Gas Laws (Charles, Boyle's, Avagadro's, Gay Lussacs and Dalton's law) and Ideal gas Equation Questions in Gujarati

(C) ધારો કે અંદરની હવાનું પ્રારંભિક દબાણ $p_0$ (વાતાવરણીય દબાણ) અને પ્રારંભિક કદ $V_i$ છે. જ્યારે પિસ્ટન સાથે $m$ દળ જોડવામાં આવે છે,ત્યારે પિસ્ટન નીચે જાય છે અને વાયુનું દબાણ $p_f = p_0 - \frac{mg}{A}$ થાય છે,જ્યાં $A$ એ પાઇપનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આ વિસ્તરણ દરમિયાન તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $p_i V_i = p_f V_f$.
$p_0 V_i = (p_0 - \frac{mg}{A}) V_f$
$\frac{V_f}{V_i} = \frac{p_0}{p_0 - \frac{mg}{A}} = \frac{1}{1 - \frac{mg}{p_0 A}}$
નાના $x = \frac{mg}{p_0 A}$ માટે દ્વિપદી અંદાજ $(1-x)^{-1} \approx 1+x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{V_f}{V_i} \approx 1 + \frac{mg}{p_0 A}$ મળે છે.
આમ,$\frac{\Delta V}{V_i} = \frac{V_f - V_i}{V_i} = \frac{mg}{p_0 A}$.
જ્યારે વાયુને $T$ થી $T-\Delta T$ સુધી ઠંડો કરવામાં આવે છે,ત્યારે તે તેના મૂળ કદ $V_i$ પર પાછો આવે છે. અચળ દબાણ પ્રક્રિયા (સમદાબી) માટે,$\frac{V}{T} = \text{અચળ}$,તેથી $\frac{\Delta V}{V_f} = \frac{\Delta T}{T}$.
તેથી,$\frac{\Delta T}{T} = \frac{\Delta V}{V_f} \approx \frac{\Delta V}{V_i} = \frac{mg}{p_0 A}$.
આપેલ છે કે $m = 50 \,kg$,$g = 10 \,m/s^2$,$p_0 = 10^5 \,Pa$,અને $r = 0.2 \,m$ $(A = \pi r^2 = 3.14 \times 0.04 = 0.1256 \,m^2)$:
$\frac{\Delta T}{T} = \frac{50 \times 10}{10^5 \times 0.1256} = \frac{500}{12560} \approx 0.0398 \approx 0.04$.

(C) ઓરડાનું કદ $V = 5 \,m \times 5 \,m \times 4 \,m = 100 \,m^3$ છે.
પ્રમાણિત તાપમાન અને દબાણ $(STP)$ પર,દબાણ $p = 1.013 \times 10^5 \,Pa \approx 10^5 \,Pa$ અને તાપમાન $T = 273 \,K$ છે.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \,J/K$ છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $pV = Nk_BT$ નો ઉપયોગ કરતા,અણુઓની સંખ્યા $N = \frac{pV}{k_BT}$ મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $N = \frac{10^5 \times 100}{1.38 \times 10^{-23} \times 273} \approx \frac{10^7}{3.7674 \times 10^{-21}} \approx 2.65 \times 10^{27}$.
તેથી,અણુઓની સંખ્યાનો ક્રમ $3 \times 10^{27}$ છે.

(D) ધારો કે નળીની અંદરનું પ્રારંભિક દબાણ $P_0 = 10^5 \,N/m^2$ છે અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = A \times 20 \,cm$ છે,જ્યાં $A$ એ નળીનું આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
જ્યારે નળીને એવી રીતે ડુબાડવામાં આવે છે કે $10 \,cm$ ભાગ પાણીની બહાર રહે,ત્યારે નળીની અંદરનો હવાના સ્તંભ દબાય છે. ધારો કે હવાના સ્તંભની નવી લંબાઈ $L = (20 - h) \,cm$ છે. નવું કદ $V_2 = A \times (20 - h) \,cm$ છે.
તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
$10^5 \times 20 = P \times (20 - h) \quad \dots(1)$
પાણીની સપાટી પર નળીની અંદરનું દબાણ $P$ એ વાતાવરણીય દબાણ અને નળીની અંદરના હવા-પાણીના સંપર્કની સાપેક્ષમાં બહારના પાણીના સ્તંભને કારણે લાગતા દબાણનો સરવાળો છે. બહારની પાણીની સપાટીની નીચે સંપર્કની ઊંડાઈ $(10 - h) \,cm = \frac{10 - h}{100} \,m$ છે.
$P = P_0 + \rho g \Delta y = 10^5 + 10^3 \times 10 \times \frac{10 - h}{100} = 10^5 + 100(10 - h) = 10^5 + 1000 - 100h \quad \dots(2)$
$(2)$ ને $(1)$ માં મૂકતા:
$20 \times 10^5 = (10^5 + 1000 - 100h)(20 - h)$
$20 \times 10^5 = 20 \times 10^5 - 10^5 h + 20000 - 1000h - 2000h + 100h^2$
$0 = 100h^2 - 103000h + 20000$
$100$ વડે ભાગતા:
$h^2 - 1030h + 200 = 0$
$h$ ખૂબ નાનું હોવાથી,$h^2 \approx 0$,તેથી $1030h \approx 200 \implies h \approx \frac{200}{1030} \approx 0.194 \,cm$.
આ $0.2 \,cm$ ની સૌથી નજીક છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે લખી શકીએ:
$\frac{1}{V} = \frac{P}{nRT}$
વાયુના નિશ્ચિત દળ માટે,$n$ અચળ છે. તેથી,$\frac{1}{V} = \left(\frac{1}{nRT}\right)P$.
આ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે જેનો ઢાળ $m = \frac{1}{nRT}$ છે.
જેમ કે ઢાળ $m$ એ તાપમાન $T$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(m \propto \frac{1}{T})$,સૌથી વધુ ઢાળ ધરાવતી રેખા સૌથી ઓછા તાપમાનને અનુરૂપ છે.
ગ્રાફ જોતા,રેખા $A$ નો ઢાળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $B$ અને પછી $C$ (એટલે કે $m_A > m_B > m_C$).
તેથી,તાપમાનનો ક્રમ $T_A < T_B < T_C$ હોવો જોઈએ.

(B) સિલિન્ડર સખત હોવાથી આ પ્રક્રિયા અચળ કદ (constant volume) પર થાય છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ એ નિરપેક્ષ તાપમાનના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $P \propto T$ અથવા $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 20 \,atm$
પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \,K$
સિલિન્ડર સહન કરી શકે તેવું મહત્તમ દબાણ $P_2 = 100 \,atm$
આપણે તે તાપમાન $T_2$ શોધવાનું છે કે જેના પર દબાણ $100 \,atm$ સુધી પહોંચે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\frac{20}{300} = \frac{100}{T_2}$
$T_2 = \frac{100 \times 300}{20}$
$T_2 = 5 \times 300 = 1500 \,K$
આમ,$1500 \,K$ તાપમાને વિસ્ફોટ થવાનો ભય શરૂ થશે.

(A) તાપમાન અચળ રહેતું હોવાથી, આપણે બોઈલના નિયમ $PV = \text{અચળ}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
શરૂઆતમાં, વાયુ $P$ દબાણે $V$ કદ રોકે છે. જ્યારે પંપ એક સ્ટ્રોક કરે છે, ત્યારે વાયુ વિસ્તરણ પામીને કુલ કદ $(V + v)$ રોકે છે.
ધારો કે પ્રથમ સ્ટ્રોક પછીનું દબાણ $P_1$ છે:
$P \cdot V = P_1 \cdot (V + v)$
$P_1 = P \left( \frac{V}{V + v} \right)$
બીજા સ્ટ્રોક પછી, $V$ કદમાં $P_1$ દબાણ ધરાવતો વાયુ વિસ્તરણ પામીને $(V + v)$ કદમાં જાય છે:
$P_1 \cdot V = P_2 \cdot (V + v)$
$P_2 = P_1 \left( \frac{V}{V + v} \right) = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^2$
આ પેટર્નને અનુસરીને, $n$ સ્ટ્રોક પછી, દબાણ $P_n$ નીચે મુજબ હશે:
$P_n = P \left( \frac{V}{V + v} \right)^n$

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે.
પ્રથમ પાત્ર માટે: $m(O_2) = 32 \,g$,$M(O_2) = 32 \,g/mol$. તેથી,$n_1 = \frac{32}{32} = 1 \,mol$.
દબાણ $P = \frac{n_1 RT}{V} = \frac{1 \cdot RT}{V} = \frac{RT}{V}$ છે.
બીજા પાત્ર માટે: $m(H_2) = 4 \,g$,$M(H_2) = 2 \,g/mol$. તેથી,$n_2 = \frac{4}{2} = 2 \,mol$.
તાપમાન $2T$ છે. દબાણ $P'$ એ $P' = \frac{n_2 R(2T)}{V} = \frac{2 \cdot R(2T)}{V} = \frac{4RT}{V}$ દ્વારા મળે છે.
$\frac{RT}{V} = P$ મૂકતા,આપણને $P' = 4P$ મળે છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ (દળ/મોલર દળ).
અહીં કદ $V$ અને મોલર દળ $M$ અચળ હોવાથી,$P = \frac{m}{M} \frac{RT}{V}$,જે દર્શાવે છે કે $P \propto m \cdot T$ અથવા $m \propto \frac{P}{T}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ: $m_i = 28 \,g$,$P_i = 10 \,atm$,$T_i = 57 + 273 = 330 \,K$.
અંતિમ સ્થિતિ: $m_f$,$P_f = 5 \,atm$,$T_f = 27 + 273 = 300 \,K$.
ગુણોત્તર લેતા: $\frac{m_f}{m_i} = \frac{P_f}{P_i} \times \frac{T_i}{T_f}$.
$\frac{m_f}{28} = \frac{5}{10} \times \frac{330}{300} = \frac{1}{2} \times \frac{11}{10} = \frac{11}{20}$.
$m_f = 28 \times \frac{11}{20} = 15.4 \,g$.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુનું પ્રમાણ $\Delta m = m_i - m_f = 28 - 15.4 = 12.6 \,g$.
$12.6 \,g = \frac{126}{10} = \frac{63}{5} \,g$.

(B) ધારો કે વાતાવરણનું દબાણ $P_0$ છે.
શરૂઆતમાં,નળી અડધી ડૂબેલી છે,તેથી $40 \,cm$ નળી પારોમાં છે. નળીની અંદર ઉપરના ભાગમાં ફસાયેલી હવાની લંબાઈ $40 \,cm$ છે અને દબાણ $P_0$ છે.
જ્યારે નળી બહાર કાઢવામાં આવે છે,ત્યારે $20 \,cm$ પારો બાકી રહે છે. નળીની કુલ લંબાઈ $80 \,cm$ છે. $20 \,cm$ જગ્યા પારા દ્વારા રોકાયેલી હોવાથી,હવાના સ્તંભ માટે બાકી રહેલી લંબાઈ $80 - 20 = 60 \,cm$ છે.
બોઈલના નિયમ $(P_1 V_1 = P_2 V_2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P_0 \times 40 = P_1 \times 60 \Rightarrow P_1 = \frac{2}{3} P_0$.
નળીની અંદરનું દબાણ $P_1$ અને વાતાવરણનું દબાણ પારાના સ્તંભની ઊંચાઈ સાથે સંબંધિત છે: $P_0 = P_1 + h$,જ્યાં $h = 20 \,cm$.
$P_1$ ની કિંમત મૂકતા: $P_0 = \frac{2}{3} P_0 + 20$.
$\frac{1}{3} P_0 = 20 \Rightarrow P_0 = 60 \,cm$ પારાનો સ્તંભ.

(C) ટાયરનું કદ અચળ રહે છે તેમ ધારતા,આપણે ગે-લ્યુસેકના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
આપેલ છે:
$P_1 = 270\,kPa$
$T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300\,K$
$T_2 = 36^{\circ}C = 36 + 273 = 309\,K$
કિંમતો મૂકતા:
$P_2 = \frac{P_1 \times T_2}{T_1} = \frac{270 \times 309}{300}$.
$P_2 = 0.9 \times 309 = 278.1\,kPa$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં લેતા,દબાણ $278\,kPa$ મળે છે.

(D) આપેલ સંબંધ $PT^2 = C$ છે (જ્યાં $C$ અચળાંક છે).
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, $P = \frac{nRT}{V}$ લખી શકાય.
આ કિંમત આપેલ સમીકરણમાં મૂકતા: $\left(\frac{nRT}{V}\right)T^2 = C$.
આથી, $\frac{nRT^3}{V} = C$, જેનો અર્થ છે કે $V = \left(\frac{nR}{C}\right)T^3$.
ધારો કે $K = \frac{nR}{C}$, તેથી $V = KT^3$.
કદ પ્રસરણાંક $\gamma$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $\gamma = \frac{1}{V} \frac{dV}{dT}$.
$V$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dT} = 3KT^2$.
હવે, $\gamma$ ના સૂત્રમાં કિંમત મૂકતા: $\gamma = \frac{1}{KT^3} \times (3KT^2) = \frac{3}{T}$.

(A) સમકદ પ્રક્રિયા (અચળ કદ) માટે,આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેને $P = (\frac{nR}{V})T$ તરીકે ફરીથી લખી શકાય છે.
અહીં,$T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે,જે સેલ્સિયસમાં તાપમાન $t$ સાથે $T = t + 273.15$ દ્વારા સંબંધિત છે.
આને સમીકરણમાં મૂકતા,આપણને $P = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ મળે છે.
આ $y = mx + c$ સ્વરૂપનું સીધી રેખાનું સમીકરણ દર્શાવે છે,જ્યાં તાપમાન અક્ષ પરનો આંતરછેદ ત્યારે મળે છે જ્યારે દબાણ $P = 0$ હોય.
$P = 0$ લેતા,આપણને $0 = (\frac{nR}{V})(t + 273.15)$ મળે છે,જેનો અર્થ છે કે $t + 273.15 = 0$,અથવા $t = -273.15^{\circ}\,C$.
નજીકના પૂર્ણાંકમાં રાઉન્ડ ઓફ કરતા,બિંદુ '$K$' પરનું તાપમાન $-273^{\circ}\,C$ છે,જે નિરપેક્ષ શૂન્ય તાપમાન દર્શાવે છે.

(A) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ એ મોલની સંખ્યા છે.
પાત્રો સમાન કદના $(V_A = V_B)$ અને સમાન તાપમાને $(T_A = T_B)$ હોવાથી,દબાણ $P$ એ મોલની સંખ્યા $n$ ના સમપ્રમાણમાં છે $(P \propto n)$.
તેથી,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{n_A}{n_B}$.
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ નું મોલર દળ $M_A = 2 \ g/mol$ છે અને ઓક્સિજન $(O_2)$ નું મોલર દળ $M_B = 32 \ g/mol$ છે.
પાત્ર $A$ માં મોલની સંખ્યા $n_A = \frac{1 \ g}{2 \ g/mol} = 0.5 \ mol$ છે.
પાત્ર $B$ માં મોલની સંખ્યા $n_B = \frac{1 \ g}{32 \ g/mol} = \frac{1}{32} \ mol$ છે.
આમ,$\frac{P_A}{P_B} = \frac{0.5}{1/32} = 0.5 \times 32 = 16$.

(A) સંખ્યા ઘનતા $n = N/V$ ના સંદર્ભમાં આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $P = nkT$ છે.
આપેલ છે:
સંખ્યા ઘનતા $n = 2.0 \times 10^{25} \text{ m}^{-3}$
દબાણ $P = 1.38 \text{ atm} = 1.38 \times 1.01325 \times 10^5 \text{ Pa} \approx 1.4 \times 10^5 \text{ Pa}$
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J K}^{-1}$
સૂત્ર $P = nkT$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T = \frac{P}{nk}$
$T = \frac{1.38 \times 1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^{25} \times 1.38 \times 10^{-23}}$
$T = \frac{1.01325 \times 10^5}{2.0 \times 10^2}$
$T = \frac{101325}{200} \approx 506.6 \text{ K}$
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $500 \text{ K}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
$V$ ને $T$ ના વિધેય તરીકે લખતા,આપણને $V = \left(\frac{nR}{P}\right)T$ મળે છે.
આને સુરેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = T$ છે,$V-T$ આલેખનો ઢાળ $\text{Slope} = \frac{nR}{P}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ એ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\text{Slope} \propto \frac{1}{P}$.
આપેલી આકૃતિ પરથી,$P_2$ ને અનુરૂપ રેખાનો ઢાળ એ $P_1$ ને અનુરૂપ રેખાના ઢાળ કરતા વધારે છે,એટલે કે $(\text{Slope})_2 > (\text{Slope})_1$.
કારણ કે $\text{Slope} \propto \frac{1}{P}$,તેથી વધારે ઢાળ એટલે ઓછું દબાણ. તેથી,$P_2 < P_1$ અથવા $P_1 > P_2$ થાય.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ નીચે મુજબ છે:
$PV = nRT$
જ્યાં $n = \frac{m}{M}$,$m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી:
$PV = \frac{m}{M} RT$
દબાણ $P$ માટે ગોઠવતા:
$P = \left( \frac{m}{V} \right) \frac{RT}{M}$
ઘનતા $\rho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણને મળે છે:
$P = \left( \frac{\rho R}{M} \right) T$
આ $P-T$ આલેખમાં ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જ્યાં ઢાળ $\frac{\rho R}{M}$ છે.
સમાન તાપમાન $T$ માટે,આલેખ પરથી જોઈ શકાય છે કે $P_1 > P_2 > P_3$.
સમાન $T$ અને $M$ માટે $P \propto \rho$ હોવાથી,$\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$ થાય.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $\rho_1 > \rho_2$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણને મળે છે $T = (P/nR)V$.
વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે ($n$ અચળ છે),$T-V$ આલેખનો ઢાળ $m = P/nR$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ $m$ એ દબાણ $P$ ના સીધા પ્રમાણમાં છે.
તેથી,$T-V$ આલેખમાં વધુ ઢાળ એ ઊંચા દબાણને અનુરૂપ છે.
આલેખ જોતા,$P_1$ માટેના વક્રનો ઢાળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $P_2$ અને પછી $P_3$ આવે છે.
આમ,સાચો સંબંધ $P_1 > P_2 > P_3$ છે.

(C) કદ વિસ્તરણ ગુણાંકની વ્યાખ્યા $\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right)$ છે.
આપેલ પ્રક્રિયાનું સમીકરણ: $PT^2 = \text{અચળ}$.
આદર્શ વાયુના નિયમ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણે લખી શકીએ $P = \frac{nRT}{V}$.
$P$ ની કિંમત પ્રક્રિયાના સમીકરણમાં મૂકતા: $\left( \frac{nRT}{V} \right) T^2 = \text{અચળ}$.
આ સાદું રૂપ આપતા $\frac{T^3}{V} = \text{અચળ}$, અથવા $V = k T^3$ મળે (જ્યાં $k$ અચળાંક છે).
$V$ નું $T$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા: $\frac{dV}{dT} = 3k T^2$.
હવે, આ કિંમતોને $\gamma$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma = \frac{1}{V} \left( \frac{dV}{dT} \right) = \frac{1}{kT^3} (3kT^2) = \frac{3}{T}$.

(B) નિશ્ચિત કદ ધરાવતા પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ પર વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે,દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે ($P \propto T$ અથવા $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$).
આપેલ પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ છે.
આપણે અંતિમ દબાણ $P_2 = 2P$ મેળવવા માંગીએ છીએ.
સંબંધ $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{P}{300} = \frac{2P}{T_2}$
$T_2 = 2 \times 300 = 600 \ K$.
તાપમાનને ફરીથી સેલ્સિયસમાં ફેરવવા માટે: $T_2(^{\circ} C) = 600 - 273 = 327^{\circ} C$.

(C) બંધ પાત્રમાં રહેલા આદર્શ વાયુ માટે કદ $V$ અચળ રહે છે,જે સમકદ પ્રક્રિયા (isochoric process) દર્શાવે છે.
ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે દબાણ $P$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(P \propto T)$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$,અથવા નાના ફેરફારો માટે,$\frac{\Delta P}{P} = \frac{\Delta T}{T}$.
આપેલ છે કે દબાણમાં $0.4 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $\frac{\Delta P}{P} = \frac{0.4}{100}$.
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 1 \ K$ આપેલ છે (કારણ કે $1^{\circ} C$ નો ફેરફાર એ $1 \ K$ ના ફેરફારને સમાન છે).
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{0.4}{100} = \frac{1}{T}$.
$T$ માટે ઉકેલતા,આપણને $T = \frac{100}{0.4} = 250 \ K$ મળે છે.

(B) તંત્ર બંધ હોવાથી વાયુના મોલની કુલ સંખ્યા અચળ રહે છે.
ધારો કે નાના પાત્રનું કદ $V$ છે અને મોટા પાત્રનું કદ $2V$ છે.
મોટા પાત્રમાં શરૂઆતના મોલ: $n_1 = \frac{P_1 V_1}{R T_1} = \frac{8 \times 2V}{R \times 1000} = \frac{16V}{1000R}$.
નાના પાત્રમાં શરૂઆતના મોલ: $n_2 = \frac{P_2 V_2}{R T_2} = \frac{7 \times V}{R \times 500} = \frac{14V}{1000R}$.
કુલ શરૂઆતના મોલ: $n_{total} = n_1 + n_2 = \frac{16V + 14V}{1000R} = \frac{30V}{1000R}$.
સ્થાયી અવસ્થામાં,કુલ કદ $V_f = V + 2V = 3V$ છે અને તાપમાન $T_f = 600 \ K$ છે.
અંતિમ અવસ્થા માટે આદર્શ વાયુ સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $n_{total} = \frac{P_f V_f}{R T_f}$.
$\frac{30V}{1000R} = \frac{P_f \times 3V}{R \times 600}$.
બંને બાજુથી $V$ અને $R$ ને દૂર કરતા:
$\frac{30}{1000} = \frac{3 P_f}{600}$.
$\frac{30}{1000} = \frac{P_f}{200}$.
$P_f = \frac{30 \times 200}{1000} = 6 \ kPa$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,આપણે $V = (\frac{nR}{P})T$ લખી શકીએ છીએ.
આને સીધી રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = V$ અને $x = T$,ઢાળ $m = \frac{nR}{P}$ મળે છે.
$n$ અને $R$ અચળ હોવાથી,ઢાળ દબાણના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે,એટલે કે $\text{slope} \propto \frac{1}{P}$.
આપેલ $V-T$ આલેખમાં,અવસ્થા-$1$ થી અવસ્થા-$2$ સુધીની પ્રક્રિયા દર્શાવતી રેખા,ઉગમબિંદુમાંથી અવસ્થા-$1$ માંથી પસાર થતી રેખા કરતા વધુ ઢાળવાળી છે.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ આપણે અવસ્થા-$1$ થી અવસ્થા-$2$ તરફ જઈએ છીએ તેમ ઢાળ વધે છે.
કારણ કે $\text{slope} \propto \frac{1}{P}$,ઢાળમાં વધારો એટલે દબાણમાં ઘટાડો.
તેથી,દબાણ ઘટ્યું.

(C) પાત્રનું કદ $V$ અચળ રહે છે.
આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ ($m$ એ વાયુનું દળ છે,$M$ એ મોલર દળ છે).
$V$ અને $M$ અચળ હોવાથી,$\frac{P}{mT} = \text{અચળ}$ મળે.
તેથી,$\frac{P_1}{m_1 T_1} = \frac{P_2}{m_2 T_2}$.
આપેલ છે: $P_1 = P$,$m_1 = 8 \ g$,$T_1 = 400 \ K$,$P_2 = P/4$,$T_2 = 200 \ K$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{P}{8 \times 400} = \frac{P/4}{m_2 \times 200}$.
$\frac{1}{3200} = \frac{1}{800 \times m_2}$.
$m_2 = \frac{3200}{800} = 4 \ g$.
બહાર નીકળેલા ઓક્સિજનનું દળ $\Delta m = m_1 - m_2 = 8 \ g - 4 \ g = 4 \ g$ થાય.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = \mu RT$ પરથી,જ્યાં $\mu$ એ મોલની સંખ્યા છે.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $PV = (\mu R)T$ મળે છે.
આને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = PV$ અને $x = T$ છે,આલેખનો ઢાળ $m = \mu R$ થાય છે.
$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક હોવાથી,ઢાળ એ મોલની સંખ્યા $\mu$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
આપેલ દળ $m$ માટે,મોલની સંખ્યા $\mu = \frac{m}{M}$ છે,જ્યાં $M$ એ મોલર દળ છે.
આમ,$\mu \propto \frac{1}{M}$.
મોલર દળ $M(H_2) = 2 \text{ g/mol}$,$M(He) = 4 \text{ g/mol}$,અને $M(O_2) = 32 \text{ g/mol}$ છે.
$M(H_2) < M(He) < M(O_2)$ હોવાથી,મોલની સંખ્યાનો ક્રમ $\mu(H_2) > \mu(He) > \mu(O_2)$ થાય છે.
પરિણામે,ઢાળનો ક્રમ $\text{Slope}(H_2) > \text{Slope}(He) > \text{Slope}(O_2)$ થાય છે.
આલેખ જોતા,રેખા $C$ નો ઢાળ સૌથી વધુ છે,ત્યારબાદ $B$ અને પછી $A$ છે.
તેથી,$C$ એ $H_2$ ને,$B$ એ $He$ ને અને $A$ એ $O_2$ ને અનુરૂપ છે.
આ વિકલ્પ $D$ સાથે સુસંગત છે.

(C) બંધ પાત્રમાં રહેલા વાયુ માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$P \propto T$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને પ્રારંભિક તાપમાન $T$ છે. તેથી $P_1 = P$ અને $T_1 = T$.
દબાણમાં $2.5 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી $P_2 = P + 0.025P = 1.025P$.
તાપમાનમાં $4 \ K$ નો વધારો થાય છે,તેથી $T_2 = T + 4$.
આ કિંમતોને $\frac{P}{T} = \frac{1.025P}{T + 4}$ સંબંધમાં મૂકતા:
$T + 4 = 1.025T$
$4 = 1.025T - T$
$4 = 0.025T$
$T = \frac{4}{0.025} = \frac{4000}{25} = 160 \ K$.
આમ,વાયુનું પ્રારંભિક તાપમાન $160 \ K$ છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ એ $N = nN_A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આમ,$N = \frac{PV}{RT} N_A$.
જાર $A$ માટે: $N_A = \frac{PV}{RT} N_A$.
જાર $B$ માટે: $N_B = \frac{(2P)(V/4)}{(T/4)} N_A = \frac{2PV/4}{T/4} N_A = \frac{2PV}{T} N_A = 2 \left( \frac{PV}{RT} \right) N_A = 2N_A$.
તેથી,જાર $A$ અને જાર $B$ માં રહેલા અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $N_A / N_B = 1 / 2$ એટલે કે $1: 2$ થશે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના આપેલ દળ માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ થાય.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
કદમાં $5 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી અંતિમ કદ $V_2 = V - 0.05V = 0.95V$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P \times V = P_2 \times 0.95V$.
$P_2$ માટે ઉકેલતા: $P_2 = P / 0.95 = (100/95)P = (20/19)P \approx 1.0526P$.
દબાણમાં વધારો $\Delta P = P_2 - P = 1.0526P - P = 0.0526P$ છે.
દબાણમાં થતો ટકાવારી વધારો $(\Delta P / P) \times 100 = 0.0526 \times 100 = 5.26 \%$ થાય.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ,અચળ તાપમાને વાયુના આપેલા દળ માટે,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે.
કદમાં $7 \%$ નો વધારો થાય છે,તેથી અંતિમ કદ $V_2 = V + 0.07V = 1.07V$ થાય.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $P_1 V = P_2 (1.07V)$.
$P_2 = \frac{P_1}{1.07} \approx 0.9346 P_1$.
દબાણમાં ઘટાડો $\Delta P = P_1 - P_2 = P_1 - 0.9346 P_1 = 0.0654 P_1$ છે.
તેને ટકાવારીમાં દર્શાવતા: $\frac{\Delta P}{P_1} \times 100 = 0.0654 \times 100 = 6.54 \%$.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT = \frac{m}{M} RT$ પરથી,જ્યાં $m$ એ દળ અને $M$ એ મોલર દળ છે.
ઘનતા $\varrho = \frac{m}{V}$ હોવાથી,આપણે $P = \frac{\varrho RT}{M}$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $P \propto \varrho T$.
બિંદુ $A$ પર: $P_A = P_0$,$T_A = T_0$,અને $\varrho_A = \varrho_0$. તેથી,$P_0 = k \cdot \varrho_0 T_0$ (જ્યાં $k = \frac{R}{M}$).
બિંદુ $B$ પર: $P_B = Y$,$T_B = 3T_0$,અને $\varrho_B = \frac{4}{3} \varrho_0$.
બંને સમીકરણોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{P_B}{P_A} = \frac{\varrho_B T_B}{\varrho_A T_A}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{(\frac{4}{3} \varrho_0) (3T_0)}{\varrho_0 T_0}$
$\frac{Y}{P_0} = \frac{4}{3} \times 3 = 4$
તેથી,$Y = 4 P_0$.

(A) $PV$ ના એકમો નીચે મુજબ ગણી શકાય:
દબાણ $(P)$ ને એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ બળ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,તેથી તેનો $SI$ એકમ $N/m^2$ અથવા $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}$ છે.
કદ $(V)$ નો $SI$ એકમ $m^3$ છે.
તેથી,$PV$ ગુણાકારનો એકમ:
એકમ $= (kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-2}) \times (m^3) = kg \cdot m^2 \cdot s^{-2}$ થાય.
આમ,$1 \text{ Joule} = 1 \text{ kg} \cdot m^2 \cdot s^{-2}$ હોવાથી,આ એકમ ઉર્જા (અથવા કાર્ય) ના એકમ સમાન છે.

(B) ચાર્લ્સના નિયમ મુજબ,જ્યારે દબાણ અચળ રાખવામાં આવે ત્યારે આદર્શ વાયુના નિશ્ચિત જથ્થાનું કદ $(V)$ તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $(T)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $V \propto T$ અથવા $V = kT$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એક અચળાંક છે.
આ સંબંધ $V$ વિરુદ્ધ $T$ ના આલેખ પર ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે.
આપેલા વિકલ્પોમાંથી,આલેખ $Q$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી સીધી રેખા દર્શાવે છે,જે અચળ દબાણે તાપમાન સાથે કદના ફેરફારને યોગ્ય રીતે રજૂ કરે છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
ઓક્સિજન વાયુ $(O_2)$ માટે: $P_1 V_1 = \frac{m_1}{M_1} RT_1$ ... $(i)$
હાઇડ્રોજન વાયુ $(H_2)$ માટે: $P_2 V_2 = \frac{m_2}{M_2} RT_2$ ... (ii)
આપેલ છે કે $P_1 = P_2$,$V_1 = V_2$,અને $m_1 = m_2$,સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{P_1 V_1}{P_2 V_2} = \frac{m_1 / M_1}{m_2 / M_2} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$1 = \frac{M_2}{M_1} \cdot \frac{T_1}{T_2}$
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{M_1}{M_2}$
મોલર દળ $M_1 (O_2) = 32 \text{ g/mol}$ અને $M_2 (H_2) = 2 \text{ g/mol}$ મૂકતા:
$\frac{T_1}{T_2} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
તેથી,તેમના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = nRT$.
અહીં,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,અને $T$ એ તાપમાન છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મોલની સંખ્યા $n = \frac{N}{N_A}$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની કુલ સંખ્યા છે અને $N_A$ એ એવોગેડ્રો આંક છે.
આ કિંમત આદર્શ વાયુ સમીકરણમાં મૂકતા: $PV = \left(\frac{N}{N_A}\right) RT$.
પદોને ગોઠવતા,આપણને $PV = N \left(\frac{R}{N_A}\right) T$ મળે છે.
બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક $k = \frac{R}{N_A}$ હોવાથી,સમીકરણ $PV = NkT$ બને છે.
તેથી,$\frac{PV}{kT} = N$,જે વાયુના અણુઓની કુલ સંખ્યા દર્શાવે છે.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે. અણુઓની સંખ્યા $N$ એ મોલની સંખ્યાના પ્રમાણમાં હોવાથી $(N = nN_A)$,અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર એ મોલની સંખ્યાના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય છે.
પ્રથમ નમૂના માટે: $P_1 = P, V_1 = V, T_1 = T$. તેથી,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
બીજા નમૂના માટે: $P_2 = 2P, V_2 = V/4, T_2 = 2T$. તેથી,$n_2 = \frac{(2P)(V/4)}{R(2T)} = \frac{PV/2}{2RT} = \frac{PV}{4RT}$.
અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_1}{N_2} = \frac{n_1}{n_2} = \frac{PV/RT}{PV/4RT} = \frac{1}{1/4} = 4:1$ થાય છે.

(A) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = \mu RT$ છે,જ્યાં $\mu$ એ વાયુના મોલની સંખ્યા છે.
$\mu = \frac{\text{આપેલ દળ}}{\text{આણ્વીય દળ}} = \frac{m}{M}$.
અહીં,$m = 2 \ g$ અને ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે,$M = 32 \ g/mol$ છે.
આ કિંમતોને આદર્શ વાયુના સમીકરણમાં મૂકતા:
$PV = \left( \frac{2}{32} \right) RT$.
$PV = \frac{1}{16} RT$.

(B) આદર્શ વાયુ દ્વારા પાત્રની દીવાલ પર લાગતું દબાણ $P$ એ એકમ ક્ષેત્રફળ $A$ દીઠ લાગતા બળ $F$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે $P = F/A$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પાત્રની દીવાલનું ક્ષેત્રફળ $A$ અચળ હોવાથી,આપણને $P \propto F$ મળે છે.
આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n$ મોલની સંખ્યા છે,$R$ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે,$T$ તાપમાન છે અને $V$ કદ છે.
બંધ પાત્ર માટે,કદ $V$ અચળ રહે છે. તેથી,$P = (nR/V)T$,જેનો અર્થ છે કે $P \propto T$.
આ બંને સંબંધો $F \propto P$ અને $P \propto T$ ની સરખામણી કરતા,આપણને $F \propto T^1$ મળે છે.
તેથી,$F \propto T^x$ સાથે સરખામણી કરતા,આપણને $x = 1$ મળે છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ મુજબ,$PV = Nk_B T$,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $A$ માટે: $PV = N_A k_B T$ --- $(i)$
પાત્ર $B$ માટે: $(2P) \times (V/4) = N_B k_B (2T)$
ડાબી બાજુનું સાદુંરૂપ આપતા: $(1/2) PV = N_B k_B (2T)$
$PV = 4 N_B k_B T$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા: $N_A k_B T = 4 N_B k_B T$
$N_A = 4 N_B$
તેથી,ગુણોત્તર $N_A / N_B = 4/1$ અથવા $4: 1$ થાય.

(A) આદર્શ વાયુના સમીકરણ $PV = nRT$ પરથી,જ્યાં $n = m/M$ (દળ/મોલર દળ).
$n$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $PV = (m/M)RT$ મળે છે.
ઘનતા $\rho = m/V$ હોવાથી,આપણે $P = (\rho/M)RT$ લખી શકીએ,જેનો અર્થ છે કે $\rho = (PM)/(RT)$.
તેથી,$\rho \propto P/T$.
આપેલ છે: પ્રારંભિક સ્થિતિ $(\rho_0, P_0, T_0)$ અને અંતિમ સ્થિતિ $(\rho', 3P_0, 2T_0)$ છે.
પ્રમાણસરતા $\rho' / \rho_0 = (P'/P_0) \times (T_0/T')$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\rho' = \rho_0 \times (3P_0 / P_0) \times (T_0 / 2T_0)$.
$\rho' = \rho_0 \times 3 \times (1/2) = \frac{3}{2} \rho_0$.

(B) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે વાયુના શરૂઆતના અને અંતિમ મોલની સંખ્યા શોધી શકીએ છીએ.
શરૂઆતના મોલની સંખ્યા,$n_1 = \frac{PV}{RT}$.
અંતિમ મોલની સંખ્યા,$n_2 = \frac{P^{\prime}V}{RT}$.
બહાર નીકળી ગયેલા વાયુના મોલની સંખ્યા એ શરૂઆતના અને અંતિમ મોલનો તફાવત છે: $\Delta n = n_1 - n_2$.
કિંમતો મૂકતા,$\Delta n = \frac{PV}{RT} - \frac{P^{\prime}V}{RT} = \frac{V}{RT}(P - P^{\prime})$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) આપેલ છે: પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = 270 \text{ kPa}$,પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 27^{\circ}C = 27 + 273 = 300 \text{ K}$.
અંતિમ તાપમાન $T_2 = 37^{\circ}C = 37 + 273 = 310 \text{ K}$.
ધારો કે ટાયરનું કદ અચળ રહે છે,ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,$\frac{P_1}{T_1} = \frac{P_2}{T_2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{270}{300} = \frac{P_2}{310}$.
$P_2 = \frac{270 \times 310}{300} = 0.9 \times 310 = 279 \text{ kPa}$.
તેથી,અંતિમ દબાણ $279 \text{ kPa}$ છે.

(D) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે.
અહીં $n = \frac{m}{M}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $M$ એ મોલર દળ છે,તેથી $PV = \frac{m}{M} RT$ થાય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{m}{V} \frac{RT}{M} = \varrho \frac{RT}{M}$ મળે છે,જ્યાં $\varrho$ એ ઘનતા છે.
આમ,$\varrho = \frac{PM}{RT}$.
પ્રારંભિક સ્થિતિ માટે: $\varrho_0 = \frac{P_0 M}{R T_0}$.
અંતિમ સ્થિતિ માટે: $\varrho' = \frac{P' M}{R T'} = \frac{(3 P_0) M}{R (2 T_0)}$.
$\varrho'$ ના સમીકરણમાં $\varrho_0$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\varrho' = \frac{3}{2} \left( \frac{P_0 M}{R T_0} \right) = \frac{3}{2} \varrho_0$ મળે છે.

(C) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ માટે: $PV = \frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2}$ --- $(i)$
હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે: $PV = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$ --- $(ii)$
અહીં $P$,$V$ અને $m$ બંને વાયુઓ માટે સમાન હોવાથી,આપણે બંને સમીકરણોને સરખાવીએ:
$\frac{m}{M_{O_2}} RT_{O_2} = \frac{m}{M_{H_2}} RT_{H_2}$
$\frac{T_{O_2}}{M_{O_2}} = \frac{T_{H_2}}{M_{H_2}}$
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{M_{O_2}}{M_{H_2}}$
આપેલ છે કે $M_{O_2} = 32$ અને $M_{H_2} = 2$:
$\frac{T_{O_2}}{T_{H_2}} = \frac{32}{2} = \frac{16}{1}$
તેથી,તેમના નિરપેક્ષ તાપમાનનો ગુણોત્તર $16: 1$ છે.

(B) આપેલ છે: પ્રારંભિક તાપમાન $T_1 = 100^{\circ} C = 373 \ K$. બંધ પાત્રમાં કદ અચળ રહે છે. ગે-લ્યુસેકના નિયમ મુજબ,અચળ કદ માટે વાયુના નિશ્ચિત જથ્થા માટે $P \propto T$ થાય છે.
તેથી,$\frac{P_2}{P_1} = \frac{T_2}{T_1}$.
દબાણમાં $4 \%$ નો વધારો થતો હોવાથી,$P_2 = P_1 + 0.04 P_1 = 1.04 P_1$.
આ કિંમત ગુણોત્તરમાં મૂકતા: $\frac{T_2}{T_1} = 1.04$.
$T_2 = 1.04 \times 373 \ K = 387.92 \ K$.
તાપમાનમાં થતો વધારો $\Delta T = T_2 - T_1 = 387.92 \ K - 373 \ K = 14.92 \ K$.
કેલ્વિનમાં તાપમાનનો ફેરફાર એ સેલ્સિયસમાં તાપમાનના ફેરફાર જેટલો જ હોવાથી,$\Delta T = 14.92^{\circ} C$.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અવસ્થાનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે. કારણ કે $n = \frac{m}{M}$,તેથી $PV = \frac{m}{M}RT$ થાય.
આને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $P = \frac{m}{V} \cdot \frac{RT}{M} = \rho \frac{RT}{M}$ મળે,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે અને $M$ એ આણ્વીય દળ છે.
આમ,$M = \frac{\rho RT}{P}$ થાય.
બંને વાયુઓ માટે તાપમાન $T$ સમાન હોવાથી,આપણને મળે છે:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{\rho_A}{\rho_B} \times \frac{P_B}{P_A}$
આપેલ છે કે $P_A = 2P_B$ અને $\rho_A = 1.5\rho_B = \frac{3}{2}\rho_B$,આ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{M_A}{M_B} = \frac{1.5\rho_B}{\rho_B} \times \frac{P_B}{2P_B} = 1.5 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{3}{4}$
તેથી,$A$ અને $B$ ના આણ્વીય દળનો ગુણોત્તર $3: 4$ છે.

(C) તાપમાન અચળ હોવાથી,આપણે બોઈલના નિયમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P$ છે અને પ્રારંભિક કદ $V$ છે.
દબાણમાં $20 \%$ નો ઘટાડો થાય છે,તેથી નવું દબાણ $P_2 = P - 0.20P = 0.80P$ થશે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $P \times V = 0.80P \times V_2$.
$V_2$ માટે ઉકેલતા: $V_2 = \frac{V}{0.80} = 1.25V$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V = 1.25V - V = 0.25V$ છે.
કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V} \times 100 = 0.25 \times 100 = 25 \%$ છે.
પરિણામ ધન હોવાથી,કદમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે.

(D) આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = Nk_B T$ મુજબ,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
પાત્ર $P$ માટે,સમીકરણ છે: $PV = N_P k_B T$ ... $(i)$
પાત્ર $Q$ માટે,સમીકરણ છે: $(2P) \left( \frac{V}{4} \right) = N_Q k_B (2T)$
ડાબી બાજુનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{PV}{2} = N_Q k_B (2T)$
$\Rightarrow PV = 4 N_Q k_B T$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા:
$N_P k_B T = 4 N_Q k_B T$
$N_P = 4 N_Q$
તેથી,પાત્ર $P$ અને પાત્ર $Q$ માં રહેલા અણુઓની સંખ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{N_P}{N_Q} = 4:1$ છે.

(D) અચળ તાપમાને બોઈલના નિયમ મુજબ,$P \propto \frac{1}{V}$,જેનો અર્થ છે કે $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ છે.
નવું દબાણ $P_2 = P + 0.05P = 1.05P$ થશે.
આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા: $P V_1 = 1.05P V_2$.
નવા કદ માટે ઉકેલતા: $V_2 = \frac{V_1}{1.05} \approx 0.9524 V_1$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 0.9524 V_1 - V_1 = -0.0476 V_1$ છે.
કદમાં થતો ટકાવારી ઘટાડો $\frac{|\Delta V|}{V_1} \times 100 = 0.0476 \times 100 = 4.76 \%$ છે.

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$.
તેથી,$PV = \frac{m}{M}RT$,જેનો અર્થ થાય છે $m = \frac{PVM}{RT}$.
પાત્ર $A$ માટે:
$m_A = \frac{PVM}{RT} \quad (1)$
પાત્ર $B$ માટે:
$m_B = \frac{(2P)(2V)M}{R(T/2)} = \frac{4PVM}{RT/2} = \frac{8PVM}{RT} \quad (2)$
$m_A$ અને $m_B$ નો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{m_A}{m_B} = \frac{PVM/RT}{8PVM/RT} = \frac{1}{8}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1: 8$ છે.

(C) બોઈલના નિયમ મુજબ, અચળ તાપમાને, $PV = \text{અચળ}$.
ધારો કે પ્રારંભિક દબાણ $P_1 = P$ અને પ્રારંભિક કદ $V_1 = V$ છે。
જો દબાણ $20 \%$ ઘટાડવામાં આવે, તો નવું દબાણ $P_2 = P - 0.20P = 0.8P$ થાય。
સંબંધ $P_1 V_1 = P_2 V_2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$P \cdot V = (0.8P) \cdot V_2$
$V_2 = \frac{PV}{0.8P} = \frac{V}{0.8} = 1.25V$.
કદમાં થતો ફેરફાર $\Delta V = V_2 - V_1 = 1.25V - V = 0.25V$ છે。
કદમાં થતો ટકાવારી ફેરફાર $\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{0.25V}{V} \times 100 = 25 \%$ છે。
કિંમત ધન હોવાથી, કદમાં $25 \%$ નો વધારો થાય છે。

(B) આદર્શ વાયુનું સમીકરણ $PV = nRT$ છે,જ્યાં $n = \frac{m}{M}$ છે.
તેથી,$\frac{PV}{T} = \frac{m}{M}R$.
શરૂઆતમાં,$P_1 = 10 \text{ atm}$,$T_1 = 27 + 273 = 300 \text{ K}$,અને દળ $m$ છે.
તેથી,$\frac{10V}{300} = \frac{m}{M}R \implies \frac{m}{M}R = \frac{10V}{300} = \frac{V}{30}$.
અડધું દળ દૂર કર્યા પછી,નવું દળ $m' = \frac{m}{2}$ થાય છે.
નવું તાપમાન $T_2 = 87 + 273 = 360 \text{ K}$ છે.
અંતિમ સ્થિતિ માટે વાયુના સમીકરણનો ઉપયોગ કરતા: $P_2 V = n' R T_2 = \frac{m}{2M} R T_2$.
$\frac{m}{M}R = \frac{V}{30}$ કિંમત મૂકતા:
$P_2 V = \frac{1}{2} \left( \frac{V}{30} \right) \times 360$.
$P_2 = \frac{360}{60} = 6 \text{ atm}$.