Heat Conduction and Thermal Conductivity Questions in Gujarati

(A) ઉષ્મા વાહકોના શ્રેણી જોડાણમાં,ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $(H)$ દરેક સળિયામાંથી સમાન રહે છે.
$H = \frac{dQ}{dt} = \frac{kA(T_{high} - T_{low})}{l}$
કારણ કે $A$ અને $l$ ત્રણેય સળિયા માટે સમાન છે,તેથી ઉષ્મા પ્રવાહ $H$ એ $k \Delta T$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
ધારો કે $H$ એ સ્થાયી ઉષ્મા પ્રવાહ છે. તો:
$H = \frac{(2K)A(100 - T_1)}{l} = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l} = \frac{(K/2)A(T_2 - 0)}{l}$
બધા ભાગોમાંથી $\frac{KA}{l}$ દૂર કરતા:
$2(100 - T_1) = (T_1 - T_2) = 0.5 T_2$
બીજા અને ત્રીજા ભાગ પરથી:
$T_1 - T_2 = 0.5 T_2 \Rightarrow T_1 = 1.5 T_2 = \frac{3}{2} T_2$
પ્રથમ અને બીજા ભાગ પરથી:
$2(100 - T_1) = T_1 - T_2$
$200 - 2T_1 = T_1 - T_2$
$200 = 3T_1 - T_2$
સમીકરણમાં $T_1 = \frac{3}{2} T_2$ મૂકતા:
$200 = 3(\frac{3}{2} T_2) - T_2$
$200 = \frac{9}{2} T_2 - T_2 = \frac{7}{2} T_2$
$T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$
હવે,$T_1$ શોધો:
$T_1 = \frac{3}{2} (\frac{400}{7}) = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$
આમ,તાપમાન $T_1 = \frac{600}{7} {}^{\circ}C$ અને $T_2 = \frac{400}{7} {}^{\circ}C$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $C$ નું તાપમાન $T$ છે. $A$ થી $C$ સુધીનો ઉષ્મા પ્રવાહ $H_1 = \frac{KA(T_A - T)}{l_1} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (20 - T)}{0.1}$ છે.
$B$ થી $C$ સુધીનો ઉષ્મા પ્રવાહ $H_2 = \frac{KA(T_B - T)}{l_2} = \frac{336 \times 10^{-4} \times (40 - T)}{0.2}$ છે.
બરફના બોક્સમાં જતો ઉષ્મા પ્રવાહ $H = H_1 + H_2$ છે. તાર અત્યંત વાહક હોવાથી $T = 0^{\circ} C$ લેતા,
$H = \frac{336 \times 10^{-4} \times 20}{0.1} + \frac{336 \times 10^{-4} \times 40}{0.2} = 6.72 + 6.72 = 13.44 \ W$ ($SI$ એકમોમાં).
કેલરીમાં ફેરવતા: $H = \frac{13.44}{4.2} = 3.2 \ cal/s$.
બરફ પીગળવાનો દર $dm/dt = \frac{H}{L_{ice}} = \frac{3.2}{80} = 0.04 \ g/s = 40 \ mg/s$. તેથી સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $Q = \frac{KA\Delta T}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી ($A$ અને $L$ અચળ છે),ઉષ્મા પ્રવાહ ઉષ્મીય વાહકતા $K$ ના સમપ્રમાણમાં છે.
જંકશન $P$ પર,સ્થાયી અવસ્થામાં ઉર્જા સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ,જંકશનમાં દાખલ થતી ઉષ્મા = જંકશનમાંથી બહાર નીકળતી ઉષ્મા.
ધારો કે જંકશન $P$ નું તાપમાન $T$ છે.
$100^{\circ}C$ થી $P$ તરફ વહેતી ઉષ્મા = $P$ થી $50^{\circ}C$ તરફ વહેતી ઉષ્મા + $P$ થી $0^{\circ}C$ તરફ વહેતી ઉષ્મા.
$\frac{3K A (100 - T)}{L} = \frac{2K A (T - 50)}{L} + \frac{K A (T - 0)}{L}$
બંને બાજુથી $\frac{KA}{L}$ ને દૂર કરતા:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + T$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$400 = 6T$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ}C$.

(C) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે। ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે。
સળિયાઓ એક જંકશન પર જોડાયેલા હોવાથી, જંકશનથી દૂર વહેતા ઉષ્મા પ્રવાહોનો સરવાળો શૂન્ય હોવો જોઈએ: $H_{Cu} + H_{Br} + H_{St} = 0$.
આપેલ છે: બધા સળિયા માટે $A = 4 \,cm^2$.
$H_{Cu} = \frac{0.92 \times 4 \times (T - 100)}{46} = 0.08(T - 100)$
$H_{Br} = \frac{0.26 \times 4 \times (T - 0)}{13} = 0.08T$
$H_{St} = \frac{0.12 \times 4 \times (T - 0)}{12} = 0.04T$
આનો સરવાળો કરતા: $0.08(T - 100) + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.08T - 8 + 0.08T + 0.04T = 0$
$0.20T = 8 \implies T = 40 \,^{\circ}C$.
તાંબાના સળિયામાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $H_{Cu} = 0.08(40 - 100) = 0.08(-60) = -4.8 \,cal \,s^{-1}$ છે。
ઉષ્માના વહનનો દરનું મૂલ્ય $4.8 \,cal \,s^{-1}$ છે।

(D) સ્થાયી અવસ્થામાં,સ્તરો $P$ અને $Q$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો દર સમાન હોય છે.
ધારો કે $K_P$ અને $K_Q$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$x$ એ દરેક સ્તરની જાડાઈ છે,અને $A$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે.
આપેલ છે: $K_Q = \frac{K_P}{2} \Rightarrow K_P = 2K_Q$.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ઉષ્મા પ્રવાહ સમાન હોવાથી: $\frac{K_P A (T_1 - T_0)}{x} = \frac{K_Q A (T_0 - T_2)}{x}$.
$K_P = 2K_Q$ મૂકતા: $2K_Q (T_1 - T_0) = K_Q (T_0 - T_2)$.
$2(T_1 - T_0) = (T_0 - T_2) \Rightarrow T_0 - T_2 = 2(T_1 - T_0)$.
દીવાલની આરપાર કુલ તાપમાનનો તફાવત $(T_1 - T_2) = 24^{\circ} C$ છે.
આપણે લખી શકીએ $(T_1 - T_2) = (T_1 - T_0) + (T_0 - T_2) = 24^{\circ} C$.
$(T_0 - T_2) = 2(T_1 - T_0)$ મૂકતા:
$(T_1 - T_0) + 2(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$3(T_1 - T_0) = 24^{\circ} C$.
$(T_1 - T_0) = 8^{\circ} C$.
આમ,સ્તર $P$ ની આરપાર તાપમાનનો તફાવત $8^{\circ} C$ છે.

(A) દ્રવ્યમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{KA \Delta T}{d}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $d$ એ પાત્રની દીવાલની જાડાઈ છે.
પાત્રો સમાન પરિમાણો ધરાવતા હોવાથી,$A$ અને $d$ અચળ છે. જો તાપમાનનો તફાવત $\Delta T$ બંને માટે સમાન હોય,તો ઉષ્મા વહનનો દર ઉષ્મા વાહકતાના સમપ્રમાણમાં હોય છે: $H \propto K$.
બરફને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q = mL$ છે,જ્યાં $m$ એ બરફનું દળ છે અને $L$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે. બંને પાત્રો સમાન પરિમાણોના હોવાથી અને બરફથી ભરેલા હોવાથી,$m$ બંને માટે સમાન છે.
ઉષ્મા વહનનો દર $H = \frac{Q}{t} = \frac{mL}{t}$ પણ છે,તેથી $H \propto \frac{1}{t}$.
આ બંને સમપ્રમાણતાઓને સરખાવતા,આપણને $K \propto \frac{1}{t}$ મળે છે.
તેથી,$\frac{K_1}{K_2} = \frac{t_2}{t_1}$.
અહીં $t_1 = 20 \ min$ અને $t_2 = 10 \ min$ આપેલ છે,તેથી $\frac{K_1}{K_2} = \frac{10}{20} = \frac{1}{2}$.
આમ,ઉષ્મા વાહકતાનો ગુણોત્તર $1: 2$ છે.

(C) ઉષ્માના વહનનો દર $H = \frac{kA \Delta T}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
સળિયા $A$ માટે: $\Delta T_A = 40^{\circ} C$,અને સળિયા $B$ માટે: $\Delta T_B = 60^{\circ} C$.
ઉષ્માના વહનનો દરનો ગુણોત્તર $\frac{H_A}{H_B} = \frac{3}{8}$ છે.
બંને સળિયા સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,$k_A = k_B = k$.
તેથી,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{A_A \Delta T_A / l_A}{A_B \Delta T_B / l_B} = \frac{A_A}{A_B} \cdot \frac{l_B}{l_A} \cdot \frac{40}{60} = \frac{3}{8}$ ....$(i)$
સળિયા સમાન દળ અને સમાન દ્રવ્યના હોવાથી,તેમના કદ સમાન છે: $V_A = V_B \Rightarrow A_A l_A = A_B l_B \Rightarrow \frac{A_A}{A_B} = \frac{l_B}{l_A}$ ....(ii)
સમીકરણ (ii) ને $(i)$ માં મૂકતા: $\left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{l_B}{l_A}\right) \cdot \left(\frac{40}{60}\right) = \frac{3}{8}$.
$\left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 \cdot \frac{2}{3} = \frac{3}{8} \Rightarrow \left(\frac{l_B}{l_A}\right)^2 = \frac{3}{8} \cdot \frac{3}{2} = \frac{9}{16}$.
વર્ગમૂળ લેતા,$\frac{l_B}{l_A} = \frac{3}{4}$.
તેથી,લંબાઈનો ગુણોત્તર $l_A : l_B = 4 : 3$ થાય.

(B) દીવાલોમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર $dQ/dt$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $dQ/dt = (K \cdot A \cdot \Delta T) / d$.
અહીં, $K = 10^{-2} \,W m^{-1} K^{-1}$, $A = 1000 \,cm^2 = 0.1 \,m^2$, $\Delta T = 42^{\circ}C - 0^{\circ}C = 42 \,K$, અને $d = 2 \,mm = 2 \times 10^{-3} \,m$.
આ કિંમતો મૂકતા: $dQ/dt = (10^{-2} \times 0.1 \times 42) / (2 \times 10^{-3}) = (4.2 \times 10^{-2}) / (2 \times 10^{-3}) = 21 \,W$ (અથવા $21 \,J/s$).
કુલ સમય $t = 160 \,minutes = 160 \times 60 \,s = 9600 \,s$.
કુલ સ્થાનાંતરિત ઉષ્મા $Q = (dQ/dt) \times t = 21 \times 9600 = 201600 \,J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m_{melted} = Q / L$, જ્યાં $L = 336 \times 10^3 \,J/kg$.
$m_{melted} = 201600 / (336 \times 10^3) = 0.6 \,kg$.
બાકી રહેલા બરફનું દળ = શરૂઆતનું દળ - ઓગળેલું દળ = $1.5 \,kg - 0.6 \,kg = 0.9 \,kg$.

(C) સળિયામાંથી પસાર થતી ઉષ્માનો દર $H$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{L}$.
આપેલ છે: $K = 90 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$,$A = 4 \ cm^2 = 4 \times 10^{-4} \ m^2$,$L = 20 \ cm = 0.2 \ m$,$T_1 = 100^{\circ} C$,$T_2 = 0^{\circ} C$.
કિંમતો મૂકતા: $H = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times (100 - 0)}{0.2} = \frac{90 \times 4 \times 10^{-4} \times 100}{0.2} = \frac{3.6}{0.2} = 18 \ J/s$.
$t = 7 \ minutes = 420 \ s$ સમયમાં સ્થાનાંતરિત કુલ ઉષ્મા $Q = H \times t = 18 \times 420 = 7560 \ J$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $m$ એ $Q = mL_f$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $L_f = 336 \times 10^3 \ J/kg$.
$m = \frac{Q}{L_f} = \frac{7560}{336 \times 10^3} = 0.0225 \ kg = 22.5 \ g$.

(B) આપેલ છે: જાડાઈ $\Delta x = 5 \ mm = 5 \times 10^{-3} \ m$,ક્ષેત્રફળ $A = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 14^{\circ} C$,ઉષ્મા વહનનો દર $Q = 42 \ J/s = 42 \ W$.
સ્થાયી અવસ્થામાં ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર $Q = \frac{K A \Delta T}{\Delta x}$ છે.
ઉષ્મીય વાહકતા $K$ માટે સૂત્ર બનાવતા: $K = \frac{Q \Delta x}{A \Delta T}$.
કિંમતો મૂકતા: $K = \frac{42 \times 5 \times 10^{-3}}{5 \times 10^{-4} \times 14}$.
સાદુરૂપ આપતા: $K = \frac{42 \times 10^{-3}}{10^{-4} \times 14} = \frac{3 \times 10^{-3}}{10^{-4}} = 3 \times 10 = 30 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$.

(B) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 0.2 \,m^2$,જાડાઈ $d = 2.0 \,cm = 0.02 \,m$,ઉષ્મા વાહકતા $K = 120 \,J s^{-1} m^{-1} K^{-1}$,ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 2 \times 10^6 \,J/kg$,અને પાણી ઉકળવાનો દર $dm/dt = 3.0 \,kg/min = 3.0/60 \,kg/s = 0.05 \,kg/s$.
વાસણના તળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(T - T_{water})}{d}$.
પાણી ઉકાળવા માટે જરૂરી ઉષ્માનો દર: $\frac{dQ}{dt} = L \frac{dm}{dt}$.
બંનેને સરખાવતા: $\frac{KA}{d} (T - 100) = L \frac{dm}{dt}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{120 \times 0.2}{0.02} (T - 100) = (2 \times 10^6) \times 0.05$.
$1200 (T - 100) = 100,000$.
$T - 100 = \frac{100,000}{1200} = 83.33$.
$T \approx 183.33^{\circ} C$. તેથી,તાપમાન આશરે $183^{\circ} C$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,પદાર્થ $A$ અને $B$ માંથી પસાર થતો ઉષ્માનો પ્રવાહ સમાન હોવો જોઈએ.
ધારો કે સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન $T$ છે.
ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $Q = \frac{KA \Delta T}{X}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. જો બંને સ્લેબ માટે આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોય,તો:
$Q_A = Q_B$
$\frac{K_A (75^{\circ} C - T)}{X_A} = \frac{K_B (T - 50^{\circ} C)}{X_B}$
આપેલ છે કે $K_A = \frac{K_B}{2}$ અને $X_A = 2 X_B$,આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા:
$\frac{(K_B / 2) (75^{\circ} C - T)}{2 X_B} = \frac{K_B (T - 50^{\circ} C)}{X_B}$
$\frac{75^{\circ} C - T}{4} = T - 50^{\circ} C$
$75^{\circ} C - T = 4T - 200^{\circ} C$
$5T = 275^{\circ} C$
$T = 55^{\circ} C$
આમ,સામાન્ય સપાટીનું તાપમાન $55^{\circ} C$ છે.

(C) સ્થાયી અવસ્થામાં,સળિયા દ્વારા વહન પામતી ઉષ્મા સળિયાની સપાટી દ્વારા આસપાસના વાતાવરણમાં ઉષ્મા નયન અને વિકિરણ દ્વારા ગુમાવાય છે. ધારો કે $P$ એ સળિયાની પરિમિતિ છે અને $h$ એ ઉષ્મા સ્થાનાંતરણ ગુણાંક છે. ગરમ છેડાથી $x$ અંતરે ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $q = -kA \frac{dT}{dx}$ છે.
$dx$ જેટલા ઘટક દ્વારા આસપાસના વાતાવરણમાં ગુમાવાતી ઉષ્મા $dQ = hP(T - T_0) dx$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં,ઉષ્મા સંતુલન સમીકરણ $-kA \frac{d^2T}{dx^2} = hP(T - T_0)$ છે.
ધારો કે $\theta = T - T_0$,તો $\frac{d^2\theta}{dx^2} = \frac{hP}{kA} \theta$. આનું ઉકેલ $\theta = \theta_0 e^{-mx}$ છે,જ્યાં $m = \sqrt{\frac{hP}{kA}}$.
મીણ $l$ લંબાઈ સુધી ઓગળે છે જ્યાં તાપમાન $\theta$ એ ગલનબિંદુ $\theta_m$ સુધી પહોંચે છે. તેથી,$\theta_m = \theta_0 e^{-ml}$.
કારણ કે $\theta_m, \theta_0, h,$ અને $P$ બંને સળિયા માટે સમાન છે,તેથી $ml$ અચળ હોવું જોઈએ. તેથી,$l \propto \frac{1}{\sqrt{m^2}} \propto \sqrt{k}$.
આમ,$\frac{l_A}{l_B} = \sqrt{\frac{k_A}{k_B}}$,જે સૂચવે છે કે $\frac{k_A}{k_B} = \frac{l_A^2}{l_B^2}$.

(C) આપેલ છે કે,બે પાતળા ધાતુના ગોળાકાર કવચોની ત્રિજ્યા $r_1 = 20 \text{ cm} = 0.2 \text{ m}$ અને $r_2 = 30 \text{ cm} = 0.3 \text{ m}$ છે.
અંદરના કવચનું તાપમાન $T_1 = 300 \text{ K}$,બહારના કવચનું તાપમાન $T_2 = 310 \text{ K}$,અને ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = 40 \text{ W}$ છે.
સ્થાયી અવસ્થામાં કવચમાંથી વહેતી ઉષ્માનો ત્રિજ્યાવર્તી દર ઉષ્મા વહનના ફુરિયરના નિયમ મુજબ:
$H = \frac{dQ}{dt} = \alpha A \frac{dT}{dr} = \alpha (4 \pi r^2) \frac{dT}{dr}$
સંકલન માટે પદોને ગોઠવતા:
$\frac{dr}{r^2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} dT$
બંને બાજુ $r_1$ થી $r_2$ અને $T_1$ થી $T_2$ સુધી સંકલન કરતા:
$\int_{r_1}^{r_2} \frac{dr}{r^2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} \int_{T_1}^{T_2} dT$
$[-\frac{1}{r}]_{r_1}^{r_2} = \frac{4 \pi \alpha}{H} (T_2 - T_1)$
$\frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2} = \frac{4 \pi \alpha (T_2 - T_1)}{H}$
$\frac{r_2 - r_1}{r_1 r_2} = \frac{4 \pi \alpha (T_2 - T_1)}{H}$
$\alpha$ માટે સૂત્ર બનાવતા:
$\alpha = \frac{H(r_2 - r_1)}{4 \pi r_1 r_2 (T_2 - T_1)}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$\alpha = \frac{40 \times (0.3 - 0.2)}{4 \pi \times 0.3 \times 0.2 \times (310 - 300)}$
$\alpha = \frac{40 \times 0.1}{4 \pi \times 0.06 \times 10} = \frac{4}{2.4 \pi} = \frac{40}{24 \pi} = \frac{5}{3 \pi}$
આમ,$\alpha$ નું મૂલ્ય $\frac{5}{3 \pi} \text{ J s}^{-1} \text{ m}^{-1} \text{ K}^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T \,K$ છે. સ્થાયી અવસ્થામાં, બંને સળિયામાંથી ઉષ્મા વહનનો દર સમાન હોય છે.
ઉષ્મા વહન માટેના સૂત્ર $\frac{Q}{t} = \frac{kA(T_2 - T_1)}{l}$ નો ઉપયોગ કરતા, આપણને મળે છે:
$\frac{Q}{t} = \frac{k_{steel} A (500 - T)}{2} = \frac{k_{Al} A (T - 300)}{1}$
બંને સળિયાના આડછેદનું ક્ષેત્રફળ $A$ સમાન હોવાથી, આપણે તેને દૂર કરી શકીએ છીએ:
$\frac{50(500 - T)}{2} = \frac{200(T - 300)}{1}$
$25(500 - T) = 200(T - 300)$
$12500 - 25T = 200T - 60000$
$225T = 72500$
$T = \frac{72500}{225} \approx 322.2 \,K$
આમ, જંકશનનું તાપમાન આશરે $322 \,K$ છે.

(D) આપેલ છે: ક્ષેત્રફળ $A = 1.0 \,m^2$, જાડાઈ $l = 3 \,cm = 0.03 \,m$, તાપમાનનો તફાવત $\Delta \theta = 30^{\circ} C - 0^{\circ} C = 30^{\circ} C$, ઉષ્મા વાહકતા $K = 0.03 \,W/mK$, ગુપ્ત ઉષ્મા $L = 3.00 \times 10^5 \,J/kg$, સમય $t = 24 \times 3600 \,s = 86400 \,s$.
ઉષ્મા વહનનું સૂત્ર વાપરતા: $Q = \frac{K A \Delta \theta t}{l}$.
કારણ કે $Q = m L$, તેથી $m = \frac{K A \Delta \theta t}{L l}$.
કિંમતો મૂકતા: $m = \frac{0.03 \times 1.0 \times 30 \times 86400}{3.00 \times 10^5 \times 0.03}$.
$m = \frac{0.9 \times 86400}{9000} = \frac{77760}{9000} = 8.64 \,kg$.

(D) આપેલ છે: સ્લેબનું ક્ષેત્રફળ $(A) = 3600 \, cm^2 = 0.36 \, m^2$.
જાડાઈ $(d) = 10 \, cm = 0.1 \, m$.
તાપમાનનો તફાવત $(\Delta \theta) = 100^{\circ} C - 0^{\circ} C = 100 \, K$.
સમય $(t) = 1 \, \text{કલાક } = 3600 \, s$.
ઓગળેલા બરફનું દળ $(m) = 4.8 \, kg$.
ગલન ગુપ્ત ઉષ્મા $(L) = 3.36 \times 10^5 \, J/kg$.
બરફને ઓગાળવા માટે જરૂરી ઉષ્મા $Q = m \times L = 4.8 \times 3.36 \times 10^5 \, J$.
ઉષ્મા વહનનો દર $\frac{Q}{t} = \frac{K A \Delta \theta}{d}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4.8 \times 3.36 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 0.36 \times 100}{0.1}$.
$\frac{1612800}{3600} = K \times 360$.
$448 = K \times 360$.
$K = \frac{448}{360} \approx 1.24 \, J \, s^{-1} \, m^{-1} \, K^{-1}$.

(A) સ્થાયી અવસ્થામાં,જંકશનમાં દાખલ થતો ઉષ્માનો પ્રવાહ એ જંકશનમાંથી બહાર નીકળતા ઉષ્માના પ્રવાહના સરવાળા જેટલો હોય છે. ધારો કે જંકશનનું તાપમાન $T$ છે. ઉષ્મા પ્રવાહનો દર $H = \frac{KA(T_1 - T_2)}{l}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા સળિયા માટે પરિમાણો (લંબાઈ $l$ અને ક્ષેત્રફળ $A$) સમાન હોવાથી,જંકશન પર ઉષ્મા પ્રવાહનું સમીકરણ નીચે મુજબ થશે:
$H_{in} = H_{out1} + H_{out2}$
$\frac{3KA(100 - T)}{l} = \frac{2KA(T - 50)}{l} + \frac{KA(T - 0)}{l}$
બંને બાજુથી $\frac{KA}{l}$ ને દૂર કરતા:
$3(100 - T) = 2(T - 50) + (T - 0)$
$300 - 3T = 2T - 100 + T$
$300 - 3T = 3T - 100$
$6T = 400$
$T = \frac{400}{6} = \frac{200}{3}^{\circ} C$

(D) નળાકાર સળિયામાંથી વહેતા ઉષ્માના પ્રવાહનો દર $H = \frac{kA \Delta \theta}{\ell}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $k$ એ ઉષ્મા વાહકતા છે,$A = \pi r^2$ એ આડછેદનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta \theta$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $\ell$ એ લંબાઈ છે.
દ્રવ્ય સમાન હોવાથી,$k_A = k_B$.
આપેલ છે: $\frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} = \frac{2}{3}$,$\frac{H_A}{H_B} = \frac{5}{9}$,અને $\frac{r_A}{r_B} = \frac{1}{2}$.
સૂત્ર $\frac{H_A}{H_B} = \left( \frac{r_A}{r_B} \right)^2 \left( \frac{\Delta \theta_A}{\Delta \theta_B} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{2} \right)^2 \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \left( \frac{1}{4} \right) \left( \frac{2}{3} \right) \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{5}{9} = \frac{2}{12} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right) = \frac{1}{6} \left( \frac{\ell_B}{\ell_A} \right)$
$\frac{\ell_B}{\ell_A} = \frac{5}{9} \times 6 = \frac{30}{9} = \frac{10}{3}$
તેથી,$\frac{\ell_A}{\ell_B} = \frac{3}{10}$.

(A) પદાર્થમાંથી ઉષ્માના વહનનો દર આ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA(\Delta T)}{x}$,જ્યાં $K$ એ ઉષ્મીય વાહકતા છે,$A$ એ સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે,$\Delta T$ એ તાપમાનનો તફાવત છે અને $x$ એ દીવાલની જાડાઈ છે.
પાત્રો સમાન કદ,આકાર અને દીવાલની જાડાઈ ધરાવતા હોવાથી,$A$ અને $x$ અચળ છે. વાતાવરણ સમાન હોવાથી,$\Delta T$ પણ અચળ છે.
બરફના આપેલ દળ $m$ માટે,તેને ઓગળવા માટે જરૂરી કુલ ઉષ્મા $Q = mL$ છે,જ્યાં $L$ એ ગલનગુપ્ત ઉષ્મા છે. આમ,બંને પાત્રો માટે $Q$ અચળ છે.
ઉષ્માના વહનનો દર એ બરફ ઓગળવા માટે લાગતા સમયના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં હોય છે: $\frac{dQ}{dt} \propto \frac{1}{t}$.
તેથી,$K \propto \frac{1}{t}$,જેનો અર્થ છે કે $K_P t_1 = K_Q t_2$.
આને ગોઠવતા આપણને ઉષ્મીય વાહકતાનો ગુણોત્તર મળે છે: $\frac{K_P}{K_Q} = \frac{t_2}{t_1}$.

(D) ધારો કે $A$ એ તળાવની સપાટીનું ક્ષેત્રફળ છે અને $x$ એ કોઈ પણ સમયે $t$ પર બરફના સ્તરની જાડાઈ છે. બરફના સ્તર પર તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 0^{\circ} C - (-20^{\circ} C) = 20^{\circ} C$ છે.
બરફના સ્તરમાંથી ઉષ્મા વહનનો દર: $\frac{dQ}{dt} = \frac{kA \Delta T}{x} = \frac{kA(20)}{x}$.
જેમ જેમ બરફનું સ્તર સમય $dt$ માં $dx$ જેટલું જાડું થાય છે,તેમ મુક્ત થતી ઉષ્મા $dQ = L dm = L(\rho A dx)$ છે.
$\frac{dQ}{dt}$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$\rho A L \frac{dx}{dt} = \frac{20 k A}{x}$
$\int_{0}^{Z} x dx = \int_{0}^{t} \frac{20 k}{\rho L} dt$
$\frac{Z^2}{2} = \frac{20 k}{\rho L} t$
$Z^2 = \frac{40 k}{\rho L} t$.

(B) ઉષ્મા વહનનો દર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\frac{dQ}{dt} = \frac{KA \Delta T}{x}$
આપેલ છે:
ઉષ્મા $Q = 1.56 \times 10^5 \ J$
ક્ષેત્રફળ $A = 2 \ m^2$
જાડાઈ $x = 12 \ cm = 0.12 \ m$
સમય $t = 1 \ hour = 3600 \ s$
તાપમાનનો તફાવત $\Delta T = 20^{\circ} C$
કિંમતો મૂકતા:
$\frac{1.56 \times 10^5}{3600} = \frac{K \times 2 \times 20}{0.12}$
$K = \frac{1.56 \times 10^5 \times 0.12}{3600 \times 40}$
$K = \frac{1.56 \times 10^5 \times 12 \times 10^{-2}}{3600 \times 40}$
$K = \frac{1.56 \times 10^3 \times 12}{3600 \times 40} = \frac{1.56 \times 12000}{144000} = \frac{1.56}{12} = 0.13 \ W \ m^{-1} \ K^{-1}$