Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(D) मान लीजिए त्रिभुज की भुजाएँ $a = \sqrt{3}-2$ और $b = \sqrt{3}+2$ हैं,और उनके बीच का कोण $C = 60^{\circ}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,तीसरी भुजा $c$ इस प्रकार है:
$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$
$c^2 = (\sqrt{3}-2)^2 + (\sqrt{3}+2)^2 - 2(\sqrt{3}-2)(\sqrt{3}+2) \cos(60^{\circ})$
$c^2 = (3 + 4 - 4\sqrt{3}) + (3 + 4 + 4\sqrt{3}) - 2(3 - 4) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 7 - 4\sqrt{3} + 7 + 4\sqrt{3} - 2(-1) \times \frac{1}{2}$
$c^2 = 14 + 1 = 15$
$c = \sqrt{15}$ इकाइयाँ।

(A) दिया गया समीकरण: $a^4+b^4+c^4-2a^2c^2-2c^2b^2=0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a^2+b^2-c^2)^2 = 2a^2b^2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर: $a^2+b^2-c^2 = \pm \sqrt{2}ab$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \pm \frac{\sqrt{2}ab}{2ab} = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अतः,$C = 45^{\circ}$ या $C = 135^{\circ}$.
विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $135^{\circ}$ है।

(A) नेपियर के सादृश्य का उपयोग करते हुए,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
चूंकि $a=5, b=4$,इसलिए $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = 2\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) - 1 = \frac{31}{32}$ से $\cos^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{63}{64}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{63}$,जिसका अर्थ है $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
सूत्र में मान रखने पर,$\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$,जिससे $\cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$ प्राप्त होता है।
अब $\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
अतः,$c = 6$.

(C) दिया गया है $\cos \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{c+a}{2a}}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{c+a}{2a}$.
अर्ध-कोण सूत्र $\cos^2 \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{ac}$ का उपयोग करने पर,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ अर्ध-परिमाप है।
अतः,$\frac{s(s-b)}{ac} = \frac{c+a}{2a}$.
दोनों पक्षों को $2ac$ से गुणा करने पर,$2s(s-b) = c(c+a)$.
$2s = a+b+c$ और $s-b = \frac{a+c-b}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(a+b+c) \times \frac{a+c-b}{2} = c(c+a)$.
$(a+c+b)(a+c-b) = 2c(c+a)$.
$(a+c)^2 - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 + c^2 + 2ac - b^2 = 2c^2 + 2ac$.
$a^2 - b^2 = c^2$.
अतः,$a^2 = b^2 + c^2$.

(C) ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ है। दिए गए समीकरण में ये मान रखने पर:
$\frac{2 \cos A}{2R \sin A} + \frac{\cos B}{2R \sin B} + \frac{2 \cos C}{2R \sin C} = \frac{2R \sin A}{(2R \sin B)(2R \sin C)} + \frac{2R \sin B}{(2R \sin C)(2R \sin A)}$
$\frac{1}{R} (\cot A + \frac{1}{2} \cot B + \cot C) = \frac{1}{2R} (\frac{\sin A}{\sin B \sin C} + \frac{\sin B}{\sin C \sin A})$
$2R$ से गुणा करने पर:
$2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin A \sin B \sin C}$
$\sin^2 A + \sin^2 B = \sin^2(A+B) = \sin^2 C$ का उपयोग करने पर,दायां पक्ष $\frac{\sin^2 C}{\sin A \sin B \sin C} = \frac{\sin C}{\sin A \sin B} = \frac{\sin(A+B)}{\sin A \sin B} = \cot B + \cot A$ हो जाता है।
मान रखने पर: $2 \cot A + \cot B + 2 \cot C = \cot B + \cot A$
$\cot A + 2 \cot C = 0$।
त्रिभुज के गुणों के अनुसार,इससे $\angle A = \frac{\pi}{2}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण $(a+b+c)(a+b-c) = 3ab$ है।
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर,$((a+b)+c)((a+b)-c) = 3ab$ प्राप्त होता है।
यह $(a+b)^2 - c^2 = 3ab$ में सरल हो जाता है।
$(a+b)^2$ का विस्तार करने पर,$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = 3ab$ मिलता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a^2 + b^2 - c^2 = ab$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $2ab$ से विभाजित करने पर,$\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{ab}{2ab} = \frac{1}{2}$ मिलता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$ होता है।
अतः,$\cos C = \frac{1}{2}$।
चूँकि $\cos C = \frac{1}{2}$,इसलिए $\angle C = \frac{\pi}{3}$ या $60^\circ$ है।

(A) हम जानते हैं कि त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a p_1 = \frac{1}{2} b p_2 = \frac{1}{2} c p_3$ होता है।
अतः,$p_1 = \frac{2\Delta}{a}$,$p_2 = \frac{2\Delta}{b}$,और $p_3 = \frac{2\Delta}{c}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{p_1} + \frac{\cos B}{p_2} + \frac{\cos C}{p_3} = \frac{a \cos A}{2\Delta} + \frac{b \cos B}{2\Delta} + \frac{c \cos C}{2\Delta}$।
ज्या नियम (sine rule) $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A + 2R \sin B \cos B + 2R \sin C \cos C}{2\Delta}$
$= \frac{R(\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C)}{2\Delta}$।
किसी भी त्रिभुज में,$\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C = 4 \sin A \sin B \sin C$ होता है।
साथ ही,$\Delta = 2R^2 \sin A \sin B \sin C$,इसलिए $\sin A \sin B \sin C = \frac{\Delta}{2R^2}$।
यह मान रखने पर:
$= \frac{R(4 \cdot \frac{\Delta}{2R^2})}{2\Delta} = \frac{2R \Delta / R^2}{2\Delta} = \frac{1}{R}$।

(C) माना $\frac{b+c}{11} = \frac{c+a}{12} = \frac{a+b}{13} = k$.
तब $b+c = 11k$,$c+a = 12k$,और $a+b = 13k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 36k$,अतः $a+b+c = 18k$.
योग से व्यक्तिगत समीकरणों को घटाने पर:
$a = (a+b+c) - (b+c) = 18k - 11k = 7k$.
$b = (a+b+c) - (c+a) = 18k - 12k = 6k$.
$c = (a+b+c) - (a+b) = 18k - 13k = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर,$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर: $\cos B = \frac{(7k)^2 + (5k)^2 - (6k)^2}{2(7k)(5k)} = \frac{49k^2 + 25k^2 - 36k^2}{70k^2} = \frac{38k^2}{70k^2} = \frac{19}{35}$.

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a=3$,$b=5$,और $c=7$ हैं।
चूँकि सबसे बड़ी भुजा $c=7$ है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $\angle C$ होगा।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{3^2 + 5^2 - 7^2}{2 \times 3 \times 5} = \frac{9 + 25 - 49}{30} = \frac{-15}{30} = -\frac{1}{2}$.
अतः,$\angle C = \arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$.

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करके,हम भुजा $a$ ज्ञात करते हैं:
$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$
$a^2 = 3^2 + 8^2 - 2(3)(8) \cos 60^{\circ}$
$a^2 = 9 + 64 - 48 \times \frac{1}{2}$
$a^2 = 73 - 24 = 49$
$a = 7$
साइन नियम का उपयोग करके,परिवृत्त त्रिज्या $R$ इस प्रकार है:
$R = \frac{a}{2 \sin A}$
$R = \frac{7}{2 \sin 60^{\circ}}$
$R = \frac{7}{2 \times \frac{\sqrt{3}}{2}}$
$R = \frac{7}{\sqrt{3}}$

(C) दिया गया समीकरण: $a \cdot \cos^2 \frac{C}{2} + c \cdot \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos(2\theta)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{1 + \cos C}{2} \right) + c \left( \frac{1 + \cos A}{2} \right) = \frac{3b}{2}$
$2$ से गुणा करने पर:
$a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A) = 3b$
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$
प्रक्षेप सूत्र $b = a \cos C + c \cos A$ का उपयोग करने पर:
$a + c + b = 3b$
$a + c = 2b$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac}$ और $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$c(a \cos B - b \cos A) = c \left( a \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ac} \right) - b \left( \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \right) \right)$
$= c \left( \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2c} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2c} \right)$
$= \frac{c^2 + a^2 - b^2 - b^2 - c^2 + a^2}{2}$
$= \frac{2a^2 - 2b^2}{2} = a^2 - b^2$

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2+a^2-b^2}{2ca}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}+\frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{b^2+c^2-a^2+c^2+a^2-b^2+a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$
यहाँ $a=2, b=3, c=5$ दिया गया है,इसलिए $\frac{2^2+3^2+5^2}{2(2)(3)(5)} = \frac{4+9+25}{60} = \frac{38}{60} = \frac{19}{30}$।

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$ है।
अतः,$b^2 + c^2 - a^2 = 2bc \cos A$ और $a^2 + c^2 - b^2 = 2ac \cos B$ है।
इन मानों को दिए गए व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{c^2 - a^2 + b^2}{a^2 - b^2 + c^2} = \frac{2bc \cos A}{2ac \cos B} = \frac{b \cos A}{a \cos B}$ प्राप्त होता है।
साइन नियम के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = 2R$,इसलिए $a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ है।
इन मानों को रखने पर:
$= \frac{(2R \sin B) \cos A}{(2R \sin A) \cos B} = \frac{\sin B \cos A}{\sin A \cos B} = \frac{\tan B}{\tan A}$।

(A) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\cos 60^{\circ} = \frac{3^{2}+c^{2}-4^{2}}{2(3)(c)}$
$\frac{1}{2} = \frac{9+c^{2}-16}{6c}$
$\frac{1}{2} = \frac{c^{2}-7}{6c}$
$3c = c^{2}-7$
$c^{2}-3c-7 = 0$

(C) हमें व्यंजक $\frac{\cos A-\cos C}{a-c}+\frac{\cos B}{b}$ दिया गया है।
लघुत्तम समापवर्त्य लेने पर,हमें $\frac{b(\cos A-\cos C) + (a-c)\cos B}{b(a-c)}$ प्राप्त होता है।
अंश का विस्तार करने पर,$\frac{b \cos A - b \cos C + a \cos B - c \cos B}{b(a-c)}$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$\frac{(a \cos B + b \cos A) - (b \cos C + c \cos B)}{b(a-c)}$ प्राप्त होता है।
प्रक्षेप सूत्र $c = a \cos B + b \cos A$ और $a = b \cos C + c \cos B$ का उपयोग करने पर,व्यंजक $\frac{c - a}{b(a-c)}$ बन जाता है।
चूंकि $c - a = -(a - c)$,इसलिए सरल करने पर $\frac{-(a - c)}{b(a - c)} = \frac{-1}{b}$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है $\cos A = \frac{\sin B}{\sin C}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,हमारे पास $\sin B = \frac{b}{2R}$ और $\sin C = \frac{c}{2R}$ है।
इन्हें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\cos A = \frac{b/2R}{c/2R} = \frac{b}{c}$.
कोज्या नियम (Cosine Rule) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{b}{c}$.
दोनों पक्षों को $2bc$ से गुणा करने पर: $b^2 + c^2 - a^2 = 2b^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $c^2 = a^2 + b^2$.
पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार,यह त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(C) माना त्रिभुज की भुजाएँ $5x$,$12x$,और $13x$ हैं।
चूँकि $5^2 + 12^2 = 13^2$,यह एक समकोण त्रिभुज है।
समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 5x \times 12x = 30x^2$.
दिया गया है कि क्षेत्रफल $270$ है,इसलिए $30x^2 = 270$.
$x^2 = 9$,जिसका अर्थ है $x = 3$.
भुजाएँ $5(3) = 15$,$12(3) = 36$,और $13(3) = 39$ हैं।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।
त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\tan \frac{A}{2} \cdot \tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)} \cdot \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} = \sqrt{\frac{(s-b)^2}{s^2}} = \frac{s-b}{s}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2}$ और $a+c = 2b$ है,इसलिए $s = \frac{2b+b}{2} = \frac{3b}{2}$ है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,$\frac{s-b}{s} = \frac{\frac{3b}{2} - b}{\frac{3b}{2}} = \frac{\frac{b}{2}}{\frac{3b}{2}} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$ है।
इनका गुणा करने पर,$\cot \frac{A}{2} \cdot \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \frac{s}{s-b}$ प्राप्त होता है।
दिया गया है $3b = a + c$,हम जानते हैं कि $2s = a + b + c = 3b + b = 4b$,इसलिए $s = 2b$ है।
$s = 2b$ को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{2b}{2b - b} = \frac{2b}{b} = 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \frac{5}{6}$ और $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{2}{5}$।
सूत्र $\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \left(\frac{C}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए।
इनका गुणा करने पर,$\tan \left(\frac{A}{2}\right) \tan \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{s-b}{s} = \frac{5}{6} \times \frac{2}{5} = \frac{1}{3}$।
अतः,$3(s-b) = s \implies 3s - 3b = s \implies 2s = 3b$।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $a+b+c = 3b \implies a+c = 2b$।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ $A$.$P$. में हैं।

(C) त्रिभुज $ABC$ में नेपियर की सादृश्यता (Napier's Analogy) के अनुसार:
$\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = \frac{b-c}{b+c} \cot \frac{A}{2}$
दिए गए समीकरण $\tan \left(\frac{B-C}{2}\right) = x \cot \frac{A}{2}$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x = \frac{b-c}{b+c}$
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) सर्वसमिका $\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{s-a}$ का उपयोग करने पर।
दिया गया है कि $3a = b + c$,इसलिए $2s = a + b + c = a + 3a = 4a$,अर्थात $s = 2a$।
इस मान को सर्वसमिका में रखने पर:
$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) अर्ध-कोण सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{(s-b)(s-c)}}$ का उपयोग करते हुए।
दिया है $\cot \frac{A}{2} = \frac{b+c}{a}$,ज्या नियम $a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,$c = 2R \sin C$ का उपयोग करने पर।
तब $\frac{b+c}{a} = \frac{\sin B + \sin C}{\sin A} = \frac{2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,$\sin \frac{B+C}{2} = \cos \frac{A}{2}$.
अतः,$\frac{b+c}{a} = \frac{\cos \frac{A}{2} \cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}} = \frac{\cos \frac{B-C}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$.
इसे $\cot \frac{A}{2} = \frac{\cos \frac{A}{2}}{\sin \frac{A}{2}}$ के बराबर रखने पर,हमें $\cos \frac{B-C}{2} = \cos \frac{A}{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$,इसलिए $\cos \frac{B-C}{2} = \sin \frac{B+C}{2}$.
यह दर्शाता है कि $\cos \frac{B-C}{2} = \cos (\frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}) = \cos (\frac{A}{2})$.
इससे $\frac{B-C}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{B+C}{2}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $B = \frac{\pi}{2}$,अर्थात त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है।

(A) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,$\cot \frac{B}{2} = \frac{s(s-b)}{\Delta}$,और $\cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{\Delta}$ है।
इनका योग करने पर,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s}{\Delta} [(s-a) + (s-b) + (s-c)]$ प्राप्त होता है।
यह सरल होकर $\frac{s}{\Delta} [3s - (a+b+c)]$ हो जाता है।
चूंकि $a+b+c = 2s$,इसलिए व्यंजक $\frac{s}{\Delta} [3s - 2s] = \frac{s^2}{\Delta}$ बन जाता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $b \sin C(b \cos C + c \cos B) = 42$ है।
प्रक्षेप नियम (projection rule) का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $a = b \cos C + c \cos B$ होता है।
इस मान को अभिव्यक्ति में रखने पर,हमें $b \sin C(a) = 42$ प्राप्त होता है।
यह $ab \sin C = 42$ में सरल हो जाता है।
त्रिभुज $ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} ab \sin C$ द्वारा दिया जाता है।
क्षेत्रफल के सूत्र में $ab \sin C = 42$ का मान रखने पर,हमें $\Delta = \frac{1}{2} \times 42 = 21 \text{ वर्ग इकाई}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $\sin \frac{A}{2} \sin \frac{C}{2} = \sin \frac{B}{2}$.
त्रिभुज के गुणों का उपयोग करने पर,यह संबंध $a+c = 3b$ की ओर ले जाता है।
परिमाप $2s = a+b+c = 3b+b = 4b$ होता है।
अतः,$s = 2b$.

(B) त्रिभुज $ABC$ में,हम जानते हैं कि $A+B+C = \pi$,इसलिए $\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}$.
अतः,$\cot \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}\right) = \tan \left(\frac{C}{2}\right)$.
अब,व्यंजक $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \tan \left(\frac{A-B}{2}\right)$ हो जाता है।
नेपियर की सादृश्यता (Napier's Analogy) का उपयोग करते हुए,$\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$.
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \left[ \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot \left[ \tan \left(\frac{C}{2}\right) \cdot \cot \left(\frac{C}{2}\right) \right] = \frac{a-b}{a+b} \cdot 1 = \frac{a-b}{a+b}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया समीकरण: $(a+b) \cos C + (b+c) \cos A + (c+a) \cos B = 72$
पदों का विस्तार करने पर: $a \cos C + b \cos C + b \cos A + c \cos A + c \cos B + a \cos B = 72$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(a \cos C + c \cos A) + (b \cos A + a \cos B) + (b \cos C + c \cos B) = 72$
प्रक्षेप सूत्र का उपयोग करने पर: $b = c \cos A + a \cos C$,$c = a \cos B + b \cos A$,और $a = b \cos C + c \cos B$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $b + c + a = 72$
$a = 18$ और $b = 24$ दिया गया है: $18 + 24 + c = 72$ $\Rightarrow 42 + c = 72$ $\Rightarrow c = 30$
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{72}{2} = 36$
हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{36(36-18)(36-24)(36-30)} = \sqrt{36 \times 18 \times 12 \times 6}$
$\text{क्षेत्रफल} = \sqrt{36 \times 1296} = 6 \times 36 = 216 \text{ वर्ग इकाई}$

(B) माना भुजाएँ $a = 7$,$b = 4\sqrt{3}$,और $c = \sqrt{13}$ हैं।
चूँकि $c$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोज्या नियम (law of cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{7^2 + (4\sqrt{3})^2 - (\sqrt{13})^2}{2 \times 7 \times 4\sqrt{3}}$.
$\cos C = \frac{49 + 48 - 13}{56\sqrt{3}} = \frac{84}{56\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$C = \cos^{-1}\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = \frac{\pi}{6}$.

(C) $\triangle ABD$ में,ज्या (Sine) के नियम से:
$\frac{\sin(\angle BAD)}{BD} = \frac{\sin(\angle B)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{3})}{AD} = \frac{\sqrt{3}/2}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} \quad \dots (i)$
$\triangle ADC$ में,ज्या (Sine) के नियम से:
$\frac{\sin(\angle CAD)}{DC} = \frac{\sin(\angle C)}{AD}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle CAD)}{3x} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{AD} = \frac{1/\sqrt{2}}{AD}$
$\Rightarrow AD = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)} \quad \dots (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{\sqrt{3}x}{2 \sin(\angle BAD)} = \frac{3x}{\sqrt{2} \sin(\angle CAD)}$
$\Rightarrow \frac{\sin(\angle BAD)}{\sin(\angle CAD)} = \frac{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{\sqrt{6}}$

(A) माना त्रिभुज के कोण $A = \frac{\pi}{4}$,$B = \frac{\pi}{3}$ और $C = \pi - (\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{3}) = \frac{5\pi}{12}$ हैं।
सबसे छोटा कोण $A = \frac{\pi}{4}$ और सबसे बड़ा कोण $C = \frac{5\pi}{12}$ है।
ज्या नियम (Law of Sines) के अनुसार,भुजाओं का अनुपात $\frac{a}{c} = \frac{\sin A}{\sin C}$ है।
$\frac{a}{c} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{5\pi}{12})} = \frac{\sin(\frac{\pi}{4})}{\sin(\frac{\pi}{4} + \frac{\pi}{6})} = \frac{2}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}-1$.
अतः,अनुपात $(\sqrt{3}-1) : 1$ है।

(B) माना $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
$b+c=11k$ $(i)$,$c+a=12k$ $(ii)$,$a+b=13k$ $(iii)$.
$(i), (ii), (iii)$ को जोड़ने पर,$2(a+b+c)=36k$,अतः $a+b+c=18k$ $(iv)$.
$(iv)$ से,$a=7k, b=6k, c=5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{1}{5}, \cos B = \frac{19}{35}, \cos C = \frac{5}{7}$.
अतः,$\cos A+\cos B+\cos C = \frac{1}{5}+\frac{19}{35}+\frac{5}{7} = \frac{51}{35}$.

(B) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$A+B+C = \pi$,इसलिए $A+C = \pi-B$.
इस मान को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$2ac \sin \left(\frac{(A+C)-B}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{(\pi-B)-B}{2}\right)$
$= 2ac \sin \left(\frac{\pi-2B}{2}\right) = 2ac \sin \left(\frac{\pi}{2}-B\right)$
$= 2ac \cos B$
कोसाइन नियम के अनुसार,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
यह मान रखने पर:
$2ac \left(\frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}\right) = a^2+c^2-b^2$.

(B) दिया गया है $\angle C=90^{\circ}$,इसलिए $\angle A+\angle B=90^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a=k \sin A$ और $b=k \sin B$,जहाँ $k=2R$.
अतः,$\sin A = \frac{a}{k}$ और $\sin B = \frac{b}{k}$.
हम जानते हैं कि $\sin (A-B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B$.
चूंकि $\angle B = 90^{\circ}-A$,इसलिए $\cos B = \sin A$ और $\cos A = \sin B$.
अतः,$\sin (A-B) = \sin A \sin A - \sin B \sin B = \sin^2 A - \sin^2 B$.
$\sin A = \frac{a}{c}$ और $\sin B = \frac{b}{c}$ प्रतिस्थापित करने पर (क्योंकि $\sin C = \sin 90^{\circ} = 1$ और $c^2=a^2+b^2$):
$\sin (A-B) = (\frac{a}{c})^2 - (\frac{b}{c})^2 = \frac{a^2-b^2}{c^2} = \frac{a^2-b^2}{a^2+b^2}$.

(D) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$
$\cos 30^{\circ} = \frac{(\sqrt{3})^2 + 1^2 - a^2}{2 \times \sqrt{3} \times 1}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{3 + 1 - a^2}{2\sqrt{3}}$
$3 = 4 - a^2$ $\Rightarrow a^2 = 1$ $\Rightarrow a = 1$
अब,कोण $B$ के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$
$\cos B = \frac{1^2 + 1^2 - (\sqrt{3})^2}{2 \times 1 \times 1} = \frac{1+1-3}{2} = -\frac{1}{2}$
चूँकि $\cos B = -\frac{1}{2}$ है,इसलिए $B = 120^{\circ}$ है।

(C) माना $\frac{b+c}{11}=\frac{c+a}{12}=\frac{a+b}{13}=k$.
समीकरणों को जोड़ने पर: $2(a+b+c) = 36k \implies a+b+c = 18k$.
अतः $a = 18k - 11k = 7k$,$b = 18k - 12k = 6k$,और $c = 18k - 13k = 5k$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{1}{5}$,$\cos B = \frac{19}{35}$,और $\cos C = \frac{5}{7}$.
अतः,$\cos A : \cos B : \cos C = \frac{1}{5} : \frac{19}{35} : \frac{5}{7} = 7 : 19 : 25$.

(D) दिया है: $\text{Area} = 10\sqrt{3} \text{ cm}^2$,$\angle B = 60^{\circ}$,और $a+b+c = 20 \text{ cm}$.
क्षेत्रफल के सूत्र का उपयोग करने पर: $\text{Area} = \frac{1}{2}ac \sin B$.
$10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \sin 60^{\circ} \Rightarrow 10\sqrt{3} = \frac{1}{2}ac \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$.
$10\sqrt{3} = \frac{ac\sqrt{3}}{4} \Rightarrow ac = 40$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$.
$b^2 = (a+c)^2 - 2ac - 2ac \cos 60^{\circ}$.
चूंकि $a+c = 20-b$,इसलिए $b^2 = (20-b)^2 - 2(40) - 2(40)(0.5)$.
$b^2 = 400 + b^2 - 40b - 80 - 40$.
$0 = 280 - 40b$.
$40b = 280 \Rightarrow b = 7 \text{ cm}$.
अतः,$\ell(AC) = b = 7 \text{ cm}$.

(C) हम जानते हैं कि त्रिभुज के लिए अर्ध-कोण सूत्र:
$\sin^2 \frac{C}{2} = \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$.
दी गई शर्त $(s-a)(s-b) = s(s-c)$ का उपयोग करने पर:
$ab \sin^2 \frac{C}{2} = ab \cos^2 \frac{C}{2}$.
दोनों पक्षों को $ab \cos^2 \frac{C}{2}$ से विभाजित करने पर:
$\tan^2 \frac{C}{2} = 1$.
चूंकि त्रिभुज में $\frac{C}{2}$ एक न्यूनकोण होना चाहिए,$\tan \frac{C}{2} = 1$ का अर्थ है कि $\frac{C}{2} = 45^{\circ}$.
अतः,$C = 90^{\circ}$.
इस प्रकार,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है.

(C) हम जानते हैं कि $\triangle ABC$ में,$\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ और $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
दिया गया है $\left(\tan \frac{A}{2}\right)\left(\tan \frac{B}{2}\right)=\frac{3}{4}$.
सूत्रों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \times \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{3}{4}$.
व्यंजक को सरल करने पर,$\sqrt{\frac{(s-c)^2}{s^2}} = \frac{3}{4}$,जो $\frac{s-c}{s} = \frac{3}{4}$ देता है।
$s = \frac{a+b+c}{2}$ रखने पर,हमें मिलता है $\frac{\frac{a+b+c}{2} - c}{\frac{a+b+c}{2}} = \frac{3}{4}$.
यह $\frac{a+b-c}{a+b+c} = \frac{3}{4}$ में सरल हो जाता है।
वज्र-गुणन करने पर $4(a+b) - 4c = 3(a+b) + 3c$ प्राप्त होता है।
अतः,$a+b = 7c$.

(B) माना $X = (a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2) (\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab (\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$
$= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$
$= c^2$ (कोसाइन नियम के अनुसार)।

(B) माना $\triangle PQR$ के शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ हैं जो क्रमशः भुजाओं $a, b, c$ के संगत हैं।
$\triangle PQR$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई}$.
$\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} a h_1 = \frac{1}{2} b h_2 = \frac{1}{2} c h_3$.
अतः,$h_1 = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{a}$,$h_2 = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{b}$,और $h_3 = \frac{2 \times \text{क्षेत्रफल}}{c}$.
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin P} = \frac{b}{\sin Q} = \frac{c}{\sin R} = 2R$.
इसलिए,$a = 2R \sin P$,$b = 2R \sin Q$,और $c = 2R \sin R$.
चूँकि $\sin P, \sin Q, \sin R$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $a, b, c$ भी समांतर श्रेणी में हैं।
अतः,$\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।
$a, b, c$ को $h_1, h_2, h_3$ के पदों में प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है कि $\frac{h_1}{2 \times \text{क्षेत्रफल}}, \frac{h_2}{2 \times \text{क्षेत्रफल}}, \frac{h_3}{2 \times \text{क्षेत्रफल}}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।
अतः,शीर्षलंब $h_1, h_2, h_3$ हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में हैं।

(A) माना त्रिभुज के कोण $4x, x$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ}$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$,जहाँ $a$ सबसे लंबी भुजा है जो $120^{\circ}$ के सम्मुख है।
तब $a = k \sin 120^{\circ}$,$b = k \sin 30^{\circ}$ और $c = k \sin 30^{\circ}$।
सबसे लंबी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{\sin 120^{\circ}}{\sin 120^{\circ} + \sin 30^{\circ} + \sin 30^{\circ}}$ है।
मान रखने पर: $\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$।

(B) किसी भी $\triangle ABC$ में,क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2}bc \sin A$ होता है।
इससे,$\sin A = \frac{2\Delta}{bc} \quad (i)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{a}{2 \sin A}$,जिसका अर्थ है $\sin A = \frac{a}{2R} \quad (ii)$।
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर,$\frac{2\Delta}{bc} = \frac{a}{2R}$ प्राप्त होता है।
$\Delta$ के लिए हल करने पर,$\Delta = \frac{abc}{4R}$ प्राप्त होता है।

(B) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, a+1, a+2$ हैं जहाँ $a \in \mathbb{N}$। माना इन भुजाओं के सम्मुख कोण क्रमशः $A, B, C$ हैं,ताकि $A < B < C$। दिया गया है $C = 2A$।
ज्या (Sine) नियम का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin C}{a+2} = k$।
अतः,$\sin C = k(a+2)$ और $\sin A = ka$।
चूँकि $C = 2A$,$\sin C = 2 \sin A \cos A$,जिसका अर्थ है $k(a+2) = 2(ka) \cos A$,इसलिए $\cos A = \frac{a+2}{2a}$।
कोज्या (Cosine) नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{(a+1)^2 + (a+2)^2 - a^2}{2(a+1)(a+2)} = \frac{a^2+6a+5}{2(a^2+3a+2)}$।
$\cos A$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\frac{a+2}{2a} = \frac{(a+1)(a+5)}{2(a+1)(a+2)} = \frac{a+5}{2(a+2)}$।
$(a+2)^2 = a(a+5) \Rightarrow a^2+4a+4 = a^2+5a$।
$a = 4$।
अतः भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं।

(B) माना त्रिभुज के कोण $4x, x,$ और $x$ हैं।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $4x + x + x = 180^{\circ}$,जिसका अर्थ है $6x = 180^{\circ}$,अतः $x = 30^{\circ}$।
कोण $120^{\circ}, 30^{\circ},$ और $30^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin 120^{\circ}} = \frac{b}{\sin 30^{\circ}} = \frac{c}{\sin 30^{\circ}} = k$।
अतः,$a = k \sin 120^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$,$b = k \sin 30^{\circ} = k \frac{1}{2}$,और $c = k \sin 30^{\circ} = k \frac{1}{2}$।
सबसे बड़ी भुजा $a$ है ($120^{\circ}$ के सम्मुख भुजा)।
परिमाप $a + b + c = k(\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = k(\frac{\sqrt{3}+2}{2})$ है।
सबसे बड़ी भुजा और परिमाप का अनुपात $\frac{a}{a+b+c} = \frac{k \frac{\sqrt{3}}{2}}{k \frac{\sqrt{3}+2}{2}} = \frac{\sqrt{3}}{2+\sqrt{3}}$ होगा।

(B) माना भुजाएँ $n, n+1, n+2$ हैं। सबसे छोटी भुजा $n$ है और सबसे बड़ी भुजा $n+2$ है। उनके सम्मुख कोण क्रमशः $A$ और $C$ हैं। दिया है $C = 2A$।
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{\sin A}{n} = \frac{\sin C}{n+2} = \frac{\sin 2A}{n+2} \Rightarrow \cos A = \frac{n+2}{2n}$।
कोज्या नियम (cosine rule) से,$\cos A = \frac{(n+1)^2 + (n+2)^2 - n^2}{2(n+1)(n+2)} = \frac{n+5}{2(n+2)}$।
दोनों की तुलना करने पर: $\frac{n+2}{2n} = \frac{n+5}{2(n+2)}$ $\Rightarrow (n+2)^2 = n(n+5)$ $\Rightarrow n^2+4n+4 = n^2+5n$ $\Rightarrow n=4$।
अतः भुजाएँ $4, 5, 6$ हैं।

(B) $\triangle ABC$ में,ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c}$.
दी गई शर्त के अनुसार,$a = 2b$ और $A - B = 60^{\circ}$,इसलिए $A = 60^{\circ} + B$.
ज्या नियम में मान रखने पर:
$\frac{\sin(60^{\circ} + B)}{2b} = \frac{\sin B}{b}$
$\sin(60^{\circ} + B) = 2 \sin B$
$\sin 60^{\circ} \cos B + \cos 60^{\circ} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B + \frac{1}{2} \sin B = 2 \sin B$
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos B = \frac{3}{2} \sin B$
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,$B = 30^{\circ}$.
तब $A = 60^{\circ} + 30^{\circ} = 90^{\circ}$.
चूंकि एक कोण $90^{\circ}$ है,इसलिए त्रिभुज समकोणीय है।