Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Gujarati

(B) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = (a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}$.
વેગ સદિશ $\vec{v}$ શોધવા માટે,આપણે $\vec{r}$ નું સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ છીએ:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = \frac{d}{dt}[(a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}] = -a \omega \sin \omega t \hat{i} + a \omega \cos \omega t \hat{j}$.
હવે,તેમની દિશા ચકાસવા માટે આપણે $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ નો અદિશ ગુણાકાર (dot product) શોધીએ છીએ:
$\vec{r} \cdot \vec{v} = [(a \cos \omega t)\hat{i} + (a \sin \omega t)\hat{j}] \cdot [(-a \omega \sin \omega t)\hat{i} + (a \omega \cos \omega t)\hat{j}]$
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (a \cos \omega t)(-a \omega \sin \omega t) + (a \sin \omega t)(a \omega \cos \omega t)$
$\vec{r} \cdot \vec{v} = -a^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t + a^2 \omega \sin \omega t \cos \omega t = 0$.
અદિશ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ છે.

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થની કોણીય ઝડપ $\omega$ એ કોણીય સ્થાનાંતરના ફેરફારનો દર છે,જે સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો છે.
બંને કાર સમાન સમયગાળા $T$ માં તેમનું વર્તુળ પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમના સમયગાળા સમાન છે.
તેથી,તેમની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / T}{2\pi / T} = 1:1$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ કણ સમાન સમયમાં સમાન ખૂણાઓ આંતરીને વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે છે,ત્યારે તે $Uniform$ $Circular$ $Motion$ $(UCM)$ એટલે કે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
$UCM$ માં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કોઈ પણ બિંદુએ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જેમ જેમ કણ વર્તુળ પર ગતિ કરે છે તેમ સ્પર્શકની દિશા બદલાતી હોવાથી,વેગ સદિશનું મૂલ્ય અચળ હોવા છતાં તેની દિશા બદલાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(C) જ્યારે કોઈ પદાર્થ અચળ ઝડપ $v$ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરે છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ સતત બદલાય છે કારણ કે તેની દિશા દરેક બિંદુએ બદલાય છે,ભલે તેનું મૂલ્ય અચળ રહે.
પ્રવેગ એ વેગમાં થતા ફેરફારનો દર હોવાથી,પદાર્થ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ અનુભવે છે.
આ કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ અચળ ઝડપ છે અને $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
$v$ અને $r$ બંને અચળ હોવાથી,પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ રહે છે,પરંતુ જેમ પદાર્થ માર્ગ પર ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
તેથી,પદાર્થ અચળ મૂલ્યનો પ્રવેગ ધરાવે છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા માર્ગના દરેક બિંદુએ બદલાતી રહે છે.
રેખીય વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશા બદલાવાને કારણે તે સતત બદલાય છે.
પ્રવેગ (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,અને જેમ પદાર્થ ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા પણ બદલાય છે.
બળ (કેન્દ્રગામી બળ) પણ કેન્દ્ર તરફ હોય છે અને તેની દિશા પણ સતત બદલાતી રહે છે.
જોકે,કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ અચળ રહે છે કારણ કે ઝડપ $v$ અને ત્રિજ્યા $r$ બંને અચળ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $(c)$ છે.

(B) $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણનો કોઈ બિંદુથી $r_{\perp}$ અંતરે કોણીય વેગ $\omega = \frac{v_{\perp}}{r_{\perp}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v_{\perp}$ એ સ્થાન સદિશને લંબ વેગનો ઘટક છે.
બિંદુ $B$ પર,વેગ $v$ એ વ્યાસ $AB$ ને લંબ છે.
બિંદુ $A$ માટે,અંતર $AB = 2a$ છે. તેથી,$A$ ની સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_A = \frac{v}{2a}$ છે.
બિંદુ $C$ માટે,અંતર $CB = a$ છે. તેથી,$C$ ની સાપેક્ષ કોણીય વેગ $\omega_C = \frac{v}{a}$ છે.
કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{v/2a}{v/a} = \frac{1}{2}$ થાય છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે કારણ કે વેગ સદિશ $\vec{v}$ નું મૂલ્ય $|\vec{v}| = |\vec{\omega}| r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $|\vec{\omega}|$ એ અચળ કોણીય વેગ છે અને $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
ઝડપ $|\vec{v}|$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2} m |\vec{v}|^2$ અચળ રહે છે.
જોકે,વેગ સદિશ $\vec{v}$ સતત દિશા બદલે છે,તેથી વેગ અચળ નથી.
વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ પણ સતત દિશા બદલે છે,તેથી વેગમાન અચળ નથી.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c = \vec{\omega} \times \vec{v}$ પણ પદાર્થની ગતિ સાથે દિશા બદલે છે,તેથી પ્રવેગ અચળ નથી.
તેથી,ગતિ દરમિયાન માત્ર ગતિઊર્જા જ અચળ રહે છે.

(C) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ $v$ અચળ રહે છે.
ગતિઊર્જાનું સૂત્ર $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ છે.
અહીં દળ $m$ અને ઝડપ $v$ અચળ હોવાથી,ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
વેગ,પ્રવેગ અને સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિઓ છે,જે કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરે ત્યારે સતત પોતાની દિશા બદલે છે.

(D) કોણીય ઝડપ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = 2\pi n$ છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની સંખ્યા (આવૃત્તિ) છે.
અહીં,$n = 120 \, \text{rev/min} = \frac{120}{60} \, \text{rev/s} = 2 \, \text{rev/s}$ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = 2\pi \times 2 = 4\pi \, \text{rad/s}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. વેગમાં થતા આ ફેરફારને કારણે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ ઉદભવે છે. આ પ્રવેગ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે ત્રિજ્યાની દિશામાં હોય છે.

(D) સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $r = 1 \, cm$ છે. સેકન્ડ કાંટાનો આવર્તકાળ $T = 60 \, s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{60} = \frac{\pi}{30} \, rad/s$ છે.
તેના છેડાનો રેખીય વેગ $v = r\omega = 1 \times \frac{\pi}{30} = \frac{\pi}{30} \, cm/s$ છે.
$15 \, \text{સેકન્ડ}$ માં, સેકન્ડ કાંટો $\theta = 90^\circ$ જેટલો ખૂણો ફરે છે (કારણ કે $60 \, s$ એ $360^\circ$ ને અનુરૂપ છે)।
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta v = |\vec{v_2} - \vec{v_1}| = 2v \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $\Delta v = 2 \times \left(\frac{\pi}{30}\right) \times \sin(90^\circ/2) = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \sin(45^\circ) = 2 \times \frac{\pi}{30} \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\pi\sqrt{2}}{30} \, cm/s$.

(B) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે,તેથી કણ પાસે સ્પર્શકીય વેગ હોય છે.
વેગ સદિશની દિશા બદલાતી હોવાથી,પ્રવેગ હોવો જરૂરી છે.
સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,આ પ્રવેગ વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જેને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ (અથવા કેન્દ્રગામી પ્રવેગ) કહેવામાં આવે છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,ત્યાં કોઈ સ્પર્શકીય પ્રવેગ હોતો નથી.
તેથી,કણ પાસે સ્પર્શકીય વેગ અને ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગ હોય છે.

(B) રેખીય વેગ $(v)$,ત્રિજ્યા $(r)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $v = r \times \omega$.
આપેલ છે:
ત્રિજ્યા $r = 20 \,cm = 0.2 \,m$.
કોણીય વેગ $\omega = 10 \,rad/s$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v = 0.2 \,m \times 10 \,rad/s = 2 \,m/s$.
તેથી,રેખીય વેગ $2 \,m/s$ છે.

(A) કોણીય ઝડપ $\omega$ શોધવાનું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
ઘડિયાળના સેકન્ડ કાંટા માટે,એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરવા માટેનો સમયગાળો $T = 60 \, s$ છે.
સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega = \frac{2\pi}{60} \, rad/s = \frac{\pi}{30} \, rad/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ એ સૂત્ર $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
અહીં આપેલ છે કે કણ પ્રતિ મિનિટ $100$ વખત પરિભ્રમણ કરે છે,તેથી આવૃત્તિ $n = \frac{100}{60} \, rev/s$ થાય.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\omega = 2 \times \pi \times \frac{100}{60} \, rad/s$
$\omega = \frac{200\pi}{60} \, rad/s = \frac{10\pi}{3} \, rad/s$
$\omega \approx \frac{10 \times 3.14159}{3} \, rad/s \approx 10.47 \, rad/s$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) પૈડાની ત્રિજ્યા $r = 0.4\ m$ છે.
એક પરિભ્રમણ માટેનો સમયગાળો $T = 1\ s$ છે.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n = 1/T = 1\ Hz$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi(1) = 2\pi\ rad/s$ છે.
પૈડાની ધાર પરના બિંદુનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $a_c = (2\pi)^2 \times 0.4 = 4\pi^2 \times 0.4 = 1.6\pi^2\ m/s^2$.

(D) કણની ગતિઊર્જા $(K.E.)$ $K.E. = 1/2 mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે કણ અચળ ઝડપ $v$ થી ગતિ કરે છે,તેના વેગનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
તેથી,પ્રારંભિક બિંદુ અને અંતિમ બિંદુ પર ગતિઊર્જા સમાન રહે છે.
ગતિઊર્જામાં ફેરફાર $\Delta K.E. = K.E._{final} - K.E._{initial} = 1/2 mv^2 - 1/2 mv^2 = 0$.
આમ,ગતિઊર્જામાં ફેરફાર શૂન્ય છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિ કરતી વસ્તુ માટે રેખીય ઝડપ $v$,કોણીય ઝડપ $\omega$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે: $v = r\omega$.
કોણીય ઝડપ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા: $\omega = \frac{v}{r}$.
આપેલ કિંમતો $v = 100\, m/s$ અને $r = 100\, m$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{100\, m/s}{100\, m} = 1\, rad/s$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 4 \, m$,આવર્તકાળ $T = 2 \, s$.
આવૃત્તિ $n = \frac{1}{T} = \frac{1}{2} \, Hz$.
પૈડું ભ્રમણ કરતું હોવાથી,તેની ધાર પરના બિંદુનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે,જ્યાં $\omega = 2\pi n$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = 2\pi \times \frac{1}{2} = \pi \, rad/s$.
તેથી,$a_c = (\pi)^2 \times 4 = 4\pi^2 \, m/s^2$.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગ સદિશ હંમેશા કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે હંમેશા ત્રિજ્યાની દિશામાં વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
વર્તુળનો સ્પર્શક હંમેશા સંપર્ક બિંદુએ ત્રિજ્યાને લંબ હોવાથી,વેગ સદિશ અને કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.

(D) કાર સમાન સમયગાળામાં સમાન ખૂણાઓ આંતરે છે,તેથી તેનો કોણીય વેગ $\omega$ અચળ છે.
રેખીય વેગ $v$ અને કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ છે,જ્યાં $r$ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે.
અહીં $r$ અને $\omega$ બંને અચળ હોવાથી,રેખીય વેગ $v$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
જોકે,વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશની દિશા હંમેશા પથને સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે,જે સતત બદલાતી રહે છે.
તેથી,વેગનું મૂલ્ય અચળ છે,પરંતુ તેની દિશા બદલાય છે.

(B) રેખીય ઝડપ $v$,કોણીય ઝડપ $\omega$ અને ત્રિજ્યા $r$ વચ્ચેનો સંબંધ $v = r\omega$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કોણીય ઝડપ માટે સૂત્રને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને $\omega = \frac{v}{r}$ મળે છે.
આપેલ કિંમતો $v = 10 \,m/s$ અને $r = 100 \,m$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા: $\omega = \frac{10}{100} = 0.1 \,rad/s$.
આમ,સ્કૂટરની કોણીય ઝડપ $0.1 \,rad/s$ છે.

(A) $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણ માટે,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a = v^2/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણ $T$ સમયમાં $2\pi r$ જેટલો પરિઘ પૂર્ણ કરતો હોવાથી,ઝડપ $v = (2\pi r)/T$ થાય.
આના પરથી,આપણે $r = (vT)/(2\pi)$ લખી શકીએ.
$r$ ની કિંમત પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા: $a = v^2 / ((vT)/(2\pi)) = v^2 \cdot (2\pi) / (vT) = (2\pi v)/T$.
તેથી,કણનો પ્રવેગ $(2\pi v)/T$ છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ $(U.C.M.)$ માં,કણની ઝડપ અચળ હોય છે અને પથની ત્રિજ્યા અચળ હોય છે.
કોણીય વેગ $\omega = v/r$ હોવાથી,તે મૂલ્ય અને દિશા (ગતિના સમતલને લંબ) બંનેમાં અચળ રહે છે.
કોણીય વેગમાન $L = I\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની આઘૂર્ણ છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
વર્તુળના કેન્દ્રની આસપાસ $U.C.M.$ માં ગતિ કરતા કણ માટે,$I = mr^2$ અચળ છે અને $\omega$ પણ અચળ છે.
તેથી,કોણીય વેગ અને કોણીય વેગમાન બંને અચળ રહે છે.

(B) અચળ કોણીય ઝડપ (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ) સાથે વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણ માટે,વેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
ગતિ નિયમિત હોવાથી,સ્પર્શીય પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે અને પરિણામી પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશ કરે છે.
વેગ સદિશ સ્પર્શક (પરિઘની દિશામાં) હોવાથી અને પ્રવેગ સદિશ ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્ર તરફ) હોવાથી,તેઓ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,પ્રવેગ સદિશ વર્તુળને સ્પર્શક છે તેવું વિધાન ખોટું છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે.
સ્પર્શકીય પ્રવેગ ${a_t}$ એ વેગના મૂલ્ય (ઝડપ) માં થતા ફેરફાર માટે જવાબદાર છે. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં ઝડપ અચળ હોવાથી,${a_t} = 0$ થાય છે.
ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) પ્રવેગ ${a_r}$ એ વેગની દિશામાં થતા ફેરફાર માટે જવાબદાર છે. કણ વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતો હોવાથી,તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી ${a_r} \neq 0$ થાય છે.
તેથી,નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ માટેની શરત ${a_r} \neq 0$ અને ${a_t} = 0$ છે.

(B) કેન્દ્રગામી બળ $F$ નું સૂત્ર $F = m\omega^2 R$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$\omega$ એ કોણીય વેગ છે અને $R$ એ કક્ષાની ત્રિજ્યા છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ હોવાથી,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે,આપણે બળને $F = m(\frac{2\pi}{T})^2 R = m \frac{4\pi^2}{T^2} R$ તરીકે લખી શકીએ.
અહીં આપેલ છે કે બંને પદાર્થો માટે દળ $m$ અને આવર્તકાળ $T$ સમાન છે,તેથી પદ $\frac{m 4\pi^2}{T^2}$ અચળ છે.
આથી,કેન્દ્રગામી બળ એ ત્રિજ્યાના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $F \propto R$.
તેથી,કેન્દ્રગામી બળોનો ગુણોત્તર $\frac{F_1}{F_2} = \frac{R_1}{R_2}$ થશે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગમાન એ $\vec{p} = m\vec{v}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ ની દિશા બદલાતી હોવાથી,વેગમાન સદિશ $\vec{p}$ પણ સતત બદલાય છે.
તેથી,વેગમાન એ અચળ રાશિ નથી.
ઝડપ,ગતિઊર્જા $(K = \frac{1}{2}mv^2)$ અને દળ એ અદિશ રાશિઓ છે જે નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં અચળ રહે છે.

(C) દોરીની લંબાઈ એ વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા છે,$r = 1\,m$.
પરિભ્રમણની આવૃત્તિ $n = \frac{\text{પરિભ્રમણની સંખ્યા}}{\text{સમય}} = \frac{22}{44} = 0.5\,Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2\pi n = 2\pi(0.5) = \pi\,rad/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r$.
કિંમતો મૂકતા,$a = (\pi)^2 \times 1 = \pi^2\,m/s^2$.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ કેન્દ્રગામી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તેની દિશા હંમેશા ત્રિજ્યાની દિશામાં અને કેન્દ્ર તરફ હોય છે.

(A) કોણીય વેગ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે,જ્યાં $T$ એ પૃથ્વીના પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે.
પૃથ્વી માટે,એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણનો સમયગાળો $24 \text{ કલાક}$ છે.
આ સમયને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $T = 24 \times 60 \times 60 \text{ s} = 86400 \text{ s}$.
તેથી,કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{86400} \text{ rad/s}$ થાય.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ એ $\omega = 2\pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડ પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
પ્રારંભિક આવૃત્તિ $n_1 = 600 \text{ rpm} = \frac{600}{60} \text{ rev/s} = 10 \text{ rev/s}$.
અંતિમ આવૃત્તિ $n_2 = 1200 \text{ rpm} = \frac{1200}{60} \text{ rev/s} = 20 \text{ rev/s}$.
પ્રારંભિક કોણીય વેગ $\omega_1 = 2\pi n_1 = 2\pi(10) = 20\pi \text{ rad/s}$.
અંતિમ કોણીય વેગ $\omega_2 = 2\pi n_2 = 2\pi(20) = 40\pi \text{ rad/s}$.
કોણીય વેગમાં થતો વધારો $\Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 = 40\pi - 20\pi = 20\pi \text{ rad/s}$ છે.

(A) બિંદુ $A$ પર વેગ સ્પર્શકની દિશામાં છે,જે $\vec{v}_A = v\hat{j}$ છે.
બિંદુ $B$ પર વેગ સ્પર્શકની દિશામાં છે,જે $\vec{v}_B = -v\hat{i}$ છે.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta \vec{v} = \vec{v}_B - \vec{v}_A = -v\hat{i} - v\hat{j}$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{2v^2} = v\sqrt{2}$ થાય.
વૈકલ્પિક રીતે,બે વેગ સદિશો વચ્ચેના ખૂણા $\theta$ માટે વેગમાં થતા ફેરફારનું સૂત્ર: $|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(\theta/2)$.
અહીં,$A$ અને $B$ ને જોડતી ત્રિજ્યાઓ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 90^\circ$ છે.
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(90^\circ/2) = 2v \sin(45^\circ) = 2v \times (1/\sqrt{2}) = v\sqrt{2}$.

(B) જ્યારે કોઈ કણ સમાન ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તે પરિઘ પર સમાન સમયગાળામાં સમાન અંતર કાપે છે.
તે એક નિશ્ચિત સમયગાળા (આવર્તકાળ) પછી તે જ સ્થાને પાછો ફરે છે,તેથી આ ગતિ આવર્ત ગતિ છે.
જોકે,સરળ આવર્ત ગતિ $(SHM)$ માટે મધ્યમાન સ્થાનથી સ્થાનાંતરના સમપ્રમાણમાં પુનઃસ્થાપક બળ $(F = -kx)$ જરૂરી છે,જે સમાન વર્તુળાકાર ગતિ માટે હોતું નથી.
તેથી,આ ગતિ આવર્ત છે પરંતુ સરળ આવર્ત ગતિ નથી.

(C) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ સૂત્ર $\omega = 2 \pi n$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $n$ એ પ્રતિ સેકન્ડમાં પરિભ્રમણની આવૃત્તિ છે.
અહીં,$n = 120 \, \text{revolutions/minute} = \frac{120}{60} \, \text{revolutions/second} = 2 \, \text{rev/sec}$ છે.
તેથી,$\omega = 2 \pi \times 2 \, \text{rad/sec} = 4 \pi \, \text{rad/sec}$ થાય.

(B) ધારો કે કણ $P$ કોઈ ક્ષણે $B$ સ્થાન પર છે. કણની ઝડપ $u$ છે.
કેન્દ્ર $C$ ની સાપેક્ષે $P$ નો કોણીય વેગ $\omega_C = \frac{u}{r} = \frac{u}{a}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બિંદુ $A$ ની સાપેક્ષે $P$ નો કોણીય વેગ $\omega_A = \frac{v_{\perp}}{r_{AP}}$ છે,જ્યાં $v_{\perp}$ એ રેખા $AP$ ને લંબ વેગનો ઘટક છે. બિંદુ $B$ પર,વેગ $u$ એ વ્યાસ $AB$ ને લંબ છે. અંતર $AP = 2a$ છે.
આમ,$\omega_A = \frac{u}{2a}$.
કોણીય વેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{u/2a}{u/a} = \frac{1}{2}$.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(C) વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનો આવર્તકાળ $T$ અને તેના કોણીય વેગ $\omega$ વચ્ચેનો સંબંધ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,બંને કણોના આવર્તકાળ સમાન છે,તેથી $T_1 = T_2 = T$ લો.
તેથી,$\frac{2\pi}{\omega_1} = \frac{2\pi}{\omega_2}$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\omega_1 = \omega_2$.
આમ,તેમના કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = 1$ થશે.

(B) કોણીય વેગ $\omega$ એ સમય $t$ ની સાપેક્ષમાં કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ માં થતા ફેરફારનો દર છે,જે $\omega = \frac{\theta}{t}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઘડિયાળના સેકન્ડ કાંટા માટે,તે એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે,જે $\theta = 2\pi \ rad$ જેટલું કોણીય સ્થાનાંતર દર્શાવે છે,અને આ માટે લાગતો સમય $t = 60 \ s$ છે.
આ કિંમતોને સૂત્રમાં મૂકતા:
$\omega = \frac{2\pi}{60} \ rad/s = \frac{\pi}{30} \ rad/s$.

(C) ઘૂમતા પૈડાની ધાર પરના બિંદુનું રેખીય સ્થાનાંતર $S$ એ $S = r \theta$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\theta$ એ કોણીય સ્થાનાંતર છે.
બંને પૈડાં અક્ષીય રીતે જોડાયેલા હોવાથી,તેઓ સાથે ફરે છે,જેનો અર્થ છે કે સમાન સમયગાળામાં તેમનું કોણીય સ્થાનાંતર $\theta$ સમાન છે.
ધારો કે $r$ એ નાના પૈડાની ત્રિજ્યા છે ($A$ ને આધાર આપે છે) અને $2r$ એ મોટા પૈડાની ત્રિજ્યા છે ($B$ ને આધાર આપે છે).
$A$ દ્વારા કાપેલ અંતર $x = r \theta$ છે.
$B$ દ્વારા કાપેલ અંતર $y = (2r) \theta$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને $\frac{x}{y} = \frac{r \theta}{2r \theta} = \frac{1}{2}$ મળે છે.
તેથી,$y = 2x$.

(A) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ પર લાગતું પરિણામી બળ કેન્દ્રગામી બળ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કોઈપણ બિંદુની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau}$ એ $\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેન્દ્રગામી બળ $\vec{F}$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતું હોવાથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ એ બળ સદિશ $\vec{F}$ સાથે એકરેખસ્થ હોય છે.
તેથી,કેન્દ્રની સાપેક્ષે ટોર્ક $\vec{\tau} = 0$ થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જો કોઈ બિંદુની સાપેક્ષે પરિણામી બાહ્ય ટોર્ક શૂન્ય હોય,તો તે બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગમાન સંરક્ષિત રહે છે.
આમ,કણનું કોણીય વેગમાન વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષે સંરક્ષિત રહે છે.

(B) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ હોય છે,પરંતુ વેગની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વેગ સદિશ હંમેશા કોઈપણ બિંદુએ વર્તુળાકાર માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.
અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ કેન્દ્રગામી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોય છે.
વેગ સ્પર્શક હોવાથી અને પ્રવેગ ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્ર તરફ) હોવાથી,તેઓ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે.
તેથી,પ્રવેગ સદિશ વર્તુળને સ્પર્શક છે તે વિધાન ખોટું છે.

(C) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
કલાક-કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_h = 12 \text{ કલાક}$ છે.
મિનિટ-કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_m = 1 \text{ કલાક}$ છે.
કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_h}{\omega_m} = \frac{2\pi / T_h}{2\pi / T_m} = \frac{T_m}{T_h}$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{\omega_h}{\omega_m} = \frac{1 \text{ કલાક}}{12 \text{ કલાક}} = 1 : 12$ મળે છે.

(B) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 30 \ cm = 0.3 \ m$.
કોણીય સ્થાનાંતર $\theta = 30^\circ = 30 \times \frac{\pi}{180} \ rad = \frac{\pi}{6} \ rad$.
પૈડાની પરિઘ પરના બિંદુ દ્વારા કાપેલ રેખીય અંતર $d$ એ ચાપની લંબાઈના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$d = R \theta$
કિંમતો મૂકતા:
$d = 0.3 \times \frac{\pi}{6} \ m$
$d = \frac{3}{10} \times \frac{\pi}{6} \ m = \frac{\pi}{20} \ m$.

(C) આપેલ કોણીય વેગ $\omega = 3000 \ rpm$ (રિવોલ્યુશન પ્રતિ મિનિટ) છે.
$rpm$ ને રિવોલ્યુશન પ્રતિ સેકન્ડ $(rps)$ માં ફેરવવા માટે $60$ વડે ભાગતા: $\omega = \frac{3000}{60} \ rps = 50 \ rps$.
એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $2\pi$ રેડિયન જેટલું હોય છે, તેથી રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડમાં કોણીય વેગ $\omega = 50 \times 2\pi \ rad/s = 100\pi \ rad/s$ થાય.
$t = 1 \ s$ સમયમાં કાપેલ ખૂણો $\theta = \omega \times t = 100\pi \times 1 = 100\pi \ \text{રેડિયન}$ મળે.

(B) $v$ વેગથી ગતિ કરતા કણનો $r$ અંતરે રહેલા બિંદુની સાપેક્ષે કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં વેગ સદિશ એ સ્થાન સદિશને લંબ હોય છે.
જ્યારે કણ બિંદુ $B$ પર હોય,ત્યારે તેનો વેગ $v$ એ વ્યાસ $AB$ ને લંબ હોય છે.
બિંદુ $C$ (કેન્દ્ર) માટે,અંતર $r_C = a$ છે. તેથી,$\omega_C = \frac{v}{a}$.
બિંદુ $A$ માટે,અંતર $r_A = AB = 2a$ છે. તેથી,$\omega_A = \frac{v}{2a}$.
$A$ અને $C$ ની સાપેક્ષે કોણીય વેગનો ગુણોત્તર $\frac{\omega_A}{\omega_C} = \frac{v/2a}{v/a} = \frac{1}{2}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : 2$ છે.

(C) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $r = 4 \, m$,આવર્તકાળ $T = 2 \, s$.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{2} = \pi \, rad/s$ દ્વારા મળે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = \omega^2 r$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_c = (\pi)^2 \times 4 = 4\pi^2 \, m/s^2$.

(B) બિંદુ $P_1$ પર,વેગ સદિશ $\vec{v}_1$ એ ધન $y$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{v}_1 = v\hat{j}$.
બિંદુ $P_2$ પર,વેગ સદિશ $\vec{v}_2$ એ ઋણ $x$-અક્ષની દિશામાં છે,તેથી $\vec{v}_2 = -v\hat{i}$.
વેગમાં થતો ફેરફાર $\Delta\vec{v}$ એ $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1 = -v\hat{i} - v\hat{j}$ દ્વારા મળે છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{(-v)^2 + (-v)^2} = \sqrt{v^2 + v^2} = \sqrt{2v^2} = \sqrt{2}v$ થાય છે.

(B) ગતિના સમીકરણો આપેલ છે:
$x = a \sin \omega t \implies \frac{x}{a} = \sin \omega t$ $(i)$
$y = a \cos \omega t \implies \frac{y}{a} = \cos \omega t$ $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{a}\right)^2 = \sin^2 \omega t + \cos^2 \omega t$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$,તેથી:
$\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{a^2} = 1$
$x^2 + y^2 = a^2$
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $a$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું પ્રમાણિત સમીકરણ છે. તેથી,કણ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.

(B) આપેલ સ્થાન સદિશ: $\vec{r} = \cos(\omega t) \hat{i} + \sin(\omega t) \hat{j}$.
$1$. વેગ $\vec{v}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં સ્થાનનું વિકલન છે:
$\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = -\omega \sin(\omega t) \hat{i} + \omega \cos(\omega t) \hat{j}$.
$2$. પ્રવેગ $\vec{a}$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગનું વિકલન છે:
$\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -\omega^2 \cos(\omega t) \hat{i} - \omega^2 \sin(\omega t) \hat{j} = -\omega^2 \vec{r}$.
$3$. કારણ કે $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r}$,પ્રવેગ ઉગમબિંદુ તરફ નિર્દેશિત છે (કેન્દ્રગામી પ્રવેગ).
$4$. $\vec{r}$ અને $\vec{v}$ વચ્ચેનો સંબંધ ચકાસવા માટે,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શોધો:
$\vec{r} \cdot \vec{v} = (\cos(\omega t))(-\omega \sin(\omega t)) + (\sin(\omega t))(\omega \cos(\omega t)) = -\omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) + \omega \sin(\omega t) \cos(\omega t) = 0$.
ડોટ ગુણાકાર $0$ હોવાથી,વેગ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ને લંબ છે.