Newton's Law of Cooling Questions in Gujarati

(A) ન્યૂટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવત સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે: $R \propto (T - T_s)$.
આપેલ છે:
પદાર્થ $A$ નું તાપમાન $(T_1)$ = $100^{\circ}C$
પદાર્થ $B$ નું તાપમાન $(T_2)$ = $80^{\circ}C$
આસપાસનું તાપમાન $(T_s)$ = $40^{\circ}C$
પદાર્થ $A$ માટે ઠંડા પડવાનો દર $R_1 = k(T_1 - T_s) = k(100 - 40) = 60k$ છે.
પદાર્થ $B$ માટે ઠંડા પડવાનો દર $R_2 = k(T_2 - T_s) = k(80 - 40) = 40k$ છે.
તેથી,ગુણોત્તર $R_1 : R_2 = \frac{60k}{40k} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$ થાય.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,શીતલનનો દર $\frac{d\theta}{dt} = \frac{e \sigma A}{ms} (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ગોળા સમાન ધાતુના હોવાથી,ઉત્સર્જકતા $e$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ અને ઘનતા $\rho$ સમાન રહેશે.
દળ $m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ થાય.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા: $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{A}{m} \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,શીતલનના દરનો ગુણોત્તર $\frac{(d\theta/dt)_1}{(d\theta/dt)_2} = \frac{r_2}{r_1} = \frac{2r}{r} = 2:1$ થાય.

(D) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્માના વ્યયનો દર એ પદાર્થ અને તેના પર્યાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
આપેલ છે: $\theta_0 = 20^{\circ}C$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\theta_1 = 80^{\circ}C$ અને $\frac{dQ_1}{dt} = 60 \, cal/sec$.
આ કિંમતો મૂકતા: $60 = k(80 - 20) = 60k$,જેનો અર્થ છે કે $k = 1 \, cal/(sec \cdot ^{\circ}C)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\theta_2 = 40^{\circ}C$.
ઉષ્માના વ્યયનો દર ગણતા: $\frac{dQ_2}{dt} = k(40 - 20) = 1 \times 20 = 20 \, cal/sec$.

(C) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{d\theta}{dt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પરિસ્થિતિ સમાન હોવાથી,બંને પ્રવાહી માટે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt}$ સમાન રહેશે.
તેથી,$m_1 s_1 \frac{d\theta}{t_1} = m_2 s_2 \frac{d\theta}{t_2}$.
કદ સમાન હોવાથી $(V_1 = V_2 = V)$,આપણે $m = \rho V$ લખી શકીએ.
આ કિંમત મૂકતા,$\rho_1 V s_1 / t_1 = \rho_2 V s_2 / t_2$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{s_2}{s_1} \times \frac{t_1}{t_2}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $s_1 : s_2 = 3 : 4$,તેથી $s_2 / s_1 = 4/3$.
સમય $t_1 = 324 \; sec$ અને $t_2 = 810 \; sec$ છે.
ગુણોત્તર $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{4}{3} \times \frac{324}{810} = \frac{4}{3} \times \frac{2}{5} = \frac{8}{15}$.

(C) ન્યુટનના શીતનના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર એ પદાર્થના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{d\theta}{dt} \propto \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$.
જેમ જેમ પાણી ઠંડું થાય છે તેમ તેનું સરેરાશ તાપમાન ઘટતું જાય છે,તેથી ઠંડા થવાનો દર પણ સમય સાથે ઘટતો જાય છે.
આપેલ અંતરાલો માટે:
સરેરાશ તાપમાન $1$: $\frac{75+70}{2} = 72.5^{\circ}C$
સરેરાશ તાપમાન $2$: $\frac{70+65}{2} = 67.5^{\circ}C$
સરેરાશ તાપમાન $3$: $\frac{65+60}{2} = 62.5^{\circ}C$
પ્રથમ અંતરાલ માટે સરેરાશ તાપમાન સૌથી વધુ હોવાથી,ઠંડા થવાનો દર સૌથી ઝડપી હશે,જેનો અર્થ છે કે $T_1$ સૌથી ઓછો સમય છે.
તેથી,$T_1 < T_2 < T_3$.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{90 - 60}{5} = K\left( \frac{90 + 60}{2} - 20 \right) \Rightarrow 6 = K(75 - 20) \Rightarrow 6 = 55K \Rightarrow K = \frac{6}{55}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 30}{t} = K\left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right) \Rightarrow \frac{30}{t} = \frac{6}{55}(45 - 20) \Rightarrow \frac{30}{t} = \frac{6}{55} \times 25$.
$\frac{30}{t} = \frac{6 \times 5}{11} \Rightarrow \frac{30}{t} = \frac{30}{11} \Rightarrow t = 11 \ min$.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનના નાના તફાવત માટે,ઠંડા પડવાનો દર $d\theta/dt$ એ ઉષ્મા ગુમાવવાના દર અને ઉષ્મા ધારિતા $(ms)$ ના ગુણોત્તર જેટલો હોય છે:
$d\theta/dt = \frac{\sigma A (T^4 - T_0^4)}{ms}$.
અહીં $m = \rho V = \rho (\frac{4}{3}\pi r^3)$ અને $A = 4\pi r^2$ હોવાથી:
$d\theta/dt \propto \frac{r^2}{\rho r^3 s} \propto \frac{1}{\rho r}$.
આપેલ ગુણોત્તર $r_1:r_2 = 1:2$ અને $\rho_1:\rho_2 = 2:1$ માટે,ઠંડા પડવાના દરનો ગુણોત્તર:
$\frac{(d\theta/dt)_1}{(d\theta/dt)_2} = \frac{\rho_2 r_2}{\rho_1 r_1} = \frac{1}{2} \times \frac{2}{1} = 1:1$.

(A) ન્યૂટનના શીતનના નિયમ અનુસાર,પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર તેના અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $-dT/dt = k(T - T_S)$.
અહીં,$T$ એ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન છે અને $T_S$ એ આસપાસના વાતાવરણનું તાપમાન છે.
તાપમાનમાં થતા નાના ઘટાડા $\Delta T = 10 \, ^\circ\text{C}$ માટે,લાગતો સમય $t$ એ $t \propto 1 / (T_{avg} - T_S)$ મુજબ મળે છે.
$1$. $100 \, ^\circ\text{C}$ થી $90 \, ^\circ\text{C}$ માટે,$T_{avg} = 95 \, ^\circ\text{C}$,તેથી $t_1 \propto 1 / (95 - T_S)$.
$2$. $90 \, ^\circ\text{C}$ થી $80 \, ^\circ\text{C}$ માટે,$T_{avg} = 85 \, ^\circ\text{C}$,તેથી $t_2 \propto 1 / (85 - T_S)$.
$3$. $80 \, ^\circ\text{C}$ થી $70 \, ^\circ\text{C}$ માટે,$T_{avg} = 75 \, ^\circ\text{C}$,તેથી $t_3 \propto 1 / (75 - T_S)$.
જેમ જેમ સરેરાશ તાપમાન $T_{avg}$ ઘટે છે,તેમ છેદ $(T_{avg} - T_S)$ પણ ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે સમય $t$ વધે છે.
તેથી,$t_1 < t_2 < t_3$.

(C) ન્યુટનના શીતનના નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_{room})$.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{60 - 50}{10} = K\left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = K(55 - 25) \implies 1 = 30K \implies K = \frac{1}{30}$.
બીજા સમયગાળા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે: $\frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ મૂકતા: $\frac{50 - \theta}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) = \frac{1}{30} \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{60}$.
$6(50 - \theta) = \theta \implies 300 - 6\theta = \theta \implies 7\theta = 300 \implies \theta = \frac{300}{7} \approx 42.85^{\circ}C$.

(A) ન્યુટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર આ મુજબ છે: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$,જ્યાં $\theta_0$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં:
$\frac{80 - 70}{30} = K \left( \frac{80 + 70}{2} - \theta_0 \right) \Rightarrow \frac{10}{30} = K(75 - \theta_0) \Rightarrow \frac{1}{3} = K(75 - \theta_0)$ --- $(1)$
બીજા કિસ્સામાં:
$\frac{60 - 50}{70} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right) \Rightarrow \frac{10}{70} = K(55 - \theta_0) \Rightarrow \frac{1}{7} = K(55 - \theta_0)$ --- $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1/3}{1/7} = \frac{K(75 - \theta_0)}{K(55 - \theta_0)} \Rightarrow \frac{7}{3} = \frac{75 - \theta_0}{55 - \theta_0}$
ચોકડી ગુણાકાર કરતા:
$7(55 - \theta_0) = 3(75 - \theta_0)$
$385 - 7\theta_0 = 225 - 3\theta_0$
$385 - 225 = 7\theta_0 - 3\theta_0$
$160 = 4\theta_0$
$\theta_0 = 40^{\circ} C$.

(B) ન્યુટનના શીતનના નિયમ મુજબ: $\frac{dT}{dt} = -K(T_{avg} - T_s)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{50.0 - 49.9}{5} = K \left( \frac{50.0 + 49.9}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{0.1}{5} = K(49.95 - 30) \Rightarrow 0.02 = K(19.95) \dots (i)$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{40.0 - 39.9}{t} = K \left( \frac{40.0 + 39.9}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{0.1}{t} = K(39.95 - 30) \Rightarrow \frac{0.1}{t} = K(9.95) \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{0.02}{0.1/t} = \frac{19.95}{9.95} \Rightarrow 0.2t = 2.005 \Rightarrow t \approx 10 \, s$.

(A) ન્યુટનના શીતનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{75 - 65}{2} = k \left( \frac{75 + 65}{2} - 30 \right) \implies 5 = k(70 - 30) \implies 5 = 40k \implies k = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \, \text{min}^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{55 - 45}{t} = k \left( \frac{55 + 45}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = k(50 - 30) \implies \frac{10}{t} = 20k$.
$k = \frac{1}{8}$ ની કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{10}{t} = 20 \times \frac{1}{8} \implies \frac{10}{t} = 2.5 \implies t = \frac{10}{2.5} = 4 \, \text{min}$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પ્રવાહીના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાન $T_0$ ના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે:
$\frac{95 - 90}{30} = K \left( \frac{95 + 90}{2} - T_0 \right)$
$\frac{5}{30} = K (92.5 - T_0) \implies \frac{1}{6} = K (92.5 - T_0) \quad ---(1)$
બીજા કિસ્સા માટે:
$\frac{55 - 50}{70} = K \left( \frac{55 + 50}{2} - T_0 \right)$
$\frac{5}{70} = K (52.5 - T_0) \implies \frac{1}{14} = K (52.5 - T_0) \quad ---(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1/6}{1/14} = \frac{92.5 - T_0}{52.5 - T_0}$
$\frac{14}{6} = \frac{92.5 - T_0}{52.5 - T_0} \implies \frac{7}{3} = \frac{92.5 - T_0}{52.5 - T_0}$
$7(52.5 - T_0) = 3(92.5 - T_0)$
$367.5 - 7T_0 = 277.5 - 3T_0$
$367.5 - 277.5 = 4T_0$
$90 = 4T_0$
$T_0 = 22.5^{\circ}C$

(B) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = \frac{e \sigma A}{ms} (\theta - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કારણ કે $m = \rho V$,તેથી $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{A}{V}$ થાય.
$a$ બાજુવાળા સમઘન માટે,$A = 6a^2$ અને $V = a^3$,તેથી $\frac{A}{V} = \frac{6}{a}$.
$2a$ બાજુવાળા સમઘન માટે,$A' = 6(2a)^2 = 24a^2$ અને $V' = (2a)^3 = 8a^3$,તેથી $\frac{A'}{V'} = \frac{24}{8a} = \frac{3}{a}$.
દરની સરખામણી કરતા: $\frac{(d\theta/dt)'}{(d\theta/dt)} = \frac{A'/V'}{A/V} = \frac{3/a}{6/a} = \frac{1}{2}$.
તાપમાનનો ગાળો $(\theta_1 - \theta_2)$ સમાન હોવાથી,ઠંડા પડવાનો દર એ લીધેલા સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{1/t'}{1/t} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$t' = 2t$.

(C) ન્યૂટનના શીતલન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને આજુબાજુના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} \propto (T - T_s)$.
પ્રથમ અંતરાલમાં,તાપમાન $100^{\circ}C$ થી $80^{\circ}C$ સુધી ઘટે છે. આ અંતરાલ દરમિયાન પાણી અને આજુબાજુના તાપમાનનો સરેરાશ તફાવત વધારે હોય છે.
બીજા અંતરાલમાં,તાપમાન $80^{\circ}C$ થી $60^{\circ}C$ સુધી ઘટે છે. આ અંતરાલ દરમિયાન પાણી અને આજુબાજુના તાપમાનનો સરેરાશ તફાવત ઓછો હોય છે.
જેમ તાપમાનનો તફાવત વધારે હોય તેમ શીતલનનો દર વધારે હોય છે,તેથી સમાન તાપમાનના ઘટાડા $(20^{\circ}C)$ માટે પ્રથમ અંતરાલમાં લાગતો સમય ઓછો હશે.
તેથી,$T_1 < T_2$.

(B) ન્યૂટનના શીતનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
જેમ પાણીનું તાપમાન ઘટે છે,તેમ પાણી અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત $(T - T_s)$ ઘટતો જાય છે.
ઠંડા પડવાનો દર $(-\frac{dT}{dt})$ આ તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોવાથી,સમય જતાં ઠંડા પડવાનો દર ઘટતો જાય છે.
તેથી,સમાન તાપમાનનો ઘટાડો $(5^{\circ}C)$ મેળવવા માટે,જેમ તાપમાન આસપાસના તાપમાનની નજીક પહોંચે તેમ વધુ સમય લાગે છે.
આમ,$T_1 < T_2 < T_3$.

(A) ન્યૂટનના શીતનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt}$ એ સપાટીના ક્ષેત્રફળ અને તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે. બંને ગોળાઓ સમાન પદાર્થના અને સમાન ત્રિજ્યાના હોવાથી,તેમનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સમાન છે,તેથી $\frac{dQ}{dt}$ બંને માટે સમાન રહેશે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $\frac{dT}{dt}$ એ શીતનનો દર છે.
તેથી,$\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \cdot \frac{dQ}{dt}$.
પદાર્થ સમાન હોવાથી $c$ અચળ છે. પોલા ગોળાનું દળ $(m)$ નક્કર ગોળા કરતા ઓછું હોવાથી,પોલા ગોળા માટે શીતનનો દર $\frac{dT}{dt}$ વધુ હશે.

(D) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના સરેરાશ તાપમાન અને વાતાવરણના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} = k \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_s \right)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે ($80^{\circ}C$ થી $60^{\circ}C$,$60 \, sec$ માં):
$\frac{80 - 60}{60} = k \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies \frac{20}{60} = k(70 - 30) \implies \frac{1}{3} = k(40) \implies k = \frac{1}{120} \, sec^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે ($60^{\circ}C$ થી $50^{\circ}C$,$t \, sec$ માં):
$\frac{60 - 50}{t} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = k(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = k(25)$.
$k = \frac{1}{120}$ મુકતા:
$\frac{10}{t} = \frac{1}{120} \times 25 \implies \frac{10}{t} = \frac{25}{120} \implies \frac{10}{t} = \frac{5}{24}$.
$5t = 240 \implies t = 48 \, sec$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,જવાબ $50 \, sec$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{d\theta}{dt} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_s \right)$,જ્યાં $\theta_s$ એ વાતાવરણનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે ($60^oC$ થી $50^oC$,$10 \, min$ માં):
$\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - \theta_s \right)$
$1 = K(55 - \theta_s) \quad \dots(i)$
બીજા અંતરાલ માટે ($50^oC$ થી $42^oC$,$10 \, min$ માં):
$\frac{50 - 42}{10} = K \left( \frac{50 + 42}{2} - \theta_s \right)$
$0.8 = K(46 - \theta_s) \quad \dots(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_s}{46 - \theta_s}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_s}{46 - \theta_s}$
$1.25(46 - \theta_s) = 55 - \theta_s$
$57.5 - 1.25\theta_s = 55 - \theta_s$
$2.5 = 0.25\theta_s$
$\theta_s = 10^oC$.

(A) ધારો કે આસપાસનું તાપમાન $T_s$ છે.
$Newton$ ના શીતળતાના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર નીચે મુજબ છે:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
પ્રથમ $5$ મિનિટ માટે:
$T_1 = 70^\circ C, T_2 = 60^\circ C, t = 5$ મિનિટ.
$\frac{70 - 60}{5} = K \left( \frac{70 + 60}{2} - T_s \right)$
$2 = K(65 - T_s)$ --- $(i)$
પછીની $5$ મિનિટ માટે:
$T_1 = 60^\circ C, T_2 = 54^\circ C, t = 5$ મિનિટ.
$\frac{60 - 54}{5} = K \left( \frac{60 + 54}{2} - T_s \right)$
$1.2 = K(57 - T_s)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2}{1.2} = \frac{65 - T_s}{57 - T_s}$
$\frac{5}{3} = \frac{65 - T_s}{57 - T_s}$
$5(57 - T_s) = 3(65 - T_s)$
$285 - 5T_s = 195 - 3T_s$
$2T_s = 90$
$T_s = 45^\circ C$

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડુ થવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_s \right)$
પ્રથમ $10$ મિનિટના ગાળા માટે:
$T_1 = 3T, T_2 = 2T, T_s = T, t = 10$
$\frac{3T - 2T}{10} = K \left( \frac{3T + 2T}{2} - T \right)$
$\frac{T}{10} = K \left( 2.5T - T \right) = K(1.5T) \implies K = \frac{1}{15} \dots (i)$
આગામી $10$ મિનિટના ગાળા માટે:
ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T'$ છે.
$T_1 = 2T, T_2 = T', T_s = T, t = 10$
$\frac{2T - T'}{10} = K \left( \frac{2T + T'}{2} - T \right)$
$\frac{2T - T'}{10} = K \left( \frac{T'}{2} \right) \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $K = \frac{1}{15}$ મૂકતા:
$\frac{2T - T'}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{T'}{2} \right)$
$\frac{2T - T'}{10} = \frac{T'}{30}$
$3(2T - T') = T'$
$6T - 3T' = T'$
$6T = 4T' \implies T' = \frac{6}{4}T = \frac{3}{2}T$

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\frac{dQ}{dt} \propto (T - T_s)$.
મિત્ર $A$ ના કિસ્સામાં,ઠંડુ દૂધ તરત જ ઉમેરવામાં આવે છે. આનાથી ચાના મિશ્રણનું પ્રારંભિક તાપમાન ઘટી જાય છે. મિશ્રણ અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત ઓછો હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર ઓછો હોય છે.
મિત્ર $B$ ના કિસ્સામાં,ઠંડુ દૂધ ઉમેરવામાં આવે તે પહેલાં ચા લાંબા સમય સુધી ઊંચા તાપમાને રહે છે. ગરમ ચા અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત મોટો હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર વધારે હોય છે.
તેથી,જ્યારે મિત્ર આવે ત્યારે મિત્ર $A$ ના કપમાં ચા વધુ ગરમ રહેશે.

(C) ઠંડા થવાનો દર $R_C$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $R_C = \frac{dQ}{dt} \cdot \frac{1}{mc} = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$.
ચૂંક $m = \rho V$,જ્યાં $\rho$ ઘનતા છે અને $V$ કદ છે,તેથી $R_C = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{V \rho c}$.
ગોળા માટે,$A = 4 \pi r^2$ અને $V = \frac{4}{3} \pi r^3$,તેથી $\frac{A}{V} = \frac{3}{r}$.
આમ,$R_C \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{\text{વ્યાસ}}$.
આપેલ છે કે $A$ નો વ્યાસ $B$ કરતા અડધો છે $(D_A = \frac{1}{2} D_B)$,તેથી $A$ ના ઠંડા થવાનો દર $B$ કરતા બમણો હશે $(R_{C,A} = 2 R_{C,B})$.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_{avg}$ એ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન છે અને $\theta_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{62 - 61}{T} = K \left( \frac{62 + 61}{2} - 30 \right) \implies \frac{1}{T} = K(61.5 - 30) = K(31.5)$ ...$(i)$
બીજા કિસ્સા માટે,$T'$ સમયમાં $46^{\circ}C$ થી $45^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે: $\frac{46 - 45}{T'} = K \left( \frac{46 + 45}{2} - 30 \right) \implies \frac{1}{T'} = K(45.5 - 30) = K(15.5)$ ...$(ii)$
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ ની સરખામણી કરતા,કારણ કે $31.5 > 15.5$,ઠંડા થવાનો દર પ્રથમ કિસ્સામાં ઝડપી છે. તેથી,બીજા કિસ્સા માટે લાગતો સમય $T'$ એ $T$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.

(C) ઠંડકનો દર $\frac{dT}{dt} = \frac{kA(T - T_0)}{mc}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા છે.
અહીં $m$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ બંને માટે સમાન હોવાથી,ઠંડકનો દર વિશિષ્ટ ઉષ્મા ક્ષમતા $c$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\text{Rate of cooling} \propto \frac{1}{c}$.
આપેલ છે કે $c_{\text{oil}} < c_{\text{water}}$,તેથી $(\text{Rate of cooling})_{\text{oil}} > (\text{Rate of cooling})_{\text{water}}$ થાય.
આનો અર્થ એ છે કે તેલ પાણી કરતા ઝડપથી ઠંડું પડે છે.
તેથી,કોઈપણ સમયે $t > 0$ પર,તેલનું તાપમાન પાણીના તાપમાન કરતા ઓછું હશે.
આલેખ જોતા,વક્ર $B$ એ વક્ર $A$ ની સરખામણીમાં તાપમાનમાં ઝડપી ઘટાડો દર્શાવે છે.
આમ,વક્ર $B$ તેલનો ઠંડક વક્ર દર્શાવે છે અને વક્ર $A$ પાણીનો ઠંડક વક્ર દર્શાવે છે.

(D) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ, ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_{surr})$ છે。
જ્યારે તાપમાન $50^{\circ}C$ પર સ્થિર હોય, ત્યારે પૂરી પાડવામાં આવતી ઉષ્મા ગુમાવેલી ઉષ્મા જેટલી હોય છે: $10 = k(50 - 20) = 30k$. તેથી, $k = \frac{1}{3} \ W/^{\circ}C$.
જ્યારે હીટર બંધ કરવામાં આવે છે, ત્યારે સિસ્ટમ ઠંડી પડે છે। ઠંડક દરમિયાન સરેરાશ તાપમાન $T_{avg} = \frac{35.1 + 34.9}{2} = 35^{\circ}C$ છે。
આ સરેરાશ તાપમાને ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = k(T_{avg} - T_{surr}) = \frac{1}{3}(35 - 20) = \frac{15}{3} = 5 \ J/s$ છે。
$1 \ \text{મિનિટ}$ $(60 \ \text{સેકન્ડ})$ માં, કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = 5 \ J/s \times 60 \ s = 300 \ J$ છે。
તાપમાનમાં ફેરફાર $\Delta T = 35.1^{\circ}C - 34.9^{\circ}C = 0.2^{\circ}C$ છે。
ઉષ્મા ધારિતા $C = \frac{Q}{\Delta T} = \frac{300 \ J}{0.2^{\circ}C} = 1500 \ J/^{\circ}C$ મળે છે。

(B) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
$CASE-1$: પદાર્થ $60^{\circ}C$ થી $50^{\circ}C$ સુધી $4 \text{ min}$ માં ઠંડું થાય છે. સરેરાશ તાપમાન $\frac{60+50}{2} = 55^{\circ}C$ છે.
$\frac{60-50}{4} = k(55 - T_s) \Rightarrow 2.5 = k(55 - T_s)$ $(1)$
$CASE-2$: પદાર્થ $40^{\circ}C$ થી $30^{\circ}C$ સુધી $8 \text{ min}$ માં ઠંડું થાય છે. સરેરાશ તાપમાન $\frac{40+30}{2} = 35^{\circ}C$ છે.
$\frac{40-30}{8} = k(35 - T_s) \Rightarrow 1.25 = k(35 - T_s)$ $(2)$
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{2.5}{1.25} = \frac{55 - T_s}{35 - T_s}$
$2 = \frac{55 - T_s}{35 - T_s}$
$70 - 2T_s = 55 - T_s$
$T_s = 15^{\circ}C$
તેથી,આસપાસનું તાપમાન $15^{\circ}C$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
સંકલન માટે પદોને ફરીથી ગોઠવતા:
$\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$
$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln(\theta - \theta_0)$,$x = t$,$m = -k$ (ઋણ ઢાળ),અને $c$ એ આંતરછેદ છે. આ એક ઋણ ઢાળ ધરાવતી સીધી રેખા દર્શાવે છે. તેથી,સાચો આલેખ નીચે તરફ જતી સીધી રેખા છે.

(C) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $\frac{dT}{dt} = -k(T - \theta_0)$.
આ વિકલ સમીકરણ એ ઘાતાંકીય ઘટાડા (exponential decay) નો ઉકેલ આપે છે જેનું સ્વરૂપ $T(t) = \theta_0 + (\theta - \theta_0)e^{-kt}$ છે.
જેમ સમય $t$ વધે છે,તેમ તાપમાન $T$ ઘાતાંકીય રીતે ઘટે છે અને અનંતે તે આસપાસના તાપમાન $\theta_0$ ની નજીક પહોંચે છે.
આલેખ $C$ આ ઘાતાંકીય ઘટાડાના વક્રને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે,જ્યાં તાપમાન $\theta$ થી શરૂ થાય છે અને $t \to \infty$ થાય ત્યારે $\theta_0$ સુધી પહોંચે છે.

(C) ન્યૂટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left( \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{s} \right)$
$Case-I$: $10$ મિનિટમાં $62^{\circ}C$ થી $50^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ પડવું,જ્યાં આસપાસનું તાપમાન $\theta_{s} = 26^{\circ}C$ છે.
$\frac{62-50}{10} = K \left( \frac{62+50}{2} - 26 \right)$
$\frac{12}{10} = K (56 - 26)$
$1.2 = K \times 30$
$K = \frac{1.2}{30} = 0.04$
$Case-II$: પછીની $10$ મિનિટમાં $50^{\circ}C$ થી $\theta_{2}$ સુધી ઠંડુ પડવું.
$\frac{50-\theta_{2}}{10} = K \left( \frac{50+\theta_{2}}{2} - 26 \right)$
$\frac{50-\theta_{2}}{10} = 0.04 \left( \frac{50+\theta_{2}-52}{2} \right)$
$50 - \theta_{2} = 0.4 \left( \frac{\theta_{2}-2}{2} \right)$
$50 - \theta_{2} = 0.2 (\theta_{2} - 2)$
$50 - \theta_{2} = 0.2\theta_{2} - 0.4$
$1.2\theta_{2} = 50.4$
$\theta_{2} = \frac{50.4}{1.2} = 42^{\circ}C$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર પદાર્થ અને તેના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને સમપ્રમાણમાં હોય છે: $P = K(T - T_s)$,જ્યાં $K$ અચળાંક છે,$T$ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_s$ વાતાવરણનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થનું તાપમાન $T_1 = 50^{\circ} C$ અને વાતાવરણનું તાપમાન $T_s = 20^{\circ} C$ છે. સ્થાયી અવસ્થા જાળવવા માટે હીટર $P_1 = 100 \ W$ પાવર આપે છે.
$100 = K(50 - 20)$
$100 = K \times 30$
$K = \frac{100}{30} = \frac{10}{3} \ W/^{\circ} C$
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થનું તાપમાન $T_2 = 35^{\circ} C$ અને વાતાવરણનું તાપમાન $T_s = 20^{\circ} C$ છે. ધારો કે જરૂરી પાવર $P_2$ છે.
$P_2 = K(35 - 20)$
$P_2 = K \times 15$
$K$ ની કિંમત મૂકતા:
$P_2 = \left(\frac{100}{30}\right) \times 15$
$P_2 = \frac{100}{2} = 50 \ W$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પ્રવાહીના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$
પ્રથમ સમયગાળા માટે ($5$ મિનિટમાં $50^{\circ}C$ થી $45^{\circ}C$):
$\frac{50 - 45}{5} = K \left( \frac{50 + 45}{2} - \theta_0 \right) \implies 1 = K (47.5 - \theta_0) \quad ...(i)$
બીજા સમયગાળા માટે ($5$ મિનિટમાં $45^{\circ}C$ થી $41.5^{\circ}C$):
$\frac{45 - 41.5}{5} = K \left( \frac{45 + 41.5}{2} - \theta_0 \right) \implies 0.7 = K (43.25 - \theta_0) \quad ...(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.7} = \frac{47.5 - \theta_0}{43.25 - \theta_0}$
$43.25 - \theta_0 = 0.7(47.5 - \theta_0)$
$43.25 - \theta_0 = 33.25 - 0.7\theta_0$
$0.3\theta_0 = 10$
$\theta_0 = \frac{10}{0.3} = 33.3^{\circ}C$

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,શીતલનનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $(T - T_s) = \Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
આપેલ છે કે શરૂઆતનો શીતલનનો દર $R = k \Delta T_0$ છે,તેથી આપણે રેટ કોન્સ્ટન્ટ $k = \frac{R}{\Delta T_0}$ મેળવી શકીએ છીએ.
કોઈપણ સમયે $t$ પર તાપમાનનો તફાવત $\Delta T(t) = \Delta T_0 e^{-kt}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે તે સમય $t$ શોધવો છે જ્યારે $\Delta T(t) = \frac{\Delta T_0}{2}$ થાય.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\Delta T_0}{2} = \Delta T_0 e^{-kt}$.
આનું સાદું રૂપ આપતા $\frac{1}{2} = e^{-kt}$,અથવા $2 = e^{kt}$ મળે છે.
બંને બાજુ પ્રાકૃતિક લઘુગણક (natural logarithm) લેતા: $\ln(2) = kt$.
તેથી,$t = \frac{\ln(2)}{k}$.
$k = \frac{R}{\Delta T_0}$ મૂકતા,આપણને $t = \frac{\ln(2) \Delta T_0}{R}$ મળે છે.

(D) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = \sigma A (T - T_0)$ છે,જ્યાં $\sigma$ એ સપાટીના પ્રકાર સાથે સંબંધિત અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $(T - T_0)$ એ તાપમાનનો તફાવત છે.
$dQ = mc \cdot dT$ હોવાથી,આપણને મળે છે $mc \frac{dT}{dt} = -\sigma A (T - T_0)$.
ઠંડા થવાનો દર $\frac{-dT}{dt} = \frac{\sigma A}{mc} (T - T_0)$ છે.
ગોળા માટે કિંમતો મૂકતા: $A = 4 \pi r^2$ અને $m = \rho \cdot V = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$.
તેથી,$\frac{-dT}{dt} = \frac{\sigma (4 \pi r^2)}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) c} (T - T_0)$.
આનું સાદું રૂપ આપતા,આપણને મળે છે $\frac{-dT}{dt} \propto \frac{1}{\rho r c}$.

(A) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = \frac{dQ/dt}{mc} = \frac{e \sigma A (T^4 - T_0^4)}{\rho V c}$ હોવાથી,નિશ્ચિત કદ $V$ માટે ઠંડા પડવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
સમાન કદ ધરાવતા ગોળા,સમઘન અને તકતીમાંથી,ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે.
તેથી,ગોળાનો ઠંડા પડવાનો દર સૌથી ઓછો હશે.

(C) સ્ટીફનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર (તાપમાન ઘટવાનો દર) $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A (T^4 - T_0^4)}{MS}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $M = V \rho = \frac{4}{3} \pi R^3 \rho$ અને $A = 4 \pi R^2$ હોવાથી,$\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{A}{MS} = \frac{4 \pi R^2}{(\frac{4}{3} \pi R^3 \rho) S} = \frac{3}{R \rho S}$ થાય.
તેથી,તાપમાન ઘટવાના દરનો ગુણોત્તર $\frac{(d\theta/dt)_1}{(d\theta/dt)_2} = \frac{R_2 \rho_2 S_2}{R_1 \rho_1 S_1}$ મળે છે.

(D) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{80 - 60}{1} = K \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right)$.
$20 = K(70 - 30) = 40K \implies K = \frac{20}{40} = 0.5 \text{ min}^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 50}{t} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right)$.
$\frac{10}{t} = 0.5 (55 - 30) = 0.5 \times 25 = 12.5$.
$t = \frac{10}{12.5} = 0.8 \text{ મિનિટ}$.
$1 \text{ મિનિટ} = 60 \text{ સેકન્ડ}$ હોવાથી,$t = 0.8 \times 60 = 48 \text{ સેકન્ડ}$.

(A) ઠંડા પડવાનો દર $R = \frac{dT}{dt} = \frac{e \sigma A (T^4 - T_0^4)}{ms}$.
$m = \rho V$ હોવાથી,$R = \frac{e \sigma A (T^4 - T_0^4)}{\rho V s}$ મળે.
સમાન દ્રવ્ય માટે,$e, \sigma, \rho, s$ અચળ છે. સમાન પૃષ્ઠફળ $A$ અને તાપમાન $T$ માટે,$R \propto \frac{1}{V}$.
ગોળા માટે,$A = 4\pi r^2 \Rightarrow r = \sqrt{\frac{A}{4\pi}}$. કદ $V_s = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{A^{3/2}}{6\sqrt{\pi}}$.
સમઘન માટે,$A = 6a^2 \Rightarrow a = \sqrt{\frac{A}{6}}$. કદ $V_c = a^3 = \frac{A^{3/2}}{6\sqrt{6}}$.
ગુણોત્તર $\frac{R_s}{R_c} = \frac{V_c}{V_s} = \frac{A^{3/2} / 6\sqrt{6}}{A^{3/2} / 6\sqrt{\pi}} = \sqrt{\frac{\pi}{6}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{\frac{\pi}{6}} : 1$ છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે,$T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે અને $k$ એ અચળાંક છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 40}{10} = k \left( \frac{60 + 40}{2} - 20 \right)$.
$2 = k(50 - 20) = 30k$,તેથી $k = \frac{2}{30} = \frac{1}{15}$.
આગામી $10$ મિનિટના અંતરાલ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે.
$\frac{40 - T_f}{10} = k \left( \frac{40 + T_f}{2} - 20 \right)$.
$k = \frac{1}{15}$ મૂકતા: $\frac{40 - T_f}{10} = \frac{1}{15} \left( \frac{40 + T_f - 40}{2} \right) = \frac{1}{15} \left( \frac{T_f}{2} \right) = \frac{T_f}{30}$.
$30$ વડે ગુણતા: $3(40 - T_f) = T_f$.
$120 - 3T_f = T_f \implies 4T_f = 120 \implies T_f = 30\,^{\circ}\text{C}$.

(B) પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$R = \frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઉત્સર્જકતા $\epsilon$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c$ અને ઘનતા $\rho$ અચળ છે.
$R \propto \frac{A}{m} = \frac{A}{\rho V} \propto \frac{A}{V}$
આપેલ છે કે પૃષ્ઠફળ $A$ સમાન છે,તેથી ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ કદ $V$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે $(R \propto \frac{1}{V})$.
આપેલ પૃષ્ઠફળ માટે,તમામ ભૌમિતિક આકારોમાં ગોળાનું કદ મહત્તમ હોય છે.
તેથી,$V_{\text{sphere}} > V_{\text{cube}}$.
$R \propto \frac{1}{V}$ હોવાથી,$R_{\text{cube}} > R_{\text{sphere}}$ મળે છે.
આમ,સમઘન ગોળા કરતાં ઝડપથી ઠંડો પડે છે.

(B) ન્યુટનના ઠંડકના નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર $\frac{d\theta}{dt} = \frac{e \sigma A_{surf}}{ms} (\theta^4 - \theta_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
નાના તાપમાનના તફાવત માટે,આ સમીકરણ $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{ms}(\theta - \theta_0)$ માં સરળ બને છે.
તકતીઓનું દળ $m$ સમાન છે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_{surf}$ સમાન છે અને તેઓ સમાન પરિસ્થિતિઓમાં હોવાથી,આપેલ તાપમાનના તફાવત $(\theta - \theta_0)$ માટે ઠંડકનો દર $\frac{d\theta}{dt}$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે.
આલેખ પરથી,રેખાનો ઢાળ $\frac{d\theta/dt}{\theta - \theta_0} \propto \frac{1}{s}$ દર્શાવે છે.
રેખા $A$ નો ઢાળ રેખા $B$ ના ઢાળ કરતા વધારે હોવાથી,$A$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $B$ ની વિશિષ્ટ ઉષ્મા કરતા ઓછી હોવી જોઈએ.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{-d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$
પદોને ફરીથી ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$
$\log_e(\theta - \theta_0) = -kt + C$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \log_e(\theta - \theta_0)$,$x = t$,$m = -k$ (ઋણ ઢાળ),અને $c$ એ આંતરછેદ છે.
ઢાળ ઋણ હોવાથી,આલેખ નીચે તરફ જતી સીધી રેખા છે. આ આલેખ $B$ ને અનુરૂપ છે.

(C) ઠંડા પડવાનો દર $R_F = \frac{d\theta}{dt}$ ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ $R_F \propto \frac{1}{ms}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
ગોળાઓની ત્રિજ્યા સમાન હોવાથી,તેમના કદ $V$ સમાન છે. દળ $m = \rho V$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે.
તેથી,$R_F \propto \frac{1}{(\rho V)s} \propto \frac{1}{\rho s}$.
આપણે દરેક ગોળા માટે $\rho s$ નો ગુણાકાર શોધવો પડશે:
$A$ માટે: $\rho s = 6 \times 2 = 12$
$B$ માટે: $\rho s = 3 \times 5 = 15$
$C$ માટે: $\rho s = 4 \times 4 = 16$
$D$ માટે: $\rho s = 5 \times 6 = 30$
ઠંડા પડવાનો દર ત્યારે સૌથી ધીમો હોય છે જ્યારે ગુણાકાર $\rho s$ મહત્તમ હોય.
$12, 15, 16, 30$ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,મહત્તમ મૂલ્ય $30$ છે,જે ગોળા $D$ ને અનુરૂપ છે.

(D) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -K(T - T_s)$,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{80 - 60}{1} = K \left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right) \implies 20 = K(70 - 30) \implies 20 = 40K \implies K = 0.5\,min^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 50}{t} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \implies \frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) \implies \frac{10}{t} = 0.5 \times 25 \implies \frac{10}{t} = 12.5$.
$t$ માટે ઉકેલતા: $t = \frac{10}{12.5} = 0.8\,min$.
સેકન્ડમાં રૂપાંતર કરતા: $t = 0.8 \times 60 = 48\,sec$.

(B) ન્યૂટનના ઠંડકના નિયમ મુજબ,પદાર્થનો ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $(dQ/dt)$ એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો તાપમાનનો તફાવત નાનો હોય.
ગાણિતિક રીતે,$-dT/dt = k(T - T_0)$,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે,$T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે,અને $k$ એ અચળાંક છે.
આ વિકલ સમીકરણનું સંકલન કરતા $T(t) = T_0 + (T_{initial} - T_0)e^{-kt}$ મળે છે.
આ સમીકરણ એક ઘાતાંકીય ક્ષય વક્ર દર્શાવે છે જ્યાં સમય $t$ વધતા તાપમાન $T$ એ આસપાસના તાપમાન $T_0$ ની નજીક પહોંચે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ માં આપેલો વક્ર આ ઠંડકની પ્રક્રિયાને યોગ્ય રીતે દર્શાવે છે.

(D) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ: $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left( \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{0} \right)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\theta_{1} = 80\,^{\circ}C$,$\theta_{2} = 70\,^{\circ}C$,$t = 2\, \text{min} = 120\, \text{s}$,અને $\theta_{0} = 30\,^{\circ}C$.
$\frac{80-70}{120} = K \left( \frac{80+70}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{10}{120} = K(75 - 30) \Rightarrow \frac{1}{12} = 45K \Rightarrow K = \frac{1}{540}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\theta_{1} = 60\,^{\circ}C$,$\theta_{2} = 50\,^{\circ}C$,અને $\theta_{0} = 30\,^{\circ}C$.
$\frac{60-50}{t} = K \left( \frac{60+50}{2} - 30 \right) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{1}{540} (55 - 30) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{25}{540}$.
$t = \frac{10 \times 540}{25} = \frac{5400}{25} = 216\, \text{s}$.

(A) $Newton$ ના શીતલન ના નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$ છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{60 - 50}{10} = K \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = K(55 - 25) \implies 1 = 30K \implies K = \frac{1}{30} \dots (i)$.
બીજા સમયગાળા માટે, ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે: $\frac{50 - \theta}{10} = K \left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right)$.
$K = \frac{1}{30}$ મુકતા: $\frac{50 - \theta}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) = \frac{1}{30} \left( \frac{\theta}{2} \right) = \frac{\theta}{60}$.
$6(50 - \theta) = \theta \implies 300 - 6\theta = \theta \implies 7\theta = 300 \implies \theta \approx 42.85 \, ^\circ\text{C} \approx 43 \, ^\circ\text{C}$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,પદાર્થને $\theta_1$ તાપમાનથી $\theta_2$ તાપમાન સુધી ઠંડું થવા માટે લાગતો સમય $t$,જ્યાં વાતાવરણનું તાપમાન $\theta_0$ છે,તે $t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0} \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અંતરાલ ($80\,^oC$ થી $40\,^oC$) માટે:
$5 = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{80 - 30}{40 - 30} \right) = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{50}{10} \right) = \frac{1}{k} \ln 5$.
તેથી,$k = \frac{\ln 5}{5} = \frac{1.609}{5} = 0.3218\,min^{-1}$.
બીજા અંતરાલ ($62\,^oC$ થી $32\,^oC$) માટે:
$t = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{62 - 30}{32 - 30} \right) = \frac{1}{k} \ln \left( \frac{32}{2} \right) = \frac{1}{k} \ln 16 = \frac{1}{k} \ln(2^4) = \frac{4 \ln 2}{k}$.
કિંમતો મૂકતા:
$t = \frac{4 \times 0.693}{0.3218} \approx \frac{2.772}{0.3218} \approx 8.61\,minutes$.
આમ,લાગતો સમય $8.6\,minutes$ છે.

(B) $Newton$ ના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર આ રીતે આપવામાં આવે છે: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$,જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ $10$ મિનિટ માટે: $\frac{60 - 50}{10} = K \left[ \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right] \implies 1 = K(55 - \theta_0) \dots (i)$
આગળની $10$ મિનિટ માટે: $\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right] \implies 0.8 = K(46 - \theta_0) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25(46 - \theta_0) = 55 - \theta_0$
$57.5 - 1.25\theta_0 = 55 - \theta_0$
$2.5 = 0.25\theta_0$
$\theta_0 = 10\,^oC$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt}$ એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે. પાત્ર,આસપાસનું વાતાવરણ અને તાપમાનનો ગાળો સમાન હોવાથી,બંને કિસ્સામાં ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સમાન રહેશે.
ધારો કે $m_w = 50\,g$ પાણીનું દળ છે,$C_w = 1\,cal/(g \cdot ^oC)$ પાણીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,$m_l = 100\,g$ પ્રવાહીનું દળ છે,$C_l$ પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $W = 30\,g$ પાત્રનો પાણીનો તુલ્યાંક છે.
કુલ ગુમાવેલી ઉષ્મા $Q = (mC + W) \Delta T$ દ્વારા મળે છે.
સમય $t$ સમાન હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર:
$\frac{(m_w C_w + W) \Delta T}{t} = \frac{(m_l C_l + W) \Delta T}{t}$
બંને બાજુથી $\frac{\Delta T}{t}$ દૂર કરતા:
$m_w C_w + W = m_l C_l + W$
$m_w C_w = m_l C_l$
કિંમતો મૂકતા:
$50 \times 1 = 100 \times C_l$
$C_l = \frac{50}{100} = 0.5\,cal/(g \cdot ^oC) = 0.5\,kcal/(kg \cdot ^oC)$.