Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(A) $\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
दिया है $\angle C = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
इसका अर्थ है $ab = a^2+b^2-c^2$,या $c^2 = a^2+b^2-ab$.
अब,व्यंजक $E = \frac{a}{b+c} + \frac{b}{c+a} = \frac{a(c+a) + b(b+c)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ac+a^2+b^2+bc}{bc+ab+c^2+ac}$.
अंश में $a^2+b^2 = c^2+ab$ प्रतिस्थापित करने पर:
$E = \frac{ac + (c^2+ab) + bc}{bc+ab+c^2+ac} = \frac{ac+c^2+ab+bc}{ac+ab+c^2+bc} = 1$.

(C) माना कि $\frac{b+c}{9}=\frac{c+a}{10}=\frac{a+b}{11}=k$.
अतः $b+c=9k$,$c+a=10k$,और $a+b=11k$.
इनका योग करने पर $2(a+b+c)=30k$,जिससे $a+b+c=15k$ प्राप्त होता है।
अतः $a=6k$,$b=5k$,और $c=4k$.
कोज्या नियम (cosine rule) का उपयोग करने पर,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{8}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{3}{4}$.
इसलिए,$\frac{\cos A+\cos B}{\cos C} = \frac{\frac{1}{8}+\frac{9}{16}}{\frac{3}{4}} = \frac{11}{12}$.
अतः विकल्प $C$ सही है।

(B) $\triangle ABC$ में,$AD$,$BC$ पर माध्यिका है,इसलिए $BD = DC = a/2$ है। दिया है $AD \perp AC$,समकोण $\triangle ADC$ में,पाइथागोरस प्रमेय द्वारा,$AD^2 + b^2 = (a/2)^2$,अतः $AD^2 = a^2/4 - b^2$ है।
$\triangle ABC$ पर अपोलोनियस प्रमेय द्वारा,$c^2 + b^2 = 2(AD^2 + (a/2)^2)$ है।
$AD^2$ का मान रखने पर,हमें $c^2 + b^2 = 2(a^2/4 - b^2 + a^2/4) = a^2 - 2b^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a^2 = 3b^2 + c^2$ (समीकरण $iii$)।
अब,व्यंजक $3ca \cos A \cos C + 2a^2$ पर विचार करें।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = (b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)$ और $\cos C = (a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)$ है।
इन मानों को रखने पर,व्यंजक $3ca \cdot [(b^2 + c^2 - a^2)/(2bc)] \cdot [(a^2 + b^2 - c^2)/(2ab)] + 2a^2$ बन जाता है।
$= (3/4b^2) \cdot (b^2 + c^2 - a^2)(a^2 + b^2 - c^2) + 2a^2$।
चूंकि $a^2 - c^2 = 3b^2$ है,हमारे पास $b^2 + c^2 - a^2 = -2b^2$ और $a^2 + b^2 - c^2 = 4b^2$ है।
$= (3/4b^2) \cdot (-2b^2)(4b^2) + 2a^2 = -6b^2 + 2a^2 = 2(a^2 - 3b^2)$।
समीकरण $iii$ से,$a^2 - 3b^2 = c^2$ है।
अतः,व्यंजक का मान $2c^2$ है।

(C) भुजाओं का अनुपात $a: b: c = 3: 5: 7$ दिया गया है,मान लीजिए $a = 3x, b = 5x, c = 7x$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$ और $\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$.
मान रखने पर:
$\cos A = \frac{(5x)^2 + (7x)^2 - (3x)^2}{2(5x)(7x)} = \frac{65x^2}{70x^2} = \frac{13}{14}$.
$\cos B = \frac{(3x)^2 + (7x)^2 - (5x)^2}{2(3x)(7x)} = \frac{33x^2}{42x^2} = \frac{11}{14}$.
अतः,$\cos A + \cos B = \frac{13}{14} + \frac{11}{14} = \frac{24}{14} = \frac{12}{7}$.

(D) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a, b, c$ हैं जहाँ $a = 80$ और कोण $B = 60^{\circ}$ है।
दिया गया है कि $b + c = 90$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(B)$.
मान रखने पर: $b^2 = 80^2 + c^2 - 2(80)(c) \cos(60^{\circ})$.
चूँकि $\cos(60^{\circ}) = 0.5$,इसलिए $b^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
समीकरण में $b = 90 - c$ रखने पर: $(90 - c)^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$8100 - 180c + c^2 = 6400 + c^2 - 80c$.
$1700 = 100c$.
$c = 17$.
अतः $b = 90 - 17 = 73$.
भुजाएँ $80, 73, 17$ हैं। सबसे छोटी भुजा $17$ है।

(B) दिया गया है $b \cos \theta = c - a$,अतः $\cos \theta = \frac{c - a}{b}$ है।
चूँकि $\theta$ एक न्यून कोण है,$\sin \theta = \sqrt{1 - \cos^2 \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{b}$ होगा।
अतः,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{\sqrt{b^2 - (c - a)^2}}{c - a}$ है।
इसलिए,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{b^2 - (c - a)^2} = \sqrt{b^2 - c^2 - a^2 + 2ac}$ होगा।
कोसाइन नियम $b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$ का उपयोग करने पर,$b^2 - c^2 - a^2 = -2ac \cos B$ प्राप्त होता है।
अतः,$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac - 2ac \cos B} = \sqrt{2ac(1 - \cos B)}$ होगा।
सर्वसमिका $1 - \cos B = 2 \sin^2 \frac{B}{2}$ का उपयोग करने पर:
$(c - a) \tan \theta = \sqrt{2ac \cdot 2 \sin^2 \frac{B}{2}} = \sqrt{4ac \sin^2 \frac{B}{2}} = 2 \sqrt{ca} \sin \frac{B}{2}$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई भुजाएँ $a: b: c = 4: 5: 6$ हैं,मान लीजिए $a = 4k$,$b = 5k$,और $c = 6k$ जहाँ $k > 0$ एक स्थिरांक है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{25 + 36 - 16}{60} = \frac{45}{60} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{16 + 36 - 25}{48} = \frac{27}{48} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{16 + 25 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
अब,अनुपात $\cos A : \cos B : \cos C = \frac{3}{4} : \frac{9}{16} : \frac{1}{8}$ ज्ञात कीजिए।
हरों के लघुत्तम समापवर्त्य $16$ से गुणा करने पर:
$\cos A : \cos B : \cos C = 12 : 9 : 2$.

(B) हमारे पास है,\\ $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2 - 2ab) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + b^2 + 2ab) \sin^2 \frac{C}{2}$ \\ $= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) - 2ab(\cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2})$ \\ $= (a^2 + b^2)(1) - 2ab \cos C$ \\ $= a^2 + b^2 - 2ab \cos C$ \\ कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$,\\ अतः,यह व्यंजक $c^2$ के बराबर है।

(C) दिया है: क्षेत्रफल $\Delta = 4\sqrt{5}$, $b = 6$, और $\tan \frac{B}{2} = \frac{\sqrt{5}}{4}$.
सूत्र $\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$ का उपयोग करने पर, जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$.
हम जानते हैं कि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, इसलिए $(s-a)(s-c) = \frac{\Delta^2}{s(s-b)}$.
इसे सूत्र में रखने पर: $\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{\Delta^2}{s^2(s-b)^2}$.
$\tan^2 \frac{B}{2} = \frac{5}{16}$ प्राप्त होता है.
$\frac{5}{16} = \frac{80}{s^2(s-6)^2} \implies s^2(s-6)^2 = 256$.
$s(s-6) = 16 \implies s^2 - 6s - 16 = 0 \implies s = 8$.
$a+c = 10$ और $ac = 21$ प्राप्त होता है, जिससे भुजाएँ $3, 6, 7$ मिलती हैं।
सबसे छोटी भुजा $3$ है।

(B) हम त्रिभुज की अंतःत्रिज्या और बहिःत्रिज्या के सूत्र जानते हैं: $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
इन मानों को $\sqrt{\frac{r r_2}{r_3 r_1}}$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$\sqrt{\frac{\left(\frac{\Delta}{s}\right) \left(\frac{\Delta}{s-b}\right)}{\left(\frac{\Delta}{s-c}\right) \left(\frac{\Delta}{s-a}\right)}} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$.
अर्ध-कोण सूत्र $\tan^2(B/2) = \frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}$ का उपयोग करने पर,हमें $\tan(B/2)$ प्राप्त होता है।

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$r_1 + r_3 = \Delta \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c} \right) = \Delta \left( \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)} \right) = \Delta \left( \frac{2s-a-c}{(s-a)(s-c)} \right)$.
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s-a-c = b$ है।
अतः,$r_1 + r_3 = \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}$.
साथ ही,$1 + \cos B = 1 + \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{2ac+a^2+c^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c)^2-b^2}{2ac} = \frac{(a+c-b)(a+c+b)}{2ac} = \frac{(2s-2b)(2s)}{2ac} = \frac{2(s-b)s}{ac}$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{2(r_1+r_3)}{ac(1+\cos B)} = \frac{2 \cdot \frac{\Delta b}{(s-a)(s-c)}}{ac \cdot \frac{2s(s-b)}{ac}} = \frac{2 \Delta b}{2s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{\Delta b}{s(s-a)(s-b)(s-c)}$.
चूंकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,इसलिए व्यंजक $\frac{\Delta b}{\Delta^2} = \frac{b}{\Delta}$ हो जाता है।

(B) दिया गया है $r_1=4, r_2=8, r_3=24$.
हम जानते हैं कि $\frac{1}{r} = \frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + \frac{1}{24} = \frac{10}{24} = \frac{5}{12}$.
अतः,$r = \frac{12}{5}$.
हम जानते हैं कि $\Delta^2 = r r_1 r_2 r_3 = \frac{12}{5} \times 4 \times 8 \times 24 = \frac{9216}{5}$.
इसलिए,$\Delta = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$r = \frac{\Delta}{s}$ का उपयोग करने पर,$s = \frac{\Delta}{r} = 8\sqrt{5}$.
चूँकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,इसलिए $4 = \frac{96/\sqrt{5}}{8\sqrt{5}-a}$.
$4(8\sqrt{5}-a) = \frac{96}{\sqrt{5}} \Rightarrow 32\sqrt{5} - 4a = \frac{96}{\sqrt{5}}$.
$4a = \frac{64}{\sqrt{5}} \Rightarrow a = \frac{16}{\sqrt{5}}$.

(A) हम जानते हैं कि $r = \frac{\Delta}{s}$,$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
व्यंजक $rr_1 + r_2 r_3 = \frac{\Delta^2}{s(s-a)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)}$ पर विचार करें।
चूंकि $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$,हमारे पास $\frac{\Delta^2}{s(s-a)} = (s-b)(s-c)$ और $\frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} = s(s-a)$ है।
अतः,$rr_1 + r_2 r_3 = (s-b)(s-c) + s(s-a)$ है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $s^2 - s(b+c) + bc + s^2 - sa = 2s^2 - s(a+b+c) + bc$ प्राप्त होता है।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $2s^2 - s(2s) + bc = 2s^2 - 2s^2 + bc = bc$ है।
अतः,$rr_1 + r_2 r_3 = bc$,जिसका अर्थ है कि $bc - r_2 r_3 = rr_1$।

(B) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,$r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ और $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c)$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{r_2(r_1+r_3)}{\sqrt{r_1 r_2+r_2 r_3+r_3 r_1}} = \frac{\frac{\Delta}{s-b}(\frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c})}{\sqrt{\frac{\Delta^2}{(s-a)(s-b)} + \frac{\Delta^2}{(s-b)(s-c)} + \frac{\Delta^2}{(s-c)(s-a)}}}$
$= \frac{\frac{\Delta^2}{s-b} \cdot \frac{s-c+s-a}{(s-a)(s-c)}}{\Delta \sqrt{\frac{s-c+s-a+s-b}{(s-a)(s-b)(s-c)}}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)(s-c)}{3s-(a+b+c)}}$
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए वर्गमूल के अंदर हर $3s-2s = s$ है।
$= \frac{\Delta \cdot b}{(s-a)(s-b)(s-c)} \cdot \frac{\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s}}$
$= \frac{\Delta \cdot b}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}} = \frac{\Delta \cdot b}{\Delta} = b$.

(B) हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ है।
साथ ही,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ है।
अतः,$(r_2+r_3) \operatorname{cosec}^2 \frac{A}{2} = \left(\frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \Delta \left(\frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)} = \Delta \left(\frac{a}{(s-b)(s-c)}\right) \times \frac{bc}{(s-b)(s-c)}$.
$= \frac{\Delta abc}{(s-b)^2(s-c)^2} = \frac{4R \Delta^2}{(s-b)^2(s-c)^2}$.
$= 4R \left(\frac{\Delta}{(s-b)(s-c)}\right)^2 = 4R \left(\cot \frac{A}{2}\right)^2 = 4R \cot^2 \frac{A}{2}$.

(A) दिया गया है $\cot \frac{A}{2} : \cot \frac{B}{2} : \cot \frac{C}{2} = 3 : 7 : 9$।
सूत्र $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{s(s-a)}{\Delta} : \frac{s(s-b)}{\Delta} : \frac{s(s-c)}{\Delta} = 3 : 7 : 9$।
$\frac{\Delta}{s}$ से गुणा करने पर,$(s-a) : (s-b) : (s-c) = 3 : 7 : 9$ प्राप्त होता है।
माना $s-a = 3k$,$s-b = 7k$,और $s-c = 9k$।
इन्हें जोड़ने पर,$3s - (a+b+c) = 19k$। चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = s = 19k$।
अब,$a = s - 3k = 19k - 3k = 16k$।
$b = s - 7k = 19k - 7k = 12k$।
$c = s - 9k = 19k - 9k = 10k$।
अतः,$a : b : c = 16k : 12k : 10k = 16 : 12 : 10 = 8 : 6 : 5$।

(C) दिया है,$\triangle ABC$ में,$r_1 = 2r_2 = 3r_3$ है।
सूत्र $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\Delta}{s-a} = 2 \frac{\Delta}{s-b} = 3 \frac{\Delta}{s-c} = k$ (माना)।
अतः,$s-a = \frac{1}{k}$,$s-b = \frac{2}{k}$,और $s-c = \frac{3}{k}$।
इन समीकरणों को जोड़ने पर:
$(s-a) + (s-c) = \frac{1}{k} + \frac{3}{k} = \frac{4}{k}$।
चूँकि $s-b = \frac{2}{k}$,इसलिए $\frac{4}{k} = 2(s-b)$।
अतः,$2s - a - c = 2s - 2b$,जो सरल होकर $a+c = 2b$ प्राप्त होता है।

(A) $\triangle ABC$ में,हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$,$\tan \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}}$,और $\tan \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\left(\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2}\right) \tan \frac{C}{2} = \tan \frac{A}{2} \tan \frac{C}{2} + \tan \frac{B}{2} \tan \frac{C}{2}$
$= \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}} + \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} \cdot \sqrt{\frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}}$
$= \frac{s-b}{s} + \frac{s-a}{s}$
$= \frac{2s - a - b}{s}$
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - b = c$ और $s = \frac{a+b+c}{2}$।
$= \frac{c}{\left(\frac{a+b+c}{2}\right)} = \frac{2c}{a+b+c}$।

(A) दिया गया है: $(a-b)(s-c)=(b-c)(s-a)$
चूंकि $a = (s-b) + (s-c)$,$b = (s-a) + (s-c)$,और $c = (s-a) + (s-b)$,इसलिए $(a-b) = (s-b) - (s-a)$ और $(b-c) = (s-c) - (s-b)$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$((s-b)-(s-a))(s-c) = ((s-c)-(s-b))(s-a)$
$(s-b)(s-c) - (s-a)(s-c) = (s-c)(s-a) - (s-b)(s-a)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2(s-a)(s-c) = (s-b)(s-c) + (s-b)(s-a)$
दोनों पक्षों को $(s-a)(s-b)(s-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{s-b} = \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-c}$
दोनों पक्षों को $\Delta$ (त्रिभुज का क्षेत्रफल) से गुणा करने पर:
$\frac{2\Delta}{s-b} = \frac{\Delta}{s-a} + \frac{\Delta}{s-c}$
चूंकि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,इसलिए:
$2r_2 = r_1 + r_3$
अतः,$r_1, r_2, r_3$ समांतर श्रेणी में हैं।

(A) दिया गया है $\tan \frac{A}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
सूत्र $\cos A = \frac{1-\tan^2 \frac{A}{2}}{1+\tan^2 \frac{A}{2}}$ का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{1 - (\frac{1}{\sqrt{2}})^2}{1 + (\frac{1}{\sqrt{2}})^2} = \frac{1 - 1/2}{1 + 1/2} = \frac{1/2}{3/2} = \frac{1}{3}$.
कोसाइन नियम के अनुसार: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
$\frac{1}{3} = \frac{5^2 + 6^2 - a^2}{2(5)(6)}$.
$\frac{1}{3} = \frac{25 + 36 - a^2}{60}$.
$20 = 61 - a^2$.
$a^2 = 41$.
$a = \sqrt{41}$.

(C) हम जानते हैं कि क्षेत्रफल $R = \frac{1}{2}ab \sin C$,इसलिए $2R = ab \sin C$,जिसका अर्थ है $4R^2 = a^2b^2 \sin^2 C$।
पहले पद में यह मान रखने पर: $\sqrt{a^2b^2 - 4R^2} = \sqrt{a^2b^2 - a^2b^2 \sin^2 C} = \sqrt{a^2b^2(1 - \sin^2 C)} = \sqrt{a^2b^2 \cos^2 C} = ab \cos C$।
इसी प्रकार,$\sqrt{b^2c^2 - 4R^2} = bc \cos A$ और $\sqrt{c^2a^2 - 4R^2} = ca \cos B$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$,इसलिए $ab \cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2}$।
अतः,व्यंजक इस प्रकार होगा: $\frac{a^2+b^2-c^2}{2} + \frac{b^2+c^2-a^2}{2} + \frac{c^2+a^2-b^2}{2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{2}$।

(C) दिया गया है $2 \Delta^2 = \frac{a^2 b^2 c^2}{a^2+b^2+c^2}$.
संबंध $\Delta = \frac{abc}{4R}$ का उपयोग करने पर,$a^2 b^2 c^2 = 16 R^2 \Delta^2$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में रखने पर: $2 \Delta^2 = \frac{16 R^2 \Delta^2}{a^2+b^2+c^2}$.
$2 \Delta^2$ से भाग देने पर,$a^2+b^2+c^2 = 8 R^2$ प्राप्त होता है।
$a = 2R \sin A$,$b = 2R \sin B$,और $c = 2R \sin C$ रखने पर,$4R^2(\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) = 8R^2$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2$.
सर्वसमिका $\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2 \cos A \cos B \cos C$ का उपयोग करने पर,$2 + 2 \cos A \cos B \cos C = 2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $2 \cos A \cos B \cos C = 0$,इसलिए $\cos A = 0$ या $\cos B = 0$ या $\cos C = 0$.
अतः,एक कोण $90^{\circ}$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि यह एक समकोण त्रिभुज है।

(A) दिया गया व्यंजक: $(a-b)^2 \cos^2 \frac{C}{2} + (a+b)^2 \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 - 2ab + b^2) \cos^2 \frac{C}{2} + (a^2 + 2ab + b^2) \sin^2 \frac{C}{2}$
$= (a^2 + b^2)(\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2}) + 2ab(\sin^2 \frac{C}{2} - \cos^2 \frac{C}{2})$
चूंकि $\cos^2 \frac{C}{2} + \sin^2 \frac{C}{2} = 1$ और $\cos C = \cos^2 \frac{C}{2} - \sin^2 \frac{C}{2}$,इसलिए:
$= (a^2 + b^2)(1) - 2ab(\cos C)$
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$:
$= a^2 + b^2 - 2ab \left( \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} \right)$
$= a^2 + b^2 - (a^2 + b^2 - c^2)$
$= c^2$

(B) माना $\triangle ABC$ एक त्रिभुज है जिसमें $\angle A: \angle B: \angle C = 1: 2: 3$ है।
अनुपात स्थिरांक $x$ लेने पर,$\angle A = x, \angle B = 2x, \angle C = 3x$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करने पर:
$\angle A + \angle B + \angle C = 180^{\circ}$
$x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,$\angle A = 30^{\circ}, \angle B = 60^{\circ}, \angle C = 90^{\circ}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$:
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ से गुणा करने पर,हमें $a: b: c = 1: \sqrt{3}: 2$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है,$s(s-a) = (s-b)(s-c)$.
हम जानते हैं कि $\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ और $\cos \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{s(s-a)}{bc}}$.
दोनों का वर्ग करने पर,$\sin^2 \frac{A}{2} = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $s(s-a) = (s-b)(s-c)$,इसलिए $\sin^2 \frac{A}{2} = \cos^2 \frac{A}{2}$ होगा।
$\cos^2 \frac{A}{2}$ से भाग देने पर,$\tan^2 \frac{A}{2} = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{A}{2}$ त्रिभुज का एक कोण है,इसलिए $\frac{A}{2} = \frac{\pi}{4}$,जिसका अर्थ है $A = \frac{\pi}{2}$।

(A) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,$\tan(A/2)$,$\tan(B/2)$ और $\tan(C/2)$ समांतर श्रेणी में हैं।
इसलिए,$2 \tan(B/2) = \tan(A/2) + \tan(C/2)$.
त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin((B-A)/2)}{\cos(A/2)} = \frac{\sin((C-B)/2)}{\cos(C/2)}$
इसे हल करने पर हमें प्राप्त होता है:
$\cos A - \cos B = \cos B - \cos C$
$\cos A + \cos C = 2\cos B$
अतः,$\cos A$,$\cos B$ और $\cos C$ समांतर श्रेणी में हैं।

(A) $\triangle ABC$ में,कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है। अतः,$\angle B = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 60^{\circ}) = 45^{\circ}$।
चूंकि $\triangle BAD$ और $\triangle BCD$ का शीर्ष $B$ से आधार $AC$ पर लंब समान है,इसलिए उनके क्षेत्रफलों का अनुपात उनके आधारों के अनुपात के बराबर है: $\frac{\text{Area}(\triangle BAD)}{\text{Area}(\triangle BCD)} = \frac{AD}{CD} = \sqrt{3}$।
माना $\angle ABD = \alpha$,तो $\angle DBC = 45^{\circ} - \alpha$।
$\triangle BAD$ और $\triangle BCD$ में ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{AD}{\sin \alpha} = \frac{BD}{\sin 75^{\circ}}$ और $\frac{CD}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \frac{BD}{\sin 60^{\circ}}$।
इन समीकरणों को विभाजित करने पर $\frac{AD}{CD} = \frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} \cdot \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin 75^{\circ}} = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।
$\frac{\sin \alpha}{\sin(45^{\circ} - \alpha)} = \sqrt{3} \cdot \frac{\sin 75^{\circ}}{\sin 60^{\circ}} = \frac{\sqrt{3} + 1}{\sqrt{2}}$।
इस समीकरण को हल करने पर $\cot \alpha = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है,अतः $\alpha = 30^{\circ}$।

(B) $\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $\Delta = \frac{1}{2} a \alpha = \frac{1}{2} b \beta = \frac{1}{2} c \gamma$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\alpha = \frac{2\Delta}{a}$,$\beta = \frac{2\Delta}{b}$,और $\gamma = \frac{2\Delta}{c}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^{-2} + \beta^{-2} + \gamma^{-2} = \frac{a^2}{4\Delta^2} + \frac{b^2}{4\Delta^2} + \frac{c^2}{4\Delta^2} = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2}$।
सर्वसमिका $\cot A = \frac{b^2+c^2-a^2}{4\Delta}$ का उपयोग करते हुए,हमें $b^2+c^2-a^2 = 4\Delta \cot A$ प्राप्त होता है।
$A, B, C$ के लिए इनका योग करने पर:
$(b^2+c^2-a^2) + (c^2+a^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2) = a^2+b^2+c^2 = 4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)$।
इसलिए,$\frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta^2} = \frac{4\Delta(\cot A + \cot B + \cot C)}{4\Delta^2} = \frac{1}{\Delta}(\cot A + \cot B + \cot C)$।

(B) हम जानते हैं कि $r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$ और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$।
साथ ही,$\cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(r_2 + r_3) \cot \left(\frac{B+C}{2}\right) = \left( \frac{\Delta}{s-b} + \frac{\Delta}{s-c} \right) \tan \left(\frac{A}{2}\right)$
$= \Delta \left( \frac{s-c+s-b}{(s-b)(s-c)} \right) \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$
$= \Delta \left( \frac{a}{(s-b)(s-c)} \right) \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{s(s-a)}}$
$= \frac{\Delta \cdot a}{\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}}$
चूंकि $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$,इसलिए व्यंजक का सरलीकरण:
$= \frac{\Delta \cdot a}{\Delta} = a$।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(D) दिया है,$\angle A=75^{\circ}, \angle B=45^{\circ}$ और $a=2(\sqrt{3}+1)$.
$\triangle AOC$ में,$\tan 60^{\circ} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \frac{x}{y}$ $\Rightarrow x = \sqrt{3}y$.
अब,$x+y = 2(\sqrt{3}+1)$.
$x = \sqrt{3}y$ प्रतिस्थापित करने पर,$\sqrt{3}y + y = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y(\sqrt{3}+1) = 2(\sqrt{3}+1)$ $\Rightarrow y = 2$.
अतः,$x = 2\sqrt{3}$.
अब,$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \triangle AOB$ का क्षेत्रफल $+ \triangle AOC$ का क्षेत्रफल.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times x \times x + \frac{1}{2} \times x \times y = \frac{1}{2}x(x+y)$.
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times (2\sqrt{3}) \times (2\sqrt{3} + 2) = \sqrt{3} \times 2(\sqrt{3}+1) = 2(3 + \sqrt{3}) = 6 + 2\sqrt{3} \text{ वर्ग इकाई}$.

(B) दिया गया है,$3a = b + c$ ... $(i)$
माना $s$,$\triangle ABC$ का अर्ध-परिमाप है,इसलिए $s = \frac{a + b + c}{2}$.
$(i)$ से मान रखने पर,$s = \frac{a + 3a}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.
हम जानते हैं कि $\cot \frac{B}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)}}$ और $\cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}}$.
अतः,$\cot \frac{B}{2} \cot \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-b)}{(s-a)(s-c)} \cdot \frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \sqrt{\frac{s^2}{(s-a)^2}} = \frac{s}{s-a}$.
$s = 2a$ रखने पर,हमें $\frac{2a}{2a - a} = \frac{2a}{a} = 2$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है,त्रिभुज का क्षेत्रफल $\Delta = b^2-(c-a)^2$ है।
सर्वसमिका $x^2-y^2 = (x-y)(x+y)$ का उपयोग करने पर,$\Delta = (b-c+a)(b+c-a)$।
चूंकि $2s = a+b+c$,इसलिए $b-c+a = 2s-2c$ और $b+c-a = 2s-2a$ है।
अतः,$\Delta = (2s-2c)(2s-2a) = 4(s-a)(s-c)$।
हीरोन के सूत्र के अनुसार,$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$।
दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = 4(s-a)(s-c)$।
दोनों पक्षों को $\sqrt{(s-a)(s-c)}$ से विभाजित करने पर,$\sqrt{s(s-b)} = 4\sqrt{(s-a)(s-c)}$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$\tan(\frac{B}{2}) = \sqrt{\frac{(s-a)(s-c)}{s(s-b)}} = \frac{1}{4}$।
द्विगुणित कोण सूत्र $\tan B = \frac{2\tan(B/2)}{1-\tan^2(B/2)}$ का उपयोग करने पर,$\tan B = \frac{2(1/4)}{1-(1/4)^2} = \frac{1/2}{1-1/16} = \frac{1/2}{15/16} = \frac{8}{15}$।

(D) त्रिभुज $ABC$ में दिया गया है:
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a} = 36, r_2 = \frac{\Delta}{s-b} = 18, r_3 = \frac{\Delta}{s-c} = 12$
$\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{1}{36} + \frac{1}{18} + \frac{1}{12} = \frac{1+2+3}{36} = \frac{6}{36} = \frac{1}{6}$
चूंकि $\frac{1}{r_1} + \frac{1}{r_2} + \frac{1}{r_3} = \frac{s}{\Delta}$,इसलिए $\frac{s}{\Delta} = \frac{1}{6} \Rightarrow \Delta = 6s$
$r_1 = \frac{6s}{s-a} = 36$ $\Rightarrow 6s = 36s - 36a$ $\Rightarrow 36a = 30s$ $\Rightarrow a = \frac{5s}{6}$
$r_2 = \frac{6s}{s-b} = 18$ $\Rightarrow 6s = 18s - 18b$ $\Rightarrow 18b = 12s$ $\Rightarrow b = \frac{2s}{3}$
$r_3 = \frac{6s}{s-c} = 12$ $\Rightarrow 6s = 12s - 12c$ $\Rightarrow 12c = 6s$ $\Rightarrow c = \frac{s}{2}$
हेरोन के सूत्र का उपयोग करने पर $\Delta^2 = s(s-a)(s-b)(s-c) = (6s)^2 = 36s^2$
$s(s - \frac{5s}{6})(s - \frac{2s}{3})(s - \frac{s}{2}) = 36s^2$
$s(\frac{s}{6})(\frac{s}{3})(\frac{s}{2}) = 36s^2$
$\frac{s^4}{36} = 36s^2$ $\Rightarrow s^2 = 36^2$ $\Rightarrow s = 36$
$a = \frac{5 \times 36}{6} = 30$
$b = \frac{2 \times 36}{3} = 24$
$a+b = 30+24 = 54$

(B) हम जानते हैं कि $\cot \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{\Delta}$,जहाँ $s = \frac{a+b+c}{2}$ और $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है।
अतः,$\cot \frac{A}{2} + \cot \frac{B}{2} + \cot \frac{C}{2} = \frac{s(s-a) + s(s-b) + s(s-c)}{\Delta} = \frac{s(3s - (a+b+c))}{\Delta} = \frac{s(3s - 2s)}{\Delta} = \frac{s^2}{\Delta} = \frac{(a+b+c)^2}{4\Delta}$.
साथ ही,$\cot A + \cot B + \cot C = \frac{a^2+b^2+c^2}{4\Delta}$.
इसलिए,अनुपात $\frac{(a+b+c)^2}{a^2+b^2+c^2}$ है।
$a=3, b=4, c=6$ रखने पर:
अनुपात $= \frac{(3+4+6)^2}{3^2+4^2+6^2} = \frac{13^2}{9+16+36} = \frac{169}{61}$.

(A) दिया गया समीकरण: $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$
अर्ध-कोण सूत्रों $\cos^2 \frac{C}{2} = \frac{s(s-c)}{ab}$ और $\cos^2 \frac{A}{2} = \frac{s(s-a)}{bc}$ का उपयोग करने पर:
$a \left( \frac{s(s-c)}{ab} \right) + c \left( \frac{s(s-a)}{bc} \right) = \frac{3b}{2}$
$\frac{s(s-c)}{b} + \frac{s(s-a)}{b} = \frac{3b}{2}$
$\frac{s}{b} (s - c + s - a) = \frac{3b}{2}$
चूंकि $2s = a + b + c$,इसलिए $2s - a - c = b$:
$\frac{s}{b} (b) = \frac{3b}{2} \Rightarrow s = \frac{3b}{2}$
$\frac{a + b + c}{2} = \frac{3b}{2} \Rightarrow a + b + c = 3b$
$a + c = 2b$

(D) माना $\frac{s-a}{4} = \frac{s-b}{5} = \frac{s-c}{6} = k$.
तब $s-a = 4k$,$s-b = 5k$,और $s-c = 6k$.
इनका योग करने पर $3s - (a+b+c) = 15k$ प्राप्त होता है। चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = 15k$,अर्थात $s = 15k$.
तब $a = s - 4k = 11k$,$b = s - 5k = 10k$,और $c = s - 6k = 9k$.
हम जानते हैं कि $\sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc}$.
अतः,$\sum \sin^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{bc} + \frac{(s-c)(s-a)}{ca} + \frac{(s-a)(s-b)}{ab}$.
मान रखने पर:
$= \frac{(5k)(6k)}{(10k)(9k)} + \frac{(6k)(4k)}{(9k)(11k)} + \frac{(4k)(5k)}{(11k)(10k)} = \frac{30}{90} + \frac{24}{99} + \frac{20}{110} = \frac{1}{3} + \frac{8}{33} + \frac{2}{11}$.
$= \frac{11 + 8 + 6}{33} = \frac{25}{33}$.

(A) दिया गया है,$\frac{s-a}{11}=\frac{s-b}{12}=\frac{s-c}{13}=k$.
$s-a=11k$,$s-b=12k$,$s-c=13k$.
इन्हें जोड़ने पर,$3s-(a+b+c) = 36k$.
चूँकि $a+b+c=2s$,इसलिए $3s-2s=36k$,अतः $s=36k$.
सूत्र $\tan^2\left(\frac{A}{2}\right) = \frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}$ और $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(s-a)(s-b)}{s(s-c)}$ का उपयोग करने पर,
$\tan^2\left(\frac{A}{2}\right)+\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{(12k)(13k)}{(36k)(11k)} + \frac{(11k)(12k)}{(36k)(13k)}$.
$= \frac{12 \times 13}{36 \times 11} + \frac{11 \times 12}{36 \times 13} = \frac{1}{3} \left( \frac{13}{11} + \frac{11}{13} \right)$.
$= \frac{1}{3} \left( \frac{169+121}{143} \right) = \frac{1}{3} \times \frac{290}{143} = \frac{290}{429}$.

(A) हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$,जहाँ $\Delta$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है और $s$ अर्ध-परिमाप है।
दिया है $r_1: r_2: r_3 = 1: 2: 3$,मान लीजिए $r_1 = x, r_2 = 2x, r_3 = 3x$.
तब $s-a = \frac{\Delta}{x}$,$s-b = \frac{\Delta}{2x}$,और $s-c = \frac{\Delta}{3x}$.
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{\Delta}{x} + \frac{\Delta}{2x} + \frac{\Delta}{3x}$
$3s - (a+b+c) = \Delta \left( \frac{6+3+2}{6x} \right)$
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = \frac{11\Delta}{6x}$,अर्थात $s = \frac{11\Delta}{6x}$.
अब,$a = s - (s-a) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{x} = \frac{5\Delta}{6x}$.
$b = s - (s-b) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{2x} = \frac{8\Delta}{6x}$.
$c = s - (s-c) = \frac{11\Delta}{6x} - \frac{\Delta}{3x} = \frac{9\Delta}{6x}$.
अतः,$a: b: c = 5: 8: 9$.

(B) टैंजेंट के नियम का उपयोग करते हुए: $\frac{a-b}{a+b} = \frac{\tan(\frac{A-B}{2})}{\tan(\frac{A+B}{2})}$.
दिया गया है $a = 2b$,तो $\frac{2b-b}{2b+b} = \frac{b}{3b} = \frac{1}{3}$.
साथ ही,$|A-B| = \frac{\pi}{3}$,इसलिए $\frac{A-B}{2} = \frac{\pi}{6}$.
अतः,$\frac{1}{3} = \frac{\tan(\pi/6)}{\tan((A+B)/2)} = \frac{1/\sqrt{3}}{\tan((A+B)/2)}$.
इसका तात्पर्य है $\tan(\frac{A+B}{2}) = \sqrt{3}$.
इसलिए,$\frac{A+B}{2} = \frac{\pi}{3}$,जिसका अर्थ है $A+B = \frac{2\pi}{3}$.
चूंकि $A+B+C = \pi$,इसलिए $C = \pi - (A+B) = \pi - \frac{2\pi}{3} = \frac{\pi}{3}$.

(A) नेपियर सादृश्य (Napier's Analogy) का उपयोग करते हुए,हमारे पास $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$ है।
दिया गया है $\tan \left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3} \tan \left(\frac{A+B}{2}\right)$।
चूंकि $A+B+C = 180^{\circ}$,हमारे पास $\frac{A+B}{2} = 90^{\circ} - \frac{C}{2}$ है,इसलिए $\tan \left(\frac{A+B}{2}\right) = \cot \left(\frac{C}{2}\right)$।
इसे दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{a-b}{a+b} \cot \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{1}{3} \cot \left(\frac{C}{2}\right)$।
यह मानते हुए कि $\cot \left(\frac{C}{2}\right) \neq 0$,हमें $\frac{a-b}{a+b} = \frac{1}{3}$ प्राप्त होता है।
वज्र-गुणन करने पर $3(a-b) = a+b$,जो $3a - 3b = a + b$ में सरल होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर $2a = 4b$,या $\frac{a}{b} = \frac{4}{2} = 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a : b = 2 : 1$।

(B) दिया है कि $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = \lambda$ (मान लीजिए).
हम जानते हैं कि $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$.
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{\lambda}$,$s-b = \frac{2\Delta}{\lambda}$,और $s-c = \frac{3\Delta}{\lambda}$.
योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = \frac{6\Delta}{\lambda} \implies 3s - (a+b+c) = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
चूँकि $a+b+c = 2s$,इसलिए $3s - 2s = s = \frac{6\Delta}{\lambda}$.
अतः,$s-a = \frac{s}{6}$,$s-b = \frac{s}{3}$,और $s-c = \frac{s}{2}$.
भुजाओं के लिए: $a = \frac{5s}{6}$,$b = \frac{2s}{3}$,$c = \frac{s}{2}$.
परिमाप $P = a+b+c = 2s$.
साथ ही,$b = \frac{2s}{3} \implies 3b = 2s = P$. अतः,परिमाप $3b$ है।

(A) माना दो भुजाएँ $a$ और $b$ हैं। हमें $a + b = x$ और $ab = y$ दिया गया है।
शर्त $x^2 - c^2 = y$ में $x = a + b$ रखने पर:
$(a + b)^2 - c^2 = y$
$a^2 + b^2 + 2ab - c^2 = y$
चूंकि $ab = y$,हमारे पास $a^2 + b^2 + 2y - c^2 = y$ है,जो सरल होकर $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ हो जाता है।
कोसाइन नियम के अनुसार,$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C$।
$a^2 + b^2 - c^2 = 2ab \cos C$ की तुलना $a^2 + b^2 - c^2 = -y$ और $ab = y$ से करने पर,हमें $2y \cos C = -y$ प्राप्त होता है,इसलिए $\cos C = -\frac{1}{2}$।
अतः,$C = 120^\circ$।
परिवृत्त त्रिज्या $R = \frac{c}{2 \sin C}$ द्वारा दी जाती है।
$R = \frac{c}{2 \sin 120^\circ} = \frac{c}{2 (\sqrt{3}/2)} = \frac{c}{\sqrt{3}}$।

(C) माना $r_1 = 2r_2 = 3r_3 = k$ है।
अतः $r_1 = k$,$r_2 = k/2$,और $r_3 = k/3$ है।
बहिःत्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ होती हैं।
अतः,$s-a = \frac{\Delta}{k}$,$s-b = \frac{2\Delta}{k}$,और $s-c = \frac{3\Delta}{k}$ है।
योग करने पर,$(s-a) + (s-b) + (s-c) = 3s - (a+b+c) = s$ प्राप्त होता है।
अतः,$s = \frac{\Delta}{k} (1 + 2 + 3) = \frac{6\Delta}{k}$ है।
अब,$a = s - (s-a) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{\Delta}{k} = \frac{5\Delta}{k}$ है।
और $b = s - (s-b) = \frac{6\Delta}{k} - \frac{2\Delta}{k} = \frac{4\Delta}{k}$ है।
इसलिए,$a : b = \frac{5\Delta}{k} : \frac{4\Delta}{k} = 5 : 4$ है।

(A) हम जानते हैं कि एक त्रिभुज में,क्षेत्रफल $\Delta = rs = \frac{abc}{4R}$ होता है।
साथ ही,व्यंजक $\frac{1}{ab} + \frac{1}{bc} + \frac{1}{ca}$ को $\frac{a+b+c}{abc} = \frac{2s}{abc}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
क्षेत्रफल के सूत्र से,$abc = 4R\Delta = 4R(rs) = 4Rrs$ प्राप्त होता है।
इस मान को व्यंजक में रखने पर,हमें $\frac{2s}{4Rrs} = \frac{1}{2Rr}$ प्राप्त होता है।
यहाँ $r=3$ और $R=5$ दिए गए हैं,इसलिए मान $\frac{1}{2 \times 5 \times 3} = \frac{1}{30}$ है।

(C) माना परिकेंद्र $O$ है और अंतःकेंद्र $I$ है। भुजा $BC$ के सापेक्ष $O$ और $I$ के निर्देशांकों का विश्लेषण किया जा सकता है। $BC$ से $O$ की दूरी $R \cos A$ है और $BC$ से $I$ की दूरी $r$ है। चूँकि $OI$,$BC$ के समानांतर है,इसलिए $BC$ से उनकी दूरियाँ समान होनी चाहिए,अतः $R \cos A = r$।
सर्वसमिका $r = 4R \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ का उपयोग करने पर,हमें $\cos A = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ प्राप्त होता है।
$\cos A = 1 - 2 \sin^2(A/2)$ का उपयोग करने पर,$1 - 2 \sin^2(A/2) = 4 \sin(A/2) \sin(B/2) \sin(C/2)$ प्राप्त होता है।
साथ ही,$\cos B + \cos C = 2 \cos((B+C)/2) \cos((B-C)/2) = 2 \sin(A/2) \cos((B-C)/2)$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$OI \parallel BC$ के लिए $\cos B + \cos C = 1$ होता है।

(D) हम जानते हैं कि त्रिभुज की बाह्य त्रिज्याएँ $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$,$r_2 = \frac{\Delta}{s-b}$,और $r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ द्वारा दी जाती हैं।
दिया है $r_1 : r_2 = 3 : 4$,अतः $\frac{s-b}{s-a} = \frac{3}{4}$,जिससे $s = 4b - 3a$ प्राप्त होता है।
दिया है $r_2 : r_3 = 2 : 3$,अतः $\frac{s-c}{s-b} = \frac{2}{3}$,जिससे $s = 3c - 2b$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर: $4b - 3a = 3c - 2b \implies 2b = a + c$।
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।
$r_1 : r_2 : r_3 = 3 : 4 : 6$ का उपयोग करने पर,हमें $a : b : c = 5 : 6 : 7$ प्राप्त होता है।

(D) दिया गया है कि $(r_2-r_1)(r_3-r_1)=2 r_2 r_3$।
$r_2 r_3$ से भाग देने पर,हमें $(1-\frac{r_1}{r_2})(1-\frac{r_1}{r_3})=2$ प्राप्त होता है।
$r_1 = \frac{\Delta}{s-a}, r_2 = \frac{\Delta}{s-b}, r_3 = \frac{\Delta}{s-c}$ का उपयोग करने पर,$(1-\frac{s-b}{s-a})(1-\frac{s-c}{s-a})=2$ प्राप्त होता है।
यह $(\frac{s-a-s+b}{s-a})(\frac{s-a-s+c}{s-a})=2$ में सरल हो जाता है,जो $(b-a)(c-a)=2(s-a)^2$ है।
चूंकि $2(s-a) = b+c-a$,हमारे पास $(b-a)(c-a) = \frac{1}{2}(b+c-a)^2$ है।
इसका विस्तार करने पर $b^2+c^2-a^2=0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a^2=b^2+c^2$,जिसका अर्थ है $\angle A=90^{\circ}$।
हम जानते हैं कि $2(r+R) = 2r+2R = (b+c-a) + a = b+c$।
चूंकि $b=2R \sin B$ और $c=2R \sin C$,$b+c = 2R(\sin B + \sin C) = 2R(2 \sin \frac{B+C}{2} \cos \frac{B-C}{2})$।
चूंकि $A=90^{\circ}$,$B+C=90^{\circ}$,इसलिए $\sin \frac{B+C}{2} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$।
अतः,$2(r+R) = 4R(\frac{1}{\sqrt{2}}) \cos \frac{B-C}{2} = 2 \sqrt{2} R \cos \frac{B-C}{2}$।

(C) $\triangle ABC$ में,$A+B+C=\pi$.
हम जानते हैं कि $r_1 = 4R \sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$ और $r_2 = 4R \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2} \cos \frac{C}{2}$.
इनका योग करने पर,$r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} [\sin \frac{A}{2} \cos \frac{B}{2} + \cos \frac{A}{2} \sin \frac{B}{2}]$.
सर्वसमिका $\sin(x+y) = \sin x \cos y + \cos x \sin y$ का उपयोग करने पर,हमें $r_1+r_2 = 4R \cos \frac{C}{2} \sin(\frac{A+B}{2})$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A+B = \pi - C$,इसलिए $\sin(\frac{A+B}{2}) = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{C}{2}) = \cos \frac{C}{2}$.
अतः,$r_1+r_2 = 4R \cos^2 \frac{C}{2}$.
अब,$(r_1+r_2) \operatorname{cosec}^2 \frac{C}{2} = \frac{4R \cos^2 \frac{C}{2}}{\sin^2 \frac{C}{2}} = 4R \cot^2 \frac{C}{2}$.