Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Hindi

(D) मान लीजिए कि प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है। मान लीजिए कि बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ और आवेश $Q$ है।
चूंकि $64$ बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए कुल आवेश $Q = 64q$ होगा।
बड़ी बूंद का आयतन $64$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R^3 = 64r^3$ प्राप्त होता है,अतः $R = 4r$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{\text{आवेश}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{q}{4\pi r^2}$ द्वारा परिभाषित होता है।
छोटी बूंद के लिए,$\sigma_{small} = \frac{q}{4\pi r^2}$।
बड़ी बूंद के लिए,$\sigma_{large} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{64q}{4\pi (4r)^2} = \frac{64q}{4\pi (16r^2)} = \frac{4q}{4\pi r^2}$।
अनुपात $\frac{\sigma_{small}}{\sigma_{large}} = \frac{q / 4\pi r^2}{4q / 4\pi r^2} = \frac{1}{4}$ होगा।

(D) गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $R = \left( \frac{3V}{4\pi} \right)^{1/3}$।
अतः,$R^2 = \left( \frac{3}{4\pi} \right)^{2/3} V^{2/3}$,जिसका अर्थ है $R^2 \propto V^{2/3}$।
साबुन के बुलबुले (जिसकी दो सतहें होती हैं) को बनाने के लिए किया गया कार्य $W = T \times \Delta A = T \times 2(4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$ है।
चूंकि $W \propto R^2$ और $R^2 \propto V^{2/3}$,इसलिए $W \propto V^{2/3}$ होता है।
अतः,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = \sqrt[3]{4}$।
इसलिए,$W_2 = \sqrt[3]{4} \, W$।

(A) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ को इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \frac{4T}{r}$।
चूंकि दोनों बुलबुलों के लिए $T$ स्थिर है,इसलिए अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है: $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि दो बुलबुलों की त्रिज्याएँ $r_1 = 4r$ और $r_2 = r$ हैं।
अतः,अतिरिक्त दबावों का अनुपात $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{r}{4r} = \frac{1}{4}$ होगा।
इसलिए,अनुपात $1:4$ है।

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{in} - P_{out}$ द्वारा दिया जाता है।
वायुमंडलीय दबाव $P_{out} = 1 \text{ atm}$ मानते हुए, अतिरिक्त दबाव इस प्रकार हैं:
$\Delta P_1 = 1.01 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 0.01 \text{ atm}$
$\Delta P_2 = 1.02 \text{ atm} - 1 \text{ atm} = 0.02 \text{ atm}$
चूंकि अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ है, हमारे पास $\Delta P \propto \frac{1}{r}$ है, जिसका अर्थ है $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है, इसलिए $V \propto r^3$।
$r \propto \frac{1}{\Delta P}$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $V \propto \frac{1}{(\Delta P)^3}$ प्राप्त होता है।
इसलिए, आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} \right)^3$ है।
$\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{0.02}{0.01} \right)^3 = (2)^3 = 8$।
अतः, अनुपात $8 : 1$ है।

(B) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाली तरल बूंद के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P_2 = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
पानी में स्थित $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाले हवा के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव भी $P_1 = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है (क्योंकि इसमें केवल एक मुक्त सतह होती है)।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $P_1 = P_2$ प्राप्त होता है।

(C) जब दो साबुन के बुलबुले निर्वात में समतापीय स्थितियों के तहत जुड़ते हैं,तो कुल पृष्ठीय ऊर्जा संरक्षित रहती है।
साबुन के बुलबुले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 8\pi r^2$ होता है (क्योंकि इसमें दो सतहें होती हैं)।
प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा $U_i = T(8\pi r_1^2) + T(8\pi r_2^2)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा $U_f = T(8\pi R^2)$ है।
चूंकि $U_i = U_f$,इसलिए $8\pi r_1^2T + 8\pi r_2^2T = 8\pi R^2T$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $8\pi T$ से विभाजित करने पर,हमें $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ प्राप्त होता है।

(B) जब $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो साबुन के बुलबुले आपस में जुड़ते हैं,तो उभयनिष्ठ सतह की त्रिज्या $r$ का सूत्र इस प्रकार है:
$r = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$
यहाँ $r_1 = 4 \, cm$ और $r_2 = 5 \, cm$ दिया गया है (जहाँ $r_2 > r_1$):
$r = \frac{5 \times 4}{5 - 4}$
$r = \frac{20}{1} = 20 \, cm$
अतः,उभयनिष्ठ सतह की त्रिज्या $20 \, cm$ होगी।

(C) आदर्श गैस समीकरण $PV = \mu RT$ है,जहाँ $\mu$ मोलों की संख्या है।
साबुन के बुलबुले के लिए,अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{R}$ होता है,इसलिए कुल दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{R}$ है,जहाँ $P$ वायुमंडलीय दबाव है और $T$ पृष्ठ तनाव है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ होता है।
अतः,मोलों की संख्या $\mu = \frac{P_{in} V}{RT} = \frac{(P + \frac{4T}{R}) \cdot \frac{4}{3}\pi R^3}{RT}$ द्वारा दी जाती है।
$R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो बुलबुलों के लिए,मोलों की संख्या का अनुपात $\frac{\mu_1}{\mu_2}$ इस प्रकार है:
$\frac{\mu_1}{\mu_2} = \frac{(P + \frac{4T}{R_1}) \cdot \frac{4}{3}\pi R_1^3}{(P + \frac{4T}{R_2}) \cdot \frac{4}{3}\pi R_2^3} = \left( \frac{P + \frac{4T}{R_1}}{P + \frac{4T}{R_2}} \right) \frac{R_1^3}{R_2^3}$.

(D) माना छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है। बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ और आवेश $Q$ है।
चूंकि $64$ छोटी बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,इसलिए आयतन संरक्षित रहता है: $\frac{4}{3}\pi R^3 = 64 \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $R^3 = 64r^3$,अर्थात $R = 4r$ प्राप्त होता है।
आवेश भी संरक्षित रहता है: $Q = 64q$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{\text{आवेश}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{q}{4\pi r^2}$ होता है।
छोटी बूंद के लिए,$\sigma_{small} = \frac{q}{4\pi r^2}$।
बड़ी बूंद के लिए,$\sigma_{large} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{64q}{4\pi (4r)^2} = \frac{64q}{4\pi (16r^2)} = 4 \times \frac{q}{4\pi r^2} = 4\sigma_{small}$।
अतः,छोटी बूंद और बड़ी बूंद के पृष्ठीय आवेश घनत्व का अनुपात $\frac{\sigma_{small}}{\sigma_{large}} = \frac{\sigma_{small}}{4\sigma_{small}} = \frac{1}{4}$ होगा।

(C) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
इसका अर्थ है कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
दिया गया है कि अतिरिक्त दबाव का अनुपात $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = 3$ है,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = 3$,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{3}$।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3$ होगा।
त्रिज्या का अनुपात रखने पर: $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$।

(B) साबुन के बुलबुले का व्यास $d = 8 \text{ mm} = 0.8 \text{ cm}$ है।
साबुन के बुलबुले की त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.4 \text{ cm}$ है।
साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव $T = 30 \text{ dynes/cm}$ है।
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव का सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{r}$ है।
मान रखने पर,$\Delta P = \frac{4 \times 30}{0.4} = \frac{120}{0.4} = 300 \text{ dynes/cm}^2$ प्राप्त होता है।

(A) द्रव की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{2T}{r}$ है।
दिया गया है: व्यास $d = 0.02 \, cm = 0.02 \times 10^{-2} \, m = 2 \times 10^{-4} \, m$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.01 \, cm = 10^{-4} \, m$.
पृष्ठ तनाव $T = 72 \times 10^{-3} \, N/m$.
मान रखने पर: $\Delta P = \frac{2 \times 72 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 144 \times 10^1 = 1440 \, N/m^2$.
$N/m^2$ को $dyne/cm^2$ में बदलने के लिए: $1 \, N/m^2 = 10 \, dyne/cm^2$.
अतः,$\Delta P = 1440 \times 10 = 14400 \, dyne/cm^2 = 1.44 \times 10^4 \, dyne/cm^2$.

(C) माना कि तली पर हवा के बुलबुले की त्रिज्या $r_1 = r$ है और सतह पर $r_2 = 2r$ है।
माना कि जलाशय में पानी की ऊंचाई $h$ है।
जलाशय की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + h \rho g$ है,जहाँ $P_{atm}$ वायुमंडलीय दबाव है।
दिया गया है कि $P_{atm} = 10 \, m$ पानी,इसलिए हम लिख सकते हैं $P_1 = (10 + h) \rho g$.
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = 10 \rho g$ है।
बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,$P_1 V_1 = P_2 V_2$.
बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
मान रखने पर: $(10 + h) \rho g \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 10 \rho g \times \frac{4}{3} \pi (2r)^3$.
$(10 + h) = 10 \times 8$.
$10 + h = 80$.
$h = 70 \, m$.

(C) पानी के छेदों से बाहर न निकलने की शर्त यह है कि पृष्ठ तनाव के कारण उत्पन्न अतिरिक्त दबाव को पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करना चाहिए।
गोलाकार मेनिस्कस के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ छेद की त्रिज्या है।
तली पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव $P = \rho g h$ है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3 \ kg/m^3)$ है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ ऊँचाई है।
दोनों को बराबर करने पर: $\frac{2T}{R} = \rho g h$.
दिया गया है: $T = 75 \times 10^{-3} \ N/m$,व्यास $d = 0.1 \ mm = 10^{-4} \ m$,इसलिए त्रिज्या $R = 0.05 \times 10^{-3} \ m = 5 \times 10^{-5} \ m$,और $g = 10 \ m/s^2$.
मान रखने पर: $\frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-5}} = 10^3 \times 10 \times h$.
$\frac{150 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-5}} = 10^4 \times h$.
$30 \times 10^2 = 10^4 \times h$.
$3000 = 10000 \times h$.
$h = 0.3 \ m = 30 \ cm$.

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$R_1$ और $R_2$ त्रिज्या वाले दो बुलबुलों के लिए,जहाँ $R_1 < R_2$ है,छोटे बुलबुले के अंदर का दबाव $P_1 = P_{atm} + \frac{4T}{R_1}$ है और बड़े बुलबुले के अंदर का दबाव $P_2 = P_{atm} + \frac{4T}{R_2}$ है।
चूंकि $R_1 < R_2$ है,इसलिए $\frac{4T}{R_1} > \frac{4T}{R_2}$ होता है,जिसका अर्थ है कि $P_1 > P_2$ है।
हवा हमेशा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है।
इसलिए,हवा छोटे बुलबुले से बड़े बुलबुले की ओर बहती है।

(C) माना कि बनी हुई पानी की बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि बुलबुला और बूंद बनाने वाले पानी का आयतन समान है,साबुन की परत का आयतन $V = 4\pi R^2 d$ है।
इसे गोलाकार बूंद के आयतन के बराबर करने पर: $4\pi R^2 d = \frac{4}{3} \pi r^3$।
अतः,$r^3 = 3R^2d$,जिसका अर्थ है $r = (3R^2d)^{1/3}$।
गोलाकार बूंद में अतिरिक्त दबाव $\Delta P_{\text{drop}} = \frac{2\sigma}{r}$ होता है।
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P_{\text{bubble}} = \frac{4\sigma}{R}$ होता है।
अनुपात $\frac{\Delta P_{\text{drop}}}{\Delta P_{\text{bubble}}} = \frac{2\sigma/r}{4\sigma/R} = \frac{1}{2} \cdot \frac{R}{r}$ है।
$r = (3R^2d)^{1/3}$ का मान रखने पर,हमें अनुपात $= \frac{1}{2} \cdot \frac{R}{(3R^2d)^{1/3}} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{R^3}{3R^2d})^{1/3} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{R}{3d})^{1/3} = (\frac{1}{8} \cdot \frac{R}{3d})^{1/3} = (\frac{R}{24d})^{1/3}$ प्राप्त होता है।

(D) $h$ गहराई पर हवा के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_{o} + h \rho g + \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_{o}$ वायुमंडलीय दबाव है,$h \rho g$ हाइड्रोस्टेटिक दबाव है,और $\frac{2T}{R}$ पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव है।
जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर उठता है,गहराई $h$ कम हो जाती है,जिससे हाइड्रोस्टेटिक दबाव $h \rho g$ कम हो जाता है। परिणामस्वरूप,जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर जाता है,उसके अंदर का कुल दबाव कम होता जाता है।
इसके अलावा,चूंकि $P_{in} = P_{out} + \frac{2T}{R}$,बुलबुले के अंदर का दबाव हमेशा बाहर के दबाव $(P_{out} = P_{o} + h \rho g)$ से अधिक होता है।
इसलिए,कथन $A$ और $C$ दोनों सही हैं।

(A) मान लीजिए बूंद की त्रिज्या $R$ है। बूंद का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है। जब त्रिज्या में $\Delta R$ की कमी होती है,तो वाष्पित द्रव्यमान $\Delta m = \rho \Delta V = \rho (4\pi R^2 \Delta R)$ होता है।
वाष्पीकरण के लिए आवश्यक ऊर्जा $\Delta E = \Delta m L = 4\pi R^2 \Delta R \rho L$ है।
बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 4\pi R^2$ है। पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta U = T \Delta A = T [4\pi R^2 - 4\pi (R - \Delta R)^2]$ है।
पद का विस्तार करने पर: $\Delta U = 4\pi T [R^2 - (R^2 - 2R\Delta R + \Delta R^2)] = 4\pi T [2R\Delta R - \Delta R^2]$।
$\Delta R^2$ को नगण्य मानने पर,$\Delta U \approx 8\pi T R \Delta R$ प्राप्त होता है।
वाष्पीकरण के लिए आवश्यक ऊर्जा को पृष्ठीय ऊर्जा में कमी के बराबर रखने पर: $4\pi R^2 \Delta R \rho L = 8\pi T R \Delta R$।
$R$ के लिए हल करने पर: $R = \frac{8\pi T}{4\pi \rho L} = \frac{2T}{\rho L}$।

(B) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं।
$r$ त्रिज्या वाले अनुप्रस्थ काट के लिए,परिधि $2\pi r$ है।
चूंकि दो सतहें हैं,इसलिए तल के संपर्क में फिल्म की कुल लंबाई $L = 2 \times (2\pi r) = 4\pi r$ है।
पृष्ठ तनाव $T$ के कारण बल $F$ को सूत्र $F = T \times L$ द्वारा दिया जाता है।
$L$ का मान रखने पर,हमें $F = T \times (4\pi r) = 4\pi rT$ प्राप्त होता है।

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4S}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
प्रारंभ में, दबाव का अंतर $P_0 - P_1 = \frac{4S}{r_0}$ है।
दिया गया है $P_1 = \frac{8P_0}{9}$, इसलिए $P_0 - \frac{8P_0}{9} = \frac{4S}{r_0}$, जो सरल होकर $\frac{P_0}{9} = \frac{4S}{r_0}$ हो जाता है, अर्थात $P_0 = \frac{36S}{r_0}$।
प्रारंभिक आंतरिक दबाव $P_{in, initial} = P_0 = \frac{36S}{r_0}$ है।
चूंकि तापमान स्थिर है, बुलबुले के अंदर हवा के मोलों की संख्या स्थिर रहती है। आदर्श गैस समीकरण $PV = nRT$ का उपयोग करते हुए, $P_{in, initial} V_{initial} = P_{in, final} V_{final}$ प्राप्त होता है।
अंत में, बाड़े को खाली कर दिया जाता है, इसलिए $P_{outside} = 0$। अंतिम आंतरिक दबाव $P_{in, final} = \frac{4S}{r}$ है, जहाँ $r$ अंतिम त्रिज्या है।
मान रखने पर: $(\frac{36S}{r_0})(\frac{4}{3}\pi r_0^3) = (\frac{4S}{r})(\frac{4}{3}\pi r^3)$।
यह सरल होकर $36S r_0^2 = 4S r^2$ हो जाता है, जिससे $9r_0^2 = r^2$ प्राप्त होता है।
अतः, $r = 3r_0$, और अनुपात $\frac{r}{r_0} = 3$ है।

(B) पृष्ठ तनाव के कारण साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P_s = \frac{4T}{R}$ होता है।
आवेशित बुलबुले की सतह पर बाहर की ओर लगने वाला स्थिर-वैद्युत दबाव $P_e = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$ होता है।
जब बुलबुला फूटने ही वाला होता है,तो पृष्ठ तनाव के कारण अंदर की ओर लगने वाला दबाव बाहर की ओर लगने वाले स्थिर-वैद्युत दबाव द्वारा संतुलित हो जाता है:
$\frac{4T}{R} = \frac{\sigma^2}{2\varepsilon_0}$.
$R$ के लिए समीकरण को हल करने पर:
$R = \frac{8\varepsilon_0 T}{\sigma^2}$.

(D) पर साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
मैनोमीटर की भुजाओं में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है। मान लीजिए कि खुली भुजा में द्रव की सतह पर दबाव $P_0$ है। तो निचली भुजा $D$ के अनुरूप स्तर पर दबाव $P_0 + \rho gh$ है।
बुलबुले $B$ और मैनोमीटर की भुजा $D$ के स्तर पर दबावों की तुलना करने पर (यह मानते हुए कि $B$ उसी स्तर पर है जिस पर $D$ है):
$P_0 + \frac{4T}{r} = P_0 + \rho gh$
समीकरण को सरल बनाने पर:
$\frac{4T}{r} = \rho gh$
$T$ के लिए हल करने पर:
$T = \frac{r \rho gh}{4}$

(A) तरल फिल्म के अंदर का दबाव बाहर के वायुमंडलीय दबाव से $\Delta P = T \left( \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} \right)$ की मात्रा से कम होता है।
यहाँ फिल्म पतली है,इसलिए $r_1 = t/2$ और $r_2 = \infty$ है,जहाँ $t$ फिल्म की मोटाई है।
अतः,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{t}$ है।
प्लेटों को अलग करने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times A = \frac{2TA}{t}$ है।
चूंकि आयतन $V = A \times t$ है,इसलिए $t = V/A$ होगा।
बल के समीकरण में $t$ का मान रखने पर: $F = \frac{2TA^2}{V}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मान: $A = 40 \ cm^2 = 40 \times 10^{-4} \ m^2$,$V = 0.05 \ cm^3 = 0.05 \times 10^{-6} \ m^3$,और $T = 70 \ dyne/cm = 70 \times 10^{-3} \ N/m$.
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3} \ N/m) \times (40 \times 10^{-4} \ m^2)^2}{0.05 \times 10^{-6} \ m^3}$.
$F = \frac{140 \times 10^{-3} \times 1600 \times 10^{-8}}{0.05 \times 10^{-6}} = 44.8 \ N \approx 45 \ N$.

(D) दो समानांतर प्लेटों के बीच हवा-पानी का इंटरफेस एक बेलनाकार मेनिस्कस (meniscus) बनाता है।
बेलनाकार सतह के लिए,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $R$ मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या है।
चूंकि संपर्क कोण शून्य है,इसलिए मेनिस्कस $d$ व्यास वाला एक अर्ध-बेलन है।
अतः,वक्रता त्रिज्या $R = d/2$ है।
अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{atm} - P_{inside} = \frac{T}{R}$ है।
$R = d/2$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta P = \frac{T}{d/2} = \frac{2T}{d}$ प्राप्त होता है।
चूंकि मेनिस्कस हवा की ओर अवतल (concave) है,इसलिए पानी के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव से कम होता है।
अतः,$P_{inside} = P_0 - \Delta P = P_0 - \frac{2T}{d}$.

(D) साबुन के बुलबुले के लिए अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = 2 \times T \times \left(\frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}\right)$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R_1, R_2$ मुख्य वक्रता त्रिज्याएँ हैं।
दिया गया है $R_1 = R$ और $R_2 = 5R$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta P = 2T \times \left(\frac{1}{R} + \frac{1}{5R}\right)$
$\Delta P = 2T \times \left(\frac{5 + 1}{5R}\right)$
$\Delta P = 2T \times \left(\frac{6}{5R}\right)$
$\Delta P = \frac{12T}{5R}$

(B) साबुन के बुलबुले के लिए,अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
मान लीजिए कि $r_1 = 4 \ cm$ और $r_2 = 5 \ cm$ त्रिज्या वाले दो बुलबुलों के अंदर का अतिरिक्त दबाव क्रमशः $P_1$ और $P_2$ है।
$P_1 = \frac{4T}{r_1}$ और $P_2 = \frac{4T}{r_2}$।
चूँकि $r_1 < r_2$,छोटे बुलबुले के अंदर का दबाव बड़े बुलबुले के अंदर के दबाव से अधिक है $(P_1 > P_2)$।
सामान्य सतह छोटे बुलबुले की ओर मुड़ी होगी और इसकी वक्रता त्रिज्या $R$ होगी। इस सामान्य सतह पर दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2$ है।
सामान्य सतह के लिए,दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{4T}{R}$ है।
इसलिए,$\frac{4T}{R} = \frac{4T}{r_1} - \frac{4T}{r_2}$।
$\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$।
$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1} = \frac{4 \times 5}{5 - 4} = \frac{20}{1} = 20 \ cm$।

(D) $R$ त्रिज्या का साबुन का बुलबुला फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए $\Delta A = 2 \times (4 \pi R^2) = 8 \pi R^2$.
अतः,$W = 8 \pi R^2 T$.
चूँकि बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi R^3$ है,इसलिए $R^3 \propto V$,जिसका अर्थ है $R \propto V^{1/3}$.
इसे कार्य के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $W \propto R^2 \propto (V^{1/3})^2 = V^{2/3}$.
इसलिए,$\frac{W_2}{W_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^{2/3}$.
यहाँ $V_1 = V$ और $V_2 = 2V$ दिया गया है,इसलिए $\frac{W_2}{W} = \left( \frac{2V}{V} \right)^{2/3} = 2^{2/3} = (2^2)^{1/3} = 4^{1/3} = \sqrt[3]{4}$.
अतः,$W_2 = \sqrt[3]{4} W$.

(B) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4S}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है।
$R$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए,अंदर का दबाव $P_1 = P_{atm} + \frac{4S}{R}$ है।
$r$ त्रिज्या वाले बुलबुले के लिए,अंदर का दबाव $P_2 = P_{atm} + \frac{4S}{r}$ है।
चूंकि $R > r$,दबाव $P_2$,$P_1$ से अधिक है।
उभयनिष्ठ सतह बड़ी त्रिज्या $(R)$ वाले बुलबुले की ओर उभरी हुई होगी।
उभयनिष्ठ सतह पर दबाव का अंतर $\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{4S}{r} - \frac{4S}{R}$ है।
मान लीजिए $r_c$ उभयनिष्ठ सतह की वक्रता त्रिज्या है। तब $\Delta P = \frac{4S}{r_c}$।
$\Delta P$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4S}{r_c} = 4S \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$।
$\frac{1}{r_c} = \frac{R - r}{Rr}$।
अतः,$r_c = \frac{Rr}{R - r}$।

(D) $R$ त्रिज्या के साबुन के बुलबुले को फुलाने में किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $\Delta A$ सतह के क्षेत्रफल में परिवर्तन है। चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए $\Delta A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ होता है।
अतः,$W = 8\pi R^2 T$.
बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi R^3$ है,जिसका अर्थ है $R = (\frac{3V}{4\pi})^{1/3}$.
$W$ के व्यंजक में $R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $W \propto R^2 \propto V^{2/3}$ प्राप्त होता है।
यदि नया आयतन $V' = 2V$ है,तो नया कार्य $W'$ का मान $W' = W \times (\frac{V'}{V})^{2/3}$ द्वारा दिया जाता है।
$W' = W \times (\frac{2V}{V})^{2/3} = 2^{2/3}W$.

(B) किसी तरल में $h$ गहराई पर दबाव $P_{liquid} = P + hdg$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P$ वायुमंडलीय दबाव है, $d$ तरल का घनत्व है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी में हवा के बुलबुले की केवल एक सतह तरल के संपर्क में होती है। $r$ त्रिज्या वाले हवा के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
इसलिए, बुलबुले के अंदर का कुल दबाव आसपास के तरल के दबाव और पृष्ठ तनाव के कारण अतिरिक्त दबाव का योग है:
$P_{in} = P_{liquid} + \Delta P$
$P_{in} = P + hdg + \frac{2T}{r}$

(B) पानी की गहराई के कारण दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
पानी को छेद में प्रवेश करने के लिए,पानी द्वारा लगाया गया दबाव छेद पर केशिका दबाव (अतिरिक्त दबाव) को दूर करना चाहिए,जो $P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है $h \rho g = \frac{2T}{r}$।
त्रिज्या $r$ के लिए हल करने पर,हमें मिलता है $r = \frac{2T}{h \rho g}$।
छेद का व्यास $d$ है $d = 2r = \frac{4T}{h \rho g}$।
दिया गया है: $h = 40 \, cm = 0.4 \, m$,$T = 0.07 \, N/m$,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$,और $g = 9.8 \, m/s^2$।
मान रखने पर: $d = \frac{4 \times 0.07}{0.4 \times 10^3 \times 9.8} = 0.07 \times 10^{-3} \, m = 0.07 \, mm$ (जहाँ $g \approx 10 \, m/s^2$ लेने पर)।

(D) जब बर्फ का घन पिघलता है,तो यह ठोस से तरल अवस्था में बदल जाता है।
गुरुत्वाकर्षण-मुक्त वातावरण में,तरल बूंद को विकृत करने के लिए वजन जैसा कोई बाहरी बल नहीं होता है।
तरल का पृष्ठ तनाव (surface tension) दिए गए आयतन के लिए सतह के क्षेत्रफल को कम करने का कार्य करता है।
दिए गए आयतन के लिए,न्यूनतम सतह क्षेत्रफल वाला ज्यामितीय आकार एक गोला होता है।
इसलिए,पिघली हुई बर्फ स्वाभाविक रूप से गोलाकार आकार ले लेगी।

(A) मान लीजिए साबुन के बुलबुले के अंदर हवा का प्रारंभिक दबाव $P_{in,1}$ है。
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4\sigma}{r}$ द्वारा दिया जाता है。
अतः, $P_{in,1} - p_1 = \frac{4\sigma}{r} \implies P_{in,1} = p_1 + \frac{4\sigma}{r} \quad ...(i)$
चूंकि तापमान $T$ स्थिर है, इसलिए बुलबुले के अंदर की हवा पर बॉयल का नियम $(PV = \text{स्थिर})$ लागू होता है。
जब त्रिज्या $r' = r/2$ हो जाती है, तो आयतन $V$ बदलकर $V' = \frac{4}{3}\pi(r/2)^3 = \frac{1}{8}V$ हो जाता है。
इसलिए, बुलबुले के अंदर का नया दबाव $P_{in,2} = 8P_{in,1} = 8(p_1 + \frac{4\sigma}{r}) = 8p_1 + \frac{32\sigma}{r}$ होगा。
बुलबुले के बाहर का नया दबाव $p_2$ है। नई त्रिज्या $r/2$ के लिए अतिरिक्त दबाव का समीकरण है:
$P_{in,2} - p_2 = \frac{4\sigma}{r/2} = \frac{8\sigma}{r}$.
$P_{in,2}$ का मान रखने पर:
$(8p_1 + \frac{32\sigma}{r}) - p_2 = \frac{8\sigma}{r}$.
$p_2 = 8p_1 + \frac{32\sigma}{r} - \frac{8\sigma}{r} = 8p_1 + \frac{24\sigma}{r}$.

(A) चूंकि बुलबुले निर्वात में हैं,उनके अंदर हवा का दबाव $P_1 = \frac{4\sigma}{r_1}$ और $P_2 = \frac{4\sigma}{r_2}$ है।
चूंकि तापमान अपरिवर्तित रहता है,आदर्श गैस नियम के अनुसार हवा के मोलों की संख्या संरक्षित रहती है,जिसका अर्थ है $P_1V_1 + P_2V_2 = PV$।
दबाव और आयतन $(V = \frac{4}{3}\pi r^3)$ के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{4\sigma}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) + \left(\frac{4\sigma}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_2^3\right) = \left(\frac{4\sigma}{r}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r^3\right)$
यह सरल होकर $r_1^2 + r_2^2 = r^2$ हो जाता है।
दिए गए व्यास $D_1 = 3.0 \, mm$ और $D_2 = 4.0 \, mm$ हैं,इसलिए त्रिज्याएँ $r_1 = 1.5 \, mm$ और $r_2 = 2.0 \, mm$ हैं।
$r^2 = (1.5)^2 + (2.0)^2 = 2.25 + 4.0 = 6.25$।
$r = \sqrt{6.25} = 2.5 \, mm$।
नए बुलबुले का व्यास $D = 2r = 2 \times 2.5 = 5.0 \, mm$ है।

(D) साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ त्रिज्या है।
मान लीजिए $P_1$ दो बुलबुलों के बीच के क्षेत्र में दबाव है।
$r_1 = 4 \ cm$ त्रिज्या वाले आंतरिक बुलबुले के लिए:
$P_2 - P_1 = \frac{4T}{4} \quad ...(i)$
$r_2 = 6 \ cm$ त्रिज्या वाले बाहरी बुलबुले के लिए:
$P_1 - P_0 = \frac{4T}{6} \quad ...(ii)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$(P_2 - P_1) + (P_1 - P_0) = \frac{4T}{4} + \frac{4T}{6}$
$P_2 - P_0 = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
मान लीजिए $r$ उस बुलबुले की त्रिज्या है जिसका अतिरिक्त दबाव $P_2 - P_0$ के बराबर है:
$P_2 - P_0 = \frac{4T}{r}$
$P_2 - P_0$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$\frac{4T}{r} = 4T \left( \frac{1}{4} + \frac{1}{6} \right)$
$\frac{1}{r} = \frac{1}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 + 2}{12} = \frac{5}{12}$
$r = \frac{12}{5} = 2.4 \ cm$.

(A) वक्र तरल सतह पर दबाव का अंतर यंग-लाप्लास समीकरण द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = T \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right)$.
दो प्लेटों के बीच पानी की बेलनाकार सतह के लिए,वक्रता की दो त्रिज्याएँ $R_1 = R$ और $R_2 = \infty$ हैं (क्योंकि सतह बेलनाकार वक्रता के लंबवत दिशा में सीधी है)।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta P = T \left( \frac{1}{R} + \frac{1}{\infty} \right)$
चूंकि $\frac{1}{\infty} = 0$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta P = \frac{T}{R}$.

(A) दिया गया है: हवा के बुलबुले की त्रिज्या,$r = 0.1\, cm = 10^{-3}\, m$.
द्रव का पृष्ठ तनाव,$S = 0.06\, N/m = 6 \times 10^{-2}\, N/m$.
द्रव का घनत्व,$\rho = 10^3\, kg/m^3$.
बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव,$P_{excess} = 1100\, N/m^2$.
द्रव की सतह से बुलबुले की गहराई,$h = ?$.
गहराई $h$ पर बुलबुले के अंदर कुल दबाव $P_{in} = P_{atm} + h\rho g + \frac{2S}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
वायुमंडलीय दबाव से अधिक दबाव $P_{excess} = P_{in} - P_{atm} = h\rho g + \frac{2S}{r}$ है।
मान रखने पर: $1100 = h \times 10^3 \times 9.8 + \frac{2 \times 6 \times 10^{-2}}{10^{-3}}$.
$1100 = 9800h + 120$.
$9800h = 1100 - 120 = 980$.
$h = \frac{980}{9800} = 0.1\, m$.

(B) मान लीजिए $P_1, R_1$ और $P_2, R_2$ दो साबुन के बुलबुलों के आंतरिक दबाव और त्रिज्या हैं, और $P_3, R_3$ परिणामी एकल बुलबुले का आंतरिक दबाव और त्रिज्या है।
साबुन के बुलबुले का आंतरिक दबाव $P_{in} = P + \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह मानते हुए कि प्रक्रिया समतापीय है, हवा की कुल मात्रा ($PV$ के संदर्भ में) स्थिर रहती है: $P_1V_1 + P_2V_2 = P_3V_3$.
दबाव और आयतन के लिए व्यंजक प्रतिस्थापित करने पर: $(P + \frac{4T}{R_1})(\frac{4}{3}\pi R_1^3) + (P + \frac{4T}{R_2})(\frac{4}{3}\pi R_2^3) = (P + \frac{4T}{R_3})(\frac{4}{3}\pi R_3^3)$.
इसका विस्तार करने पर, हमें मिलता है: $P(\frac{4}{3}\pi R_1^3 + \frac{4}{3}\pi R_2^3 - \frac{4}{3}\pi R_3^3) + \frac{16\pi T}{3}(R_1^2 + R_2^2 - R_3^2) = 0$.
यहाँ, $V = V_3 - (V_1 + V_2)$ आयतन में परिवर्तन है, इसलिए $V_1 + V_2 - V_3 = -V$। साथ ही, $S = S_3 - (S_1 + S_2)$ पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन है, जहाँ $S_i = 4\pi R_i^2$, इसलिए $S_1 + S_2 - S_3 = -S$।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $P(-V) + \frac{4T}{3}(-S) = 0$.
$-3$ से गुणा करने पर, हमें $3PV + 4ST = 0$ प्राप्त होता है।

(D) जब $r$ त्रिज्या की $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $n(\frac{4}{3}\pi r^3) = \frac{4}{3}\pi R^3$,इसलिए $n = (R/r)^3$.
इस प्रक्रिया के दौरान मुक्त ऊर्जा पृष्ठ क्षेत्रफल में कमी और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होती है:
$E = T \times (A_{initial} - A_{final}) = T \times (n \cdot 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
$n = R^3/r^3$ रखने पर:
$E = 4\pi T (\frac{R^3}{r^3} \cdot r^2 - R^2) = 4\pi T R^3 (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
यह ऊर्जा बड़ी बूंद की गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$K.E. = \frac{1}{2} M v^2 = E$,जहाँ $M$ बड़ी बूंद का द्रव्यमान है,$M = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi R^3$.
दोनों को बराबर करने पर:
$\frac{1}{2} (\frac{4}{3}\pi R^3 \rho) v^2 = 4\pi T R^3 (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$\frac{2}{3} \pi R^3 \rho v^2 = 4\pi T R^3 (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$v^2 = \frac{4 \times 3}{2} \frac{T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R}) = \frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})$.
$v = \sqrt{\frac{6T}{\rho} (\frac{1}{r} - \frac{1}{R})}$.

(D) $\text{माना साबुन के बुलबुले का आयतन } V \text{ है और वृद्धि की दर स्थिर है, इसलिए } V = kt, \text{ जहाँ } k \text{ एक स्थिरांक है।}
\text{चूँकि } V = \frac{4}{3}\pi R^3, \text{ हमारे पास } \frac{4}{3}\pi R^3 = kt \text{ है, जिसका अर्थ है } R = \left( \frac{3k}{4\pi} t \right)^{1/3}。
\text{साबुन के बुलबुले के अंदर का दबाव } P_{in} = P_{atm} + \frac{4T}{R} \text{ द्वारा दिया जाता है, जहाँ } P_{atm} \text{ वायुमंडलीय दबाव है और } T \text{ पृष्ठ तनाव है।}
\text{दबाव समीकरण में } R \text{ का मान रखने पर: } P_{in} = P_{atm} + \frac{4T}{\left( \frac{3k}{4\pi} t \right)^{1/3}}。
\text{इसे } P_{in} = P_{atm} + C \cdot t^{-1/3} \text{ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ } C \text{ एक स्थिरांक है।}
\text{दिए गए ग्राफों में से कोई भी } (P \text{ बनाम } 1/t, P \text{ बनाम } \log(t), \text{ या } P \text{ बनाम } t) P \propto t^{-1/3} \text{ संबंध को नहीं दर्शाता है।}
\text{इसलिए, सही विकल्प } D \text{ है।}$

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
जब $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो बुलबुले (जहाँ $r_2 > r_1$) संपर्क में होते हैं,तो छोटे बुलबुले के अंदर का दबाव $(P_1)$ बड़े बुलबुले के अंदर के दबाव $(P_2)$ से अधिक होता है।
सामान्य इंटरफेस पर दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{4T}{r_1} - \frac{4T}{r_2} = 4T \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} \right)$ है।
यदि $R$ इंटरफेस की वक्रता त्रिज्या है,तो $\Delta P = \frac{4T}{R}$ होगा।
$\Delta P$ के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $\frac{4T}{R} = 4T \left( \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} \right)$।
इसलिए,$R = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$।
यहाँ $r_1 = 3r$ और $r_2 = 4r$ दिया गया है,इसलिए $R = \frac{(3r)(4r)}{4r - 3r} = \frac{12r^2}{r} = 12r$।

(B) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दबाव $h$ ऊंचाई के तेल के स्तंभ द्वारा लगाए गए दबाव $P = h \rho g$ द्वारा संतुलित होता है।
दोनों को बराबर करने पर,$\frac{4T}{R} = h \rho g$,इसलिए $T = \frac{R h \rho g}{4}$।
दिए गए मान: $R = 1\, cm = 10^{-2}\, m$,$h = 2\, mm = 2 \times 10^{-3}\, m$,$\rho = 0.8\, g/cm^3 = 800\, kg/m^3$,और $g = 9.8\, m/s^2$।
इन मानों को रखने पर: $T = \frac{10^{-2} \times 2 \times 10^{-3} \times 800 \times 9.8}{4}$।
गणना करने पर $T = 3.92 \times 10^{-3}\, N/m$ प्राप्त होता है,जो विकल्प $B$ के निकट है।

(D) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
इसका अर्थ है कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$,या $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
दिया गया है कि पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव दूसरे की तुलना में तीन गुना है,इसलिए $\Delta P_1 = 3 \Delta P_2$।
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{1}{3}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{27}$ है।

(B) पानी की सतह के ठीक नीचे बने हवा के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $p_1 = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,क्योंकि वहां केवल एक ही तरल-वायु इंटरफ़ेस होता है।
इसी प्रकार,$r$ त्रिज्या वाली तरल की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $p_2 = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,क्योंकि वहां भी केवल एक ही तरल-वायु इंटरफ़ेस होता है।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $p_1 = p_2$ प्राप्त होता है।

(B) माना $p_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
माना $p_1$ और $p_2$ क्रमशः $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो बुलबुलों के अंदर का दबाव है।
साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta p = \frac{4S}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S$ पृष्ठ तनाव है।
अतः,बुलबुलों के अंदर का दबाव है:
$p_1 = p_0 + \frac{4S}{r_1}$
$p_2 = p_0 + \frac{4S}{r_2}$
चूँकि $r_1 > r_2$,इसलिए $p_2 > p_1$ होगा।
जब वे संपर्क में आते हैं,तो उभयनिष्ठ सतह $r$ वक्रता त्रिज्या वाली एक झिल्ली के रूप में कार्य करती है। इस उभयनिष्ठ सतह पर दबाव का अंतर है:
$p_2 - p_1 = \frac{4S}{r}$
$p_1$ और $p_2$ के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(p_0 + \frac{4S}{r_2}) - (p_0 + \frac{4S}{r_1}) = \frac{4S}{r}$
$\frac{4S}{r_2} - \frac{4S}{r_1} = \frac{4S}{r}$
$4S$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{r} = \frac{1}{r_2} - \frac{1}{r_1}$
$\frac{1}{r} = \frac{r_1 - r_2}{r_1 r_2}$
अतः,$r = \frac{r_1 r_2}{r_1 - r_2}$।

(D) जो द्रव सतह को नहीं भिगोते (जैसे पारा), उनके लिए मेनिस्कस ऊपर की ओर उत्तल (convex) होता है।
यंग-लाप्लास समीकरण के अनुसार, एक वक्र सतह पर दबाव का अंतर $\Delta P = P_{out} - P_{in} = \frac{2T}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
उत्तल मेनिस्कस के लिए, मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव $(P_{in})$ उसके ठीक ऊपर के दबाव $(P_{out})$ से अधिक होता है।
चूंकि मेनिस्कस के ठीक ऊपर का दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_0)$ होता है, इसलिए मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव $P_{in} = P_0 + \frac{2T}{R}$ होता है।
अतः, मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव वायुमंडलीय दबाव से अधिक होता है, जिसके कारण केशिका नली में पारे का स्तर नीचे गिर जाता है।

(B) पानी की परत की मोटाई $d$ का मान $d = \frac{V}{A} = \frac{0.05\, cm^3}{40\, cm^2} = 1.25 \times 10^{-3}\, cm$ है।
पानी की परत के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{d}$ है।
प्लेटों को अलग करने के लिए आवश्यक बल $F = \Delta P \times A = \frac{2T}{d} \times A = \frac{2T \times A}{V/A} = \frac{2T \times A^2}{V}$ है।
मान रखने पर: $F = \frac{2 \times 70\, dyne/cm \times (40\, cm^2)^2}{0.05\, cm^3} = \frac{140 \times 1600}{0.05} = 4,480,000\, dyne$.
चूंकि $1\, Newton = 10^5\, dyne$,इसलिए $F = \frac{4,480,000}{10^5}\, N = 44.8\, N$.

(D) साबुन के बुलबुले की त्रिज्या को $R_1$ से $R_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि साबुन के बुलबुले में दो सतहें होती हैं,इसलिए किया गया कार्य $W = 2 \times T \times \Delta A$ है,जहाँ $\Delta A = 4\pi R_2^2 - 4\pi R_1^2$ है।
दिया गया है: $T = 30\, dyne/cm$,$R_1 = 1\, cm$,$R_2 = 2\, cm$.
$W = 2 \times 30 \times 4\pi \times (2^2 - 1^2)$
$W = 60 \times 4\pi \times (4 - 1)$
$W = 240\pi \times 3 = 720\pi$.
$\pi \approx 3.14$ का उपयोग करने पर,$W = 720 \times 3.14 = 2260.8\, ergs$.

(A) बड़ी बूंद का आयतन $729$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होता है।
मान लीजिए $V_{big}$ बड़ी बूंद का आयतन है और $V_{small}$ एक छोटी बूंद का आयतन है।
$V_{big} = 729 \times V_{small}$
गोले के आयतन के सूत्र का उपयोग करते हुए,$\frac{4}{3}\pi R^3 = 729 \times \frac{4}{3}\pi r^3$।
दोनों पक्षों से $\frac{4}{3}\pi$ को हटाने पर,हमें $R^3 = 729 \times r^3$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$R = \sqrt[3]{729} \times r$।
चूंकि $9^3 = 729$,इसलिए $R = 9r$।
अतः,प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = \frac{R}{9}$ होगी।

(D) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = 1\, mm = 10^{-3}\, m$ है और छोटी बूंदों की संख्या $n = 10^6$ है।
माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि कुल आयतन स्थिर रहता है:
$n \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$10^6 \times r^3 = (10^{-3})^3$
$r^3 = 10^{-15} \Rightarrow r = 10^{-5}\, m$.
पृष्ठ क्षेत्रफल में वृद्धि $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2$
$\Delta A = 10^6 \times 4 \pi (10^{-5})^2 - 4 \pi (10^{-3})^2$
$\Delta A = 4 \pi (10^{-4} - 10^{-6}) = 4 \pi \times 10^{-6} (100 - 1) = 4 \pi \times 99 \times 10^{-6}\, m^2$.
किया गया कार्य $W = T \times \Delta A$
$W = 72 \times 10^{-3} \times 4 \pi \times 99 \times 10^{-6}$
$W = 72 \times 4 \times 3.14159 \times 99 \times 10^{-9} \approx 8.95 \times 10^{-5}\, J$.