Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Gujarati

(D) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \frac{v^2}{R}$ છે.
બિંદુ $P_1$ પર,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_1$ કેન્દ્ર તરફ હોય છે,એટલે કે $\vec{a}_1 = \frac{v^2}{R} \hat{i}$.
બિંદુ $P_2$ પર,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_2$ કેન્દ્ર તરફ હોય છે,એટલે કે $\vec{a}_2 = \frac{v^2}{R} \hat{j}$.
પ્રવેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{a} = \vec{a}_2 - \vec{a}_1 = \frac{v^2}{R} \hat{j} - \frac{v^2}{R} \hat{i}$ છે.
પ્રવેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{a}| = \sqrt{(\frac{v^2}{R})^2 + (-\frac{v^2}{R})^2} = \sqrt{2(\frac{v^2}{R})^2} = \frac{v^2}{R} \sqrt{2}$ થાય.

(B) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,ઝડપ $v$ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા બદલાય છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ પર વેગ $\vec{v}_1$ છે અને બિંદુ $Q$ પર વેગ $\vec{v}_2$ છે.
બંને વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_1| = |\vec{v}_2| = v$ છે.
વેગ સદિશો $\vec{v}_1$ અને $\vec{v}_2$ વચ્ચેનો ખૂણો એ કેન્દ્ર પર ચાપ $PQ$ દ્વારા આંતરેલા ખૂણા જેટલો હોય છે,જે $\theta = 40^\circ$ છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2v^2(2 \sin^2(\theta/2))} = 2v \sin(\theta/2)$ છે.
$\theta = 40^\circ$ મૂકતા,આપણને $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(40^\circ/2) = 2v \sin 20^\circ$ મળે છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં થતો ફેરફાર એ વેગમાં ફેરફાર સૂચવે છે.
વધુમાં,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
જેમ જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશની દિશા પણ સતત બદલાતી રહે છે જેથી તે હંમેશા કેન્દ્ર તરફ રહે.
તેથી,વેગ અને પ્રવેગ બંનેની દિશા બદલાય છે,ભલે તેમના મૂલ્યો અચળ રહેતા હોય.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
ઘડિયાળના સેકન્ડ કાંટા માટે,એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય $T = 60 \text{ સેકન્ડ}$ છે.
સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega = \frac{2\pi}{60} \text{ rad/s} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) કોણીય વેગ $\omega$ શોધવા માટેનું સૂત્ર $\omega = 2\pi n$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા (આવૃત્તિ) છે.
અહીં,$n = 120 \text{ પરિભ્રમણ પ્રતિ મિનિટ} = \frac{120}{60} \text{ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ} = 2 \text{ rev/s}$.
સૂત્રમાં $n$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \, rad/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) કોણીય વેગ $(\omega)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
તે એક સદિશ રાશિ છે જેનો ઉપયોગ કોઈ અક્ષની આસપાસ દ્રઢ પદાર્થની પરિભ્રમણીય ગતિનું વર્ણન કરવા માટે થાય છે.
તેથી,જ્યારે પદાર્થ પરિભ્રમણ કરતો હોય ત્યારે તે ઉપયોગી છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(A)$ છે.

(B) કોણીય વેગ $\omega = 3000$ પરિભ્રમણ પ્રતિ મિનિટ (rpm) આપેલ છે.
પ્રથમ,તેને પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડમાં ફેરવતા: $\omega = \frac{3000}{60} = 50$ પરિભ્રમણ પ્રતિ સેકન્ડ.
$1$ પરિભ્રમણ એટલે $2\pi$ રેડિયન,તેથી કોણીય વેગ રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં $\omega = 50 \times 2\pi = 100\pi \text{ rad/s}$ થાય.
$t = 1$ સેકન્ડમાં કપાયેલ ખૂણો $\theta = \omega t$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\theta = 100\pi \times 1 = 100\pi \text{ રેડિયન}$.

(B) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $\omega$ જેટલી સમાન કોણીય ઝડપથી ફરતા $m$ દળના કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F = m \omega^{2} r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગના આંતરિક ભાગ પર $R_{1}$ ત્રિજ્યાએ રહેલા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_{1} = m \omega^{2} R_{1}$ છે.
રીંગના બાહ્ય ભાગ પર $R_{2}$ ત્રિજ્યાએ રહેલા કણ માટે,કેન્દ્રગામી બળ $F_{2} = m \omega^{2} R_{2}$ છે.
આ બે બળોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{F_{1}}{F_{2}} = \frac{m \omega^{2} R_{1}}{m \omega^{2} R_{2}} = \frac{R_{1}}{R_{2}}$.
આમ,બળોનો ગુણોત્તર $\frac{R_{1}}{R_{2}}$ છે.

(A) રેખીય ઝડપ $(v)$,કોણીય ઝડપ $(\omega)$ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $(r)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = r\omega$.
આપેલ છે કે રેખીય ઝડપ $(v)$ અચળ છે,તેથી આપણે કોણીય ઝડપ શોધવા માટે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ: $\omega = \frac{v}{r}$.
અહીં $v$ અચળ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $\omega \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,કોણીય ઝડપ એ વર્તુળની ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.

(A) કણનું કોણીય વેગમાન $L$ એ $L = r \times p$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થયેલ છે. કોણીય વેગમાનમાં થતો ફેરફાર એ લાગુ પડતા ટોર્ક જેટલો હોય છે,જે $\frac{dL}{dt} = \tau = r \times F$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ $F$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે.
સ્થાન સદિશ $r$ કેન્દ્રથી માપવામાં આવતો હોવાથી,બળ $F$ કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,જેના કારણે લિવર આર્મ શૂન્ય બને છે.
તેથી,વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\tau = r \times F = 0$ થાય છે.
જેથી $\tau = 0$ હોવાથી,વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન $L$ અચળ (સંરક્ષિત) રહે છે.

(B) ધારો કે કણ $t = 0$ સમયે બિંદુ $A(a, 0)$ થી શરૂઆત કરે છે. $t$ સમય પછી,કણ બિંદુ $B$ પર પહોંચે છે જેથી કેન્દ્ર પર બનતો ખૂણો $\theta = \omega t$ થાય.
$t$ સમયે કણના યામ $(a \cos \omega t, a \sin \omega t)$ છે.
સ્થાનાંતર સદિશ $\vec{d}$ એ $A$ થી $B$ સુધીનો સદિશ છે: $\vec{d} = (a \cos \omega t - a) \hat{i} + (a \sin \omega t) \hat{j}$.
સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $d = \sqrt{(a \cos \omega t - a)^2 + (a \sin \omega t)^2}$ દ્વારા મળે છે.
$d = \sqrt{a^2(\cos^2 \omega t - 2 \cos \omega t + 1) + a^2 \sin^2 \omega t}$.
$\sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $d = \sqrt{a^2(2 - 2 \cos \omega t)}$ મળે છે.
નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$d = \sqrt{2a^2(1 - \cos \omega t)} = \sqrt{4a^2 \sin^2(\omega t / 2)}$.
આમ,$d = 2a \sin(\omega t / 2)$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
$x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા બિંદુ $P$ માટે,સ્થાન સદિશ $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_c$ એ $P$ થી ઉગમબિંદુ $O$ તરફ નિર્દેશિત છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{V^2}{R}$ છે.
આ સદિશના ઘટકો પાડતા:
$x$-ઘટક $a_x = -a_c \cos\theta = -\frac{V^2}{R} \cos\theta$ થાય.
$y$-ઘટક $a_y = -a_c \sin\theta = -\frac{V^2}{R} \sin\theta$ થાય.
આમ,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -\frac{V^2}{R} \cos\theta \hat{i} - \frac{V^2}{R} \sin\theta \hat{j}$ મળે.

(C) વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા પદાર્થની કોણીય ઝડપ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ એક પૂર્ણ ચક્ર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમયગાળો છે.
બંને કાર એક ચક્ર સમાન સમય $T$ માં પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમના સમયગાળા સમાન છે $(T_1 = T_2 = T)$.
તેથી,પ્રથમ કારની કોણીય ઝડપ $\omega_1 = \frac{2\pi}{T}$ અને બીજી કારની કોણીય ઝડપ $\omega_2 = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
તેમની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / T}{2\pi / T} = 1$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $1 : 1$ છે.

(C) વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 5 \; cm = 5 \times 10^{-2} \; m$ છે.
આવર્તકાળ $T = 0.2 \pi \; sec$ છે.
કણની ઝડપ $v = \frac{2 \pi r}{T}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $v = \frac{2 \pi \times 5 \times 10^{-2}}{0.2 \pi} = \frac{10 \times 10^{-2}}{0.2} = 0.5 \; m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = \frac{(0.5)^2}{5 \times 10^{-2}} = \frac{0.25}{0.05} = 5 \; m/s^2$.

(B) વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તેમાં મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને હોય છે. વેગ અચળ રહેવા માટે,મૂલ્ય અને દિશા બંને અચળ રહેવા જોઈએ.
જો પદાર્થની ઝડપ અચળ હોય,તો પણ જો તેની દિશા બદલાતી હોય તો તેનો વેગ બદલાઈ શકે છે. તેનું ઉત્તમ ઉદાહરણ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ છે,જ્યાં ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા બદલાતી હોવાથી વેગ બદલાય છે અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉદ્ભવે છે.
વિકલ્પ $A$ ખોટો છે કારણ કે અચળ વેગનો અર્થ અચળ ઝડપ થાય છે.
વિકલ્પ $B$ સાચો છે કારણ કે વર્તુળાકાર માર્ગે અચળ ઝડપે ગતિ કરતા પદાર્થનો વેગ દિશા બદલાવાને કારણે બદલાય છે.
વિકલ્પ $C$ ખોટો છે કારણ કે વર્તુળાકાર માર્ગે અચળ ઝડપે ગતિ કરતા પદાર્થને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હોય છે.
વિકલ્પ $D$ ખોટો છે કારણ કે જો બળ સ્થાનાંતરને લંબ રૂપે લાગતું હોય (જેમ કે કેન્દ્રગામી બળ),તો થયેલું કાર્ય શૂન્ય હોય છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાય છે.
રેખીય વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),તે સતત બદલાય છે.
વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. જેમ પદાર્થની દિશા બદલાય છે,તેમ આ પ્રવેગની દિશા પણ સતત બદલાતી રહે છે.
બળ એ પ્રવેગ સાથે $F = ma$ દ્વારા સંબંધિત હોવાથી,બળની દિશા પણ સતત બદલાતી રહે છે.
જોકે,કોણીય વેગ $\omega$ અચળ રહે છે કારણ કે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર અચળ હોય છે.

(B) માણસ વર્તુળાકાર પથ પર અચળ ઝડપે દોડી રહ્યો છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પથના દરેક બિંદુએ પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે.
પથની ત્રિજ્યા $r = 2 \sqrt 2 \, m$ છે.
એક ચક્કર પૂર્ણ કરવા માટે લાગતો સમય (આવર્તકાળ) $T = 10 \, s$ છે.
એક ચક્કરમાં કાપેલું અંતર એ વર્તુળનો પરિઘ છે,$C = 2 \pi r$.
$C = 2 \pi (2 \sqrt 2) = 4 \sqrt 2 \pi \, m$.
અચળ ઝડપ $v$ એ કુલ અંતર અને કુલ સમયના ગુણોત્તર દ્વારા મળે છે:
$v = \frac{C}{T} = \frac{4 \sqrt 2 \pi}{10} = \frac{2 \sqrt 2 \pi}{5} \, m/s$.
ઝડપ અચળ હોવાથી,$t = 2.5 \, s$ સહિત કોઈપણ સમયે તત્કાલીન ઝડપ એ સરેરાશ ઝડપ જેટલી જ હોય છે.
તેથી,તત્કાલીન ઝડપ $\frac{2 \sqrt 2 \pi}{5} \, m/s$ છે.

(D) વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા પદાર્થનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $r$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે.
બંને કાર સમાન સમય $t$ માં વર્તુળ પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમનો કોણીય વેગ સમાન હશે,જે $\omega = \frac{2\pi}{t}$ છે.
ધારો કે બે કારના કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુક્રમે $a_1$ અને $a_2$ છે.
તેથી,$a_1 = \omega^2 r_1$ અને $a_2 = \omega^2 r_2$ થાય.
તેમના કેન્દ્રગામી પ્રવેગનો ગુણોત્તર $\frac{a_1}{a_2} = \frac{\omega^2 r_1}{\omega^2 r_2} = \frac{r_1}{r_2}$ મળે.
આમ,ગુણોત્તર $r_1 : r_2$ છે.

(A) પદાર્થ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ પર કેન્દ્ર ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
આપેલ છે કે $x = -2 \, m$ પર,વેગ $\vec{v} = -(4 \, m/s) \hat{j}$ છે.
વેગ વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોવાથી,$x = -2 \, m$ (જે ઋણ $X$-અક્ષ પર છે) પર વેગ સદિશ ઋણ $Y$-દિશામાં છે. આ સૂચવે છે કે પદાર્થ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ કરે છે.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $R = 2 \, m$ છે.
પદાર્થની ઝડપ $v = 4 \, m/s$ છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટે,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી હોય છે,જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
જ્યારે પદાર્થ $y = 2 \, m$ (જે ધન $Y$-અક્ષ પર છે) પર હોય,ત્યારે કેન્દ્ર $(0,0)$ પર છે,તેથી પ્રવેગ સદિશ ઉગમબિંદુ તરફ એટલે કે ઋણ $Y$-દિશામાં હોવો જોઈએ.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{v^2}{R} = \frac{(4)^2}{2} = \frac{16}{2} = 8 \, m/s^2$ છે.
તેથી,$y = 2 \, m$ પર પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -(8 \, m/s^2) \hat{j}$ થશે.

(D) અચળ ઝડપ $v$ સાથે ગતિ કરતા કણ માટે $\theta$ ખૂણે વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $\Delta \vec{v}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta v = 2v \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$
આપેલ છે:
ઝડપ $v = 10\,m/s$
ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$
કિંમતો મૂકતા:
$\Delta v = 2 \times 10 \times \sin\left(\frac{60^{\circ}}{2}\right)$
$\Delta v = 20 \times \sin(30^{\circ})$
કારણ કે $\sin(30^{\circ}) = 0.5$ છે:
$\Delta v = 20 \times 0.5 = 10\,m/s$
તેથી,વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $10\,m/s$ છે.

(C) ધારો કે કણનું પ્રારંભિક સ્થાન $A$ છે અને અંતિમ સ્થાન $B$ છે,જે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર છે. કેન્દ્ર $O$ આગળ બનતો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
સ્થાનાંતર એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જેને $x$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે.
$\triangle OAB$ માં,$OA = OB = r$ અને $\angle AOB = 60^{\circ}$ છે.
બે બાજુઓ સમાન હોવાથી અને તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $60^{\circ}$ હોવાથી,આ ત્રિકોણ સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
તેથી,ત્રીજી બાજુ $x = AB = r$ થાય.

(C) વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણનો વેગ સદિશ હંમેશા પથને સ્પર્શક હોય છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ પરનો પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_i$ છે અને બિંદુ $Q$ પરનો અંતિમ વેગ $\vec{v}_f$ છે.
બંને વેગનું મૂલ્ય $v$ છે, તેથી $|\vec{v}_i| = |\vec{v}_f| = v$.
બે વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો એ કેન્દ્ર પર ચાપ $PQ$ દ્વારા આંતરેલા ખૂણા જેટલો હોય છે, જે $\theta = 40^o$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_f - \vec{v}_i|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સદિશ બાદબાકીના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા, $|\vec{A} - \vec{B}| = \sqrt{A^2 + B^2 - 2AB \cos \theta}$.
કિંમતો મૂકતા: $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $1 - \cos \theta = 2 \sin^2(\theta/2)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{2v^2(2 \sin^2(\theta/2))} = \sqrt{4v^2 \sin^2(\theta/2)} = 2v \sin(\theta/2)$.
અહીં $\theta = 40^o$ આપેલ હોવાથી, વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $2v \sin(40^o/2) = 2v \sin 20^o$ થશે.

(B) ધારો કે $R$ એ વર્તુળની ત્રિજ્યા છે. અડધા પરિભ્રમણ પછી,કણ બિંદુ $A$ થી બિંદુ $B$ પર જાય છે.
સ્થાનાંતર એ $A$ અને $B$ વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે વર્તુળનો વ્યાસ છે,$AB = 2R$.
વર્તુળાકાર માર્ગ પર કાપેલું અંતર $\pi R$ છે.
ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,લાગતો સમય $t = \frac{\text{અંતર}}{\text{ઝડપ}} = \frac{\pi R}{v}$ થાય.
સરેરાશ વેગ એટલે કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય.
$\text{સરેરાશ વેગ} = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{લાગતો સમય}} = \frac{2R}{\pi R / v} = \frac{2v}{\pi}$.

(C) કોણીય વેગ $\omega = 60^\circ/s$ આપેલ છે.
ડિગ્રીને રેડિયનમાં ફેરવવા માટે,આપણે $180^\circ = \pi\,rad$ સંબંધનો ઉપયોગ કરીએ છીએ. તેથી,$\omega = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3}\,rad/s$.
પરિભ્રમણના કેન્દ્રથી અંતર $r = 3.5\,m = \frac{7}{2}\,m$ છે.
રેખીય વેગ $v$ માટેનું સૂત્ર $v = r\omega$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$v = \frac{7}{2} \times \frac{\pi}{3} = \frac{7\pi}{6}\,m/s$.

(A) આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $R = 1\, m$
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = 22$
સમય $t = 44\, s$
આવૃત્તિ $f = \frac{n}{t} = \frac{22}{44} = 0.5\, Hz$
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 0.5 = \pi\, rad/s$
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_r = \omega^2 R$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_r = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\, m/s^2$
ઝડપ અચળ હોવાથી,સ્પર્શીય પ્રવેગ $a_t = 0$ થાય. આમ,કુલ પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જેની દિશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(C) આપેલ ત્રિજ્યા $r = 25\, cm = 0.25\, m$.
આવૃત્તિ $f = 2\, rev/s$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ સૂત્ર $a_c = r\omega^2$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_c = 0.25 \times (4\pi)^2$.
$a_c = 0.25 \times 16\pi^2$.
$a_c = 4\pi^2\, m/s^2$.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણની કોણીય ઝડપ $\omega$ અને તેના આવર્તકાળ $T$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં આપેલ છે કે કણો $A$ અને $B$ ના આવર્તકાળ સમાન છે,એટલે કે $T_A = T_B = T$.
તેથી,કણ $A$ ની કોણીય ઝડપ $\omega_A = \frac{2\pi}{T_A} = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
તે જ રીતે,કણ $B$ ની કોણીય ઝડપ $\omega_B = \frac{2\pi}{T_B} = \frac{2\pi}{T}$ થાય.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર લેતા,આપણને $\frac{\omega_A}{\omega_B} = \frac{2\pi/T}{2\pi/T} = 1$ મળે છે.
આમ,$A$ ની કોણીય ઝડપ અને $B$ ની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $1: 1$ છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\overrightarrow{r}(t) = \cos \omega t \hat{i} + \sin \omega t \hat{j}$.
વેગ $\overrightarrow{v}(t)$ શોધવા માટે,આપણે $\overrightarrow{r}(t)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\overrightarrow{v}(t) = \frac{d\overrightarrow{r}}{dt} = -\omega \sin \omega t \hat{i} + \omega \cos \omega t \hat{j}$.
પ્રવેગ $\overrightarrow{a}(t)$ શોધવા માટે,આપણે $\overrightarrow{v}(t)$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\overrightarrow{a}(t) = \frac{d\overrightarrow{v}}{dt} = -\omega^2 \cos \omega t \hat{i} - \omega^2 \sin \omega t \hat{j} = -\omega^2 (\cos \omega t \hat{i} + \sin \omega t \hat{j}) = -\omega^2 \overrightarrow{r}$.
હવે,$\overrightarrow{v}$ અને $\overrightarrow{r}$ નો અદિશ ગુણાકાર તપાસીએ:
$\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{r} = (-\omega \sin \omega t)(\cos \omega t) + (\omega \cos \omega t)(\sin \omega t) = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,$\overrightarrow{v}$ એ $\overrightarrow{r}$ ને લંબ છે.
કારણ કે $\overrightarrow{a} = -\omega^2 \overrightarrow{r}$,પ્રવેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશ $\overrightarrow{r}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે,જેનો અર્થ છે કે તે ઉગમબિંદુ તરફ દિશામાન છે.

(A) હા,જો પદાર્થ વક્ર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય તો તેની ઝડપ અચળ હોવા છતાં વેગ બદલાઈ શકે છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ છે,જેનો અર્થ છે કે તે મૂલ્ય (ઝડપ) અને દિશા બંને પર આધાર રાખે છે.
જો ગતિની દિશા બદલાય,તો ઝડપ અચળ રહેવા છતાં વેગ બદલાય છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,તેથી તેને 'નિયમિત' ગતિ કહેવામાં આવે છે. જોકે,વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ પદાર્થની દિશા બદલાતી રહે છે. પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર છે (જે સદિશ રાશિ છે),તેથી દિશામાં થતો ફેરફાર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરે છે. આમ,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતો પદાર્થ અચળ ઝડપ હોવા છતાં પ્રવેગી ગતિ કરે છે.

(C) વક્ર અથવા કોણીય પથ પર ગતિ કરતા કણનો તત્કાલીન વેગ એ સમયગાળો શૂન્યની નજીક પહોંચે ત્યારે સરેરાશ વેગની મર્યાદા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
ગાણિતિક રીતે,$\vec{v} = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \vec{r}}{\Delta t} = \frac{d\vec{r}}{dt}$.
ભૌમિતિક રીતે,જેમ $\Delta t$ અત્યંત નાનું બને છે,તેમ સ્થાનાંતર સદિશ $\Delta \vec{r}$ પથને સ્પર્શક બને છે.
તેથી,તત્કાલીન વેગ સદિશની દિશા હંમેશા તે ચોક્કસ બિંદુએ કણના પથના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.

(N/A) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતો હોય,ત્યારે તેની ગતિને નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કહેવાય છે.
ધારો કે એક પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ જેટલી અચળ ઝડપે ગતિ કરે છે. વેગની દિશા સતત બદલાતી હોવાથી પદાર્થ પ્રવેગિત ગતિ કરે છે.
ધારો કે બિંદુ $P$ અને $P'$ પર પદાર્થના સ્થાન સદિશો $\vec{r}$ અને $\vec{r}'$ છે અને વેગ સદિશો $\vec{v}$ અને $\vec{v}'$ છે.
કોઈપણ બિંદુએ વેગ સદિશ તે બિંદુએ માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
સદિશ સરવાળાના ત્રિકોણના નિયમ મુજબ,વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}' - \vec{v}$ આકૃતિ $(a_2)$ માં દર્શાવેલ છે.
માર્ગ વર્તુળાકાર હોવાથી,$\vec{v}$ એ $\vec{r}$ ને લંબ છે અને $\vec{v}'$ એ $\vec{r}'$ ને લંબ છે. તેથી,$\Delta \vec{v}$ એ $\Delta \vec{r}$ ને લંબ છે.
સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{\Delta \vec{v}}{\Delta t}$ હોવાથી,$\vec{a}$ ની દિશા $\Delta \vec{v}$ ની દિશામાં હોય છે.
જ્યારે $\Delta t \rightarrow 0$,ત્યારે $\Delta \vec{v}$ દ્વારા બનતો ત્રિકોણ એ $\Delta \vec{r}$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ સાથે સમરૂપ બને છે.
ત્રિકોણની સમરૂપતા પરથી,$\frac{|\Delta \vec{v}|}{v} = \frac{|\Delta \vec{r}|}{r}$.
$\Delta t$ વડે ભાગતા,$\frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v}{r} \frac{|\Delta \vec{r}|}{\Delta t}$ મળે છે.
જ્યારે $\Delta t \rightarrow 0$,ત્યારે $|\Delta \vec{r}| \approx v \Delta t$,તેથી $a_c = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{|\Delta \vec{v}|}{\Delta t} = \frac{v}{r} (v) = \frac{v^2}{r}$.
આમ,પ્રવેગ હંમેશા કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(N/A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપ $v$ થી ગતિ કરે છે.
જ્યારે પદાર્થ $\Delta t$ સમયગાળામાં બિંદુ $P$ થી $P'$ પર જાય છે,ત્યારે સ્થાન સદિશ $\Delta \theta$ જેટલા ખૂણે ફરે છે.
કોણીય વેગ $\omega$ ને કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$.
ચાપની લંબાઈ $\Delta S = R \Delta \theta$ હોવાથી,રેખીય ઝડપ $v = \frac{\Delta S}{\Delta t} = R \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = R \omega$ થાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{R}$ છે.
$v = R \omega$ મૂકતા,આપણને $a_c = \frac{(R \omega)^2}{R} = R \omega^2$ મળે છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi \nu$ હોવાથી,જ્યાં $\nu$ એ આવૃત્તિ છે,આપણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગને આ રીતે પણ દર્શાવી શકીએ:
$a_c = R (2 \pi \nu)^2 = 4 \pi^2 \nu^2 R$.

(N/A) નિયમિત વર્તુળ ગતિ એટલે જ્યારે કોઈ પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરતો હોય.
આ ગતિમાં વેગનું મૂલ્ય અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા દરેક બિંદુએ સતત બદલાતી રહે છે.
પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી,અને અહીં વેગની દિશા બદલાતી હોવાથી,પદાર્થ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ પ્રવેગ અનુભવે છે.
આ પ્રવેગને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$ કહેવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર: $a_c = \frac{v^2}{r} = \omega^2 r$,જ્યાં $v$ એ રેખીય ઝડપ છે,$r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.

(N/A) આપણને કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \frac{v^2}{R}$ આપેલું છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = R\omega$ છે,જ્યાં $R$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે.
હવે,$v = R\omega$ ની કિંમત કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c = \frac{(R\omega)^2}{R}$
$a_c = \frac{R^2\omega^2}{R}$
આ પદનું સાદું રૂપ આપતા આપણને મળે છે:
$a_c = R\omega^2$.

(A) નિયમિત વર્તુળ ગતિમાં,કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોણીય વેગ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2\pi f$ છે.
આ કિંમતને કેન્દ્રગામી પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c = (2\pi f)^2 r$
$a_c = 4\pi^2 f^2 r$
આમ,આવૃત્તિના પદમાં કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = 4\pi^2 f^2 r$ છે.

(A) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતર $\Delta \theta$ અને સમયગાળા $\Delta t$ નો ગુણોત્તર છે.
ઘડિયાળના કલાક કાંટા માટે,તે $12$ કલાકમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ ($2\pi$ રેડિયન) પૂર્ણ કરે છે.
તેથી,$\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{2\pi \text{ rad}}{12 \text{ h}} = \frac{\pi}{6} \text{ rad h}^{-1}$.

(C) નિયમિત વર્તુળગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
નિયમિત વર્તુળગતિમાં ઉદ્ભવતો પ્રવેગ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
ત્રિજ્યા (સ્થાન સદિશ) એ વર્તુળના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકને લંબ હોવાથી,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ (ત્રિજ્યાની દિશામાં) હંમેશા વેગ સદિશને લંબ હોય છે.
તેથી,વેગ સદિશ $\vec{v}$ અને પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ છે.

(B) કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_{c} = \frac{v^{2}}{r}$ છે.
અહીં નવી ઝડપ $v' = 2v$ અને નવી ત્રિજ્યા $r' = 2r$ છે.
તેથી નવો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_{c}'$ નીચે મુજબ મળે:
$a_{c}' = \frac{(v')^{2}}{r'} = \frac{(2v)^{2}}{2r} = \frac{4v^{2}}{2r}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,$a_{c}' = 2 \left( \frac{v^{2}}{r} \right)$ મળે.
આમ,$a_{c}' = 2a_{c}$.

(N/A) સાયકલ સવાર વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપે ગતિ કરી રહ્યો છે. તેથી,આ ગતિ નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે: ઝડપ $v = 10\, m/s$ અને ત્રિજ્યા $r = 1\, km = 1000\, m$.
કિંમતો મૂકતા:
$a = \frac{(10\, m/s)^2}{1000\, m} = \frac{100}{1000}\, m/s^2 = 0.1\, m/s^2$.
આ પ્રવેગની દિશા હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે બિંદુ $O$ છે. આમ,પ્રવેગ $0.1\, m/s^2$ છે જે $RO$ ની દિશામાં છે.

(N/A) જ્યારે $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $R$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $a = \frac{v^2}{R}$ જેટલો કેન્દ્રગામી અથવા ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ અનુભવે છે. આ પ્રવેગની દિશા હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ મુજબ,આ પ્રવેગ ઉત્પન્ન કરવા માટે જરૂરી બળ $F_c = \frac{mv^2}{R}$ છે. આ બળની દિશા પણ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોવાથી તેને કેન્દ્રગામી બળ કહેવામાં આવે છે.
વિવિધ પરિસ્થિતિઓમાં કેન્દ્રગામી બળ નીચે મુજબ પ્રાપ્ત થાય છે:
$(1)$ સૂર્યની આસપાસ ફરતા ગ્રહ માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$(2)$ પરમાણુમાં ન્યુક્લિયસની આસપાસ ફરતા ઇલેક્ટ્રોન માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ કુલંબિયન બળ (વિદ્યુત બળ) દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.
$(3)$ સમતલ વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા વાહનો માટે જરૂરી કેન્દ્રગામી બળ ટાયર અને રસ્તા વચ્ચેના ઘર્ષણ બળ દ્વારા પૂરું પાડવામાં આવે છે.

(N/A) $m$ દળ ધરાવતો પદાર્થ $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર $v$ જેટલી અચળ ઝડપ (અથવા કોણીય વેગ $\omega$) સાથે ગતિ કરતો હોય,તો તેના માટેના સમીકરણો નીચે મુજબ છે:
$1$. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c)$: વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ લાગતા પ્રવેગને નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય:
$a_c = \frac{v^2}{r} = r\omega^2$
$2$. કેન્દ્રગામી બળ $(F_c)$: ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ મુજબ,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ જાળવી રાખવા માટે જરૂરી બળ:
$F_c = m a_c = \frac{mv^2}{r} = mr\omega^2$
અહીં,$v$ એ રેખીય ઝડપ છે,$r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$m$ એ પદાર્થનું દળ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.

(B) કેન્દ્રગામી બળ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ $F_c = \frac{mv^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$v$ એ ઝડપ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે.
કેન્દ્રગામી બળની દિશા માત્ર વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે પદાર્થના સ્થાન પર આધાર રાખે છે,તેના વેગની દિશા (સ્પર્શકીય ગતિ) પર નહીં.
તેથી,ગતિની દિશા ઉલટાવવાથી કેન્દ્રગામી બળની દિશા બદલાતી નથી; તે હંમેશા કેન્દ્ર તરફ જ રહે છે.

(A) કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = r \omega^2$ છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
આપેલ છે: $r = 20 \, cm$ અને $a_c = 980 \, cm \, s^{-2}$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$980 = 20 \times \omega^2$
$\omega^2 = \frac{980}{20} = 49$
$\omega = \sqrt{49} = 7 \, rad \, s^{-1}$.

(A) નિયમિત વર્તુળગતિમાં,કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}$ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ લાગે છે,જ્યારે સ્થાનાંતર $\vec{d}$ (અથવા વેગ સદિશ $\vec{v}$) હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
બળ હંમેશા સ્થાનાંતરને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ}$ થાય છે.
કાર્ય $W$ નું સૂત્ર $W = F d \cos \theta$ છે.
$\theta = 90^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $W = F d \cos 90^{\circ} = F d (0) = 0$ મળે છે.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળ દ્વારા થતું કાર્ય $0$ છે.

(N/A) કોણીય ઝડપ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર. તે એક અદિશ રાશિ છે. જો કોઈ પદાર્થ $\Delta t$ સમયમાં $\Delta \theta$ જેટલો ખૂણો ફરે,તો સરેરાશ કોણીય ઝડપ $\omega_{avg} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$ થાય. તત્કાલીન કોણીય ઝડપ $\omega = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d\theta}{dt}$ છે.
કોણીય વેગ એટલે સમયની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતર સદિશના ફેરફારનો દર. તે એક સદિશ રાશિ છે,જેને $\vec{\omega}$ વડે દર્શાવવામાં આવે છે. તેની દિશા જમણા હાથના નિયમ દ્વારા નક્કી થાય છે,જે પરિભ્રમણના સમતલને લંબ હોય છે. તત્કાલીન કોણીય વેગ $\vec{\omega} = \frac{d\vec{\theta}}{dt}$ છે.

(N/A) $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણની રેખીય ઝડપ $v$ અને તેની કોણીય ઝડપ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v = r\omega$
જ્યાં:
$v$ એ રેખીય ઝડપ છે ($m/s$ માં),
$r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે ($m$ માં),
$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે ($rad/s$ માં).

(N/A) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરતા કણ માટે રેખીય વેગ $\vec{v}$ અને કોણીય વેગ $\vec{\omega}$ વચ્ચેનો સંબંધ સદિશ ગુણાકાર દ્વારા નીચે મુજબ દર્શાવી શકાય છે: $\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$.
મૂલ્યની દ્રષ્ટિએ,$r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરતા કણ માટે આ સંબંધ $v = r\omega$ છે,જ્યાં $v$ એ રેખીય ઝડપ છે,$\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે અને $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,એક કણ $A$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ કોણીય વેગ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે.
રેખીય વેગ $v$,કોણીય વેગ $\omega$ અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $A$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v = r\omega$
આપેલ ત્રિજ્યા $r = A$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$v = A\omega$
તેથી,કણનો રેખીય વેગ $A\omega$ છે.