Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(N/A) आवोगाद्रो का नियम बताता है कि समान तापमान और दबाव की स्थितियों के तहत सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।
गणितीय रूप से,इसे $V \propto n$ (स्थिर $T$ और $P$ पर) के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $V$ गैस का आयतन है,$n$ पदार्थ की मात्रा (मोलों की संख्या) है,$T$ परम तापमान है और $P$ दबाव है।
इसका तात्पर्य यह है कि मानक तापमान और दबाव $(STP)$ पर सभी आदर्श गैसों का मोलर आयतन समान होता है,जो प्रति मोल लगभग $22.4 \ L$ है।

(N/A) गैस के दबाव $(P)$,आयतन $(V)$ और तापमान $(T)$ को जोड़ने वाला समीकरण इस प्रकार है:
$PV = KT$
जहाँ $T$ केल्विन $(K)$ में निरपेक्ष तापमान है।
$K$ दी गई गैस के लिए एक स्थिरांक है,लेकिन यह गैस की मात्रा के साथ बदलता है।
$K$ गैस के दिए गए नमूने में अणुओं की संख्या $(N)$ के समानुपाती होता है।
$\therefore K \propto N$
$\therefore K = k_{B} N$
यहाँ,$k_{B}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है।
इसका मान सभी गैसों के लिए समान होता है।
$k_{B}$ की इकाई $\text{J/K}$ है और इसका विमीय सूत्र $[M^{1} L^{2} T^{-2} K^{-1}]$ है।
$K$ का मान पहले समीकरण में रखने पर:
$PV = k_{B} NT$
$\therefore \frac{PV}{NT} = k_{B} = \text{स्थिरांक}$
इसका अर्थ है कि दो अलग-अलग गैस नमूनों के लिए:
$\frac{P_{1} V_{1}}{N_{1} T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{N_{2} T_{2}}$
यदि विभिन्न गैसों के लिए $P, V$ और $T$ समान हैं,तो $N$ भी समान होना चाहिए। यह एवोगेड्रो की परिकल्पना को दर्शाता है,जिसके अनुसार: समान तापमान और दबाव पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।

(N/A) $STP$ का अर्थ है मानक तापमान और दबाव।
मानक तापमान को $0^{\circ}C$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $0 + 273.15 = 273.15 \ K \approx 273 \ K$ के बराबर है।
मानक दबाव को $1 \ atm$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो $1.01325 \times 10^{5} \ Nm^{-2} \approx 1.01 \times 10^{5} \ Nm^{-2}$ के बराबर है।

(N/A) मोल पदार्थ की वह मात्रा है जिसमें उतने ही प्राथमिक कण होते हैं जितने कार्बन-$12$ के $0.012 \ kg$ में परमाणु होते हैं। मानक तापमान और दबाव $(STP)$ पर,एक आदर्श गैस के $22.4 \ L$ आयतन में निहित द्रव्यमान उसके आणविक द्रव्यमान के बराबर होता है। इसका प्रतीक $mol$ है।
समीकरण $1$: द्रव्यमान के संदर्भ में,यदि $M$ गैस का द्रव्यमान है और $M_{0}$ मोलर द्रव्यमान है,तो मोल की संख्या $\mu$ इस प्रकार दी जाती है:
$\mu = \frac{M}{M_{0}}$
समीकरण $2$: अणुओं की संख्या के संदर्भ में,यदि $N$ अणुओं की कुल संख्या है और $N_{A}$ एवोगैड्रो स्थिरांक $(6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1})$ है,तो मोल की संख्या $\mu$ इस प्रकार दी जाती है:
$\mu = \frac{N}{N_{A}}$

(N/A) किसी पदार्थ के $1 \text{ mole}$ में निहित अणुओं की संख्या को एवोगाद्रो संख्या कहा जाता है। इसे प्रतीक $N_{A}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$N_{A} = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$.
आधुनिक परिभाषा: $12 \text{ g}$ कार्बन-$12$ में निहित परमाणुओं की संख्या को एवोगाद्रो संख्या कहा जाता है।
एवोगाद्रो संख्या एक सार्वभौमिक स्थिरांक है जो सभी प्रकार के मूलभूत कणों पर लागू होता है:
$1 \text{ mole परमाणु} = 6.022 \times 10^{23} \text{ परमाणु/मोल}$
$1 \text{ mole आयन} = 6.022 \times 10^{23} \text{ आयन/मोल}$
$1 \text{ mole इलेक्ट्रॉन} = 6.022 \times 10^{23} \text{ इलेक्ट्रॉन/मोल}$

(N/A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ है।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{PV}{\mu T}$ प्राप्त होता है।
मानक ताप और दाब $(STP)$ पर,$1 \text{ मोल}$ आदर्श गैस के लिए $(\mu = 1)$:
$P = 1.013 \times 10^{5} \text{ N/m}^2$
$V = 22.4 \times 10^{-3} \text{ m}^3$
$T = 273.15 \text{ K}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$R = \frac{1.013 \times 10^{5} \times 22.4 \times 10^{-3}}{1 \times 273.15} \approx 8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$।
$R$ का मात्रक: $\text{J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ या $\text{N m mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ है।
$R$ का विमीय सूत्र:
चूंकि $R = \frac{PV}{\mu T}$,इसलिए इसका विमीय सूत्र $\frac{[M^1 L^{-1} T^{-2}] [L^3]}{[mol] [K]} = [M^1 L^2 T^{-2} K^{-1} mol^{-1}]$ होगा।

(N/A) आदर्श गैस गैस का एक सैद्धांतिक मॉडल है जो हर दबाव और तापमान पर $PV = \mu RT$ समीकरण को संतुष्ट करता है।
कोई भी वास्तविक गैस पूर्णतः आदर्श गैस नहीं होती है।
दिया गया ग्राफ तीन अलग-अलग तापमानों पर वास्तविक गैसों का आदर्श गैस व्यवहार से विचलन दर्शाता है। क्षैतिज रेखा आदर्श गैस को दर्शाती है,जो $P$ (दबाव) अक्ष के समानांतर है।
सभी वक्र कम दबाव और उच्च तापमान पर आदर्श गैस व्यवहार के करीब पहुँचते हैं।
कम दबाव और उच्च तापमान पर अणु एक-दूसरे से दूर होते हैं और आणविक अंतःक्रियाएं नगण्य होती हैं। अतः,इस स्थिति में वास्तविक गैस आदर्श गैस की तरह व्यवहार करती है।
आदर्श गैस के लिए अवस्था समीकरण $PV = \mu RT$ है,जहाँ $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
गैस के नियम:
$(1)$ बॉयल का नियम: स्थिर तापमान पर,किसी दिए गए द्रव्यमान की गैस का दबाव उसके आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
$\therefore P \propto \frac{1}{V} \implies PV = \text{स्थिरांक}$.
$(2)$ चार्ल्स का नियम: स्थिर दबाव पर,किसी दिए गए द्रव्यमान की गैस का आयतन उसके परम तापमान के सीधे समानुपाती होता है।
$\therefore V \propto T \implies \frac{V}{T} = \text{स्थिरांक}$.
$(3)$ गे-लुसाक का नियम: स्थिर आयतन पर,किसी दिए गए द्रव्यमान की गैस का दबाव उसके परम तापमान के सीधे समानुपाती होता है।
$\therefore P \propto T \implies \frac{P}{T} = \text{स्थिरांक}$.

(N/A) नियम: गैर-अभिक्रियाशील आदर्श गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दाब व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए कि पात्र का आयतन $V$ है और गैसों का तापमान $T$ है। मिश्रण का कुल दाब $P$ है।
मान लीजिए कि व्यक्तिगत गैसों के मोलों की संख्या $\mu_{1}, \mu_{2}, \ldots, \mu_{n}$ है।
कुल मोलों की संख्या $\mu = \mu_{1} + \mu_{2} + \ldots + \mu_{n}$ है।
आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = \mu RT$ है।
कुल मोलों का मान रखने पर: $PV = (\mu_{1} + \mu_{2} + \ldots + \mu_{n}) RT$ है।
इसलिए,$P = \frac{\mu_{1} RT}{V} + \frac{\mu_{2} RT}{V} + \ldots + \frac{\mu_{n} RT}{V}$ है।
चूंकि एक व्यक्तिगत गैस $i$ का आंशिक दाब $P_{i} = \frac{\mu_{i} RT}{V}$ के रूप में परिभाषित है,इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$P = P_{1} + P_{2} + \ldots + P_{n}$ है।
इस प्रकार,गैर-अन्योन्यक्रिया करने वाली गैसों के मिश्रण में,मिश्रण का कुल दाब व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दाबों के योग के बराबर होता है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है और $R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है।
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $PV = KT$ से करने पर,हम पाते हैं कि $K = nR$ है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$ (जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है),इसलिए $K = \frac{m}{M} R$ होता है।
इस प्रकार,$K$ गैस के द्रव्यमान $(m)$ और मोलर द्रव्यमान $(M)$ पर निर्भर करता है,जो गैस की प्रकृति की विशेषता है।
अतः,$K$ गैस की प्रकृति और गैस के द्रव्यमान दोनों पर निर्भर करता है।

(N/A) एवोगाद्रो परिकल्पना के अनुसार,समान ताप और दाब की स्थितियों में सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।
गणितीय रूप से,समान ताप $T$ और दाब $P$ पर दो गैसों के लिए,यदि उनके आयतन $V_1 = V_2$ हैं,तो उनके अणुओं की संख्या $N_1 = N_2$ होती है।

(N/A) एवोगाद्रो संख्या,जिसे $N_A$ द्वारा दर्शाया जाता है,को किसी पदार्थ के एक मोल में निहित घटक कणों (आमतौर पर परमाणु या अणु) की संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह कार्बन-$12$ समस्थानिक के ठीक $12 \ g$ में मौजूद कार्बन परमाणुओं की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है।
एवोगाद्रो संख्या का मान लगभग $6.022 \times 10^{23} \ mol^{-1}$ होता है।

(N/A) मानक तापमान और दबाव $(STP)$ को इंटरनेशनल यूनियन ऑफ प्योर एंड एप्लाइड केमिस्ट्री $(IUPAC)$ द्वारा निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
$1$. मानक तापमान: मानक तापमान को $273.15 \ K$ (जो $0 \ ^\circ C$ के बराबर है) के रूप में परिभाषित किया गया है।
$2$. मानक दबाव: मानक दबाव को $10^5 \ Pa$ (या $1 \ bar$) के रूप में परिभाषित किया गया है।
नोट: पुरानी परंपराओं में,$STP$ को अक्सर $273.15 \ K$ और $1 \ atm$ $(101325 \ Pa)$ के रूप में परिभाषित किया जाता था,लेकिन वर्तमान $IUPAC$ मानक $1 \ bar$ है।

(N/A) $1$ मोल पदार्थ की वह मात्रा है जिसमें ठीक $6.022 \times 10^{23}$ मूल इकाइयाँ (परमाणु,अणु,आयन या अन्य कण) शामिल होती हैं। इस संख्या को आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ के रूप में जाना जाता है।
मोल को दर्शाने के दो अलग-अलग तरीके निम्नलिखित हैं:
$1$. द्रव्यमान के संदर्भ में: मोल पदार्थ की वह मात्रा है जिसका ग्राम में द्रव्यमान उसके मोलर द्रव्यमान (परमाणु या आणविक द्रव्यमान) के बराबर होता है।
$2$. कणों की संख्या के संदर्भ में: मोल पदार्थ की वह मात्रा है जिसमें $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ कण होते हैं।

(A) सार्वत्रिक गैस नियतांक, जिसे $R$ द्वारा दर्शाया जाता है, एक भौतिक नियतांक है जो आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ में दिखाई देता है।
यह स्थिर दाब पर एक मोल आदर्श गैस द्वारा किए गए कार्य का प्रतिनिधित्व करता है जब उसका तापमान $1 \ K$ बढ़ाया जाता है।
$SI$ मात्रकों में सार्वत्रिक गैस नियतांक का मान $R = 8.314 \ J \ mol^{-1} \ K^{-1}$ है।

(N/A) बॉयल का नियम: स्थिर तापमान पर किसी आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, दाब $P$ उसके आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है। गणितीय रूप से, $P \propto 1/V$ या $PV = \text{स्थिरांक}$.
चार्ल्स का नियम: स्थिर दाब पर किसी आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, आयतन $V$ उसके परम तापमान $T$ के समानुपाती होता है। गणितीय रूप से, $V \propto T$ या $V/T = \text{स्थिरांक}$.

(N/A) गे-लुसाक का नियम बताता है कि किसी आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए, यदि आयतन $(V)$ स्थिर रखा जाए, तो गैस का दबाव $(P)$ उसके परम तापमान $(T)$ के सीधे आनुपातिक होता है।
गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$P \propto T$ (स्थिर $V$ और द्रव्यमान पर)
$P = kT$ या $\frac{P}{T} = \text{स्थिरांक}$
जहाँ $P$ दबाव है, $T$ केल्विन में परम तापमान है, और $k$ आनुपातिकता स्थिरांक है।

(B) मोलर द्रव्यमान को किसी पदार्थ के एक मोल के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया जाता है।
इसे आमतौर पर $g/mol$ या $kg/mol$ की इकाइयों में व्यक्त किया जाता है।
गणितीय रूप से,यह नमूने के द्रव्यमान और मोल में पदार्थ की मात्रा का अनुपात है $(n = m/M)$।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार, स्थिर दबाव पर किसी गैस का आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(V \propto T)$।
जैसे-जैसे तापमान घटता है, गैस का आयतन भी घटता जाता है।
सैद्धांतिक न्यूनतम तापमान तब प्राप्त होता है जब गैस का आयतन शून्य हो जाता है।
इस तापमान को परम शून्य (absolute zero) कहा जाता है, जो $-273.15^{\circ} C$ या $0 \ K$ के बराबर होता है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिर तापमान $(T)$ पर,$n$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए दबाव $P$ चाहे कुछ भी हो,गुणनफल $PV$ स्थिर रहता है।
इसलिए,एक आदर्श गैस के लिए $PV$ बनाम $P$ का ग्राफ $P$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा है।
दिए गए ग्राफ को देखने पर,रेखा $A$ एक क्षैतिज रेखा है,जो दर्शाती है कि $P$ के सभी मानों के लिए $PV$ स्थिर है।
अतः,ग्राफ $A$ एक आदर्श गैस का प्रतिनिधित्व करता है।

(N/A) जब वाहन लंबे समय तक चलता है,तो टायर और सड़क की सतह के बीच घर्षण के कारण टायर गर्म हो जाता है।
इसके परिणामस्वरूप,टायर के अंदर फंसी हवा का तापमान बढ़ जाता है।
चूंकि टायर का आयतन लगभग स्थिर रहता है,इसलिए गे-लुसाक के नियम ($P \propto T$ स्थिर आयतन पर) के अनुसार,तापमान में वृद्धि होने से टायर के अंदर की हवा का दबाव भी बढ़ जाता है।

(C) एवोगाड्रो के नियम के अनुसार,समान ताप और दाब पर सभी गैसों के समान आयतन में अणुओं की संख्या समान होती है।
चूंकि ऑक्सीजन और हाइड्रोजन दोनों $N.T.P.$ पर हैं और दोनों का आयतन समान $(1 \text{ cm}^3)$ है,इसलिए दोनों में अणुओं की संख्या समान होगी।

(C) गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,दाब उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $P \propto T$.
इसलिए,$\frac{P_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2}}{T_{2}}$.
दिया गया है:
$P_{1} = 1 \text{ atm}$
$T_{1} = -173^{\circ} C = (-173 + 273) K = 100 K$
$P_{2} = 2 \text{ atm}$
मान रखने पर:
$T_{2} = \frac{P_{2} \times T_{1}}{P_{1}} = \frac{2 \times 100}{1} = 200 K$.
सेल्सियस में बदलने पर:
$t_{2} = T_{2} - 273 = 200 - 273 = -73^{\circ} C$.

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,नियत तापमान पर एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान के लिए,दबाव $P$,आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है,जिसे $P \propto 1/V$ या $P = k(1/V)$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
यह समीकरण $y = mx$ के रूप में है,जहाँ $y = P$,$x = 1/V$ और ढाल $m = k$ है।
इसलिए,$P$ बनाम $1/V$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के निश्चित द्रव्यमान का आयतन $V$ उसके परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है,जिसे $V \propto T$ या $V = kT$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। परम शून्य तापमान $(T = 0 \ K)$ पर,गैस का आयतन $V = k \times 0 = 0$ हो जाता है। इसलिए,परम शून्य तापमान पर आदर्श गैस का सैद्धांतिक आयतन $0$ होता है।

(N/A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार।
यदि दाब $P$ और आयतन $V$ दोनों को नियत रखा जाए,तो उनका गुणनफल $PV$ नियत रहता है।
चूंकि $n$ (मोलों की संख्या) और $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) भी नियतांक हैं,इसलिए तापमान $T$ को नियत रहना चाहिए।
अतः,गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए $P$ और $V$ दोनों को नियत रखते हुए तापमान $T$ में वृद्धि करना गणितीय रूप से असंभव है।

(N/A) सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ गैस के प्रति मोल प्रति इकाई तापमान (केल्विन में) परिवर्तन पर किए गए कार्य को दर्शाता है। इसे आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा परिभाषित किया जाता है। इसका मान $8.314 \text{ J mol}^{-1} \text{ K}^{-1}$ है।

(N/A) मोलर आयतन को किसी दिए गए तापमान और दबाव पर पदार्थ (आमतौर पर गैस) के $1$ मोल द्वारा घेरे गए आयतन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$V_m = V/n$,जहाँ $V$ आयतन है और $n$ मोलों की संख्या है।
मोलर आयतन का $SI$ मात्रक $m^3/mol$ है।

(B) मोलों की संख्या ($\mu$ या $n$) को अणुओं की कुल संख्या $(N)$ और आवोगाद्रो स्थिरांक $(N_{A})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$\mu = \frac{N}{N_{A}}$
जहाँ $N_{A} \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$ है।

(A) किसी पदार्थ के मोलों की संख्या ($\mu$ या $n$) को उस पदार्थ के दिए गए द्रव्यमान $(M)$ और उसके मोलर द्रव्यमान $(M_{0})$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
अतः,मोलों की संख्या का सूत्र इस प्रकार है:
$\mu = \frac{M}{M_{0}}$

(A) सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ और आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ के अनुपात को बोल्ट्जमान नियतांक $(k_B)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$k_B = \frac{R}{N_A}$
दिया गया है:
$R = 8.314 \text{ J/(mol K)}$
$N_A = 6.022 \times 10^{23} \text{ mol}^{-1}$
मान की गणना करने पर:
$k_B = \frac{8.314}{6.022 \times 10^{23}} \approx 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$

(N/A) बोल्ट्ज़मैन नियतांक $(k_B)$ को सार्वत्रिक गैस नियतांक $(R)$ और आवोगाद्रो संख्या $(N_A)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $k_B = \frac{R}{N_A}$.
इसका मान लगभग $1.38 \times 10^{-23} \ J/K$ होता है।

(A) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर आदर्श गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए, दाब आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(PV = \text{स्थिरांक})$। अतः, $(a)$ का मिलान $(iii)$ से होता है।
चार्ल्स का नियम बताता है कि स्थिर दाब पर आदर्श गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए, आयतन निरपेक्ष तापमान के समानुपाती होता है $(V/T = \text{स्थिरांक})$। अतः, $(b)$ का मिलान $(i)$ से होता है।
इसलिए, सही मिलान $(a-iii, b-i)$ है।

(A-III, B-I) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था समीकरण $PV = \mu RT$ है, जिसका अर्थ है $\frac{PV}{\mu T} = R$। चूंकि एक आदर्श गैस के लिए $R$ (सार्वत्रिक गैस नियतांक) हमेशा स्थिर रहता है, इसलिए ऊपरी ग्राफ जो $\frac{PV}{\mu T}$ बनाम $P$ को एक क्षैतिज रेखा के रूप में दिखाता है, वह आदर्श गैस के गुण को दर्शाता है। अतः, $(a-iii)$।
निचले ग्राफ के लिए, $\frac{V}{T}$ स्थिर है। चार्ल्स के नियम के अनुसार, जब दाब $P$ स्थिर होता है तो $\frac{V}{T} = \text{स्थिरांक}$ होता है। अतः, यह ग्राफ स्थिर दाब पर होने वाली प्रक्रिया को दर्शाता है। अतः, $(b-i)$।

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,यदि गैस के एक निश्चित द्रव्यमान का दाब स्थिर रहता है,तो आयतन उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $V \propto T$.
इसलिए,$\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$.
दिया गया है:
$V_1 = 100$ $cc$
$T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300$ $K$
$T_2 = 327^{\circ} C = 327 + 273 = 600$ $K$
सूत्र में मान रखने पर:
$V_2 = V_1 \times \left(\frac{T_2}{T_1}\right)$
$V_2 = 100 \times \left(\frac{600}{300}\right)$
$V_2 = 100 \times 2 = 200$ $cc$.
अतः,$327^{\circ} C$ पर आयतन $200$ $cc$ होगा।

(N/A) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर आदर्श गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए, दबाव आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(PV = \text{constant})$।
इस स्थिति में, जब साइकिल के टायर में हवा भरी जाती है, तो टायर के अंदर हवा का द्रव्यमान (मोल की संख्या) बढ़ जाता है।
चूंकि गैस का द्रव्यमान स्थिर नहीं है, इसलिए बॉयल के नियम के लिए आवश्यक शर्तें पूरी नहीं होती हैं।
अतः, इस मामले में बॉयल का नियम लागू नहीं होता है।

(N/A) कार के टायर का आयतन लगभग निश्चित होता है। ड्राइविंग के दौरान,टायर और सड़क के बीच घर्षण से गर्मी उत्पन्न होती है,जिससे टायर के अंदर की हवा का तापमान बढ़ जाता है। चूंकि आयतन $V$ स्थिर रहता है,गे-लुसाक के नियम के अनुसार,दबाव $P$ निरपेक्ष तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$। इसलिए,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,टायर के अंदर हवा का दबाव भी बढ़ जाता है।

(C) आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
नियत दाब पर,$V = (nR/P)T$ होता है।
आयतन प्रसार गुणांक $\alpha_V$ को $\alpha_V = \frac{1}{V} (\frac{\partial V}{\partial T})_P$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$V$ का व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\alpha_V = \frac{1}{V} (\frac{nR}{P}) = \frac{1}{V} (\frac{V}{T}) = \frac{1}{T}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha_V$ का मान केवल तापमान $T$ पर निर्भर करता है और यह तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

(A) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
स्थिति $1$: स्थिर तापमान ($T$ स्थिर है)।
$PV = nRT$ का दबाव के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P \Delta V + V \Delta P = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\Delta V = -\frac{V \Delta P}{P}$।
आयतन में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta V| = \frac{V |\Delta P|}{P}$ है।
स्थिति $2$: स्थिर दबाव ($P$ स्थिर है)।
$PV = nRT$ का तापमान के सापेक्ष अवकलन करने पर,हमें $P \Delta V = nR \Delta T$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\Delta V = \frac{nR \Delta T}{P}$।
आयतन में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta V| = \frac{nR |\Delta T|}{P}$ है।
चूंकि दोनों स्थितियों में आयतन में परिवर्तन का परिमाण समान है:
$\frac{V |\Delta P|}{P} = \frac{nR |\Delta T|}{P}$
$V |\Delta P| = nR |\Delta T|$
$|\Delta T| = \frac{V}{nR} |\Delta P|$
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$\frac{V}{nR} = \frac{T}{P}$।
इस मान को समीकरण में रखने पर,हमें $|\Delta T| = \frac{T}{P} |\Delta P|$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $|\Delta T| = C |\Delta P|$,इसलिए $C = \frac{T}{P}$।
यहाँ $T = 300 \ K$ और $P = 2 \ atm$ है,इसलिए $C = \frac{300}{2} = 150 \ K/atm$।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = \frac{m}{M_w}$,इसलिए $PV = \frac{m}{M_w} RT$ होता है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\rho = \frac{PM_w}{RT}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: दबाव $P = 249\; kPa = 249 \times 10^{3}\; Pa$,तापमान $T = 27^{\circ} C = 300\; K$,गैस नियतांक $R = 8.3\; J\; mol^{-1} K^{-1}$,और हाइड्रोजन गैस $(H_2)$ का मोलर द्रव्यमान $M_w = 2 \times 10^{-3}\; kg/mol$ है।
मान रखने पर:
$\rho = \frac{249 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-3}}{8.3 \times 300}$
$\rho = \frac{498}{2490} = 0.2\; kg/m^{3}$।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\mu$ मोलों की संख्या है,जिसे $\mu = \frac{M}{M_{0}}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,जहाँ $M$ गैस का कुल द्रव्यमान है और $M_{0}$ मोलर द्रव्यमान है।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $PV = \left(\frac{M}{M_{0}}\right) RT$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \left(\frac{M}{V}\right) \frac{RT}{M_{0}}$ प्राप्त होता है।
चूँकि द्रव्यमान घनत्व $\rho$ को $\rho = \frac{M}{V}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करके $P = \frac{\rho RT}{M_{0}}$ प्राप्त कर सकते हैं।
अतः,$\rho$ द्रव्यमान घनत्व को दर्शाता है और $M_{0}$ मोलर द्रव्यमान को दर्शाता है।

(A) एक आदर्श गैस के लिए,संयुक्त गैस नियम का समीकरण इस प्रकार है: $\frac{P_{1} V_{1}}{T_{1}} = \frac{P_{2} V_{2}}{T_{2}}$.
दिए गए मान हैं:
प्रारंभिक दबाव $P_{1} = 1 \, bar$
प्रारंभिक आयतन $V_{1} = 30 \, m^{3}$
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 320 \, K$
अंतिम आयतन $V_{2} = 10 \, m^{3}$
अंतिम तापमान $T_{2} = 280 \, K$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{1 \times 30}{320} = \frac{P_{2} \times 10}{280}$
$P_{2}$ के लिए हल करने पर:
$P_{2} = \frac{1 \times 30 \times 280}{320 \times 10}$
$P_{2} = \frac{3 \times 280}{320} = \frac{840}{320} = 2.625 \, bar$.
अतः,गैस का अंतिम दबाव $2.625 \, bar$ है।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण आदर्श गैस नियम द्वारा दिया जाता है:
$PV = nRT$
जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$n$ मोलों की संख्या है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है,और $T$ परम ताप है।
चूंकि गैस की दी गई मात्रा के लिए $n$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए हमारे पास है:
$PV \propto T$
इसका तात्पर्य यह है कि $PV$ बनाम $T$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होनी चाहिए,क्योंकि $PV$,$T$ के सीधे आनुपातिक है।
इसलिए,सही ग्राफ वह है जो मूल बिंदु से गुजरते हुए $T$ के सापेक्ष $PV$ में रैखिक वृद्धि को दर्शाता है।

(C) मोलों की संख्या $n$,जल के द्रव्यमान को उसके मोलर द्रव्यमान $(H_{2}O)$ से विभाजित करने पर प्राप्त होती है।
दिया गया द्रव्यमान $= 4.5 \, kg = 4.5 \times 10^{3} \, g$.
जल का मोलर द्रव्यमान $= 18 \, g/mol$.
$n = \frac{4.5 \times 10^{3}}{18} = 0.25 \times 10^{3} = 250 \, mol$.
$STP$ पर,एक आदर्श गैस के $1 \, mol$ का आयतन $22.4 \, L = 22.4 \times 10^{-3} \, m^{3}$ होता है।
अतः,कुल आयतन $V = n \times 22.4 \times 10^{-3} \, m^{3}$.
$V = 250 \times 22.4 \times 10^{-3} \, m^{3} = 5.6 \, m^{3}$.

(C) एक बंद पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है।
आदर्श गैस नियम के अनुसार,$pV = nRT$ होता है।
चूंकि $V$,$n$ और $R$ स्थिर हैं,इसलिए $p \propto T$ होगा,जिसका अर्थ है $\frac{\Delta p}{p} = \frac{\Delta T}{T}$।
यह दिया गया है कि दबाव में $0.4 \%$ की वृद्धि होती है,इसलिए $\frac{\Delta p}{p} = \frac{0.4}{100}$।
तापमान में परिवर्तन $\Delta T = 1^{\circ} C = 1 \ K$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$।
$T$ के लिए हल करने पर,हमें $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
तापमान $T$ के फलन के रूप में आयतन $V$ के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $V = (\frac{nR}{P})T$ प्राप्त होता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है जिसका ढाल $m = \frac{nR}{P}$ है।
ग्राफ से,$P_{2}$ के लिए रेखा का ढाल $P_{1}$ के लिए रेखा के ढाल से अधिक है (क्योंकि $P_{2}$ के लिए रेखा अधिक तीव्र है)।
इसलिए,$\frac{nR}{P_{2}} > \frac{nR}{P_{1}}$।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{P_{2}} > \frac{1}{P_{1}}$,जो आगे सरल होकर $P_{1} > P_{2}$ हो जाता है।

(C) $H_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $2 \,g/mol$ है। $H_{2}$ के मोलों की संख्या $= \frac{16 \,g}{2 \,g/mol} = 8 \,moles$.
$O_{2}$ का मोलर द्रव्यमान $32 \,g/mol$ है। $O_{2}$ के मोलों की संख्या $= \frac{128 \,g}{32 \,g/mol} = 4 \,moles$.
कुल मोलों की संख्या $n = 8 + 4 = 12 \,moles$.
$STP$ पर,एक आदर्श गैस का मोलर आयतन $22.4 \,L = 22.4 \times 10^{3} \,cm^{3}$ होता है।
कुल आयतन $V = n \times 22.4 \times 10^{3} \,cm^{3} = 12 \times 22.4 \times 10^{3} \,cm^{3} = 268.8 \times 10^{3} \,cm^{3} = 26.88 \times 10^{4} \,cm^{3}$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,आयतन लगभग $27 \times 10^{4} \,cm^{3}$ है।

(D) माना वाल्व खोलने से पहले पात्रों $C_{1}$ और $C_{2}$ में उपस्थित गैस के मोलों की संख्या क्रमशः $n_{1}$ और $n_{2}$ है।
आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT$ का उपयोग करने पर:
$n_{1} = \frac{pV}{R(300)}$
$n_{2} = \frac{5p(4V)}{R(400)} = \frac{20pV}{400R} = \frac{pV}{20R}$
जब वाल्व खोला जाता है,तो गैस तब तक बहती है जब तक कि $C_{1}$ और $C_{2}$ दोनों में दाब $p_{0}$ समान न हो जाए।
माना नए मोलों की संख्या $n_{1}'$ और $n_{2}'$ है:
$n_{1}' = \frac{p_{0}V}{R(300)}$
$n_{2}' = \frac{p_{0}(4V)}{R(400)} = \frac{p_{0}V}{100R}$
चूंकि कुल मोलों की संख्या संरक्षित रहती है $(n_{1} + n_{2} = n_{1}' + n_{2}')$:
$\frac{pV}{300R} + \frac{20pV}{400R} = \frac{p_{0}V}{300R} + \frac{p_{0}V}{100R}$
$\frac{p}{300} + \frac{p}{20} = p_{0} \left( \frac{1}{300} + \frac{3}{300} \right)$
$\frac{p + 15p}{300} = p_{0} \left( \frac{4}{300} \right)$
$16p = 4p_{0} \Rightarrow p_{0} = 4p$
अब,गर्म पात्र $(C_{2})$ और ठंडे पात्र $(C_{1})$ में मोलों का अनुपात:
$\frac{n_{2}'}{n_{1}'} = \frac{p_{0}(4V) / R(400)}{p_{0}V / R(300)} = \frac{4/400}{1/300} = \frac{1/100}{1/300} = 3$
अतः,गर्म पात्र में गैस के मोलों की संख्या ठंडे पात्र की तुलना में तीन गुनी है।

(B) आदर्श गैस के लिए अवस्था का समीकरण $pV = nRT$ है,जिसे $V = (nR/p) \cdot T$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।
यह मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण है,जिसका ढाल (slope) $m = nR/p$ है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि ढाल दबाव के व्युत्क्रमानुपाती है,अर्थात $\text{slope} \propto 1/p$।
दिए गए $V-T$ ग्राफ का अवलोकन करने पर,$p_3$ के लिए रेखा का ढाल सबसे अधिक है,उसके बाद $p_2$ है,और $p_1$ के लिए ढाल सबसे कम है।
चूंकि $\text{slope} \propto 1/p$,इसलिए एक बड़ा ढाल छोटे दबाव के अनुरूप होता है।
अतः,दबावों के बीच का संबंध $p_1 > p_2 > p_3$ है।

(B) मान लीजिए कि शुरू में दोनों बल्बों में गैस के मोलों की कुल संख्या $n$ है। चूंकि बल्बों का आयतन $V$ समान है और वे समान तापमान $T$ पर हैं,इसलिए प्रत्येक बल्ब में मोलों की संख्या $n_1 = n_2 = n / 2$ है।
जब बल्ब $2$ को $2 T$ तक गर्म किया जाता है और बल्ब $1$ का तापमान $T$ रहता है,तो संतुलन के लिए दोनों बल्बों में दबाव $p$ समान होना चाहिए।
आदर्श गैस समीकरण $p V = n R T$ का उपयोग करते हुए,बल्ब $1$ $(n_1')$ और बल्ब $2$ $(n_2')$ में मोलों की संख्या है:
$n_1' = \frac{p V}{R T}$
$n_2' = \frac{p V}{R (2 T)} = \frac{p V}{2 R T}$
चूंकि मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है,$n_1' + n_2' = n = n_1 + n_2 = n / 2 + n / 2 = n$।
$\frac{p V}{R T} + \frac{p V}{2 R T} = n \Rightarrow \frac{3 p V}{2 R T} = n \Rightarrow \frac{p V}{R T} = \frac{2 n}{3}$।
इस प्रकार,बल्ब $2$ में मोलों की अंतिम संख्या $n_2' = \frac{1}{2} \times \frac{p V}{R T} = \frac{1}{2} \times \frac{2 n}{3} = \frac{n}{3}$ है।
बल्ब $2$ में गैस के अंतिम द्रव्यमान (या अंतिम मोल) और प्रारंभिक द्रव्यमान (या प्रारंभिक मोल) का अनुपात है:
अनुपात $= \frac{n_2'}{n_2} = \frac{n / 3}{n / 2} = \frac{2}{3}$।

(C) प्रारंभ में,सिलेंडर के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव $p_0$ है। जब पिस्टन से $m$ द्रव्यमान जोड़ा जाता है और यह $\Delta l$ दूरी नीचे चला जाता है,तो नया दबाव $p$ मान लें।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है (यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है),हमारे पास $p_0 V_0 = p V$ है।
$p_0 (A l) = p A (l + \Delta l)$
$p = p_0 \frac{l}{l + \Delta l}$
संतुलन में,द्रव्यमान $m$ के कारण नीचे की ओर लगने वाला बल,वायुमंडल और अंदर की गैस के बीच दबाव के अंतर के कारण ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा संतुलित होता है।
$(p_0 - p) A = m g$
$p$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(p_0 - p_0 \frac{l}{l + \Delta l}) A = m g$
$p_0 A (1 - \frac{l}{l + \Delta l}) = m g$
$p_0 A (\frac{\Delta l}{l + \Delta l}) = m g$
यहाँ $p_0 = 10^5 \,Pa$,$m = 50 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,$r = 0.2 \,m$,$A = \pi r^2 = \pi (0.2)^2 = 0.04 \pi \,m^2$ है।
$10^5 \times 0.04 \pi \times \frac{\Delta l}{l + \Delta l} = 50 \times 10 = 500$
$4000 \pi \times \frac{\Delta l}{l + \Delta l} = 500$
$\frac{\Delta l}{l + \Delta l} = \frac{500}{4000 \pi} = \frac{1}{8 \pi} \approx \frac{1}{8 \times 3.14} \approx \frac{1}{25.12} \approx 0.0398$
चूंकि $\frac{\Delta l}{l + \Delta l} \approx 0.04$ है,इसलिए $\frac{\Delta l}{l} \approx 0.04$ प्राप्त होता है (यह मानते हुए कि $\Delta l \ll l$ है)।
अतः,सही विकल्प $C$ है।