Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Hindi

(NONE) मान लीजिए कि बड़े बुलबुले पर आवेश $Q$ है और इसकी त्रिज्या $R$ है। आवेश घनत्व $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$ है।
आवेशित बुलबुले पर प्रति इकाई क्षेत्रफल यांत्रिक बल (स्थिर-विद्युत दबाव) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$ द्वारा दिया जाता है।
जब बुलबुला $64$ छोटे बुलबुलों में टूटता है,तो आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R = 4r$ प्राप्त होता है।
कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है,इसलिए प्रत्येक छोटे बुलबुले पर आवेश $q = \frac{Q}{64}$ है।
छोटे बुलबुले पर स्थिर-विद्युत दबाव $p = \frac{q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{(Q/64)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 (R/4)^4} = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4} \times \frac{256}{4096} = P \times \frac{1}{16}$ होता है।
अतः,बड़े बुलबुले के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर यांत्रिक बल और छोटे बुलबुले के प्रति इकाई क्षेत्रफल पर यांत्रिक बल का अनुपात $P/p = 16:1$ है।

(D) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = 4T/R$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
मान लीजिए $R_1$ और $R_2$ क्रमशः पहले और दूसरे साबुन के बुलबुले की त्रिज्याएँ हैं।
दिया गया है कि पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव दूसरे बुलबुले में अतिरिक्त दबाव का $1.5$ गुना है:
$P_1 = 1.5 P_2$
$\frac{4T}{R_1} = 1.5 \times \frac{4T}{R_2}$
$\frac{1}{R_1} = \frac{3}{2R_2} \implies R_2 = 1.5 R_1 = \frac{3}{2} R_1$
साबुन के बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ होता है।
$V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ और $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
दिया गया है $V_2 = x V_1$,इसलिए:
$x = \frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^3 = \left( \frac{3}{2} \right)^3 = \frac{27}{8}$.

(A) बड़ी बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $R^3 = n r^3$ या $n = \frac{R^3}{r^3}$।
बड़ी बूंद का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$ है।
$n$ छोटी बूंदों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = n \cdot 4 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$ है।
$n = \frac{R^3}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta A = \left(\frac{R^3}{r^3}\right) 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r}\right) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$।
आवश्यक ऊर्जा $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 \left(\frac{R}{r} - 1\right)$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
यह दिया गया है कि पहले बुलबुले का अतिरिक्त दबाव $(P_1)$ दूसरे बुलबुले $(P_2)$ के दबाव का तीन गुना है,इसलिए $P_1 = 3P_2$ है।
अतिरिक्त दबाव का सूत्र रखने पर: $\frac{4T}{r_1} = 3 \times \frac{4T}{r_2}$।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_2 = 3r_1$ या $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_1^3}{\frac{4}{3}\pi r_2^3} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3$ है।
त्रिज्या का अनुपात रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^3 = \frac{1}{27}$।
अतः,आयतन का अनुपात $1: 27$ है।

(D) बड़ी बूंद का आयतन $216$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है।
$V_{large} = 216 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 216 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 216 r^3$
$R = 6r \implies r = \frac{R}{6}$
आवश्यक ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है।
$E = T \times (A_{final} - A_{initial})$
$A_{initial} = 4 \pi R^2$
$A_{final} = 216 \times (4 \pi r^2) = 216 \times 4 \pi \left(\frac{R}{6}\right)^2 = 216 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{36} = 6 \times 4 \pi R^2 = 24 \pi R^2$
$E = T \times (24 \pi R^2 - 4 \pi R^2) = T \times 20 \pi R^2$
इसकी तुलना $x \times T \times R^2$ से करने पर, हमें $x = 20 \pi$ प्राप्त होता है।

(A) जब $R_1, R_2$ और $R_3$ त्रिज्या वाली पारे की तीन बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो कुल आयतन संरक्षित रहता है क्योंकि पारे का घनत्व स्थिर होता है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ द्वारा दिया जाता है।
तीन छोटी बूंदों के आयतन के योग को बड़ी बूंद के आयतन के बराबर करने पर:
$\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 + \frac{4}{3}\pi R_3^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3}\pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R_1^3 + R_2^3 + R_3^3 = R^3$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = (R_1^3 + R_2^3 + R_3^3)^{\frac{1}{3}}$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(C) साबुन के बुलबुले के लिए,सतह का क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए कुल सतह का क्षेत्रफल $8\pi r^2$ होता है।
समतापीय परिस्थितियों में,हवा की मात्रा (मोलों की संख्या) स्थिर रहती है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $P$ बुलबुले के अंदर का दबाव है,$V$ आयतन है,और $T$ स्थिर है।
$r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $S$ पृष्ठ तनाव है।
आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
अतः,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(P_0 + 4S/r)(4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{4\pi}{3RT} (P_0 r^3 + 4Sr^2)$।
चूंकि मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है: $n_1 + n_2 = n_{final}$।
यदि $P_0$ अतिरिक्त दबाव की तुलना में बहुत बड़ा है,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3}\pi r_1^3 + \frac{4}{3}\pi r_2^3 = \frac{4}{3}\pi R^3$,जिससे $R = (r_1^3 + r_2^3)^{1/3}$ प्राप्त होता है।
हालाँकि,इस प्रकार के मानक भौतिकी प्रश्नों में जहाँ सतह के क्षेत्रफल की ऊर्जा पर विचार किया जाता है,सतह का क्षेत्रफल संरक्षित रहता है: $8\pi r_1^2 + 8\pi r_2^2 = 8\pi R^2$।
इसलिए,$R^2 = r_1^2 + r_2^2$,जिसका अर्थ है $R = (r_1^2 + r_2^2)^{1/2}$।

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। चूँकि आयतन स्थिर रहता है, बड़ी बूंद का आयतन $64$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$r$ के लिए हल करने पर, हमें $R^3 = 64r^3$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $r = \frac{R}{4}$.
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \times \Delta A$, जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi R^2$.
अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = 64 \times (4 \pi r^2) = 64 \times 4 \pi (\frac{R}{4})^2 = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} = 16 \pi R^2$.
क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 16 \pi R^2 - 4 \pi R^2 = 12 \pi R^2$.
अतः, किया गया कार्य $W = T \times 12 \pi R^2 = 12 \pi TR^2$.

(A) माना कि मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,मूल बूंद का आयतन $729$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 729 r^3$
$R = 9r$ या $r = \frac{R}{9}$।
मूल बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $E = T \times 4 \pi R^2$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$729$ छोटी बूंदों की कुल पृष्ठीय ऊर्जा $U = 729 \times (T \times 4 \pi r^2)$ है।
$U$ के व्यंजक में $r = \frac{R}{9}$ रखने पर:
$U = 729 \times T \times 4 \pi \left(\frac{R}{9}\right)^2$
$U = 729 \times T \times 4 \pi \times \frac{R^2}{81}$
$U = 9 \times (T \times 4 \pi R^2) = 9E$।
अतः,$\frac{E}{U} = \frac{E}{9E} = \frac{1}{9}$।
$\frac{E}{U} = \frac{1}{x}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 9$ प्राप्त होता है।

(B) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले $A$ के अंदर का दबाव $P_A = 1.01 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले $B$ के अंदर का दबाव $P_B = 1.02 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले के लिए अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$।
बुलबुले $B$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$।
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,इसलिए $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
अतः,$\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
इस प्रकार,आयतन का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = \left(\frac{2}{1}\right)^3 = \frac{8}{1}$ है।

(A) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \,atm$ है।
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \,atm$।
बुलबुले $B$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \,atm$।
चूँकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, इसलिए $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
अतः, त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$ होगा।

(C) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \text{ atm}$ है।
बुलबुले $A$ के अंदर का दबाव $P_A = 1.01 \text{ atm}$ है।
बुलबुले $B$ के अंदर का दबाव $P_B = 1.02 \text{ atm}$ है।
साबुन के बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले $A$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_A = P_A - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \text{ atm}$।
बुलबुले $B$ के लिए अतिरिक्त दबाव: $\Delta P_B = P_B - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \text{ atm}$।
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,इसलिए $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_A}{r_B} = \frac{\Delta P_B}{\Delta P_A} = \frac{0.02}{0.01} = 2$ है।
गोले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
आयतन का अनुपात $\frac{V_A}{V_B} = \left(\frac{r_A}{r_B}\right)^3 = (2)^3 = 8$ है।
इस प्रकार,अनुपात $8:1$ है।

(D) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बूंद $A$ के लिए,$P_A = \frac{2T}{r_A}$.
बूंद $B$ के लिए,$P_B = \frac{2T}{r_B}$.
दिया गया है कि $P_A = 4P_B$,इसलिए $\frac{2T}{r_A} = 4 \left( \frac{2T}{r_B} \right)$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_A} = \frac{4}{r_B}$,या $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{4}$ प्राप्त होता है।
बूंद का द्रव्यमान $m = V \rho = \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि दोनों पानी की बूंदें हैं,इसलिए घनत्व $\rho$ समान रहेगा।
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_A}{m_B} = \frac{r_A^3}{r_B^3} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^3$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर,$\frac{m_A}{m_B} = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया है कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। मान लीजिए छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। चूंकि कुल आयतन समान रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$\therefore r^3 = \frac{R^3}{64} \implies r = \frac{R}{4}$
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_1 = 4 \pi R^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_2 = 64 \times (4 \pi r^2 T) = 64 \times 4 \pi \times (\frac{R}{4})^2 \times T = 64 \times 4 \pi \times \frac{R^2}{16} \times T = 16 \pi R^2 T$.
किया गया कार्य $W = E_2 - E_1 = 16 \pi R^2 T - 4 \pi R^2 T = 12 \pi R^2 T$.

(C) मान लीजिए $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है और $R$ बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,$n \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$.
अतः,$R = n^{1/3} r$ ... $(i)$.
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा,$E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = nE$ (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है)।
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा,$E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 T = n^{2/3} (4 \pi r^2 T) = n^{2/3} E$.
मुक्त हुई ऊर्जा = $E_1 - E_2 = nE - n^{2/3} E = E(n - n^{2/3})$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_i - P_0 = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
इससे हम देख सकते हैं कि $(P_i - P_0) \propto \frac{1}{R}$,जिसका अर्थ है कि $R \propto \frac{1}{(P_i - P_0)}$.
दो बुलबुलों के लिए,त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{(P_2 - P_0)}{(P_1 - P_0)}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है,इसलिए $V \propto R^3$.
अतः,उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
त्रिज्या का अनुपात प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{P_2 - P_0}{P_1 - P_0} \right)^3$ प्राप्त होता है।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
$8$ छोटी बूंदों का आयतन $=$ बड़ी बूंद का आयतन।
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3 \Rightarrow R = 2r$ या $r = \frac{R}{2}$।
बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
बड़ी बूंद के लिए,$\Delta P_B = \frac{2T}{R}$।
छोटी बूंद के लिए,$\Delta P_s = \frac{2T}{r}$।
अनुपात लेने पर: $\frac{\Delta P_B}{\Delta P_s} = \frac{r}{R} = \frac{r}{2r} = \frac{1}{2}$।
अतः,$\Delta P_B = \frac{1}{2} \Delta P_s$।

(D) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
इससे,हम देखते हैं कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$.
मान लीजिए पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $\Delta P_1$ है और दूसरे बुलबुले में $\Delta P_2$ है। दिया गया है कि $\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$.
इसलिए,$\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$.
चूंकि $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1}$,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = 3$,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $V \propto r^3$.
आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर,$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$.

(B) मूल बूंद का आयतन $n$ छोटी बूंदों के कुल आयतन के बराबर होता है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$r^3 = \frac{R^3}{n} \implies r = \frac{R}{n^{1/3}}$
किया गया कार्य $W$, पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$W = (A_{\text{final}} - A_{\text{initial}}) T$
$W = (n \cdot 4 \pi r^2 - 4 \pi R^2) T$
$r = R \cdot n^{-1/3}$ का मान रखने पर:
$W = (n \cdot 4 \pi (R \cdot n^{-1/3})^2 - 4 \pi R^2) T$
$W = (4 \pi R^2 \cdot n \cdot n^{-2/3} - 4 \pi R^2) T$
$W = 4 \pi R^2 (n^{1/3} - 1) T$

(D) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाली गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए $r_1$ और $r_2$ क्रमशः पहली और दूसरी बूंद की त्रिज्याएँ हैं।
दिया गया है कि पहली बूंद में अतिरिक्त दबाव दूसरी बूंद का तीन गुना है: $P_1 = 3P_2$।
सूत्र का उपयोग करने पर: $\frac{2T}{r_1} = 3 \left( \frac{2T}{r_2} \right)$।
यह सरल होकर $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ हो जाता है,जिसका अर्थ है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$।
बूंद का द्रव्यमान $m = V \rho = \frac{4}{3} \pi r^3 \rho$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है।
चूंकि दोनों बूंदें पानी की हैं,इसलिए घनत्व $\rho$ दोनों के लिए समान है।
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{\frac{4}{3} \pi r_1^3 \rho}{\frac{4}{3} \pi r_2^3 \rho} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर: $\frac{m_1}{m_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$।

(A) माना कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 8r^3$
$R = 2r$
पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_1 = 8 \times (T \times 4 \pi r^2) = 32 \pi r^2 T$.
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_2 = T \times 4 \pi R^2 = T \times 4 \pi (2r)^2 = 16 \pi r^2 T$.
परिवर्तन से पहले और बाद की कुल पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{E_1}{E_2} = \frac{32 \pi r^2 T}{16 \pi r^2 T} = \frac{2}{1}$.
अतः,अनुपात $2: 1$ है।

(C) माना $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं। चूँकि आयतन स्थिर रहता है:
$n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies n = \frac{R^3}{r^3}$.
पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi R^3 \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
मुक्त ऊर्जा $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi R^3 T \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
उत्पन्न ऊष्मा $Q = \frac{W}{J} = \frac{4 \pi R^3 T}{J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
ऊष्मा $Q = m \cdot s \cdot \Delta \theta$,जहाँ $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot s \cdot \Delta \theta = \frac{4 \pi R^3 T}{J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
अतः,$\Delta \theta = \frac{3T}{\rho s J} \left(\frac{1}{r} - \frac{1}{R}\right)$.
इस प्रकार,विकल्प $C$ सही उत्तर है।

(C) चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,बुलबुलों के अंदर हवा के मोलों की संख्या स्थिर रहती है। $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि $T$ और $R$ स्थिर हैं,हमें $PV \propto n$ प्राप्त होता है। चूंकि $n$ संरक्षित है,इसलिए दो बुलबुलों के लिए दबाव और आयतन के गुणनफल का योग अंतिम बुलबुले के दबाव और आयतन के गुणनफल के बराबर होता है:
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_3 V_3$
$P = \frac{4T}{r}$ और $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{4T}{a}\right) \left(\frac{4}{3}\pi a^3\right) + \left(\frac{4T}{b}\right) \left(\frac{4}{3}\pi b^3\right) = \left(\frac{4T}{c}\right) \left(\frac{4}{3}\pi c^3\right)$
समीकरण को सरल करने पर:
$a^2 + b^2 = c^2$
अतः,परिणामी बुलबुले की त्रिज्या $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ है।

(A) समतापीय प्रक्रिया में,तापमान $T$ स्थिर रहता है। साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4\sigma}{r}$ होता है,जहाँ $P_0$ बाहरी दबाव है। निर्वात में,$P_0 = 0$ होता है,इसलिए $P = \frac{4\sigma}{r}$।
समतापीय प्रक्रिया के लिए,गैस के मोलों की संख्या $n = \frac{PV}{RT}$ द्वारा दी जाती है।
$P = \frac{4\sigma}{r}$ और $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$n = \frac{(4\sigma/r) \cdot (4/3)\pi r^3}{RT} = \frac{16\pi\sigma}{3RT} r^2$।
चूंकि $n \propto r^2$,जब दो बुलबुले आपस में मिलते हैं,तो मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है:
$n_{total} = n_1 + n_2 \implies R^2 = r_1^2 + r_2^2$।
अतः,परिणामी बुलबुले की त्रिज्या $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$ होगी।

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है, क्योंकि साबुन के बुलबुले में दो तरल-गैस इंटरफेस होते हैं।
$h$ ऊँचाई के पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho h g$ द्वारा दिया जाता है।
यह दिया गया है कि अतिरिक्त दबाव पानी के स्तंभ के दबाव के बराबर है, इसलिए $\frac{4T}{r} = \rho h g$ है।
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $T = \frac{r \rho h g}{4}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $r = 3 \,mm = 3 \times 10^{-3} \,m$, $h = 0.8 \,cm = 8 \times 10^{-3} \,m$, $\rho = 1000 \,kg/m^3$, और $g = 9.8 \,m/s^2$।
$T = \frac{(3 \times 10^{-3} \,m) \times (1000 \,kg/m^3) \times (8 \times 10^{-3} \,m) \times (9.8 \,m/s^2)}{4}$।
$T = \frac{3 \times 10^{-3} \times 10^3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m$।
$T = \frac{3 \times 8 \times 10^{-3} \times 9.8}{4} \,N/m = 6 \times 9.8 \times 10^{-3} \,N/m = 58.8 \times 10^{-3} \,N/m$।

(A) मान लीजिए कि द्रव कांच की प्लेटों को पूरी तरह से गीला करता है।
द्रव की वक्र सतह पर दबाव का अंतर (लाप्लास दबाव) $\Delta P = \frac{T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है।
यह दबाव अंतर प्लेटों के बीच एक आकर्षण बल पैदा करता है,जो $F = \Delta P \cdot A = \frac{T}{R} \cdot A$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\frac{T}{R} = \frac{F}{A} \quad \dots(1)$
यह मानते हुए कि द्रव $d$ मोटाई और $A$ क्षेत्रफल की एक पतली बेलनाकार परत बनाता है,आयतन $V = A \cdot d$ है।
$R$ वक्रता त्रिज्या वाले मेनिस्कस के लिए,परत की मोटाई $d = 2R$ है,इसलिए $V = A(2R)$।
अतः,$R = \frac{V}{2A} \quad \dots(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\frac{T}{(V / 2A)} = \frac{F}{A}$
$T = \frac{F \cdot V}{2A^2}$

(C) पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $E = T(\Delta A)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
प्रारंभिक पृष्ठ क्षेत्रफल $A_i = n(4\pi r^2)$ और अंतिम पृष्ठ क्षेत्रफल $A_f = 4\pi R^2$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,$n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,जिसका अर्थ है $n = \frac{R^3}{r^3}$।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_i - A_f = 4\pi(nr^2 - R^2)$ है।
$n = \frac{R^3}{r^3}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta A = 4\pi(\frac{R^3}{r} - R^2) = 4\pi R^3(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $V = \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $4\pi R^3 = 3V$ है।
अतः,$\Delta A = 3V(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$।
चूंकि $r < R$,$\Delta A > 0$ पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी को दर्शाता है,जिसका अर्थ है कि ऊर्जा मुक्त होती है।
इसलिए,$E = 3VT(\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$ ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) $r$ त्रिज्या वाली तरल बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2\sigma}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है कि एक छोटी बूंद के लिए, अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{2\sigma}{r} = 9$ इकाई है।
जब $27$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$V_{big} = 27 \times V_{small}$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27r^3 \implies R = 3r$।
बड़ी बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $P_B = \frac{2\sigma}{R}$ है।
$R = 3r$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_B = \frac{2\sigma}{3r} = \frac{1}{3} \left( \frac{2\sigma}{r} \right) = \frac{1}{3} \times 9 = 3$ इकाई।

(A) दिया गया है:
अतिरिक्त दबाव,$\Delta P = 50 \ dyne/cm^2$
त्रिज्या,$r = 2 \ cm$
साबुन के बुलबुले के लिए,तरल-वायु इंटरफ़ेस दो बार पार किया जाता है,इसलिए अतिरिक्त दबाव का सूत्र है:
$\Delta P = \frac{4T}{r}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$T$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$T = \frac{\Delta P \times r}{4}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$T = \frac{50 \ dyne/cm^2 \times 2 \ cm}{4} = \frac{100}{4} \ dyne/cm = 25 \ dyne/cm$

(D) चूंकि प्रक्रिया समतापीय स्थितियों में होती है और पारे का कुल द्रव्यमान स्थिर रहता है,इसलिए दो बूंदों का कुल आयतन बनने वाली एक बड़ी बूंद के आयतन के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए कि पहली बूंद का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ है और दूसरी बूंद का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ है।
परिणामी बड़ी बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
आयतन संरक्षण के सिद्धांत के अनुसार: $V = V_1 + V_2$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$.
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $R^3 = R_1^3 + R_2^3$.

(B) पानी की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव का सूत्र है: $P = \frac{2T}{R}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है।
दिया गया है:
अतिरिक्त दबाव $P = 72 \ Nm^{-2}$
पृष्ठ तनाव $T = 7.2 \times 10^{-2} \ Nm^{-1}$
सूत्र में मान रखने पर:
$72 = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{R}$
$R = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{72}$
$R = \frac{14.4 \times 10^{-2}}{72}$
$R = 0.2 \times 10^{-2} \ m = 2 \times 10^{-3} \ m$
चूँकि $1 \ mm = 10^{-3} \ m$,इसलिए $R = 2 \ mm$।

(B) जब पारे की दो बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो पारे का कुल आयतन संरक्षित रहता है।
मान लीजिए $R$ परिणामी बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
पहली बूंद का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi R_1^3$ है।
दूसरी बूंद का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi R_2^3$ है।
परिणामी बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है।
चूंकि कुल आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए $V = V_1 + V_2$ होगा।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = \frac{4}{3} \pi R_1^3 + \frac{4}{3} \pi R_2^3$।
दोनों पक्षों को $\frac{4}{3} \pi$ से विभाजित करने पर,हमें $R^3 = R_1^3 + R_2^3$ प्राप्त होता है।
अतः,परिणामी बूंद की त्रिज्या $R = (R_1^3 + R_2^3)^{1/3}$ है।

(B) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव (excess pressure) $P_{excess} = \frac{4T}{R}$ सूत्र द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि बुलबुले के अंदर का कुल दबाव $P_{in} = P_{atm} + P_{excess} = P_{atm} + \frac{4T}{R}$ होता है, यह स्पष्ट है कि बुलबुले के अंदर का दबाव उसकी त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
जब त्रिज्या $R$ से बढ़कर $2R$ हो जाती है, तो अतिरिक्त दबाव कम हो जाता है।
इसलिए, बुलबुले के अंदर का कुल दबाव घट जाता है।

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है:
$8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$
$8r^3 = R^3$
$2r = R \implies r = \frac{R}{2}$
बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
छोटी बूंद के लिए: $\Delta P_{S} = \frac{2T}{r}$
बड़ी बूंद के लिए: $\Delta P_{B} = \frac{2T}{R}$
अनुपात लेने पर:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{2T/R}{2T/r} = \frac{r}{R}$
$r = \frac{R}{2}$ रखने पर:
$\frac{\Delta P_{B}}{\Delta P_{S}} = \frac{R/2}{R} = \frac{1}{2}$
अतः,$\Delta P_{B} = \frac{1}{2} \Delta P_{S}$।

(C) साबुन के बुलबुले के लिए, अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ होता है। अंदर का कुल दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ है।
समतापीय स्थितियों में, हवा के मोलों की संख्या $n$ संरक्षित रहती है, और $PV = nR_g\theta$ (जहाँ $R_g$ गैस नियतांक है)।
पहले बुलबुले के लिए: $(P + \frac{4T}{r_1}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_1^3 = n_1 R_g \theta$.
दूसरे बुलबुले के लिए: $(P + \frac{4T}{r_2}) \cdot \frac{4}{3}\pi r_2^3 = n_2 R_g \theta$.
संयुक्त बुलबुले के लिए: $(P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3 = (n_1 + n_2) R_g \theta$.
$n_1$ और $n_2$ के मान प्रतिस्थापित करने पर:
$(P + \frac{4T}{R}) R^3 = (P + \frac{4T}{r_1}) r_1^3 + (P + \frac{4T}{r_2}) r_2^3$.
$PR^3 + 4TR^2 = Pr_1^3 + 4Tr_1^2 + Pr_2^3 + 4Tr_2^2$.
$P(R^3 - r_1^3 - r_2^3) = 4T(r_1^2 + r_2^2 - R^2)$.
$T = \frac{P(R^3 - r_1^3 - r_2^3)}{4(r_1^2 + r_2^2 - R^2)}$.

(A) दिया गया है,घन का किनारा $x = 1 \ cm$ है।
घन का आयतन $V = x^3 = (1 \ cm)^3 = 1 \ cm^3$ है।
चूंकि बर्फ गुरुत्वाकर्षण-मुक्त कंटेनर में पिघलती है,इसलिए पानी एक गोलाकार बूंद का रूप ले लेता है।
गोलाकार बूंद का आयतन = घन का आयतन = $1 \ cm^3$।
माना गोलाकार बूंद की त्रिज्या $r$ है।
$\frac{4}{3} \pi r^3 = 1 \implies r^3 = \frac{3}{4 \pi} \implies r = \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{1/3}$।
गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
$A = 4 \pi \left(\frac{3}{4 \pi}\right)^{2/3} = 4 \pi \frac{3^{2/3}}{(4 \pi)^{2/3}}$।
$A = (4 \pi)^{1/3} \times (3^2)^{1/3} = (4 \pi \times 9)^{1/3} = (36 \pi)^{1/3} \ cm^2$।

(B) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{i} - P_{0} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $P_{0} = 1 \, atm$, तो अतिरिक्त दबाव हैं:
$\Delta P_{1} = 1.01 \, atm - 1 \, atm = 0.01 \, atm$
$\Delta P_{2} = 1.03 \, atm - 1 \, atm = 0.03 \, atm$
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$, इसलिए $\frac{\Delta P_{1}}{\Delta P_{2}} = \frac{r_{2}}{r_{1}}$.
मान रखने पर: $\frac{r_{2}}{r_{1}} = \frac{0.03}{0.01} = 3$.
आयतन का अनुपात $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3}\pi r_{1}^{3}}{\frac{4}{3}\pi r_{2}^{3}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{3}$ है।
चूंकि $\frac{r_{2}}{r_{1}} = 3$, इसलिए $\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{1}{3}$.
अतः, $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \left(\frac{1}{3}\right)^{3} = \frac{1}{27}$.
इस प्रकार, उनके आयतन का अनुपात $V_{1}:V_{2} = 1:27$ या $V_{2}:V_{1} = 27:1$ है।

(A) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R'$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R'^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi R^3$
$R'^3 = 2 R^3 \implies R' = 2^{1/3} R$
परिवर्तन से पहले कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_i)$ = $2 \times (4 \pi R^2 T)$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
परिवर्तन के बाद कुल पृष्ठीय ऊर्जा $(E_f)$ = $4 \pi R'^2 T$.
पृष्ठीय ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_i}{E_f} = \frac{2 \times 4 \pi R^2 T}{4 \pi R'^2 T} = \frac{2 R^2}{R'^2}$ है।
$R' = 2^{1/3} R$ का मान रखने पर:
अनुपात = $\frac{2 R^2}{(2^{1/3} R)^2} = \frac{2 R^2}{2^{2/3} R^2} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$.
अतः,अनुपात $2^{1/3} : 1$ है।

(C) समतापीय स्थितियों में,तापमान और पृष्ठ तनाव $T$ स्थिर रहते हैं। जब दो साबुन के बुलबुले मिलकर एक बड़ा बुलबुला बनाते हैं,तो कुल पृष्ठ ऊर्जा संरक्षित रहती है। साबुन के बुलबुले की दो सतहें होती हैं,इसलिए इसकी पृष्ठ ऊर्जा $U = 2 \times (4\pi r^{2}T) = 8\pi r^{2}T$ होती है।
प्रारंभिक और अंतिम पृष्ठ ऊर्जा को बराबर करने पर: $8\pi r^{2}T = 8\pi r_{1}^{2}T + 8\pi r_{2}^{2}T$.
$8\pi T$ से विभाजित करने पर,हमें $r^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,बड़े बुलबुले की त्रिज्या $r = (r_{1}^{2} + r_{2}^{2})^{1/2}$ है।

(C) बूंद के टूटने की प्रक्रिया के दौरान पारे का कुल आयतन स्थिर रहता है।
बड़ी बूंद का आयतन = $n \times$ एक छोटी बूंद का आयतन।
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \times \frac{4}{3} \pi r^{3}$
दोनों पक्षों से $\frac{4}{3} \pi$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$R^{3} = n r^{3}$
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर:
$R = n^{\frac{1}{3}} r$
अतः,प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है:
$r = \frac{R}{n^{\frac{1}{3}}}$

(B) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं। यहाँ,$n = 2$ है।
आयतन संरक्षण के नियम से: $n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$n = 2$ रखने पर: $2r^3 = R^3$,जिससे $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
पृष्ठ ऊर्जा $E$ को $E = T \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_1 = n \times (4 \pi r^2 T) = 2 \times 4 \pi r^2 T = 8 \pi r^2 T$।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_2 = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$।
परिवर्तन के बाद और पहले की कुल पृष्ठ ऊर्जाओं का अनुपात $\frac{E_2}{E_1} = \frac{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T}{8 \pi r^2 T} = \frac{2^{2/3}}{2} = 2^{2/3 - 1} = 2^{-1/3}$ है।
अतः,अनुपात $2^{-1/3} : 1$ है।

(C) $r$ त्रिज्या वाली गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $p = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि पहली बूंद का अतिरिक्त दबाव दूसरी बूंद का तीन गुना है,इसलिए $p_1 = 3p_2$.
अतिरिक्त दबाव के सूत्र को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{2T}{r_1} = 3 \times \frac{2T}{r_2}$.
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_1} = \frac{3}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $r_2 = 3r_1$ या $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$.
गोलाकार बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi r^2$ होता है।
उनके पृष्ठीय क्षेत्रफल का अनुपात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{4\pi r_1^2}{4\pi r_2^2} = \left(\frac{r_1}{r_2}\right)^2$ है।
त्रिज्याओं का अनुपात रखने पर: $\frac{A_1}{A_2} = \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{9}$.

(D) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
यह दिया गया है कि पहले बुलबुले $(P_{1})$ में अतिरिक्त दबाव दूसरे बुलबुले $(P_{2})$ के दबाव का दोगुना है,इसलिए $P_{1} = 2P_{2}$ है।
अतिरिक्त दबाव का सूत्र रखने पर: $\frac{4T}{R_{1}} = 2 \times \frac{4T}{R_{2}}$।
इसे सरल करने पर,हमें $\frac{1}{R_{1}} = \frac{2}{R_{2}}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{R_{2}}{R_{1}} = 2$ या $R_{2} = 2R_{1}$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ द्वारा दिया जाता है।
आयतन का अनुपात $\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{\frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}}{\frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}} = \left( \frac{R_{1}}{R_{2}} \right)^{3}$ है।
चूंकि $\frac{R_{1}}{R_{2}} = \frac{1}{2}$ है,इसलिए आयतन का अनुपात $\left( \frac{1}{2} \right)^{3} = \frac{1}{8}$ है।

(D) जब पारे की दो बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो पारे का कुल आयतन संरक्षित रहता है।
मान लीजिए कि $R$ परिणामी बड़ी बूंद की त्रिज्या है।
पहली बूंद का आयतन $V_{1} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3}$ है।
दूसरी बूंद का आयतन $V_{2} = \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$ है।
परिणामी बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^{3}$ है।
चूंकि कुल आयतन संरक्षित है,इसलिए $V = V_{1} + V_{2}$।
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = \frac{4}{3} \pi R_{1}^{3} + \frac{4}{3} \pi R_{2}^{3}$।
दोनों पक्षों से $\frac{4}{3} \pi$ को हटाने पर,हमें $R^{3} = R_{1}^{3} + R_{2}^{3}$ प्राप्त होता है।
अतः,$R = (R_{1}^{3} + R_{2}^{3})^{\frac{1}{3}}$।

(C) $r$ त्रिज्या वाली द्रव की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r} = 9$ इकाई है।
मान लीजिए कि छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
जब $27$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं, तो आयतन संरक्षित रहता है:
$27 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$27 r^3 = R^3$
दोनों तरफ घनमूल लेने पर, हमें $R = 3r$ प्राप्त होता है।
बड़ी बूंद के अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P' = \frac{2T}{R} = \frac{2T}{3r}$ होगा।
चूंकि $\frac{2T}{r} = 9$ है, इसलिए मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\Delta P' = \frac{9}{3} = 3$ इकाई।

(A) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि पारे का आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन दो छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3} r$
दो छोटी बूंदों की प्रारंभिक कुल पृष्ठीय ऊर्जा $E_i$ है:
$E_i = 2 \times (4 \pi r^2 T) = 8 \pi r^2 T$
एक बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $E_f$ है:
$E_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 T = 4 \pi (2^{2/3} r^2) T = 4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T$
परिवर्तन से पहले और बाद की कुल पृष्ठीय ऊर्जाओं का अनुपात है:
$\frac{E_i}{E_f} = \frac{8 \pi r^2 T}{4 \times 2^{2/3} \pi r^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3} = 2^{1/3} : 1$

(A) $R$ त्रिज्या की एक गोलाकार तरल बूंद पर पृष्ठ तनाव $(T)$ के कारण अतिरिक्त दबाव $(p)$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$p = \frac{2T}{R}$
यहाँ,$T$ तरल का पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि अतिरिक्त दबाव बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
अतः,$p \propto \frac{1}{R}$ या $p \propto R^{-1}$।

(D) बड़े बुलबुले का आयतन $27$ छोटे बुलबुलों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
दोनों तरफ घनमूल लेने पर: $R = 3r$.
आवेशित साबुन के बुलबुले पर प्रति इकाई क्षेत्रफल यांत्रिक बल (स्थिर-वैद्युत दबाव) $P = \frac{\sigma^2}{2\epsilon_0}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\sigma = \frac{Q}{4\pi R^2}$.
चूंकि कुल आवेश $Q$ संरक्षित रहता है,इसलिए पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma \propto \frac{1}{R^2}$.
अतः,दबाव $P \propto \frac{1}{R^4}$.
बड़े बुलबुले के लिए: $P_B = \frac{Q^2}{32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
छोटे बुलबुले के लिए: $q = Q/27$,इसलिए $P_S = \frac{(Q/27)^2}{32\pi^2 \epsilon_0 r^4} = \frac{Q^2}{729 \times 32\pi^2 \epsilon_0 (R/3)^4} = \frac{Q^2}{9 \times 32\pi^2 \epsilon_0 R^4}$.
अतः,अनुपात $\frac{P_B}{P_S} = \frac{1/R^4}{1/(9R^4)} = 9/1$.

(B) जब $R$ त्रिज्या की एक बूंद $n$ छोटी बूंदों (प्रत्येक की त्रिज्या $r$) में विभाजित होती है,तो द्रव का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है। इसलिए,पृष्ठ तनाव के विरुद्ध कार्य करना पड़ता है। चूंकि द्रव का आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^{3} = n \left( \frac{4}{3} \pi r^{3} \right) \implies R^{3} = n r^{3} \implies r = R n^{-1/3}$.
ऊर्जा में परिवर्तन (किया गया कार्य) $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है।
$W = T [n(4 \pi r^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$r = R n^{-1/3}$ रखने पर:
$W = T [n(4 \pi (R n^{-1/3})^{2}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = T [4 \pi R^{2} n (n^{-2/3}) - 4 \pi R^{2}]$
$W = 4 \pi R^{2} T [n^{1/3} - 1]$.