Excess Pressure and coalesce of Bubble and drop Questions in Hindi

(A) क्षेत्रफल वाली और $t$ मोटाई की तरल फिल्म द्वारा अलग की गई दो प्लेटों को अलग करने के लिए आवश्यक बल $F$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{2TA}{t}$
दिया गया है:
क्षेत्रफल $A = 10^{-2} \, m^2$
मोटाई $t = 0.05 \, mm = 0.05 \times 10^{-3} \, m$
पृष्ठ तनाव $T = 70 \times 10^{-3} \, N/m$
मान रखने पर:
$F = \frac{2 \times (70 \times 10^{-3}) \times 10^{-2}}{0.05 \times 10^{-3}}$
$F = \frac{140 \times 10^{-5}}{0.05 \times 10^{-3}}$
$F = \frac{140}{0.05} \times 10^{-2} = 2800 \times 10^{-2} = 28 \, N$
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) एक बड़ी बूंद को छोटी बूंदों में तोड़ने के लिए आवश्यक ऊर्जा प्रणाली की कुल पृष्ठीय ऊर्जा में हुई वृद्धि के बराबर होती है।
$1$. $R$ त्रिज्या वाली बड़ी बूंद की प्रारंभिक पृष्ठीय ऊर्जा: $U_i = 4\pi R^2 T$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$2$. $r$ त्रिज्या वाली $n$ छोटी बूंदों की अंतिम पृष्ठीय ऊर्जा: $U_f = n(4\pi r^2 T) = 4\pi n r^2 T$.
$3$. आवश्यक ऊर्जा पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन है: $\Delta U = U_f - U_i$.
$4$. अतः,$\Delta U = 4\pi n r^2 T - 4\pi R^2 T = 4\pi T(n r^2 - R^2)$।

(A) जब दो बूंदें मिलकर एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो निकाय का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम हो जाता है।
चूंकि पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \times A$ द्वारा दी जाती है (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है),इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी के कारण निकाय की कुल पृष्ठीय ऊर्जा कम हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृष्ठीय ऊर्जा में हुई यह कमी आसपास के वातावरण में ऊष्मा के रूप में मुक्त हो जाती है।
अतः,इस प्रक्रिया के दौरान ऊर्जा मुक्त होती है।

(D) दिया गया है: बड़ी बूंद का व्यास $D = 2.8\, mm$,इसलिए त्रिज्या $R = 1.4\, mm = 0.14\, cm$.
छोटी बूंदों की संख्या $n = 125$.
पृष्ठ तनाव $T = 75\, dynes/cm$.
जब एक बड़ी बूंद $n$ छोटी बूंदों में टूटती है,तो प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r = R / n^{1/3}$ द्वारा दी जाती है।
$r = 0.14 / (125)^{1/3} = 0.14 / 5 = 0.028\, cm$.
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = n(4\pi r^2 T) - 4\pi R^2 T = 4\pi T (nr^2 - R^2)$ है।
चूंकि $n = (R/r)^3$,इसलिए $nr^2 = R^3/r = R^3 / (R/n^{1/3}) = R^2 n^{1/3}$.
अतः,$\Delta E = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
मान रखने पर: $\Delta E = 4 \times 3.14 \times (0.14)^2 \times 75 \times (125^{1/3} - 1)$.
$\Delta E = 4 \times 3.14 \times 0.0196 \times 75 \times (5 - 1) = 4 \times 3.14 \times 0.0196 \times 75 \times 4$.
$\Delta E \approx 73.85\, erg \approx 74\, erg$.

(B) $R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद को $n$ छोटी बूंदों में विभाजित करने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन और पृष्ठ तनाव $T$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$W = T \times \Delta A = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$.
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$,जिससे $r = R / n^{1/3}$ प्राप्त होता है।
इसका मान रखने पर,$W = 4\pi R^2 T (n^{1/3} - 1)$.
यहाँ $R = 10^{-3} \, m$,$n = 10^6$,और $T = 72 \times 10^{-3} \, J/m^2$ दिया गया है।
$W = 4 \times 3.1416 \times (10^{-3})^2 \times 72 \times 10^{-3} \times ( (10^6)^{1/3} - 1)$.
$W = 4 \times 3.1416 \times 10^{-6} \times 72 \times 10^{-3} \times (100 - 1)$.
$W = 4 \times 3.1416 \times 72 \times 99 \times 10^{-9} \approx 8.95 \times 10^{-5} \, J$.

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है। चूँकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $8$ छोटी बूंदों के आयतन के बराबर होगा:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 8r^3 \implies r = \frac{R}{2}$
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = T \times (\Delta A) = T \times (A_{final} - A_{initial})$
$A_{initial} = 4\pi R^2$
$A_{final} = 8 \times (4\pi r^2) = 32\pi (\frac{R}{2})^2 = 32\pi \times \frac{R^2}{4} = 8\pi R^2$
$W = T \times (8\pi R^2 - 4\pi R^2) = 4\pi R^2 T$

(C) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है और प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
दिया गया है $R = 1\, cm$,$n = 1000$,और पृष्ठ तनाव $T = 50\, dynes/cm$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $1000$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \times \frac{4}{3}\pi r^3$
$R^3 = 1000 r^3 \implies r = \frac{R}{10} = 0.1\, cm$.
किया गया कार्य $W$ पृष्ठ ऊर्जा में वृद्धि के बराबर होता है:
$W = T \times \Delta A = T \times (n \times 4\pi r^2 - 4\pi R^2)$
$W = 4\pi T (n r^2 - R^2)$
मान रखने पर:
$W = 4\pi \times 50 \times (1000 \times (0.1)^2 - 1^2)$
$W = 200\pi \times (1000 \times 0.01 - 1)$
$W = 200\pi \times (10 - 1) = 200\pi \times 9 = 1800\pi \, ergs$.

(B) जब $r$ त्रिज्या की दो समान बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बूंद बनाती हैं,तो आयतन स्थिर रहता है: $2 \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,जिससे $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $4 \pi R^2 = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 = 4 \pi (2^{2/3}) r^2 \approx 6.35 \pi r^2$ है।
चूंकि पृष्ठीय क्षेत्रफल कम हो जाता है,इसलिए निकाय की कुल पृष्ठीय ऊर्जा कम हो जाती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,यह मुक्त हुई पृष्ठीय ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे बूंद का तापमान बढ़ जाता है।

(D) साबुन के बुलबुले में दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। इसलिए,कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = 2 \times (4\pi R^2) = 8\pi R^2$ होता है।
बुलबुला बनाने में किया गया कार्य $W$,पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है: $W = T \times \Delta A$.
दिया गया है: पृष्ठ तनाव $T = 2 \times 10^{-2} \ N/m$ और त्रिज्या $R = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$.
मान रखने पर:
$W = T \times 8\pi R^2$
$W = (2 \times 10^{-2}) \times 8\pi \times (10^{-2})^2$
$W = 16\pi \times 10^{-2} \times 10^{-4}$
$W = 16\pi \times 10^{-6} \ J$.

(B) माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R = D/2$ है। माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,बड़ी बूंद का आयतन $27$ छोटी बूंदों के आयतन के योग के बराबर होगा:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 27 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
$R^3 = 27 r^3 \implies r = R/3 = D/6$.
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = 4\pi R^2 \sigma$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_f = 27 \times 4\pi r^2 \sigma = 27 \times 4\pi (R/3)^2 \sigma = 27 \times 4\pi (R^2/9) \sigma = 3 \times 4\pi R^2 \sigma = 12\pi R^2 \sigma$ है।
पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन $\Delta E = E_f - E_i = 12\pi R^2 \sigma - 4\pi R^2 \sigma = 8\pi R^2 \sigma$ है।
$R = D/2$ रखने पर:
$\Delta E = 8\pi (D/2)^2 \sigma = 8\pi (D^2/4) \sigma = 2\pi D^2 \sigma$.

(D) जब $r$ त्रिज्या की $1000$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो कुल आयतन स्थिर रहता है।
बड़ी बूंद का आयतन = $1000 \times$ छोटी बूंद का आयतन।
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 1000 \times \frac{4}{3} \pi r^3$.
$R^3 = 1000 r^3$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर: $R = 10r$.
अतः,छोटी बूंद की त्रिज्या $r = \frac{R}{10}$ होगी।

(C) जब $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $n \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$.
यहाँ $n = 10^6$ है,इसलिए $R = (10^6)^{1/3} r = 100r$.
छोटी बूंदों का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = n \times 4 \pi r^2$ है और बड़ी बूंद का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (n^{1/3} r)^2 = n^{2/3} 4 \pi r^2$ है।
पृष्ठीय क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = A_f - A_i = 4 \pi r^2 (n^{2/3} - n)$ है।
चूंकि $n^{2/3} < n$ है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी आती है $(\Delta A < 0)$।
पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \times A$ (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है) होती है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी आने से पृष्ठीय ऊर्जा मुक्त होती है।
यह मुक्त ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है,जिससे बूंद का तापमान बढ़ जाता है।

(D) जब $r$ त्रिज्या वाली पानी की दो छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है: $2 \times (4/3) \pi r^3 = (4/3) \pi R^3$,जिससे $R = 2^{1/3} r$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_i = 2 \times (4 \pi r^2) = 8 \pi r^2$ है।
अंतिम पृष्ठीय क्षेत्रफल $A_f = 4 \pi R^2 = 4 \pi (2^{1/3} r)^2 = 4 \pi (2^{2/3}) r^2 \approx 6.35 \pi r^2$ है।
चूंकि $A_f < A_i$,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी आती है।
चूंकि पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \times A$ (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है) होती है,इसलिए पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी आने से पृष्ठीय ऊर्जा में भी कमी आती है।
यह मुक्त हुई ऊर्जा आमतौर पर ऊष्मा के रूप में निकलती है।
अतः,कथन $(A)$ और $(B)$ दोनों सही हैं।

(C) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ है और बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ है।
चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$8$ छोटी बूंदों का आयतन = बड़ी बूंद का आयतन:
$8 \times (\frac{4}{3} \pi r^3) = \frac{4}{3} \pi R^3$
$R^3 = 8r^3 \implies R = 2r$.
बूंद की पृष्ठीय ऊर्जा $E = A \times T = 4 \pi r^2 T$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
$8$ छोटी बूंदों की प्रारंभिक ऊर्जा: $E_i = 8 \times (4 \pi r^2 T) = 32 \pi r^2 T$.
बड़ी बूंद की अंतिम ऊर्जा: $E_f = 4 \pi R^2 T = 4 \pi (2r)^2 T = 16 \pi r^2 T$.
ऊर्जा में परिवर्तन $E_i - E_f = 16 \pi r^2 T$ है। प्रश्न के अनुसार,ऊर्जा में परिवर्तन का कारक $4$ के अनुपात में है।

(A) जब $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो छोटे बुलबुले मिलकर $R$ त्रिज्या का एक बड़ा बुलबुला बनाते हैं,तो निकाय का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल कम हो जाता है।
चूंकि पृष्ठीय ऊर्जा $U = T \times A$ होती है (जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है),इसलिए कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल में कमी आने से निकाय की कुल पृष्ठीय ऊर्जा में कमी आती है।
ऊर्जा संरक्षण के नियम के अनुसार,पृष्ठीय ऊर्जा में हुई यह कमी आसपास के वातावरण में मुक्त हो जाती है,जो आमतौर पर ऊष्मा या गतिज ऊर्जा के रूप में होती है।
इसलिए,इस प्रक्रिया के दौरान ऊर्जा मुक्त होती है।

(B) माना प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $R$ है। दो छोटी बूंदों का आयतन $V_{initial} = 2 \times (\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{8}{3}\pi R^3$ है।
माना बड़ी बूंद की त्रिज्या $R'$ है। चूंकि आयतन स्थिर रहता है,$\frac{4}{3}\pi (R')^3 = \frac{8}{3}\pi R^3$,जिससे $R' = 2^{1/3}R$ प्राप्त होता है।
बूंद की पृष्ठ ऊर्जा $E = T \times A$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $A$ पृष्ठीय क्षेत्रफल है।
प्रारंभिक पृष्ठ ऊर्जा $E_i = 2 \times (T \times 4\pi R^2) = 8\pi R^2 T$ है।
अंतिम पृष्ठ ऊर्जा $E_f = T \times 4\pi (R')^2 = 4\pi (2^{1/3}R)^2 T = 4\pi 2^{2/3} R^2 T$ है।
प्रारंभिक और अंतिम पृष्ठ ऊर्जा का अनुपात $\frac{E_i}{E_f} = \frac{8\pi R^2 T}{4\pi 2^{2/3} R^2 T} = \frac{2}{2^{2/3}} = 2^{1 - 2/3} = 2^{1/3}$ है।
अतः,अनुपात $2^{1/3}:1$ है।

(A) साबुन के बुलबुले की दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं। साबुन के बुलबुले की त्रिज्या को $R_1$ से $R_2$ तक बढ़ाने में किया गया कार्य $W$, पृष्ठ ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
$W = T \times \Delta A \times 2$
जहाँ $T = S$ (पृष्ठ तनाव) और $\Delta A = 4\pi R_2^2 - 4\pi R_1^2$ है।
$W = S \times 2 \times (4\pi R_2^2 - 4\pi R_1^2) = 8\pi S(R_2^2 - R_1^2)$।
यहाँ $R_1 = R$ और $R_2 = 2R$ दिया गया है:
$W = 8\pi S((2R)^2 - R^2) = 8\pi S(4R^2 - R^2) = 8\pi S(3R^2) = 24\pi R^2 S$।

(C) जब $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो साबुन के बुलबुले आपस में जुड़ते हैं,तो उनके सामान्य इंटरफेस की वक्रता त्रिज्या $R$ का सूत्र $\frac{1}{R} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}$ होता है।
यहाँ दिया गया है कि दोनों बुलबुलों की त्रिज्या समान है,अर्थात $r_1 = r_2 = r$।
इन मानों को सूत्र में रखने पर: $\frac{1}{R} = \frac{1}{r} - \frac{1}{r} = 0$।
अतः,$\frac{1}{R} = 0$,जिसका अर्थ है कि $R = \infty$।
इस प्रकार,समान त्रिज्या वाले दो बुलबुलों के बीच का इंटरफेस एक समतल सतह बन जाता है,और इसकी वक्रता त्रिज्या अनंत होती है।

(C) साबुन के बुलबुले के लिए, अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P_{in} - P_{out} = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है। इसका तात्पर्य यह है कि $P_{in} = P_{out} + \frac{4T}{R}$। चूँकि $\frac{4T}{R} > 0$, बुलबुले के अंदर का दबाव हमेशा वायुमंडलीय दबाव से अधिक होता है। इसलिए, कथन $(C)$ गलत है क्योंकि यह गलत तरीके से दावा करता है कि आंतरिक दबाव वायुमंडलीय दबाव से कम है।

(C) $R$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{R}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
चूंकि $\Delta P \propto \frac{1}{R}$,इसलिए बड़े बुलबुले की तुलना में छोटे बुलबुले में अतिरिक्त दबाव अधिक होता है।
जब दो बुलबुलों को एक नली द्वारा जोड़ा जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहती है।
इसलिए,हवा छोटे बुलबुले से बड़े बुलबुले में बहती है,जिससे छोटा बुलबुला सिकुड़ जाता है और बड़ा बुलबुला और बड़ा हो जाता है।

(B) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव का सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{r}$ है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 25 \times 10^{-3} \, N/m$.
व्यास $d = 1 \, cm = 10^{-2} \, m$.
त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 0.5 \times 10^{-2} \, m$.
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{4 \times 25 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-2}}$
$\Delta P = \frac{100 \times 10^{-3}}{0.5 \times 10^{-2}} = \frac{0.1}{0.005} = 20 \, Pa$.
अतः,अतिरिक्त दबाव $20 \, Pa$ है।

(C) मान लीजिए कि $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या वाले दो साबुन के बुलबुलों के अंदर का अतिरिक्त दबाव क्रमशः $P_1$ और $P_2$ है।
साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$P_1 = \frac{4T}{r_1}$ और $P_2 = \frac{4T}{r_2}$ है।
जब वे आपस में जुड़ते हैं,तो उभयनिष्ठ सतह $r$ वक्रता त्रिज्या वाली सतह के रूप में कार्य करती है। इस उभयनिष्ठ सतह पर दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2$ है (चूंकि $r_1 < r_2$,इसलिए $P_1 > P_2$)।
इसलिए,$\frac{4T}{r} = \frac{4T}{r_1} - \frac{4T}{r_2}$।
$4T$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{r} = \frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2}$।
अतः,$r = \frac{r_1 r_2}{r_2 - r_1}$।

(C) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाली एक गोलाकार तरल बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta p$ को सूत्र $\Delta p = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
इस व्यंजक से यह स्पष्ट है कि अतिरिक्त दबाव त्रिज्या $r$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,$\Delta p \propto \frac{1}{r}$ या $\Delta p \propto r^{-1}$।

(C) पानी को पात्र में प्रवेश करने से रोकने के लिए,छेद पर पृष्ठ तनाव के कारण उत्पन्न अतिरिक्त दबाव को उस गहराई पर पानी के स्तंभ द्वारा लगाए गए हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करना चाहिए।
'$r$' त्रिज्या के गोलाकार मेनिस्कस (meniscus) पर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
'$h$' गहराई पर हाइड्रोस्टेटिक दबाव $P = h\rho g$ है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सीमांत स्थिति के लिए दोनों दबावों को बराबर करने पर:
$h\rho g = \frac{2T}{r}$
'$h$' के लिए हल करने पर:
$h = \frac{2T}{\rho rg}$

(D) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{r}$ है।
यहाँ पृष्ठ तनाव $T = 0.03 \, N/m$ दिया गया है।
बुलबुले का व्यास $d = 6 \, mm = 6 \times 10^{-3} \, m$ है।
अतः,त्रिज्या $r = \frac{d}{2} = 3 \times 10^{-3} \, m$ होगी।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\Delta P = \frac{4 \times 0.03}{3 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = \frac{0.12}{0.003} = 40 \, N/m^2$.
गणना किया गया अतिरिक्त दबाव $40 \, N/m^2$ है,जो $20 \, N/m^2$ से अधिक है (विकल्प $D$)।

(B) साबुन के बुलबुले में हवा के संपर्क में दो सतहें होती हैं: आंतरिक सतह और बाहरी सतह।
गोलाकार तरल बूंद के लिए,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = 2T/r$ द्वारा दिया जाता है।
हालाँकि,साबुन के बुलबुले के लिए दो सतहें (आंतरिक और बाहरी) होती हैं,इसलिए अतिरिक्त दबाव दोगुना हो जाता है।
अतः,साबुन के बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $\Delta P = 2 \times (2T/r) = 4T/r$ होता है।

(B) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,व्यास $d = 0.7 \ cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.35 \ cm$ है।
अतिरिक्त दबाव $\Delta P = h \rho g$,जहाँ $h = 8 \ mm = 0.8 \ cm$,$\rho = 1 \ g/cm^3$,और $g = 980 \ cm/s^2$ है।
$\Delta P = 0.8 \times 1 \times 980 = 784 \ dyne/cm^2$ है।
$\Delta P = \frac{4T}{r}$ सूत्र का उपयोग करने पर,$T = \frac{\Delta P \times r}{4}$ प्राप्त होता है।
$T = \frac{784 \times 0.35}{4} = 196 \times 0.35 = 68.6 \ dyne/cm$ है।
अतः,निकटतम मान $68.66 \ dyne/cm$ है।

(C) बाहरी दबाव $P_0 = 1 \, atm$ है।
पहले बुलबुले के अंदर का दबाव $P_1 = 1.01 \, atm$ है।
दूसरे बुलबुले के अंदर का दबाव $P_2 = 1.02 \, atm$ है।
पहले बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $\Delta P_1 = P_1 - P_0 = 1.01 - 1 = 0.01 \, atm$ है।
दूसरे बुलबुले में अतिरिक्त दबाव $\Delta P_2 = P_2 - P_0 = 1.02 - 1 = 0.02 \, atm$ है।
साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ होता है,जिसका अर्थ है $\Delta P \propto \frac{1}{r}$ या $r \propto \frac{1}{\Delta P}$।
इसलिए,त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{\Delta P_2}{\Delta P_1} = \frac{0.02}{0.01} = \frac{2}{1}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ होता है,इसलिए $V \propto r^3$।
उनके आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{2}{1} \right)^3 = \frac{8}{1}$ होगा।

(B) वक्र द्रव सतह पर दाबांतर को अतिरिक्त दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$r$ त्रिज्या वाली केश नली के लिए,मेनिस्कस की त्रिज्या $R$ का नली की त्रिज्या के साथ संबंध $R = \frac{r}{\cos \theta}$ होता है।
केश नली के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ को $\Delta P = \frac{2S}{R}$ द्वारा दिया जाता है।
$R$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\Delta P = \frac{2S}{r/\cos \theta} = \frac{2S}{r} \cos \theta$ प्राप्त होता है।
अतः,बीकर में द्रव सतह (वायुमंडलीय दबाव) और केश नली के अंदर द्रव सतह के बीच दाबांतर $\frac{2S}{r} \cos \theta$ है।

(C) जब $r_1$ और $r_2$ त्रिज्या के दो साबुन के बुलबुले समतापीय स्थितियों में निर्वात में मिलते हैं,तो हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। चूंकि तापमान स्थिर है,इसलिए बुलबुलों के अंदर की हवा के लिए दबाव और आयतन का गुणनफल $(PV)$ स्थिर रहता है।
साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ होता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है। अंदर का निरपेक्ष दबाव $P = P_{atm} + \frac{4T}{r}$ है। निर्वात में,$P_{atm} = 0$ होता है,इसलिए $P = \frac{4T}{r}$ होगा।
बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
पहले बुलबुले के लिए: $P_1 V_1 = (\frac{4T}{r_1})(\frac{4}{3}\pi r_1^3) = \frac{16}{3}\pi T r_1^2$.
दूसरे बुलबुले के लिए: $P_2 V_2 = (\frac{4T}{r_2})(\frac{4}{3}\pi r_2^3) = \frac{16}{3}\pi T r_2^2$.
$R$ त्रिज्या वाले परिणामी बुलबुले के लिए: $P_R V_R = (\frac{4T}{R})(\frac{4}{3}\pi R^3) = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
चूंकि हवा की कुल मात्रा संरक्षित रहती है: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = P_R V_R$.
$\frac{16}{3}\pi T r_1^2 + \frac{16}{3}\pi T r_2^2 = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
$\frac{16}{3}\pi T$ से विभाजित करने पर,हमें $R^2 = r_1^2 + r_2^2$ प्राप्त होता है,अर्थात $R = \sqrt{r_1^2 + r_2^2}$।

(C) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
इसका अर्थ है कि अतिरिक्त दबाव बुलबुले की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
चित्र से स्पष्ट है कि बुलबुले $B$ की त्रिज्या बुलबुलों $A$ और $C$ की त्रिज्याओं से बड़ी है ($r_B > r_A$ और $r_B > r_C$)।
इसलिए,$A$ और $C$ के अंदर का अतिरिक्त दबाव $B$ के अंदर के अतिरिक्त दबाव से अधिक है।
जब स्टॉप कॉक $S_1, S_2$ और $S_3$ खोले जाते हैं,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से कम दबाव वाले क्षेत्र की ओर प्रवाहित होगी।
परिणामस्वरूप,हवा बुलबुलों $A$ और $C$ से बुलबुले $B$ की ओर जाएगी।
अतः,बुलबुले $A$ और $C$ सिकुड़ने लगेंगे (उनका आयतन घटेगा),और बुलबुला $B$ फैलने लगेगा (उसका आयतन बढ़ेगा)।

(C) जब दो साबुन के बुलबुले निर्वात में समतापीय स्थितियों के तहत आपस में जुड़ते हैं,तो हवा के मोलों की कुल संख्या स्थिर रहती है। चूंकि तापमान स्थिर है,बुलबुलों के अंदर की हवा के लिए दबाव और आयतन का गुणनफल $(PV)$ स्थिर रहता है।
साबुन के बुलबुले के लिए,अतिरिक्त दबाव $P_{ex} = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि बुलबुले निर्वात में हैं,आंतरिक दबाव $P = \frac{4T}{r}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
पहले बुलबुले के लिए: $P_1 V_1 = \left(\frac{4T}{r_1}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_1^3\right) = \frac{16}{3}\pi T r_1^2$.
दूसरे बुलबुले के लिए: $P_2 V_2 = \left(\frac{4T}{r_2}\right) \left(\frac{4}{3}\pi r_2^3\right) = \frac{16}{3}\pi T r_2^2$.
$R$ त्रिज्या वाले नए बुलबुले के लिए: $P V = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
चूंकि हवा की कुल मात्रा संरक्षित रहती है: $P_1 V_1 + P_2 V_2 = PV$.
$\frac{16}{3}\pi T r_1^2 + \frac{16}{3}\pi T r_2^2 = \frac{16}{3}\pi T R^2$.
$r_1^2 + r_2^2 = R^2$.
यहाँ $r_1 = 3 \, cm$ और $r_2 = 4 \, cm$ दिया गया है,इसलिए $R = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \, cm$।

(A) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है।
दिया गया है कि $\Delta P_1 = 4 \Delta P_2$,इसलिए $\frac{4T}{r_1} = 4 \times \frac{4T}{r_2}$ होगा।
इसे सरल करने पर $\frac{1}{r_1} = \frac{4}{r_2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{r_2}{r_1} = 4$ या $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{4}$ है।
गोलाकार बुलबुले का आयतन $V = \frac{4}{3} \pi r^3$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,आयतन का अनुपात $\frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^3 = \left( \frac{1}{4} \right)^3 = \frac{1}{64}$ होगा।
अतः,अनुपात $1:64$ है।

(B) $r$ त्रिज्या और $T$ पृष्ठ तनाव वाली द्रव की बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ को सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\Delta P = \frac{2T}{r}$।
इस संबंध से यह स्पष्ट है कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
इसका अर्थ है कि अतिरिक्त दबाव बूंद की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है।
इसलिए,छोटी त्रिज्या के लिए,अतिरिक्त दबाव अधिक होगा।
अतः,छोटी बूंद में अतिरिक्त दबाव अधिक होता है।

(B) $r$ त्रिज्या वाले साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ को सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ साबुन के घोल का पृष्ठ तनाव है।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि $\Delta P \propto \frac{1}{r}$।
मान लीजिए कि पहले बुलबुले की त्रिज्या $r_1 = r$ है और दूसरे बुलबुले की त्रिज्या $r_2 = 4r$ है।
उनके अतिरिक्त दबाव का अनुपात $\frac{\Delta P_1}{\Delta P_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{4r}{r} = \frac{4}{1}$ होगा।
अतः,सही अनुपात $4:1$ है।

(C) गोलाकार बूंद के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{2T}{R}$ होता है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 70 \times 10^{-3}\, N/m$
त्रिज्या $R = 1\, mm = 1 \times 10^{-3}\, m$
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{1 \times 10^{-3}}$
$\Delta P = 2 \times 70 = 140\, N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) द्रव में $r$ त्रिज्या के हवा के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2T}{r}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है,$T = 70 \times 10^{-3} \, N/m$ और $r = 0.1 \, mm = 0.1 \times 10^{-3} \, m = 10^{-4} \, m$.
अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{2 \times 70 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 140 \times 10^1 = 1400 \, Pa$.
बुलबुले के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \Delta P$ है।
$P_{in} = 1.013 \times 10^5 + 1400 = 1.013 \times 10^5 + 0.014 \times 10^5 = 1.027 \times 10^5 \, Pa$.

(A) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
चूंकि $r_A > r_B$ है,इसलिए बुलबुले $A$ के अंदर का दबाव $(P_A)$ बुलबुले $B$ के अंदर के दबाव $(P_B)$ से कम है क्योंकि $P \propto \frac{1}{r}$ होता है।
जब दो बुलबुलों को एक संकीर्ण नली से जोड़ा जाता है,तो हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्र से कम दबाव वाले क्षेत्र की ओर प्रवाहित होती है।
इसलिए,हवा बुलबुले $B$ से बुलबुले $A$ की ओर प्रवाहित होगी।
परिणामस्वरूप,बुलबुले $B$ का आकार घट जाएगा और बुलबुले $A$ का आकार बढ़ जाएगा।

(A) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ का सूत्र $\Delta P = \frac{4T}{R}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $R$ बुलबुले की त्रिज्या है।
चूँकि दोनों बुलबुलों के लिए पृष्ठ तनाव $T$ समान है,इसलिए अतिरिक्त दबाव त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होता है,अर्थात $\Delta P \propto \frac{1}{R}$।
इसलिए,छोटी त्रिज्या $R$ के कारण अतिरिक्त दबाव $\Delta P$ अधिक होता है।
अतः,छोटे बुलबुले का आंतरिक दबाव बड़े बुलबुले के आंतरिक दबाव से अधिक होता है।

(A) जेगर की विधि में,बुलबुला एक तरल में डूबी हुई केशिका नली के सिरे पर बनता है।
जैसे-जैसे बुलबुला बड़ा होता है,उसकी वक्रता त्रिज्या तब तक घटती जाती है जब तक कि वह केशिका नली की त्रिज्या के बराबर न हो जाए।
फूटने के समय,स्थिरता बनाए रखने के लिए बुलबुले के आंतरिक दबाव को बाहरी दबाव और पृष्ठ तनाव के प्रभावों को पार करना आवश्यक होता है।
इसलिए,बुलबुले का आंतरिक दबाव हमेशा बाहरी दबाव से अधिक होता है।

(D) पानी के छेदों से बाहर न निकलने की शर्त यह है कि पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव छेद पर केशिका दबाव (अतिरिक्त दबाव) द्वारा संतुलित होना चाहिए।
अतिरिक्त दबाव $P = \frac{2T}{r}$,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ छेद की त्रिज्या है।
पानी के स्तंभ के कारण दबाव $P = h \rho g$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है $h \rho g = \frac{2T}{r}$।
दिया गया है: व्यास $d = 0.1 \, mm = 0.01 \, cm$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.005 \, cm$।
पृष्ठ तनाव $T = 75 \, dyne/cm$।
पानी का घनत्व $\rho = 1 \, g/cm^3$।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 1000 \, cm/s^2$।
मान रखने पर: $h = \frac{2T}{r \rho g} = \frac{2 \times 75}{0.005 \times 1 \times 1000} = \frac{150}{5} = 30 \, cm$।

(A) छिद्र में पानी की वक्र सतह पर दबाव का अंतर गोलाकार मेनिस्कस के लिए अतिरिक्त दबाव के सूत्र द्वारा दिया जाता है,जो $\Delta P = \frac{2T}{r}$ है।
संतुलन की स्थिति में,यह अतिरिक्त दबाव $h$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ द्वारा लगाए गए हाइड्रोस्टेटिक दबाव को संतुलित करना चाहिए,जो $P = hdg$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $\frac{2T}{r} = hdg$ प्राप्त होता है।
$r$ के लिए हल करने पर,हमें $r = \frac{2T}{hdg}$ प्राप्त होता है।

(D) टंकी के तल पर दबाव $P = P_{atm} + \rho gh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ गहराई है। चूंकि तल पर दबाव सतह पर दबाव से अधिक होता है $(P_{Bottom} > P_{Surface})$,इसलिए बुलबुले पर उत्प्लावन बल कार्य करता है,जिससे वह ऊपर की ओर उठता है।
बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर,गैस का आयतन $V$ दबाव $P$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(V \propto \frac{1}{P})$।
जैसे-जैसे बुलबुला सतह की ओर ऊपर उठता है,हाइड्रोस्टेटिक दबाव कम हो जाता है। परिणामस्वरूप,बुलबुले का आयतन बढ़ जाता है,अर्थात उसका आकार बढ़ जाता है।

(A) साबुन के बुलबुले के अंदर अतिरिक्त दबाव $\Delta P = \frac{4T}{r}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ बुलबुले की त्रिज्या है।
चूंकि पंप बुलबुले के आयतन $V$ में एक स्थिर दर से वृद्धि करता है,इसलिए $\frac{dV}{dt} = k$ (स्थिरांक)।
इसका समाकलन करने पर,$V = kt + C$ प्राप्त होता है। यदि $t = 0$ पर बुलबुले का आयतन शून्य है,तो $V = kt$ होगा।
चूंकि $V = \frac{4}{3}\pi r^3$,इसलिए $\frac{4}{3}\pi r^3 = kt$,जिसका अर्थ है $r = \left(\frac{3kt}{4\pi}\right)^{1/3}$।
इस मान को अतिरिक्त दबाव के सूत्र में रखने पर: $\Delta P = \frac{4T}{r} = 4T \left(\frac{4\pi}{3kt}\right)^{1/3}$।
अतः,$\Delta P \propto t^{-1/3}$।
बुलबुले के अंदर का कुल दबाव $P = P_{atm} + \Delta P = P_{atm} + \frac{C'}{t^{1/3}}$,जहाँ $C'$ एक स्थिरांक है।
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$P$ घटता है। इस संबंध को दर्शाने वाला ग्राफ एक वक्र है जो उच्च मान से शुरू होता है और जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,$P_{atm}$ की ओर घटता जाता है,जो विकल्प $A$ के अनुरूप है।

(C) मान लीजिए झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_0 + h\rho g$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $\rho$ पानी का घनत्व है।
दिया गया है कि वायुमंडलीय दबाव $P_0 = H\rho g$ है।
अतः,$P_1 = H\rho g + h\rho g = (H + h)\rho g$.
तली पर बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_0 = H\rho g$ है और त्रिज्या $2r$ हो जाती है,इसलिए आयतन $V_2 = \frac{4}{3}\pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$ है।
यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1V_1 = P_2V_2$.
$(H + h)\rho g \times \frac{4}{3}\pi r^3 = H\rho g \times 8 \times \frac{4}{3}\pi r^3$.
$(H + h) = 8H$.
$h = 7H$.

(B) माना $n = 1000$ छोटी बूंदों की संख्या है।
प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है।
छोटी बूंद का विभव $v = \frac{kq}{r}$ है।
जब $n$ बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या और $Q$ आवेश वाली एक बड़ी बूंद बनाती हैं,तो आयतन संरक्षित रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = n \times \frac{4}{3} \pi r^3 \implies R = n^{1/3} r$.
बड़ी बूंद का कुल आवेश $Q = nq$ है।
बड़ी बूंद का विभव $V = \frac{kQ}{R} = \frac{k(nq)}{n^{1/3}r} = n^{2/3} \left( \frac{kq}{r} \right) = n^{2/3} v$.
$n = 1000$ रखने पर:
$V = (1000)^{2/3} v = (10^3)^{2/3} v = 10^2 v = 100 v$.
अतः,बड़ी बूंद का विभव छोटी बूंद के विभव से $100$ गुना अधिक है।

(C) यह मानते हुए कि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
मान लीजिए समुद्र की गहराई $h$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = 10 \, dg$ है (जहाँ $d$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है)।
तल पर दबाव $P_1 = P_{atm} + h \, dg = (10 + h) \, dg$ है।
तल पर बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर बुलबुले का आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = 8 \times \frac{4}{3} \pi r^3 = 8 V_1$ है।
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ लागू करने पर:
$(10 + h) \, dg \times V_1 = 10 \, dg \times 8 V_1$।
दोनों पक्षों को $dg \times V_1$ से विभाजित करने पर:
$10 + h = 80$।
$h = 80 - 10 = 70 \, m$।

(B) माना $n = 64$ छोटी बूंदों की संख्या है।
प्रत्येक छोटी बूंद की त्रिज्या $r$ और आवेश $q$ है।
बड़ी बूंद की त्रिज्या $R$ और आवेश $Q$ है।
चूंकि आयतन संरक्षित रहता है,$\frac{4}{3}\pi R^3 = n \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,जिसका अर्थ है $R = n^{1/3} r$।
चूंकि आवेश संरक्षित रहता है,$Q = nq$।
पृष्ठीय आवेश घनत्व $\sigma = \frac{\text{आवेश}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{q}{4\pi r^2}$।
छोटी बूंद के लिए,$\sigma_{\text{small}} = \frac{q}{4\pi r^2}$।
बड़ी बूंद के लिए,$\sigma_{\text{large}} = \frac{Q}{4\pi R^2} = \frac{nq}{4\pi (n^{1/3}r)^2} = \frac{nq}{4\pi n^{2/3}r^2} = n^{1/3} \frac{q}{4\pi r^2} = n^{1/3} \sigma_{\text{small}}$।
इसलिए,अनुपात $\frac{\sigma_{\text{small}}}{\sigma_{\text{large}}} = \frac{1}{n^{1/3}}$।
$n = 64$ रखने पर,$\frac{\sigma_{\text{small}}}{\sigma_{\text{large}}} = \frac{1}{(64)^{1/3}} = \frac{1}{4}$।
अतः,अनुपात $1 : 4$ है।