Relation between sides and angles, Solutions of triangles Questions in Hindi

(A) दी गई भुजाएँ $a=4, b=5, c=7$ हैं।
सबसे पहले,अर्ध-परिमाप $s$ की गणना करें:
$s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{4+5+7}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$\sin \left(\frac{A}{2}\right)$ के लिए सूत्र है:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$.
मान रखने पर:
$\sin \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(8-5)(8-7)}{5 \times 7}} = \sqrt{\frac{3 \times 1}{35}} = \sqrt{\frac{3}{35}}$.

(B) ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$।
सर्वसमिका $\sin A = 2 \sin \frac{A}{2} \cos \frac{A}{2}$ का उपयोग करते हुए,$\sin \frac{A}{2} = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ प्राप्त होता है,जहाँ $s$ अर्ध-परिमाप है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\sqrt{(s-b)(s-c)} \leq \frac{(s-b)+(s-c)}{2} = \frac{a}{2}$।
अतः,$\sin \frac{A}{2} = \frac{\sqrt{(s-b)(s-c)}}{\sqrt{bc}} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$।
इस प्रकार,$\sin \frac{A}{2} \leq \frac{a}{2 \sqrt{bc}}$।

(A) दी गई भुजाएँ $a=13, b=14, c=15$ हैं।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21$.
सूत्र $\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{bc}}$ का उपयोग करने पर:
$s-b = 21-14 = 7$
$s-c = 21-15 = 6$
$\sin(\frac{A}{2}) = \sqrt{\frac{7 \times 6}{14 \times 15}} = \sqrt{\frac{42}{210}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $\operatorname{cosec} A(\sin B \cos C + \cos B \sin C)$
त्रिकोणमितीय सर्वसमिका $\sin(B + C) = \sin B \cos C + \cos B \sin C$ का उपयोग करने पर,व्यंजक इस प्रकार होगा:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin(B + C)$
एक $\triangle ABC$ में,$A + B + C = \pi$ होता है,इसलिए $B + C = \pi - A$।
अतः,$\sin(B + C) = \sin(\pi - A) = \sin A$।
इस मान को व्यंजक में रखने पर:
$\operatorname{cosec} A \cdot \sin A = \frac{1}{\sin A} \cdot \sin A = 1$।

(B) दिया गया है $BC = a, CA = b$ और $AB = c$ है।
$a: b: c$ ज्ञात करने के लिए।
चूंकि त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए:
$\angle ACB = 180^{\circ} - (\angle BAC + \angle ABC)$
$\angle ACB = 180^{\circ} - (30^{\circ} + 60^{\circ}) = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ}$ है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर:
$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$
$\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$
ज्या फलनों के मान रखने पर:
$\frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$
$1/2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a : b : c = \frac{1}{2} : \frac{\sqrt{3}}{2} : 1$
अनुपात को $2$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$.

(D) दिया गया है कि $\triangle ABC$ में,कोण $A, B, C$ $AP$ में हैं,इसलिए $2B = A + C$.
चूंकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमारे पास $3B = 180^{\circ}$ है,जिसका अर्थ है $B = 60^{\circ}$.
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$,हमें $\frac{b}{c} = \frac{\sin B}{\sin C}$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर,$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{\sin 60^{\circ}}{\sin C} = \frac{\sqrt{3}/2}{\sin C}$.
यह सरल होकर $\sin C = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ हो जाता है,इसलिए $C = 45^{\circ}$.
अंत में,$\angle A = 180^{\circ} - (B + C) = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 45^{\circ}) = 75^{\circ}$.

(C) एक $\triangle ABC$ में,यह दिया गया है कि $a=1$,$b=\sqrt{3}$ और $\angle C=\frac{\pi}{6}$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{1^2 + (\sqrt{3})^2 - c^2}{2(1)(\sqrt{3})}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1 + 3 - c^2}{2\sqrt{3}}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4 - c^2}{2\sqrt{3}}$
दोनों पक्षों को $2\sqrt{3}$ से गुणा करने पर:
$3 = 4 - c^2$
$c^2 = 4 - 3 = 1$
चूंकि $c$ भुजा की लंबाई दर्शाता है,इसलिए $c = 1$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) $SSS$ (भुजा-भुजा-भुजा) सर्वांगसमता कसौटी के अनुसार,एक त्रिभुज को उसकी तीन भुजाओं द्वारा अद्वितीय रूप से निर्धारित किया जा सकता है।
अतः,विकल्प $(B)$ सही है।

(A) दिया गया है कि भुजा की लंबाई $a = 2$ और उसका सम्मुख कोण $A = \frac{\pi}{3}$ है।
ज्या नियम (sine law) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = 2R$,जहाँ $R$ परिवृत्त त्रिज्या है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{2}{\sin(\frac{\pi}{3})} = 2R$
$\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R$
$\frac{4}{\sqrt{3}} = 2R$
$R = \frac{2}{\sqrt{3}}$
अतः,त्रिभुज की परिवृत्त त्रिज्या $\frac{2}{\sqrt{3}}$ है।

(A) $\triangle ABC$ में,कोज्या (cosine) नियम के अनुसार:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2(AB)(BC) \cos \theta$
$AC^2 = 6^2 + 4^2 - 2(6)(4) \cos \theta = 36 + 16 - 48 \cos \theta = 52 - 48 \cos \theta \quad (i)$
चक्रीय चतुर्भुज में,सम्मुख कोण संपूरक होते हैं। अतः,$\angle ADC = 180^{\circ} - \theta$.
$\triangle ADC$ में,कोज्या नियम के अनुसार:
$AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2(AD)(CD) \cos(180^{\circ} - \theta)$
चूंकि $\cos(180^{\circ} - \theta) = -\cos \theta$,इसलिए:
$AC^2 = 3^2 + 5^2 - 2(3)(5)(-\cos \theta) = 9 + 25 + 30 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$52 - 48 \cos \theta = 34 + 30 \cos \theta$
$52 - 34 = 30 \cos \theta + 48 \cos \theta$
$18 = 78 \cos \theta$
$\cos \theta = \frac{18}{78} = \frac{3}{13}$

(B) ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करने पर,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$ प्राप्त होता है। इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{a^2+b^2}{a^2-b^2} \sin (A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin^2 A - \sin^2 B} \sin (A-B)$
सर्वसमिका $\sin^2 A - \sin^2 B = \sin(A+B) \sin(A-B)$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B) \sin(A-B)} \sin(A-B) = \frac{\sin^2 A + \sin^2 B}{\sin(A+B)}$
चूंकि $A+B = 90^{\circ}$,इसलिए $\sin(A+B) = 1$ और $\sin B = \cos A$ होगा।
$= \sin^2 A + \cos^2 A = 1$
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) माना $AM$,$\triangle ABC$ की शीर्ष $A$ से होकर जाने वाली माध्यिका है। दिया गया है कि $AM \perp AC$,इसलिए $\angle MAC = 90^{\circ}$ है।
चूंकि $AM$ माध्यिका है,$M$,$BC$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $BM = MC$ है।
$\triangle AMC$ में,$\angle MAC = 90^{\circ}$,इसलिए $\tan C = \frac{AM}{AC}$,जिसका अर्थ है $AM = AC \tan C$।
त्रिभुज के गुणों और लंबवतता का उपयोग करते हुए,यह सिद्ध किया जा सकता है कि $\tan A = -2 \tan C$ है।
अतः,$\frac{\tan A}{\tan C} = -2$।

(B) हम जानते हैं कि $\tan \frac{A}{2} = \frac{\Delta}{s(s-a)}$ और $\tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s(s-b)}$.
इनका योग करने पर,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{\Delta}{s} \left( \frac{1}{s-a} + \frac{1}{s-b} \right) = \frac{c \Delta}{s(s-a)(s-b)}$.
$\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ का उपयोग करने पर,$\frac{\Delta}{(s-a)(s-b)} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{(s-a)(s-b)}} = \cot \frac{C}{2}$.
अतः,$\tan \frac{A}{2} + \tan \frac{B}{2} = \frac{c}{s} \cot \frac{C}{2} = \frac{2c \cot \frac{C}{2}}{a+b+c}$.

(C) दिया गया है $a=2, b=\sqrt{6}, c=\sqrt{3}+1$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} = \frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
अब,$\sin^2 C - \sin^2 A = \cos^2 A - \cos^2 C = (\frac{1}{\sqrt{2}})^2 - (\frac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} - \frac{4-2\sqrt{3}}{8} = \frac{\sqrt{3}}{4}$.

(A) कोणों का अनुपात $A: B: C = 5: 1: 6$ दिया गया है। माना कोण $5k, k, 6k$ हैं। त्रिभुज के कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है,इसलिए $5k + k + 6k = 180^{\circ}$,जिससे $12k = 180^{\circ}$,अर्थात $k = 15^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = 75^{\circ}$,$B = 15^{\circ}$,और $C = 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$.
इसलिए,$a: b: c = \sin 75^{\circ}: \sin 15^{\circ}: \sin 90^{\circ}$.
हम जानते हैं कि $\sin 75^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ और $\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ तथा $\sin 90^{\circ} = 1$.
अतः,$a: b: c = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}: \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}: 1$.
$4$ से गुणा करने पर,$a: b: c = (\sqrt{6} + \sqrt{2}): (\sqrt{6} - \sqrt{2}): 4$.
$\sqrt{2}$ से भाग देने पर,$a: b: c = (\sqrt{3} + 1): (\sqrt{3} - 1): 2\sqrt{2}$.

(B) हमें व्यंजक $b \cos (C+\theta) + c \cos (B-\theta)$ दिया गया है।
$\cos(x \pm y) = \cos x \cos y \mp \sin x \sin y$ सर्वसमिका का उपयोग करके विस्तार करने पर:
$= b(\cos C \cos \theta - \sin C \sin \theta) + c(\cos B \cos \theta + \sin B \sin \theta)$
$= (b \cos C + c \cos B) \cos \theta - (b \sin C - c \sin B) \sin \theta$
प्रक्षेप सूत्र के अनुसार,$b \cos C + c \cos B = a$ है।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R$,जिसका अर्थ है कि $b \sin C = c \sin B$,इसलिए $b \sin C - c \sin B = 0$ है।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= a \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta = a \cos \theta$.

(C) दिया गया व्यंजक $(a+b+c)(b+c-a) = \lambda bc$ है।
इसे $((b+c)+a)((b+c)-a) = \lambda bc$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$ सर्वसमिका का उपयोग करने पर,$(b+c)^2 - a^2 = \lambda bc$ प्राप्त होता है।
विस्तार करने पर,$b^2 + c^2 + 2bc - a^2 = \lambda bc$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$b^2 + c^2 - a^2 = (\lambda - 2)bc$।
दोनों पक्षों को $2bc$ से विभाजित करने पर,$\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{\lambda - 2}{2}$ प्राप्त होता है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,इसलिए $\cos A = \frac{\lambda - 2}{2}$।
चूंकि त्रिभुज के लिए $-1 < \cos A < 1$ होता है,इसलिए $-1 < \frac{\lambda - 2}{2} < 1$ होगा।
$2$ से गुणा करने पर,$-2 < \lambda - 2 < 2$।
सभी पक्षों में $2$ जोड़ने पर,$0 < \lambda < 4$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है $a: b: c = 4: 5: 6$. मान लीजिए $a = 4k, b = 5k, c = 6k$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{3}{4}$.
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{9}{16}$.
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{1}{8}$.
अब,व्यंजक की गणना करने पर:
$\frac{\cos A + 3 \cos C}{\cos B} = \frac{\frac{3}{4} + 3(\frac{1}{8})}{\frac{9}{16}} = \frac{\frac{9}{8}}{\frac{9}{16}} = 2$.

(D) किसी भी त्रिभुज $ABC$ में,कोणों का योग $A+B+C = 180^{\circ}$ होता है।
इसलिए,$B+C = 180^{\circ} - A$.
अतः,$\cos(B+C) = \cos(180^{\circ} - A) = -\cos A$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करते हुए,$\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
दिए गए मान $a=13, b=8, c=7$ रखने पर:
$\cos A = \frac{8^2 + 7^2 - 13^2}{2 \times 8 \times 7} = \frac{64 + 49 - 169}{112} = \frac{113 - 169}{112} = \frac{-56}{112} = -\frac{1}{2}$.
अंत में,$\cos(B+C) = -\cos A = -(-\frac{1}{2}) = \frac{1}{2}$.

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos(C)$.
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(\sqrt{19})^2 = a^2 + 3^2 - 2(a)(3) \cos(120^{\circ})$.
$19 = a^2 + 9 - 6a(-1/2)$.
$19 = a^2 + 9 + 3a$.
$a^2 + 3a - 10 = 0$.
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(a+5)(a-2) = 0$.
चूंकि $a$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $a = 2$.

(B) नेपियर सादृश्य (Tangent Rule) का उपयोग करते हुए: $\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{a-b}{a+b} \cot\left(\frac{C}{2}\right)$.
दिया है $a=5, b=4$,अतः $\frac{a-b}{a+b} = \frac{5-4}{5+4} = \frac{1}{9}$.
$\cos(A-B) = \frac{31}{32}$ से,सर्वसमिका $\tan^2\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1-\cos(A-B)}{1+\cos(A-B)} = \frac{1-\frac{31}{32}}{1+\frac{31}{32}} = \frac{1}{63}$ प्राप्त होता है।
अतः,$\tan\left(\frac{A-B}{2}\right) = \frac{1}{3\sqrt{7}}$.
मान रखने पर: $\frac{1}{3\sqrt{7}} = \frac{1}{9} \cot\left(\frac{C}{2}\right) \implies \cot\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{3}{\sqrt{7}}$.
अतः $\tan^2\left(\frac{C}{2}\right) = \frac{7}{9}$.
$\cos C = \frac{1-\tan^2(C/2)}{1+\tan^2(C/2)} = \frac{1-7/9}{1+7/9} = \frac{1}{8}$.
कोसाइन नियम के अनुसार: $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos C = 25 + 16 - 2(5)(4)(\frac{1}{8}) = 36$.
अतः,$c = 6$.

(B) दिया गया है कि $A, B, C$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2B = A + C$। चूँकि $A + B + C = 180^{\circ}$,हमें $3B = 180^{\circ}$ प्राप्त होता है,अतः $B = 60^{\circ}$।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos B$। चूँकि $B = 60^{\circ}$,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,इसलिए $b^2 = a^2 + c^2 - ac$।
अतः,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} = b$।
प्रक्षेपण सूत्र का उपयोग करते हुए,$\cos((A-C)/2) = \frac{a+c}{b} \sin(B/2) = \frac{a+c}{b} \sin 30^{\circ} = \frac{a+c}{2b}$।
इसलिए,$\sqrt{a^2 - ac + c^2} \cdot \cos \left(\frac{A-C}{2}\right) = b \cdot \frac{a+c}{2b} = \frac{a+c}{2}$।

(D) हम जानते हैं कि किसी भी $\triangle ABC$ में,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + 4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ होता है।
अंतःत्रिज्या $r = 4R \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right)$ के सर्वसमिका का उपयोग करके,हम साइन के गुणनफल को प्रतिस्थापित कर सकते हैं।
अतः,$4 \sin \left(\frac{A}{2}\right) \sin \left(\frac{B}{2}\right) \sin \left(\frac{C}{2}\right) = \frac{r}{R}$ होता है।
इसलिए,$\cos A + \cos B + \cos C = 1 + \frac{r}{R}$।

(D) $\triangle ABC$ में दिया गया है:
$a=26, b=30, \cos C=\frac{63}{65}$.
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$
$\frac{63}{65} = \frac{26^2+30^2-c^2}{2 \times 26 \times 30}$
$\frac{63}{65} = \frac{676+900-c^2}{1560}$
$c^2 = 1576 - \frac{63 \times 1560}{65}$
$c^2 = 1576 - (63 \times 24)$
$c^2 = 1576 - 1512 = 64$
$c = \sqrt{64} = 8$.

(B) माना त्रिभुज के कोण $A - d, A, A + d$ हैं। कोणों का योग $180^{\circ}$ है,इसलिए $3A = 180^{\circ}$,जिससे $A = 60^{\circ}$ प्राप्त होता है।
अतः,कोण $60^{\circ} - d, 60^{\circ}, 60^{\circ} + d$ हैं।
इन कोणों के सम्मुख भुजाएँ $a, b, c$ हैं। दी गई दो भुजाएँ $7$ और $8$ हैं। माना भुजाएँ $a, 7, 8$ हैं जहाँ $a$ सबसे छोटी भुजा है।
$60^{\circ}$ कोण के लिए कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
स्थिति $3$: यदि $60^{\circ}$ कोण $8$ भुजा के सम्मुख है,तो $7^2 = a^2 + 8^2 - 2(a)(8) \cos 60^{\circ}$ $\Rightarrow 49 = a^2 + 64 - 8a$ $\Rightarrow a^2 - 8a + 15 = 0$.
$a^2 - 8a + 15 = 0$ को हल करने पर $(a - 3)(a - 5) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 3$ या $a = 5$ है।
चूंकि $a$ सबसे छोटी भुजा है,इसलिए $3 < 7$ और $5 < 7$ दोनों मान्य हैं।
अतः,$a_1 = 3$ और $a_2 = 5$ है।
अंत में,$2 a_1 + 3 a_2 = 2(3) + 3(5) = 6 + 15 = 21$।

(C) दिया गया है $a=13, b=14$ और $\cos \frac{C}{2}=\frac{3}{\sqrt{13}}$.
सूत्र $\cos \frac{C}{2} = \sqrt{\frac{s(s-c)}{ab}}$ का उपयोग करने पर,$\frac{s(s-c)}{ab} = \frac{9}{13}$ प्राप्त होता है।
$a=13, b=14$ रखने पर,$\frac{s(s-c)}{182} = \frac{9}{13}$,अतः $s(s-c) = 126$.
चूंकि $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{27+c}{2}$,इसलिए $s-c = \frac{27-c}{2}$.
अतः,$\left(\frac{27+c}{2}\right)\left(\frac{27-c}{2}\right) = 126$ $\Rightarrow 729-c^2 = 504$ $\Rightarrow c^2 = 225$ $\Rightarrow c=15$.
तब $s = \frac{13+14+15}{2} = 21$.
बहिःत्रिज्या $r_1 = \frac{\Delta}{s-a}$ द्वारा दी जाती है।
क्षेत्रफल $\Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \sqrt{21(8)(7)(6)} = 84$.
अतः,$r_1 = \frac{84}{21-13} = \frac{84}{8} = 10.5$.
इसलिए,$2r_1 = 2 \times 10.5 = 21 = s$.

(A) दिया गया है $b+c = 7k$,$c+a = 8k$,और $a+b = 9k$.
इन समीकरणों को जोड़ने पर,$2(a+b+c) = 24k$,जिसका अर्थ है $a+b+c = 12k$.
$a+b+c = 12k$ में से दिए गए समीकरणों को घटाने पर:
$a = 12k - 7k = 5k$.
$b = 12k - 8k = 4k$.
$c = 12k - 9k = 3k$.
चूंकि $c < b < a$,सबसे छोटा कोण $C$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$.
$\cos C = \frac{(5k)^2 + (4k)^2 - (3k)^2}{2(5k)(4k)} = \frac{32k^2}{40k^2} = \frac{4}{5}$.
अतः,सबसे छोटा कोण $C = \cos^{-1}\left(\frac{4}{5}\right)$ है।

(C) दिया गया है $a \cos^2 \frac{C}{2} + c \cos^2 \frac{A}{2} = \frac{3b}{2}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2\theta}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{a(1 + \cos C) + c(1 + \cos A)}{2} = \frac{3b}{2}$.
$a + a \cos C + c + c \cos A = 3b$.
$\triangle ABC$ में प्रक्षेप नियम (projection rule) के अनुसार,$a \cos C + c \cos A = b$.
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$a + c + b = 3b$.
$a + c = 2b$.
अतः,$\frac{a+c}{b} = \frac{2}{1}$,जिसका अर्थ है $a+c : b = 2 : 1$.

(A) दिया गया है,त्रिभुज $ABC$ में,हमें $\frac{a \cos A - b \cos B}{a \cos B - b \cos A} + \cos C$ का मान ज्ञात करना है।
ज्या नियम (sine rule) का उपयोग करते हुए,$a = 2R \sin A$ और $b = 2R \sin B$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{2R \sin A \cos A - 2R \sin B \cos B}{2R \sin A \cos B - 2R \sin B \cos A} + \cos C$
$= \frac{\sin 2A - \sin 2B}{2(\sin A \cos B - \sin B \cos A)} + \cos C$
सूत्र $\sin 2A - \sin 2B = 2 \sin(A - B) \cos(A + B)$ और $\sin(A - B) = \sin A \cos B - \sin B \cos A$ का उपयोग करने पर:
$= \frac{2 \sin(A - B) \cos(A + B)}{2 \sin(A - B)} + \cos C$
$= \cos(A + B) + \cos C$
चूंकि $A + B = \pi - C$,इसलिए $\cos(A + B) = \cos(\pi - C) = -\cos C$।
$= -\cos C + \cos C = 0$.

(D) दिया गया है,त्रिभुज $ABC$ में $a=2$,$b=3$ और $c=4$ है।
अर्ध-परिमाप $s = \frac{a+b+c}{2} = \frac{2+3+4}{2} = 4.5$ है।
$\tan \left(\frac{A}{2}\right)$ का सूत्र $\sqrt{\frac{(s-b)(s-c)}{s(s-a)}}$ है।
मान रखने पर:
$\tan \left(\frac{A}{2}\right) = \sqrt{\frac{(4.5-3)(4.5-4)}{4.5(4.5-2)}}$
$= \sqrt{\frac{1.5 \times 0.5}{4.5 \times 2.5}}$
$= \sqrt{\frac{0.75}{11.25}} = \sqrt{\frac{1}{15}}$.

(C) दिया गया है कि त्रिभुज के कोणों का अनुपात $1: 2: 3$ है।
कोण योग गुणधर्म के अनुसार,त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
माना कोण $x, 2x, 3x$ हैं।
तब $x + 2x + 3x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow 6x = 180^{\circ}$ $\Rightarrow x = 30^{\circ}$।
अतः,कोण $A = 30^{\circ}, B = 60^{\circ}, C = 90^{\circ}$ हैं।
ज्या नियम (sine rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C}$।
मान रखने पर: $\frac{a}{\sin 30^{\circ}} = \frac{b}{\sin 60^{\circ}} = \frac{c}{\sin 90^{\circ}}$।
$\Rightarrow \frac{a}{1/2} = \frac{b}{\sqrt{3}/2} = \frac{c}{1}$।
$1/2$ से गुणा करने पर,हमें $a : b : c = 1 : \sqrt{3} : 2$ प्राप्त होता है।

(D) दी गई व्यंजक $2(bc \cos A + ca \cos B + ab \cos C) = 2bc \cos A + 2ca \cos B + 2ab \cos C$ है।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,हम जानते हैं कि $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}$,और $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= 2bc \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) + 2ca \left(\frac{c^2 + a^2 - b^2}{2ca}\right) + 2ab \left(\frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}\right)$
$= (b^2 + c^2 - a^2) + (c^2 + a^2 - b^2) + (a^2 + b^2 - c^2)$
$= a^2 + b^2 + c^2$।
अतः,मान $a^2 + b^2 + c^2$ है।

(C) दिया है: $\frac{a}{b}=2+\sqrt{3}$ और $\angle C=60^{\circ}$।
चूंकि $A+B+C=180^{\circ}$,इसलिए $A+B=120^{\circ}$ $(1)$।
ज्या नियम (sine rule) से,$\frac{\sin A}{\sin B} = \frac{a}{b} = 2+\sqrt{3}$।
योगांतरानुपात (componendo and dividendo) का उपयोग करने पर:
$\frac{\sin A + \sin B}{\sin A - \sin B} = \frac{3+\sqrt{3}}{\sqrt{3}+1} = \sqrt{3}$।
सूत्र का उपयोग करने पर:
$\tan(\frac{A+B}{2}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$।
$\frac{A+B}{2} = 60^{\circ}$ होने के कारण,$\tan(60^{\circ}) \cot(\frac{A-B}{2}) = \sqrt{3}$।
$\cot(\frac{A-B}{2}) = 1$ $\Rightarrow \frac{A-B}{2} = 45^{\circ}$ $\Rightarrow A-B = 90^{\circ}$ $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को जोड़ने पर: $2A = 210^{\circ} \Rightarrow A = 105^{\circ}$।

(B) दिया है: $a=2, b=3, c=4$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$.
मान रखने पर: $\cos C = \frac{2^2 + 3^2 - 4^2}{2 \times 2 \times 3}$.
$\cos C = \frac{4 + 9 - 16}{12}$.
$\cos C = \frac{13 - 16}{12} = \frac{-3}{12}$.
अतः,$\cos C = -\frac{1}{4}$.

(B) दी गई व्यंजक: $(b+c) \cos A + (c+a) \cos B + (a+b) \cos C$
पदों का विस्तार करने पर: $(b \cos A + c \cos A) + (c \cos B + a \cos B) + (a \cos C + b \cos C)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $(b \cos A + a \cos B) + (c \cos A + a \cos C) + (c \cos B + b \cos C)$
त्रिभुज के लिए प्रक्षेप सूत्र (projection formula) का उपयोग करने पर:
$c = a \cos B + b \cos A$
$b = a \cos C + c \cos A$
$a = b \cos C + c \cos B$
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$= c + b + a = a + b + c$

(B) किसी भी $\triangle ABC$ में,कोज्या नियम (Law of Cosines) के अनुसार:
$\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$,$\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$,और $\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$।
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{\cos A}{a} + \frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2abc} + \frac{a^2+c^2-b^2}{2abc} + \frac{a^2+b^2-c^2}{2abc}$
$= \frac{(b^2+c^2-a^2) + (a^2+c^2-b^2) + (a^2+b^2-c^2)}{2abc}$
$= \frac{a^2+b^2+c^2}{2abc}$।

(A) $\triangle ABC$ में दिया गया है: $a=6$,$b=5$,$c=4$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\cos A = \frac{5^2 + 4^2 - 6^2}{2 \times 5 \times 4} = \frac{25 + 16 - 36}{40} = \frac{5}{40} = \frac{1}{8}$.
अब,सूत्र $\cos 2A = 2\cos^2 A - 1$ का उपयोग करने पर:
$\cos 2A = 2 \left(\frac{1}{8}\right)^2 - 1 = 2 \left(\frac{1}{64}\right) - 1 = \frac{1}{32} - 1 = \frac{1 - 32}{32} = -\frac{31}{32}$.

(C) दिया गया व्यंजक: $a(b \cos C - c \cos B)$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ और $\cos B = \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$.
इन मानों को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
$a \left( b \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab} \right) - c \left( \frac{a^2+c^2-b^2}{2ac} \right) \right)$
$= a \left( \frac{a^2+b^2-c^2}{2a} - \frac{a^2+c^2-b^2}{2a} \right)$
$= \frac{1}{2} (a^2+b^2-c^2 - a^2 - c^2 + b^2)$
$= \frac{1}{2} (2b^2 - 2c^2)$
$= b^2 - c^2$.

(C) कोसाइन नियम लागू करें: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
दिया है $\angle A = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$.
$\frac{1}{2} = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$ $\Rightarrow bc = b^2+c^2-a^2$ $\Rightarrow b^2+c^2 = bc+a^2 \dots (i)$.
अब,व्यंजक $\frac{b}{c+a} + \frac{c}{a+b} = \frac{b(a+b) + c(c+a)}{(c+a)(a+b)}$ पर विचार करें।
$= \frac{ab+b^2+c^2+ac}{ac+a^2+bc+ab}$.
समीकरण $(i)$ से $b^2+c^2 = bc+a^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$= \frac{ab+(bc+a^2)+ac}{ac+a^2+bc+ab} = \frac{ab+bc+a^2+ac}{ab+bc+a^2+ac} = 1$.

(D) दिया है $a \cos A = b \cos B$.
कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$a \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) = b \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right)$
$\Rightarrow \frac{a}{b} (b^2 + c^2 - a^2) = \frac{b}{a} (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2 (b^2 + c^2 - a^2) = b^2 (a^2 + c^2 - b^2)$
$\Rightarrow a^2b^2 + a^2c^2 - a^4 = a^2b^2 + b^2c^2 - b^4$
$\Rightarrow a^4 - b^4 + b^2c^2 - a^2c^2 = 0$
$\Rightarrow (a^2 - b^2)(a^2 + b^2 - c^2) = 0$
चूँकि $a \neq b$,इसलिए $a^2 - b^2 \neq 0$.
अतः,$a^2 + b^2 = c^2$.
इस प्रकार,$\triangle ABC$ एक समकोण त्रिभुज है।

(D) दी गई भुजाएँ $a=3, b=5, c=3$ हैं।
कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए: $\cos A = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\cos A = \frac{5^2 + 3^2 - 3^2}{2 \times 5 \times 3}$.
$\cos A = \frac{25 + 9 - 9}{30} = \frac{25}{30}$.
$\cos A = \frac{5}{6}$.

(B) हम जानते हैं कि $\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A$ और $\cos 2B = 1 - 2\sin^2 B$ होता है।
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$\frac{1 - 2\sin^2 A}{a^2} - \frac{1 - 2\sin^2 B}{b^2} = \frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2} - 2 \left( \frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} \right)$
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$,इसलिए $\frac{\sin^2 A}{a^2} - \frac{\sin^2 B}{b^2} = 0$।
अतः,व्यंजक का मान $\frac{1}{a^2} - \frac{1}{b^2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है $\angle A = 60^{\circ}$। कोसाइन नियम के अनुसार,$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A$।
चूँकि $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2}$,हमारे पास $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \left(\frac{1}{2}\right) = b^2 + c^2 - bc$ है।
अब,व्यंजक $(a+b+c)(b+c-a)$ पर विचार करें।
इसे $((b+c)+a)((b+c)-a) = (b+c)^2 - a^2$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसका विस्तार करने पर,हमें $b^2 + c^2 + 2bc - a^2$ प्राप्त होता है।
$a^2 = b^2 + c^2 - bc$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें मिलता है:
$b^2 + c^2 + 2bc - (b^2 + c^2 - bc) = b^2 + c^2 + 2bc - b^2 - c^2 + bc = 3bc$.

(C) $\triangle ABC$ में दिया गया है: $a=3, b=4$ और $\sin A = \frac{3}{4}$.
ज्या नियम (Sine Rule) का उपयोग करने पर: $\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b}$.
मान रखने पर: $\frac{\frac{3}{4}}{3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{3}{4 \times 3} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \frac{1}{4} = \frac{\sin B}{4}$.
$\Rightarrow \sin B = 1$.
चूँकि $\sin B = 1$, इसलिए $B = 90^{\circ}$.
अतः, $\angle CBA = 90^{\circ}$.

(C) $\triangle ABC$ में दिया गया है कि $A=75^{\circ}$ और $B=45^{\circ}$ है।
त्रिभुज के कोण योग गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$C = 180^{\circ} - (75^{\circ} + 45^{\circ}) = 60^{\circ}$।
ज्या नियम (Sine Rule) के अनुसार,$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = k$।
अतः,$b = k \sin 45^{\circ} = k \frac{1}{\sqrt{2}}$ और $c = k \sin 60^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}}{2}$।
साथ ही,$a = k \sin 75^{\circ} = k \frac{\sqrt{3}+1}{2\sqrt{2}}$।
हमें $b + c\sqrt{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$b + c\sqrt{2} = k \frac{1}{\sqrt{2}} + k \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{2} = k \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}}$।
$a$ के पदों में मान रखने पर,$b + c\sqrt{2} = \left( \frac{2\sqrt{2}a}{\sqrt{3}+1} \right) \left( \frac{\sqrt{3}+1}{\sqrt{2}} \right) = 2a$।

(D) दिया है: $a=6 \text{ cm}$,$b=10 \text{ cm}$,$c=14 \text{ cm}$.
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर:
$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{6^2 + 10^2 - 14^2}{2 \times 6 \times 10} = \frac{36 + 100 - 196}{120} = \frac{-60}{120} = -\frac{1}{2}$.
चूंकि $\cos C = -\frac{1}{2}$,इसलिए $C = 120^{\circ}$,जो एक अधिक कोण है।
त्रिभुज के सभी कोणों का योग $180^{\circ}$ होता है।
अतः,शेष दो कोणों (जो न्यून कोण होंगे) का योग $A + B = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ}$ है।

(A) माना त्रिभुज की भुजाएँ $a = x^2+x+1$,$b = 2x+1$,और $c = x^2-1$ हैं।
चूँकि $x^2+x+1$ सबसे बड़ी भुजा है,इसलिए सबसे बड़ा कोण $A$ भुजा $a$ के सम्मुख है।
कोज्या नियम (Law of Cosines) का उपयोग करने पर: $\cos A = \frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$.
मान रखने पर: $\cos A = \frac{(2x+1)^2 + (x^2-1)^2 - (x^2+x+1)^2}{2(2x+1)(x^2-1)}$.
पदों का विस्तार करने पर: $\cos A = -\frac{1}{2}$.
अतः,$A = 120^{\circ}$।

(C) दिया है,$b = 2$,$c = 3$,और $\angle B = \frac{\pi}{6}$।
$\triangle ABC$ में कोसाइन नियम का उपयोग करने पर:
$\cos B = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{a^2 + 3^2 - 2^2}{2 \cdot a \cdot 3}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 9 - 4}{6a}$
$\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2 + 5}{6a}$
दोनों पक्षों को $6a$ से गुणा करने पर:
$3\sqrt{3} a = a^2 + 5$
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a^2 - 3\sqrt{3} a + 5 = 0$

(C) कोसाइन नियम का उपयोग करते हुए,$\cos C = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
दिया गया है कि $\angle C = 60^{\circ}$,इसलिए $\cos 60^{\circ} = \frac{1}{2} = \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}$ है।
इसका अर्थ है $ab = a^2+b^2-c^2$,या $a^2+b^2 = ab+c^2$ है।
अब,दिए गए व्यंजक में $a^2+b^2$ का मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{c(a+b)+(a^2+b^2)}{(b+c)(c+a)} = \frac{ca+cb+ab+c^2}{bc+ab+c^2+ac}$ प्राप्त होता है।
चूँकि अंश और हर समान हैं,इसलिए इसका मान $1$ है।

(C) हमें दिया गया है कि $\Sigma(q+r) \cos P = (q+r) \cos P + (r+p) \cos Q + (p+q) \cos R$.
इसका विस्तार करने पर:
$(q \cos P + r \cos P) + (r \cos Q + p \cos Q) + (p \cos R + q \cos R)$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$(q \cos P + p \cos Q) + (r \cos P + p \cos R) + (r \cos Q + q \cos R)$
प्रोजेक्शन लॉ (प्रक्षेप नियम) के अनुसार,हम जानते हैं कि $r = q \cos P + p \cos Q$,$q = r \cos P + p \cos R$,और $p = r \cos Q + q \cos R$.
इन मानों को व्यंजक में रखने पर:
$r + q + p = p + q + r$
चूंकि अर्ध-परिमाप $s = \frac{p+q+r}{2}$ है,इसलिए $p+q+r = 2s$ होगा।
अतः,$\Sigma(q+r) \cos P = 2s$.