Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Gujarati

(D) $xyz = 60$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલો શોધવા માટે,આપણે પહેલા $60$ નું અવિભાજ્ય અવયવીકરણ કરીએ.
$60 = 2^2 \times 3^1 \times 5^1$.
આપણે $2^2, 3^1, 5^1$ અવયવોને $x, y, z$ વચ્ચે વહેંચવાના છે.
$2^2$ અવયવ માટે,$3$ ચલ વચ્ચે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{n+k-1}{k-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=2$ અને $k=3$.
$2^2$ માટે રીતોની સંખ્યા = $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$.
$3^1$ અવયવ માટે,રીતોની સંખ્યા = $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$.
$5^1$ અવયવ માટે,રીતોની સંખ્યા = $\binom{1+3-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$.
કુલ ઉકેલોની સંખ્યા = $6 \times 3 \times 3 = 54$.

(C) $(i).$ $n$ વસ્તુઓને $k$ પાત્રોમાં એવી રીતે મૂકવાની રીતો કે જેથી કોઈ પાત્ર ખાલી ન રહે તે $x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા છે,જે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(ii).$ ધન પૂર્ણાંક $n$ ને $k$ ધન પૂર્ણાંકોના સરવાળા તરીકે લખવાની રીતોની સંખ્યા $x_1 + x_2 + \ldots + x_k = n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા જેટલી છે,જે ${}^{n-1}C_{k-1}$ છે. આ વિધાન સાચું છે.
$(iii).$ આ વિધાન ખોટું છે.
$(iv).$ પાસ્કલના નિયમ મુજબ,${}^nC_k = {}^{n-1}C_k + {}^{n-1}C_{k-1}$. તેથી ${}^nC_k - {}^{n-1}C_k = {}^{n-1}C_{k-1}$ સાચું છે.
આમ,$(iii)$ સિવાયના બધા વિધાનો સાચા છે.

(A) કોઈ સંખ્યા $6$ વડે વિભાજ્ય હોય જો તે $2$ અને $3$ બંને વડે વિભાજ્ય હોય.
$2$ વડે વિભાજ્યતા માટે,એકમનો અંક $2, 4$ અથવા $6$ હોવો જોઈએ.
$3$ વડે વિભાજ્યતા માટે,અંકોનો સરવાળો $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
કિસ્સો $I$: એકમનો અંક $2$ હોય. બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3k - 2$ થવો જોઈએ. શક્ય સેટ $\{1, 4, 6\}, \{1, 5, 6\}, \{3, 4, 5\}$ છે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $II$: એકમનો અંક $4$ હોય. બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3k - 4$ થવો જોઈએ. શક્ય સેટ $\{1, 2, 6\}, \{1, 5, 6\}, \{2, 3, 6\}$ છે. કુલ $= 3 \times 6 = 18$.
કિસ્સો $III$: એકમનો અંક $6$ હોય. બાકીના $3$ અંકોનો સરવાળો $3k - 6$ થવો જોઈએ. શક્ય સેટ $\{1, 2, 3\}, \{1, 3, 5\}, \{2, 3, 4\}, \{3, 4, 5\}$ છે. કુલ $= 4 \times 6 = 24$.
કુલ સંખ્યા $= 18 + 18 + 24 = 60$.

(A) આપેલ છે કે $a, b, c \in \mathbb{N}$ (ધન પૂર્ણાંકો) જ્યાં $a+b+c=5$. શક્ય ત્રિપુટીઓ $(a, b, c)$ એ $(1, 1, 3), (1, 3, 1), (3, 1, 1), (2, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 2)$ છે.
દરેક ત્રિપુટી માટે $2^a 3^b 5^c$ ની કિંમતો ગણતા:
$(1, 1, 3) \implies 2^1 \cdot 3^1 \cdot 5^3 = 750$
$(1, 3, 1) \implies 2^1 \cdot 3^3 \cdot 5^1 = 270$
$(3, 1, 1) \implies 2^3 \cdot 3^1 \cdot 5^1 = 120$
$(2, 2, 1) \implies 2^2 \cdot 3^2 \cdot 5^1 = 180$
$(1, 2, 2) \implies 2^1 \cdot 3^2 \cdot 5^2 = 450$
$(2, 1, 2) \implies 2^2 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = 300$
મહત્તમ કિંમત $M = 750$ અને ન્યૂનતમ કિંમત $L = 120$ છે.
તેથી $M - L = 750 - 120 = 630$.
$630$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2 \cdot 3^2 \cdot 5 \cdot 7$ થાય.
આમ,વિકલ્પ $A$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે,$n = 1! + 4! + 7! + \ldots + 400!$.
અમે ફેક્ટોરિયલની કિંમતો ગણીએ છીએ:
$1! = 1$
$4! = 24$
$7! = 5040$
$10! = 3628800$
કોઈપણ $k \ge 10$ માટે,$k!$ ના છેલ્લા બે અંકો $00$ છે.
આમ,$n$ ના છેલ્લા બે અંકો $1! + 4! + 7! + 10! + \ldots$ ના છેલ્લા બે અંકો સમાન છે.
$1! + 4! + 7! = 1 + 24 + 5040 = 5065$.
ત્યારબાદના તમામ પદો $10!, 13!, \ldots$ નો અંત $00$ થી થાય છે,તેથી સરવાળો $n$ નો અંત $65$ થી થાય છે.
તેથી,$n$ નો દશકનો અંક $6$ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: ${ }^{34} C_5+\sum_{r=0}^4{ }^{(38-r)} C_4$
સરવાળાનું વિસ્તરણ કરતા: ${ }^{34} C_5+{ }^{38} C_4+{ }^{37} C_4+{ }^{36} C_4+{ }^{35} C_4+{ }^{34} C_4$
નિત્યસમ ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
${ }^{34} C_5+{ }^{34} C_4 = { }^{35} C_5$
હવે,${ }^{35} C_5+{ }^{35} C_4 = { }^{36} C_5$
ત્યારબાદ,${ }^{36} C_5+{ }^{36} C_4 = { }^{37} C_5$
ત્યારબાદ,${ }^{37} C_5+{ }^{37} C_4 = { }^{38} C_5$
અંતે,${ }^{38} C_5+{ }^{38} C_4 = { }^{39} C_5$
આમ,પરિણામ ${ }^{39} C_5$ મળે છે.

(D) આપેલ છે $x={ }^{16} C_5+{ }^{12} C_4, y=\sum_{r=1}^3{ }^{(20-r)} C_4, z=\sum_{k=1}^4{ }^{(16-k)} C_3$.
તેથી $x+y+z={ }^{16} C_5+{ }^{12} C_4+\left({ }^{19} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{17} C_4\right)+\left({ }^{15} C_3+{ }^{14} C_3+{ }^{13} C_3+{ }^{12} C_3\right)$.
પદોને ગોઠવતા:
$x+y+z={ }^{12} C_3+{ }^{12} C_4+{ }^{13} C_3+{ }^{14} C_3+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
નિત્યસમ ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x+y+z={ }^{13} C_4+{ }^{13} C_3+{ }^{14} C_3+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
આ જ નિત્યસમનો વારંવાર ઉપયોગ કરતા:
$x+y+z={ }^{14} C_4+{ }^{14} C_3+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{15} C_4+{ }^{15} C_3+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{16} C_4+{ }^{16} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{17} C_5+{ }^{17} C_4+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{18} C_5+{ }^{18} C_4+{ }^{19} C_4$.
$x+y+z={ }^{19} C_5+{ }^{19} C_4={ }^{20} C_5$.
કિંમત શોધતા:
${ }^{20} C_5 = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 \times 16 = 19 \times 17 \times 48$.

(B) વિધાન $I$ માટે: $x_1+x_2+x_3+x_4=n$ ના ધન પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n=10$ અને $r=4$ છે,તેથી ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{10-1}{4-1} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$ છે.
$84 \neq 286$ હોવાથી,વિધાન $I$ ખોટું છે.
વિધાન $II$ માટે: $m!$ માં અવિભાજ્ય સંખ્યા $p$ નો ઘાતાંક લેજેન્ડ્રના સૂત્ર $\sum_{k=1}^{\infty} [\frac{m}{p^k}]$ દ્વારા મળે છે.
$25!$ માં $5$ નો ઘાતાંક $[\frac{25}{5}] + [\frac{25}{25}] = 5 + 1 = 6$ છે.
$25!$ માં $2$ નો ઘાતાંક $[\frac{25}{2}] + [\frac{25}{4}] + [\frac{25}{8}] + [\frac{25}{16}] = 12 + 6 + 3 + 1 = 22$ છે.
$5$ નો ઘાતાંક $6$ અને $2$ નો ઘાતાંક $22$ હોવાથી,$25!$ ને ભાગતી $10$ ની મહત્તમ ઘાત $10^6$ છે.
આમ,$25! = 10^6 \times k$,જ્યાં $k$ એ $10$ વડે વિભાજ્ય ન હોય તેવી પૂર્ણાંક સંખ્યા છે.
તેથી,વિધાન $II$ સાચું છે.

(A) આપણે સરવાળા $S = 1! + 2! + 3! + 4! + 5! + \ldots + 99!$ નો એકમનો અંક શોધવો છે.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની ગણતરી કરીએ:
$1! = 1$
$2! = 2 \times 1 = 2$
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$
કોઈપણ $n \ge 5$ માટે,$n!$ માં $5$ અને $2$ અવયવો હોય છે,તેથી $n!$ નો અંત $0$ થી થાય છે.
આમ,તમામ $n \ge 5$ માટે,$n!$ નો એકમનો અંક $0$ છે.
સરવાળો $S = 1! + 2! + 3! + 4! + (5! + 6! + \ldots + 99!)$ છે.
$S$ નો એકમનો અંક $(1! + 2! + 3! + 4!) + (0 + 0 + \ldots + 0)$ નો એકમનો અંક છે.
$1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33$.
$33$ નો એકમનો અંક $3$ છે.

(C) ત્રણ રિંગ્સ માટે કુલ શક્ય સંયોજનોની સંખ્યા $15^3 = 3375$ છે.
લોક ખોલવા માટે માત્ર $1$ જ સાચું સંયોજન છે.
તેથી,નિષ્ફળ પ્રયાસોની સંખ્યા $N = 15^3 - 1$ છે.
બીજગણિતીય નિત્યસમ $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ નો ઉપયોગ કરતા,$N = (15 - 1)(15^2 + 15 \times 1 + 1^2) = 14 \times (225 + 15 + 1) = 14 \times 241$ મળે.
$14 = 2 \times 7$ હોવાથી,$N = 2 \times 7 \times 241$ થાય.
અહીં,$2$,$7$,અને $241$ એ ત્રણેય અવિભાજ્ય સંખ્યાઓ છે.
આમ,$N$ એ ત્રણ ભિન્ન અવિભાજ્ય સંખ્યાઓનો ગુણાકાર છે.

(A) $17!$ ની કિંમત $355687428096000$ છે.
આપેલ પદ $3556xy428096000$ સાથે સરખાવતા,આપણને $x = 8$ અને $y = 7$ મળે છે.
તેથી,સરવાળો $x + y = 8 + 7 = 15$ થાય.

(A) ધારો કે $|P| = k$. તો $Q$ માં $k+1$ ઘટકો હોવા જોઈએ.
નિશ્ચિત $k$ માટે,$P$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n}C_k$ છે.
$Q$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{n}C_{k+1}$ છે.
$P$ અને $Q$ સ્વતંત્ર રીતે પસંદ કરવામાં આવતા હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $k=0$ થી $n-1$ સુધીના તમામ શક્ય મૂલ્યોનો સરવાળો છે:
$\sum_{k=0}^{n-1} (^{n}C_k \cdot ^{n}C_{k+1})$
નિત્યસમ $^{n}C_k = ^{n}C_{n-k}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sum_{k=0}^{n-1} (^{n}C_{n-k} \cdot ^{n}C_{k+1})$
આ $(1+x)^n \cdot (1+x)^n = (1+x)^{2n}$ ના વિસ્તરણમાં $x^{n+1}$ નો સહગુણક છે,જે $^{2n}C_{n+1}$ છે.
નોંધો કે $^{2n}C_{n+1} = ^{2n}C_{2n-(n+1)} = ^{2n}C_{n-1}$.

(B) $7$ વ્યંજનોમાંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{7}C_{3} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
$4$ સ્વરોમાંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
પસંદ કરેલા કુલ અક્ષરો $3 + 2 = 5$ છે.
આ $5$ અક્ષરોને તેમની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે,જ્યાં $5! = 120$.
તેથી,બનતા કુલ શબ્દોની સંખ્યા ${}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2} \times 5! = 35 \times 6 \times 120 = 25200$ છે.

(D) $n$ ભિન્ન સંખ્યાઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $n!$ છે.
$1, 2, 3, \ldots, k$ અંકો એક બ્લોક તરીકે તે જ ક્રમમાં આવે તે માટે,આપણે આ બ્લોકને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ.
હવે,આપણી પાસે $(n - k)$ બાકી રહેલા અંકો અને એક બ્લોક છે,જે કુલ $(n - k + 1)$ એકમો બનાવે છે.
આ $(n - k + 1)$ એકમોને ગોઠવવાની રીતો $(n - k + 1)!$ છે.
તેથી,જરૂરી ઘટનાની સંભાવના $\frac{(n - k + 1)!}{n!}$ છે.

(C) $n$ સફેદ અને $n$ કાળા દડાઓને એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી સમાન રંગના બે દડા પાસપાસે ન આવે,દડાઓના રંગ એકાંતરે હોવા જોઈએ.
ગોઠવણી માટે બે શક્ય ભાત છે:
$1$. $B, W, B, W, \ldots, B, W$ (કાળા દડાથી શરૂઆત)
$2$. $W, B, W, B, \ldots, W, B$ (સફેદ દડાથી શરૂઆત)
દરેક ભાત માટે,$n$ કાળા દડાઓને $n!$ રીતે અને $n$ સફેદ દડાઓને $n!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
આમ,પ્રથમ ભાત માટે રીતોની સંખ્યા $n! \times n! = (n!)^2$ છે.
તે જ રીતે,બીજી ભાત માટે રીતોની સંખ્યા $n! \times n! = (n!)^2$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા = $(n!)^2 + (n!)^2 = 2(n!)^2$.

(A) $20$ માંથી $4$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_{4}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$20$ માંથી $4$ ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $17$ છે (જેમ કે $(1,2,3,4), (2,3,4,5), \ldots, (17,18,19,20)$).
$4$ બિન-ક્રમિક સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો એ કુલ પસંદગીઓમાંથી ક્રમિક પસંદગીઓની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
$\text{જરૂરી પસંદગીઓ} = {}^{20}C_{4} - 17$
$\text{જરૂરી પસંદગીઓ} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17}{4 \times 3 \times 2 \times 1} - 17$
$\text{જરૂરી પસંદગીઓ} = 4845 - 17 = 4828$
વિકલ્પોની ગણતરી કરતા: $284 \times 17 = 4828$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે દડાઓની સંખ્યા $n = 5$ છે અને બોક્સની સંખ્યા $k = 3$ છે.
દડાઓ અલગ-અલગ છે અને બોક્સ પણ અલગ-અલગ છે,તેથી કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે આપણે 'Principle of Inclusion-Exclusion' નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$5$ અલગ દડાઓને $3$ અલગ બોક્સમાં મૂકવાની કુલ રીતો $3^5 = 243$ છે.
કોઈ પણ બોક્સ ખાલી ન રહે તેવી રીતોની સંખ્યા = $3^5 - \binom{3}{1} 2^5 + \binom{3}{2} 1^5 = 243 - 3(32) + 3(1) = 243 - 96 + 3 = 150$.

(D) $n$ વસ્તુઓને $n$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે વહેંચવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $n^n$ છે.
દરેક વ્યક્તિને કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ મળી શકે છે.
દરેક વ્યક્તિને બરાબર એક વસ્તુ મળે તેવી રીતોની સંખ્યા $n$ વસ્તુઓના $n$ ના ક્રમચયો જેટલી છે,જે $n!$ છે.
જો દરેક વ્યક્તિને બરાબર એક વસ્તુ મળે,તો કોઈ પણ વ્યક્તિ વસ્તુ વગરની રહેતી નથી.
તેથી,ઓછામાં ઓછી એક વ્યક્તિને કોઈ વસ્તુ ન મળે તેવી રીતોની સંખ્યા કુલ રીતોમાંથી દરેકને એક વસ્તુ મળે તેવી રીતો બાદ કરવાથી મળે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $= n^n - n!$.

(C) આપણે નિત્યસમ ${ }^{n} C_{r} + { }^{n} C_{r-1} = { }^{n+1} C_{r}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
સરવાળાને વિસ્તૃત કરતા,પદાવલિ નીચે મુજબ છે:
${ }^{47} C_4 + { }^{51} C_3 + { }^{50} C_3 + { }^{49} C_3 + { }^{48} C_3 + { }^{47} C_3$
નિત્યસમ ${ }^{47} C_4 + { }^{47} C_3 = { }^{48} C_4$ નો ઉપયોગ કરતા,પદાવલિ બને છે:
${ }^{48} C_4 + { }^{48} C_3 + { }^{49} C_3 + { }^{50} C_3 + { }^{51} C_3$
વારંવાર નિત્યસમ લાગુ કરતા:
${ }^{48} C_4 + { }^{48} C_3 = { }^{49} C_4$
${ }^{49} C_4 + { }^{49} C_3 = { }^{50} C_4$
${ }^{50} C_4 + { }^{50} C_3 = { }^{51} C_4$
${ }^{51} C_4 + { }^{51} C_3 = { }^{52} C_4$
આમ,અંતિમ મૂલ્ય ${ }^{52} C_4$ છે.

(C) આપણે દ્વિપદી સહગુણકોનો ગુણધર્મ જાણીએ છીએ: $\frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$.
આનો ઉપયોગ કરતા:
$1) \frac{{}^n C_r}{{}^n C_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n - 3r + 3 = 7r$ $\Rightarrow 3n - 10r = -3$ (સમીકરણ $1$)
$2) \frac{{}^n C_{r+1}}{{}^n C_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-(r+1)+1}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n - 2r = 3r + 3$ $\Rightarrow 2n - 5r = 3$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ ને $2$ વડે ગુણતા,આપણને $4n - 10r = 6$ મળે છે (સમીકરણ $3$).
સમીકરણ $3$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા: $(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \Rightarrow n = 9$.
$n=9$ ને સમીકરણ $2$ માં મૂકતા: $2(9) - 5r = 3$ $\Rightarrow 18 - 5r = 3$ $\Rightarrow 5r = 15$ $\Rightarrow r = 3$.
આમ,${}^n C_8 = {}^9 C_8 = {}^9 C_{9-8} = {}^9 C_1 = 9$.

(A) ધારો કે $S = 1! + 2! + 3! + 4! + \ldots + 11!$.
આપણે જાણીએ છીએ કે કોઈપણ $n \ge 4$ માટે,$n!$ માં $4 \times 3 = 12$ અવયવ તરીકે હોય છે.
તેથી,$4!, 5!, \ldots, 11!$ બધા $12$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$S$ ને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ એ $(1! + 2! + 3!)$ ને $12$ વડે ભાગતા મળતી શેષ જેટલી જ હોય.
$1! + 2! + 3! = 1 + 2 + 6 = 9$.
$9 < 12$ હોવાથી,શેષ $9$ મળે છે.

(B) આપણે $(1! + 2! + 95!) \pmod{15}$ ની શેષ શોધવાની છે.
પ્રથમ,ફેક્ટોરિયલની ગણતરી કરીએ:
$1! = 1$
$2! = 2$
$3! = 6$
$4! = 24$
$5! = 120$
કારણ કે $5! = 120$ અને $120 = 15 \times 8$,તેથી $5!$ એ $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
પરિણામે,$n \geq 5$ માટે તમામ ફેક્ટોરિયલ $n!$ એ $15$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,$95! \equiv 0 \pmod{15}$.
પદાવલિ $1! + 2! + 95! \equiv 1 + 2 + 0 \pmod{15} = 3 \pmod{15}$ બને છે.
તેથી,શેષ $3$ છે.

(C) ગણ $S$ માં $9$ ભિન્ન અંકો છે.
$x$ માટે: આપણે $1$ અંકને બે વાર પુનરાવર્તિત કરવા માટે પસંદ કરીએ છીએ,જે ${}^{9}C_{1}$ રીતે કરી શકાય છે. બાકીના $7$ અંકો બાકીના $8$ અંકોમાંથી ${}^{8}C_{7}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{9!}{2!}$ છે. આમ,$x = {}^{9}C_{1} \times {}^{8}C_{7} \times \frac{9!}{2!} = 36 \times 9!$.
$y$ માટે: આપણે $2$ અંકોને બે વાર પુનરાવર્તિત કરવા માટે પસંદ કરીએ છીએ,જે ${}^{9}C_{2}$ રીતે કરી શકાય છે. બાકીના $5$ અંકો બાકીના $7$ અંકોમાંથી ${}^{7}C_{5}$ રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. ગોઠવણીની કુલ સંખ્યા $\frac{9!}{2! \times 2!}$ છે. આમ,$y = {}^{9}C_{2} \times {}^{7}C_{5} \times \frac{9!}{2! \times 2!} = 189 \times 9!$.
ગુણોત્તર ગણતા: $\frac{x}{y} = \frac{36}{189} = \frac{4}{21}$.
તેથી,$21x = 4y$.

(B) ધારો કે $4$ અંકની સંખ્યા $d_1 d_2 d_3 d_4$ છે. સંખ્યા $5000$ અને $9000$ ની વચ્ચે હોવાથી,પ્રથમ અંક $d_1$ એ $5$ હોઈ શકે.
અંકોનો સરવાળો $S = 5 + d_2 + d_3 + d_4$ એ $3$ વડે વિભાજ્ય હોવો જોઈએ.
$d_2, d_3, d_4 \in \{0, 1, 2, 5, 9\}$ માટે કુલ $42$ શક્યતાઓ મળે છે.

(A) $101!$ માં $7$ નો ઘાતાંક શોધવા માટે,આપણે લેજેન્ડ્રેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે $E_p(m!) = \sum_{k=1}^{\infty} [\frac{m}{p^k}]$ છે.
અહીં,$m = 101$ અને $p = 7$ છે.
$E_7(101!) = [\frac{101}{7}] + [\frac{101}{7^2}] + [\frac{101}{7^3}] + \dots$
$E_7(101!) = [14.428] + [2.061] + [0.294] + \dots$
$E_7(101!) = 14 + 2 + 0 = 16$.
આમ,સૌથી મોટી $n$ ની કિંમત $16$ છે.

(B) $n(S)$ માટે,આપણે ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}$ માંથી $4$ અલગ અંકો પસંદ કરવાના છે. શરત $a > b > c > d$ હોવાથી,એકવાર $4$ અંકો પસંદ થઈ જાય,પછી તેને ઉતરતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર $1$ રીત છે. તેથી,$n(S) = {}^{10}C_4 = 210$.
$n(P)$ માટે,આપણે એવી $5$-અંકી સંખ્યાઓ જોઈએ છીએ જેના અંકોનો ગુણાકાર $20$ થાય. $20$ ના અવિભાજ્ય અવયવો $2^2 \times 5$ છે. શક્ય $5$ અંકોના સમૂહ છે:
$1)$ ${5, 4, 1, 1, 1}$: ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{3!} = 20$ છે.
$2)$ ${5, 2, 2, 1, 1}$: ગોઠવણીની સંખ્યા $\frac{5!}{2!2!} = 30$ છે.
તેથી,$n(P) = 20 + 30 = 50$.
આમ,$n(S) + n(P) = 210 + 50 = 260$.

(C) આપણી પાસે $7$ સ્થાન ભરવા માટે $5$ અલગ-અલગ અંકો છે,અને દરેક અંક ઓછામાં ઓછી એક વાર આવવો જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે બે અંકોનું પુનરાવર્તન થવું જોઈએ.
$7$ ને $5$ ભાગમાં વિભાજિત કરવાની શક્યતાઓ $(3, 1, 1, 1, 1)$ અને $(2, 2, 1, 1, 1)$ છે.
કિસ્સો $1$: વિભાજન $(3, 1, 1, 1, 1)$
પહેલા,જે અંક $3$ વાર આવે છે તેને પસંદ કરો: $\binom{5}{1} = 5$ રીતે.
પછી,આ $7$ અંકોની ગોઠવણી કરો: $\frac{7!}{3!1!1!1!1!} = \frac{5040}{6} = 840$ રીતે.
કિસ્સો $1$ માટે કુલ = $5 \times 840 = 4200$.
કિસ્સો $2$: વિભાજન $(2, 2, 1, 1, 1)$
પહેલા,જે $2$ અંકો દરેક બે વાર આવે છે તેને પસંદ કરો: $\binom{5}{2} = 10$ રીતે.
પછી,આ $7$ અંકોની ગોઠવણી કરો: $\frac{7!}{2!2!1!1!1!} = \frac{5040}{4} = 1260$ રીતે.
કિસ્સો $2$ માટે કુલ = $10 \times 1260 = 12600$.
કુલ સરવાળો = $4200 + 12600 = 16800$.

(C) આપેલ સમીકરણ $a + b + 2c = 22$ છે,જ્યાં $a, b, c \ge 0$.
આપણે તેને $a + b = 22 - 2c$ તરીકે ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
$a, b \ge 0$ હોવાથી,$22 - 2c \ge 0$ હોવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે $0 \le c \le 11$.
ચોક્કસ $c$ માટે,$a + b = 22 - 2c$ ના અ-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $(22 - 2c + 1) = 23 - 2c$ છે.
તેથી,કુલ ઉકેલોની સંખ્યા $n(A) = \sum_{c=0}^{11} (23 - 2c)$ છે.
આ એક સમાંતર શ્રેણી છે: $n(A) = 23 + 21 + 19 + \dots + 1$.
પદોની સંખ્યા $12$ છે.
સરવાળો $\frac{12}{2} \times (23 + 1) = 6 \times 24 = 144$ થાય છે.

(A) ધારો કે $b, y, r$ એ પસંદ કરેલા વાદળી,પીળા અને લાલ દડાની સંખ્યા છે. આપણે $8$ દડા એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $b+y+r=8$ અને $b \geq 2, y \geq 2, r \geq 2$ થાય.
ધારો કે $b=2+b', y=2+y', r=2+r'$,જ્યાં $b', y', r' \geq 0$.
સરવાળામાં કિંમત મૂકતા: $(2+b') + (2+y') + (2+r') = 8 \implies b'+y'+r' = 2$.
શરતો $b \leq 5, y \leq 6, r \leq 4$ મુજબ,$b' \leq 3, y' \leq 4, r' \leq 2$ મળે.
$(b', y', r')$ માટે શક્ય ઉકેલો:
$(2,0,0), (0,2,0), (0,0,2), (1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)$.
આ $(b, y, r)$ ના નીચે મુજબના સંયોજનો દર્શાવે છે:
$(4,2,2), (2,4,2), (2,2,4), (3,3,2), (3,2,3), (2,3,3)$.
દરેક કિસ્સા માટે રીતોની ગણતરી:
$1. (4,2,2): C(5,4) \times C(6,2) \times C(4,2) = 5 \times 15 \times 6 = 450$
$2. (2,4,2): C(5,2) \times C(6,4) \times C(4,2) = 10 \times 15 \times 6 = 900$
$3. (2,2,4): C(5,2) \times C(6,2) \times C(4,4) = 10 \times 15 \times 1 = 150$
$4. (3,3,2): C(5,3) \times C(6,3) \times C(4,2) = 10 \times 20 \times 6 = 1200$
$5. (3,2,3): C(5,3) \times C(6,2) \times C(4,3) = 10 \times 15 \times 4 = 600$
$6. (2,3,3): C(5,2) \times C(6,3) \times C(4,3) = 10 \times 20 \times 4 = 800$
કુલ રીતો = $450 + 900 + 150 + 1200 + 600 + 800 = 4100$.

(C) ઇમારતમાં ગ્રાઉન્ડ ફ્લોરની ઉપર $10$ માળ છે,પરંતુ લિફ્ટ $1$લા અને $2$જા માળ પર અટકતી નથી. તેથી,ઉતરવા માટે $10 - 2 = 8$ માળ ઉપલબ્ધ છે.
નવ વ્યક્તિઓ લિફ્ટમાં પ્રવેશે છે. આપણે $4$ વ્યક્તિઓને એક માળ પર અને બાકીની $5$ વ્યક્તિઓને બીજા અલગ માળ પર ઉતારવા માટે પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$9$ વ્યક્તિઓને $4$ અને $5$ ના જૂથમાં વિભાજિત કરવાની રીતો $\binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$ છે.
$8$ ઉપલબ્ધ માળમાંથી $2$ અલગ માળ પસંદ કરવાની રીતો $P(8, 2) = 8 \times 7 = 56$ છે (કારણ કે માળનો ક્રમ મહત્વનો છે,એટલે કે કયું જૂથ કયા માળ પર ઉતરે છે).
કુલ રીતોની સંખ્યા $126 \times 56 = 7056$ છે.