Newton's Law of Cooling Questions in Gujarati

(C) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ, ઠંડા પડવાનો દર આ મુજબ છે: $\frac{T_1-T_2}{t} = K \left( \frac{T_1+T_2}{2} - T_0 \right)$, જ્યાં $T_0$ એ રૂમનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે, તાપમાન $3 \, \text{મિનિટ}$ માં $365 \, K$ થી $359 \, K$ થાય છે:
$\frac{365-359}{3} = K \left( \frac{365+359}{2} - 296 \right)$
$\frac{6}{3} = K (362 - 296)$
$2 = K(66) \implies K = \frac{2}{66} = \frac{1}{33} \, min^{-1}$.
બીજા કિસ્સા માટે, તાપમાન $342 \, K$ થી $338 \, K$ થવા માટે લાગતો સમય $t$ છે:
$\frac{342-338}{t} = K \left( \frac{342+338}{2} - 296 \right)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (340 - 296)$
$\frac{4}{t} = \frac{1}{33} (44)$
$\frac{4}{t} = \frac{44}{33} = \frac{4}{3}$
તેથી, $t = 3 \, \text{મિનિટ}$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta}{dt} = K(\theta_{avg} - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે:
$\frac{4\theta - 3\theta}{t} = K \left( \frac{4\theta + 3\theta}{2} - \theta \right)$
$\frac{\theta}{t} = K \left( \frac{7\theta}{2} - \theta \right) = K \left( \frac{5\theta}{2} \right)$
$K = \frac{2}{5t} \dots (i)$
આગામી $t$ મિનિટના સમયગાળા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $x$ છે:
$\frac{3\theta - x}{t} = K \left( \frac{3\theta + x}{2} - \theta \right)$
$(i)$ માંથી $K$ ની કિંમત મૂકતા:
$\frac{3\theta - x}{t} = \frac{2}{5t} \left( \frac{3\theta + x - 2\theta}{2} \right)$
$3\theta - x = \frac{1}{5} (\theta + x)$
$15\theta - 5x = \theta + x$
$6x = 14\theta$
$x = \frac{14\theta}{6} = \frac{7\theta}{3}$

(A) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર એ પદાર્થ અને તેના આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} = k(\theta_{avg} - \theta_0)$.
આનો અર્થ એ છે કે જેમ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન ઘટે છે,તેમ નિશ્ચિત તાપમાન સુધી ઠંડુ થવા માટે લાગતો સમય વધે છે.
ત્રણ અંતરાલો માટે:
કિસ્સો $1$: સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg1} = \frac{75+70}{2} = 72.5^{\circ} C$.
કિસ્સો $2$: સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg2} = \frac{70+65}{2} = 67.5^{\circ} C$.
કિસ્સો $3$: સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg3} = \frac{65+60}{2} = 62.5^{\circ} C$.
કારણ કે $\theta_{avg1} > \theta_{avg2} > \theta_{avg3}$,ઠંડકનો દર પ્રથમ અંતરાલમાં સૌથી વધુ અને ત્રીજા અંતરાલમાં સૌથી ઓછો છે.
તેથી,લાગતો સમય $t$ એ ઠંડકના દરના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોવાથી,$t_1 < t_2 < t_3$ મળે છે.

(C) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર: $\frac{dT}{dt} = -k(T_{avg} - T_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T_{avg} = \frac{T_1 + T_2}{2}$ અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
કિસ્સો $(1)$: $75^{\circ} C$ થી $65^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે $2 \text{ min}$ લાગે છે.
$T_{avg} = \frac{75 + 65}{2} = 70^{\circ} C$.
ઠંડા થવાનો દર = $\frac{75 - 65}{2} = \frac{10}{2} = 5^{\circ} C/\text{min}$.
તેથી,$5 = k(70 - 30) = k(40) \Rightarrow k = \frac{5}{40} = \frac{1}{8} \text{ min}^{-1}$.
કિસ્સો $(2)$: $55^{\circ} C$ થી $45^{\circ} C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે $t \text{ min}$ લાગે છે.
$T_{avg} = \frac{55 + 45}{2} = 50^{\circ} C$.
ઠંડા થવાનો દર = $\frac{55 - 45}{t} = \frac{10}{t} ^{\circ} C/\text{min}$.
નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{10}{t} = k(50 - 30) = k(20)$.
$k = \frac{1}{8}$ મૂકતા:
$\frac{10}{t} = \frac{1}{8} \times 20 = 2.5$.
$t = \frac{10}{2.5} = 4 \text{ min}$.

(D) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ વિકિરણ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર: $dQ/dt = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ છે.
ગોળાઓ સમાન તાપમાન $T$ પર અને સમાન વાતાવરણ $T_0$ માં હોવાથી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi R^2$ ના સમપ્રમાણમાં હોય છે.
આમ,$dQ/dt \propto R^2$.
ઠંડા થવાનો દર $dT/dt = (dQ/dt) / (mc)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $m$ એ દળ અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
દળ $m = \rho V = \rho (4/3 \pi R^3)$,જ્યાં $\rho$ એ ઘનતા છે.
તેથી,ઠંડા થવાનો દર $dT/dt \propto R^2 / R^3 = 1/R$.
આમ,પ્રારંભિક ઠંડા થવાના દરનો ગુણોત્તર $(dT/dt)_1 / (dT/dt)_2 = R_2 / R_1$ થાય છે.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેના પર્યાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = k(T - T_s)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે,$T_1 = 80^{\circ} C$ અને $T_s = 30^{\circ} C$. ઠંડા પડવાનો દર $1.5^{\circ} C / min$ છે.
$1.5 = k(80 - 30) = k(50) \implies k = \frac{1.5}{50} = 0.03 \ min^{-1}$.
બીજા કિસ્સા માટે,$T_2 = 50^{\circ} C$ અને $T_s = 30^{\circ} C$. ધારો કે દર $r$ છે.
$r = k(50 - 30) = k(20)$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા:
$r = 0.03 \times 20 = 0.6^{\circ} C / min$.

(B) સ્વચ્છ રાત્રિઓ દરમિયાન,પૃથ્વીની સપાટી પરની વસ્તુઓ ગરમીનું ઉત્સર્જન કરે છે,જેના કારણે તાપમાન ઘટે છે. તેથી,વિકલ્પ $(A)$ ખોટો છે.
સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,બ્લેક બોડી દ્વારા એકમ સમયમાં એકમ ક્ષેત્રફળ દીઠ ઉત્સર્જિત કુલ ઉર્જા $E \propto T^{4}$ છે. તેથી,વિકલ્પ $(C)$ ખોટો છે.
પ્રતિ સેકન્ડ ઉત્સર્જિત ઉર્જા (પાવર) $P = A \sigma \varepsilon T^{4} = 4 \pi r^{2} \sigma \varepsilon T^{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બે ગોળાઓ માટે,ઉત્સર્જિત પાવરનો ગુણોત્તર:
$\frac{P_{1}}{P_{2}} = \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2} \left(\frac{T_{1}}{T_{2}}\right)^{4} = \left(\frac{1}{4}\right)^{2} \left(\frac{4000}{2000}\right)^{4} = \frac{1}{16} \times (2)^{4} = \frac{16}{16} = 1$.
કારણ કે $P_{1} = P_{2}$,તેથી વિકલ્પ $(D)$ ખોટો છે.
ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ એ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમનું આશરે સ્વરૂપ છે અને તે નાના તાપમાનના તફાવત માટે માન્ય છે,જે સામાન્ય રીતે કુદરતી સંવહનમાં જોવા મળે છે. આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(C) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવત સાથે સીધા પ્રમાણમાં હોય છે: $R = k(\theta - \theta_0)$.
આપેલ છે:
કિસ્સો $1$: $R_1 = 4^{\circ}C/min$,$\theta_1 = 90^{\circ}C$
કિસ્સો $2$: $R_2 = 1^{\circ}C/min$,$\theta_2 = 30^{\circ}C$
બંને દરોનો ગુણોત્તર લેતા:
$\frac{R_1}{R_2} = \frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}$
$\frac{4}{1} = \frac{90 - \theta_0}{30 - \theta_0}$
$4(30 - \theta_0) = 90 - \theta_0$
$120 - 4\theta_0 = 90 - \theta_0$
$120 - 90 = 4\theta_0 - \theta_0$
$30 = 3\theta_0$
$\theta_0 = 10^{\circ}C$
આમ,આસપાસનું તાપમાન $10^{\circ}C$ છે.

(C) ન્યુટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થની સપાટીના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે $(dQ/dt \propto A)$.
આપેલ દળ અને દ્રવ્ય માટે,કદ અચળ રહે છે. ગોળા,સમઘન અને પાતળી વર્તુળાકાર પ્લેટમાંથી,પાતળી વર્તુળાકાર પ્લેટનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ હોય છે,જ્યારે ગોળાનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી ઓછું હોય છે.
ઠંડા પડવાનો દર સપાટીના ક્ષેત્રફળના સીધા પ્રમાણમાં હોવાથી,જે પદાર્થનું સપાટીનું ક્ષેત્રફળ સૌથી વધુ હશે તે સૌથી ઝડપથી ગરમી ગુમાવશે.
તેથી,પ્લેટ સૌથી ઝડપથી ઠંડી પડશે અને ગોળો સૌથી ધીમે ઠંડો પડશે.

(A) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{65.5 - 62.5}{1} = k \left( \frac{65.5 + 62.5}{2} - 22.5 \right)$.
$3 = k(64 - 22.5) = k(41.5) \implies k = \frac{3}{41.5}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{46.5 - 40.5}{t} = k \left( \frac{46.5 + 40.5}{2} - 22.5 \right)$.
$\frac{6}{t} = k(43.5 - 22.5) = k(21)$.
$k$ ની કિંમત મૂકતા: $\frac{6}{t} = \frac{3}{41.5} \times 21$.
$t = \frac{6 \times 41.5}{3 \times 21} = \frac{2 \times 41.5}{21} \approx 3.95 \text{ મિનિટ} \approx 4 \text{ મિનિટ}$.

(B) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, $\frac{dT}{dt} = k(\theta - \theta_0)$, જ્યાં $\theta$ એ પદાર્થનું સરેરાશ તાપમાન છે અને $\theta_0$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\frac{94 - 86}{2} = k \left( \frac{94 + 86}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{2} = k(90 - 20) \Rightarrow 4 = k(70) \Rightarrow k = \frac{4}{70}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\frac{74 - 66}{t} = k \left( \frac{74 + 66}{2} - 20 \right)$.
$\frac{8}{t} = \frac{4}{70} (70 - 20) \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{4}{70} \times 50$.
$\frac{8}{t} = \frac{200}{70} \Rightarrow \frac{8}{t} = \frac{20}{7}$.
$t = \frac{8 \times 7}{20} = \frac{56}{20} = 2.8$ મિનિટ.

(B) ન્યુટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $-\frac{dT}{dt} = k(T - T_{0})$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{70 - 68}{t_{1}} = k \left( \frac{70 + 68}{2} - 30 \right) \implies \frac{2}{t_{1}} = k(69 - 30) = 39k$ (સમીકરણ $i$).
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 59.5}{t_{2}} = k \left( \frac{60 + 59.5}{2} - 30 \right) \implies \frac{0.5}{t_{2}} = k(59.75 - 30) = 29.75k$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $i$ ને સમીકરણ $ii$ વડે ભાગતા: $\frac{2/t_{1}}{0.5/t_{2}} = \frac{39k}{29.75k} \implies \frac{4t_{2}}{t_{1}} \approx 1.31 \implies t_{2} \approx 0.33 t_{1}$.
નોંધ: જો આપણે $\frac{dT}{dt} \approx k(T_{avg} - T_{0})$ અંદાજનો ઉપયોગ કરીએ,તો પરિણામ ચોક્કસ સરેરાશ તાપમાન પર આધાર રાખે છે. આ પ્રકારના પ્રશ્નો માટે પ્રમાણભૂત પાઠ્યપુસ્તક અભિગમ મુજબ,જ્યાં $T_{avg}$ ને ઘણીવાર પ્રારંભિક તાપમાન તરીકે લેવામાં આવે છે,ત્યાં $t_{2} = 2t_{1}$ પરિણામ સામાન્ય રીતે અપેક્ષિત છે.

(D) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ,ઠંડકનો દર $\frac{\theta_{1}-\theta_{2}}{t} = K \left[ \frac{\theta_{1}+\theta_{2}}{2} - \theta_{s} \right]$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $\theta_{s}$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ $10 \ min$ ના અંતરાલ માટે: $\frac{60-50}{10} = K \left[ \frac{60+50}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 1 = K(55 - \theta_{s}) \dots (i)$
આગામી $10 \ min$ ના અંતરાલ માટે: $\frac{50-42}{10} = K \left[ \frac{50+42}{2} - \theta_{s} \right] \Rightarrow 0.8 = K(46 - \theta_{s}) \dots (ii)$
સમીકરણ $(i)$ ને સમીકરણ $(ii)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1}{0.8} = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25 = \frac{55 - \theta_{s}}{46 - \theta_{s}}$
$1.25(46 - \theta_{s}) = 55 - \theta_{s}$
$57.5 - 1.25\theta_{s} = 55 - \theta_{s}$
$2.5 = 0.25\theta_{s}$
$\theta_{s} = 10^{\circ} C$.

(A) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dq}{dt} = -k(T - T_0)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,હીટર તાપમાન અચળ રાખે છે,તેથી પૂરી પાડવામાં આવેલ પાવર એ ઉષ્મા ગુમાવવાના દર જેટલો હોય છે: $P = k(T - T_0)$.
આપેલ છે $P = 30 W$,$T = 57^{\circ} C$,અને $T_0 = 27^{\circ} C$,તેથી: $30 = k(57 - 27) \Rightarrow 30 = 30k \Rightarrow k = 1 W/K$.
જ્યારે હીટર બંધ કરવામાં આવે છે,ત્યારે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dq}{dt} = ms \frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ થાય છે.
અહીં,$m = 250 g = 0.25 kg$,$T_{avg} = \frac{47 + 46.9}{2} = 46.95^{\circ} C$,$T_0 = 27^{\circ} C$,$\Delta T = 47 - 46.9 = 0.1^{\circ} C$,અને $\Delta t = 10 s$.
આ કિંમતો મૂકતા: $0.25 \times s \times \frac{0.1}{10} = 1 \times (46.95 - 27)$.
$0.25 \times s \times 0.01 = 19.95$.
$0.0025s = 19.95 \Rightarrow s = \frac{19.95}{0.0025} = 7980 J kg^{-1} K^{-1}$.
નજીકના વિકલ્પ મુજબ,$s \approx 8000 J kg^{-1} K^{-1}$.

(B) ન્યૂટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે, જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે, $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે અને $k$ એ અચળાંક છે。
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{62 - 50}{10} = k \left( \frac{62 + 50}{2} - T_s \right) \implies 1.2 = k(56 - T_s) \quad (1)$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{50 - 42}{10} = k \left( \frac{50 + 42}{2} - T_s \right) \implies 0.8 = k(46 - T_s) \quad (2)$
સમીકરણ $(1)$ ને સમીકરણ $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{1.2}{0.8} = \frac{56 - T_s}{46 - T_s} \implies 1.5 = \frac{56 - T_s}{46 - T_s}$
$1.5(46 - T_s) = 56 - T_s \implies 69 - 1.5T_s = 56 - T_s$
$69 - 56 = 1.5T_s - T_s \implies 13 = 0.5T_s$
$T_s = 26^{\circ} C$.

(C) ન્યૂટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે,સરેરાશ તાપમાન $T_{avg1} = \frac{75+60}{2} = 67.5^{\circ}C$ છે.
બીજા અંતરાલ માટે,સરેરાશ તાપમાન $T_{avg2} = \frac{65+55}{2} = 60^{\circ}C$ છે.
અહીં $T_{avg2} < T_{avg1}$ હોવાથી,પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત બીજા કિસ્સામાં ઓછો છે.
તેથી,બીજા કિસ્સામાં ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt}$ ઓછો હશે.
બંને કિસ્સામાં તાપમાનનો ઘટાડો $10^{\circ}C$ હોવાથી,ઠંડા પડવાનો દર ઓછો હોવાનો અર્થ એ છે કે બીજા કિસ્સામાં ઠંડા થવા માટે વધુ સમય લાગશે.

(C) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = -K(T_{av} - T_0)$.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\Delta T_1 = 52.5^{\circ} C - 47.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_1 = 5 \ min$,$T_{av1} = \frac{52.5 + 47.5}{2} = 50^{\circ} C$. તેથી,$\frac{5}{5} = K(50 - T_0) \Rightarrow 1 = K(50 - T_0) \dots (i)$.
બીજા અંતરાલ માટે: $\Delta T_2 = 47.5^{\circ} C - 42.5^{\circ} C = 5^{\circ} C$,$t_2 = 7.5 \ min$,$T_{av2} = \frac{47.5 + 42.5}{2} = 45^{\circ} C$. તેથી,$\frac{5}{7.5} = K(45 - T_0) \Rightarrow \frac{2}{3} = K(45 - T_0) \dots (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ ને $(ii)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2/3} = \frac{K(50 - T_0)}{K(45 - T_0)} \Rightarrow \frac{3}{2} = \frac{50 - T_0}{45 - T_0}$.
ચોકડી ગુણાકાર કરતા: $3(45 - T_0) = 2(50 - T_0) \Rightarrow 135 - 3T_0 = 100 - 2T_0$.
$T_0$ માટે ઉકેલતા: $T_0 = 135 - 100 = 35^{\circ} C$.

(C) ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ એક પ્રાયોગિક નિયમ છે જે જણાવે છે કે પદાર્થ દ્વારા ગુમાવવામાં આવતી ઉષ્માનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે.
આ નિયમ સ્ટેફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ પરથી તારવવામાં આવ્યો છે,જેમાં એવી ધારણા કરવામાં આવે છે કે તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = T - T_s$ એ આસપાસના નિરપેક્ષ તાપમાન $T_s$ ની સરખામણીમાં નાનો છે.
તેથી,ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ ત્યારે જ સાચો ઠરે છે જ્યારે પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેનો તફાવત નાનો હોય.

(C) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર: $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન અને $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ સમયગાળા માટે: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - 25 \right) \implies 1 = k(55 - 25) \implies 1 = 30k \implies k = \frac{1}{30}$.
બીજા સમયગાળા માટે,ધારો કે અંતિમ તાપમાન $T_f$ છે: $\frac{50 - T_f}{10} = k \left( \frac{50 + T_f}{2} - 25 \right)$.
$k = \frac{1}{30}$ મૂકતા: $\frac{50 - T_f}{10} = \frac{1}{30} \left( \frac{50 + T_f - 50}{2} \right) \implies \frac{50 - T_f}{10} = \frac{T_f}{60}$.
$60$ વડે ગુણતા: $6(50 - T_f) = T_f \implies 300 - 6T_f = T_f \implies 7T_f = 300 \implies T_f = \frac{300}{7} \approx 42.86^{\circ}C$.
વિકલ્પોમાં આપેલ નજીકની પૂર્ણાંક કિંમત લેતા,જવાબ $43^{\circ}C$ મળે છે.

(B) ન્યુટનના ઠંડકના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના વાતાવરણ વચ્ચેના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે. આ અભિવ્યક્તિ દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$-\frac{dT}{dt} = k'(T - T_0)$
જ્યાં $k' = \frac{k}{ms}$ એક અચળાંક છે,$T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આ વિકલ સમીકરણને ફરીથી ગોઠવીને અને સંકલન કરતા:
$\int \frac{dT}{T - T_0} = -\int k' dt$
$\ln(T - T_0) = -k't + C$
$T - T_0 = e^{-k't + C} = Ae^{-k't}$
$T = T_0 + Ae^{-k't}$
આ સમીકરણ સમય $t$ વધવાની સાથે તાપમાન $T$ નું આસપાસના તાપમાન $T_0$ તરફ ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે. $t = 0$ સમયે,$T$ મહત્તમ છે,અને જેમ $t \to \infty$,તેમ $T \to T_0$. જે આલેખ આ ઘાતાંકીય ઘટાડો દર્શાવે છે તે આલેખ $(b)$ છે.

(C) આપેલ છે કે,ગોળા $P$ નું વજન ગોળા $Q$ ના વજન કરતા $8$ ગણું છે. એટલે કે,$m_P = 8 m_Q$.
સ્ટીફનના નિયમ મુજબ,પદાર્થમાંથી ઉષ્મા વિકિરણનો દર $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A T^4$ ... $(i)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $e$ એ ઉત્સર્જકતા,$\sigma$ એ સ્ટીફનનો અચળાંક,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ અને $T$ એ તાપમાન છે.
વળી,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = mc \frac{dT}{dt}$ ... (ii) છે,જ્યાં $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા ધારિતા છે.
$(i)$ અને (ii) ને સરખાવતા: $mc \frac{dT}{dt} = e \sigma A T^4 \implies \frac{dT}{dt} = \frac{e \sigma A T^4}{mc}$.
ગોળાઓ સમાન પદાર્થના બનેલા હોવાથી,$c$ અને $e$ અચળ છે. ગોળા માટે,$m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 \implies r \propto m^{1/3}$.
સપાટીનું ક્ષેત્રફળ $A = 4 \pi r^2 \propto (m^{1/3})^2 = m^{2/3}$.
આમ,ઠંડા થવાનો દર $\frac{dT}{dt} \propto \frac{A}{m} \propto \frac{m^{2/3}}{m} = m^{-1/3}$.
તેથી,$\frac{(\frac{dT}{dt})_Q}{(\frac{dT}{dt})_P} = (\frac{m_P}{m_Q})^{1/3} = (\frac{8 m_Q}{m_Q})^{1/3} = (8)^{1/3} = 2$.

(D) ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{d\theta}{dt} = -K(\theta_{avg} - \theta_s)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં,પદાર્થ $5 \text{ min}$ માં $70^{\circ} C$ થી $40^{\circ} C$ સુધી ઠંડો થાય છે.
સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg1} = \frac{70+40}{2} = 55^{\circ} C$.
વધારાનું તાપમાન $= 55 - 20 = 35^{\circ} C$.
ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta_1}{dt} = \frac{70-40}{5} = 6^{\circ} C/\text{min}$.
તેથી,$6 = K \times 35 \implies K = \frac{6}{35} \dots (1)$.
બીજા કિસ્સામાં,પદાર્થ $t$ સમયમાં $60^{\circ} C$ થી $40^{\circ} C$ સુધી ઠંડો થાય છે.
સરેરાશ તાપમાન $\theta_{avg2} = \frac{60+40}{2} = 50^{\circ} C$.
વધારાનું તાપમાન $= 50 - 20 = 30^{\circ} C$.
ઠંડા પડવાનો દર $\frac{d\theta_2}{dt} = \frac{60-40}{t} = \frac{20}{t}$.
તેથી,$\frac{20}{t} = K \times 30 \dots (2)$.
સમીકરણ $(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા:
$\frac{6}{20/t} = \frac{35}{30} \implies \frac{6t}{20} = \frac{7}{6}$.
$t = \frac{7 \times 20}{6 \times 6} = \frac{140}{36} \approx 3.89 \text{ min}$.

(B) સ્થાયી અવસ્થામાં, એલિમેન્ટ દ્વારા શોષાયેલ પાવર એ આસપાસમાં ગુમાવેલા પાવર જેટલો હોય છે (ન્યૂટનનો શીતલનનો નિયમ)।
આપેલ છે, શોષાયેલ પાવર $P = 100 \,W$.
તેથી, $127^{\circ}C$ તાપમાને ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $100 \,J/s$ છે।
$127^{\circ}C$ થી $126^{\circ}C$ સુધીના નાના તાપમાનના ફેરફાર માટે, આપણે ધારી શકીએ કે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર આશરે $100 \,W$ અચળ રહે છે।
એલિમેન્ટનું દળ $m = 100 \,g = 0.1 \,kg$.
વિશિષ્ટ ઉષ્મા $s = 1 \,J/(g^{\circ}C) = 1000 \,J/(kg^{\circ}C)$.
$127^{\circ}C$ થી $126^{\circ}C$ સુધી ઠંડુ થવા માટે મુક્ત થતી ઉષ્મા $Q = ms\Delta T = 0.1 \,kg \times 1000 \,J/(kg^{\circ}C) \times 1^{\circ}C = 100 \,J$.
લાગતો સમય $t = Q/P = 100 \,J / 100 \,W = 1.0 \,s$.

(A) ન્યુટનના શીતલન (ઠંડા પડવાના) નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_s)$ છે,જ્યાં $T_s$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
પ્રથમ અંતરાલ માટે: $\frac{60 - 50}{10} = k \left( \frac{60 + 50}{2} - T_s \right) \Rightarrow 1 = k(55 - T_s) \quad (1)$
બીજા અંતરાલ માટે: $\frac{50 - 40}{15} = k \left( \frac{50 + 40}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{2}{3} = k(45 - T_s) \quad (2)$
$(1)$ ને $(2)$ વડે ભાગતા: $\frac{1}{2/3} = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 1.5 = \frac{55 - T_s}{45 - T_s} \Rightarrow 67.5 - 1.5T_s = 55 - T_s \Rightarrow 0.5T_s = 12.5 \Rightarrow T_s = 25^{\circ} C$.
$T_s = 25$ ને $(1)$ માં મૂકતા: $1 = k(55 - 25) \Rightarrow 1 = 30k \Rightarrow k = \frac{1}{30}$.
ત્રીજા અંતરાલ $40^{\circ} C$ થી $30^{\circ} C$ માટે: $\frac{40 - 30}{t} = k \left( \frac{40 + 30}{2} - T_s \right) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{1}{30} (35 - 25) \Rightarrow \frac{10}{t} = \frac{10}{30} \Rightarrow t = 30 \text{ મિનિટ}$.

(D) ન્યુટનના શીતલનનો નિયમ મુજબ, તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{d\theta}{dt} = -k(\theta - \theta_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $\theta_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે。
આનું સંકલન કરતા, આપણને $\ln\left(\frac{\theta_1 - \theta_0}{\theta_2 - \theta_0}\right) = kt$ મળે છે。
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $\theta_1 = 100^{\circ} C$, $\theta_2 = 40^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$, $t = 10$ મિનિટ.
$kt_1 = \ln\left(\frac{100-10}{40-10}\right) = \ln\left(\frac{90}{30}\right) = \ln 3 = 1.1$.
તેથી, $k(10) = 1.1 \Rightarrow k = 0.11 \text{ min}^{-1}$.
બીજા કિસ્સા માટે: $\theta_1 = 70^{\circ} C$, $\theta_2 = 20^{\circ} C$, $\theta_0 = 10^{\circ} C$.
$kt_2 = \ln\left(\frac{70-10}{20-10}\right) = \ln\left(\frac{60}{10}\right) = \ln 6 = 1.8$.
$k = 0.11$ મૂકતા: $0.11 \times t_2 = 1.8$.
$t_2 = \frac{1.8}{0.11} \approx 16.36$ મિનિટ.
આમ, લાગતો સમય આશરે $16.3$ મિનિટ છે.

(D) ગોળાનું દળ,$m = 1 \ kg$.
હીટરનો પાવર,$P = 40 \ W$.
રૂમનું તાપમાન,$T_0 = 30^{\circ} C$.
ગોળાનું સ્થિર તાપમાન,$T = 70^{\circ} C$.
સ્થિર અવસ્થામાં,હીટર દ્વારા આપવામાં આવતી ઉષ્માનો દર એ આસપાસમાં ગુમાવાતી ઉષ્માના દર જેટલો હોય છે.
ન્યૂટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = k(T - T_0)$ છે.
સ્થિર અવસ્થામાં,$\frac{dQ}{dt} = P = 40 \ W$.
કિંમતો મૂકતા: $40 = k(70 - 30) \Rightarrow 40 = k(40) \Rightarrow k = 1 \ W/^{\circ} C$.
હવે,જ્યારે ગોળાનું તાપમાન $T_1 = 40^{\circ} C$ હોય ત્યારે ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર શોધવો છે.
તે જ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{dQ_1}{dt} = k(T_1 - T_0)$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{dQ_1}{dt} = 1(40 - 30) = 10 \ W$.

(C) સ્ટીફનના નિયમ મુજબ,પદાર્થ દ્વારા ઉષ્મા ગુમાવવાનો ચોખ્ખો દર $\frac{dQ}{dt} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $T$ એ પદાર્થનું તાપમાન છે અને $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
ઉષ્માનો વ્યય $\frac{dQ}{dt} = -mc \frac{dT}{dt}$ દ્વારા પણ આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $c$ એ વિશિષ્ટ ઉષ્મા છે,તેથી $-mc \frac{dT}{dt} = \varepsilon \sigma A (T^4 - T_0^4)$.
ધારો કે $T = T_0 + \Delta T$,જ્યાં $\Delta T \ll T_0$. તો $T^4 - T_0^4 = (T_0 + \Delta T)^4 - T_0^4 = T_0^4 (1 + \frac{\Delta T}{T_0})^4 - T_0^4$.
દ્વિપદી વિસ્તરણ $(1 + x)^n \approx 1 + nx$ નો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $x \ll 1$,આપણને $T^4 - T_0^4 \approx T_0^4 (1 + \frac{4\Delta T}{T_0}) - T_0^4 = 4T_0^3 \Delta T$ મળે છે.
આ કિંમત પાછી મૂકતા,આપણને $-\frac{dT}{dt} = \frac{\varepsilon \sigma A 4T_0^3}{mc} \Delta T = k(T - T_0)$ મળે છે,જ્યાં $k = \frac{4\varepsilon \sigma A T_0^3}{mc}$.
આ ન્યુટનનો શીતલનનો નિયમ છે,જે દર્શાવે છે કે તે સ્ટીફનના નિયમનો એક વિશિષ્ટ કિસ્સો છે.

(D) ન્યુટનના શીતલનના નિયમ મુજબ,તાપમાનમાં ફેરફારનો દર $\frac{dT}{dt} = -k(T - T_0)$ છે,જ્યાં $T_0$ એ આસપાસનું તાપમાન છે.
આનું સંકલન કરતા,આપણને $T(t) - T_0 = (T_i - T_0)e^{-kt}$ મળે છે,જ્યાં $T_i$ એ પ્રારંભિક તાપમાન છે.
પદાર્થ દ્વારા ગુમાવેલ ઉષ્મા $Q(t) = mc(T_i - T(t))$ છે. તે ગુમાવી શકે તેવી મહત્તમ ઉષ્મા $Q_{max} = mc(T_i - T_0)$ છે.
તેથી,ગુમાવેલ ઉષ્માનો અંશ $\frac{Q(t)}{Q_{max}} = \frac{T_i - T(t)}{T_i - T_0} = 1 - e^{-kt}$ છે.
$t_1$ સમય માટે,પદાર્થ મહત્તમ ઉષ્માના $60 \%$ ગુમાવે છે: $0.6 = 1 - e^{-kt_1} \Rightarrow e^{-kt_1} = 0.4 \Rightarrow t_1 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.4}) = \frac{1}{k} \ln(2.5)$.
$t_2$ સમય માટે,પદાર્થ મહત્તમ ઉષ્માના $80 \%$ ગુમાવે છે: $0.8 = 1 - e^{-kt_2} \Rightarrow e^{-kt_2} = 0.2 \Rightarrow t_2 = \frac{1}{k} \ln(\frac{1}{0.2}) = \frac{1}{k} \ln(5)$.
ગુણોત્તર $\frac{t_2}{t_1} = \frac{\ln(5)}{\ln(2.5)} = \frac{\ln(5)}{\ln(5/2)}$.

(B) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર એ પદાર્થના સરેરાશ તાપમાન અને આસપાસના તાપમાન વચ્ચેના તફાવતના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dT}{dt} = K(T_{avg} - T_0)$.
પ્રથમ કિસ્સામાં: $T_1 = 150^{\circ} F, T_2 = 144^{\circ} F, t_1 = 1 \ min, T_0 = 72^{\circ} F$.
સરેરાશ તાપમાન $T_{avg1} = \frac{150 + 144}{2} = 147^{\circ} F$ છે.
તેથી,$\frac{150 - 144}{1} = K(147 - 72) \Rightarrow 6 = K(75) \Rightarrow K = \frac{6}{75} = 0.08 \ min^{-1}$.
બીજા કિસ્સામાં: $T'_1 = 110^{\circ} F, T'_2 = 104^{\circ} F, T_0 = 72^{\circ} F$.
સરેરાશ તાપમાન $T_{avg2} = \frac{110 + 104}{2} = 107^{\circ} F$ છે.
તે જ નિયમનો ઉપયોગ કરતા: $\frac{110 - 104}{t_2} = K(107 - 72)$.
$\frac{6}{t_2} = K(35)$.
$K = \frac{6}{75}$ મૂકતા: $\frac{6}{t_2} = \frac{6}{75} \times 35$.
$\frac{1}{t_2} = \frac{35}{75} = \frac{7}{15}$.
$t_2 = \frac{15}{7} \approx 2.14 \ min$.

(B) ન્યૂટનના ઠંડકનો નિયમ મુજબ, ઠંડકનો દર $\frac{dT}{dt} = -K(T - T_0)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $T$ એ પ્રવાહીનું તાપમાન છે, $T_0$ એ ઓરડાનું તાપમાન છે અને $K$ એ અચળાંક છે.
નાના તાપમાનના તફાવત માટે, આપણે સરેરાશ સ્વરૂપનો ઉપયોગ કરી શકીએ છીએ: $\frac{T_1 - T_2}{t} = K \left( \frac{T_1 + T_2}{2} - T_0 \right)$.
કિસ્સો $1$: $T_1 = 100^{\circ}C$, $T_2 = 70^{\circ}C$, $t = 5 \text{ min}$, $T_0 = 30^{\circ}C$.
$\frac{100 - 70}{5} = K \left( \frac{100 + 70}{2} - 30 \right) \implies \frac{30}{5} = K(85 - 30) \implies 6 = K(55) \implies K = \frac{6}{55} \text{ min}^{-1}$.
કિસ્સો $2$: $T_1 = 100^{\circ}C$, $T_2 = 80^{\circ}C$, $t = t'$, $T_0 = 30^{\circ}C$.
$\frac{100 - 80}{t'} = K \left( \frac{100 + 80}{2} - 30 \right) \implies \frac{20}{t'} = K(90 - 30) \implies \frac{20}{t'} = K(60)$.
$K = \frac{6}{55}$ મૂકતા:
$\frac{20}{t'} = \frac{6}{55} \times 60 \implies \frac{20}{t'} = \frac{360}{55} \implies t' = \frac{20 \times 55}{360} = \frac{1100}{360} \approx 3.05 \text{ min}$.
આપેલા વિકલ્પો અને અંદાજ મુજબ, સૌથી નજીકની કિંમત $2.6 \text{ min}$ છે.

(B) સ્ટીફન-બોલ્ટ્ઝમેન નિયમ મુજબ,ઉષ્મા ગુમાવવાનો દર $\frac{dQ}{dt} = e \sigma A (T^4 - T_0^4)$ છે.
કારણ કે $Q = mc\Delta T = (\rho V c) \Delta T$,તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર $\frac{dT}{dt} = \frac{1}{mc} \frac{dQ}{dt}$ છે.
ગોળા માટે,$V = \frac{4}{3} \pi r^3$ અને $A = 4 \pi r^2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $\frac{dT}{dt} = \frac{\sigma (4 \pi r^2) (T^4 - T_0^4)}{\rho (\frac{4}{3} \pi r^3) c} = \frac{3 \sigma (T^4 - T_0^4)}{\rho r c}$.
આમ,તાપમાનમાં થતા ફેરફારનો દર ત્રિજ્યાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $\frac{dT}{dt} \propto \frac{1}{r}$.
તેથી,ગોળાઓ $A$ અને $B$ માટે તાપમાનમાં થતા ફેરફારના દરનો ગુણોત્તર $\frac{(dT/dt)_A}{(dT/dt)_B} = \frac{r_B}{r_A}$ થાય.

(B) ન્યુટનના શીતલન (cooling) ના નિયમ મુજબ,ઠંડા થવાનો દર પદાર્થ અને આસપાસના તાપમાનના તફાવતને સીધો પ્રમાણસર હોય છે.
$\frac{T_i - T_f}{t} = K \left( \frac{T_i + T_f}{2} - T_0 \right)$
જ્યાં $T_i$ પ્રારંભિક તાપમાન છે,$T_f$ અંતિમ તાપમાન છે,$t$ સમય છે,$T_0$ આસપાસનું તાપમાન છે અને $K$ અચળાંક છે.
પ્રથમ કિસ્સા માટે: $T_i = 70^{\circ} C$,$T_f = 40^{\circ} C$,$t = 5 \ min$,$T_0 = 20^{\circ} C$.
$\frac{70 - 40}{5} = K \left( \frac{70 + 40}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{5} = K (55 - 20)$
$6 = K(35) \Rightarrow K = \frac{6}{35}$
બીજા કિસ્સા માટે: $T_i = 60^{\circ} C$,$T_f = 30^{\circ} C$,$t = ?$,$T_0 = 20^{\circ} C$.
$\frac{60 - 30}{t} = \frac{6}{35} \left( \frac{60 + 30}{2} - 20 \right)$
$\frac{30}{t} = \frac{6}{35} (45 - 20)$
$\frac{30}{t} = \frac{6}{35} (25)$
$t = \frac{30 \times 35}{6 \times 25} = \frac{5 \times 35}{25} = \frac{35}{5} = 7 \ min.$

(B) ન્યૂટનના ઠંડા પડવાના નિયમ મુજબ,ઠંડા પડવાનો દર $R$ એ પદાર્થ અને તેની આસપાસના તાપમાનના તફાવતના સીધા પ્રમાણમાં હોય છે,જો તફાવત નાનો હોય.
ગાણિતિક રીતે,$R = -\frac{d\theta}{dt} = k(\theta - \theta_0)$,જ્યાં $k$ એ ધન અચળાંક છે.
આ સમીકરણ $y = mx + c$ ના સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં $y = R$,$x = \theta$,$m = k$ (ઢાળ),અને $c = -k\theta_0$ (y-અંતઃખંડ).
કારણ કે $k > 0$,તેથી ઢાળ ધન છે.
જ્યારે $\theta = \theta_0$ હોય,ત્યારે $R = 0$ થાય છે.
તેથી,આલેખ એ $(\theta_0, 0)$ બિંદુમાંથી પસાર થતી ધન ઢાળવાળી સીધી રેખા છે,જે વિકલ્પ $B$ માં દર્શાવેલ આકાર સાથે મેળ ખાય છે.