Angular Variables and Basic of Uniform Circular Motion Questions in Gujarati

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
વર્તુળાકાર માર્ગ પરના કોઈપણ બિંદુએ,તાત્કાલિક વેગ સદિશ હંમેશા તે ચોક્કસ બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
આનું કારણ એ છે કે વેગને સ્થાનાંતરના ફેરફારના દર તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,અને વર્તુળાકાર માર્ગ માટે,કોઈપણ ક્ષણે સ્થાનાંતર સદિશ માર્ગને સ્પર્શક હોય છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપથી ગતિ કરે છે.
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય હોવાથી,વેગનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
જોકે,વેગની દિશા હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
જેમ પદાર્થ ગતિ કરે છે,તેમ સ્પર્શકની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
તેથી,વેગ સદિશ,જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંનેનો સમાવેશ થાય છે,તે અચળ રહેતો નથી.
આમ,માત્ર વિધાન $(i)$ સાચું છે.

(N/A) કોણીય વેગ $(\omega)$ નો $SI$ એકમ $\text{રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ}$ $(\text{rad } s^{-1})$ છે.
કોણીય પ્રવેગ $(\alpha)$ નો $SI$ એકમ $\text{રેડિયન પ્રતિ સેકન્ડ સ્ક્વેર}$ $(\text{rad } s^{-2})$ છે.

(A) આ વિધાન સાચું છે.
કોણીય સ્થાન $\theta$ એ ઉગમબિંદુ પર સ્થાન સદિશ દ્વારા આંતરેલા ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જે એક અદિશ રાશિ છે.
કોણીય સ્થાનાંતર $\Delta\theta$ એ કોણીય સ્થાનમાં થતા ફેરફાર તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે. અતિ સૂક્ષ્મ પરિભ્રમણ માટે,કોણીય સ્થાનાંતર સદિશ રાશિ તરીકે વર્તે છે કારણ કે તે સદિશ સરવાળાના ક્રમનો નિયમ પાળે છે.
તેની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે,જે પરિભ્રમણના સમતલને લંબ હોય છે.

(B) $rpm$ એટલે $revolution$ $per$ $minute$ (પરિભ્રમણ પ્રતિ મિનિટ).
તે કોણીય વેગનો એકમ છે.
$1$ $rpm$ = $1$ પરિભ્રમણ / $1$ મિનિટ.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1$ પરિભ્રમણ = $2\pi$ રેડિયન અને $1$ મિનિટ = $60$ સેકન્ડ,
તેથી,$1$ $rpm$ = $\frac{2\pi \text{ rad}}{60 \text{ s}} = \frac{\pi}{30} \text{ rad/s}$.

(A) કોણીય ઝડપ $\omega$ એ $\omega = \frac{2\pi}{T}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
કલાક કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_h = 12 \text{ કલાક} = 12 \times 3600 \text{ સેકન્ડ}$.
તેથી,$\omega_h = \frac{2\pi}{12 \times 3600} \text{ rad/s}$.
મિનિટ કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_m = 1 \text{ કલાક} = 3600 \text{ સેકન્ડ}$.
તેથી,$\omega_m = \frac{2\pi}{3600} \text{ rad/s}$.
કલાક કાંટા અને મિનિટ કાંટાની કોણીય ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{\omega_h}{\omega_m} = \frac{2\pi / (12 \times 3600)}{2\pi / 3600} = \frac{3600}{12 \times 3600} = \frac{1}{12}$.
આમ,ગુણોત્તર $1: 12$ છે.

(A) હા,આ શક્ય છે. નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,રેખીય વેગનું મૂલ્ય (ઝડપ) અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ રેખીય વેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં ફેરફાર એટલે વેગમાં ફેરફાર. બીજી તરફ,કોણીય વેગ $\omega$ ને $\omega = \frac{d\theta}{dt}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં $v$ જેટલી અચળ ઝડપથી ગતિ કરતા કણ માટે,કોણીય વેગ $\omega = \frac{v}{r}$ થાય છે. અહીં $v$ અને $r$ બંને અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega$ નું મૂલ્ય અને દિશા (ભ્રમણાક્ષની દિશામાં) બંને અચળ રહે છે.

(A) અચળ વર્તુળગતિમાં,પ્રવેગના બે ઘટકો હોય છે: ત્રિજ્યાવર્તી (કેન્દ્રગામી) અને સ્પર્શીય.
$1$. ત્રિજ્યાવર્તી ઘટક $a_{r} = r \omega^{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ત્રિજ્યા $r$ અને કોણીય વેગ $\omega$ અચળ હોવાથી,ત્રિજ્યાવર્તી પ્રવેગનું મૂલ્ય અચળ રહે છે. જોકે,તેની દિશા હંમેશા કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે સતત બદલાતી રહે છે.
$2$. સ્પર્શીય ઘટક $a_{t} = r \alpha$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. ઝડપ અચળ હોવાથી,કોણીય પ્રવેગ $\alpha = 0$ થાય,તેથી $a_{t} = 0$ થાય. શૂન્ય સદિશ મૂલ્ય અને દિશા બંનેમાં અચળ હોય છે.
$3$. જો પ્રશ્ન શૂન્યતર ઘટકો વિશે હોય,તો ત્રિજ્યાવર્તી ઘટકનું મૂલ્ય અચળ છે,પરંતુ તેની દિશા બદલાય છે. સ્પર્શીય ઘટક શૂન્ય (અચળ) છે.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = \frac{v^{2}}{R}$ છે.
ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણે રહેલા બિંદુ $P$ માટે,સ્થાન સદિશ ઉગમબિંદુથી બિંદુ તરફ હોય છે. કેન્દ્રગામી પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}$ એ બિંદુ $P$ થી ઉગમબિંદુ તરફ હોય છે.
બિંદુ $P(R, \theta)$ થી ઉગમબિંદુ તરફનો એકમ સદિશ $-(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j})$ છે.
તેથી,પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -a(\cos \theta \hat{i} + \sin \theta \hat{j}) = -\frac{v^{2}}{R} \cos \theta \hat{i} - \frac{v^{2}}{R} \sin \theta \hat{j}$ થાય.

(A) આપેલ સમીકરણો $x = 4 \sin \left(\frac{\pi}{2} - \omega t\right)$ અને $y = 4 \sin (\omega t)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$x$ માટેના સમીકરણને $x = 4 \cos (\omega t)$ તરીકે લખી શકાય.
હવે આપણી પાસે $x = 4 \cos (\omega t)$ અને $y = 4 \sin (\omega t)$ છે.
પથ શોધવા માટે,બંને સમીકરણોનો વર્ગ કરીને સરવાળો કરો:
$x^2 + y^2 = (4 \cos \omega t)^2 + (4 \sin \omega t)^2$
$x^2 + y^2 = 16 \cos^2 \omega t + 16 \sin^2 \omega t$
$x^2 + y^2 = 16 (\cos^2 \omega t + \sin^2 \omega t)$
કારણ કે $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,તેથી આપણને $x^2 + y^2 = 4^2$ મળે છે.
આ ઉગમબિંદુ પર કેન્દ્રિત $4 \text{ m}$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળનું સમીકરણ છે. તેથી,કણનો પથ વર્તુળાકાર છે.

(D) દડાનો આવર્તકાળ $T = 1.5 \, s$ છે.
$t = 8.3 \, s$ માં,પૂર્ણ થયેલા પરિભ્રમણોની સંખ્યા $n = \frac{8.3}{1.5} = 5.533$ છે.
$5$ પૂર્ણ પરિભ્રમણ પછી $(t = 7.5 \, s)$,દડો $t = 0 \, s$ વાળી તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર પાછો આવે છે.
બાકી રહેલો સમય $\Delta t = 8.3 - 7.5 = 0.8 \, s$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{1.5} = \frac{4\pi}{3} \, rad/s$ છે.
$\Delta t = 0.8 \, s$ માં કપાયેલો ખૂણો $\theta = \omega \Delta t = \left(\frac{4\pi}{3}\right) \times 0.8 = \frac{3.2\pi}{3} \approx 1.067\pi \, rad$ છે.
આ ખૂણો $\pi \, rad$ $(180^\circ)$ કરતા થોડો વધારે છે.
ખૂણો આશરે $192^\circ$ હોવાથી,દડો પ્રારંભિક સ્થિતિની વ્યાસાંતે વિરુદ્ધ બિંદુની ખૂબ નજીક છે.
વ્યાસ માટે સ્થાનાંતર $2R = 2 \times 1 = 2 \, m$ છે.
આમ,સ્થાનાંતરનું મૂલ્ય $2 \, m$ ની સૌથી નજીક છે.

(A) જ્યારે કોઈ કણ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે,ત્યારે તેને નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કહેવામાં આવે છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પ્રવેગ સંપૂર્ણપણે કેન્દ્રગામી હોય છે,જેનો અર્થ છે કે તે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
વર્તુળના કેન્દ્રની સાપેક્ષ કણનો સ્થાન સદિશ કેન્દ્રથી કણના સ્થાન તરફ ત્રિજ્યાવર્તી દિશામાં બહારની તરફ હોય છે.
પ્રવેગ સદિશ કેન્દ્ર તરફ નિર્દેશિત હોવાથી અને સ્થાન સદિશ કેન્દ્રથી દૂર નિર્દેશિત હોવાથી,આ બંને સદિશો એકબીજાની વિરુદ્ધ દિશામાં (anti-parallel) હોય છે.
તેથી,પ્રવેગની દિશા અને સ્થાન સદિશ વચ્ચેનો ખૂણો $180^{\circ}$ અથવા $\pi$ રેડિયન હશે.

(A) એક સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણનો પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે દરેક ક્ષણે વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે.
ધારો કે કણ $xy$-સમતલમાં અચળ ઝડપ $v$ સાથે $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળમાં ગતિ કરે છે. કોઈપણ ખૂણે $\theta$ પર પ્રવેગ સદિશ $\vec{a} = -\omega^2 \vec{r} = -\omega^2 (r \cos \theta \hat{i} + r \sin \theta \hat{j})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
એક સંપૂર્ણ ચક્ર ($\theta = 0$ થી $\theta = 2\pi$) પર સરેરાશ પ્રવેગ $\vec{a}_{avg} = \frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \vec{a} d\theta$ છે.
$\vec{a}_{avg} = -\frac{\omega^2 r}{2\pi} [\int_{0}^{2\pi} \cos \theta d\theta \hat{i} + \int_{0}^{2\pi} \sin \theta d\theta \hat{j}] = -\frac{\omega^2 r}{2\pi} [0 \hat{i} + 0 \hat{j}] = \vec{0}$.
આમ,સરેરાશ પ્રવેગ સદિશ એ શૂન્ય સદિશ છે.

(D) આપેલ છે, આવર્તકાળ $T = 40 \, s$.
કુલ સમય $t = 2 \, \text{મિનિટ} \, 20 \, s = 2 \times 60 + 20 = 140 \, s$.
પરિભ્રમણની સંખ્યા $n = \frac{t}{T} = \frac{140}{40} = 3.5 = 3 \frac{1}{2}$ પરિભ્રમણ.
$3.5$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું અંતર (પથલંબાઈ) $= 3.5 \times (2 \pi R) = 7 \pi R$.
$3.5$ પરિભ્રમણ પછી, કણ શરૂઆતના સ્થાનથી વ્યાસાંત બિંદુએ હશે। તેથી, સ્થાનાંતર વર્તુળના વ્યાસ જેટલું એટલે કે $2R$ થશે.
ગુણોત્તર $\frac{|\text{સ્થાનાંતર}|}{\text{પથલંબાઈ}} = \frac{2R}{7 \pi R} = \frac{2}{7 \pi}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મૂકતા, આપણને $\frac{2}{7 \times (22/7)} = \frac{2}{22} = \frac{1}{11}$ મળે છે.

(C) ઘડિયાળનો સેકન્ડ કાંટો એક મિનિટમાં એક સંપૂર્ણ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે.
ધારો કે સેકન્ડ કાંટાની લંબાઈ $R$ છે.
એક મિનિટમાં,સેકન્ડ કાંટાનો છેડો વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે અને તેની પ્રારંભિક સ્થિતિ પર પાછો ફરે છે.
કારણ કે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ સમાન છે,તેથી સ્થાનાંતર,જે પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થિતિ વચ્ચેનું સૌથી ટૂંકું અંતર છે,તે $0$ છે.
કાપેલું અંતર એ વર્તુળનો પરિઘ છે,જે $2 \pi R$ છે.

(A) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે.
ગતિ ઉર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,અને દળ $m$ તથા ઝડપ $v$ બંને અચળ હોવાથી,ગતિ ઉર્જા અચળ રહે છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ છે; જોકે ઝડપ અચળ છે,ગતિની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગ અચળ રહેતો નથી.
વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેનું મૂલ્ય $a = \frac{v^2}{r}$ છે. તેનું મૂલ્ય અચળ હોવા છતાં,દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી પ્રવેગ સદિશ અચળ રહેતો નથી.
સ્થાનાંતર એ સદિશ રાશિ છે જે સ્થાન પર આધાર રાખે છે,જે પદાર્થ વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે તેમ સતત બદલાય છે.

(A) પદાર્થની આવૃત્તિ $f = 140 \text{ rev/s}$ આપેલ છે.
કોણીય ઝડપ $\omega$ અને આવૃત્તિ $f$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$\omega = 2 \pi f$
આપેલ $f$ ની કિંમત મૂકતા:
$\omega = 2 \times \pi \times 140$
$\omega = 280 \pi \text{ rad/s}$
$\pi \approx 3.14159$ લેતા:
$\omega = 280 \times 3.14159 \approx 879.64 \text{ rad/s}$
નજીકના પૂર્ણાંકમાં કિંમત લેતા:
$\omega \approx 880 \text{ rad/s}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(A) સાયકલ સવાર $1$ મિનિટ $(60 \, s)$ માં $7$ આંટા પૂર્ણ કરે છે.
વર્તુળાકાર ટ્રેકનો પરિઘ $C = 2 \pi r = 2 \times 3.14159 \times 5 \, m \approx 31.416 \, m$ છે.
$7$ આંટામાં કાપેલું કુલ અંતર $D = 7 \times 31.416 \, m = 219.912 \, m$ છે.
અચળ ઝડપ $v = \text{અંતર} / \text{સમય} = 219.912 \, m / 60 \, s \approx 3.665 \, m/s$ છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c = v^2 / r$ દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a_c = (3.665)^2 / 5 \approx 13.432 / 5 \approx 2.686 \, m/s^2$.
એક દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,આપણને $2.7 \, m/s^2$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(D) કોઈપણ બિંદુએ કણનો વેગ વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે.
ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $\vec{v}_A$ છે અને બિંદુ $B$ પર વેગ $\vec{v}_B$ છે.
બંને વેગનું મૂલ્ય $v$ છે,તેથી $|\vec{v}_A| = |\vec{v}_B| = v$.
ત્રિજ્યા $OA$ અને $OB$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 60^{\circ}$ છે.
વેગ સદિશો $\vec{v}_A$ અને $\vec{v}_B$ વચ્ચેનો ખૂણો પણ $60^{\circ}$ થાય છે કારણ કે વેગ હંમેશા ત્રિજ્યાને લંબ હોય છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_B - \vec{v}_A|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સમાન મૂલ્ય $v$ ધરાવતા બે સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય ત્યારે તેમના તફાવતનું મૂલ્ય શોધવાનું સૂત્ર:
$|\Delta \vec{v}| = \sqrt{v^2 + v^2 - 2v^2 \cos \theta} = \sqrt{2v^2(1 - \cos \theta)} = \sqrt{2v^2(2 \sin^2(\theta/2))} = 2v \sin(\theta/2)$.
$\theta = 60^{\circ}$ મૂકતા:
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(60^{\circ}/2) = 2v \sin(30^{\circ}) = 2v \times (1/2) = v$.
તેથી,વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $v$ છે.

(A) કોણીય ઝડપ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ છે.
અહીં,$T$ એ પૃથ્વીની તેની પોતાની ધરી પર પરિભ્રમણનો સમયગાળો છે,જે $24 \text{ કલાક}$ છે.
સમયગાળાને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $T = 24 \times 60 \times 60 \text{ s} = 86400 \text{ s}$.
સૂત્રમાં $T$ ની કિંમત મૂકતા: $\omega = \frac{2\pi}{86400} \text{ rad/s}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $\omega = \frac{\pi}{43200} \text{ rad/s}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) અચળ ઝડપ $v$ સાથે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા કણનો વેગ એ સદિશ રાશિ છે. ધારો કે બિંદુ $A$ પર વેગ $\vec{v}_A$ છે અને બિંદુ $B$ પર વેગ $\vec{v}_B$ છે. બંનેનું મૂલ્ય $v$ છે.
વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $|\Delta \vec{v}| = |\vec{v}_B - \vec{v}_A| = 2v \sin(\theta/2)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta = 60^{\circ}$ છે.
$|\Delta \vec{v}| = 2v \sin(60^{\circ}/2) = 2v \sin(30^{\circ}) = 2v \times (1/2) = v$.
સમગ્ર ગતિ દરમિયાન વેગનું મૂલ્ય $(v)$ અચળ રહે છે. તેથી,વેગના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર $v - v = 0$ થાય છે.
આમ,વેગમાં થતા ફેરફારનું મૂલ્ય $v$ છે અને વેગના મૂલ્યમાં થતો ફેરફાર $0$ છે.

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થ વર્તુળાકાર માર્ગ પર અચળ ઝડપ સાથે ગતિ કરે છે.
જોકે ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ માર્ગના દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા બદલાતી રહે છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં થતો ફેરફાર એ સૂચવે છે કે વેગ અચળ નથી.
તે જ રીતે,વેગમાન $(p = mv)$ પણ બદલાય છે કારણ કે વેગ બદલાય છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a_c = v^2/r)$ હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,અને જેમ પદાર્થ ગતિ કરે છે તેમ તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે.
તેથી,ગતિ દરમિયાન માત્ર ઝડપ જ અચળ રહે છે.

(B) પદાર્થ $r = 2\,m$ ત્રિજ્યા અને $v = 4\,m/s$ ની અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર માર્ગ પર ગતિ કરે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a_c = \frac{v^2}{r} = \frac{4^2}{2} = \frac{16}{2} = 8\,m/s^2$ છે.
$x = +2\,m$ પર,વેગ $-4 \hat{j}\,m/s$ છે,જે સૂચવે છે કે પદાર્થ ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં (clockwise) ગતિ કરે છે.
$x = -2\,m$ પર,પદાર્થ વ્યાસની વિરુદ્ધ બાજુએ હશે.
તે ઘડિયાળના કાંટાની દિશામાં ગતિ કરતું હોવાથી,$x = -2\,m$ પર,વેગ સદિશ ઉપરની તરફ હશે,તેથી $v = 4 \hat{j}\,m/s$.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હંમેશા કેન્દ્ર $(0,0)$ તરફ હોય છે. $x = -2\,m$ પર,કેન્દ્ર જમણી બાજુએ છે,તેથી પ્રવેગ ધન $x$-અક્ષની દિશામાં હશે,એટલે કે $a = 8 \hat{i}\,m/s^2$.

(A) ધારો કે કણની અચળ ઝડપ $v$ છે અને વર્તુળાકાર માર્ગની ત્રિજ્યા $R$ છે.
જ્યારે કણ $90^{\circ}$ (અથવા $\pi/2$ રેડિયન) ના ખૂણે વળે છે,ત્યારે ચાપ પર કાપેલું અંતર $s = R \theta = R(\pi/2) = \pi R / 2$ થાય છે.
આ ગતિ માટે લાગતો સમય $t = s / v = (\pi R / 2) / v = \pi R / (2v)$ છે.
સ્થાનાંતર એ પ્રારંભિક અને અંતિમ સ્થાન વચ્ચેનું સીધું અંતર છે,જે જીવાની લંબાઈ $AB = \sqrt{R^2 + R^2} = R\sqrt{2}$ છે.
સરેરાશ વેગને કુલ સ્થાનાંતર ભાગ્યા કુલ સમય તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે:
$\langle v \rangle = \frac{\text{સ્થાનાંતર}}{\text{સમય}} = \frac{R\sqrt{2}}{\pi R / (2v)} = \frac{R\sqrt{2} \cdot 2v}{\pi R} = \frac{2\sqrt{2}v}{\pi}$.
તત્કાલીન વેગ $v$ અને સરેરાશ વેગ $\langle v \rangle$ નો ગુણોત્તર:
$\frac{v}{\langle v \rangle} = \frac{v}{2\sqrt{2}v / \pi} = \frac{\pi}{2\sqrt{2}}$.
આપેલ ગુણોત્તર $\pi : x\sqrt{2}$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે $\frac{\pi}{2\sqrt{2}} = \frac{\pi}{x\sqrt{2}}$.
તેથી,$x = 2$.

(D) સરેરાશ વેગનું મૂલ્ય નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $|\vec{v}_{avg}| = \frac{|\vec{r}_B - \vec{r}_A|}{\Delta t}$.
સ્થાનાંતર $|\vec{r}_B - \vec{r}_A|$ એ જીવા $AB$ ની લંબાઈ છે. $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં,$\theta = 120^{\circ}$ ખૂણા માટે જીવાની લંબાઈ $2R \sin(\theta/2) = 2R \sin(60^{\circ}) = 2R(\sqrt{3}/2) = R\sqrt{3}$ થાય છે.
લાગતો સમય $\Delta t$ એ ચાપની લંબાઈ અને ઝડપ $v$ નો ગુણોત્તર છે. ચાપની લંબાઈ $s = R\theta = R(2\pi/3)$ છે.
તેથી,$\Delta t = s/v = (2\pi R / 3) / \pi = 2R/3$.
આમ,$|\vec{v}_{avg}| = \frac{R\sqrt{3}}{2R/3} = \frac{3\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3} \, m/s$.

(C) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વર્તુળાકાર માર્ગ પર દરેક બિંદુએ ગતિની દિશા બદલાય છે.
વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી (જેમાં મૂલ્ય અને દિશા બંને હોય છે),દિશામાં ફેરફાર થવાથી વેગમાં ફેરફાર થાય છે. તેથી,વેગ બદલાતો રહે છે.
વધુમાં,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ,જે $a_c = v^2/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,તે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. જેમ કણ ગતિ કરે છે,તેમ આ પ્રવેગ સદિશની દિશા સતત બદલાતી રહે છે જેથી તે હંમેશા કેન્દ્ર તરફ રહે.
આમ,વેગ અને પ્રવેગ બંને બદલાતા રહે છે.

(A) આપેલ સ્થાન સદિશ $\vec{r} = a(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t)$ છે.
બળ શોધવા માટે,આપણે સૌ પ્રથમ પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d^2\vec{r}}{dt^2}$ શોધીશું.
વેગ $\vec{v} = \frac{d\vec{r}}{dt} = a\omega(-\hat{i} \sin \omega t + \hat{j} \cos \omega t)$.
પ્રવેગ $\vec{a} = \frac{d\vec{v}}{dt} = -a\omega^2(\hat{i} \cos \omega t + \hat{j} \sin \omega t) = -\omega^2\vec{r}$.
કારણ કે $\vec{F} = m\vec{a}$,તેથી $\vec{F} = -m\omega^2\vec{r}$.
આ દર્શાવે છે કે બળ $\vec{F}$ એ સ્થાન સદિશ $\vec{r}$ ની વિરુદ્ધ દિશામાં છે.

(D) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ વેગની દિશા દરેક ક્ષણે સતત બદલાતી રહે છે. વેગ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,દિશામાં ફેરફારનો અર્થ એ છે કે વેગ બદલાય છે.
તે જ રીતે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. જેમ પદાર્થ ગતિ કરે છે,તેમ પદાર્થની સાપેક્ષમાં કેન્દ્રની દિશા બદલાય છે,જેનો અર્થ છે કે પ્રવેગની દિશા પણ સતત બદલાતી રહે છે. આમ,વેગ અને પ્રવેગ બંને બદલાતા રહે છે.
કેન્દ્રગામી પ્રવેગનું મૂલ્ય $a = v^2/r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $v$ એ ઝડપ છે અને $r$ એ ત્રિજ્યા છે. બંને વિધાનો સાચા છે,અને કારણ સમજાવે છે કે પ્રવેગ શા માટે બદલાય છે (કારણ કે તેનું મૂલ્ય $v^2/r$ અચળ હોવા છતાં તેની દિશા બદલાય છે).

(C) સમાન વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ $\vec{v}$ એ હંમેશા કોણીય વેગ સદિશ $\vec{\omega}$ ને લંબ હોય છે.
તેથી,તેમનો ડોટ ગુણાકાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\vec{v} \cdot \vec{\omega} = 0$.
આપેલ છે કે $\vec{v} = (6 \hat{i} - 2 \hat{j}) \ m/s$ અને $\vec{\omega} = (a \hat{i} + b \hat{j}) \ rad/s$.
આ કિંમતોને ડોટ ગુણાકારના સમીકરણમાં મૂકતા:
$(6 \hat{i} - 2 \hat{j}) \cdot (a \hat{i} + b \hat{j}) = 0$
$6a - 2b = 0$
$6a = 2b$
$\frac{b}{a} = \frac{6}{2} = 3$.

(C) વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા $r = \frac{\pi}{2} \,m$ છે。
કણ $t$ સમયમાં $x$ પરિભ્રમણ પૂર્ણ કરે છે。
$x$ પરિભ્રમણમાં કાપેલું કુલ અંતર $d = x \times (2\pi r)$ થાય。
$r$ ની કિંમત મૂકતા: $d = x \times (2\pi \times \frac{\pi}{2}) = x \times \pi^2 = \pi^2 x \,m$。
સ્પર્શકીય વેગ $v$ એ કાપેલા કુલ અંતર અને લીધેલા સમયનો ગુણોત્તર છે:
$v = \frac{d}{t} = \frac{\pi^2 x}{t} \,m/s$。
તેથી, સાચો વિકલ્પ $C$ છે。

(B) અનિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ અચળ કોણીય ઝડપ $\omega$ સાથે ગતિ કરે છે.
$1$. વેગ સદિશ $\vec{v}$ હંમેશા વર્તુળાકાર માર્ગને કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શક હોય છે. તેથી,વિધાન $A$ સાચું છે.
$2$. ઝડપ અચળ હોવાથી,સ્પર્શકીય પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે. માત્ર કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $\vec{a}_c$ હાજર હોય છે,જે વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે. તેથી,વિધાન $D$ સાચું છે.
$3$. પ્રવેગ સદિશ $\vec{a}_c$ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી અને વેગ સદિશ $\vec{v}$ વર્તુળને સ્પર્શક (ત્રિજ્યાને લંબ) હોવાથી,વેગ અને પ્રવેગ સદિશ હંમેશા એકબીજાને લંબ હોય છે. તેથી,વિધાન $C$ સાચું છે.
$4$. પ્રવેગ સદિશ કેન્દ્ર તરફ હોવાથી,તે વર્તુળને સ્પર્શક હોતો નથી. તેથી,વિધાન $B$ ખોટું છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,કણ અચળ ઝડપ સાથે વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરે છે.
ઝડપ અચળ હોવાથી,રેખીય વેગનું મૂલ્ય બદલાતું નથી.
કોઈપણ બિંદુએ રેખીય વેગની દિશા હંમેશા તે બિંદુએ વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે.
તેથી,રેખીય વેગ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે અને તેનું મૂલ્ય અચળ રહે છે.

(D) કોણીય ઝડપ $\omega$ ને એકમ સમયમાં કપાતા ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે. બંને પદાર્થો સમાન સમય $t$ માં એક પરિભ્રમણ ($2\pi$ રેડિયન) પૂર્ણ કરતા હોવાથી,તેમની કોણીય ઝડપ સમાન છે: $\omega_1 = \omega_2 = \frac{2\pi}{t}$.
રેખીય ઝડપ $v$ એ કોણીય ઝડપ $\omega$ અને ત્રિજ્યા $r$ સાથે $v = r\omega$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
પ્રથમ પદાર્થ માટે: $v_1 = r_1\omega_1$.
બીજા પદાર્થ માટે: $v_2 = r_2\omega_2$.
$m_2$ ની રેખીય ઝડપનો $m_1$ ની રેખીય ઝડપ સાથેનો ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2\omega_2}{r_1\omega_1}$ થાય.
$\omega_1 = \omega_2$ હોવાથી,ગુણોત્તર $\frac{v_2}{v_1} = \frac{r_2}{r_1}$ મળે છે.

(D) $U.C.M.$ (નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ) માં,કણની ઝડપ $V$ અચળ રહે છે.
ત્રિજ્યા $R$ પણ અચળ હોવાથી,કોણીય વેગ $\omega = V/R$ નું મૂલ્ય અચળ રહે છે.
કોણીય પ્રવેગ $\alpha$ એ કોણીય વેગના ફેરફારનો દર છે,એટલે કે $\alpha = d\omega/dt$.
અહીં $\omega$ અચળ હોવાથી,સમયની સાપેક્ષે તેનું વિકલન શૂન્ય થાય છે.
તેથી,કણનો કોણીય પ્રવેગ $0$ છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ અચળ રહે છે,પરંતુ ગતિની દિશા માર્ગના દરેક બિંદુએ બદલાય છે.
વેગ $\vec{v}$ એ સદિશ રાશિ હોવાથી,તેની દિશા સતત બદલાતી રહે છે,તેથી વેગ અચળ નથી.
વેગમાન $\vec{p} = m\vec{v}$ એ વેગ સદિશ પર આધારિત હોવાથી,તે પણ સતત બદલાય છે.
નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં પ્રવેગ એ કેન્દ્રગામી પ્રવેગ છે,જે $a_c = \frac{v^2}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જોકે તેનું મૂલ્ય અચળ છે,પરંતુ તેની દિશા હંમેશા વર્તુળના કેન્દ્ર તરફ હોય છે,જે સતત બદલાતી રહે છે. તેથી,પ્રવેગ અચળ નથી.
ગતિઊર્જા $K = \frac{1}{2}mv^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દળ $m$ અને ઝડપ $v = |\vec{v}|$ અચળ હોવાથી,ગતિ દરમિયાન ગતિઊર્જા અચળ રહે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ ગતિઊર્જા છે.

(D) કોણીય વેગ $\omega$ એ સૂત્ર $\omega = \frac{2\pi}{T}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ આવર્તકાળ છે.
ઘડિયાળના કલાકના કાંટા માટે,આવર્તકાળ $T_1 = 12 \text{ કલાક}$ છે.
પૃથ્વી માટે,આવર્તકાળ $T_2 = 24 \text{ કલાક}$ છે.
તેથી,કલાકના કાંટાનો કોણીય વેગ $\omega_1 = \frac{2\pi}{12}$ અને પૃથ્વીનો કોણીય વેગ $\omega_2 = \frac{2\pi}{24}$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\omega_1}{\omega_2} = \frac{2\pi / 12}{2\pi / 24} = \frac{24}{12} = 2$ થાય.
આમ,ગુણોત્તર $\omega_1 : \omega_2$ એ $2 : 1$ છે.

(B) આપેલ છે: વ્યાસ $d = 50 \ cm = 0.5 \ m$.
ત્રિજ્યા $r = d/2 = 0.25 \ m = 25 \times 10^{-2} \ m$.
આવૃત્તિ $f = 2 \ Hz$.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi \times 2 = 4 \pi \ rad/s$.
$U.C.M.$ માં કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = r \omega^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કિંમતો મૂકતા: $a = (25 \times 10^{-2}) \times (4 \pi)^2$.
$a = 0.25 \times 16 \pi^2$.
$a = 4 \pi^2 \ m/s^2$.

(D) '$r$' ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર માર્ગ પર '$v$' ઝડપથી ગતિ કરતા કણનો કેન્દ્રગામી પ્રવેગ '$a$' નીચે મુજબના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a = \frac{v^2}{r}$.
આ સંબંધ પરથી સ્પષ્ટ થાય છે કે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ એ ઝડપના વર્ગના સમપ્રમાણમાં છે: $a \propto v^2$.
ધારો કે પ્રારંભિક ઝડપ '$v_1 = v$' છે અને પ્રારંભિક પ્રવેગ '$a_1 = a$' છે.
ધારો કે અંતિમ ઝડપ '$v_2 = 2v$' છે અને અંતિમ પ્રવેગ '$a_2$' છે.
અંતિમ પ્રવેગ અને પ્રારંભિક પ્રવેગનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{a_2}{a_1} = \left(\frac{v_2}{v_1}\right)^2 = \left(\frac{2v}{v}\right)^2 = (2)^2 = 4$.
તેથી,ફેરફાર પછી અને પહેલાના પ્રવેગનો ગુણોત્તર $4:1$ છે.

(B) ઘડિયાળનો મિનિટ કાંટો $60$ મિનિટમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
એક પરિભ્રમણ માટે લાગતો સમય $T = 60 \text{ મિનિટ} = 60 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 3600 \text{ સેકન્ડ}$.
કોણીય ઝડપ $\omega$ એ એકમ સમયમાં કપાતા ખૂણા તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે: $\omega = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{360^{\circ}}{3600 \text{ s}} = \frac{1}{10} \text{ deg/s} = 0.1 \text{ deg/s}$.

(D) અચળ વર્તુળાકાર ગતિમાં,પદાર્થની ઝડપ સમય સાથે અચળ રહે છે.
સ્પર્શક પ્રવેગ $(a_t)$ એ સમયની સાપેક્ષમાં વેગના મૂલ્ય (ઝડપ) માં થતા ફેરફારનો દર છે.
ગાણિતિક રીતે,$a_t = \frac{dv}{dt}$.
અહીં ઝડપ '$v$' અચળ હોવાથી,સમયની સાપેક્ષમાં તેનું વિકલન શૂન્ય થાય છે.
તેથી,$a_t = 0$.

(B) $1$. વર્તુળાકાર માર્ગે ગતિ કરતા કણનો રેખીય વેગ $v$ હંમેશા તે બિંદુએ વર્તુળના સ્પર્શકની દિશામાં હોય છે.
$2$. કોણીય વેગ $\omega$ એ સદિશ રાશિ છે જેની દિશા જમણા હાથના અંગૂઠાના નિયમ દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે. $xy$-સમતલમાં ઘડિયાળના કાંટાની વિરુદ્ધ દિશામાં ફરતા કણ માટે,કોણીય વેગ સદિશ $\omega$ પરિભ્રમણની ધરી પર હોય છે,જે વર્તુળના સમતલને લંબ હોય છે (એટલે કે,$z$-અક્ષની દિશામાં).
$3$. રેખીય વેગ $v$ એ વર્તુળના સમતલમાં રહેલો હોવાથી અને કોણીય વેગ $\omega$ એ વર્તુળના સમતલને લંબ હોવાથી,તેમની વચ્ચેનો ખૂણો હંમેશા $90^{\circ}$ હોય છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a_c$ નું સૂત્ર $a_c = R \omega^2$ છે.
અહીં,$R$ એ વર્તુળાકાર પથની ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય વેગ છે.
કોણીય વેગ $\omega$ અને આવૃત્તિ $n$ વચ્ચેનો સંબંધ $\omega = 2 \pi n$ છે.
આ કિંમતને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a_c = R (2 \pi n)^2$
$a_c = R (4 \pi^2 n^2)$
$a_c = 4 \pi^2 n^2 R$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિમાં,વેગ સદિશ $v$ હંમેશા વર્તુળાકાર પથને સ્પર્શક હોય છે.
ધારો કે સમય $t$ પર વેગ $v_1$ છે અને સમય $t + \delta t$ પર વેગ $v_2$ છે. વેગમાં ફેરફાર $\delta v = v_2 - v_1$ છે.
$U$.$C$.$M$. માં ઝડપ અચળ હોવાથી,$|v_1| = |v_2| = v$ થાય છે.
સદિશ $\delta v$ એ $v_1$ અને $v_2$ બાજુઓ ધરાવતા સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણનો પાયો બનાવે છે,જેની વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
વેગમાં ફેરફાર $\delta v$ અને પ્રારંભિક વેગ $v_1$ વચ્ચેનો ખૂણો $\phi = \frac{180^{\circ} - \theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ સમયનો ગાળો $\delta t \rightarrow 0$ થાય છે,તેમ વેગ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ પણ $0^{\circ}$ ની નજીક પહોંચે છે.
આ સમીકરણમાં $\theta \approx 0^{\circ}$ મૂકતા,આપણને $\phi = 90^{\circ} - 0^{\circ} = 90^{\circ}$ મળે છે.
આમ,વેગમાં ફેરફાર એ તાત્કાલિક વેગ સદિશને લંબ હોય છે.

(A) વર્તુળાકાર ગતિમાં પદાર્થની રેખીય ઝડપ $V$ એ $V = r\omega$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r$ એ ત્રિજ્યા છે અને $\omega$ એ કોણીય ઝડપ છે.
બંને કાર એક પરિભ્રમણ સમાન સમય $t$ માં પૂર્ણ કરતી હોવાથી,તેમની કોણીય ઝડપ સમાન છે,એટલે કે $\omega_{1} = \omega_{2} = \frac{2\pi}{t}$.
તેથી,તેમની રેખીય ઝડપનો ગુણોત્તર:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}\omega_{1}}{r_{2}\omega_{2}}$
$\omega_{1} = \omega_{2}$ હોવાથી,ગુણોત્તર નીચે મુજબ સાદું રૂપ પામે છે:
$\frac{V_{1}}{V_{2}} = \frac{r_{1}}{r_{2}}$
આમ,$m_{1}$ ની રેખીય ઝડપ અને $m_{2}$ ની રેખીય ઝડપનો ગુણોત્તર $r_{1}: r_{2}$ છે.

(C) $r$ ત્રિજ્યાના વર્તુળાકાર પથ પર ગતિ કરતા પદાર્થ માટે રેખીય વેગ $(v)$ અને કોણીય વેગ $(\omega)$ વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
$v = r \omega$
કોણીય વેગ $(\omega)$ શોધવા માટે,આપણે સૂત્રને આ રીતે લખી શકીએ:
$\omega = \frac{v}{r}$
તેથી,કોણીય વેગ $v / r$ થાય છે.

(C) ઘડિયાળનો કલાકનો કાંટો $12$ કલાકમાં એક પૂર્ણ પરિભ્રમણ $(360^{\circ})$ પૂર્ણ કરે છે.
પ્રથમ,સમયને સેકન્ડમાં ફેરવો: $12 \text{ કલાક} = 12 \times 60 \text{ મિનિટ} = 12 \times 60 \times 60 \text{ સેકન્ડ} = 43200 \text{ સેકન્ડ}$.
કોણીય ઝડપ $\omega$ નું સૂત્ર $\omega = \frac{\theta}{t}$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\omega = \frac{360^{\circ}}{43200 \text{ s}}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\omega = \frac{360}{43200} = \frac{36}{4320} = \frac{1}{120} \text{ ડિગ્રી પ્રતિ સેકન્ડ}$.

(A) $m$ દળ ધરાવતા અને $v$ ઝડપથી ગતિ કરતા કણની ગતિઊર્જા $(E)$ નું સૂત્ર $E = \frac{1}{2} m v^2$ છે.
નિયમિત વર્તુળ ગતિ માટે,કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $(a)$ નું સૂત્ર $a = \frac{v^2}{r}$ છે,જેનો અર્થ થાય છે કે $v^2 = a r$.
હવે,$v^2 = a r$ ને ગતિઊર્જાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$E = \frac{1}{2} m (a r)$
પ્રવેગ $(a)$ ને સૂત્રનો કર્તા બનાવતા:
$2 E = m a r$
$a = \frac{2 E}{m r}$

(D) નિયમિત વર્તુળાકાર ગતિ કરતા કણ માટે, કેન્દ્રગામી પ્રવેગ $a = \omega^2 r$ દ્વારા આપવામાં આવે છે।
અહીં, વ્યાસ $d = 1 \ m$ છે, તેથી ત્રિજ્યા $r = d/2 = 0.5 \ m$ થાય.
આવૃત્તિ $f = 4 \ Hz$ છે.
કોણીય વેગ $\omega = 2 \pi f = 2 \pi (4) = 8 \pi \ rad/s$.
આ કિંમતોને પ્રવેગના સૂત્રમાં મૂકતા:
$a = (8 \pi)^2 \times 0.5$
$a = 64 \pi^2 \times 0.5$
$a = 32 \pi^2 \ m/s^2$.