 \times 10^{5}) \times (1.0 \times 10^{-6}) \times 308}{285 \times (1.013 \times 10^{5})}$.
$V_{2} \approx 5.26 \times 10^{-6} \; m^{3} = 5.26 \; cm^{3}$.

(C) कमरे का आयतन,$V = 25.0 \; m^{3}$।
कमरे का तापमान,$T = 27^{\circ} C = 300 \; K$।
कमरे में दाब,$P = 1 \; atm = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = N k_{B} T$ है,जहाँ $k_{B}$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
बोल्ट्ज़मैन नियतांक,$k_{B} = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K$।
हवा के अणुओं की संख्या $N = \frac{PV}{k_{B} T}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $N = \frac{1.013 \times 10^{5} \times 25.0}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}$।
$N = \frac{25.325 \times 10^{5}}{414 \times 10^{-23}} \approx 6.11 \times 10^{26}$ अणु।
अतः,कमरे में हवा के अणुओं की कुल संख्या $6.11 \times 10^{26}$ है।

(D) संकीर्ण नली की लंबाई,$L = 100 \; cm$.
पारे के धागे की लंबाई,$l = 76 \; cm$.
पारे और बंद सिरे के बीच हवा के स्तंभ की लंबाई,$l_a = 15 \; cm$.
जब नली को लंबवत रखा जाता है और खुला सिरा नीचे होता है,तो हवा के स्तंभ की लंबाई बढ़ जाती है क्योंकि कुछ पारा बाहर निकल जाता है। मान लीजिए $h \; cm$ पारा बाहर निकलता है।
हवा के स्तंभ की अंतिम लंबाई $l_2 = 15 + (100 - 76 - 15) + h = 24 + h \; cm$ हो जाती है।
पारे के स्तंभ की अंतिम लंबाई $76 - h \; cm$ हो जाती है।
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 76 \; cm$ Hg,प्रारंभिक आयतन $V_1 = 15 \; cm$ (लंबाई के समानुपाती)।
अंतिम दबाव $P_2 = 76 - (76 - h) = h \; cm$ Hg.
बॉयल के नियम का उपयोग करते हुए,$P_1 V_1 = P_2 V_2$:
$76 \times 15 = h(24 + h)$
$h^2 + 24h - 1140 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करके $h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{-24 + \sqrt{576 + 4560}}{2} = \frac{-24 + 73.05}{2} \approx 24.5 \; cm$.
इस प्रकार,$24.5 \; cm$ पारा बाहर निकल जाएगा और हवा के स्तंभ की अंतिम लंबाई $24 + 24.5 = 48.5 \; cm$ होगी।

(N/A) जब कार गति में होती है,तो टायर और सड़क की सतह के बीच घर्षण के कारण ऊष्मा उत्पन्न होती है।
यह ऊष्मा टायर के अंदर की हवा में स्थानांतरित हो जाती है,जिससे हवा का तापमान $(T)$ बढ़ जाता है।
गैसों के गतिज सिद्धांत (Kinetic Theory of Gases) के अनुसार,एक निश्चित आयतन $(V)$ के लिए (टायर का आयतन लगभग स्थिर रहता है),गे-लुसाक के नियम $(P \propto T)$ के अनुसार दबाव $(P)$ निरपेक्ष तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
घर्षण के कारण टायर के अंदर की हवा का तापमान बढ़ने से गैस के अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,जिसके परिणामस्वरूप वे टायर की आंतरिक दीवारों से अधिक बार और जोर से टकराते हैं।
परिणामस्वरूप,टायर के अंदर हवा का दबाव बढ़ जाता है।

(N/A) गे-लुसाक का गैसीय आयतन का नियम यह बताता है कि जब गैसें आपस में रासायनिक अभिक्रिया करती हैं,तो उनके आयतन एक सरल अनुपात में होते हैं और यदि उत्पाद भी गैसीय अवस्था में हों,तो उनका आयतन भी अभिकारकों के आयतन के साथ एक सरल अनुपात में होता है,बशर्ते कि तापमान और दाब स्थिर रहें।

(N/A) एवोगाद्रो का नियम बताता है कि समान तापमान और दबाव की स्थितियों में सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।
गणितीय रूप से,इसे स्थिर तापमान $(T)$ और दबाव $(P)$ पर $V \propto n$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $V$ आयतन है और $n$ मोलों (या अणुओं) की संख्या है।
इसका तात्पर्य यह है कि यदि विभिन्न गैसों को समान तापमान और दबाव पर समान आयतन वाले पात्रों में रखा जाता है,तो उनमें अणुओं की संख्या समान होगी।
यह नियम एवोगाद्रो परिकल्पना के रूप में भी जाना जाता है और गैसों के गतिज सिद्धांत को समझने के लिए मौलिक है।

$1\,atm$ दाब पर $1\,g$ जल वाष्प का आयतन ज्ञात करने के लिए,हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$P = 1\,atm = 1.013 \times 10^5\,Pa$ है।
जल का द्रव्यमान $m = 1\,g = 10^{-3}\,kg$ है।
जल $(H_2O)$ का मोलर द्रव्यमान $M = 18\,g/mol = 18 \times 10^{-3}\,kg/mol$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{1}{18}\,mol$ है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.314\,J/(mol \cdot K)$ है।
तापमान $T = 373.15\,K$ ($1\,atm$ पर जल का क्वथनांक) मानते हुए:
$V = \frac{nRT}{P} = \frac{(1/18) \times 8.314 \times 373.15}{1.013 \times 10^5}$.
$V \approx 1.70 \times 10^{-3}\,m^3 = 1.70\,litres$.