Degree of Freedom Questions in Gujarati

(D) મુક્તિના અંશોની કુલ સંખ્યા $(f)$ એ સ્થાનાંતરિત અને ભ્રમણીય મુક્તિના અંશોનો સરવાળો છે: $f = 3 + 2 = 5$.
આદર્શ વાયુના એક મોલ માટે કુલ આંતરિક ઉર્જા $(U)$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} RT$ છે. $f = 5$ મૂકતા,આપણને $U = \frac{5}{2} RT$ મળે છે.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ ને મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માના ગુણોત્તર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,$\gamma = \frac{C_P}{C_V} = 1 + \frac{2}{f}$.
$\gamma$ ના સૂત્રમાં $f = 5$ મૂકતા,આપણને $\gamma = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$ મળે છે.

(C) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,દરેક મુક્તિના અંશ (degree of freedom) સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ હોય છે.
એક-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશની સંખ્યા $(f)$ $3$ છે (બધા સ્થાનાંતરિત).
તેથી,સરેરાશ ઉષ્મીય ઉર્જા $E = f \times \frac{1}{2} k_{B} T = 3 \times \frac{1}{2} k_{B} T = \frac{3}{2} k_{B} T$ થાય.

(A) બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,કુલ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f$ એ સ્થાનાંતરિત,ભ્રમણીય અને કંપન મુક્તિના અંશોના સરવાળા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો $= 3$.
અરેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો $= 3$.
દરેક કંપન મોડ $2$ મુક્તિના અંશો ધરાવે છે (એક ગતિ ઊર્જા માટે અને એક સ્થિતિ ઊર્જા માટે).
$24$ કંપન મોડ્સ આપેલ હોવાથી,કંપન મુક્તિના અંશો $= 24 \times 2 = 48$.
કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 3 + 48 = 54$.
એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ એ $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f$ નું મૂલ્ય મૂકતા: $\gamma = 1 + \frac{2}{54} = 1 + \frac{1}{27} = \frac{28}{27} \approx 1.037$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $\gamma = 1.03$ મળે છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ (Law of Equipartition of Energy) મુજબ,$T$ તાપમાને ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલા તંત્ર માટે,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ (degree of freedom) સાથે સંકળાયેલી ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ હોય છે.
તેથી,આદર્શ વાયુ માટે એક સ્વતંત્રતાના અંશ દીઠ સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2} k_{B} T$ થાય છે.

(B) અરેખીય બહુપરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
સ્થાનાંતરીય મુક્તિના અંશો = $3$
ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો = $3$
કંપન મુક્તિના અંશો = $2 \times 2 = 4$ (કારણ કે દરેક કંપન મોડ $2$ મુક્તિના અંશો ધરાવે છે).
કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 3 + 4 = 10$.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\beta$ (જેને ઘણીવાર $\gamma$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે) સૂત્ર $\beta = 1 + \frac{2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$f$ નું મૂલ્ય મૂકતા:
$\beta = 1 + \frac{2}{10} = 1 + 0.2 = 1.2$.

(B) સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલ સરેરાશ ઉર્જા $\frac{1}{2} k_B T$ છે.
દ્વિપરમાણ્વિક અણુ માટે,સ્થાનાંતરીય સ્વતંત્રતાના અંશ $3$ છે,તેથી સરેરાશ સ્થાનાંતરીય ગતિ ઉર્જા $E_{trans} = 3 \times (\frac{1}{2} k_B T) = \frac{3}{2} k_B T$ છે.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક અણુ માટે ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાના અંશ $2$ છે,તેથી સરેરાશ ભ્રમણીય ગતિ ઉર્જા $E_{rot} = 2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ છે.
વિધાન $I$ ખોટું છે કારણ કે ભ્રમણીય ઉર્જા સ્તરો ક્વોન્ટાઈઝ્ડ હોય છે અને તે સ્થાનાંતરીય ઉર્જાની જેમ મેક્સવેલ-બોલ્ટ્ઝમેન વિતરણનું પાલન કરતા નથી.
વિધાન $II$ ખોટું છે કારણ કે $E_{rot} = k_B T$ અને $E_{trans} = \frac{3}{2} k_B T$ હોવાથી,તેઓ સમાન નથી.

(B) આદર્શ વાયુ માટે,આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} PV$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
આપેલ સંબંધ $U = 3PV + 4$ ને સરખાવતા:
$\frac{f}{2} PV = 3PV + 4$
બંને બાજુ $PV$ વડે ભાગતા:
$\frac{f}{2} = 3 + \frac{4}{PV}$
$f = 6 + \frac{8}{PV}$
અહીં $\frac{8}{PV}$ પદ ધન હોવાથી,$f > 6$ મળે છે.
જે વાયુ માટે મુક્તિના અંશો $f > 6$ હોય,તે બહુ-પરમાણ્વીય વાયુ છે.

(B) ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મીય સંતુલનમાં રહેલી સિસ્ટમની સરેરાશ ઉર્જામાં દરેક મુક્તિના અંશ (degree of freedom) નો ફાળો $\frac{1}{2} k_{B} T$ હોય છે.
એક પરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિના અંશ $(D.O.F.)$ ની સંખ્યા $3$ છે ($x, y,$ અને $z$ અક્ષ પરના સ્થાનાંતરિત ગતિને અનુરૂપ).
તેથી,પ્રતિ અણુ સરેરાશ ઉર્જા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
સરેરાશ ઉર્જા $= D.O.F. \times \frac{1}{2} k_{B} T = 3 \times \frac{1}{2} k_{B} T = \frac{3}{2} k_{B} T$.

(B) વિધાન $A$ ખોટું છે કારણ કે ઊર્જા દરેક સ્વતંત્રતાની માત્રામાં સ્વતંત્ર રીતે સંગ્રહિત થાય છે,$n^2$ તરીકે નહીં.
વિધાન $B$ સાચું છે,જે ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ (Law of Equipartition of Energy) મુજબ છે,જે જણાવે છે કે દરેક સ્વતંત્રતાની માત્રા આંતરિક ઊર્જામાં પ્રતિ મોલ $\frac{1}{2} RT$ ફાળો આપે છે.
વિધાન $C$ ખોટું છે કારણ કે એક પરમાણ્વીય વાયુના અણુમાં $0$ ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાની માત્રા હોય છે,જ્યારે દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુમાં $2$ ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાની માત્રા હોય છે.
વિધાન $D$ સાચું છે. $CH_{4}$ એ અ-રેખીય બહુ-પરમાણ્વીય અણુ છે. $N$ પરમાણુઓ ધરાવતા અ-રેખીય અણુ માટે કુલ સ્વતંત્રતાની માત્રા $f = 3N$ હોય છે. $CH_{4}$ માટે,$N=5$,તેથી $f = 3 \times 5 = 15$. જો કે,જો આપણે મધ્યમ તાપમાને દ્રઢ અણુઓને ધ્યાનમાં લઈએ,તો સ્વતંત્રતાની માત્રા $3$ (સ્થાનાંતરીય) $+ 3$ (ભ્રમણીય) $= 6$ થાય છે. આમ,દ્રઢ પદાર્થ ગતિશાસ્ત્રના સંદર્ભમાં $D$ સાચું ગણાય છે.
તેથી,$B$ અને $D$ સાચા વિધાનો છે.

(A) આપેલ છે,મુક્તિના અંશો $f = 8$.
અચળ દબાણે થતું કાર્ય $W = n R \Delta T = 150 \; J$ છે.
અચળ દબાણે શોષાયેલી ઉષ્મા $Q = n C_p \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $C_p = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R$.
આ કિંમત ઉષ્માના સમીકરણમાં મૂકતા: $Q = n \left( \frac{f}{2} + 1 \right) R \Delta T$.
કારણ કે $W = n R \Delta T = 150 \; J$,તેથી $Q = \left( \frac{f}{2} + 1 \right) W$.
$f = 8$ અને $W = 150 \; J$ મૂકતા:
$Q = \left( \frac{8}{2} + 1 \right) \times 150 = (4 + 1) \times 150 = 5 \times 150 = 750 \; J$.

(B) હાઇડ્રોજન $(H_2)$ એ દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ છે.
ખૂબ ઊંચા તાપમાને,કંપનશીલ મુક્તિના અંશો (vibrational degrees of freedom) સક્રિય થાય છે.
દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ માટે ઊંચા તાપમાને કુલ મુક્તિના અંશો $(f)$ નીચે મુજબ છે:
$3$ સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો,
$2$ પરિભ્રમણ મુક્તિના અંશો,અને
$2$ કંપનશીલ મુક્તિના અંશો.
કુલ મુક્તિના અંશો $f = 3 + 2 + 2 = 7$.
પરિભ્રમણ ગતિ સાથે સંકળાયેલ ઉર્જાનો અંશ એ પરિભ્રમણ મુક્તિના અંશો અને કુલ મુક્તિના અંશોનો ગુણોત્તર છે.
અંશ $= \frac{f_{rot}}{f_{total}} = \frac{2}{7}$.

(C) વિવિધ પ્રકારના વાયુઓ માટે સ્વતંત્રતાની કોટિ $(f)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. એકપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં માત્ર $3$ સ્થાનાંતરીય સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(A) - (I)$.
$2$. દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં $3$ સ્થાનાંતરીય અને $2$ ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(B) - (III)$.
$3$. અદ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં $3$ સ્થાનાંતરીય,$2$ ભ્રમણીય અને $1$ કંપન સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(C) - (IV)$.
$4$. બહુપરમાણ્વીય વાયુઓ: આમાં $3$ સ્થાનાંતરીય,$3$ ભ્રમણીય અને એકથી વધુ કંપન સ્વતંત્રતાની કોટિ હોય છે. તેથી,$(D) - (II)$.
આમ,સાચી જોડ $(A) - (I), (B) - (III), (C) - (IV), (D) - (II)$ છે.

(C) આદર્શ વાયુની કુલ ગતિઊર્જાનું સૂત્ર: $K.E. = \frac{f}{2} nRT$ છે.
ઓક્સિજન $(O_2)$ જેવા દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુ માટે,ઓરડાના તાપમાને મુક્તિના અંશો $(f)$ $5$ હોય છે.
આપેલ છે:
મોલની સંખ્યા $(n)$ = $1 \ mol$
તાપમાન $(T)$ = $27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$
સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક $(R)$ = $8.31 \ J/mol \cdot K$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$K.E. = \frac{5}{2} \times 1 \times 8.31 \times 300$
$K.E. = 5 \times 8.31 \times 150$
$K.E. = 6232.5 \ J$

(B) $CH_4$ અણુ એ બહુપરમાણ્વીય અરેખીય (non-linear) અણુ છે.
ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં કોઈપણ અણુ માટે,સ્થાનાંતરીય મુક્તિની માત્રા $(f_t)$ હંમેશા $3$ હોય છે,જે $x, y,$ અને $z$ અક્ષો પરની ગતિને અનુરૂપ છે.
અરેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે,ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રા $(f_r)$ પણ $3$ હોય છે,જે જડત્વની ત્રણ મુખ્ય અક્ષોની આસપાસના પરિભ્રમણને અનુરૂપ છે.
તેથી,$CH_4$ માટે,$f_t = 3$ અને $f_r = 3$ થાય છે.

(D) અદ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે, મુક્તિના અંશો $(f)$ માં $3$ સ્થાનાંતરિત, $2$ ભ્રમણીય અને $2$ કંપન ગતિના પ્રકારોનો સમાવેશ થાય છે。
આમ, $f = 3 + 2 + 2 = 7$ થાય。
એક અણુની ઉર્જા $U = \frac{f}{2} K_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
$f = 7$ મૂકતા, એક અણુની ઉર્જા $U = \frac{7}{2} K_B T$ મળે છે。
આવા $10$ અણુઓ માટે, કુલ ઉર્જા $E = 10 \times \frac{7}{2} K_B T = 35 K_B T$ થાય。

(D) એડિયાબેટિક ઇન્ડેક્સ $(\gamma)$ નું સૂત્ર $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે.
સખત દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) છે.
તેથી,$\gamma_1 = 1 + \frac{2}{5} = 1 + 0.4 = 1.4$.
કંપન મોડ ધરાવતા દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_2 = 7$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપન) છે.
તેથી,$\gamma_2 = 1 + \frac{2}{7} \approx 1 + 0.286 = 1.286$.
બંને મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$\gamma_2 < \gamma_1$ મળે છે.

(D) $f$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે,વિશિષ્ટ ઉષ્મા ગુણોત્તર $\gamma = 1 + \frac{2}{f} = \frac{f+2}{f}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એકપરમાણ્વિક વાયુ $A$ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_{A} = 3$ છે. તેથી,$\gamma_{A} = \frac{3+2}{3} = \frac{5}{3}$.
બહુપરમાણ્વિક વાયુ $B$ માટે,સ્વતંત્રતાના અંશો $f_{B} = 3 \text{ (સ્થાનાંતરિત)} + 3 \text{ (ભ્રમણીય)} + 2 \times 1 \text{ (કંપન)} = 8$ છે. તેથી,$\gamma_{B} = \frac{8+2}{8} = \frac{10}{8} = \frac{5}{4}$.
હવે,ગુણોત્તરની ગણતરી કરતા: $\frac{\gamma_{A}}{\gamma_{B}} = \frac{5/3}{5/4} = \frac{5}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{4}{3}$.
આપેલ છે કે $\frac{\gamma_{A}}{\gamma_{B}} = 1 + \frac{1}{n}$,તેથી $1 + \frac{1}{n} = \frac{4}{3}$.
$\frac{1}{n} = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}$.
તેથી,$n = 3$.

(C) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ અને સ્વતંત્રતાની માત્રા $f$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$.
અહીં આપેલ છે કે સ્વતંત્રતાની માત્રા $f = X$ છે.
સૂત્રમાં $f$ ની જગ્યાએ $X$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\gamma = 1 + \frac{2}{X}$.

(D) $f$ મુક્તિના અંશો ધરાવતા વાયુ માટે અચળ કદે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{V} = \frac{f}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અચળ દબાણે મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_{P} = C_{V} + R = (\frac{f}{2} + 1)R = \frac{f+2}{2}R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} = \frac{f+2}{f}$ થાય છે.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ વિકલ્પ $D$ છે.

(C) આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2} R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degree of freedom) છે.
આ સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $R = \frac{2}{f} C_v$ મળે છે.
આપેલ સમીકરણ $R = \frac{2}{3} C_v$ સાથે સરખાવતા,આપણને $f = 3$ મળે છે.
$3$ મુક્તિના અંશો ધરાવતો વાયુ એકપરમાણ્વીય હોય છે (દા.ત.,હિલિયમ અથવા નિયોન જેવા નિષ્ક્રિય વાયુઓ).

(C) એકપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_m = 3$ છે. તેથી,$\gamma_m = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3}$.
દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક વાયુ માટે,મુક્તિની માત્રા $f_d = 5$ છે. તેથી,$\gamma_d = 1 + \frac{2}{5} = \frac{7}{5}$.
$\gamma_d$ અને $\gamma_m$ નો ગુણોત્તર $\frac{\gamma_d}{\gamma_m} = \frac{7/5}{5/3} = \frac{7}{5} \times \frac{3}{5} = \frac{21}{25}$ થાય.

(B) $1$. આપેલ છે: દબાણ $P = 10^5 \text{ N m}^{-2}$,ઘનતા $\rho = 5 \text{ kg m}^{-3}$,કુલ દળ $M_{total} = 500 \text{ g} = 0.5 \text{ kg}$.
$2$. વાયુ દ્વારા રોકાયેલ કદ $V = \frac{M_{total}}{\rho} = \frac{0.5}{5} = 0.1 \text{ m}^3$.
$3$. આદર્શ વાયુ સમીકરણ $PV = nRT$ નો ઉપયોગ કરતા,$nRT = PV = 10^5 \times 0.1 = 10^4 \text{ J}$.
$4$. દ્રઢ રોટેટર તરીકે વર્તતા દ્વિ-પરમાણ્વીય વાયુ માટે,મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) $f = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય).
$5$. એક મોલ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$6$. $f = 5$ હોવાથી,$U = \frac{5}{2} RT$.
$7$. $PV = nRT$ પરથી,$RT = \frac{PV}{n}$.
$8$. અહીં કુલ ઉર્જા $\frac{5}{2} PV = 2.5 \times 10^4 \text{ J}$ મળે છે,જે આપેલ વિકલ્પો સાથે સુસંગત છે.

(B) આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = n \frac{f}{2} RT$ છે,જ્યાં $n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$f$ એ મુક્તિની માત્રા (degree of freedom) છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$f_1 = 5$ સાથે $T$ તાપમાને $n_1$ મોલ હાઇડ્રોજન $(H_2)$ માટે:
$U_1 = n_1 \times \frac{5}{2} \times R \times T$
$f_2 = 3$ સાથે $2T$ તાપમાને $n_2$ મોલ હિલિયમ $(He)$ માટે:
$U_2 = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times (2T)$
આપેલ છે કે $U_1 = U_2$:
$n_1 \times \frac{5}{2} \times RT = n_2 \times \frac{3}{2} \times R \times 2T$
બંને બાજુથી $\frac{1}{2}$,$R$ અને $T$ ને દૂર કરતા:
$5n_1 = 6n_2$
તેથી,ગુણોત્તર $\frac{n_1}{n_2} = \frac{6}{5}$ થાય.

(A) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા ફક્ત તેના નિરપેક્ષ તાપમાન $T$ પર આધાર રાખે છે અને તે $K.E. = \frac{f}{2} k T$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) ની સંખ્યા છે અને $k$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
કાર્બન મોનોક્સાઇડ $(CO)$ અને નાઇટ્રોજન $(N_{2})$ બંને દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ છે.
દ્વિપરમાણ્વીય વાયુઓ માટે,મધ્યમ તાપમાને મુક્તિના અંશોની સંખ્યા $f = 5$ હોય છે.
બંને વાયુઓ સમાન તાપમાન $T$ પર હોવાથી,તેમના અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા સમાન હોય છે.
તેથી,$E_{1} = E_{2}$.

(B) વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma$ ને $\gamma = \frac{C_p}{C_v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_v = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) છે.
અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_v + R = (\frac{f}{2} + 1)R$ છે.
તેથી,$\gamma = \frac{C_p}{C_v} = \frac{(\frac{f}{2} + 1)R}{\frac{f}{2}R} = \frac{\frac{f+2}{2}}{\frac{f}{2}} = \frac{f+2}{f} = 1 + \frac{2}{f}$.
$f$ માટે આ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\gamma - 1 = \frac{2}{f}$.
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) $n$ મોલ આદર્શ વાયુની આંતરિક ઉર્જા $U$ નું સૂત્ર $U = \frac{f}{2} n R T$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિની માત્રા (degrees of freedom) છે,$n$ એ મોલની સંખ્યા છે,$R$ એ સાર્વત્રિક વાયુ અચળાંક છે અને $T$ એ કેલ્વિનમાં નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે: $n = 3$,$T = 27^{\circ} C = 27 + 273 = 300 \ K$,અને $U = 2250 R$.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$2250 R = \frac{f}{2} \times 3 \times R \times 300$
$2250 = \frac{f}{2} \times 900$
$2250 = f \times 450$
$f = \frac{2250}{450} = 5$.
તેથી,વાયુની મુક્તિની માત્રા $5$ છે.

(C) એક-પરમાણ્વીય અણુ,જેમ કે હિલિયમ અથવા નિયોન,એક જ પરમાણુનો બનેલો હોય છે.
તે બિંદુવત દળ હોવાથી,તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા નગણ્ય $(I \approx 0)$ હોય છે.
તેથી,તે ચાકગતિ ઉર્જા ધરાવી શકતું નથી.
પરિણામે,એક-પરમાણ્વીય અણુ માટે ચાકગતિની મુક્તિની માત્રા $0$ હોય છે.

(B) ત્રિ-પરિમાણીય અવકાશમાં,એક અણુ પાસે કુલ $3N$ સ્વતંત્રતાના અંશો (degrees of freedom) હોય છે,જ્યાં $N$ એ અણુઓની સંખ્યા છે. દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે,$N = 2$,તેથી કુલ સ્વતંત્રતાના અંશો $3 \times 2 = 6$ થાય છે.
આ $6$ સ્વતંત્રતાના અંશોનું વર્ગીકરણ નીચે મુજબ છે:
$1$. સ્થાનાંતરીય સ્વતંત્રતાના અંશો: $3$ ($x, y,$ અને $z$ અક્ષોની દિશામાં).
$2$. ભ્રમણીય સ્વતંત્રતાના અંશો: $2$ (રેખીય દ્વિપરમાણ્વીય અણુ માટે).
$3$. કંપનશીલ સ્વતંત્રતાના અંશો: બાકી રહેલા સ્વતંત્રતાના અંશોની ગણતરી $6 - (3 + 2) = 1$ તરીકે કરવામાં આવે છે.
તેથી,દ્વિપરમાણ્વીય અણુ પાસે $1$ કંપનશીલ સ્વતંત્રતાનો અંશ હોય છે.

(C) દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ બે અણુઓનો બનેલો હોય છે જે એક સખત બંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે.
તે બે અક્ષો પર ફરી શકે છે જે બે અણુઓને જોડતી રેખાને લંબ હોય છે.
બે અણુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ પરનું પરિભ્રમણ શાસ્ત્રીય ગતિવાદમાં અવગણવામાં આવે છે કારણ કે આ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા (moment of inertia) નહિવત હોય છે.
તેથી,દ્વિ-પરમાણ્વીય અણુ પાસે $2$ પરિભ્રમણીય મુક્તિના અંશો હોય છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વિશિષ્ટ ઉષ્માનો ગુણોત્તર $\gamma = \frac{C_p}{C_V}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આદર્શ વાયુ માટે,અચળ કદ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_V = \frac{f}{2}R$ છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશ (degree of freedom) છે.
મેયરના સંબંધનો ઉપયોગ કરતા,અચળ દબાણ પર મોલર વિશિષ્ટ ઉષ્મા $C_p = C_V + R = \frac{f}{2}R + R = \frac{f+2}{2}R$ થાય છે.
આ કિંમતોને $\gamma$ ના સૂત્રમાં મૂકતા:
$\gamma = \frac{C_p}{C_V} = \frac{\frac{f+2}{2}R}{\frac{f}{2}R} = \frac{f+2}{f}$.
$f$ માટે સમીકરણને ફરીથી ગોઠવતા:
$\gamma f = f + 2$
$\gamma f - f = 2$
$f(\gamma - 1) = 2$
$f = \frac{2}{\gamma - 1}$.

(C) આપેલ છે: વાયુની ઘનતા,$\rho = \frac{1400}{1089} \ kg/m^3$,ધ્વનિની ઝડપ,$v = 330 \ m/s$,અને પ્રમાણભૂત પરિસ્થિતિમાં,વાયુનું દબાણ,$P = 1 \times 10^5 \ N/m^2$.
વાયુમાં ધ્વનિની ઝડપનું સૂત્ર: $v = \sqrt{\frac{\gamma P}{\rho}}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $v^2 = \frac{\gamma P}{\rho} \implies \gamma = \frac{v^2 \rho}{P}$.
કિંમતો મૂકતા: $\gamma = \frac{(330)^2 \times (1400/1089)}{10^5} = \frac{108900 \times 1400}{10^5 \times 1089} = 1.4$.
આપણે જાણીએ છીએ કે એડિબેટિક ઇન્ડેક્સ $\gamma$ અને મુક્તિની માત્રા $f$ વચ્ચેનો સંબંધ: $\gamma = 1 + \frac{2}{f}$.
$\gamma = 1.4$ મૂકતા: $1.4 = 1 + \frac{2}{f} \implies 0.4 = \frac{2}{f} \implies f = \frac{2}{0.4} = 5$.
આમ,મુક્તિની માત્રા $5$ છે.

(B) $f$ મુક્તિની માત્રા ધરાવતા ગેસના અણુની આંતરિક ઉર્જા $U = \frac{f}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: $f = 6$,$T = 47^{\circ} C = 47 + 273 = 320 \ K$,અને $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \ J \ K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા: $U = \frac{6}{2} \times (1.38 \times 10^{-23}) \times 320 = 3 \times 1.38 \times 320 \times 10^{-23} \ J$.
$U = 1324.8 \times 10^{-23} \ J$.
ઉર્જાને જૂલમાંથી $eV$ માં રૂપાંતરિત કરવા માટે,ઇલેક્ટ્રોનના વીજભાર $(1.6 \times 10^{-19} \ C)$ વડે ભાગો:
$U_{eV} = \frac{1324.8 \times 10^{-23}}{1.6 \times 10^{-19}} \ eV = 828 \times 10^{-4} \ eV$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય વાયુના અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $(f)$ $5$ છે ($3$ સ્થાનાંતરિત અને $2$ ભ્રમણીય).
ઉર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,આદર્શ વાયુના $n$ મોલની આંતરિક ઉર્જા $(U)$ $U = n \cdot \frac{f}{2} RT$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $n = 1$ મોલ અને $f = 5$ આપેલ છે,તેથી સૂત્રમાં આ કિંમતો મૂકતા:
$U = 1 \cdot \frac{5}{2} RT = \frac{5}{2} RT$.
આમ,આંતરિક ઉર્જા $\frac{5}{2} RT$ છે.

(C) ઊર્જાના સમવિભાજનના નિયમ મુજબ,અણુ દીઠ દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી સરેરાશ ગતિઊર્જા $\frac{1}{2} K T$ હોય છે,જ્યાં $K$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
આપેલ છે કે વાયુ $n$ સ્વતંત્રતાના અંશો ધરાવે છે,તેથી અણુ દીઠ કુલ સરેરાશ ગતિઊર્જા એ દરેક સ્વતંત્રતાના અંશ સાથે સંકળાયેલી ગતિઊર્જાનો સરવાળો છે.
તેથી,અણુ દીઠ સરેરાશ ગતિઊર્જા $= n \times (\frac{1}{2} K T) = \frac{n K T}{2}$.

(D) વાયુના અણુની સરેરાશ ગતિઊર્જા $K = \frac{f}{2} k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $f$ એ મુક્તિના અંશો (degrees of freedom) છે,$k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે અને $T$ એ નિરપેક્ષ તાપમાન છે.
$NTP$ (નીચા તાપમાન) પર દ્વિ-પરમાણ્વિક વાયુના અણુ માટે,મુક્તિના અંશો $f_1 = 5$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય) હોય છે.
ઊંચા તાપમાને,કંપન મોડ પણ સક્રિય થાય છે,તેથી મુક્તિના અંશો $f_2 = 7$ ($3$ સ્થાનાંતરિત + $2$ ભ્રમણીય + $2$ કંપન) થાય છે.
ઊર્જા અવસ્થાઓની સરખામણી માટે તાપમાન $T$ સમાન છે તેમ ધારતા,ઊંચા તાપમાને ગતિઊર્જા અને $NTP$ એ ગતિઊર્જાનો ગુણોત્તર $\frac{K_{high}}{K_{NTP}} = \frac{f_2}{f_1} = \frac{7}{5}$ મળે છે.

(A) ઉર્જાના સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,સખત દ્વિપરમાણ્વીય અણુની ચાકગતિ ઉર્જા $\frac{1}{2} I \omega^2 = k_B T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $k_B$ એ બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે.
આમ,rms કોણીય ઝડપ $\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{I}}$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ છે: $T = 87^{\circ} C = 87 + 273 = 360 \text{ K}$,$I = 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg} \cdot m^2$,અને $k_B = 1.38 \times 10^{-23} \text{ J} \cdot K^{-1}$.
કિંમતો મૂકતા:
$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 360}{2.76 \times 10^{-46}}}$
$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2.76 \times 10^{-23} \times 360}{2.76 \times 10^{-46}}}$
$\omega_{rms} = \sqrt{360 \times 10^{23}} = \sqrt{36 \times 10^{24}} = 6 \times 10^{12} \text{ rad} \cdot s^{-1}$.

(A) દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વિક અણુ માટે,ચાકગતિ ઉર્જા બે મુક્તિના અંશો સાથે સંકળાયેલી છે. ઉર્જાના સમવિભાજનના પ્રમેય મુજબ,સરેરાશ ચાકગતિ ઉર્જા $K.E. = 2 \times (\frac{1}{2} k_B T) = k_B T$ છે.
આપેલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 2.76 \times 10^{-39} \text{ g cm}^2 = 2.76 \times 10^{-46} \text{ kg m}^2$.
તાપમાન $T = 87 + 273 = 360 \text{ K}$.
ચાકગતિ ઉર્જાને $\frac{1}{2} I \omega_{rms}^2$ સાથે સરખાવતા:
$k_B T = \frac{1}{2} I \omega_{rms}^2$
$\omega_{rms} = \sqrt{\frac{2 k_B T}{I}} = \sqrt{\frac{2 \times 1.38 \times 10^{-23} \times 360}{2.76 \times 10^{-46}}} = \sqrt{36 \times 10^{24}} = 6 \times 10^{12} \text{ rad s}^{-1}$.

(D) કોઈપણ વાયુ અણુ માટે,સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો હંમેશા $3$ હોય છે ($x, y,$ અને $z$ અક્ષ પર).
રેખીય બહુપરમાણ્વીય અણુ માટે,ભ્રમણીય મુક્તિના અંશો $2$ હોય છે (આણ્વિક અક્ષને લંબ બે અક્ષો પર ભ્રમણ).
તેથી,સ્થાનાંતરિત મુક્તિના અંશો અને ભ્રમણીય મુક્તિના અંશોનો ગુણોત્તર $3:2$ છે.

(C) એક દ્રઢ દ્વિપરમાણ્વીય અણુ બે પરમાણુઓનો બનેલો હોય છે જે એક દ્રઢ બંધ દ્વારા જોડાયેલા હોય છે,જેને ડમ્બેલ તરીકે દર્શાવી શકાય છે.
આવો અણુ આંતર-પરમાણ્વીય અક્ષ (બે પરમાણુઓમાંથી પસાર થતી અક્ષ) ને લંબ એવી બે અક્ષો પર ભ્રમણ કરી શકે છે.
આંતર-પરમાણ્વીય અક્ષ (આકૃતિમાં $X$-અક્ષ) ની આસપાસનું ભ્રમણ ભ્રમણીય ગતિઊર્જામાં ફાળો આપતું નથી કારણ કે આ અક્ષની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા નગણ્ય હોય છે.
તેથી,અણુ પાસે માત્ર $2$ ભ્રમણીય મુક્તિની માત્રાઓ હોય છે.