Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(C) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{PV}{T} = nR$ प्राप्त होता है।
चूंकि $n$ (मोलों की संख्या) और $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) गैस की दी गई मात्रा के लिए स्थिरांक होते हैं,इसलिए अनुपात $\frac{PV}{T}$ स्थिर रहता है।
यह संबंध आदर्श गैस नियम से प्राप्त होता है और यह आदर्श गैस से जुड़ी किसी भी प्रक्रिया के लिए मान्य है,जिसमें समतापीय और रुद्धोष्म प्रक्रियाएं शामिल हैं।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(C) समदाबी प्रक्रिया (स्थिर दाब) के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि $V \propto T$ (चार्ल्स का नियम)।
यहाँ $n = 1$ मोल है,प्रारंभिक आयतन $T$ तापमान पर $V$ है।
जब तापमान में $1 \, K$ की वृद्धि होती है,तो नया तापमान $T' = T + 1$ हो जाता है।
नया आयतन $V'$ के लिए $\frac{V'}{T+1} = \frac{V}{T}$ होगा।
$V' = V \left(1 + \frac{1}{T}\right) = V + \frac{V}{T}$।
आदर्श गैस के लिए आयतन प्रसार गुणांक $\gamma = \frac{1}{T}$ होता है। $0 \, ^\circ C$ $(273 \, K)$ पर $\gamma = \frac{1}{273} \, K^{-1}$ होता है।
अतः,आयतन में वृद्धि $\Delta V = V' - V = \frac{V}{T}$ होगी।
यदि $T = 273 \, K$ माना जाए,तो आयतन में वृद्धि $\frac{V}{273}$ होगी।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: ${V \propto T}$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन ${V_1 = V_0}$,प्रारंभिक तापमान ${T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 K}$.
अंतिम आयतन ${V_2 = 2V_0}$.
मान रखने पर: $\frac{V_0}{300} = \frac{2V_0}{T_2}$.
${T_2}$ के लिए हल करने पर: ${T_2 = 2 \times 300 = 600 K}$.
सेल्सियस में बदलने पर: ${T_2 = 600 - 273 = 327^{\circ}C}$.

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर किसी गैस की निश्चित मात्रा का आयतन उसके परम ताप के सीधे समानुपाती होता है: $V \propto T$।
इसका अर्थ है $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया है:
$V_1 = 300 \ ml$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$
$T_2 = 7^{\circ}C = 7 + 273 = 280 \ K$
सूत्र में मान रखने पर:
$V_2 = \frac{V_1 \times T_2}{T_1} = \frac{300 \times 280}{300} = 280 \ ml$।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए, $PV = \text{नियत}$.
दोनों पक्षों का $P$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$P(dV/dP) + V = 0$
$P(dV/dP) = -V$
$-(dV/dP)/V = 1/P$
दिया गया है कि $\beta = -(dV/dP)/V$, इसलिए $\beta = 1/P$.
यह समीकरण एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है, जहाँ $P$ बढ़ने पर $\beta$ घटता है। यह संबंध ग्राफ $A$ में सही ढंग से दिखाया गया है।

(A) समतापीय प्रक्रिया के लिए,बॉयल के नियम के अनुसार $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
दिया गया है: $V_1 = 1 \, L = 1000 \, cm^3$,$P_1 = 72 \, cm$ $Hg$,$V_2 = 900 \, cm^3$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $P_2 = \frac{P_1 V_1}{V_2} = \frac{72 \times 1000}{900} = 80 \, cm$ $Hg$।
दाब में परिवर्तन (प्रतिबल) $\Delta P = P_2 - P_1$ है।
$\Delta P = 80 \, cm - 72 \, cm = 8 \, cm$ $Hg$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,हम लिख सकते हैं $V = \frac{\mu RT}{P}$,जिसका अर्थ है $V \propto \frac{T}{P}$।
दिए गए $P-T$ ग्राफ में,बिंदु $1$ से $2$ तक की प्रक्रिया को दर्शाने वाली रेखा को पीछे बढ़ाने पर वह $T$-अक्ष को धनात्मक मान पर काटती है। इसका अर्थ है कि जैसे-जैसे $T$ बढ़ता है,ढाल $\frac{P}{T}$ घटती है।
चूंकि $V \propto \frac{T}{P}$,यदि अनुपात $\frac{P}{T}$ घटता है,तो अनुपात $\frac{T}{P}$ को बढ़ना चाहिए।
अतः,प्रक्रिया $1$ से $2$ के दौरान गैस का आयतन $V$ बढ़ता है।

(C) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
इसका अर्थ है $P = \frac{nRT}{V}$।
नियत आयतन $V$ के लिए,दाब $P$ तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
दिए गए $P-V$ आरेख में,यदि हम नियत आयतन $V$ पर एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचते हैं,तो वक्र $T_2$ के संगत दाब,वक्र $T_1$ के संगत दाब से अधिक है।
चूंकि समान आयतन पर $P_2 > P_1$ है,इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $T_2 > T_1$,या $T_1 < T_2$।

(C) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = nRT$ है।
नियत दाब $P$ और गैस की निश्चित मात्रा $n$ के लिए,समीकरण $V = (\frac{nR}{P})T$ हो जाता है।
यह $V = kT$ के रूप में है,जहाँ $k = \frac{nR}{P}$ एक स्थिरांक है।
यह $V-T$ तल में मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है।
अतः,सही ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
$n = \frac{N}{N_A}$,जहाँ $N$ अणुओं की कुल संख्या है और $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है।
साथ ही,गैस का कुल द्रव्यमान $M_{total} = N \times m$ है,जहाँ $m$ एक अणु का द्रव्यमान है।
घनत्व $\rho = \frac{M_{total}}{V} = \frac{Nm}{V}$ है।
आदर्श गैस नियम से: $PV = \frac{N}{N_A} RT$।
चूँकि $R = k N_A$,इसलिए $PV = \frac{N}{N_A} (k N_A) T = NkT$।
$N/V$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{N}{V} = \frac{P}{kT}$।
इस मान को घनत्व के सूत्र में रखने पर: $\rho = \left(\frac{N}{V}\right) m = \left(\frac{P}{kT}\right) m = \frac{Pm}{kT}$।

(A) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = NkT$,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$N$ अणुओं की संख्या है,$k$ बोल्ट्ज़मान नियतांक है और $T$ तापमान है।
अणुओं की संख्या के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $N = \frac{PV}{kT}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $P$,$V$,$k$ और $T$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,इसलिए अणुओं की संख्या $N$ भी दोनों गैसों के लिए समान होगी।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
यह दिया गया है कि तीनों गैसों के लिए $P, V, R$ और $T$ समान हैं,इसलिए मोलों की संख्या $n = \frac{PV}{RT}$ सभी के लिए समान है।
अणुओं की संख्या $N = n \times N_A$,जहाँ $N_A$ आवोगाद्रो संख्या है। अतः,अणुओं की संख्या सभी के लिए समान है।
अब,हम परमाणुओं की संख्या की गणना करते हैं:
$H_2$ (द्वि-परमाणुक) के लिए: परमाणुओं की संख्या $= 2 \times n \times N_A = 2nN_A$.
$O_2$ (द्वि-परमाणुक) के लिए: परमाणुओं की संख्या $= 2 \times n \times N_A = 2nN_A$.
$He$ (एक-परमाणुक) के लिए: परमाणुओं की संख्या $= 1 \times n \times N_A = nN_A$.
इस प्रकार,$H_2$ और $O_2$ में परमाणुओं की संख्या समान है,जो $He$ से अधिक है।

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$.
दिया गया है: $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$,$P_1 = P$,$V_1 = V$.
अंतिम स्थितियाँ: $P_2 = 2P$,$V_2 = 3V$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P \times V}{300} = \frac{(2P) \times (3V)}{T_2}$.
$T_2 = \frac{6PV}{PV} \times 300 = 6 \times 300 = 1800 \ K$.
सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = 1800 - 273 = 1527^{\circ}C$.

(D) स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए बॉयल के नियम के अनुसार,दाब और आयतन का गुणनफल स्थिर रहता है: $P_1V_1 = P_2V_2$।
दिए गए मान $P_1 = 3 \, atm$,$V_1 = 12 \, L$ और $V_2 = 9 \, L$ हैं।
समीकरण में मान रखने पर: $3 \times 12 = P_2 \times 9$।
$P_2$ के लिए हल करने पर: $P_2 = \frac{3 \times 12}{9} = \frac{36}{9} = 4 \, atm$।
अतः,आवश्यक दाब $4 \, atm$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = Nk_BT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k_B$ बोल्ट्जमैन नियतांक है।
पात्र $A$ के लिए: $N_A = \frac{PV}{k_BT}$.
पात्र $B$ के लिए: $N_B = \frac{(2P)(V/4)}{k_B(2T)} = \frac{PV/2}{2k_BT} = \frac{PV}{4k_BT}$.
अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{PV/k_BT}{PV/4k_BT} = \frac{1}{1/4} = \frac{4}{1}$ है।

(D) आदर्श गैस का घनत्व $\rho$ सूत्र $\rho = \frac{M_w P}{RT}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $M_w$ मोलर द्रव्यमान है,$P$ दबाव है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
दिया गया है कि नया दबाव $P' = 2P$ और नया तापमान $T' = 4T$ है।
नया घनत्व $\rho' = \frac{M_w P'}{R T'}$ होगा।
मान रखने पर,$\rho' = \frac{M_w (2P)}{R (4T)} = \frac{1}{2} \left( \frac{M_w P}{RT} \right)$.
अतः,$\rho' = 0.5 \rho$.
इसलिए घनत्व मूल घनत्व का $0.5$ गुना हो जाएगा।

(C) चूंकि दोनों गोले आपस में जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों में दाब $P$ समान रहेगा।
दिया है: आयतन $V_1 = 2V_2$,तापमान $T_1 = 100 K$,$T_2 = 200 K$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = (m/M)RT$ का उपयोग करने पर,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है।
गोले $I$ के लिए: $PV_1 = (m/M)RT_1$ --- $(1)$
गोले $II$ के लिए: $PV_2 = (m'/M)RT_2$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से भाग देने पर:
$\frac{PV_2}{PV_1} = \frac{(m'/M)RT_2}{(m/M)RT_1}$
$\frac{V_2}{2V_2} = \frac{m'}{m} \times \frac{200}{100}$
$\frac{1}{2} = \frac{m'}{m} \times 2$
$\frac{m'}{m} = \frac{1}{4}$
$m' = m/4$

(B) चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
दिया गया है: $P_1 = 2 \, atm$,$V_1 = 500 \, cc$,$V_2 = 400 \, cc$।
समीकरण में मान रखने पर:
$P_2 = P_1 \times \frac{V_1}{V_2}$
$P_2 = 2 \times \frac{500}{400}$
$P_2 = 2 \times 1.25 = 2.5 \, atm$।

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,नियत ताप पर $P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
यहाँ,प्रारंभिक दाब $P_1 = 0.8 \, m$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = 5 \, L$ है।
अंतिम आयतन $V_2$ दोनों पात्रों के आयतन का योग होगा क्योंकि गैस दोनों पात्रों में फैल जाती है: $V_2 = 5 \, L + 3 \, L = 8 \, L$.
समीकरण में मान रखने पर:
$0.8 \times 5 = P_2 \times 8$
$4.0 = P_2 \times 8$
$P_2 = 4.0 / 8 = 0.5 \, m$.
अतः,परिणामी दाब $0.5 \, m$ होगा।

(D) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,नियत आयतन पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,दाब उसके परम तापमान के समानुपाती होता है: $P \propto T$.
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
दिया गया है: $P_1 = P$,$P_2 = 2P$,और $T_1 = 20^{\circ}C = 20 + 273 = 293 \ K$.
मान रखने पर: $\frac{2P}{P} = \frac{T_2}{293}$.
$T_2 = 2 \times 293 = 586 \ K$.
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर: $T(^{\circ}C) = 586 - 273 = 313^{\circ}C$.

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $N$ अणुओं की संख्या है और $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है।
पात्र $A$ के लिए: $P_A = P$,$V_A = V$,$T_A = T$. अतः,$N_A = \frac{PV}{kT}$.
पात्र $B$ के लिए: $P_B = 2P$,$V_B = V/4$,$T_B = 2T$. अतः,$N_B = \frac{(2P)(V/4)}{k(2T)} = \frac{PV/2}{2kT} = \frac{PV}{4kT}$.
अणुओं की संख्या का अनुपात $\frac{N_A}{N_B} = \frac{PV/kT}{PV/4kT} = \frac{4}{1}$ है।
अतः,अनुपात $4 : 1$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{m}{M}RT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि आयतन $V$ और मोलर द्रव्यमान $M$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto \frac{mT}{V} \implies P \propto mT$ प्राप्त होता है।
माना $m_1 = 6 \ g$,$P_1 = P$,$T_1 = 400 \ K$ और अंतिम द्रव्यमान $m_2$,$P_2 = P/2$,$T_2 = 300 \ K$ है।
अनुपात $\frac{P_1}{P_2} = \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{P}{P/2} = \frac{6 \times 400}{m_2 \times 300}$ प्राप्त होता है।
$2 = \frac{2400}{300 m_2} \implies 2 = \frac{8}{m_2}$.
$m_2 = 4 \ g$.
बाहर निकली ऑक्सीजन का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = 6 \ g - 4 \ g = 2 \ g$ होगा।

(D) बॉयल के नियम के अनुसार,नियत तापमान पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,$P_1V_1 = P_2V_2$ होता है।
माना प्रारंभिक दाब $P_1 = P$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
अंतिम आयतन $V_2 = V - 0.1V = 0.9V$ है।
$P_1V_1 = P_2V_2$ का उपयोग करने पर,हमें $P \times V = P_2 \times 0.9V$ प्राप्त होता है।
अतः,$P_2 = \frac{P}{0.9} = \frac{10}{9}P$ है।
दाब में परिवर्तन $\Delta P = P_2 - P = \frac{10}{9}P - P = \frac{1}{9}P$ है।
दाब में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = \frac{1/9P}{P} \times 100 = \frac{100}{9} \approx 11.11\%$ है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,हम $P = (n/V)RT$ लिख सकते हैं,जहाँ $n/V$ अणुओं का संख्या घनत्व है।
दिया गया है $P = nkT$,जहाँ $n$ संख्या घनत्व है और $k$ बोल्ट्ज़मैन नियतांक है $(k = 1.38 \times 10^{-23} \; J/K)$।
सबसे पहले,दाब को $SI$ इकाइयों $(Pa)$ में बदलें:
$1 \; atm = 760 \; mm \; Hg = 1.013 \times 10^{5} \; Pa$.
$P = 10^{-11} \; mm \; Hg = (10^{-11} / 760) \times 1.013 \times 10^{5} \; Pa \approx 1.33 \times 10^{-9} \; Pa$.
तापमान $T = 27 + 273 = 300 \; K$.
$n = P / (kT)$ का उपयोग करते हुए:
$n = (1.33 \times 10^{-9}) / (1.38 \times 10^{-23} \times 300) \approx 3.21 \times 10^{11} \; \text{अणु}/m^{3}$.
चूँकि $1 \; m^{3} = 10^{6} \; cm^{3}$,इसलिए प्रति $cm^{3}$ संख्या घनत्व $3.21 \times 10^{11} / 10^{6} = 3.21 \times 10^{5} \; \text{अणु}/cm^{3}$ है।
निकटतम विकल्प के अनुसार,उत्तर $3.22 \times 10^{5} \; \text{अणु}/cm^{3}$ है।

(C) बंद पात्र में गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$\frac{P}{T} = \text{स्थिरांक}$,जिसका अर्थ है $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
माना प्रारंभिक दबाव $P_1 = P$ और प्रारंभिक तापमान $T_1 = T$ (केल्विन में) है।
अंतिम दबाव $P_2 = P + 0.4\% \text{ of } P = P + 0.004P = 1.004P$ है।
अंतिम तापमान $T_2 = T + 1$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{P}{T} = \frac{1.004P}{T+1}$।
दोनों पक्षों को $P$ से विभाजित करने पर: $\frac{1}{T} = \frac{1.004}{T+1}$।
तिर्यक गुणा करने पर: $T + 1 = 1.004T$।
$1 = 0.004T$।
$T = \frac{1}{0.004} = 250 \ K$।

(A) ग्राफ से हम देख सकते हैं कि कोण $\theta_1 < \theta_2$ है।
चूंकि $V-T$ ग्राफ की ढाल $\tan \theta = \frac{V}{T}$ होती है,इसलिए $\tan \theta_1 < \tan \theta_2$ होगा।
अतः,$\left( \frac{V}{T} \right)_1 < \left( \frac{V}{T} \right)_2$ प्राप्त होता है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,$\frac{V}{T} = \frac{\mu R}{P}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $\frac{V}{T} \propto \frac{1}{P}$ है।
इस प्रकार,$\frac{1}{P_1} < \frac{1}{P_2}$,जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $P_1 > P_2$।

(D) माना प्रारंभिक अवस्था $(P, V, T)$ है और अंतिम अवस्था $(P, V', T')$ है।
यह मानते हुए कि दबाव स्थिर रहता है, हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हैं।
प्रारंभिक अवस्था: $PV = n_1 RT$।
अंतिम अवस्था: $PV' = n_2 R T'$।
दिया गया है: $T' = T + 0.20T = 1.2T$ और $V' = V - 0.10V = 0.9V$।
इन मानों को अंतिम समीकरण में रखने पर: $P(0.9V) = n_2 R (1.2T)$।
$0.9 PV = n_2 R (1.2T) \Rightarrow n_2 = \frac{0.9}{1.2} n_1 = 0.75 n_1$।
बाहर निकली गैस की मात्रा $\Delta n = n_1 - n_2 = n_1 - 0.75 n_1 = 0.25 n_1$ है।
बाहर निकली गैस का प्रतिशत = $\frac{\Delta n}{n_1} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25\%$।

(B) दिया गया है: प्रारंभिक तापमान $T_1 = 23^{\circ}C = 23 + 273 = 296 \, K$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1500 \, ml$.
अंतिम तापमान $T_2 = 37^{\circ}C = 37 + 273 = 310 \, K$.
चूंकि दबाव और गैस की मात्रा स्थिर है,हम चार्ल्स के नियम का उपयोग करते हैं: $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
$V_2$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $V_2 = V_1 \times \frac{T_2}{T_1}$.
मान रखने पर: $V_2 = 1500 \times \frac{310}{296}$.
गणना करने पर: $V_2 \approx 1570.9 \, ml$.

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
$O_2$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 32 \, g/mol$ है।
मोलों की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{8 \, g}{32 \, g/mol} = \frac{1}{4} \, mol$ है।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$PV = \left( \frac{1}{4} \right) RT = \frac{RT}{4}$।

(C) स्थिर आयतन पर गैस के लिए,गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$ होता है।
इसका तात्पर्य है कि $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$।
यहाँ दिया गया है कि दबाव में प्रतिशत वृद्धि $\frac{\Delta P}{P} \times 100 = 0.5\%$ है और तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 5 \ K$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{0.5}{100} = \frac{5}{T}$
$T = \frac{5 \times 100}{0.5}$
$T = 1000 \ K$।
अतः,गैस का प्रारंभिक तापमान $1000 \ K$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = \mu RT$,जहाँ $P$ दबाव है,$V$ आयतन है,$\mu$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि दोनों गैसों के लिए मोलों की संख्या $\mu$,आयतन $V$ और तापमान $T$ समान हैं,इसलिए दबाव $P$ भी समान होगा।
यह दिया गया है कि $H_2$ का दबाव $4 \ atm$ है,इसलिए $He$ गैस का दबाव भी $4 \ atm$ होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$N$ अणुओं की संख्या है,$k$ बोल्ट्जमैन नियतांक है और $T$ केल्विन में तापमान है।
दिया गया है: $P = 13.8 \ Pa$,$V = 1 \ m^3$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \ JK^{-1}$,और $T = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
$N$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $N = \frac{PV}{kT}$.
मान रखने पर: $N = \frac{13.8 \times 1}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}$.
$N = \frac{13.8}{414 \times 10^{-23}} = \frac{13.8}{4.14 \times 10^{-21}} = \frac{13.8}{414} \times 10^{23} = 0.0333 \times 10^{23} = 3.33 \times 10^{21}$.
अतः,अणुओं की संख्या लगभग $3.3 \times 10^{21}$ है।

(A) जल का दिया गया द्रव्यमान $m = 4.5 \, kg = 4500 \, g$ है।
जल $(H_2O)$ का मोलर द्रव्यमान $M = 18 \, g/mol$ है।
मोलों की संख्या $n = \frac{m}{M} = \frac{4500}{18} = 250 \, mol$ है।
$STP$ पर,$1 \, mol$ आदर्श गैस द्वारा घेरा गया आयतन $22.4 \, L$ होता है।
इसलिए,$250 \, mol$ द्वारा घेरा गया आयतन $V = n \times 22.4 \, L = 250 \times 22.4 = 5600 \, L$ होगा।
चूंकि $1000 \, L = 1 \, m^3$,इसलिए आयतन $V = 5.6 \, m^3$ होगा।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक दाब $P_1 = 1 \ atm$,प्रारंभिक आयतन $V_1 = 100 \ ml$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम दाब $P_2 = 2 \ atm$,अंतिम आयतन $V_2 = 100 \ ml$.
चूंकि आयतन स्थिर रहता है $(V_1 = V_2)$,हम गे-लुसाक के नियम का उपयोग करेंगे: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{300} = \frac{2}{T_2}$.
$T_2$ के लिए हल करने पर: $T_2 = 300 \times 2 = 600 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 600 - 273 = 327^{\circ}C$.

(D) चार्ल्स के नियम के अनुसार,नियत दाब पर एक आदर्श गैस का आयतन $V$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होता है,अर्थात $V = kT$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
तापमान $T$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $\frac{dV}{dT} = k$ प्राप्त होता है।
तापमान में प्रति इकाई वृद्धि के लिए आयतन में वृद्धि और मूल आयतन का अनुपात $\frac{\frac{dV}{dT}}{V}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\frac{k}{kT} = \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।

(C) एक बंद पात्र में गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$,जहाँ $P$ दाब है और $T$ केल्विन में परम तापमान है।
अवकलन रूप लेने पर,हमें प्राप्त होता है $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है,$\frac{\Delta P}{P} = 0.4 \% = \frac{0.4}{100}$ और $\Delta T = 1 \ K$ (चूंकि $1 ^\circ C$ का परिवर्तन $1 \ K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$।
$T$ के लिए हल करने पर: $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ परम तापमान है।
प्रथम पात्र के लिए: $P_1 V_1 = n_1 R T_1$। दिया गया है कि $n_1 = 1$,$T_1 = T$,और $P_1 = P$,अतः $PV = RT$ (समीकरण $1$)।
दूसरे पात्र के लिए: $P_2 V_2 = n_2 R T_2$। दिया गया है कि $n_2 = 1$,$T_2 = 2T$,और चूँकि पात्र समान हैं,इसलिए $V_2 = V_1 = V$।
इन मानों को रखने पर: $P_2 V = (1) R (2T) = 2RT$ (समीकरण $2$)।
समीकरण $2$ को समीकरण $1$ से विभाजित करने पर: $\frac{P_2 V}{PV} = \frac{2RT}{RT}$।
इसे सरल करने पर $\frac{P_2}{P} = 2$ प्राप्त होता है,जिससे $P_2 = 2P$।

(B) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन के लिए $P \propto T$,जिसका अर्थ है $\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$।
दिया गया है: $\frac{\Delta P}{P} = 0.4 \ \% = 0.004$ और $\Delta T = 1 \ K$ (तापमान में $1 \ ^\circ C$ का परिवर्तन निरपेक्ष तापमान में $1 \ K$ के परिवर्तन के बराबर होता है)।
मान रखने पर: $0.004 = \frac{1}{T}$।
अतः,$T = \frac{1}{0.004} = 250 \ K$।
इस प्रकार,गैस का प्रारंभिक तापमान $250 \ K$ है।

(C) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर एक आदर्श गैस के लिए आयतन $V$,परम तापमान $T$ के सीधे समानुपाती होता है $(V \propto T)$।
दिया गया है:
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$.
अंतिम तापमान $T_2 = 327^{\circ}C = 327 + 273 = 600 \ K$.
प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$.
संबंध $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{V}{300} = \frac{V_2}{600}$.
$V_2 = V \times \frac{600}{300} = 2V$.
अतः,अंतिम आयतन $2V$ होगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
मोलों की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{मोलर द्रव्यमान}} = \frac{m}{M_0}$ होती है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M_0 = 32 \ g/mol$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \ g$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\mu = \frac{5}{32}$ प्राप्त होता है।
अतः,अवस्था समीकरण $PV = \frac{5}{32} RT$ होगा।

(A) दिया गया है: दबाव $P = 1 \, atm = 1.01 \times 10^5 \, N \, m^{-2}$.
आयतन $V = \text{क्षेत्रफल} \times \text{ऊँचाई} = 20 \, m^2 \times 3 \, m = 60 \, m^3$.
तापमान $T = 27 \, ^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$.
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$.
हवा का मोलर द्रव्यमान $M = 29 \, g/mol = 0.029 \, kg/mol$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है:
$n = \frac{PV}{RT} = \frac{1.01 \times 10^5 \times 60}{8.31 \times 300} \approx 2430.8 \, mol$.
हवा का द्रव्यमान $m = n \times M = 2430.8 \times 0.029 \approx 70.49 \, kg \approx 70.5 \, kg$.

(C) मिश्रण में किसी गैस का आंशिक दबाव $P_i = x_i P_{total}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x_i$ गैस का मोल अंश है।
सबसे पहले,हम द्रव्यमान प्रतिशत से $N_2$ का मोल अंश ज्ञात करते हैं।
मान लीजिए हवा का कुल द्रव्यमान $100 \,g$ है। $N_2$ का द्रव्यमान $75.5 \,g$ है और शेष हवा का द्रव्यमान $24.5 \,g$ है।
हवा का औसत आणविक द्रव्यमान लगभग $29 \,g/mol$ है।
$N_2$ के मोलों की संख्या $n_{N_2} = \frac{75.5}{28} \approx 2.696 \,mol$ है।
$100 \,g$ हवा में कुल मोलों की संख्या $n_{total} = \frac{100}{29} \approx 3.448 \,mol$ है।
$N_2$ का मोल अंश $x_{N_2} = \frac{n_{N_2}}{n_{total}} = \frac{2.696}{3.448} \approx 0.782$ है।
अतः,$N_2$ का आंशिक दबाव $P_{N_2} = x_{N_2} \times P_{total} = 0.782 \times 1 \,atm \approx 0.78 \,atm$ होगा।

(B) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
अतः,$PV = \frac{m}{M} RT$,जिससे $P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $P \propto \rho T$,या $\frac{P_1}{P_2} = \frac{\rho_1 T_1}{\rho_2 T_2}$।
बिंदु $A$ पर दिया गया है: $P_A = P_0$,$T_A = T_0$,$\rho_A = \rho_0$।
बिंदु $B$ पर दिया गया है: $P_B = 3P_0$,$T_B = 2T_0$,$\rho_B = ?$।
मान रखने पर: $\frac{P_0}{3P_0} = \frac{\rho_0 T_0}{\rho_B (2T_0)}$।
$\frac{1}{3} = \frac{\rho_0}{2 \rho_B} \Rightarrow \rho_B = \frac{3}{2} \rho_0$।

(D) माना कि प्रत्येक बल्ब का आयतन $V$ है। प्रारंभ में,दोनों बल्ब $T_1 = 273 \ K$ तापमान और $P$ दबाव पर हैं। गैस के मोलों की कुल संख्या $n$ इस प्रकार है:
$n = \frac{PV}{RT_1} + \frac{PV}{RT_1} = \frac{2PV}{RT_1}$
जब एक बल्ब $T_1 = 273 \ K$ पर और दूसरा $T_2$ तापमान पर होता है,तो नया दबाव $P' = 1.5P$ हो जाता है। गैस के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है:
$n = \frac{P'V}{RT_1} + \frac{P'V}{RT_2} = \frac{1.5PV}{RT_1} + \frac{1.5PV}{RT_2}$
$n$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\frac{2PV}{RT_1} = \frac{1.5PV}{RT_1} + \frac{1.5PV}{RT_2}$
$\frac{2}{273} = \frac{1.5}{273} + \frac{1.5}{T_2}$
$\frac{0.5}{273} = \frac{1.5}{T_2}$
$T_2 = 273 \times \frac{1.5}{0.5} = 273 \times 3 = 819 \ K$
सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546^{\circ}C$.

(D) रूट मीन स्क्वायर गति का सूत्र $v_{rms} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$ है।
चूंकि $M$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $v_{rms} \propto \sqrt{T}$ होता है।
दिया गया है कि नई गति $v'_{rms} = 2v_{rms}$ है,इसलिए:
$\frac{v'_{rms}}{v_{rms}} = \sqrt{\frac{T'}{T}} \implies 2 = \sqrt{\frac{T'}{T}} \implies \frac{T'}{T} = 4 \implies T' = 4T$.
चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए $V \propto T$ होता है।
इसलिए,$\frac{V'}{V} = \frac{T'}{T} = 4$.
अतः,नया आयतन $V' = 4V$ होगा।

(B) दिया गया है:
दाब $P = 2.5 \times 10^5 \, N \, m^{-2}$
आयतन $V = 20 \, L = 20 \times 10^{-3} \, m^3$
तापमान $T = 27 \, ^\circ C = 27 + 273 = 300 \, K$
मोलर द्रव्यमान $M = 32 \, g \, mol^{-1} = 32 \times 10^{-3} \, kg \, mol^{-1}$
गैस नियतांक $R = 8.31 \, J \, mol^{-1} K^{-1}$
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करने पर,जहाँ $\mu = \frac{m}{M}$:
$PV = \frac{m}{M} RT$
$m = \frac{PVM}{RT}$
मान रखने पर:
$m = \frac{(2.5 \times 10^5) \times (20 \times 10^{-3}) \times (32 \times 10^{-3})}{8.31 \times 300}$
$m = \frac{1600 \times 10^{-1}}{2493} \approx 0.06418 \, kg$
अतः,$m = 0.064 \, kg = 64 \, g$.

(A) दिया गया है:
प्रारंभिक दाब $P_1 = 1 \,atm = 1.01 \times 10^5 \,N/m^2$।
प्रारंभिक आयतन $V_1 = 1 \,m^3$।
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 300 \,K$।
अंतिम आयतन $V_2 = 2V_1 = 2 \,m^3$।
अंतिम तापमान $T_2 = 2T_1 = 600 \,K$।
आदर्श गैस समीकरण $\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$P_2 = P_1 \times \frac{V_1}{V_2} \times \frac{T_2}{T_1}$
$P_2 = (1.01 \times 10^5) \times \frac{1}{2} \times \frac{600}{300}$
$P_2 = (1.01 \times 10^5) \times \frac{1}{2} \times 2$
$P_2 = 1.01 \times 10^5 \,N/m^2 \approx 10^5 \,N/m^2$।

(A) प्रारंभिक दाब $P_1 = 15 \, atm = 15 \times 1.013 \times 10^5 \, Pa \approx 15.2 \times 10^5 \, Pa$। प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27 + 273 = 300 \, K$। आयतन $V = 30 \, L = 30 \times 10^{-3} \, m^3$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M_w} RT$ का उपयोग करते हुए,प्रारंभिक द्रव्यमान $m_1 = \frac{P_1 V M_w}{R T_1}$।
$m_1 = \frac{(15.2 \times 10^5) \times (30 \times 10^{-3}) \times (32 \times 10^{-3})}{8.31 \times 300} \approx 0.586 \, kg$।
गैस निकालने के बाद,$P_2 = 11 \, atm = 11.14 \times 10^5 \, Pa$,$T_2 = 17 + 273 = 290 \, K$।
अंतिम द्रव्यमान $m_2 = \frac{P_2 V M_w}{R T_2} = \frac{(11.14 \times 10^5) \times (30 \times 10^{-3}) \times (32 \times 10^{-3})}{8.31 \times 290} \approx 0.447 \, kg$।
बाहर निकाली गई ऑक्सीजन का द्रव्यमान $\Delta m = m_1 - m_2 = 0.586 - 0.447 = 0.139 \, kg \approx 0.14 \, kg$।

(D) दिया गया है: प्रारंभिक द्रव्यमान $M_1 = 10 \, kg$,प्रारंभिक दबाव $P_1 = 10^7 \, N/m^2$,अंतिम दबाव $P_2 = 2.5 \times 10^6 \, N/m^2$.
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{M}{M_w} RT$ का उपयोग करने पर,जहाँ $M$ गैस का द्रव्यमान है।
चूँकि $V$,$R$,$T$ और $M_w$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto M$ होगा।
अतः,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{M_2}{M_1}$.
मान रखने पर: $\frac{2.5 \times 10^6}{10^7} = \frac{M_2}{10}$.
$0.25 = \frac{M_2}{10} \Rightarrow M_2 = 2.5 \, kg$.
बाहर निकाली गई गैस का द्रव्यमान $\Delta M = M_1 - M_2 = 10 - 2.5 = 7.5 \, kg$ होगा।

(D) एक खुले पात्र के लिए,दाब $P$ और आयतन $V$ स्थिर रहते हैं।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है,हमें प्राप्त होता है $n \propto 1/T$.
अतः,$n_1 T_1 = n_2 T_2$.
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 60 + 273 = 333 \ K$.
माना प्रारंभिक मोलों की संख्या $n_1 = n$ है।
चूँकि हवा का $1/4$ भाग बाहर निकल जाता है,शेष मोल $n_2 = n - (1/4)n = (3/4)n$ होंगे।
मान रखने पर: $n \times 333 = (3/4)n \times T_2$.
$T_2 = 333 \times (4/3) = 444 \ K$.
सेल्सियस में बदलने पर: $T = 444 - 273 = 171^{\circ}C$.