Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(B) $\triangle ABC$ में,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
दी गई शर्त के अनुसार,$a = 2b$ और $A - B = 60^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ} + B$.
ज्या नियम में मान रखने पर:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$B = 30^{\circ}$.
तब $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।

(D) दिया गया है कि $\angle A, \angle B, \angle C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$.
मान लीजिए भुजाएँ $a, b, c$ हैं। दिया गया है $a = 10$ और $b = 9$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर: $\cos 60^{\circ} = \frac{10^2 + c^2 - 9^2}{2(10)c}$.
$\frac{1}{2} = \frac{100 + c^2 - 81}{20c} \Rightarrow 10c = c^2 + 19$.
$c^2 - 10c + 19 = 0$.
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर: $c = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 76}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{24}}{2} = 5 \pm \sqrt{6}$.
चूंकि $b=9$ दूसरी सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए $c$ सबसे छोटी भुजा होनी चाहिए। अतः,$c = 5 - \sqrt{6}$.

(A) दिया गया है: $\frac{1}{b+c}+\frac{1}{c+a}=\frac{3}{a+b+c}$
दोनों पक्षों को $(a+b+c)$ से गुणा करने पर:
$\frac{a+b+c}{b+c}+\frac{a+b+c}{c+a}=3$
$\frac{a}{b+c}+1+\frac{b}{c+a}+1=3$
$\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}=1$
$a(c+a)+b(b+c)=(b+c)(c+a)$
$ac+a^2+b^2+bc=bc+ab+c^2+ac$
$a^2+b^2-c^2=ab$
कोसाइन नियम के अनुसार:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$a^2+b^2-c^2=ab$ रखने पर:
$\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$
अतः,$C = \frac{\pi}{3}$.

(A) माना $a=7k, b=8k, c=9k$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{(8k)^2+(9k)^2-(7k)^2}{2(8k)(9k)} = \frac{64+81-49}{144} = \frac{96}{144} = \frac{2}{3}$।
इसी प्रकार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(7k)^2+(9k)^2-(8k)^2}{2(7k)(9k)} = \frac{49+81-64}{126} = \frac{66}{126} = \frac{11}{21}$।
और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{(7k)^2+(8k)^2-(9k)^2}{2(7k)(8k)} = \frac{49+64-81}{112} = \frac{32}{112} = \frac{2}{7}$।
अब,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{2}{3} : \frac{11}{21} : \frac{2}{7}$।
$21$ से गुणा करने पर,हमें $14 : 11 : 6$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया व्यंजक: $E = a \cos (B-\theta) + b \cos (A+\theta)$
सूत्र $\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$E = a(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta) + b(\cos A \cos \theta - \sin A \sin \theta)$
$E = (a \cos B + b \cos A) \cos \theta + (a \sin B - b \sin A) \sin \theta$
त्रिभुज में प्रक्षेप सूत्र (projection formula) के अनुसार,$a \cos B + b \cos A = c$ होता है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,इसलिए $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
दूसरे पद में इन मानों को रखने पर: $a \sin B - b \sin A = (2R \sin A) \sin B - (2R \sin B) \sin A = 0$।
अतः,$E = c \cos \theta + 0 \cdot \sin \theta = c \cos \theta$।

(D) दिया गया समीकरण: $\frac{\sin A - \sin C}{\cos C - \cos A} = \cot B$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$\frac{2 \cos \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \sin \left(\frac{A-C}{2}\right)} = \cot B$
व्यंजक को सरल करने पर:
$\cot \left(\frac{A+C}{2}\right) = \cot B$
इसका अर्थ है:
$\frac{A+C}{2} = B \implies A+C = 2B$
चूंकि दो कोणों का योग तीसरे कोण का दोगुना है,इसलिए $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।

(B) दी गई व्यंजक: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
पदों का विस्तार करने पर: $(a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab \cos^2 \frac{C}{2} + 2ab \sin^2 \frac{C}{2}$
चूंकि $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$,यह सरल होकर बनता है: $(a^2 + b^2) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
सर्वसमिका $\cos 2\theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta$ का उपयोग करने पर,$\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,इसलिए:
$= c^2$
$c = 4$ दिया गया है,अतः मान $4^2 = 16$ है।

(B) चूँकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$A+B+C = \pi$ होगा।
अतः,$\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$,जिसका अर्थ है $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर,$\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \tan \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \cot \frac{C}{2}$.
सूत्र $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \cot \frac{C}{2}$.
दिए गए मान $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{3}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$\frac{\frac{1}{3} + \frac{2}{3}}{1 - (\frac{1}{3})(\frac{2}{3})} = \frac{1}{1 - \frac{2}{9}} = \frac{1}{\frac{7}{9}} = \frac{9}{7}$.
अतः,$\cot \frac{C}{2} = \frac{9}{7}$,जिससे $\tan \frac{C}{2} = \frac{7}{9}$ प्राप्त होता है।

(D) $\triangle ABC$ में कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:\\ $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$\\ दिया गया है कि $a^2+b^2-c^2=ab$,इसलिए:\\ $\cos C = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$\\ चूँकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए कोण $C = \frac{\pi}{3}$ (या $60^{\circ}$) है।

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
$\therefore A + C = 2B$
हम जानते हैं कि $A + B + C = 180^{\circ}$
$A + C = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2B + B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $A = 30^{\circ}$,इसलिए $C = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 90^{\circ}$
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{3}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{3}{1}$
$a = 3 \times \frac{1}{2} = \frac{3}{2}$
$b = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 \sqrt{3}}{2}$

(C) चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2B = A + C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $A + C = 180^{\circ} - B$।
$AP$ की शर्त में मान रखने पर: $2B = 180^{\circ} - B$ $\Rightarrow 3B = 180^{\circ}$ $\Rightarrow B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$।
दिया गया है $\frac{b}{c} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$,इसलिए $\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$B = 60^{\circ}$ रखने पर: $\frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$ $\Rightarrow \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow C = 45^{\circ}$।
अंत में,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$।

(B) दिया है,$\triangle ABC$ में,$\frac{\cos A}{a}=\frac{\cos B}{b}=\frac{\cos C}{c} \dots (i)$
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}=\frac{\sin C}{c} \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से विभाजित करने पर,हमें $\tan A = \tan B = \tan C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B = C$ होगा।
अतः,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
$A+B+C = 180^{\circ}$ होने के कारण,$3A = 180^{\circ}$,जिससे $A = B = C = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} a^2$ होता है।
$a = 2$ दिया गया है,इसलिए क्षेत्रफल $\frac{\sqrt{3}}{4} (2)^2 = \frac{\sqrt{3}}{4} \times 4 = \sqrt{3}$ है।

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R = k$,इसलिए $\sin A = ak$ और $\sin B = bk$ है।
हम जानते हैं कि $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ और $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2}$
$= \frac{1 - 2(ak)^2}{a^2} - \frac{1 - 2(bk)^2}{b^2}$
$= \frac{1 - 2a^2k^2}{a^2} - \frac{1 - 2b^2k^2}{b^2}$
$= (\frac{1}{a^2} - 2k^2) - (\frac{1}{b^2} - 2k^2)$
$= \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$

(A) त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6+2 \sqrt{3}$,$b = 4 \sqrt{3}$ और $c = \sqrt{24} = 2 \sqrt{6}$ हैं।
यहाँ $c$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए कोण $C$ सबसे छोटा कोण है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
गणना करने पर,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = 30^{\circ}$.
सबसे छोटे कोण का स्पर्शज्या $\tan 30^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।

(D) हमें व्यंजक $a[b \cos C - c \cos B]$ दिया गया है।
त्रिभुज के लिए प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$।
इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(b \cos C + c \cos B)(b \cos C - c \cos B)$ प्राप्त होता है।
यह $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ के रूप में है,इसलिए यह $b^2 \cos^2 C - c^2 \cos^2 B$ में सरल हो जाता है।
वैकल्पिक रूप से,कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $a \left[ b \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \right) \right]$।
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2a} - \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2a} \right]$।
$= a \left[ \frac{a^2 + b^2 - c^2 - a^2 - c^2 + b^2}{2a} \right]$।
$= a \left[ \frac{2b^2 - 2c^2}{2a} \right] = b^2 - c^2$।

(B) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$a = k \sin A$,$b = k \sin B$,और $c = k \sin C$।
चूंकि $C = 2A$,हमारे पास $\sin C = \sin 2A = 2 \sin A \cos A$ है।
$2b = a + c$ से,हमें $2 \sin B = \sin A + \sin C$ प्राप्त होता है।
$B = 180^{\circ} - (A + C) = 180^{\circ} - 3A$ का उपयोग करते हुए,$\sin B = \sin 3A$ है।
अतः,$2 \sin 3A = \sin A + \sin 2A$।
$2(3 \sin A - 4 \sin^3 A) = \sin A + 2 \sin A \cos A$।
$\sin A$ से विभाजित करने पर $(\sin A \neq 0)$: $6 - 8 \sin^2 A = 1 + 2 \cos A$।
$6 - 8(1 - \cos^2 A) = 1 + 2 \cos A \Rightarrow 8 \cos^2 A - 2 \cos A - 3 = 0$।
$(4 \cos A - 3)(2 \cos A + 1) = 0$।
चूंकि $A$ एक त्रिभुज का कोण है,$\cos A = \frac{3}{4}$।
तब $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin A}{2 \sin A \cos A} = \frac{1}{2 \cos A} = \frac{1}{2(3/4)} = \frac{2}{3}$।

(A) $\triangle ABC$ के कोण समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
चूँकि $A+B+C=180^{\circ}$ और $2B=A+C$,इसलिए $3B=180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B=60^{\circ}$।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$।
$B=60^{\circ}$ प्रतिस्थापित करने पर,$\cos 60^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{1}{2} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$।
दोनों पक्षों को $2ac$ से गुणा करने पर,$ac = a^2+c^2-b^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$b^2 = a^2+c^2-ac$।

(C) दिया गया है कि $\triangle ABC$ के कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $A+C = 2B$।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos B = \frac{AB^2 + BC^2 - AC^2}{2 \times AB \times BC}$
दिए गए मान $AB=6, BC=7, B=60^{\circ}$ रखने पर और $AC=x$ मानने पर:
$\cos 60^{\circ} = \frac{6^2 + 7^2 - x^2}{2 \times 6 \times 7}$
$\frac{1}{2} = \frac{36 + 49 - x^2}{84}$
$42 = 85 - x^2$
$x^2 = 85 - 42 = 43$
$x = \sqrt{43}$
अतः,$AC = \sqrt{43}$।

(B) $\triangle ABC$ में,माना $a, b, c$ भुजाओं की लंबाई हैं और $p_1, p_2, p_3$ संगत शीर्षलंब हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ है।
इससे $p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $p_1, p_2, p_3$ $AP$ में हैं,इसलिए $\frac{2\Delta}{a}, \frac{2\Delta}{b}, \frac{2\Delta}{c}$ $AP$ में हैं।
$2\Delta$ से विभाजित करने पर,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ $AP$ में हैं।
हरात्मक श्रेणी (Harmonic Progression) की परिभाषा के अनुसार,यदि पदों के व्युत्क्रम $AP$ में हैं,तो वे पद $HP$ में होते हैं।
अतः,$a, b, c$ $HP$ में हैं।

(D) दिया गया है $\tan \frac{A}{2}+\tan \frac{C}{2}=\frac{b}{s}$.
सर्वसमिका $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin \frac{A+C}{2}}{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{C}{2}} = \frac{b}{s}$.
$\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$ और $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin \frac{A+C}{2}}{\sin \frac{B}{2}} = 1$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin \frac{B}{2} = \cos \frac{A+C}{2}$ होता है।
अतः,$\tan \frac{A+C}{2} = 1$,जिसका अर्थ है $A+C = \frac{\pi}{2}$.
अंत में,$\sin \left(\frac{A+C}{3}\right) = \sin \left(\frac{\pi}{6}\right) = \frac{1}{2}$.

(C) दिया गया व्यंजक $(\cot A+\cot B)(\cot B+\cot C)(\cot C+\cot A)$ है।
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ का उपयोग करने पर:
$= \left(\frac{\cos A}{\sin A} + \frac{\cos B}{\sin B}\right) \left(\frac{\cos B}{\sin B} + \frac{\cos C}{\sin C}\right) \left(\frac{\cos C}{\sin C} + \frac{\cos A}{\sin A}\right)$
$= \left(\frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B}\right) \left(\frac{\sin(B+C)}{\sin B \sin C}\right) \left(\frac{\sin(C+A)}{\sin C \sin A}\right)$
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\sin(A+B) = \sin C$,$\sin(B+C) = \sin A$,और $\sin(C+A) = \sin B$ है।
मान रखने पर:
$= \left(\frac{\sin C}{\sin A \sin B}\right) \left(\frac{\sin A}{\sin B \sin C}\right) \left(\frac{\sin B}{\sin C \sin A}\right)$
$= \frac{\sin A \sin B \sin C}{(\sin A \sin B \sin C)^2} = \frac{1}{\sin A \sin B \sin C}$
$= \operatorname{cosec} A \operatorname{cosec} B \operatorname{cosec} C$.

(A) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$ होता है।
अंश $\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ है।
हर $\cos A + \cos B + \cos C - 1 = 4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}$ है।
अतः,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{4 \sin A \sin B \sin C}{4 \sin \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \sin \frac{C}{2}} = 8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
हम यह भी जानते हैं कि $\sin A + \sin B + \sin C = 4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ होता है।
इसलिए,$8 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2} = 2 [4 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}] = 2 [\sin A + \sin B + \sin C]$.

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
दिया है $4r_1 = 5r_2 = 6r_3 = \lambda$।
अतः $s-a = \frac{\lambda}{4}$,$s-b = \frac{\lambda}{5}$,और $s-c = \frac{\lambda}{6}$।
योग करने पर: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$।
अतः,$s = \lambda(\frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \frac{1}{6}) = \frac{37\lambda}{60}$।
इसलिए $a = s - (s-a) = \frac{22\lambda}{60}$,$b = \frac{25\lambda}{60}$,$c = \frac{27\lambda}{60}$।
सूत्र $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ आदि का उपयोग करने पर,योग $\frac{25}{33}$ प्राप्त होता है।

(B) त्रिभुज $ABC$ में,$A+B+C = \pi$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} + \frac{C}{2} = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $\frac{A}{2} + \frac{B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों का टेंजेंट लेने पर: $\tan(\frac{A}{2} + \frac{B}{2}) = \tan(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cot \frac{C}{2}$.
सर्वसमिका $\tan(x+y) = \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x \tan y}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}}{1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}} = \frac{1}{\tan \frac{C}{2}}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर: $\tan \frac{C}{2}(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}) = 1 - \tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2}$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\tan \frac{A}{2} \tan \frac{B}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{C}{2} \tan \frac{A}{2} = 1$.

(A) $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi \Rightarrow A+B = \pi - C$.
$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 2 \sin(A+B) \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
चूँकि $\sin(A+B) = \sin(\pi - C) = \sin C$,इसलिए:
$= 2 \sin C \cos(A-B) + 2 \sin C \cos C$.
$= 2 \sin C [\cos(A-B) + \cos C]$.
चूँकि $\cos C = \cos(\pi - (A+B)) = -\cos(A+B)$,इसलिए:
$= 2 \sin C [\cos(A-B) - \cos(A+B)]$.
सर्वसमिका $\cos(A-B) - \cos(A+B) = 2 \sin A \sin B$ का उपयोग करने पर:
$= 2 \sin C [2 \sin A \sin B] = 4 \sin A \sin B \sin C$.

(C) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है।
हमें $2ac \sin \frac{1}{2}(A-B+C)$ का मान ज्ञात करना है।
चूंकि $A+C = 180^{\circ}-B$,इसे व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2ac \sin \frac{1}{2}(180^{\circ}-B-B) = 2ac \sin \frac{1}{2}(180^{\circ}-2B)$
$= 2ac \sin (90^{\circ}-B)$
$= 2ac \cos B$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ होता है।
यह मान रखने पर:
$= 2ac \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = a^2+c^2-b^2$.

(A) दिया गया है,$\cos A + \cos B + \cos C = \frac{3}{2}$.
हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ के लिए,$\cos A + \cos B + \cos C$ का अधिकतम मान $\frac{3}{2}$ होता है,जो केवल तभी संभव है जब $A = B = C = 60^{\circ}$ या $\frac{\pi}{3}$ रेडियन हो।
चूंकि $A = B = C = \frac{\pi}{3}$,तीनों कोण बराबर हैं।
इसलिए,$\triangle ABC$ एक समबाहु त्रिभुज है।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(C) दिया गया है कि $H$,$\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है और $AH=x, BH=y, CH=z$ है।
किसी भी त्रिभुज में,लंबकेंद्र से शीर्षों की दूरी $AH=2R \cos A$,$BH=2R \cos B$,और $CH=2R \cos C$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
अतः,$x=2R \cos A, y=2R \cos B, z=2R \cos C$ है।
हम जानते हैं कि $a=2R \sin A, b=2R \sin B, c=2R \sin C$ है।
इसलिए,$\frac{a}{x} = \frac{2R \sin A}{2R \cos A} = \tan A$ है।
इसी प्रकार,$\frac{b}{y} = \tan B$ और $\frac{c}{z} = \tan C$ है।
हमें $\frac{abc}{xyz} = \frac{a}{x} \cdot \frac{b}{y} \cdot \frac{c}{z} = \tan A \tan B \tan C$ का मान ज्ञात करना है।
किसी भी त्रिभुज में,$\tan A + \tan B + \tan C = \tan A \tan B \tan C$ होता है।
अतः,$\frac{abc}{xyz} = \tan A + \tan B + \tan C = \frac{a}{x} + \frac{b}{y} + \frac{c}{z}$ है।

(B) माना कोण $3x, 2x, x$ हैं।
चूँकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $3x + 2x + x = 180^{\circ}$।
$6x = 180^{\circ} \Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $A = 90^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,भुजाओं का अनुपात $a: b: c = \sin A: \sin B: \sin C$ है।
$a: b: c = \sin 90^{\circ}: \sin 60^{\circ}: \sin 30^{\circ}$।
$a: b: c = 1: \frac{\sqrt{3}}{2}: \frac{1}{2}$।
$2$ से गुणा करने पर,$a: b: c = 2: \sqrt{3}: 1$ प्राप्त होता है।

(B) माना भुजाएँ $c = 6k$,$a = 4k$,और $b = 5k$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{6k + 4k + 5k}{2} = \frac{15k}{2}$ है।
हेरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{15k}{2} \times \frac{7k}{2} \times \frac{5k}{2} \times \frac{3k}{2}} = \frac{15\sqrt{7}k^2}{4}$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{8k}{\sqrt{7}}$ है।
अंतःवृत्त त्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{7}k}{2}$ है।
अतः,$\frac{R}{r} = \frac{16}{7}$।

(C) दिया गया है: $r_1: r_2 = 7: 8$ और $r_1: r_3 = 3: 4$।
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
अतः,$\frac{1}{s-a}: \frac{1}{s-b}: \frac{1}{s-c} = r_1: r_2: r_3$।
सबसे पहले,अनुपात $r_1: r_2: r_3$ ज्ञात करें:
$r_1: r_2 = 7: 8 = 21: 24$
$r_1: r_3 = 3: 4 = 21: 28$
अतः,$r_1: r_2: r_3 = 21: 24: 28$।
मान लीजिए $s-a = \frac{k}{21}$,$s-b = \frac{k}{24}$,और $s-c = \frac{k}{28}$।
इनका योग करने पर: $(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = 3s - 2s = s$।
अतः,$s = k(\frac{1}{21} + \frac{1}{24} + \frac{1}{28}) = k(\frac{8+7+6}{168}) = k(\frac{21}{168}) = \frac{k}{8}$।
अब,$a = s - (s-a) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{21}) = k(\frac{21-8}{168}) = \frac{13k}{168}$।
$b = s - (s-b) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{24}) = k(\frac{3-1}{24}) = \frac{2k}{24} = \frac{14k}{168}$।
$c = s - (s-c) = k(\frac{1}{8} - \frac{1}{28}) = k(\frac{7-2}{56}) = \frac{5k}{56} = \frac{15k}{168}$।
इसलिए,$a: b: c = 13: 14: 15$।

(C) माना भुजाएँ $a = 13, b = 14, c = 15$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{13 + 14 + 15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{13 \times 14 \times 15}{4 \times 84} = \frac{2730}{336} = \frac{65}{8}$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{84}{21} = 4$.
अब,$8R - r = 8 \times \left(\frac{65}{8}\right) - 4 = 65 - 4 = 61$.

(B) ज्या (Sine) नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$b = k \sin B$ और $c = k \sin C$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$(b+c) \sin \frac{A}{2} = k(\sin B + \sin C) \sin \frac{A}{2}$.
योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin B + \sin C = 2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}$ का उपयोग करने पर:
$= k \left[ 2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2} \right] \sin \frac{A}{2}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{B+C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{A}{2}$,जिससे $\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
$= k \left[ 2 \cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2} \right] \sin \frac{A}{2}$.
$= k \left[ 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2} \right] \cos \frac{B-C}{2}$.
$= k \sin A \cos \frac{B-C}{2}$.
चूंकि $a = k \sin A$,इसलिए व्यंजक $a \cos \frac{B-C}{2}$ हो जाता है।

(C) दिया गया है $a - 2b + c = 0$,अतः $a + c = 2b$.
सूत्र $\cot \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$.
तब $\cot \left(\frac{A}{2}\right) \cdot \cot \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \frac{s}{s-b}$.
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर:
$\frac{s}{s-b} = \frac{\frac{a+b+c}{2}}{\frac{a+b+c}{2} - b} = \frac{a+b+c}{a+b+c-2b} = \frac{a+b+c}{a-b+c}$.
चूंकि $a+c = 2b$,इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{(a+c)+b}{(a+c)-b} = \frac{2b+b}{2b-b} = \frac{3b}{b} = 3$.

(C) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \times \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-b)^2}} = \frac{s}{s-b}$.
दिया है $a+c=5b$,अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{5b+b}{2} = 3b$.
$s = 3b$ का मान रखने पर,$\frac{s}{s-b} = \frac{3b}{3b-b} = \frac{3b}{2b} = \frac{3}{2}$.

(C) दिया गया अनुपात $\frac{b}{c} = \frac{(\sqrt{3}+1)^2+2(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{3}+1)^2-2(\sqrt{2}-1)}$ है।
पदों का विस्तार करने पर: $(\sqrt{3}+1)^2 = 4+2\sqrt{3}$.
अतः,$\frac{b}{c} = \frac{2+2\sqrt{3}+2\sqrt{2}}{6+2\sqrt{3}-2\sqrt{2}} = \frac{1+\sqrt{3}+\sqrt{2}}{3+\sqrt{3}-\sqrt{2}}$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{\sin B}{\sin C} = \frac{b}{c} = \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 45^{\circ}}$.
चूंकि $A=30^{\circ}$,इसलिए $B+C=150^{\circ}$.
इस अनुपात से,$B=75^{\circ}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$ है।
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होता है।
माना $\frac{\Delta}{s-a} = \frac{2\Delta}{s-b} = \frac{3\Delta}{s-c} = \frac{1}{K}$ है।
अतः $s-a = K$,$s-b = 2K$,और $s-c = 3K$ होगा।
इनका योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = K + 2K + 3K = 6K$ प्राप्त होता है।
$3s - (a+b+c) = 6K$ $\Rightarrow 3s - 2s = 6K$ $\Rightarrow s = 6K$।
इस प्रकार,$a = s - K = 5K$,$b = s - 2K = 4K$,और $c = s - 3K = 3K$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\sin A : \sin B : \sin C = a : b : c = 5K : 4K : 3K = 5 : 4 : 3$।

(B) दिया गया है $(a+c)^2 = b^2 + 3ca$,बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $a^2 + c^2 + 2ac = b^2 + 3ca$.
पुनर्व्यवस्थित करने पर $a^2 + c^2 - b^2 = ca$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{ca}{2ac} = \frac{1}{2}$.
अतः,$B = 60^{\circ}$,जिसका अर्थ है कि $\frac{B}{2} = 30^{\circ}$.
साइन नियम का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{2R} = \sin A$ और $\frac{c}{2R} = \sin C$,इसलिए $\frac{a+c}{2R} = \sin A + \sin C$.
योग-से-गुणनफल सूत्र का उपयोग करते हुए,$\sin A + \sin C = 2 \sin \left(\frac{A+C}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,$\frac{A+C}{2} = 90^{\circ} - \frac{B}{2}$.
इसलिए,$\frac{a+c}{2R} = 2 \sin \left(90^{\circ} - \frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \cos \left(\frac{B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$.
$B/2 = 30^{\circ}$ रखने पर,हमें $2 \cos 30^{\circ} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = \sqrt{3} \cos \left(\frac{A-C}{2}\right)$ प्राप्त होता है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = K$ है।
अतः,$a = K \sin A$ और $b = K \sin B$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a^2 \sin 2B + b^2 \sin 2A = (K \sin A)^2 (2 \sin B \cos B) + (K \sin B)^2 (2 \sin A \cos A)$
$= 2K^2 \sin A \sin B (\sin A \cos B + \cos A \sin B)$
$= 2(K \sin A)(K \sin B) \sin(A + B)$
$= 2ab \sin(A + B)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\sin(A + B) = \sin(\pi - C) = \sin C$ है।
अतः,व्यंजक का मान $2ab \sin C$ है।

(A) दिया है $\angle B=60^{\circ}$ और $\angle A=75^{\circ}$।
$\triangle ABC$ में,$\angle C = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 75^{\circ}) = 45^{\circ}$।
माना $\angle BAD = \theta$ और $\angle CAD = \phi$ है।
$\triangle ABD$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{AD}{\sin 60^{\circ}} = \frac{BD}{\sin \theta} \implies \frac{AD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta}$ ... $(i)$
$\triangle ADC$ में ज्या नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{AD}{\sin 45^{\circ}} = \frac{CD}{\sin \phi} \implies \frac{AD}{CD} = \frac{\sin 45^{\circ}}{\sin \phi}$ ... (ii)
$(i)$ को (ii) से विभाजित करने पर:
$\frac{CD}{BD} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin \theta} \times \frac{\sin \phi}{\sin 45^{\circ}}$
दिया है $\frac{BD}{CD} = \frac{2}{3}$,इसलिए $\frac{CD}{BD} = \frac{3}{2}$।
$\frac{3}{2} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 45^{\circ}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} \times \frac{\sin \phi}{\sin \theta}$
$\frac{\sin \phi}{\sin \theta} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
अतः,$\frac{\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD} = \frac{\sin \theta}{\sin \phi} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।

(A) दिया गया है: $a^2 \sin^2 \frac{C}{2} + c^2 \sin^2 \frac{A}{2} = \frac{b^2}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ और $\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a^2 \left( \frac{(s-a)(s-b)}{ab} \right) + c^2 \left( \frac{(s-b)(s-c)}{bc} \right) = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{a(s-a)(s-b)}{b} + \frac{c(s-b)(s-c)}{b} = \frac{b^2}{2}$
$\Rightarrow \frac{s-b}{b} [a(s-a) + c(s-c)] = \frac{b^2}{2}$
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $s-b = \frac{a+c-b}{2}$।
सरल करने पर $a+c = 2b$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,यानी $a+c : b = 2 : 1$।

(D) माना $s-a = 2k$,$s-b = 3k$,और $s-c = 4k$ है। इन सभी को जोड़ने पर $3s - (a+b+c) = 9k$ प्राप्त होता है। चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = 9k$,अर्थात $s = 9k$।
अतः $a = s - 2k = 7k$,$b = s - 3k = 6k$,और $c = s - 4k = 5k$।
सूत्र $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ और $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{b^2+c^2-a^2}{a^2+b^2-c^2}$।
मान रखने पर:
$\frac{\cot A}{\cot C} = \frac{(6k)^2 + (5k)^2 - (7k)^2}{(7k)^2 + (6k)^2 - (5k)^2} = \frac{36k^2 + 25k^2 - 49k^2}{49k^2 + 36k^2 - 25k^2} = \frac{12k^2}{60k^2} = \frac{1}{5}$।
अतः $\cot A : \cot C = 1 : 5$।

(D) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = k$ है।
$\sin A = ak$,$\sin B = bk$,और $\sin C = ck$ को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(ak + bk)(ak - bk) = ck(bk + ck)$
$k^2(a^2 - b^2) = k^2(bc + c^2)$
$a^2 - b^2 = bc + c^2$
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$।
$a^2 = b^2 + c^2 + bc$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - (b^2 + c^2 + bc)}{2bc} = \frac{-bc}{2bc} = -\frac{1}{2}$।
चूंकि $\cos A = -\frac{1}{2}$,इसलिए $A = 120^{\circ}$ है।

(C) हम जानते हैं कि बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ हैं।
साथ ही,$\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$r_1 \cot \frac{A}{2} + r_2 \cot \frac{B}{2} + r_3 \cot \frac{C}{2} = \left( \frac{\Delta}{s-a} \cdot \frac{s(s-a)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-b} \cdot \frac{s(s-b)}{\Delta} \right) + \left( \frac{\Delta}{s-c} \cdot \frac{s(s-c)}{\Delta} \right)$
$= s + s + s = 3s$.

(B) हम जानते हैं कि $r = (s-a) \tan(A/2) = (s-b) \tan(B/2) = (s-c) \tan(C/2)$ और $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,$r_3 = s \tan(C/2)$ है।
अतः,$r_1 - r = s \tan(A/2) - (s-a) \tan(A/2) = a \tan(A/2)$ है।
इस प्रकार,$\frac{r_1-r}{a} = \tan(A/2)$ है।
इसी प्रकार,$\frac{r_2-r}{b} = \tan(B/2)$ और $\frac{r_3-r}{c} = \tan(C/2)$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर,हमें $s[\tan(A/2) + \tan(B/2) + \tan(C/2)]$ प्राप्त होता है।
चूंकि $r_1 = s \tan(A/2)$,$r_2 = s \tan(B/2)$,और $r_3 = s \tan(C/2)$ है,इसलिए यह व्यंजक $r_1 + r_2 + r_3$ हो जाता है।

(A) ज्या नियम (Law of Sines) का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
दिया गया है: $a=7, b=6, A=120^{\circ}$.
$\sin B = \frac{b \sin A}{a} = \frac{6 \sin 120^{\circ}}{7}$.
चूंकि $\sin 120^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.
$\sin B = \frac{6 \times 0.866}{7} = \frac{5.196}{7} \approx 0.7423$.
$B = \arcsin(0.7423) \approx 47.9^{\circ}$.

(C) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$ और $b = k \sin B$ है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a-b}{a+b} = \frac{k \sin A - k \sin B}{k \sin A + k \sin B} = \frac{\sin A - \sin B}{\sin A + \sin B}$
योग-से-गुणनफल सूत्रों का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \sin \left(\frac{A-B}{2}\right)}{2 \sin \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)}$
$= \cot \left(\frac{A+B}{2}\right) \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$।
अतः,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(90^{\circ} - \frac{C}{2}\right) = \tan \frac{C}{2}$।
इस प्रकार,$\frac{a-b}{a+b} = \tan \frac{C}{2} \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$।

(A) दिया गया है: $a=2, b=3, \sin A=\frac{2}{3}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
मान रखने पर: $\frac{2}{2/3} = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow 3 = \frac{3}{\sin B}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
अतः,$B = \frac{\pi}{2}$.