Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Hindi

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
मोलों की संख्या $\mu = \frac{\text{द्रव्यमान } (m)}{\text{मोलर द्रव्यमान } (M)}$ है।
ऑक्सीजन गैस $(O_2)$ के लिए,मोलर द्रव्यमान $M = 32 \, g/mol$ है।
दिया गया द्रव्यमान $m = 5 \, g$ है।
इसलिए,$\mu = \frac{5}{32} \, mol$ है।
इस मान को आदर्श गैस समीकरण में रखने पर,हमें $PV = \frac{5}{32}RT$ प्राप्त होता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण से,$PV = nRT$ है।
चूँकि $n = \frac{m}{M}$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,हमारे पास $PV = \frac{m}{M}RT$ है।
घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \frac{\rho RT}{M}$ प्राप्त होता है।
इसका तात्पर्य है कि $\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} = \text{स्थिरांक}$ है।
इसलिए,$\frac{P_1}{\rho_1 T_1} = \frac{P_2}{\rho_2 T_2}$ होगा।
दिया गया है: $P_2 = 2P_1$ और $T_2 = 4T_1$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{P_1}{\rho_1 T_1} = \frac{2P_1}{\rho_2 (4T_1)}$।
सरल करने पर,$1 = \frac{2}{4} \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}$,जो $1 = \frac{1}{2} \cdot \frac{\rho_1}{\rho_2}$ देता है।
अतः,$\rho_2 = 0.5 \rho_1$।
घनत्व मूल घनत्व का $0.5$ गुना हो जाएगा।

(D) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की निश्चित मात्रा के लिए,आयतन $V$ परम तापमान $T$ के सीधे आनुपातिक होता है $(V \propto T)$।
मान लीजिए $T_1 = 0^{\circ}C = 273 \, K$ पर प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$ है।
हमें अंतिम आयतन $V_2 = 2V$ चाहिए।
संबंध $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{V}{273} = \frac{2V}{T_2}$
$T_2 = 2 \times 273 = 546 \, K$।
इसे सेल्सियस में बदलने पर: $T_2(^{\circ}C) = 546 - 273 = 273^{\circ}C$।

(C) डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम के अनुसार,एक निश्चित आयतन में गैसों के मिश्रण द्वारा लगाया गया कुल दबाव उन व्यक्तिगत गैसों के आंशिक दबावों के योग के बराबर होता है जो उसी आयतन में अकेले मौजूद होतीं।
चूंकि सभी तीनों गैसों को मिश्रित करके समान आयतन $V$ वाले एक ही पात्र में रखा जाता है,इसलिए कुल दबाव $P$ व्यक्तिगत दबावों का योग होता है।
अतः,$P = P_1 + P_2 + P_3$।

(C) हम जानते हैं कि आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n$ मोलों की संख्या है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है,समीकरण $PV = \frac{m}{M} RT$ हो जाता है।
दबाव $P$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $P = \left( \frac{RT}{MV} \right) m$ प्राप्त होता है।
यह देखते हुए कि आयतन $V$ और तापमान $T$ स्थिर हैं,और मोलर द्रव्यमान $M$ तथा गैस नियतांक $R$ भी स्थिर हैं,पद $\left( \frac{RT}{MV} \right)$ एक स्थिरांक है।
इसलिए,$P \propto m$।
यह दर्शाता है कि गैस का दबाव उसके द्रव्यमान के साथ रैखिक रूप से बदलता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) एक बंद पात्र में गैस के लिए,आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,$P \propto T$ (जहाँ $T$ केल्विन में है)।
मान लीजिए प्रारंभिक दबाव $P_1$ है और प्रारंभिक तापमान $T_1$ (केल्विन में) है।
जब तापमान $5^{\circ}C$ बढ़ता है,तो नया तापमान $T_2 = T_1 + 5$ हो जाता है।
दबाव में $1\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नया दबाव $P_2 = P_1 + 0.01 P_1 = 1.01 P_1$ है।
संबंध $\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{P_1}{1.01 P_1} = \frac{T_1}{T_1 + 5}$
$T_1 + 5 = 1.01 T_1$
$0.01 T_1 = 5$
$T_1 = \frac{5}{0.01} = 500 \ K$.
केल्विन को सेल्सियस में बदलने के लिए: $t(^{\circ}C) = T(K) - 273$.
$t = 500 - 273 = 227^{\circ}C$.

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT = \frac{m}{M}RT$ का उपयोग करने पर,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है।
चूँकि $V$ और $M$ स्थिर हैं,इसलिए $P \propto mT$ प्राप्त होता है।
माना प्रारंभिक अवस्था $(P_1, m_1, T_1)$ और अंतिम अवस्था $(P_2, m_2, T_2)$ है।
दिया गया है: $P_1 = 20 \ atm$,$T_1 = 27^{\circ}C = 300 \ K$.
आधी गैस बाहर निकालने पर,$m_2 = \frac{1}{2}m_1$.
तापमान $50^{\circ}C$ बढ़ाने पर,$T_2 = (27 + 50)^{\circ}C = 77^{\circ}C = 350 \ K$.
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{m_2}{m_1} \times \frac{T_2}{T_1}$.
$\frac{P_2}{20} = \frac{1}{2} \times \frac{350}{300} = \frac{1}{2} \times \frac{7}{6} = \frac{7}{12}$.
$P_2 = 20 \times \frac{7}{12} = \frac{140}{12} \approx 11.67 \ atm$.
अतः,अंतिम दाब लगभग $11.7 \ atm$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण से,$PV = \mu RT = \frac{m}{M}RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है और $V$ आयतन है।
चूंकि घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$,हम लिख सकते हैं $P = \frac{\rho RT}{M}$।
इसलिए,घनत्व और दाब का अनुपात $\frac{\rho}{P} = \frac{M}{RT}$ है।
$0^{\circ}C$ $(T_1 = 273 \ K)$ पर,अनुपात $\left( \frac{\rho}{P} \right)_1 = \frac{M}{R(273)} = x$ --- $(i)$ है।
$100^{\circ}C$ $(T_2 = 373 \ K)$ पर,अनुपात $\left( \frac{\rho}{P} \right)_2 = \frac{M}{R(373)}$ --- $(ii)$ है।
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{(\rho/P)_2}{x} = \frac{M/R(373)}{M/R(273)} = \frac{273}{373}$ प्राप्त होता है।
अतः,$100^{\circ}C$ पर अनुपात $\frac{273}{373}x$ होगा।

(A) दिया गया है: ${O_2}$ का द्रव्यमान $(m)$ = $2 \, g$,तापमान $(T)$ = $27^{\circ}C = 300 \, K$,दबाव $(P)$ = $76 \, cm$ $Hg = 1 \, atm = 1.013 \times 10^5 \, Pa$.
आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$.
यहाँ,$M$ (${O_2}$ का मोलर द्रव्यमान) = $32 \, g/mol$ और $R = 0.0821 \, L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$.
$V = \frac{mRT}{MP} = \frac{2 \times 0.0821 \times 300}{32 \times 1} = \frac{49.26}{32} \approx 1.54 \, L$.
$R = 8.314 \, J \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ और $P = 1.013 \times 10^5 \, Pa$ का उपयोग करते हुए:
$V = \frac{(2/32) \times 8.314 \times 300}{1.013 \times 10^5} = 0.001539 \, m^3 = 1.539 \, L$.
निकटतम विकल्प के अनुसार,सही उत्तर $1.53 \, L$ है।

(C) दबाव $P$ को $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h = 1.2 \times 10^{-7} \text{ mm} = 1.2 \times 10^{-10} \text{ m}$,$\rho = 13600 \text{ kg/m}^3$,और $g = 9.8 \text{ m/s}^2$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = NkT$ का उपयोग करते हुए,अणुओं की संख्या $N = \frac{PV}{kT}$ द्वारा प्राप्त होती है।
यहाँ,$V = 100 \text{ cm}^3 = 100 \times 10^{-6} \text{ m}^3 = 10^{-4} \text{ m}^3$,$k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J/K}$,और $T = 27 + 273 = 300 \text{ K}$ है।
मान रखने पर:
$N = \frac{(1.2 \times 10^{-10} \times 13600 \times 9.8) \times 10^{-4}}{1.38 \times 10^{-23} \times 300}$
$N = \frac{1.59936 \times 10^{-8} \times 10^{-4}}{4.14 \times 10^{-21}}$
$N = \frac{1.59936 \times 10^{-12}}{4.14 \times 10^{-21}} \approx 3.86 \times 10^{11}$ अणु।

(B) एक बंद पात्र में आदर्श गैस के लिए आयतन $V$ स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार, $P \propto T$ या $\frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2}$ होता है।
माना प्रारंभिक दबाव $P$ है और प्रारंभिक तापमान $T$ (केल्विन में) है।
दिया गया है कि दबाव में $0.5\%$ की वृद्धि होती है, इसलिए नया दबाव $P_2 = P + 0.005P = 1.005P$ है।
नया तापमान $T_2 = T + 2$ है।
इन मानों को गैस नियम समीकरण में रखने पर:
$\frac{P}{1.005P} = \frac{T}{T + 2}$
$\frac{1}{1.005} = \frac{T}{T + 2}$
$T + 2 = 1.005T$
$0.005T = 2$
$T = \frac{2}{0.005} = 400 \, K$.
केल्विन को सेल्सियस में बदलने पर: $T(^\circ C) = T(K) - 273 = 400 - 273 = 127^\circ C$।

(C) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = nRT$ होता है। चूंकि आयतन $V$ और गैस की मात्रा $n$ स्थिर रहती है,इसलिए $P \propto T$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$।
दिया गया है:
प्रारंभिक दबाव $P_1 = 1 \text{ atm}$
प्रारंभिक तापमान $T_1 = 35 + 273 = 308 \text{ K}$
अंतिम दबाव $P_2 = 3 \text{ atm}$
अंतिम तापमान $T_2 = ?$
संबंध में मान रखने पर:
$\frac{1}{308} = \frac{3}{T_2}$
$T_2$ के लिए हल करने पर:
$T_2 = 3 \times 308 = 924 \text{ K}$
तापमान को सेल्सियस में बदलने पर:
$T_2(^{\circ}C) = 924 - 273 = 651^{\circ}C$।

(D) दिया गया है:
नम गैस का कुल दबाव $= 735 \, mm$ पारा।
जलीय वाष्प का दबाव $= 23.8 \, mm$.
डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम के अनुसार,नम गैस का कुल दबाव शुष्क गैस के दबाव और जलीय वाष्प के दबाव का योग होता है।
$P_{\text{total}} = P_{\text{dry gas}} + P_{\text{aqueous vapour}}$
$735 \, mm = P_{\text{dry gas}} + 23.8 \, mm$
$P_{\text{dry gas}} = 735 \, mm - 23.8 \, mm$
$P_{\text{dry gas}} = 711.2 \, mm$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) आदर्श गैस समीकरण $\frac{PV}{T} = \text{स्थिरांक}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$
दिया गया है:
$P_1 = 200\, kPa$
$T_1 = 22 + 273 = 295\, K$
$T_2 = 42 + 273 = 315\, K$
$V_1 = V$
$V_2 = V + 0.02V = 1.02V$
मान रखने पर:
$\frac{200 \times V}{295} = \frac{P_2 \times 1.02V}{315}$
$P_2 = \frac{200 \times 315}{295 \times 1.02}$
$P_2 = \frac{63000}{300.9} \approx 209.37\, kPa$
अतः,दबाव लगभग $209\, kPa$ होगा।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस का आयतन उसके परम तापमान के समानुपाती होता है $(V \propto T)$।
दिया गया है:
प्रारंभिक आयतन $V_{1} = V$
प्रारंभिक तापमान $T_{1} = 0^{\circ}C = 273 \; K$
अंतिम आयतन $V_{2} = 3V$
संबंध $\frac{V_{1}}{T_{1}} = \frac{V_{2}}{T_{2}}$ का उपयोग करने पर:
$T_{2} = \frac{V_{2} \times T_{1}}{V_{1}}$
$T_{2} = \frac{3V \times 273}{V} = 819 \; K$
तापमान को सेल्सियस $(^{\circ}C)$ में बदलने के लिए:
$T(^{\circ}C) = T(K) - 273$
$T(^{\circ}C) = 819 - 273 = 546^{\circ}C$।

(B) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,आयतन निरपेक्ष तापमान के सीधे आनुपातिक होता है: $V \propto T$ या $\frac{V_1}{T_1} = \frac{V_2}{T_2}$।
दिया गया है: प्रारंभिक आयतन $V_1 = V$,प्रारंभिक तापमान $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \ K$,अंतिम आयतन $V_2 = 1.5V$।
सूत्र $T_2 = \left( \frac{V_2}{V_1} \right) T_1$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $T_2 = \left( \frac{1.5V}{V} \right) \times 300 \ K = 1.5 \times 300 \ K = 450 \ K$।
अंतिम तापमान को सेल्सियस में बदलने के लिए: $T(^{\circ}C) = T(K) - 273 = 450 - 273 = 177^{\circ}C$।

(A) आदर्श गैस नियम के अनुसार,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ होता है।
दिया गया है:
$P_1 = 10^5\,N/m^2$ (वायुमंडलीय दाब),
$V_1 = 1\,m^3$,
$T_1 = 300\,K$.
नई स्थितियाँ:
$V_2 = 2V_1 = 2\,m^3$,
$T_2 = 2T_1 = 600\,K$.
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{10^5 \times 1}{300} = \frac{P_2 \times 2}{600}$.
$\frac{10^5}{300} = \frac{P_2}{300}$.
$P_2 = 10^5\,N/m^2$.
अतः,दाब समान रहेगा।

(C) आदर्श गैस समीकरण का उपयोग करते हुए: $PV = nRT$,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ है।
यहाँ,$P = 22.4\,atm$,$V = 2\,L$,$T = 273\,K$,और $N_2$ का मोलर द्रव्यमान $M = 28\,g/mol$ है।
गैस नियतांक $R = 0.0821\,L \cdot atm \cdot K^{-1} \cdot mol^{-1}$ है।
मान रखने पर: $22.4 \times 2 = n \times 0.0821 \times 273$ प्राप्त होता है।
चूंकि $0.0821 \times 273 \approx 22.4$,इसलिए $22.4 \times 2 = n \times 22.4$,जिसका अर्थ है $n = 2\,mol$।
द्रव्यमान $m = n \times M = 2\,mol \times 28\,g/mol = 56\,g$।

(B) $1$ मोल आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = 1$ मोल है,इसलिए समीकरण $PV = RT$ में सरल हो जाता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $PV/T = R$ प्राप्त होता है।
सार्वत्रिक गैस नियतांक $R$ एक मौलिक भौतिक नियतांक है।
$SI$ इकाइयों में,$R$ का मान लगभग $8.314$ $J$ $mol^{-1}K^{-1}$ होता है।
इसलिए,$PV/T$ का मान लगभग $8.3$ $J$ $mol^{-1}K^{-1}$ है।

(A) टायर के अंदर मौजूद गैस का आयतन लगभग स्थिर रहता है। गे-लुसाक के नियम के अनुसार,स्थिर आयतन पर किसी निश्चित द्रव्यमान वाली गैस का दबाव उसके परम तापमान के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto T)$।
जब टायर को धूप में रखा जाता है,तो अंदर फंसी हवा का तापमान बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,टायर के अंदर गैस का दबाव भी बढ़ जाता है।
यह बढ़ा हुआ दबाव टायर की आंतरिक दीवारों पर अधिक बल लगाता है,जो अंततः टायर की सामग्री की सहनशक्ति से अधिक हो जाता है,जिससे टायर फट जाता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) बॉयल का नियम बताता है कि स्थिर तापमान पर किसी दी गई मात्रा की गैस का आयतन उसके दबाव के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अर्थात, $V \propto 1/P$ या $PV = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसलिए, बॉयल के नियम में तापमान $(T)$ और गैस का द्रव्यमान स्थिर रहता है।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए, विकल्प $A$ बॉयल के नियम की गणितीय अभिव्यक्ति $(PV = \text{constant})$ को दर्शाता है, जो इस नियम का परिणाम है।
सही विकल्प: $A$

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ है,जहाँ $\mu = \frac{m}{M}$ मोलों की संख्या है।
$\mu$ का मान रखने पर,हमें $PV = \frac{m}{M}RT$ प्राप्त होता है।
चूँकि घनत्व $d = \frac{m}{V}$ है,हम $V = \frac{m}{d}$ लिख सकते हैं।
समीकरण में $V$ का मान रखने पर: $P(\frac{m}{d}) = \frac{m}{M}RT$।
सरल करने पर,हमें $P = \frac{d}{M}RT$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{P}{dT} = \frac{R}{M} = \text{नियतांक}$।
अतः,दो अलग-अलग अवस्थाओं के लिए,$\frac{P_1}{d_1 T_1} = \frac{P_2}{d_2 T_2}$ होता है।

(C) एक मोल आदर्श गैस के लिए आदर्श गैस नियम के अनुसार,$PV = RT$ है।
चूंकि दाब $P$ नियत है,इसलिए $V = (R/P)T$,जिसका अर्थ है कि $V \propto T$ है।
मान लीजिए कि $T_1 = T$ तापमान पर प्रारंभिक आयतन $V_1$ है।
यदि तापमान में $1 \ K$ की वृद्धि होती है,तो नया तापमान $T_2 = T + 1$ होगा।
नया आयतन $V_2 = (R/P)(T + 1)$ होगा।
आयतन में वृद्धि $\Delta V = V_2 - V_1 = (R/P)(T + 1) - (R/P)T = R/P$ है।
आयतन में वृद्धि का मूल आयतन से अनुपात $\frac{\Delta V}{V_1} = \frac{R/P}{(R/P)T} = \frac{1}{T}$ होगा।

(C) एक आदर्श गैस के लिए,आदर्श गैस समीकरण $PV = \frac{m}{M}RT$ है,जहाँ $P$ दाब है,$V$ आयतन है,$m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है,$R$ सार्वत्रिक गैस नियतांक है और $T$ तापमान है।
चूंकि फ्लास्क एक-दूसरे से जुड़े हुए हैं,इसलिए दोनों फ्लास्क में दाब $P$ समान रहेगा। साथ ही,गैस समान है,इसलिए $M$ स्थिर रहेगा।
अतः,$V \propto \frac{mT}{P} \Rightarrow V \propto mT$.
हम अनुपात को इस प्रकार लिख सकते हैं: $\frac{V_1}{V_2} = \frac{m_1 T_1}{m_2 T_2}$.
दिया गया है कि $V_1 = 2V_2$,$T_1 = 100\, K$,$T_2 = 200\, K$,और $m_1 = m$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2V_2}{V_2} = \frac{m \times 100}{m_2 \times 200}$.
$2 = \frac{m}{2m_2}$.
$4m_2 = m \Rightarrow m_2 = \frac{m}{4}$.

(C) हम जानते हैं कि आदर्श गैस समीकरण से,$PV = n_{moles}RT$ होता है।
यहाँ,$n_{moles} = \frac{N}{N_{A}}$,जहाँ $N$ गैस के अणुओं की संख्या है और $N_{A}$ एवोगैड्रो संख्या है।
आदर्श गैस समीकरण में $n_{moles}$ का मान रखने पर,हमें $PV = \frac{N}{N_{A}}RT$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि यदि तापमान $T$ और आयतन $V$ स्थिर हैं,तो गैस का दबाव $P$,गैस के अणुओं की संख्या $N$ के सीधे आनुपातिक होता है $(P \propto N)$।
इसलिए,यदि अणुओं की संख्या दोगुनी कर दी जाए $(N' = 2N)$,तो दबाव भी दोगुना हो जाएगा $(P' = 2P)$।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ के अनुसार,जहाँ $n = N/N_A$ है। चूंकि $P$,$V$ और $T$ दोनों गैसों के लिए समान हैं,इसलिए मोल की संख्या $n$ समान होनी चाहिए,जिसका अर्थ है कि अणुओं की कुल संख्या $N$ स्थिर है।
औसत गतिज ऊर्जा $K_{avg} = (3/2)k_BT$ द्वारा दी जाती है,जो केवल तापमान $T$ पर निर्भर करती है। चूंकि $T$ स्थिर है,इसलिए औसत गतिज ऊर्जा भी स्थिर रहती है।
हालाँकि,दो अलग-अलग गैसों की तुलना के संदर्भ में,अणुओं की कुल संख्या इन स्थितियों के तहत एवोगैड्रो के नियम का प्राथमिक परिणाम है। $A$ और $B$ दोनों स्थिर हैं,लेकिन अणुओं की कुल संख्या दी गई स्थितियों का मुख्य परिणाम है।

(A) दोनों स्थितियों में गैस के मोलों की संख्या स्थिर रहती है। आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$\frac{P_1 V_1}{T_1} = \frac{P_2 V_2}{T_2}$ है।
समुद्र तल पर दिया गया है:
$P_1 = 1 \, atm$
$V_1 = 30,000 \, cc = 30 \, L$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \, K$
माउंट एवरेस्ट पर दिया गया है:
$V_2 = 5.2 \, L$
$T_2 = -73^{\circ}C = -73 + 273 = 200 \, K$
$P_2 = ?$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{1 \times 30}{300} = \frac{P_2 \times 5.2}{200}$
$0.1 = \frac{P_2 \times 5.2}{200}$
$P_2 = \frac{0.1 \times 200}{5.2} = \frac{20}{5.2} \approx 3.846 \, atm \approx 3.86 \, atm$.

(A) घनत्व के संदर्भ में आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m}{M}RT$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $P = \frac{\rho RT}{M}$,जहाँ $\rho$ घनत्व है।
अतः,$\frac{P}{\rho T} = \frac{R}{M} = \text{स्थिरांक}$।
इसलिए,$\frac{P_1}{\rho_1 T_1} = \frac{P_2}{\rho_2 T_2}$,जिससे हमें प्राप्त होता है $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{P_1}{P_2} \times \frac{T_2}{T_1}$।
दिया गया है:
चोटी पर: $P_{top} = 70 \, cm$ $Hg$,$T_{top} = 7 + 273 = 280 \, K$।
तल पर: $P_{bottom} = 76 \, cm$ $Hg$,$T_{bottom} = 27 + 273 = 300 \, K$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\rho_{top}}{\rho_{bottom}} = \frac{70}{76} \times \frac{300}{280} = \frac{70}{76} \times \frac{30}{28} = \frac{70}{76} \times \frac{15}{14} = \frac{5 \times 15}{76} = \frac{75}{76}$।

(D) ऑक्सीजन के मोलों की संख्या $(n_{O_2})$ $n_{O_2} = \frac{8\,g}{32\,g/mol} = 0.25\,mol$ है।
नाइट्रोजन के मोलों की संख्या $(n_{N_2})$ $n_{N_2} = \frac{7\,g}{28\,g/mol} = 0.25\,mol$ है।
डाल्टन के आंशिक दबाव के नियम के अनुसार,कुल दबाव $P_{total}$ कुल मोलों $n_{total} = n_{O_2} + n_{N_2} = 0.25 + 0.25 = 0.50\,mol$ के समानुपाती होता है।
दिया गया है कि $P_{total} = 10\,atm$,इसलिए प्रत्येक गैस का आंशिक दबाव उसके मोल अंश के समानुपाती होता है।
चूंकि $n_{O_2} = n_{N_2}$ है,इसलिए नाइट्रोजन का आंशिक दबाव $P_{N_2} = \frac{n_{N_2}}{n_{O_2} + n_{N_2}} \times P_{total} = \frac{0.25}{0.50} \times 10\,atm = 5\,atm$ होगा।
जब ऑक्सीजन को हटा दिया जाता है,तो पात्र में केवल नाइट्रोजन शेष रहती है। अतः,शेष गैस का दबाव $5\,atm$ होगा।

(A) मोलों की संख्या $\mu$ पानी के द्रव्यमान को उसके मोलर द्रव्यमान से विभाजित करके प्राप्त की जाती है।
$\mu = \frac{4.5 \,kg}{18 \times 10^{-3} \,kg/mol} = 250 \,mol$.
मानक तापमान और दबाव $(STP)$ पर,$T = 273 \,K$ और $P = 10^5 \,Pa$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ का उपयोग करते हुए:
$V = \frac{\mu RT}{P} = \frac{250 \times 8.314 \times 273}{10^5} \approx 5.67 \,m^3$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $5.6 \,m^3$ है।

(D) मान लीजिए बेलन का कुल आयतन $V$ है। मान लीजिए $2m$ द्रव्यमान वाली गैस द्वारा घेरा गया आयतन $V_1$ है और $m$ द्रव्यमान वाली गैस द्वारा घेरा गया आयतन $V_2 = V - V_1$ है।
चूंकि पिस्टन संतुलन में है,इसलिए दोनों तरफ का दबाव $P$ समान है।
चूंकि पिस्टन सुचालक है,इसलिए दोनों गैसों के लिए तापमान $T$ समान है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT = \frac{m_{gas}}{M}RT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $M$ गैस का मोलर द्रव्यमान है:
$m$ द्रव्यमान वाली गैस के लिए: $P(V - V_1) = \frac{m}{M}RT$ $(i)$
$2m$ द्रव्यमान वाली गैस के लिए: $P V_1 = \frac{2m}{M}RT$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{P V_1}{P(V - V_1)} = \frac{\frac{2m}{M}RT}{\frac{m}{M}RT}$
$\frac{V_1}{V - V_1} = 2$
$V_1 = 2V - 2V_1$
$3V_1 = 2V$
$\frac{V_1}{V} = \frac{2}{3} \approx 0.67$
अतः,बड़ा द्रव्यमान कुल आयतन का $0.67$ भाग घेरता है।

(D) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है)।
अतः,$V = \left(\frac{m}{PM}\right) RT$.
$V-T$ ग्राफ की ढाल (slope) $S = \frac{mR}{PM}$ है।
प्रथम स्थिति के लिए (रेखा $D$): $S_1 = \frac{mR}{PM}$। ग्राफ से,रेखा $D$ की ढाल $2$ है।
द्वितीय स्थिति के लिए (द्रव्यमान $2m$,दाब $P/2$): $S_2 = \frac{(2m)R}{(P/2)M} = 4 \left(\frac{mR}{PM}\right) = 4S_1$.
चूँकि $S_1 = 2$,इसलिए $S_2 = 4 \times 2 = 8$.
ग्राफ को देखने पर,$8$ ढाल वाली रेखा $A$ है।

(C) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है।
तापमान $T_1$ और $T_2$ की तुलना करने के लिए,हम $P-V$ ग्राफ पर स्थिर दबाव $(P = \text{constant})$ की एक रेखा खींच सकते हैं।
स्थिर दबाव पर,आदर्श गैस समीकरण $V \propto T$ देता है।
ग्राफ से,एक निश्चित दबाव के लिए,वक्र $T_2$ के अनुरूप आयतन (मान लीजिए $V_2$) वक्र $T_1$ के अनुरूप आयतन (मान लीजिए $V_1$) से अधिक है,अर्थात $V_2 > V_1$।
चूंकि स्थिर दबाव पर $V \propto T$ होता है,इसलिए $V_2 > V_1$ का अर्थ है $T_2 > T_1$ या $T_1 < T_2$।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,नियत दाब पर गैस के एक निश्चित द्रव्यमान के लिए,आयतन $V$ परम तापमान $T$ (केल्विन में) के सीधे आनुपातिक होता है,अर्थात $V = kT$।
हालाँकि,जब इसे सेल्सियस पैमाने में व्यक्त किया जाता है,तो $V = V_0(1 + \alpha t)$,जहाँ $t$ तापमान $^{\circ}C$ में है।
यह समीकरण एक सीधी रेखा $y = mx + c$ का प्रतिनिधित्व करता है,जहाँ $y$ आयतन $(V)$ है और $x$ तापमान ($t$ $^{\circ}C$ में) है।
दिए गए ग्राफ में,रेखा क्षैतिज अक्ष को एक ऋणात्मक मान पर काटती है,जो $-273.15^{\circ}C$ (परम शून्य) के अनुरूप है।
चूंकि आयतन ऋणात्मक नहीं हो सकता है,इसलिए ऊर्ध्वाधर अक्ष $(a)$ को आयतन $(V)$ का प्रतिनिधित्व करना चाहिए और क्षैतिज अक्ष $(b)$ को $^{\circ}C$ में तापमान का प्रतिनिधित्व करना चाहिए क्योंकि $^{\circ}C$ में तापमान पैमाने में ऋणात्मक मान हो सकते हैं।
इसलिए,$a =$ आयतन और $b = ^{\circ}C$ तापमान है।

(C) स्थिर दबाव पर एक आदर्श गैस के लिए,चार्ल्स का नियम बताता है कि $V / T = \text{स्थिरांक}$ है।
जब तापमान $T$ से बदलकर $T + \Delta T$ हो जाता है,तो आयतन $V$ से बदलकर $V + \Delta V$ हो जाता है।
अतः,हमारे पास है:
$\frac{V + \Delta V}{T + \Delta T} = \frac{V}{T}$
तिर्यक गुणा करने पर:
$T(V + \Delta V) = V(T + \Delta T)$
$VT + T \Delta V = VT + V \Delta T$
दोनों पक्षों से $VT$ घटाने पर:
$T \Delta V = V \Delta T$
$\delta$ के लिए व्यंजक प्राप्त करने हेतु व्यवस्थित करने पर:
$\delta = \frac{\Delta V}{V \Delta T} = \frac{1}{T}$
चूंकि $\delta = 1/T$ है,इसलिए राशि $\delta$ तापमान $T$ के व्युत्क्रमानुपाती है। यह संबंध एक आयताकार हाइपरबोला (rectangular hyperbola) द्वारा दर्शाया जाता है,जो विकल्प $C$ में दिए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) आदर्श गैस नियम $PV = nRT$ के अनुसार,इसे $P = (nR/V)T$ के रूप में लिखा जा सकता है।
नियत आयतन प्रक्रिया के लिए,दाब-तापमान ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा होती है,जिसका ढाल $nR/V$ के बराबर होता है।
दिए गए ग्राफ में,रेखाएं $1-2$ और $3-4$ नियत आयतन पर प्रक्रियाओं को दर्शाती हैं। चूंकि रेखाएं $1-2$ और $3-4$ मूल बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के खंड हैं,इसलिए $V_1 = V_2$ और $V_3 = V_4$ है।
रेखा का ढाल $m = nR/V$ है। चूंकि ढाल आयतन के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(m \propto 1/V)$,इसलिए छोटा ढाल बड़े आयतन के अनुरूप होता है।
रेखा $1-2$ का ढाल रेखा $3-4$ के ढाल से कम है। इसलिए,आयतन $V_2$ का मान आयतन $V_3$ से अधिक होना चाहिए $(V_2 > V_3)$।
अतः,सही संबंध $V_1 = V_2, V_3 = V_4$ और $V_2 > V_3$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $n = \frac{m}{M}$ और घनत्व $\rho = \frac{m}{V}$ है,हम $V = \frac{m}{\rho}$ लिख सकते हैं।
इसे आदर्श गैस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P \left( \frac{m}{\rho} \right) = \left( \frac{m}{M} \right) RT$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर,हमें $P = \left( \frac{RT}{M} \right) \rho$ मिलता है।
यह समीकरण मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा को दर्शाता है,$P = m' \rho$,जहाँ ढाल $m' = \frac{RT}{M}$ है।
चूंकि ढाल सीधे तापमान $T$ के समानुपाती है (दी गई गैस के लिए $R$ और $M$ स्थिर हैं),इसलिए जिस रेखा की ढाल अधिक है,उसका तापमान अधिक होगा।
दिए गए ग्राफ में,$T_1$ के लिए रेखा की ढाल $T_2$ के लिए रेखा की ढाल से अधिक है।
इसलिए,$T_1 > T_2$।

(A) आदर्श गैस समीकरण से,हमारे पास $PV = nRT$ है,जिसे $P = (nR/V)T$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = P$ और $x = T$,ढाल $m = nR/V$ प्राप्त होता है।
दिए गए $P-T$ आरेख में,अवस्था $1$ से अवस्था $2$ तक की प्रक्रिया को दर्शाने वाली रेखा एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु $(0,0)$ से नहीं गुजरती है।
मान लीजिए कि रेखा का समीकरण $P = mT + c$ है,जहाँ $c > 0$ (क्योंकि $P$-अक्ष पर अंतःखंड धनात्मक है)।
$P = nRT/V$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $nRT/V = mT + c$ प्राप्त होता है,या $V = nR / (m + c/T)$।
जैसे-जैसे तापमान $T$ अवस्था $1$ से अवस्था $2$ तक बढ़ता है,पद $c/T$ घटता है।
परिणामस्वरूप,हर $(m + c/T)$ घटता है,जिसका अर्थ है कि आयतन $V$ को बढ़ना चाहिए।

(C) आदर्श गैस के लिए,अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ है। इस प्रकार,तापमान $T$,$PV$ के गुणनफल के समानुपाती होता है।
दिए गए $P-V$ आरेख में,प्रक्रिया अवस्था $1$ से अवस्था $2$ तक एक सीधी रेखा है।
मान लीजिए कि रेखा का समीकरण $P = -mV + c$ है,जहाँ $m$ ढलान है और $c$ अंतःखंड है।
गुणनफल $PV = (-mV + c)V = -mV^2 + cV$ है।
$V$ के साथ $T$ में परिवर्तन को जानने के लिए,हम फलन $f(V) = -mV^2 + cV$ को देखते हैं।
यह नीचे की ओर खुलने वाला एक परवलय है। $PV$ (और इसलिए $T$) का मान शुरुआत में बढ़ता है जैसे-जैसे $V$ बढ़ता है,$V = c/(2m)$ पर अधिकतम मान प्राप्त करता है,और उसके बाद जैसे-जैसे $V$ और बढ़ता है,यह घटता जाता है।
इसलिए,गैस शुरुआत में गर्म होती है और अंत की ओर ठंडी होती है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,हमारे पास $V = (\frac{\mu R}{P})T$ है।
$V-T$ ग्राफ का ढाल $m = \tan \theta = \frac{V}{T} = \frac{\mu R}{P}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि ढाल दाब के व्युत्क्रमानुपाती है $(m \propto \frac{1}{P})$,इसलिए कम ढाल उच्च दाब के अनुरूप है।
ग्राफ से यह स्पष्ट है कि $\theta_1 < \theta_2$,जिसका अर्थ है कि $\tan \theta_1 < \tan \theta_2$।
इसलिए,$(\frac{V}{T})_1 < (\frac{V}{T})_2$।
चूंकि $(\frac{V}{T}) \propto \frac{1}{P}$,इसलिए $(\frac{1}{P})_1 < (\frac{1}{P})_2$,जो दर्शाता है कि $P_1 > P_2$।

(A) दिए गए $P-T$ ग्राफ से,रेखा का ढाल (slope) $\frac{T}{P}$ को दर्शाता है।
चूंकि कोण $\theta_2 > \theta_1$ है,इसलिए $\tan \theta_2 > \tan \theta_1$ होगा।
इसका अर्थ है कि $\left( \frac{T}{P} \right)_2 > \left( \frac{T}{P} \right)_1$ है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ से,हम लिख सकते हैं कि $\frac{T}{P} = \frac{V}{\mu R}$।
चूंकि $\mu$ और $R$ स्थिरांक हैं,इसलिए $\frac{T}{P} \propto V$ होगा।
अतः,$\left( \frac{T}{P} \right)_2 > \left( \frac{T}{P} \right)_1$ का तात्पर्य है कि $V_2 > V_1$ है।

(A) आदर्श गैस समीकरण के अनुसार,$PV = \mu RT = \frac{m}{M}RT$,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{PV}{T} = \frac{mR}{M}$ प्राप्त होता है।
चूंकि द्रव्यमान $m$ समान है और $R$ एक स्थिरांक है,इसलिए $\frac{PV}{T} \propto \frac{1}{M}$ है।
ग्राफ से,रेखाओं का ढाल $\frac{PV}{T}$ है। रेखा $C$ के लिए ढाल सबसे अधिक है और रेखा $A$ के लिए सबसे कम है,इसलिए $(\frac{PV}{T})_C > (\frac{PV}{T})_B > (\frac{PV}{T})_A$ है।
इसका अर्थ है कि $M_C < M_B < M_A$ है।
मोलर द्रव्यमान $M_{H_2} = 2 \text{ g/mol}$,$M_{He} = 4 \text{ g/mol}$ और $M_{O_2} = 32 \text{ g/mol}$ हैं।
इसलिए,$M_{H_2} < M_{He} < M_{O_2}$ है।
इन दोनों संबंधों की तुलना करने पर,$C$,$H_2$ के अनुरूप है,$B$,$He$ के और $A$,$O_2$ के।

(B) आदर्श गैस के लिए,अवस्था समीकरण $PV = nRT$ है,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ द्रव्यमान है,$M$ मोलर द्रव्यमान है)।
अतः,$PV = \frac{m}{M} RT$,जिसका अर्थ है $P = \left( \frac{mR}{MV} \right) T$.
प्रारंभिक अवस्था के लिए,रेखा $A$ की ढाल $S_1 = \frac{mR}{MV}$ है।
नई अवस्था में,द्रव्यमान $m' = 2m$ और आयतन $V' = \frac{V}{2}$ है।
नई ढाल $S_2 = \frac{m'R}{MV'} = \frac{(2m)R}{M(V/2)} = 4 \left( \frac{mR}{MV} \right) = 4S_1$ है।
चूँकि ढाल $S_2$,$S_1$ से अधिक है,इसलिए नई रेखा $A$ से अधिक तीव्र ढाल वाली होनी चाहिए। ग्राफ को देखने पर,रेखा $B$ की ढाल रेखा $A$ से अधिक है। इसलिए,सही रेखा $B$ है।

(C) आदर्श गैस समीकरण $pV = nRT = \frac{m}{M}RT$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ गैस का द्रव्यमान है और $M$ मोलर द्रव्यमान है।
दिए गए तापमान $T$ के लिए,$pV = \text{constant} \times m$,जिसका अर्थ है $m = \frac{pVM}{RT}$।
स्थिर दबाव $p$ के लिए,ग्राफ से देखा जा सकता है कि समान दबाव के लिए,द्रव्यमान $m_2$ के अनुरूप आयतन $V_2$,द्रव्यमान $m_1$ के अनुरूप आयतन $V_1$ से अधिक है (अर्थात $V_2 > V_1$)।
चूंकि $m = \frac{pVM}{RT}$,स्थिर $p, T,$ और $M$ के लिए,$m \propto V$ होता है।
इसलिए,चूंकि $V_2 > V_1$,तो $m_2 > m_1$ या $m_1 < m_2$ प्राप्त होता है।

(A) आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ से, जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($M$ मोलर द्रव्यमान है)।
अतः, $PV = \frac{m}{M} RT$।
दाब $P$ के लिए व्यवस्थित करने पर, हमें $P = \left( \frac{mR}{MV} \right) T$ प्राप्त होता है।
इसे एक सरल रेखा के समीकरण $P = (\text{ढाल}) \cdot T$ के साथ तुलना करने पर, ढाल $S = \frac{mR}{MV}$ द्वारा प्राप्त होती है।
चूंकि $R$, $M$ और $V$ दोनों स्थितियों के लिए नियत हैं, इसलिए ढाल $S$ द्रव्यमान $m$ के सीधे समानुपाती है $(S \propto m)$।
वक्र $A$ के लिए, द्रव्यमान $m$ है, इसलिए $S_A \propto m$।
वक्र $B$ के लिए, द्रव्यमान $3m$ है, इसलिए $S_B \propto 3m$।
वक्र $B$ और $A$ के ढाल का अनुपात $\frac{S_B}{S_A} = \frac{3m}{m} = \frac{3}{1}$ है।
अतः, अनुपात $3:1$ है।

(C) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,गैस की एक निश्चित मात्रा का दबाव $P$ उसके आयतन $V$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
गणितीय रूप से,$PV = k$ (जहाँ $k$ एक स्थिरांक है)।
इसे $P = k \cdot (1/V)$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
इसे एक सरल रेखा के समीकरण $y = mx + c$ के साथ तुलना करने पर,जहाँ $y = P$,$x = 1/V$,$m = k$,और $c = 0$ है,हम देख सकते हैं कि $P$ बनाम $1/V$ का ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक सरल रेखा है।

(B) एक आदर्श गैस के लिए, अवस्था का समीकरण $PV = nRT$ द्वारा दिया जाता है。
यदि तापमान $T$ को स्थिर रखा जाता है, तो गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए ($n$ स्थिर), गुणनफल $nRT$ एक स्थिरांक होता है。
इसलिए, $PV = \text{स्थिरांक}$.
इसका अर्थ है कि आयतन $V$ में परिवर्तन के साथ $PV$ का मान नहीं बदलता है। $PV$ बनाम $V$ का ग्राफ $V$-अक्ष के समानांतर एक क्षैतिज सीधी रेखा होगी। अतः, सही ग्राफ विकल्प $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(A) चार्ल्स के नियम के अनुसार,स्थिर दाब पर गैस के लिए,$T$ $(^{\circ}C)$ तापमान पर आयतन $V_T$ को निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$V_T = V_0 \left( 1 + \frac{T}{273} \right)$
$V_T = V_0 + \left( \frac{V_0}{273} \right) T$
इसकी तुलना एक सीधी रेखा के समीकरण $y = mx + c$ से करने पर,जहाँ $y = V_T$,$x = T$,$m = \frac{V_0}{273}$ (ढाल),और $c = V_0$ (y-अंतःखंड) है।
चूँकि $V_0 > 0$ है,इसलिए ग्राफ एक धनात्मक y-अंतःखंड और धनात्मक ढाल वाली सीधी रेखा है। यह विकल्प $A$ में दिखाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(B) बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस के लिए $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
यहाँ,प्रारंभिक दाब $P_1 = 0.8 \, Pa$ और प्रारंभिक आयतन $V_1 = 5 \, L$ है।
गैस $3 \, L$ आयतन के एक अतिरिक्त खाली पात्र में फैलती है,इसलिए अंतिम आयतन $V_2 = V_1 + V_{evacuated} = 5 \, L + 3 \, L = 8 \, L$ होगा।
समीकरण में मान रखने पर: $0.8 \times 5 = P_2 \times 8$.
$4 = P_2 \times 8$.
$P_2 = 4 / 8 = 0.5 \, Pa$।