Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Hindi

(C) समतापीय स्थितियों में,तापमान $T$ स्थिर रहता है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,बुलबुलों के अंदर हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है।
मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $S$ पृष्ठ तनाव है।
छोटे बुलबुलों के लिए,$P \approx \frac{4S}{r}$।
$PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,स्थिर $T$ और $n$ के लिए,$PV$ स्थिर रहता है।
$P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$
$\left(\frac{4S}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4S}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right) = \left(\frac{4S}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right)$
$\frac{16}{3} \pi S r_1^2 + \frac{16}{3} \pi S r_2^2 = \frac{16}{3} \pi S R^2$
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$
$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$

(C) जब दो बूंदें मिलती हैं तो द्रव का आयतन स्थिर रहता है। मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
दो छोटी बूंदों का आयतन = बड़ी बूंद का आयतन
$2 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 2r^3 \implies R = 2^{1/3} r$
पृष्ठ ऊर्जा $W$ को $W = T \times A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठ क्षेत्रफल है।
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा,$W_1 = T \times (4 \pi R^2) = 4 \pi T (2^{1/3} r)^2 = 2^{2/3} (4 \pi r^2 T)$.
एक छोटी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा,$W_2 = T \times (4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 T$.
बड़ी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा और छोटी बूंद की पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात है:
$\frac{W_1}{W_2} = \frac{2^{2/3} (4 \pi r^2 T)}{4 \pi r^2 T} = 2^{2/3} : 1$.

(A) जब साबुन के बुलबुले को आवेशित किया जाता है,तो आवेश उसकी सतह पर समान रूप से वितरित हो जाता है।
सतह पर समान आवेशों के बीच स्थिर-वैद्युत प्रतिकर्षण के कारण,बुलबुले पर बाहर की ओर एक दबाव कार्य करता है।
यह अतिरिक्त बाहरी दबाव उसी दिशा में कार्य करता है जिस दिशा में बुलबुले के अंदर की हवा का दबाव होता है।
परिणामस्वरूप,इन बलों को संतुलित करने के लिए बुलबुला फैलता है,जिससे इसकी त्रिज्या बढ़ जाती है।

(D) पृष्ठ तनाव के कारण साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p_i = \frac{4S}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
जब बुलबुले को आवेशित किया जाता है,तो इसकी सतह पर बाहर की ओर एक स्थिर-विद्युत दबाव लगता है,जो $p_e = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ है,जहाँ $\sigma$ सतह आवेश घनत्व है।
आवेशित गोलाकार बुलबुले का विद्युत विभव $V = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_0 r}$ होता है। चूँकि $Q = \sigma(4\pi r^2)$,इसलिए $V = \frac{\sigma r}{\varepsilon_0}$,जिसका अर्थ है $\sigma = \frac{\varepsilon_0 V}{r}$।
स्थिर-विद्युत दबाव के सूत्र में $\sigma$ का मान रखने पर: $p_e = \frac{(\varepsilon_0 V / r)^2}{2\varepsilon_0} = \frac{\varepsilon_0 V^2}{2r^2}$।
बुलबुले के अंदर का दबाव बाहर के दबाव के बराबर होने के लिए,पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव को स्थिर-विद्युत दबाव द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए: $\frac{4S}{r} = \frac{\varepsilon_0 V^2}{2r^2}$।
$V$ के लिए हल करने पर: $V^2 = \frac{8Sr}{\varepsilon_0} \Rightarrow V = \sqrt{\frac{8Sr}{\varepsilon_0}}$।

(B) मान लीजिए $P_1$ और $V_1$ तल पर बुलबुले का दबाव और आयतन हैं,और $P_2$ और $V_2$ ऊपरी सतह पर दबाव और आयतन हैं।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
तल पर दबाव $P_1 = P_{atm} + h \rho g = 10 \ m + 7.28 \ m = 17.28 \ m$ पानी के बराबर है।
ऊपरी सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ पानी के बराबर है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$.
इसे बॉयल के नियम में रखने पर: $P_1 r_1^3 = P_2 r_2^3$.
अतः,$\frac{r_1^3}{r_2^3} = \frac{P_2}{P_1} = \frac{10}{17.28} = \frac{1000}{1728}$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $\frac{r_1}{r_2} = \sqrt[3]{\frac{1000}{1728}} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$.
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $5: 6$ है।

(B) साबुन के बुलबुले के लिए,अंदर का अतिरिक्त दबाव $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
बुलबुले के अंदर कुल दबाव $P = P_{atm} + P_{ex}$ है। चूंकि बुलबुले निर्वात में हैं,$P_{atm} = 0$ है।
अतः,$P = \frac{4T}{r}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $n = \frac{m}{M}$ ($m$ हवा का द्रव्यमान है,$M$ हवा का मोलर द्रव्यमान है),हमें $P = \frac{mRT}{MV}$ प्राप्त होता है।
$P = \frac{4T}{r}$ और $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{4T}{r} = \frac{mRT}{M(\frac{4}{3}\pi r^3)}$ मिलता है।
द्रव्यमान $m$ के लिए व्यवस्थित करने पर,$m = \frac{4T}{r} \cdot \frac{M \cdot 4\pi r^3}{3RT} = \frac{16\pi TM}{3RT} \cdot r^2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $T$,$M$,$R$ और तापमान स्थिर हैं,इसलिए $m \propto r^2$ है।
अतः,द्रव्यमान का अनुपात $\frac{m_1}{m_2} = \frac{r_1^2}{r_2^2}$ होगा।

(B) जब $r$ त्रिज्या के दो साबुन के बुलबुले निर्वात में मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बुलबुला बनाते हैं,तो बुलबुलों के अंदर हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। चूंकि प्रक्रिया समतापीय है,तापमान $T$ स्थिर है। $r$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P = P_0 + \frac{4S}{r}$ होता है,जहां $P_0$ बाहरी दबाव है (जो निर्वात में $0$ है) और $S$ पृष्ठ तनाव है। अतः,$P = \frac{4S}{r}$।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए,साबुन के बुलबुले के लिए,$n = \frac{PV}{RT} = \frac{(4S/r) \cdot (4/3 \pi r^3)}{RT} = \frac{16 \pi S r^2}{3RT}$।
चूंकि मोलों की कुल संख्या संरक्षित रहती है,$n_{total} = n_1 + n_2$। दिया गया है कि $r_1 = r_2 = r = 2 \ cm$,इसलिए $n_{total} = 2n = \frac{32 \pi S r^2}{3RT}$।
$R$ त्रिज्या के नए बुलबुले के लिए,$n_{total} = \frac{16 \pi S R^2}{3RT}$।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $R^2 = 2r^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $R = r\sqrt{2}$।
$r = 2 \ cm$ रखने पर,हमें $R = 2\sqrt{2} \ cm$ प्राप्त होता है।

(B) माना कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
एक छोटी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4 \pi r^2$ है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,$216 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$R^3 = 216 r^3 \Rightarrow R = 6r$।
$216$ बूंदों का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल = $216 \times A$।
बड़ी बूंद का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल = $4 \pi R^2 = 4 \pi (6r)^2 = 36 \times (4 \pi r^2) = 36A$।
मुक्त हुई ऊर्जा = (प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल - अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल) $\times T$।
मुक्त हुई ऊर्जा = $(216A - 36A) \times T = 180 AT$।

(A) बूंद तब संतुलन में होगी जब पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव वाष्प दाब $P$ के बराबर हो।
गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2S}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बूंद की त्रिज्या है।
बूंद के वाष्पित हुए बिना अस्तित्व में रहने के लिए,अंदर का दबाव वाष्प दाब $P$ को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$P = \frac{2S}{R}$।
$R$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$R = \frac{2S}{P}$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $R = \frac{2 \times (8 \times 10^{-2} \text{ Nm}^{-1})}{2.5 \times 10^3 \text{ Pa}}$।
$R = \frac{16 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^3} = 6.4 \times 10^{-5} \text{ m}$।
माइक्रोमीटर में बदलने पर: $R = 64 \times 10^{-6} \text{ m} = 64 \mu m$।

(A) $\text{दिया गया है,पिनहोल का व्यास } d = 0.2 \,mm \text{ है।}
\text{पिनहोल की त्रिज्या } r = d/2 = 0.1 \,mm = 0.1 \times 10^{-3} \,m \text{ है।}
\text{जब तक तल पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव द्वारा संतुलित रहता है,तब तक पानी पात्र में प्रवेश नहीं करेगा।}
\text{संतुलन के लिए शर्त } h \rho g = \frac{2T}{r} \text{ है।}
\text{यहाँ, } h \text{ विसर्जन की गहराई है, } \rho = 10^3 \,kg/m^3 \text{ पानी का घनत्व है, } T = 0.07 \,N/m \text{ पृष्ठ तनाव है,और } g = 10 \,m/s^2 \text{ है।}
\text{मान रखने पर: } h = \frac{2T}{\rho g r} = \frac{2 \times 0.07}{10^3 \times 10 \times 0.1 \times 10^{-3}}
h = \frac{0.14}{1} = 0.14 \,m = 14 \,cm
\text{अतः,पात्र को पानी के अंदर प्रवेश किए बिना } 14 \,cm \text{ की गहराई तक नीचे उतारा जा सकता है।}$

(C) मान लीजिए कि '$r$' त्रिज्या की '$n$' छोटी बूंदें मिलकर '$R$' त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं।
आयतन संरक्षण के नियम से: $n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$,जिसका अर्थ है $n = \frac{R^3}{r^3}$।
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$ है।
$n = \frac{R^3}{r^3}$ रखने पर,$\Delta A = 4 \pi (\frac{R^3}{r} - R^2) = 4 \pi R^2 (\frac{R}{r} - 1)$ प्राप्त होता है।
मुक्त हुई ऊर्जा $E = T \cdot \Delta A = 4 \pi T R^2 (\frac{R-r}{r})$ है।
यह ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है: $E = \frac{1}{2} M v^2$,जहाँ $M$ बड़ी बूंद का द्रव्यमान है।
$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$।
दोनों को बराबर करने पर: $4 \pi T R^2 (\frac{R-r}{r}) = \frac{1}{2} (\rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3) v^2$।
$v^2$ के लिए सरल करने पर: $v^2 = \frac{6 T (R-r)}{\rho R r}$।
अतः,$v = \sqrt{\frac{6 T}{\rho} \left( \frac{R-r}{rR} \right)}$।

(A) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_{ext} + \frac{4T}{r}$ होता है।
प्रारंभ में, बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in,1} = P_1 + \frac{4T}{r}$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है, बुलबुले के अंदर की हवा बॉयल के नियम का पालन करती है, $P_{in,1} V_1 = P_{in,2} V_2$.
बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
अतः, $(P_1 + \frac{4T}{r}) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = (P_2 + \frac{4T}{r/2}) \cdot \frac{4}{3} \pi (r/2)^3$.
$(P_1 + \frac{4T}{r}) r^3 = (P_2 + \frac{8T}{r}) \frac{r^3}{8}$.
$8(P_1 + \frac{4T}{r}) = P_2 + \frac{8T}{r}$.
$8P_1 + \frac{32T}{r} = P_2 + \frac{8T}{r}$.
$P_2 = 8P_1 + \frac{24T}{r}$.

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
चूंकि अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(P \propto \frac{1}{r})$,इसलिए बड़े बुलबुले की तुलना में छोटे बुलबुले में आंतरिक दबाव अधिक होता है।
जब एक नली द्वारा जोड़ा जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है।
इसलिए,हवा छोटे बुलबुले से बड़े बुलबुले की ओर बहती है।

(D) साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $p = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दबाव तेल के स्तंभ द्वारा लगाए गए दबाव $p = h \rho g$ द्वारा संतुलित होता है।
दोनों को बराबर करने पर, हमें मिलता है $h \rho g = \frac{4T}{R}$।
पृष्ठ तनाव $T$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर, $T = \frac{R h \rho g}{4}$।
दी गई मान:
त्रिज्या $R = 1 \,cm = 10^{-2} \,m$।
ऊंचाई $h = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$।
तेल का घनत्व $\rho = 0.8 \times 10^3 \,kg/m^3$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \,m/s^2$।
इन मानों को रखने पर:
$T = \frac{10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} \times 0.8 \times 10^3 \times 9.8}{4}$।
$T = \frac{1.568 \times 10^{-2}}{4} = 0.392 \times 10^{-2} \,N/m = 0.00392 \,N/m$।

(D) माना कि दो साबुन के बुलबुलों की त्रिज्याएँ क्रमशः $a$ और $b$ हैं और बड़े बुलबुले की त्रिज्या $c$ है।
साबुन के बुलबुले के लिए अतिरिक्त दबाव $\frac{4 T}{r}$ है और बाहरी दबाव $P$ है।
अतः,$P_a = P + \frac{4 T}{a}$,$P_b = P + \frac{4 T}{b}$ और $P_c = P + \frac{4 T}{c}$ ...$(i)$
आयतन $V_a = \frac{4}{3} \pi a^3$,$V_b = \frac{4}{3} \pi b^3$ और $V_c = \frac{4}{3} \pi c^3$ है ...(ii)
हवा के मोलों के संरक्षण के नियम से,$P_a V_a + P_b V_b = P_c V_c$.
समीकरण $(i)$ और (ii) का उपयोग करते हुए:
$(P + \frac{4 T}{a})(\frac{4}{3} \pi a^3) + (P + \frac{4 T}{b})(\frac{4}{3} \pi b^3) = (P + \frac{4 T}{c})(\frac{4}{3} \pi c^3)$
$P(\frac{4}{3} \pi)(a^3 + b^3 - c^3) + \frac{16}{3} \pi T(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
यहाँ आयतन में परिवर्तन $V = \frac{4}{3} \pi(c^3 - a^3 - b^3)$ और क्षेत्रफल में परिवर्तन $A = 4 \pi(c^2 - a^2 - b^2)$ लेने पर:
$-P V + \frac{4}{3} T A = 0$ अर्थात $3 P V + 4 T A = 0$।

(D) पहले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p_1 = \frac{4T}{r_1}$ है।
इसी प्रकार,दूसरे बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p_2 = \frac{4T}{r_2}$ है।
मान लीजिए कि परिणामी बड़े बुलबुले की त्रिज्या $R$ है। इस बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p = \frac{4T}{R}$ है।
समतापीय स्थितियों के तहत,हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है और चूंकि $PV = nRT$ होता है,इसलिए $PV$ का गुणनफल स्थिर रहता है।
अतः,$PV = p_1 V_1 + p_2 V_2$.
मान रखने पर: $\left(\frac{4T}{R}\right) \left(\frac{4}{3} \pi R^3\right) = \left(\frac{4T}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_1^3\right) + \left(\frac{4T}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3} \pi r_2^3\right)$.
समीकरण को सरल करने पर: $R^2 = r_1^2 + r_2^2$.
इसलिए,$R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$.

(D) मान लीजिए कि तल पर बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_1$ है और शीर्ष पर $A_2$ है। दिया गया है कि $A_2 = A_1 + 1.25 A_1 = 2.25 A_1$.
चूंकि बुलबुला गोलाकार है,$A = 4 \pi r^2$,जिसका अर्थ है $r \propto \sqrt{A}$। अतः,$r_2 = \sqrt{2.25} r_1 = 1.5 r_1$.
आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है,इसलिए $V_2 = (1.5)^3 V_1 = 3.375 V_1$.
चूंकि तापमान समान है,बॉयल का नियम लागू होता है: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ,$P_2 = P_{atm} = 10 \ m$ पानी का स्तंभ।
$P_1 = P_{atm} + h = 10 + h$,जहाँ $h$ टंकी की गहराई है।
मान रखने पर: $(10 + h) V_1 = 10 \times (3.375 V_1)$.
$10 + h = 33.75$.
$h = 33.75 - 10 = 23.75 \ m$.

(D) पानी को छेद से बाहर न निकलने देने के लिए, पानी के स्तंभ की ऊँचाई के कारण लगने वाला दबाव छेद पर केशिका दबाव (अतिरिक्त दबाव) द्वारा संतुलित होना चाहिए।
पानी के स्तंभ के कारण दबाव $P = h \rho g$ है।
पृष्ठ तनाव के कारण छेद पर अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{2T \cos \theta}{r}$ है।
इन दोनों को बराबर करने पर, $h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है: $h = 7 \text{ cm} = 0.07 \text{ m}$, $T = 0.07 \text{ N/m}$, $\theta = 0^{\circ}$ (इसलिए $\cos 0^{\circ} = 1$), $\rho = 1000 \text{ kg/m}^3$, और $g = 10 \text{ m/s}^2$.
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र:
$r = \frac{2T \cos \theta}{h \rho g}$
$r = \frac{2 \times 0.07 \times 1}{0.07 \times 1000 \times 10}$
$r = \frac{0.14}{700} = 0.0002 \text{ m} = 0.2 \text{ mm}$.

(B) मान लीजिए प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है। चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है,हमारे पास $n \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$ है,जिससे $R = n^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
$n$ बूंदों का प्रारंभिक सतह क्षेत्रफल $A_i = n \times 4 \pi r^2$ है।
बड़ी बूंद का अंतिम सतह क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 = 4 \pi n^{2/3} r^2$ है।
चूंकि $n > 1$ के लिए $n^{2/3} < n$ होता है,इसलिए अंतिम सतह क्षेत्रफल $A_f$ प्रारंभिक सतह क्षेत्रफल $A_i$ से कम है। अतः,सतह का क्षेत्रफल घटता है।
सतह ऊर्जा $U = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है। चूंकि सतह का क्षेत्रफल घटता है,इसलिए निकाय की सतह ऊर्जा कम हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,सतह ऊर्जा में हुई कमी ऊष्मा के रूप में मुक्त होती है। इसलिए,सतह का क्षेत्रफल घटता है और ऊष्मा मुक्त होती है।

(C) दिया गया है:
साबुन के बुलबुले की त्रिज्या,$R = 0.5 \ cm = 0.5 \times 10^{-2} \ m$
तेल के स्तंभ की ऊँचाई,$h = 4 \ mm = 4 \times 10^{-3} \ m$
तेल का घनत्व,$\rho = 900 \ kg \ m^{-3}$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 10 \ m \ s^{-2}$
साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4S}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है।
तेल के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P' = \rho g h$ है।
प्रश्न के अनुसार,अतिरिक्त दबाव तेल के स्तंभ के दबाव द्वारा संतुलित होता है:
$\frac{4S}{R} = \rho g h$
मान रखने पर:
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 900 \times 10 \times 4 \times 10^{-3}$
$\frac{4S}{0.5 \times 10^{-2}} = 36$
$4S = 36 \times 0.5 \times 10^{-2}$
$4S = 18 \times 10^{-2}$
$S = 4.5 \times 10^{-2} \ N \ m^{-1}$

(C) जब $R$ त्रिज्या की एक बड़ी द्रव की बूंद $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदों में विभाजित होती है,तो आयतन स्थिर रहता है: $\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
चूंकि $n > 1$,$n$ छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A_{final} = n \times 4 \pi r^2)$ मूल बड़ी बूंद के पृष्ठीय क्षेत्रफल $(A_{initial} = 4 \pi R^2)$ से अधिक होता है।
पृष्ठीय ऊर्जा सीधे पृष्ठीय क्षेत्रफल के समानुपाती होती है $(U = T \times A)$।
चूंकि कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ता है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल को बढ़ाने के लिए आवश्यक कार्य करने हेतु निकाय को परिवेश से ऊर्जा अवशोषित करनी पड़ती है।

(B) द्रव में $h$ गहराई पर स्थित हवा के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव,द्रव स्तंभ के कारण दबाव और पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव का योग होता है।
द्रव के अंदर हवा के बुलबुले के लिए केवल एक ही मुक्त सतह होती है।
पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव $\Delta P_s = \frac{2S}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
गहराई के कारण दबाव $\Delta P_h = \rho g h$ द्वारा दिया जाता है।
कुल अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2S}{R} + \rho g h$ है।
दिया गया है: $S = 0.1 \ N \ m^{-1}$,$R = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$,$\rho = 2000 \ kg \ m^{-3}$,$h = 8 \ cm = 8 \times 10^{-2} \ m$,और $g = 10 \ m \ s^{-2}$।
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{2 \times 0.1}{1 \times 10^{-3}} + (2000 \times 10 \times 8 \times 10^{-2})$
$\Delta P = 200 + 1600 = 1800 \ N \ m^{-2}$.

(D) बड़ी बूंद की त्रिज्या $= R$.
छोटी बूंदों की संख्या,$n = 64$.
माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
बूंद को तोड़ने की प्रक्रिया में,तरल का आयतन स्थिर रहता है।
$V_i = V_f$
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \left( \frac{4}{3} \pi r^3 \right)$
$R^3 = 64 r^3 \Rightarrow R = 4r \Rightarrow r = \frac{R}{4}$
एक बड़ी बूंद को $64$ छोटी बूंदों में तोड़ने में किया गया कार्य पृष्ठीय ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है।
$W = \text{अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा} - \text{प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा}$
$W = T(n \cdot 4 \pi r^2) - T(4 \pi R^2)$
$W = 4 \pi T [64 r^2 - R^2]$
$r = \frac{R}{4}$ रखने पर:
$W = 4 \pi T [64 (\frac{R}{4})^2 - R^2]$
$W = 4 \pi T [64 (\frac{R^2}{16}) - R^2]$
$W = 4 \pi T [4 R^2 - R^2] = 4 \pi T [3 R^2] = 12 \pi R^2 T$.

(D) दिया गया है, पानी की बूंद का व्यास $d = 0.2 \,mm$ है।
त्रिज्या, $r = 0.1 \,mm = 10^{-4} \,m$ है।
बूंद के बाहर का दबाव, $p_0 = 1.5 \,N / cm^2 = 1.5 \times 10^4 \,N / m^2$ है।
पृष्ठ तनाव, $T = 0.08 \,N / m$ है।
गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta p = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए, बूंद के अंदर का कुल दबाव $p = p_0 + \frac{2T}{r}$ होगा।
मान रखने पर:
$p = 1.5 \times 10^4 + \frac{2 \times 0.08}{10^{-4}}$
$p = 1.5 \times 10^4 + 0.16 \times 10^4$
$p = 1.66 \times 10^4 \,N / m^2$
इसे $N / cm^2$ में बदलने पर:
$p = 1.66 \,N / cm^2$.

(B) $h$ गहराई पर हवा के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_{atm} + \rho gh + \frac{2S}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
मुक्त सतह पर दबाव $P_{atm}$ है।
इसलिए,मुक्त सतह पर दबाव के सापेक्ष बुलबुले के अंदर का दबाव $\Delta P = P_{in} - P_{atm} = \rho gh + \frac{2S}{R}$ है।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 1000 \,kg/m^3$
गहराई $h = 5 \,cm = 0.05 \,m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \,m/s^2$
पृष्ठ तनाव $S = 0.1 \,N/m$
त्रिज्या $R = 2 \,mm = 0.002 \,m$
चरण $1$: तरल स्तंभ के कारण हाइड्रोस्टेटिक दबाव की गणना करें:
$P_{hydro} = \rho gh = 1000 \times 10 \times 0.05 = 500 \,Pa$.
चरण $2$: पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव की गणना करें:
$P_{excess} = \frac{2S}{R} = \frac{2 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.2}{0.002} = 100 \,Pa$.
चरण $3$: कुल दबाव अंतर की गणना करें:
$\Delta P = 500 \,Pa + 100 \,Pa = 600 \,Pa$.

(A) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
मान लीजिए $R_1 = 2.0 \text{ cm}$ और $R_2 = 1.0 \text{ cm}$ है।
छोटे बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \frac{4T}{R_2}$ है।
दो बुलबुलों के बीच का दबाव $P_{mid} = P_0 + \frac{4T}{R_1}$ है।
छोटे बुलबुले के अंदर और बड़े बुलबुले के बाहर के दबाव का अंतर $\Delta P_{total} = \frac{4T}{R_2} + \frac{4T}{R_1} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$ है।
मान लीजिए समतुल्य बुलबुले की त्रिज्या $R$ है। अतः $\frac{4T}{R} = 4T(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2})$ है।
$\frac{1}{R} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} = \frac{R_1 + R_2}{R_1 R_2}$ है।
$R = \frac{R_1 R_2}{R_1 + R_2} = \frac{2.0 \times 1.0}{2.0 + 1.0} \text{ cm} = \frac{2}{3} \text{ cm} = 0.667 \text{ cm}$ है।
मीटर में बदलने पर: $R = 0.667 \times 10^{-2} \text{ m} = 6.67 \times 10^{-3} \text{ m}$।

(B) माना $n = 1000$ छोटी बूंदों की संख्या है और $r$ प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या है। व्यास $10^{-8} \ m$ है,इसलिए $r = 0.5 \times 10^{-8} \ m$.
$n$ छोटी बूंदों का आयतन = $R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद का आयतन।
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R = n^{1/3} r$.
$R = (1000)^{1/3} \times (0.5 \times 10^{-8} \ m) = 10 \times 0.5 \times 10^{-8} \ m = 5 \times 10^{-8} \ m$.
मुक्त ऊर्जा $\Delta U = T \times \Delta A$,जहाँ $\Delta A = (n \times 4 \pi r^2) - (4 \pi R^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (n r^2 - R^2) = 4 \pi (1000 \times (0.5 \times 10^{-8})^2 - (5 \times 10^{-8})^2)$.
$\Delta A = 4 \pi (1000 \times 0.25 \times 10^{-16} - 25 \times 10^{-16}) = 4 \pi (250 - 25) \times 10^{-16} = 4 \pi \times 225 \times 10^{-16} = 900 \pi \times 10^{-16} = 9 \pi \times 10^{-14} \ m^2$.
मुक्त ऊर्जा $\Delta U = 0.075 \times 9 \pi \times 10^{-14} = 0.675 \pi \times 10^{-14} = 6.75 \pi \times 10^{-15} \ J$.

(D) बूंद की ऊर्जा $U = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ सतह का क्षेत्रफल है।
$n$ छोटी बूंदों की ऊर्जा: $U_i = n \times (4\pi r^2 T)$.
बड़ी बूंद की ऊर्जा: $E = 4\pi R^2 T$.
ऊर्जा की हानि $\Delta U = U_i - E = 3E$ दी गई है।
मान रखने पर: $n(4\pi r^2 T) - 4\pi R^2 T = 3(4\pi R^2 T)$.
$n(4\pi r^2 T) = 4\pi R^2 T + 12\pi R^2 T$.
$n(4\pi r^2 T) = 16\pi R^2 T$.
$n = \frac{16\pi R^2 T}{4\pi r^2 T} = 4\frac{R^2}{r^2}$.

(B) $h$ गहराई पर हवा का बुलबुला बनाने के लिए आवश्यक कुल दबाव उस गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव और बुलबुले की सतह पर पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव का योग है।
$1$. $h = 1 \ cm = 0.01 \ m$ गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव $P_h = \rho g h = 10^3 \times 10 \times 0.01 = 100 \ N/m^2$ है।
$2$. $r = 0.025 \ cm = 2.5 \times 10^{-4} \ m$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{2T}{r} = \frac{2 \times 7 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-4}} = \frac{14 \times 10^{-2}}{2.5 \times 10^{-4}} = 5.6 \times 10^2 = 560 \ N/m^2$ है।
$3$. कुल अतिरिक्त दबाव $P = P_h + P_s = 100 + 560 = 660 \ N/m^2$ है।
$4$. वैज्ञानिक संकेतन में बदलने पर: $660 \ N/m^2 = 0.0066 \times 10^5 \ N/m^2$।

(D) केशिका उन्नयन $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दिया जाता है।
केशिका में पानी के स्तर को बर्तन के स्तर के समान लाने के लिए,हमें केशिका दबाव $h \rho g$ के बराबर अतिरिक्त दबाव $P$ लागू करना होगा।
अतः,$P = h \rho g = \frac{2T \cos \theta}{r}$.
दिया है: $T = 0.07 \ N/m$,$d = 0.28 \ mm = 0.28 \times 10^{-3} \ m$,इसलिए $r = 0.14 \times 10^{-3} \ m$,और पानी के लिए $\theta = 0^{\circ}$ (इसलिए $\cos \theta = 1$).
$P = \frac{2 \times 0.07}{0.14 \times 10^{-3}} = \frac{0.14}{0.14 \times 10^{-3}} = 10^3 \ N/m^2$.
यह आवश्यक अतिरिक्त दबाव है। केशिका नली में पानी की सतह पर लगाया जाने वाला कुल दबाव वायुमंडलीय दबाव और इस अतिरिक्त दबाव का योग है।
कुल दबाव $= P_{atm} + P = 10^5 + 10^3 = 100 \times 10^3 + 1 \times 10^3 = 101 \times 10^3 \ N/m^2$.

(C) बूंद का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 4 \pi r^2$ है। प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U_i = S \times 4 \pi r^2$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,इसलिए बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा: $\frac{4}{3} \pi r^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi (r')^3$.
इसे सरल करने पर $r^3 = 8(r')^3$,जिससे $r = 2r'$,अर्थात $r' = r/2$ प्राप्त होता है।
$8$ बूंदों का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 8 \times 4 \pi (r')^2 = 8 \times 4 \pi (r/2)^2 = 8 \times 4 \pi (r^2/4) = 8 \pi r^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $U_f = S \times 8 \pi r^2$ है।
किया गया कार्य पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = \Delta U = U_f - U_i = S(8 \pi r^2 - 4 \pi r^2) = 4 \pi r^2 S$.

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
आयतन संरक्षण के नियम के अनुसार,$V_{big} = 27 \times V_{small}$.
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3 \Rightarrow R^3 = 27r^3 \Rightarrow R = 3r$.
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $U_i = 27 \times (S \times 4 \pi r^2) = 108 \pi r^2 S$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $U_f = S \times 4 \pi R^2 = S \times 4 \pi (3r)^2 = 36 \pi r^2 S$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में सापेक्ष वृद्धि $\frac{\Delta U}{U_i} = \frac{U_f - U_i}{U_i} = \frac{36 \pi r^2 S - 108 \pi r^2 S}{108 \pi r^2 S}$ द्वारा दी जाती है।
$\frac{\Delta U}{U_i} = \frac{-72 \pi r^2 S}{108 \pi r^2 S} = -\frac{72}{108} = -\frac{2}{3}$.

(B) समतापीय स्थितियों के लिए, हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P$ बाहरी दबाव है और $T$ पृष्ठ तनाव है।
आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, चूंकि तापमान स्थिर है, $PV$ मोलों की संख्या के समानुपाती है।
अतः, $P_1V_1 + P_2V_2 = P_cV_c$.
मान रखने पर: $(P + \frac{4T}{a}) \cdot \frac{4}{3}\pi a^3 + (P + \frac{4T}{b}) \cdot \frac{4}{3}\pi b^3 = (P + \frac{4T}{c}) \cdot \frac{4}{3}\pi c^3$.
$\frac{4}{3}\pi$ से विभाजित करने पर: $P(a^3 + b^3 - c^3) = 4T(c^2 - a^2 - b^2)$.
$T$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $T = \frac{P(a^3 + b^3 - c^3)}{4(c^2 - a^2 - b^2)} = \frac{P(c^3 - a^3 - b^3)}{4(a^2 + b^2 - c^2)}$.

(A) माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r = 1 \ mm = 1 \times 10^{-3} \ m$ है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies R = 10r = 10 \times 10^{-3} \ m = 10^{-2} \ m$.
$1000$ बूंदों का प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 1000 \times 4 \pi r^2$ है।
बड़ी बूंद का अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (10r)^2 = 400 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 400 \pi r^2 - 1000 \times 4 \pi r^2 = -3600 \pi r^2$ है।
ऊर्जा की हानि $\Delta E = S \times |\Delta A| = S \times 3600 \pi r^2$ है।
मान रखने पर: $\Delta E = 0.072 \times 3600 \times \pi \times (10^{-3})^2$.
$\Delta E = 0.072 \times 3600 \times 3.14159 \times 10^{-6} \approx 8.143 \times 10^{-4} \ J$.
दिए गए विकल्प के अनुसार,ऊर्जा की हानि $8.146 \times 10^{-4} \ J$ है।

(D) $R$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
$r$ त्रिज्या वाले छोटे बुलबुले के लिए,अंदर का दबाव $P_1 = P_{atm} + \frac{4T}{r}$ है।
$2r$ त्रिज्या वाले बड़े बुलबुले के लिए,अंदर का दबाव $P_2 = P_{atm} + \frac{4T}{2r} = P_{atm} + \frac{2T}{r}$ है।
चूंकि $P_1 > P_2$,जब वाल्व खोला जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र (छोटे बुलबुले) से कम दबाव वाले क्षेत्र (बड़े बुलबुले) की ओर प्रवाहित होती है।
परिणामस्वरूप,छोटे बुलबुले की त्रिज्या घटती है और बड़े बुलबुले की त्रिज्या बढ़ती है।

(A) जब निर्वात में दो साबुन के बुलबुले आपस में जुड़ते हैं,तो हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। यदि प्रक्रिया समतापीय (isothermal) है,तो हम आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हैं। चूंकि $n$ और $T$ स्थिर हैं,इसलिए $PV$ स्थिर रहेगा।
साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है। निर्वात में,बुलबुले के अंदर का कुल दबाव $P = \frac{4T}{r}$ होता है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है।
प्रारंभिक दो बुलबुलों के लिए,$P_1 V_1 = (\frac{4T}{x})(\frac{4}{3}\pi x^3) = \frac{16}{3}\pi T x^2$ और $P_2 V_2 = (\frac{4T}{y})(\frac{4}{3}\pi y^3) = \frac{16}{3}\pi T y^2$ है।
अंतिम बुलबुले के लिए,$P V = (\frac{4T}{z})(\frac{4}{3}\pi z^3) = \frac{16}{3}\pi T z^2$ है।
चूंकि हवा की कुल मात्रा संरक्षित रहती है,इसलिए $P_1 V_1 + P_2 V_2 = PV$ होगा।
$\frac{16}{3}\pi T x^2 + \frac{16}{3}\pi T y^2 = \frac{16}{3}\pi T z^2$।
दोनों पक्षों को $\frac{16}{3}\pi T$ से विभाजित करने पर,हमें $x^2 + y^2 = z^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $z = \sqrt{x^2 + y^2}$।

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटे बुलबुले की त्रिज्या $r$ है और प्रत्येक पर आवेश $q$ है। प्रत्येक छोटे बुलबुले का विभव $V_i = \frac{kq}{r}$ है।
जब ऐसे तीन बुलबुले मिलते हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है। मान लीजिए बड़े बुलबुले की त्रिज्या $R$ है।
$3 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3 \implies R^3 = 3r^3 \implies R = 3^{1/3}r$.
बड़े बुलबुले पर कुल आवेश $Q = 3q$ है। बड़े बुलबुले का विभव $V_f = \frac{kQ}{R} = \frac{k(3q)}{3^{1/3}r}$ है।
विभव का अनुपात $\frac{V_i}{V_f} = \frac{kq/r}{3kq / (3^{1/3}r)} = \frac{1}{3 / 3^{1/3}} = \frac{3^{1/3}}{3} = \frac{1}{3^{1 - 1/3}} = \frac{1}{3^{2/3}}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि संयोजन के दौरान आयतन संरक्षित रहता है, $8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$।
$R$ के लिए हल करने पर, हमें $R^3 = 8r^3$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $R = 2r$।
आठ छोटी बूंदों की प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U_i = 8 \times (4 \pi r^2 S) = 32 \pi r^2 S$ है।
बड़ी बूंद की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $U_f = 4 \pi R^2 S = 4 \pi (2r)^2 S = 16 \pi r^2 S$ है।
इस प्रक्रिया में मुक्त हुई पृष्ठीय ऊर्जा $\Delta U = U_i - U_f = 32 \pi r^2 S - 16 \pi r^2 S = 16 \pi r^2 S$ है।

(D) साबुन के बुलबुले के पृष्ठीय क्षेत्रफल को बढ़ाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A \times 2$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $2$ साबुन के बुलबुले की दो सतहों को दर्शाता है।
$\Delta A = 4\pi(r_2^2 - r_1^2)$.
दिया गया है: $T = 0.03 \text{ N/m}$,$r_1 = 1 \text{ cm} = 0.01 \text{ m}$,$r_2 = 3 \text{ cm} = 0.03 \text{ m}$.
$\Delta A = 4 \times 3.14 \times ((0.03)^2 - (0.01)^2) = 4 \times 3.14 \times (0.0009 - 0.0001) = 12.56 \times 0.0008 = 0.010048 \text{ m}^2$.
$W = 0.03 \times 0.010048 \times 2 = 0.06 \times 0.010048 = 0.00060288 \text{ J} = 6.0288 \times 10^{-4} \text{ J}$.
नोट: दिए गए विकल्पों के अनुसार,गणना में विसंगति प्रतीत होती है। यदि हम मानक सूत्र का उपयोग करते हैं,तो $\alpha \approx 6.03$ प्राप्त होता है।