Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$AB=BC$ और $\frac{AX}{XB} = \frac{AB}{AX} = k$ है।
चूंकि $AB = AX + XB$,हमारे पास $\frac{AB}{AX} = \frac{AX+XB}{AX} = 1 + \frac{XB}{AX} = 1 + \frac{1}{k}$ है।
अतः,$k = 1 + \frac{1}{k} \Rightarrow k^2 - k - 1 = 0$।
चूंकि $k > 0$,$k = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$।
तब $\frac{AX}{AB} = \frac{1}{k} = \frac{2}{1+\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}-1}{2}$।
मान लीजिए $\angle ABC = \theta$। चूंकि $AB=BC$,$\angle BAC = \angle BCA = \frac{180^{\circ}-\theta}{2} = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$।
$\triangle AXC$ में,$AC=AX$,इसलिए $\angle AXC = \angle ACX = \angle BCA = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$।
तब $\angle XAC = 180^{\circ} - 2(90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) = \theta$।
चूंकि $\angle BAC = 90^{\circ} - \frac{\theta}{2}$,हमारे पास $\angle BAX = \angle BAC - \angle XAC = (90^{\circ} - \frac{\theta}{2}) - \theta = 90^{\circ} - \frac{3\theta}{2}$ है।
$\triangle BAX$ में,ज्या नियम (Law of Sines) द्वारा: $\frac{AX}{\sin \theta} = \frac{AB}{\sin(90^{\circ}-\frac{\theta}{2})}$।
$\frac{AX}{AB} = \frac{\sin \theta}{\cos(\theta/2)} = \frac{2\sin(\theta/2)\cos(\theta/2)}{\cos(\theta/2)} = 2\sin(\theta/2)$।
$\frac{AX}{AB}$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $2\sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{2} \Rightarrow \sin(\theta/2) = \frac{\sqrt{5}-1}{4} = \sin 18^{\circ}$।
इसलिए,$\frac{\theta}{2} = 18^{\circ} \Rightarrow \theta = 36^{\circ}$।

(A) दिया गया है कि $ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle C=90^{\circ}$ है।
$CD \perp AB$,$DM \parallel BC$ और $DN \parallel AC$ है।
$DMCN$ एक आयत है,इसलिए $MC = DN = 4$ और $NC = DM = 5$ है।
त्रिभुज की समरूपता का उपयोग करने पर,$AC = AM + MC = \frac{25}{4} + 4 = \frac{41}{4}$ और $BC = BN + NC = \frac{16}{5} + 5 = \frac{41}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया है,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है जहाँ $\angle A = 90^{\circ}$ है।
$AC = \sqrt{5}$,$AB = \sqrt{7}$।
$\triangle ABC$ में,$BC^2 = AB^2 + AC^2 = 7 + 5 = 12$,अतः $BC = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$।
माना $PA = 3x$ और $PB = 4x$ है। $\triangle ABP$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) से:
$PA^2 = AB^2 + PB^2 - 2(AB)(PB)\cos B$
$(3x)^2 = (\sqrt{7})^2 + (4x)^2 - 2(\sqrt{7})(4x)\cos B$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7}\cos B$
चूँकि $\cos B = \frac{AB}{BC} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}$,इसलिए:
$9x^2 = 7 + 16x^2 - 8x\sqrt{7} \left(\frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{3}}\right)$
$9x^2 = 7 + 16x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}}$
$7x^2 - \frac{28x}{\sqrt{3}} + 7 = 0$
$\sqrt{3}x^2 - 4x + \sqrt{3} = 0$
$(x - \sqrt{3})(\sqrt{3}x - 1) = 0$
चूँकि $P$,$BC$ पर स्थित है,$PB < BC$,अतः $x = \frac{1}{\sqrt{3}}$।
$PB = 4x = \frac{4}{\sqrt{3}}$।
$PC = BC - PB = 2\sqrt{3} - \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$।
अतः,$BP:PC = \frac{4}{\sqrt{3}} : \frac{2}{\sqrt{3}} = 2:1$।

(C) माना $AD = CD = x$ है। तब $AC = 2x$ और $AB = 2x$ (चूँकि $AB = AC$ है)।
$\triangle BCD$ में,कोसाइन नियम के अनुसार:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2(BC)(CD)\cos C$
$2^2 = 2^2 + x^2 - 2(2)(x)\cos C$
$4 = 4 + x^2 - 4x\cos C \Rightarrow \cos C = \frac{x}{4}$।
चूँकि $AB = AC$ है,$\angle B = \angle C$,इसलिए $\cos B = \cos C = \frac{x}{4}$।
$\triangle ABC$ में,$\angle A = 180^\circ - 2C$ है। अतः,$\cos A = \cos(180^\circ - 2C) = -\cos(2C) = -(2\cos^2 C - 1) = 1 - 2(\frac{x^2}{16}) = 1 - \frac{x^2}{8}$।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2(AB)(AC)\cos A$
$2^2 = (2x)^2 + (2x)^2 - 2(2x)(2x)(1 - \frac{x^2}{8})$
$4 = 4x^2 + 4x^2 - 8x^2(1 - \frac{x^2}{8})$
$4 = 8x^2 - 8x^2 + x^4$
$x^4 = 4$ $\Rightarrow x^2 = 2$ $\Rightarrow x = \sqrt{2}$।
इस प्रकार,$AC = 2\sqrt{2}$ और $BC = 2$ है।
$\cos C = \frac{\sqrt{2}}{4} = \frac{1}{2\sqrt{2}}$।
$\sin C = \sqrt{1 - \cos^2 C} = \sqrt{1 - \frac{1}{8}} = \sqrt{\frac{7}{8}} = \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}}$।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times AC \times BC \times \sin C = \frac{1}{2} \times 2\sqrt{2} \times 2 \times \frac{\sqrt{7}}{2\sqrt{2}} = \sqrt{7}$।

(B) माना $BE$ और $CF$ क्रमशः $B$ और $C$ से भुजाओं $AC$ और $AB$ पर शीर्षलंब हैं।
दिया है कि $BE \geq AC$ और $CF \geq AB$ है।
$\triangle ABE$ में,$\sin A = \frac{BE}{AB} \implies BE = AB \sin A$ है।
चूंकि $BE \geq AC$,इसलिए $AB \sin A \geq AC \dots (i)$ है।
$\triangle ACF$ में,$\sin A = \frac{CF}{AC} \implies CF = AC \sin A$ है।
चूंकि $CF \geq AB$,इसलिए $AC \sin A \geq AB \dots (ii)$ है।
$(i)$ और $(ii)$ का गुणा करने पर,$(AB \cdot AC) \sin^2 A \geq (AB \cdot AC) \implies \sin^2 A \geq 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\sin A \leq 1$,इसका अर्थ है कि $\sin^2 A = 1$,अतः $\sin A = 1$,जिसका अर्थ है $A = 90^{\circ}$।
$A = 90^{\circ}$ को $(i)$ और $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $AB \geq AC$ और $AC \geq AB$ प्राप्त होता है,इसलिए $AB = AC$ है।
अतः,त्रिभुज के कोण $90^{\circ}, 45^{\circ}, 45^{\circ}$ हैं।

(D) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a=1$,$b$,और $c$ हैं। संगत शीर्षलंब $h_a$,$h_b$,और $h_c$ हैं। क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a h_a = \frac{1}{2} b h_b = \frac{1}{2} c h_c$ है।
दिया है $h_a = 1 \cdot h_a$ और $h_b = 2 h_a$। चूँकि $h_a = \frac{2\Delta}{1}$ और $h_b = \frac{2\Delta}{b}$ है,सबसे लंबा शीर्षलंब सबसे छोटे का दोगुना होने की शर्त के अनुसार $b=2$ या $c=2$ प्राप्त होता है।
$1, 2, c$ भुजाओं वाले त्रिभुज के लिए,त्रिभुज असमिका के अनुसार $2-1 < c < 2+1$,अर्थात $1 < c < 3$ है। चूँकि $c$ एक पूर्णांक है,$c=2$ होगा।
भुजाएँ $1, 2, 2$ हैं। यह एक समद्विबाहु त्रिभुज है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{1+2+2}{2} = \frac{5}{2}$ है।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{\frac{5}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{15}}{4}$ है।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{\sqrt{15}/4}{5/2} = \frac{\sqrt{15}}{10}$ है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 2}{4 \cdot \sqrt{15}/4} = \frac{4}{\sqrt{15}}$ है।
अतः $\frac{R}{r} = \frac{4/\sqrt{15}}{\sqrt{15}/10} = \frac{40}{15} = \frac{8}{3}$ है।
इस प्रकार $m=8$ और $n=3$ है। चूँकि $m, n$ सह-अभाज्य हैं,$m+n = 8+3 = 11$ है।

(C) दिया गया है $\cos 3A + \cos 3B + \cos 3C = 1$।
त्रिभुज में जहाँ $A+B+C = \pi$ है,यह व्यंजक $1 - 4 \cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 1$ में सरल हो जाता है।
इसका अर्थ है $\cos \frac{3A}{2} \cos \frac{3B}{2} \cos \frac{3C}{2} = 0$।
अतः,एक कोण $\frac{3A}{2} = \frac{\pi}{2}$,$\frac{3B}{2} = \frac{\pi}{2}$,या $\frac{3C}{2} = \frac{\pi}{2}$ को संतुष्ट करता है।
इससे $A = \frac{2\pi}{3}$ प्राप्त होता है।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \sqrt{3}$ दी गई है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,भुजा $a = 2R \sin A = 2(\sqrt{3}) \sin \frac{2\pi}{3} = 2\sqrt{3} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 3$।
चूंकि $A$ सबसे बड़ा कोण है,इसलिए $a$ सबसे लंबी भुजा है।
अतः,सबसे लंबी भुजा की लंबाई $3$ है।

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos 30^{\circ} = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \Rightarrow \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2+16-8}{2 \cdot a \cdot 4}$
$\Rightarrow a^2 - 4\sqrt{3}a + 8 = 0$
यहाँ $a_1$ और $a_2$ भुजा $BC$ की दो संभावित लंबाईयाँ हैं। अतः $a_1+a_2 = 4\sqrt{3}$ और $a_1a_2 = 8$ है।
अंतर $|a_1-a_2| = \sqrt{(a_1+a_2)^2 - 4a_1a_2} = \sqrt{48-32} = 4$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}ac \sin B$ होता है।
क्षेत्रफलों का अंतर $|\Delta_1 - \Delta_2| = \frac{1}{2}c \sin B |a_1-a_2| = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot 4 = 4$ है।

(B) $\angle C$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos(C) = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\cos(\frac{\pi}{6}) = \frac{(x^2+x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (2x+1)^2}{2(x^2+x+1)(x^2-1)}$
सरल करने पर,हमें $x = 1+\sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
भुजा की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $b = x^2-1 > 0 \implies x > 1$। अतः,$x = 1+\sqrt{3}$ सही हल है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ द्वारा दिया जाता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$15 \sqrt{3} = \frac{1}{2} \times 6 \times 10 \times \sin C$,जो सरल होकर $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ हो जाता है।
चूंकि $\angle ACB$ अधिक कोण है,इसलिए $C = 120^{\circ}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 6^2 + 10^2 - 2(6)(10) \cos 120^{\circ} = 36 + 100 - 120(-0.5) = 136 + 60 = 196$,अतः $c = 14$।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{6+10+14}{2} = 15$।
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\Delta}{s} = \frac{15 \sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}$।
अतः,$r^2 = (\sqrt{3})^2 = 3$।

(B) दिया है: $PQ = 10\sqrt{3}$,$QR = 10$,और $\angle PQR = 30^{\circ}$.
$PR$ ज्ञात करने के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$PR^2 = PQ^2 + QR^2 - 2(PQ)(QR)\cos(30^{\circ})$
$PR^2 = (10\sqrt{3})^2 + 10^2 - 2(10\sqrt{3})(10)\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$PR^2 = 300 + 100 - 300 = 100$
$PR = 10$.
चूंकि $PR = QR = 10$,त्रिभुज समद्विबाहु है जिसमें $\angle QPR = \angle PQR = 30^{\circ}$.
अतः,$\angle QRP = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 30^{\circ}) = 120^{\circ}$. इस प्रकार,कथन $(B)$ सत्य है।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times PQ \times QR \times \sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2} \times 10\sqrt{3} \times 10 \times \frac{1}{2} = 25\sqrt{3}$.
अर्ध-परिमाप $s = \frac{10\sqrt{3} + 10 + 10}{2} = 5\sqrt{3} + 10$.
अंतःत्रिज्या $r = \frac{\text{Area}}{s} = \frac{25\sqrt{3}}{5\sqrt{3} + 10} = \frac{5\sqrt{3}}{\sqrt{3} + 2} = \frac{5\sqrt{3}(2 - \sqrt{3})}{4 - 3} = 10\sqrt{3} - 15$. इस प्रकार,कथन $(C)$ सत्य है।
परित्रिज्या $R = \frac{abc}{4\Delta} = \frac{10\sqrt{3} \times 10 \times 10}{4 \times 25\sqrt{3}} = \frac{1000\sqrt{3}}{100\sqrt{3}} = 10$.
परिवृत्त का क्षेत्रफल = $\pi R^2 = \pi(10)^2 = 100\pi$. इस प्रकार,कथन $(D)$ सत्य है।
अतः,कथन $(B), (C), (D)$ सत्य हैं।

(B) दी गई भुजाएँ $c = AB = \sqrt{23}$,$a = BC = 3$ और $b = CA = 4$ हैं।
भुजाओं और क्षेत्रफल $\Delta$ के संदर्भ में $\cot$ के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\cot A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}$,और $\cot C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}$.
अब,व्यंजक की गणना करें:
$\frac{\cot A + \cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2 + c^2 - a^2}{4\Delta} + \frac{a^2 + b^2 - c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2 + c^2 - b^2}{4\Delta}}$
$= \frac{b^2 + c^2 - a^2 + a^2 + b^2 - c^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
$= \frac{2b^2}{a^2 + c^2 - b^2}$
मान $a = 3$,$b = 4$,$c = \sqrt{23}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2(4^2)}{3^2 + (\sqrt{23})^2 - 4^2}$
$= \frac{2(16)}{9 + 23 - 16}$
$= \frac{32}{32 - 16} = \frac{32}{16} = 2$.

(B) माना कि $a$ और $b$ त्रिभुज की दो भुजाओं की लंबाई हैं।
दी गई शर्त के अनुसार,$a+b=x$ और $ab=y$ है।
दिया गया है $x^2-c^2=y$,अतः $x=a+b$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+b)^2-c^2=ab$
$a^2+b^2+2ab-c^2=ab$
$a^2+b^2-c^2=-ab$
$2ab$ से भाग देने पर:
$\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = -\frac{1}{2}$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ होता है।
इसलिए,$\cos C = -\frac{1}{2}$।
चूँकि $C$ त्रिभुज का एक कोण है,$C = 120^\circ$ या $\frac{2\pi}{3}$ रेडियन होगा।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2\sin C}$ द्वारा दी जाती है।
$R = \frac{c}{2\sin(120^\circ)} = \frac{c}{2(\frac{\sqrt{3}}{2})} = \frac{c}{\sqrt{3}}$।

(A) सबसे पहले,त्रिभुज का अर्ध-परिमाप $s$ ज्ञात करें:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
हीरोन के सूत्र का उपयोग करते हुए,क्षेत्रफल $\Delta$ है:
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \times 8 \times 7 \times 6} = \sqrt{7056} = 84$.
हम जानते हैं कि क्षेत्रफल का सूत्र $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ है।
मान रखने पर: $84 = \frac{1}{2} \times 14 \times 15 \times \sin A$.
$84 = 105 \sin A$.
$\sin A = \frac{84}{105} = \frac{4}{5}$.

(B) कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = 4^2 + 8^2 - 2(4)(8) \cos 60^{\circ} = 16 + 64 - 64(0.5) = 48$
$c = \sqrt{48} = 4\sqrt{3}$
साइन नियम का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\sin B = \frac{b \sin C}{c} = \frac{8 \sin 60^{\circ}}{4\sqrt{3}} = 1$
अतः,$\angle B = 90^{\circ}$
$\angle A = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ}$
अनुपात $\cos A : \cos C = \cos 30^{\circ} : \cos 60^{\circ} = \sqrt{3} : 1$

(B) दी गई व्यंजक $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ है।
इसे $E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$.
अंश का विस्तार करने पर: $E = \frac{b^2 + c^2 + 2bc - a^2}{bc} = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{bc} + 2$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$,इसलिए $b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर: $E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$.
चूंकि $A = 30^{\circ}$ दिया गया है,$\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$E = 2(\frac{\sqrt{3}}{2}) + 2 = \sqrt{3} + 2$.

(A) त्रिभुज का परिमाप $P = a + b + c$ है। इसके कोणों के ज्या का माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दिया गया है कि $a + b + c = 6 \times \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$,जहाँ $R$ परिवृत्त की त्रिज्या है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $2R(\sin A + \sin B + \sin C) = 2(\sin A + \sin B + \sin C)$.
इसका अर्थ है कि $2R = 2$,अतः $R = 1$.
चूँकि $a = 2R \sin A$ और $a = 1$,हमारे पास $1 = 2(1) \sin A$ है।
इसलिए,$\sin A = \frac{1}{2}$,जिससे $A = \frac{\pi}{6}$ या $A = \frac{5\pi}{6}$ प्राप्त होता है।
ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ में,हम $A = \frac{\pi}{6}$ चुनते हैं।

(B) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$।
यदि $a=10, b=9$ है,तो $9^2 = 10^2 + c^2 - 2(10)(c) \cos 60^{\circ} \implies 81 = 100 + c^2 - 10c \implies c^2 - 10c + 19 = 0$।
$c$ के लिए हल करने पर: $c = 5 \pm \sqrt{6}$।
परिमाप $= 10 + 9 + 5 + \sqrt{6} = 24 + \sqrt{6}$।

(B) ज्या (Sine) के नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$ है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{5}{3/4} = \frac{7}{\sin B}$।
$\frac{20}{3} = \frac{7}{\sin B} \implies \sin B = \frac{21}{20}$।
चूंकि $\sin B$ का मान $\le 1$ होना चाहिए और $\frac{21}{20} > 1$ है,इसलिए ऐसा कोई कोण $B$ संभव नहीं है।
अतः,दिए गए मापदंडों के साथ कोई भी त्रिभुज $ABC$ नहीं बनाया जा सकता है।

(A) चूंकि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$ है।
$A + B + C = 180^{\circ}$ होने के कारण,$3B = 180^{\circ}$,जिससे $B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$।
अतः,$\frac{a}{b} \sin 2B + \frac{b}{a} \sin 2A = \frac{\sin A}{\sin B} \sin 2B + \frac{\sin B}{\sin A} \sin 2A = 2 \sin A \cos B + 2 \sin B \cos A = 2 \sin(A + B)$।
चूंकि $A + B = 180^{\circ} - C$,इसलिए $2 \sin(180^{\circ} - C) = 2 \sin C$।
$A+C = 120^{\circ}$ होने के कारण,$2 \sin(A+B) = 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(C) दी गई व्यंजक $E = \left(1+\frac{a}{c}+\frac{b}{c}\right)\left(1+\frac{c}{b}-\frac{a}{b}\right)$ है।
पदों को सरल करने पर,$E = \left(\frac{c+a+b}{c}\right)\left(\frac{b+c-a}{b}\right)$ प्राप्त होता है।
इसे $E = \frac{(b+c)+a}{c} \times \frac{(b+c)-a}{b} = \frac{(b+c)^2 - a^2}{bc}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अंश का विस्तार करने पर,$E = \frac{b^2+c^2+2bc-a^2}{bc} = \frac{b^2+c^2-a^2}{bc} + 2$ प्राप्त होता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,इसलिए $b^2+c^2-a^2 = 2bc \cos A$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$E = \frac{2bc \cos A}{bc} + 2 = 2 \cos A + 2$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\angle A = 30^{\circ}$ दिया गया है,इसलिए $\cos 30^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ होता है।
अतः,$E = 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2 = \sqrt{3} + 2$।

(A) माना $AB = c$,$AC = b$,और $BC = a$ है। माना $\angle BAD = \alpha$ और $\angle CAD = \beta$ है।
$\triangle ABD$ में,ज्या नियम (sine rule) से: $\frac{BD}{\sin \alpha} = \frac{c}{\sin \angle ADB} \implies \sin \alpha = \frac{BD \sin \angle ADB}{c}$।
$\triangle ACD$ में,ज्या नियम से: $\frac{CD}{\sin \beta} = \frac{b}{\sin \angle ADC} \implies \sin \beta = \frac{CD \sin \angle ADC}{c}$।
चूंकि $\angle ADB + \angle ADC = \pi$,इसलिए $\sin \angle ADB = \sin \angle ADC$।
अतः,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{BD}{CD} \cdot \frac{b}{c}$।
दिया है $BD:CD = 1:3$,इसलिए $BD/CD = 1/3$।
$\triangle ABC$ में ज्या नियम से,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \implies \frac{b}{c} = \frac{\sin(\pi/3)}{\sin(\pi/4)} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$\frac{\sin \alpha}{\sin \beta} = \frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{6}}$।

(B) त्रिभुज $ABC$ के कोण $2:3:7$ के अनुपात में हैं। माना सामान्य गुणक $x$ है।
$\angle A = 2x, \angle B = 3x, \angle C = 7x$.
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $2x + 3x + 7x = 180^{\circ} \implies 12x = 180^{\circ} \implies x = 15^{\circ}$.
अतः,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 45^{\circ}, \angle C = 105^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
मान रखने पर: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 45^{\circ}} = \frac{c}{\sin 105^{\circ}}$.
हम जानते हैं कि $\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$,$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,और $\sin 105^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$.
इसलिए,$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{1/\sqrt{2}} = \frac{c}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})}$.
$\frac{1}{2}$ से गुणा करने पर,$\frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{b}{2} = \frac{c}{\sqrt{3}+1}$.
अतः,$a:b:c = \sqrt{2}: 2: (\sqrt{3}+1)$.

(C) दिया गया है: $m \angle A = 45^{\circ}, m \angle B = 75^{\circ}$.
त्रिभुज के तीनों कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $m \angle C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 75^{\circ}) = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
अतः,$a = k \sin 45^{\circ} = \frac{k}{\sqrt{2}}$,$b = k \sin 75^{\circ} = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{2\sqrt{2}}$,और $c = k \sin 60^{\circ} = \frac{k\sqrt{3}}{2}$.
अब,$a + c\sqrt{2} = \frac{k}{\sqrt{2}} + \frac{k\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{k(1 + \sqrt{3})}{\sqrt{2}}$.
$b$ के मान से,$2b = \frac{k(\sqrt{3} + 1)}{\sqrt{2}}$.
अतः,$a + c\sqrt{2} = 2b$.

(C) दिया गया है कि कोण $A, B, C$ $A.P.$ में हैं,इसलिए $A+C = 2B$। चूँकि $A+B+C = 180^{\circ}$ है,इसलिए $3B = 180^{\circ}$,जिससे $B = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,हमारे पास $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$ है।
मान रखने पर,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$।
यह सरल होकर $\sin C = \frac{\sqrt{3}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है।
अतः,$C = 45^{\circ}$।
अंत में,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$।

(D) माना त्रिभुज के कोण $5x, x, 6x$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $5x + x + 6x = 180^{\circ}$,जिससे $12x = 180^{\circ}$ और $x = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
कोण $75^{\circ}, 15^{\circ}, 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin 75^{\circ}} = \frac{b}{\sin 15^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}} = k$ है।
सबसे छोटी भुजा $b$ है और सबसे बड़ी भुजा $c$ है।
अनुपात $\frac{b}{c} = \frac{\sin 15^{\circ}}{\sin 90^{\circ}} = \frac{\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}}{1} = \sqrt{3}-1 : 2\sqrt{2}$।

(C) हम जानते हैं कि किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,$A+B+C = \pi$ होता है।
अतः,$A+C = \pi - B$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$2 ac \sin \left(\frac{A-B+C}{2}\right) = 2 ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right)$
$= 2 ac \sin \left(\frac{\pi}{2} - B\right)$
$= 2 ac \cos B$
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
यह मान रखने पर:
$= 2 ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right)$
$= a^2+c^2-b^2$.

(B) माना $a, b, c$ क्रमशः शीर्ष $A, B, C$ के सम्मुख भुजाओं की लंबाई हैं। यहाँ,$a = 3$,$b = 4$,और $c = \sqrt{23}$ है।
कोटैंजेंट नियम का उपयोग करते हुए,$\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$,$\cot B = \frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}$,और $\cot C = \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,$\frac{\cot A+\cot C}{\cot B} = \frac{\frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta} + \frac{a^2+b^2-c^2}{4\Delta}}{\frac{a^2+c^2-b^2}{4\Delta}} = \frac{b^2+c^2-a^2+a^2+b^2-c^2}{a^2+c^2-b^2} = \frac{2b^2}{a^2+c^2-b^2}$.
मान रखने पर: $a^2 = 9$,$b^2 = 16$,$c^2 = 23$.
$\frac{2(16)}{9+23-16} = \frac{32}{16} = 2$.

(D) माना $a = \sqrt{3}+1$,$b = \sqrt{3}-1$,और $C = 60^{\circ}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$c^2 = (\sqrt{3}+1)^2 + (\sqrt{3}-1)^2 - 2(\sqrt{3}+1)(\sqrt{3}-1) \cos 60^{\circ}$
$c^2 = (3+1+2\sqrt{3}) + (3+1-2\sqrt{3}) - 2(3-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 8 - 2 = 6 \implies c = \sqrt{6}$।
टैंजेंट नियम का उपयोग करने पर:
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{(\sqrt{3}+1) - (\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1) + (\sqrt{3}-1)} \cot(30^{\circ})$
$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{2}{2\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$।
अतः,$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \implies A-B = 90^{\circ}$।

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\sin 60^{\circ}}{6} = \frac{\sin B}{8}$
चूंकि $B = \sin^{-1} x$,इसलिए $\sin B = x$ है।
$\frac{\sqrt{3}/2}{6} = \frac{x}{8}$
$\frac{\sqrt{3}}{12} = \frac{x}{8}$
$x = \frac{8\sqrt{3}}{12} = \frac{2\sqrt{3}}{3} = \frac{2}{\sqrt{3}}$

(D) कोसाइन नियम के अनुसार,हमारे पास है:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = (\sqrt{3})^2 + (1)^2 - 2(\sqrt{3})(1) \cos(30^{\circ})$
$a^2 = 3 + 1 - 2\sqrt{3} \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$a^2 = 4 - 3 = 1$
$\therefore a = 1$
यहाँ $b = \sqrt{3} \approx 1.732$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $\angle B$ है।
$\angle B$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2(1)(1)} = \frac{1 + 1 - 3}{2} = -\frac{1}{2}$
$\therefore B = 120^{\circ}$

(D) माना कोण $x, 2x, 3x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,त्रिभुज के कोण $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
मान रखने पर,$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$।
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$।
$1/2$ से गुणा करने पर,$a : b : c = \sin 30^{\circ} : \sin 60^{\circ} : \sin 90^{\circ} = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$।
पूरे अनुपात को $2$ से गुणा करने पर,$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$।

(D) माना कि $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$.
तब $\sin A = \frac{a}{k}$,$\sin B = \frac{b}{k}$,और $\sin C = \frac{c}{k}$.
त्रिभुज का परिमाप $a+b+c$ है।
कोणों के ज्या का समांतर माध्य $\frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3}$ है।
दी गई जानकारी के अनुसार,$a+b+c = 6 \times \left( \frac{\sin A + \sin B + \sin C}{3} \right)$.
मान रखने पर,$a+b+c = 2(\sin A + \sin B + \sin C) = 2 \left( \frac{a+b+c}{k} \right)$.
अतः,$1 = \frac{2}{k}$,जिसका अर्थ है $k = 2$.
चूँकि $\sin A = \frac{a}{k}$ और $a=1$,इसलिए $\sin A = \frac{1}{2}$.
अतः,$A = \frac{\pi^c}{6}$.

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ के कोण $A, B, C$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2B = A + C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $B = 60^{\circ}$ और $A + C = 120^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} = k$,इसलिए $a = k \sin A$ और $c = k \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a}{c} \sin 2C + \frac{c}{a} \sin 2A = \frac{k \sin A}{k \sin C} (2 \sin C \cos C) + \frac{k \sin C}{k \sin A} (2 \sin A \cos A)$
$= 2 \sin A \cos C + 2 \sin C \cos A$
$= 2(\sin A \cos C + \cos A \sin C)$
$= 2 \sin(A + C)$
$= 2 \sin(120^{\circ}) = 2 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$।

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+B = \pi-C$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2ab \sin \frac{1}{2}(A+B-C) = 2ab \sin \frac{1}{2}((\pi-C)-C)$
$= 2ab \sin \frac{1}{2}(\pi-2C) = 2ab \sin (\frac{\pi}{2}-C)$
$= 2ab \cos C$
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
अतः,$2ab \cos C = 2ab \left(\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}\right) = a^2+b^2-c^2$.

(A) हम ज्या नियम (Sine Rule) जानते हैं: $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}$.
इसका अर्थ है $a \sin B = b \sin A$ ... $(1)$.
हमें शर्त दी गई है: $a \cos B = b \cos A$ ... $(2)$.
समीकरण $(1)$ को समीकरण $(2)$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{a \sin B}{a \cos B} = \frac{b \sin A}{b \cos A} \Rightarrow \tan B = \tan A$.
चूंकि $A$ और $B$ त्रिभुज के कोण हैं,इसलिए $A = B$.
अतः,त्रिभुज एक समद्विबाहु त्रिभुज है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$b = k \sin B$ और $c = k \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
सर्वसमिका $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B - C) \sin(B + C)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{k \sin(B - C) \sin(B + C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
चूंकि $A + B + C = \pi$,इसलिए $\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$।
अतः,व्यंजक $k \sin A = a$ हो जाता है।

(C) दिया गया है $\frac{\sin A}{\sin C} = \frac{\sin (A-B)}{\sin (B-C)}$.
तिर्यक गुणा करने पर: $\sin A \sin (B-C) = \sin C \sin (A-B)$.
$\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर:
$\sin A (\sin B \cos C - \cos B \sin C) = \sin C (\sin A \cos B - \cos A \sin B)$.
$\sin A \sin B \cos C - \sin A \cos B \sin C = \sin C \sin A \cos B - \sin C \cos A \sin B$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $\sin A \sin B \cos C + \sin C \cos A \sin B = 2 \sin A \cos B \sin C$.
$\sin B (\sin A \cos C + \cos A \sin C) = 2 \sin A \cos B \sin C$.
चूंकि $\sin A \cos C + \cos A \sin C = \sin(A+C) = \sin(\pi - B) = \sin B$,इसलिए:
$\sin^2 B = 2 \sin A \sin C \cos B$.
कोसाइन नियम $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ और साइन नियम का उपयोग करने पर:
$\frac{b^2}{ac} = 2 \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) = \frac{a^2+c^2-b^2}{ac}$.
$b^2 = a^2+c^2-b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2+c^2$.
अतः,$a^2, b^2, c^2$ $AP$ में हैं।

(A) सर्वसमिका $\cos 2\theta = 1 - 2\sin^2\theta$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार हो जाता है:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2}\right)$
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = k$,जिसका अर्थ है $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{1}{k}$.
अतः,$\frac{\sin^2 A}{a^2} = \frac{\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{k^2}$.
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\left(\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}\right) - 2\left(\frac{1}{k^2} - \frac{1}{k^2}\right) = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$
$a=2$ और $b=3$ दिया गया है:
$\frac{1}{2^2} - \frac{1}{3^2} = \frac{1}{4} - \frac{1}{9} = \frac{9-4}{36} = \frac{5}{36}$

(B) माना $\triangle ABC$ के कोण $A = 45^{\circ}$,$B = 60^{\circ}$ और $C$ हैं।
त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,$C = 180^{\circ} - (45^{\circ} + 60^{\circ}) = 75^{\circ}$।
सबसे छोटा कोण $45^{\circ}$ और सबसे बड़ा कोण $75^{\circ}$ है।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,सबसे छोटी भुजा और सबसे बड़ी भुजा का अनुपात $\frac{\sin 45^{\circ}}{\sin 75^{\circ}}$ होगा।
$\sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।
अनुपात = $\frac{1/\sqrt{2}}{(\sqrt{3}+1)/(2\sqrt{2})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$।
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,हमारे पास है: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{c}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\sin A}{3} = \frac{(2/3)}{2}$
$\frac{\sin A}{3} = \frac{1}{3}$
$\sin A = 1$
अतः,$A = 90^{\circ} = \frac{\pi}{2}$.

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जिसका अर्थ है $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$।
दी गई शर्त $\frac{\cos A}{a} = \frac{\cos B}{b} = \frac{\cos C}{c}$ में $a, b, c$ के मान रखने पर:
$\frac{\cos A}{2R \sin A} = \frac{\cos B}{2R \sin B} = \frac{\cos C}{2R \sin C}$।
इसे सरल करने पर $\cot A = \cot B = \cot C$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A, B, C$ त्रिभुज के कोण हैं,$\cot A = \cot B = \cot C$ का अर्थ है $A = B = C$।
अतः,यह त्रिभुज एक समबाहु त्रिभुज है।

(D) दिया गया है $a=\sqrt{3}+1$,$b=\sqrt{3}-1$,$m \angle C=60^{\circ}$.
टैंजेंट नियम (नेपियर की सादृश्यता) का उपयोग करते हुए: $\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left( \frac{C}{2} \right)$.
मान रखने पर: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{(\sqrt{3}+1)-(\sqrt{3}-1)}{(\sqrt{3}+1)+(\sqrt{3}-1)} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
$\tan \left( \frac{A-B}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot \left( \frac{60^{\circ}}{2} \right) = \frac{1}{\sqrt{3}} \cot(30^{\circ}) = \frac{1}{\sqrt{3}} \times \sqrt{3} = 1$.
$\frac{A-B}{2} = 45^{\circ} \Rightarrow A-B = 90^{\circ}$.

(C) दिया गया समीकरण: $2 \cos C = \sin B \cdot \operatorname{cosec} A$
चूंकि $\operatorname{cosec} A = \frac{1}{\sin A}$,इसलिए $2 \cos C = \frac{\sin B}{\sin A}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर,$\frac{\sin B}{\sin A} = \frac{b}{a}$।
अतः,$2 \cos C = \frac{b}{a}$।
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करने पर,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $2 \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right) = \frac{b}{a}$।
$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{ab} = \frac{b}{a}$।
दोनों पक्षों को $ab$ से गुणा करने पर,$a^2 + b^2 - c^2 = b^2$ प्राप्त होता है।
$a^2 - c^2 = 0 \Rightarrow a^2 = c^2$।
चूंकि $a$ और $c$ भुजाओं की लंबाई हैं,इसलिए $a = c$।

(D) दिया गया है कि $A, B, C$ $A$.$P$. में हैं,इसलिए $2B = A + C$।
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,$A + C = 2B$ प्रतिस्थापित करने पर $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$,हमारे पास $\sin C = \frac{c}{b} \sin B$ है।
$b:c = \sqrt{3}:\sqrt{2}$ दिया गया है,इसलिए $\frac{c}{b} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$।
अतः,$\sin C = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
इसलिए,$C = 45^{\circ}$।
अंत में,$A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 180^{\circ} - 105^{\circ} = 75^{\circ}$।

(B) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\angle C = 90^{\circ}$,इसलिए $A+B = 90^{\circ} \Rightarrow B = 90^{\circ}-A$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = k \sin A$ और $b = k \sin B$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}} \sin (A-B) = \frac{\sin^{2} A + \sin^{2} B}{\sin^{2} A - \sin^{2} B} \sin (A-B)$.
चूंकि $B = 90^{\circ}-A$,$\sin B = \cos A$ और $\cos B = \sin A$.
अतः,$\sin^{2} A + \sin^{2} B = \sin^{2} A + \cos^{2} A = 1$.
और $\sin^{2} A - \sin^{2} B = \sin^{2} A - \cos^{2} A = -\cos 2A$.
साथ ही,$\sin (A-B) = \sin (A - (90^{\circ}-A)) = \sin (2A - 90^{\circ}) = -\cos 2A$.
इन मानों को रखने पर:
$\frac{1}{-\cos 2A} \cdot (-\cos 2A) = 1$.

(A) मुख्य विचार: ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करें,अर्थात $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$.
दिया गया है,$\sin B \sin C = \frac{bc}{a^2}$.
ज्या नियम से,$\sin B = \frac{b}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$.
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\frac{b}{2R}\right) \left(\frac{c}{2R}\right) = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow \frac{bc}{4R^2} = \frac{bc}{a^2}$
$\Rightarrow 4R^2 = a^2$
$\Rightarrow a = 2R$.
चूंकि $\frac{a}{\sin A} = 2R$,इसलिए $\frac{2R}{\sin A} = 2R$,जिसका अर्थ है $\sin A = 1$.
अतः,$A = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$ है।
अतः,$b = k \sin B$ और $c = k \sin C$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{b \sin B - c \sin C}{\sin (B - C)} = \frac{(k \sin B) \sin B - (k \sin C) \sin C}{\sin (B - C)}$
$= \frac{k(\sin^2 B - \sin^2 C)}{\sin (B - C)}$
सर्वसमिका $\sin^2 B - \sin^2 C = \sin(B + C) \sin(B - C)$ का उपयोग करते हुए:
$= \frac{k \sin(B + C) \sin(B - C)}{\sin (B - C)}$
$= k \sin(B + C)$
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,इसलिए $B + C = 180^{\circ} - A$।
$= k \sin(180^{\circ} - A) = k \sin A$
$= a$.

(A) माना $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
तब $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,और $a+b = 13k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 36k$,अतः $a+b+c = 18k$.
$a+b+c = 18k$ में से समीकरणों को घटाने पर:
$a = 18k - 11k = 7k$.
$b = 18k - 12k = 6k$.
$c = 18k - 13k = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{5}$.
$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{19}{35}$.
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{5}{7}$.
अतः,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = 6+2\sqrt{3}$,$b = 4\sqrt{3}$,और $c = 2\sqrt{6}$ हैं।
सबसे छोटी भुजा $c = 2\sqrt{6}$ है,इसलिए सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
गणना करने पर,$\cos C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$C = \frac{\pi}{6}$।