Newton's Law of Cooling Questions in Gujarati

(C) ફોર્સ્ડ કન્વેક્શનમાં,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt}$ એ ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ અનુસરે છે,જે મુજબ ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ અને પદાર્થ તથા તેની આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવત $(T - T_0)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{dQ}{dt} \propto A(T - T_0)$.
તેથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $(B)$ અને આસપાસના તાપમાન કરતા વધારાના તાપમાન $(D)$ ના પ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt$ એ આપેલ તાપમાન $T$ અને વાતાવરણના તાપમાન $T_0$ માટે સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $dQ/dt \propto A(T^4 - T_0^4)$.
ઠંડા પડવાનો દર $R = (dQ/dt) / (ms)$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે. ગોળા અને તકતી બંને માટે આ સમાન હોવાથી,ઠંડા પડવાના દરનો ગુણોત્તર તેમના સપાટીના ક્ષેત્રફળના ગુણોત્તર જેટલો થાય.
ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A_s = 4\pi r^2$.
તકતીનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ (બંને બાજુઓ ધ્યાનમાં લેતા) $A_d = 2 \times (\pi r^2) = 2\pi r^2$.
તેથી,ઠંડા પડવાના દરનો ગુણોત્તર $\frac{R_s}{R_d} = \frac{A_s}{A_d} = \frac{4\pi r^2}{2\pi r^2} = \frac{2}{1}$ થાય.

(A) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ $(T^4 - T_0^4)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
તેથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{T_1^4 - T_0^4}{T_2^4 - T_0^4}$.
અહીં $T_1 = 600 \ K$,$T_2 = 900 \ K$,$T_0 = 300 \ K$ અને $R_1 = R$ આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{R}{R_2} = \frac{(600)^4 - (300)^4}{(900)^4 - (300)^4} = \frac{(300)^4 (2^4 - 1^4)}{(300)^4 (3^4 - 1^4)} = \frac{16 - 1}{81 - 1} = \frac{15}{80} = \frac{3}{16}$.
આમ,$R_2 = \frac{16}{3}R$ મળે છે.

(B) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પાણી $10$ મિનિટમાં $60^oC$ થી $50^oC$ સુધી ઠંડું પડે છે:
$\frac{60 - 50}{10} = K \left[ \frac{60 + 50}{2} - \theta_0 \right]$
$1 = K(55 - \theta_0)$ --- $(i)$
બીજા કિસ્સામાં,પાણી પછીની $10$ મિનિટમાં $50^oC$ થી $42^oC$ સુધી ઠંડું પડે છે:
$\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right]$
$0.8 = K(46 - \theta_0)$ --- $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.25(46 - \theta_0) = 55 - \theta_0$
$57.5 - 1.25\theta_0 = 55 - \theta_0$
$2.5 = 0.25\theta_0$
$\theta_0 = 10^oC$.

(C) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર પદાર્થ અને તેના આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,$\frac{d\theta}{dt} = k \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$,જ્યાં $\theta_0$ એ રૂમનું તાપમાન છે.
જેમ જેમ પાણી ઠંડું થાય છે તેમ તાપમાનનો તફાવત ઘટતો જાય છે,તેથી ઠંડકનો દર પણ ઘટે છે.
તેથી,સમાન તાપમાન $(5^{\circ} C)$ ઘટાડવા માટે લાગતો સમય વધે છે જેમ પાણીનું તાપમાન રૂમના તાપમાનની નજીક પહોંચે છે.
સરેરાશ તાપમાનની સરખામણી કરતા: $\left( \frac{80+75}{2} \right) > \left( \frac{75+70}{2} \right) > \left( \frac{70+65}{2} \right)$.
આમ,ઠંડકનો દર પ્રથમ અંતરાલ માટે સૌથી વધુ અને ત્રીજા અંતરાલ માટે સૌથી ઓછો છે.
પરિણામે,$t_1 < t_2 < t_3$.

(A) ન્યુટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવત સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $R \propto (\theta - \theta_0)$.
આપેલ છે:
પદાર્થ $B_1$ નું તાપમાન,$\theta_1 = 100^oC$
પદાર્થ $B_2$ નું તાપમાન,$\theta_2 = 80^oC$
આસપાસનું તાપમાન,$\theta_0 = 40^oC$
$t = 0$ સમયે,ઠંડા પડવાના દર $R_1$ અને $R_2$ નીચે મુજબ છે:
$R_1 \propto (\theta_1 - \theta_0) = (100 - 40) = 60$
$R_2 \propto (\theta_2 - \theta_0) = (80 - 40) = 40$
તેથી,ગુણોત્તર:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{60}{40} = \frac{3}{2}$
આમ,$R_1:R_2 = 3:2$.

(B) ન્યૂટનના ઠંડા થવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = \frac{kA}{ms}(\theta - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળ $m$ સમાન છે અને કેલરીમીટર સમાન છે (સમાન સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉત્સર્જકતા $k$),તેથી ઠંડા થવાનો દર પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s$ પર આધાર રાખે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,$\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{s}$.
તેથી,ઠંડા થવાનો દર પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા પર આધાર રાખે છે.

(C) ન્યૂટનના ઠારણના નિયમ મુજબ,ઠારણનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T - T_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેલરીમીટર માટે,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = (mC + W) \frac{dT}{dt}$ છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$C$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે અને $W$ એ પાણીનો તુલ્યાંક છે.
ઠારણની રેન્જ ($70^{\circ}C$ થી $60^{\circ}C$) અને આસપાસનું તાપમાન સમાન હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt}$ બંને માટે સમાન રહે છે.
તેથી,$\frac{(m_W C_W + W) \Delta T}{t_W} = \frac{(m_L C_L + W) \Delta T}{t_L}$.
$C_L$ માટે સૂત્ર: $C_L = \frac{1}{m_L} \left[ \frac{t_L}{t_W} (m_W C_W + W) - W \right]$.
આપેલ છે: $m_W = 350 \ g$,$C_W = 1 \ Cal/g^{\circ}C$,$W = 10 \ g$,$t_W = 3 \ min = 180 \ s$,$m_L = 300 \ g$,$t_L = 95 \ s$.
કિંમતો મૂકતા: $C_L = \frac{1}{300} \left[ \frac{95}{180} (350 \times 1 + 10) - 10 \right]$.
$C_L = \frac{1}{300} \left[ \frac{95}{180} (360) - 10 \right] = \frac{1}{300} [95 \times 2 - 10] = \frac{190 - 10}{300} = \frac{180}{300} = 0.6 \ Cal/g^{\circ}C$.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right) \Rightarrow 1 = k(55 - 30) \Rightarrow 1 = 25k \Rightarrow k = \frac{1}{25}$.
બીજા સમયગાળા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે: $\frac{50 - T_f}{10} = k \left( \frac{50 + T_f}{2} - 30 \right)$.
$k = \frac{1}{25}$ મૂકતા: $\frac{50 - T_f}{10} = \frac{1}{25} \left( \frac{50 + T_f - 60}{2} \right) \Rightarrow \frac{50 - T_f}{10} = \frac{T_f - 10}{50}$.
$50$ વડે ગુણતા: $5(50 - T_f) = T_f - 10 \Rightarrow 250 - 5T_f = T_f - 10 \Rightarrow 6T_f = 260 \Rightarrow T_f = 43.33^{\circ}C$.
અહીં $43.33^{\circ}C > 40^{\circ}C$ હોવાથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(D) ન્યૂટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\left( \frac{dQ}{dt} \right)$ એ પ્રવાહી અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવત $(\Delta \theta)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો તાપમાનનો તફાવત નાનો હોય.
ધારો કે $T_1 = 80^{\circ}C$ તાપમાને $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_1 = 60 \; cal/sec$ છે.
રૂમનું તાપમાન $T_0 = 20^{\circ}C$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta_1 = T_1 - T_0 = 80 - 20 = 60^{\circ}C$ છે.
ધારો કે $T_2 = 40^{\circ}C$ તાપમાને ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\left( \frac{dQ}{dt} \right)_2$ છે.
તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta_2 = T_2 - T_0 = 40 - 20 = 20^{\circ}C$ છે.
સમપ્રમાણતાનો ઉપયોગ કરતા $\frac{(dQ/dt)_1}{(dQ/dt)_2} = \frac{\Delta \theta_1}{\Delta \theta_2}$:
$\frac{60}{(dQ/dt)_2} = \frac{60}{20}$
$\frac{60}{(dQ/dt)_2} = 3$
$(dQ/dt)_2 = \frac{60}{3} = 20 \; cal/sec$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left( \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right)$
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{100 - 70}{4} = K \left( \frac{100 + 70}{2} - 15 \right)$
$\frac{30}{4} = K (85 - 15) = 70K$
$K = \frac{30}{4 \times 70} = \frac{3}{28}$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{70 - 40}{t} = K \left( \frac{70 + 40}{2} - 15 \right)$
$\frac{30}{t} = \frac{3}{28} (55 - 15) = \frac{3}{28} \times 40$
$\frac{30}{t} = \frac{3 \times 10}{7} = \frac{30}{7}$
$t = 7 \text{ min}$

(D) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{ambient})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{80 - 60}{1} = K\left( \frac{80 + 60}{2} - 30 \right)$.
$20 = K(70 - 30) = 40K$,જે $K = \frac{20}{40} = 0.5 \text{ min}^{-1}$ આપે છે.
બીજા અંતરાલ માટે,ધારો કે લાગતો સમય $t$ મિનિટ છે:
$\frac{60 - 50}{t} = 0.5 \left( \frac{60 + 50}{2} - 30 \right)$.
$\frac{10}{t} = 0.5(55 - 30) = 0.5 \times 25 = 12.5$.
$t = \frac{10}{12.5} = 0.8$ મિનિટ.
સેકન્ડમાં રૂપાંતરિત કરતા: $t = 0.8 \times 60 = 48 \text{ sec}$.

(C) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર એ પદાર્થ અને તેના આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પ્રવાહી $70^{\circ}C$ થી $60^{\circ}C$ સુધી ઠંડું થાય છે. સરેરાશ તાપમાન $\frac{70+60}{2} = 65^{\circ}C$ છે. તાપમાનનો તફાવત $(65 - \theta_0)$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,પ્રવાહી $60^{\circ}C$ થી $50^{\circ}C$ સુધી ઠંડું થાય છે. સરેરાશ તાપમાન $\frac{60+50}{2} = 55^{\circ}C$ છે. તાપમાનનો તફાવત $(55 - \theta_0)$ છે.
બીજા કિસ્સામાં સરેરાશ તાપમાન ઓછું હોવાથી,પ્રવાહી અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત ઓછો થાય છે. પરિણામે,ઠંડકનો દર ઘટે છે. તેથી,સમાન $10^{\circ}C$ ના તાપમાનના ગાળામાં ઠંડું થવા માટે વધુ સમય લાગશે.

(C) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ: $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$
પ્રથમ $10 \; \text{મિનિટ}$ માટે:
$\frac{62 - 50}{10} = K \left[ \frac{62 + 50}{2} - \theta_0 \right]$
$1.2 = K [56 - \theta_0] \quad \dots (i)$
પછીની $10 \; \text{મિનિટ}$ માટે:
$\frac{50 - 42}{10} = K \left[ \frac{50 + 42}{2} - \theta_0 \right]$
$0.8 = K [46 - \theta_0] \quad \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.5 = \frac{56 - \theta_0}{46 - \theta_0}$
$1.5(46 - \theta_0) = 56 - \theta_0$
$69 - 1.5\theta_0 = 56 - \theta_0$
$69 - 56 = 1.5\theta_0 - \theta_0$
$13 = 0.5\theta_0$
$\theta_0 = 26^{\circ}C$

(D) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = \frac{\sigma A}{mc}(T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કેલરીમીટર અને વાતાવરણ સમાન હોવાથી,$A$ અને $T_0$ અચળ છે. તેથી,$\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{mc}$.
દળ $m = V\rho$ મૂકતા,જ્યાં $V$ કદ છે અને $\rho$ ઘનતા છે,આપણને $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{V\rho c}$ મળે છે.
બે અલગ-અલગ પ્રવાહીઓ માટે ઠંડા થવાનો દર સમાન રહે તે માટે,ઘનતા અને વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતાનો ગુણાકાર $(\rho c)$ સમાન હોવો જોઈએ,અથવા કદ એવી રીતે લેવું જોઈએ કે જેથી $V_1 \rho_1 c_1 = V_2 \rho_2 c_2$ થાય. વિકલ્પોને જોતા,જો આપણે સમાન કદ $(V_1 = V_2)$ લઈએ,તો આ સ્થિતિ તેમના થર્મલ ગુણધર્મો પર આધાર રાખે છે. આ પ્રકારના પ્રમાણિત ભૌતિકશાસ્ત્રના પ્રશ્નોમાં,સમાન કદ લેવું એ ઠંડા થવાની વર્તણૂકની સરખામણી કરવા માટેની અપેક્ષિત સ્થિતિ છે. તેથી,વિકલ્પ $(d)$ સાચો જવાબ છે.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{room})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $10$ મિનિટ માટે: $\frac{60 - 50}{10} = K\left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \Rightarrow 1 = K(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30K$ --- $(i)$
પછીની $10$ મિનિટ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે: $\frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{50 + \theta}{2} - 25 \right) \Rightarrow \frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{50 + \theta - 50}{2} \right) \Rightarrow \frac{50 - \theta}{10} = K\left( \frac{\theta}{2} \right)$ --- $(ii)$
$(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{(50 - \theta)/10} = \frac{30K}{K(\theta/2)} \Rightarrow \frac{10}{50 - \theta} = \frac{60}{\theta}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $10\theta = 60(50 - \theta) \Rightarrow 10\theta = 3000 - 60\theta \Rightarrow 70\theta = 3000$.
$\theta = \frac{300}{7} \approx 42.85^{\circ}C$.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{room})$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{365 - 361}{2} = K \left( \frac{365 + 361}{2} - 293 \right)$.
$2 = K(363 - 293) = K(70)$.
$K = \frac{2}{70} = \frac{1}{35} \ \text{min}^{-1}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{344 - 342}{t} = K \left( \frac{344 + 342}{2} - 293 \right)$.
$\frac{2}{t} = \frac{1}{35} (343 - 293) = \frac{1}{35} (50) = \frac{10}{7}$.
$t = \frac{2 \times 7}{10} = 1.4 \ \text{મિનિટ}$.
$t = 1.4 \times 60 = 84 \ \text{સેકન્ડ}$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{50.0 - 49.9}{5} = K \left( \frac{50.0 + 49.9}{2} - 30.0 \right) \implies \frac{0.1}{5} = K(49.95 - 30.0) = K(19.95)$ ... $(i)$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{40.0 - 39.9}{t} = K \left( \frac{40.0 + 39.9}{2} - 30.0 \right) \implies \frac{0.1}{t} = K(39.95 - 30.0) = K(9.95)$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{0.1/5}{0.1/t} = \frac{K(19.95)}{K(9.95)} \implies \frac{t}{5} = \frac{19.95}{9.95} \approx 2$
$t = 5 \times 2 = 10\;s$.

(C) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આનો અર્થ એ છે કે ઠંડા પડવા માટે લાગતો સમય પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવત પર આધાર રાખે છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે,સરેરાશ તાપમાન $\frac{100+80}{2} = 90^{\circ}C$ છે.
બીજા અંતરાલ માટે,સરેરાશ તાપમાન $\frac{80+60}{2} = 70^{\circ}C$ છે.
પ્રથમ અંતરાલમાં પાણી અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત વધારે હોવાથી,ઠંડા પડવાનો દર ઝડપી હોય છે.
તેથી,$20^{\circ}C$ તાપમાન ઘટવા માટે લાગતો સમય બીજા અંતરાલ કરતા પ્રથમ અંતરાલમાં ઓછો હોય છે.
આમ,$T_1 < T_2$.

(B) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{-d\theta}{dt} = k \left( \theta_{avg} - \theta_0 \right)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_{avg} = \frac{\theta_1 + \theta_2}{2}$ એ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન છે અને $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,સરેરાશ તાપમાન $\frac{70 + 60}{2} = 65^{\circ}C$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,સરેરાશ તાપમાન $\frac{69 + 59}{2} = 64^{\circ}C$ છે.
બીજા કિસ્સામાં સરેરાશ તાપમાન ઓછું હોવાથી,પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત ઓછો છે.
તેથી,બીજા કિસ્સામાં ઠંડા પડવાનો દર ધીમો છે.
ઠંડા પડવાનો દર ઓછો હોવાથી,સમાન $10^{\circ}C$ ના ગાળા માટે ઠંડું થવામાં વધુ સમય લાગશે.
આમ,લાગતો સમય $4$ મિનિટ કરતા વધારે હશે.

(A) ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થ દ્વારા ગુમાવવામાં આવતી ઉષ્માનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આ નિયમ એક પ્રાયોગિક અંદાજ છે જે ત્યારે જ માન્ય રહે છે જ્યારે પદાર્થ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત ઓછો હોય (સામાન્ય રીતે $10^{\circ}C$ થી $15^{\circ}C$ કરતા ઓછો).
જ્યારે તાપમાનનો તફાવત ઓછો હોય,ત્યારે ઉષ્માનો વ્યય મુખ્યત્વે ઉષ્માનયન (convection) પ્રક્રિયાને કારણે થાય છે,જે આ નિયમ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત રેખીય સંબંધને અનુસરે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના તાપમાન અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = K(T - T_s)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{61 - 59}{4} = K \left( \frac{61 + 59}{2} - 30 \right)$.
$\frac{2}{4} = K(60 - 30) \implies 0.5 = 30K \implies K = \frac{0.5}{30} = \frac{1}{60}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{51 - 49}{t} = K \left( \frac{51 + 49}{2} - 30 \right)$.
$\frac{2}{t} = K(50 - 30) \implies \frac{2}{t} = 20K$.
$K = \frac{1}{60}$ કિંમત મૂકતા: $\frac{2}{t} = 20 \times \frac{1}{60} = \frac{1}{3}$.
તેથી,$t = 6 \text{ min}$.

(D) $Newton's$ $Law$ $of$ $cooling$ મુજબ,જ્યારે તાપમાનનો તફાવત નાનો હોય,ત્યારે પદાર્થ દ્વારા ગુમાવાતી ઉષ્માનો દર $(dQ/dt)$ એ પદાર્થ $(T)$ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ $(T_s)$ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
ગાણિતિક રીતે,આને $\frac{dQ}{dt} \propto (T - T_s)$ તરીકે દર્શાવવામાં આવે છે.
ઠંડા પડવાનો દર એ તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $(dT/dt)$ હોવાથી,તે $\frac{dT}{dt} \propto (T - T_s)$ થાય છે.
તેથી,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે:
$\frac{60 - 40}{7} = K \left( \frac{60 + 40}{2} - 10 \right)$
$\frac{20}{7} = K(50 - 10) = 40K$
$K = \frac{20}{7 \times 40} = \frac{1}{14} \dots (i)$
બીજા અંતરાલ માટે:
$\frac{40 - 28}{t} = K \left( \frac{40 + 28}{2} - 10 \right)$
$\frac{12}{t} = K(34 - 10) = 24K$
$K = \frac{12}{24t} = \frac{1}{2t} \dots (ii)$
$(i)$ અને $(ii)$ ને સરખાવતા:
$\frac{1}{14} = \frac{1}{2t}$
$2t = 14$
$t = 7 \text{ મિનિટ}$.

(B) ન્યુટનના શીતલન (Cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડુ થવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{50 - 40}{5} = K \left( \frac{50 + 40}{2} - T_s \right) \implies 2 = K(45 - T_s)$ .... $(i)$
બીજા સમયગાળા માટે: $\frac{40 - 33.33}{5} = K \left( \frac{40 + 33.33}{2} - T_s \right) \implies \frac{6.67}{5} = K(36.665 - T_s) \implies 1.334 = K(36.665 - T_s)$ .... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{2}{1.334} = \frac{45 - T_s}{36.665 - T_s}$.
$1.5 \approx \frac{45 - T_s}{36.665 - T_s} \implies 1.5(36.665 - T_s) = 45 - T_s$.
$54.9975 - 1.5T_s = 45 - T_s \implies 0.5T_s = 9.9975 \implies T_s \approx 20^oC$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$.
પ્રથમ $10$ મિનિટમાં,તાપમાન $50^oC$ થી $40^oC$ થાય છે અને આસપાસનું તાપમાન $20^oC$ છે:
$\frac{50 - 40}{10} = K \left( \frac{50 + 40}{2} - 20 \right) \implies 1 = K(45 - 20) \implies 1 = 25K \implies K = \frac{1}{25} \dots (i)$
આગામી $10$ મિનિટમાં,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta_2$ છે:
$\frac{40 - \theta_2}{10} = K \left( \frac{40 + \theta_2}{2} - 20 \right) \dots (ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માં $K = \frac{1}{25}$ મૂકતા:
$\frac{40 - \theta_2}{10} = \frac{1}{25} \left( 20 + \frac{\theta_2}{2} - 20 \right) \implies \frac{40 - \theta_2}{10} = \frac{\theta_2}{50}$
$5(40 - \theta_2) = \theta_2 \implies 200 - 5\theta_2 = \theta_2 \implies 6\theta_2 = 200$
$\theta_2 = \frac{200}{6} = 33.33^oC$.

(A) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,પદાર્થના ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર (અથવા ઠંડા પડવાનો દર) એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જ્યારે તાપમાનનો તફાવત નાનો હોય.
ગાણિતિક રીતે,આને આ રીતે દર્શાવવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \Delta \theta$.
આપેલ સમીકરણ $(\Delta \theta)^n$ સાથે સરખાવતા,આપણને મળે છે કે $n = 1$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$ છે,જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે ($t = 5$ મિનિટ):
$\frac{80 - 64}{5} = K \left[ \frac{80 + 64}{2} - \theta_0 \right] \implies 3.2 = K(72 - \theta_0)$ ... $(i)$
બીજા સમયગાળા માટે ($t = 10$ મિનિટ,$64^{\circ}C$ થી $52^{\circ}C$ સુધી):
$\frac{64 - 52}{10} = K \left[ \frac{64 + 52}{2} - \theta_0 \right] \implies 1.2 = K(58 - \theta_0)$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{3.2}{1.2} = \frac{72 - \theta_0}{58 - \theta_0} \implies \frac{8}{3} = \frac{72 - \theta_0}{58 - \theta_0}$
$8(58 - \theta_0) = 3(72 - \theta_0) \implies 464 - 8\theta_0 = 216 - 3\theta_0$
$5\theta_0 = 248 \implies \theta_0 = 49.6^{\circ}C$. આપેલા વિકલ્પો મુજબ,નજીકની કિંમત $49^{\circ}C$ છે.

(D) ન્યુટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_0)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{50 - 45}{5} = K(\frac{50 + 45}{2} - T_0) \implies 1 = K(47.5 - T_0)$ ... $(i)$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{45 - 41.5}{5} = K(\frac{45 + 41.5}{2} - T_0) \implies 0.7 = K(43.25 - T_0)$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.7} = \frac{47.5 - T_0}{43.25 - T_0}$
$43.25 - T_0 = 0.7(47.5 - T_0)$
$43.25 - T_0 = 33.25 - 0.7T_0$
$0.3T_0 = 10$
$T_0 = \frac{10}{0.3} = 33.33\;^oC$.
આમ,આસપાસનું તાપમાન $33.3\;^oC$ છે.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{surr})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{65.5 - 62.5}{1} = K \left( \frac{65.5 + 62.5}{2} - 22.5 \right)$.
$3 = K(64 - 22.5) = K(41.5)$,તેથી $K = \frac{3}{41.5}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{46.5 - 40.5}{t} = K \left( \frac{46.5 + 40.5}{2} - 22.5 \right)$.
$\frac{6}{t} = \frac{3}{41.5} (43.5 - 22.5) = \frac{3}{41.5} (21)$.
$t = \frac{6 \times 41.5}{3 \times 21} = \frac{2 \times 41.5}{21} = \frac{83}{21} \approx 3.95 \approx 4$ મિનિટ.

(A) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ $10$ મિનિટ માટે: $\frac{62 - 50}{10} = K\left( \frac{62 + 50}{2} - 26 \right)$.
$\frac{12}{10} = K(56 - 26) \implies 1.2 = K(30) \implies K = \frac{1.2}{30} = 0.04$.
પછીની $10$ મિનિટ માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $\theta$ છે:
$\frac{50 - \theta}{10} = 0.04 \left( \frac{50 + \theta}{2} - 26 \right)$.
$50 - \theta = 0.4 \left( 25 + 0.5\theta - 26 \right)$.
$50 - \theta = 0.4(0.5\theta - 1) = 0.2\theta - 0.4$.
$50.4 = 1.2\theta \implies \theta = \frac{50.4}{1.2} = 42^\circ C$.

(C) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,$\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_s)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{90 - 60}{5} = k\left( \frac{90 + 60}{2} - 20 \right)$.
$6 = k(75 - 20) = 55k$,તેથી $k = \frac{6}{55}$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 30}{t} = k\left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$.
$\frac{30}{t} = \frac{6}{55}(45 - 20) = \frac{6}{55} \times 25$.
$\frac{30}{t} = \frac{6 \times 5}{11} = \frac{30}{11}$.
તેથી,$t = 11 \text{ મિનિટ}$.

(A) ન્યુટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{surrounding})$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તાપમાન $75^{\circ}C$ થી $65^{\circ}C$ સુધી $t_1 = 2$ મિનિટમાં બદલાય છે.
$\frac{75 - 65}{2} = K \left( \frac{75 + 65}{2} - 30 \right)$
$\frac{10}{2} = K(70 - 30) \implies 5 = 40K \implies K = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$ $(i)$
બીજા કિસ્સામાં,તાપમાન $55^{\circ}C$ થી $45^{\circ}C$ સુધી $t_2$ મિનિટમાં બદલાય છે.
$\frac{55 - 45}{t_2} = K \left( \frac{55 + 45}{2} - 30 \right)$
$\frac{10}{t_2} = K(50 - 30) \implies \frac{10}{t_2} = 20K$ (ii)
સમીકરણ $(i)$ ને (ii) વડે ભાગતા:
$\frac{5}{10/t_2} = \frac{40K}{20K}$
$\frac{5t_2}{10} = 2$
$5t_2 = 20 \implies t_2 = 4$ મિનિટ.

(B) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_{room})$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થ $80^{\circ}C$ થી $50^{\circ}C$ સુધી $5 \text{ min}$ માં ઠંડો થાય છે.
$\frac{80 - 50}{5} = K \left( \frac{80 + 50}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{5} = K(65 - 20) \implies 6 = 45K \implies K = \frac{6}{45} = \frac{2}{15} \dots (i)$
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થ $60^{\circ}C$ થી $30^{\circ}C$ સુધી $t \text{ min}$ માં ઠંડો થાય છે.
$\frac{60 - 30}{t} = K \left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{t} = K(45 - 20) \implies \frac{30}{t} = 25K \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{6}{30/t} = \frac{45K}{25K}$
$\frac{6t}{30} = \frac{45}{25}$
$\frac{t}{5} = \frac{9}{5}$
$t = 9 \text{ min}$.

(B) ન્યૂટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં ફેરફારનો દર એ પદાર્થ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$.
આનો અર્થ એ છે કે જ્યારે પદાર્થ અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે તાપમાનનો તફાવત વધારે હોય ત્યારે ગરમ થવાનો (અથવા ઠંડા થવાનો) દર વધારે હોય છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં,તાપમાનની શ્રેણી $0^{\circ}C$ થી $5^{\circ}C$ છે. સરેરાશ તાપમાન $2.5^{\circ}C$ છે,તેથી સરેરાશ તાપમાનનો તફાવત $25^{\circ}C - 2.5^{\circ}C = 22.5^{\circ}C$ છે.
બીજા કિસ્સામાં,તાપમાનની શ્રેણી $10^{\circ}C$ થી $15^{\circ}C$ છે. સરેરાશ તાપમાન $12.5^{\circ}C$ છે,તેથી સરેરાશ તાપમાનનો તફાવત $25^{\circ}C - 12.5^{\circ}C = 12.5^{\circ}C$ છે.
પ્રથમ કિસ્સામાં તાપમાનનો તફાવત વધારે હોવાથી,ઉષ્મા સ્થાનાંતરણનો દર વધારે છે,જેનો અર્થ છે કે લાગતો સમય $t_1$ એ $t_2$ કરતા ઓછો છે $(t_1 < t_2)$.

(B) પદાર્થના ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ $R = \frac{dQ}{dt} \cdot \frac{1}{mc} = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,ઉત્સર્જકતા $\varepsilon$,વિશિષ્ટ ઉષ્મા $c$ અને ઘનતા $\rho$ સમાન છે.
આમ,$R \propto \frac{A}{m} \propto \frac{A}{\rho V} \propto \frac{A}{V}$,જ્યાં $A$ એ પૃષ્ઠફળ છે અને $V$ એ કદ છે.
આપેલ પૃષ્ઠફળ $A$ માટે,ઠંડા પડવાનો દર $R \propto \frac{1}{V}$ થાય.
$a$ બાજુવાળા સમઘન માટે,$A = 6a^2$ અને $V = a^3 = (\sqrt{A/6})^3$.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા ગોળા માટે,$A = 4\pi r^2$ અને $V = \frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{4}{3}\pi (\sqrt{A/4\pi})^3$.
સમાન પૃષ્ઠફળ માટે કદની સરખામણી કરતા,સમઘનનું કદ ગોળાના કદ કરતા ઓછું હોય છે $(V_{cube} < V_{sphere})$.
તેથી,સમઘનનો ઠંડા પડવાનો દર ગોળા કરતા વધારે હોય છે $(R_{cube} > R_{sphere})$.

(B) ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ સૂત્ર $R = \frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દ્રવ્યના બનેલા હોવાથી અને સમાન સપાટી ધરાવતા હોવાથી,$\epsilon$,$\sigma$,$T$,$T_0$ અને ઘનતા $\rho$ અચળ છે.
તેથી,$R \propto \frac{A}{m}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A = 4\pi r^2$ અને $m = \rho \cdot \frac{4}{3}\pi r^3$,તેથી $A \propto r^2$ અને $m \propto r^3$,જેનો અર્થ છે કે $r \propto m^{1/3}$.
આ કિંમત પ્રમાણભૂત સંબંધમાં મૂકતા,$R \propto \frac{r^2}{r^3} \propto \frac{1}{r} \propto \frac{1}{m^{1/3}}$.
તેથી,ઠંડા પડવાના દરોનો ગુણોત્તર $\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{m_2}{m_1}\right)^{1/3}$ થાય.
અહીં $m_1 = 3m_2$ આપેલ હોવાથી,$\frac{R_1}{R_2} = \left(\frac{m_2}{3m_2}\right)^{1/3} = \left(\frac{1}{3}\right)^{1/3}$ મળે.

(A) ઠંડા થવાનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{d\theta}{dt} = \frac{P}{mc} = \frac{A \varepsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$.
બંને ગોળા સમાન દ્રવ્ય અને કદ (સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$) ધરાવતા હોવાથી અને સમાન વાતાવરણમાં હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $P$ બંને માટે સમાન છે.
ઠંડા થવાનો દર $\frac{d\theta}{dt}$ એ પદાર્થના દળ $m$ ના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} \propto \frac{1}{m}$.
નક્કર ગોળાનું દળ વધારે હોવાથી $(m_{solid} > m_{hollow})$,તેનો ઠંડા થવાનો દર ઓછો હશે.
તેથી,પોલો ગોળો,જેનું દળ ઓછું છે,તે $T$ ના તમામ મૂલ્યો માટે ઝડપથી ઠંડો થશે.

(C) ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = \frac{A \epsilon \sigma (T^4 - T_0^4)}{mc}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તાપમાનમાં થતો ફેરફાર $\Delta \theta$ નાનો હોવાથી,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{\Delta \theta}{t} \propto \frac{A}{mc}$.
અહીં,$m = \rho V = \rho a^3$ અને $A = 6a^2$,જ્યાં $a$ એ ધારની લંબાઈ છે.
આમ,$t \propto \frac{mc}{A} \propto \frac{\rho a^3 c}{6a^2} \propto a$.
તેથી,$\frac{t_1}{t_2} = \frac{a_1}{a_2}$.
આપેલ છે કે $t_1 = 100\;s$,$a_1 = 1\;cm$,અને $a_2 = 2\;cm$.
$\frac{100}{t_2} = \frac{1}{2} \implies t_2 = 200\;s$.

(A) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,$\frac{\theta_1 - \theta_2}{t} = K \left[ \frac{\theta_1 + \theta_2}{2} - \theta_0 \right]$.
પ્રથમ સમયગાળા માટે ($0$ થી $5$ મિનિટ): $\frac{80 - 64}{5} = K \left[ \frac{80 + 64}{2} - \theta_0 \right] \implies 3.2 = K(72 - \theta_0)$ ... $(i)$
બીજા સમયગાળા માટે ($0$ થી $10$ મિનિટ): $\frac{80 - 52}{10} = K \left[ \frac{80 + 52}{2} - \theta_0 \right] \implies 2.8 = K(66 - \theta_0)$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{3.2}{2.8} = \frac{72 - \theta_0}{66 - \theta_0} \implies \frac{8}{7} = \frac{72 - \theta_0}{66 - \theta_0}$.
$8(66 - \theta_0) = 7(72 - \theta_0) \implies 528 - 8\theta_0 = 504 - 7\theta_0 \implies \theta_0 = 24^\circ C$.
$\theta_0 = 24$ ને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા: $3.2 = K(72 - 24) \implies 3.2 = K(48) \implies K = \frac{3.2}{48} = \frac{1}{15}$.
ત્રીજા સમયગાળા માટે ($0$ થી $15$ મિનિટ): $\frac{80 - \theta}{15} = K \left[ \frac{80 + \theta}{2} - 24 \right]$.
$\frac{80 - \theta}{15} = \frac{1}{15} \left[ \frac{80 + \theta - 48}{2} \right] \implies 80 - \theta = \frac{32 + \theta}{2}$.
$160 - 2\theta = 32 + \theta \implies 3\theta = 128 \implies \theta = 42.66^\circ C \approx 42.7^\circ C$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
$\theta-t$ આલેખમાં,કોઈપણ બિંદુએ સ્પર્શકનો ઢાળ $\frac{d\theta}{dt}$ છે. વક્ર ઘટતો હોવાથી,ઢાળ ઋણ છે. ખૂણો $\varphi$ એ સ્પર્શક દ્વારા ધન $t$-ધરી સાથે બનાવેલો ખૂણો છે,તેથી ઢાળ $-\tan \varphi$ છે.
બિંદુ $P$ પર જ્યાં $\theta = \theta_2$ છે,ત્યાં ઢાળનું મૂલ્ય $\tan \varphi_2 = k(\theta_2 - \theta_0)$ છે.
બિંદુ $Q$ પર જ્યાં $\theta = \theta_1$ છે,ત્યાં ઢાળનું મૂલ્ય $\tan \varphi_1 = k(\theta_1 - \theta_0)$ છે.
બંને સમીકરણોનો ભાગાકાર કરતા,આપણને મળે છે: $\frac{\tan \varphi_2}{\tan \varphi_1} = \frac{k(\theta_2 - \theta_0)}{k(\theta_1 - \theta_0)} = \frac{\theta_2 - \theta_0}{\theta_1 - \theta_0}$.

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચે તાપમાનનો તફાવત ઓછો હોય ત્યારે,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $R$ એ તાપમાનના તફાવત $(\theta - \theta_0)$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
$R \propto (\theta - \theta_0)$
$R = k(\theta - \theta_0) = k\theta - k\theta_0$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આ સમીકરણને સુરેખ રેખાના સમીકરણ $y = mx + c$ સાથે સરખાવતા,જ્યાં $y = R$,$x = \theta$,$m = k$ (ઢાળ) અને $c = -k\theta_0$ (y-અંતઃખંડ).
અહીં $k$ અને $\theta_0$ ધન હોવાથી,અંતઃખંડ $c = -k\theta_0$ ઋણ મળે છે.
તેથી,આલેખ એ ધન ઢાળ અને ઋણ y-અંતઃખંડ ધરાવતી સુરેખ રેખા છે,જે વિકલ્પ $C$ માં દર્શાવેલ આલેખને અનુરૂપ છે.

(A) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = \varepsilon A \sigma (T^4 - T_0^4) \approx \varepsilon A \sigma (4T_0^3) \Delta T$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ પણ હોવાથી,આપણને મળે છે $mc \frac{dT}{dt} = \varepsilon A \sigma (4T_0^3) \Delta T$.
આમ,તાપમાન ઘટવાનો દર $\frac{dT}{dt} = \frac{\varepsilon A \sigma 4T_0^3}{mc} \Delta T$ છે.
ગોળા અને સમઘન બંને માટે,સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન છે. જોકે,સમાન સપાટીના ક્ષેત્રફળ માટે ગોળાનું કદ $V$ એ સમઘનના કદ કરતા ઓછું હોય છે. દળ $m = \rho V$ હોવાથી,ગોળામાં રહેલા પાણીનું દળ સમઘનમાં રહેલા પાણીના દળ કરતા ઓછું હોય છે $(m_S < m_C)$.
$\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{m}$ હોવાથી,ઠંડા પડવાનો દર સમઘન $(C)$ કરતા ગોળા $(S)$ માટે ઝડપી છે.
તેથી,ગોળાનું તાપમાન સમઘન કરતા ઝડપથી ઘટે છે,જે તે આલેખ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેમાં $S$ માટેનો વક્ર $C$ માટેના વક્ર કરતા વધુ ઢાળવાળો છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં થતો ફેરફારનો દર એ પદાર્થ અને તેના પરિસર વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને સમપ્રમાણમાં હોય છે:
$\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$
પદોને ગોઠવતા,આપણને મળે છે:
$\frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = -k dt$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{d\theta}{\theta - \theta_0} = \int -k dt$
$\ln(\theta - \theta_0) = -kt + C$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = \ln(\theta - \theta_0)$,$x = t$,$m = -k$ (ઋણ ઢાળ) અને $C$ એ સંકલનનો અચળાંક છે.
તેથી,$\log_e(\theta - \theta_0)$ વિરુદ્ધ $t$ નો આલેખ ઋણ ઢાળ ધરાવતી એક સીધી રેખા છે.

(D) ન્યૂટનનો શીતલનનો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $(dQ/dt)$ એ પદાર્થ $(T)$ અને તેના પરિસર $(T_s)$ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો આ તફાવત નાનો હોય.
ગાણિતિક રીતે,$dQ/dt \propto (T - T_s)$.
ઠંડા પડવાનો દર એ તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $(dT/dt)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોવાથી,$dT/dt \propto (T - T_s)$ થાય છે.
તેથી,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થ અને પરિસર વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે.

(C) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થ અને તેના આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને સીધો પ્રમાણસર હોય છે: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
જેમ જેમ પાણીનું તાપમાન ઘટે છે,તેમ પાણી અને આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત ઘટતો જાય છે.
પરિણામે,ઠંડા પડવાનો દર ઘટે છે,જેનો અર્થ છે કે ચોક્કસ તાપમાનના ગાળામાં ઠંડા પડવા માટે લાગતો સમય વધે છે.
પ્રથમ ગાળા ($75^{\circ}C$ થી $70^{\circ}C$) માટે શરૂઆતનું તાપમાન સૌથી વધુ હોવાથી,ઠંડા પડવાનો દર સૌથી ઝડપી હોય છે,જેના પરિણામે સૌથી ઓછો સમય $T_1$ લાગે છે.
જેમ જેમ પાણી વધુ ઠંડું થાય છે,તેમ તાપમાનનો તફાવત નાનો થતો જાય છે,જેના કારણે ઠંડા પડવાની પ્રક્રિયા ધીમી પડે છે અને સમયગાળો વધતો જાય છે.
તેથી,સમય વચ્ચેનો સંબંધ $T_1 < T_2 < T_3$ છે.

(C) ન્યૂટનનો શીતલનનો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt$ એ પદાર્થ અને તેના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતને સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $dQ/dt = -k(\theta - \theta_0)$.
ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $dQ/dt = -ms(d\theta/dt)$ દ્વારા પણ દર્શાવી શકાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે,$s$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,અને $d\theta/dt$ એ ઠંડા પડવાનો દર છે.
આ બંનેને સરખાવતા,આપણને $-ms(d\theta/dt) = -k(\theta - \theta_0)$ મળે છે.
આ સંબંધનો ઉપયોગ કરીને,જો અન્ય પરિમાણો જાણીતા હોય,તો આપણે પ્રવાહીની વિશિષ્ટ ઉષ્મા '$s$' નક્કી કરી શકીએ છીએ.

(C) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા વ્યયનો દર $(dQ/dt)$ એ $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા છે,$\sigma$ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન અચળાંક છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
બંને ગોળા સમાન ધાતુના બનેલા હોવાથી અને સમાન તાપમાન $T$ સુધી ગરમ કરવામાં આવ્યા હોવાથી તથા સમાન વાતાવરણ $T_0$ માં રાખવામાં આવ્યા હોવાથી,ઉષ્મા વ્યયનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A$ અને ઉત્સર્જકતા $e$ પર આધાર રાખે છે.
જો બંને ગોળાની ત્રિજ્યા સમાન હોય,તો તેમનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4\pi r^2$ સમાન રહેશે.
તેથી,જો ઉત્સર્જકતા સમાન હોય,તો બંને માટે ઉષ્મા વ્યયનો દર સમાન રહેશે.

(D) ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ જણાવે છે કે પદાર્થ દ્વારા ગુમાવાતી ઉષ્માનો દર,પદાર્થ અને તેના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જો આ તફાવત નાનો હોય.
આ નિયમ સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ પરથી મેળવેલ એક પ્રાયોગિક અંદાજ છે,જે પદાર્થના તાપમાનના સંદર્ભમાં કૃષ્ણ પદાર્થ દ્વારા ઉત્સર્જિત પાવરનું વર્ણન કરે છે.
ચોક્કસ રીતે કહીએ તો,જ્યારે પદાર્થ અને વાતાવરણ વચ્ચેનો તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ નાનો હોય,ત્યારે સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમને રેખીય બનાવી શકાય છે,જે દર્શાવે છે કે શીતલનનો દર $\Delta T$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે,જે ન્યુટનના શીતલનના નિયમનો મુખ્ય સાર છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = 4 \sigma A \theta_0^3 (\Delta \theta)$ છે.
કારણ કે $\frac{dQ}{dt} = ms \left( -\frac{d\theta}{dt} \right)$,તેથી તાપમાનના ઘટાડાનો દર $-\frac{d\theta}{dt} = \frac{4 \sigma A \theta_0^3 (\Delta \theta)}{ms}$ થાય.
અહીં,દળ $m = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\frac{4}{3} \pi r^3) d$ અને સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા: $-\frac{d\theta}{dt} = \frac{4 \sigma (4 \pi r^2) \theta_0^3 (\Delta \theta)}{(\frac{4}{3} \pi r^3) d s}$.
પદનું સાદું રૂપ આપતા: $-\frac{d\theta}{dt} = \frac{16 \pi r^2 \sigma \theta_0^3 (\Delta \theta)}{\frac{4}{3} \pi r^3 d s} = \frac{12 \sigma \theta_0^3 \Delta \theta}{rds}$.