Geometrical problems Questions in Gujarati

(C) $5$ વડે વિભાજ્ય હોવા માટે,એકમના સ્થાને $5$ હોવો જોઈએ.
સંખ્યા $3000$ અને $4000$ ની વચ્ચે હોવી જોઈએ,તેથી હજારના સ્થાને $3$ હોવો જોઈએ.
બાકીના $2$ સ્થાનો (દશક અને સો) ભરવા માટે આપણી પાસે $4$ અંકો ${1, 2, 4, 6}$ બાકી રહે છે.
આ $4$ અંકોમાંથી $2$ અંકો ગોઠવવાની રીતો $^4P_2$ છે.
આમ,કુલ સંખ્યાઓ $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ છે.

(C) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને એક હરોળમાં ગોઠવો. તેઓ $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
છોકરાઓને ગોઠવ્યા પછી,આપણે તેમની વચ્ચે ખાલી જગ્યાઓ બનાવીએ છીએ જેથી ખાતરી થાય કે કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન હોય.
$5$ છોકરાઓની ગોઠવણી $6$ સંભવિત ખાલી જગ્યાઓ બનાવે છે (છેડાઓ સહિત): $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_$.
આ $6$ ખાલી જગ્યાઓમાં આપણે $3$ છોકરીઓને બેસાડવાની છે.
$6$ ખાલી જગ્યાઓમાં $3$ છોકરીઓને પસંદ કરવાની અને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^6P_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $^6P_3 \times 5!$ છે.

(C) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને એક હરોળમાં ગોઠવો,જે $5!$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી $6$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $5$ છોકરીઓને એવી રીતે બેસાડી શકાય કે જેથી કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન હોય: $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_$.
આ $6$ જગ્યાઓમાં $5$ છોકરીઓને ગોઠવવાની રીતો $^6P_5 = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $5! \times 6!$ છે.

(A) કોઈપણ બે હિન્દી પુસ્તકો સાથે ન હોય તે માટે,આપણે પહેલા $21$ અંગ્રેજી પુસ્તકોને હારમાં ગોઠવીએ છીએ.
આનાથી $22$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $19$ હિન્દી પુસ્તકો મૂકી શકાય છે.
$22$ માંથી $19$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{22}C_{19}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{22}C_{19} = ^{22}C_{22-19} = ^{22}C_3$.
$^{22}C_3 = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.
આમ,પુસ્તકોને ગોઠવવાની કુલ $1540$ રીતો છે.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $5 + 3 = 8$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $8$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે,જે $^8C_3$ રીતે કરી શકાય.
જોકે,જો પસંદ કરેલા $3$ બિંદુઓ સમરેખ હોય,તો તે ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
એક રેખા પર $5$ બિંદુઓ છે,તેથી તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^5C_3$ છે.
બીજી સમાંતર રેખા પર $3$ બિંદુઓ છે,તેથી તેમાંથી $3$ સમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^3C_3$ છે.
આમ,ત્રિકોણની સંખ્યા = $^8C_3 - ^5C_3 - ^3C_3$.

(B) અષ્ટકોણમાં $n = 8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે.
વિકર્ણ બનાવવા માટે,આપણે $8$ માંથી $2$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવા પડે,જે $^8C_2$ દ્વારા મળે છે.
$^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
આ $28$ સંયોજનોમાં અષ્ટકોણની $8$ બાજુઓનો પણ સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિકર્ણોની સંખ્યા = $^8C_2 - 8 = 28 - 8 = 20$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
$(n - 11)(n + 8) = 0$
$n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $11$ છે.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
વર્તુળ પરના તમામ બિંદુઓ હોવાથી,કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,$4$ બિંદુઓને જોડીને બનાવી શકાય તેવા ત્રિકોણની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^n{C_r}$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 4$ અને $r = 3$ છે.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $^4{C_3} = \frac{4!}{3!(4-3)!} = \frac{4 \times 3!}{3! \times 1!} = 4$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા $9$ અસમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
બિંદુઓ અસમરેખ હોવાથી,કોઈપણ $3$ બિંદુઓની પસંદગી એક અનન્ય ત્રિકોણ બનાવશે.
$9$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
$n = 9$ અને $r = 3$ મૂકતા:
$^9C_3 = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 3 \times 4 \times 7 = 84$.
તેથી,$84$ ત્રિકોણ દોરી શકાય છે.

(C) $m$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં $m$ શિરોબિંદુઓ હોય છે.
રેખાખંડ (બાજુ અથવા વિકર્ણ) બનાવવા માટે,આપણે $m$ માંથી $2$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીએ છીએ,જે $^mC_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રેખાખંડોની કુલ સંખ્યા = $^mC_2 = \frac{m(m - 1)}{2}$.
આ રેખાખંડોમાં બહુકોણની $m$ બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,વિકર્ણોની સંખ્યા = (કુલ રેખાખંડો) - (બાજુઓની સંખ્યા).
વિકર્ણોની સંખ્યા = $\frac{m(m - 1)}{2} - m = \frac{m^2 - m - 2m}{2} = \frac{m(m - 3)}{2}$.

(D) સીધી રેખા બનાવવા માટે,આપણે આપેલા $8$ બિંદુઓમાંથી કોઈપણ $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
વર્તુળ પરના બિંદુઓ હોવાથી,કોઈ પણ $3$ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,સીધી રેખાઓની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 2$.
રેખાઓની સંખ્યા = $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓના સમૂહમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
કારણ કે $7$ બિંદુઓ સમરેખ છે,આ $7$ બિંદુઓમાંથી કોઈપણ $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં.
આ $7$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{7}C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
તેથી,બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા કુલ પસંદગીઓમાંથી સમરેખ પસંદગીઓની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે:
ત્રિકોણની સંખ્યા $= 220 - 35 = 185$.

(B) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે.
$10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
કારણ કે $4$ બિંદુઓ સમરેખ છે,આ $4$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં. આ $4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3$ છે.
$^4C_3 = 4$.
તેથી,બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $120 - 4 = 116$ છે.

(A) $16$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_2 = \frac{16 \times 15}{2} = 120$ છે.
કારણ કે $6$ બિંદુઓ સમરેખ છે,આ $6$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી રેખાઓની સંખ્યા $^{6}C_2 = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ ને બદલે માત્ર $1$ છે.
તેથી,દોરી શકાય તેવી કુલ રેખાઓની સંખ્યા $^{16}C_2 - ^{6}C_2 + 1 = 120 - 15 + 1 = 106$ છે.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $m + n + k$ છે. આમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{m+n+k}C_3$ છે.
જોકે,એક જ રેખા પરના $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનતો નથી. આવા સમરેખ બિંદુઓના સમૂહોની સંખ્યા $^mC_3 + ^nC_3 + ^kC_3$ છે.
તેથી,જરૂરી ત્રિકોણની સંખ્યા $^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે $4$ સમાંતર રેખાઓના સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ અને $3$ સમાંતર રેખાઓના બીજા સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$4$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
$3$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{3}C_{2} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ છે.
કુલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સંખ્યા આ બે સંચયોનો ગુણાકાર છે:
કુલ $= ^{4}C_{2} \times ^{3}C_{2} = 6 \times 3 = 18$.

(C) $6$ બિંદુઓને જોડવાથી બનતી રેખાઓની સંખ્યા $^6C_2 = 15$ છે.
આ $15$ રેખાઓના છેદબિંદુઓની કુલ સંખ્યા,જો કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી ન હોય,તો $^{15}C_2 = 105$ થાય.
જોકે,મૂળ $6$ બિંદુઓમાંથી દરેક પર $5$ રેખાઓ છેદે છે. આ $5$ રેખાઓ એક જ બિંદુ પર છેદે છે,તેથી આપણે વધારાની ગણતરીઓ બાદ કરવી પડશે.
દરેક $6$ બિંદુઓ માટે,તે બિંદુ પર છેદતી રેખાઓની જોડીની સંખ્યા $^5C_2 = 10$ છે.
આ $10$ જોડીઓને શરૂઆતના $105$ માં $10$ અલગ છેદબિંદુઓ તરીકે ગણવામાં આવી છે,પરંતુ તે વાસ્તવમાં માત્ર $1$ બિંદુ છે,તેથી આપણે દરેક $6$ બિંદુઓ માટે $10 - 1 = 9$ બાદ કરીશું.
કુલ અલગ છેદબિંદુઓ $= 105 - 6 \times 9 = 105 - 54 = 51$.

(A) કિસ્સો $I$: જ્યારે $A$ ને બાકાત રાખવામાં આવે.
ત્રિકોણની સંખ્યા = ($AB$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $AC$ માંથી $1$ બિંદુની પસંદગી) + ($AB$ માંથી $1$ બિંદુ અને $AC$ માંથી $2$ બિંદુઓની પસંદગી).
ત્રિકોણની સંખ્યા = $^mC_2 \times ^nC_1 + ^mC_1 \times ^nC_2 = \frac{mn(m+n-2)}{2}$.
કિસ્સો $II$: જ્યારે $A$ નો સમાવેશ કરવામાં આવે.
$A$ ને એક શિરોબિંદુ તરીકે લઈને અને $AB$ તથા $AC$ રેખાઓ પરથી અન્ય બે બિંદુઓ લઈને ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે.
જો આપણે $A$ ને શિરોબિંદુ તરીકે લઈએ,તો ત્રિકોણ બનાવવા માટે $AB$ માંથી એક બિંદુ અને $AC$ માંથી એક બિંદુની જરૂર પડે.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $^mC_1 \times ^nC_1 = mn$.
$A$ નો સમાવેશ થાય ત્યારે કુલ ત્રિકોણ = ($A$ વગરના ત્રિકોણ) + ($A$ સાથેના ત્રિકોણ) = $\frac{mn(m+n-2)}{2} + mn = \frac{mn(m+n)}{2}$.
જરૂરી ગુણોત્તર = $\frac{\text{કિસ્સો } I}{\text{કિસ્સો } II} = \frac{m+n-2}{m+n}$.

(C) કોઈ પણ બે રેખાઓ સમાંતર નથી અને કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી નથી,તેથી $n$ સીધી રેખાઓ $N = ^nC_2$ બિંદુઓ પર છેદે છે.
સીધી રેખા નક્કી કરવા માટે બે બિંદુઓની જરૂર હોય છે,તેથી આ $N$ બિંદુઓને જોડીને મેળવેલી કુલ રેખાઓની સંખ્યા $^NC_2$ છે.
જો કે,દરેક મૂળ રેખા પર $(n - 1)$ છેદબિંદુઓ હોય છે. એક મૂળ રેખા પરના આ $(n - 1)$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી રેખાઓની સંખ્યા $^{n-1}C_2$ છે. આવી $n$ મૂળ રેખાઓ હોવાથી,આપણે કુલ સંખ્યામાંથી આ રેખાઓ બાદ કરવી પડશે.
આમ,નવી રેખાઓની સંખ્યા $^NC_2 - n \times ^{n-1}C_2$ છે.
$N = \frac{n(n-1)}{2}$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{N(N-1)}{2} - \frac{n(n-1)(n-2)}{2} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{8}$.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બે સમાંતર રેખાઓની જોડી દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
શરૂઆતમાં,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની દરેક દિશામાં $2$ બાજુઓ હોય છે.
જ્યારે દરેક બાજુના સમૂહને સમાંતર $m$ રેખાઓ ઉમેરવામાં આવે છે,ત્યારે દરેક સમૂહમાં હવે $m + 2$ સમાંતર રેખાઓ હોય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $m + 2$ રેખાઓના પ્રથમ સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ અને $m + 2$ રેખાઓના બીજા સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
$m + 2$ રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^{m+2}C_2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપણે બંને સમૂહોમાંથી સ્વતંત્ર રીતે પસંદગી કરવાની હોવાથી,કુલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સંખ્યા $^{m+2}C_2 \times {^{m+2}C_2} = ({^{m+2}C_2})^2$ થશે.

(A) $37$ રેખાઓ માટે કુલ છેદબિંદુઓની સંખ્યા,જો કોઈ પણ ત્રણ રેખાઓ સંગામી ન હોય અને કોઈ પણ બે સમાંતર ન હોય,તો $^{37}C_2 = \frac{37 \times 36}{2} = 666$ થાય.
જોકે,$13$ રેખાઓ બિંદુ $A$ માંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓએ $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ છેદબિંદુઓ બનાવવા જોઈએ,પરંતુ તે માત્ર $1$ જ બિંદુ બનાવે છે. તેથી,આપણે $78$ બાદ કરવા પડશે અને $1$ ઉમેરવો પડશે.
તે જ રીતે,$11$ રેખાઓ બિંદુ $B$ માંથી પસાર થાય છે. આ રેખાઓએ $^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$ છેદબિંદુઓ બનાવવા જોઈએ,પરંતુ તે માત્ર $1$ જ બિંદુ બનાવે છે. તેથી,આપણે $55$ બાદ કરવા પડશે અને $1$ ઉમેરવો પડશે.
છેદબિંદુઓની કુલ સંખ્યા $666 - 78 + 1 - 55 + 1 = 535$ છે.

(D) છેદબિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$1$. $8$ સીધી રેખાઓ વચ્ચેનું છેદન: $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
$2$. $4$ વર્તુળો વચ્ચેનું છેદન: $^4C_2 \times 2 = 6 \times 2 = 12$ (કારણ કે બે વર્તુળો $2$ બિંદુઓમાં છેદે છે).
$3$. $8$ સીધી રેખાઓ અને $4$ વર્તુળો વચ્ચેનું છેદન: $^8C_1 \times ^4C_1 \times 2 = 8 \times 4 \times 2 = 64$ (કારણ કે એક રેખા અને એક વર્તુળ $2$ બિંદુઓમાં છેદે છે).
કુલ બિંદુઓ $= 28 + 12 + 64 = 104$.

(C) આપેલ છે કે $18$ બિંદુઓમાંથી $5$ બિંદુઓ સમરેખ છે.
$(i)$ સીધી રેખાઓની સંખ્યા:
$18$ બિંદુઓમાંથી કુલ રેખાઓ $^{18}C_2$ મળે.
$5$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ $^5C_2$ રેખાઓને બદલે માત્ર $1$ રેખા બનાવે છે.
રેખાઓની સંખ્યા $= ^{18}C_2 - ^5C_2 + 1 = 153 - 10 + 1 = 144$.
$(ii)$ ત્રિકોણની સંખ્યા:
$18$ બિંદુઓમાંથી કુલ ત્રિકોણ $^{18}C_3$ મળે.
$5$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ કોઈ ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
ત્રિકોણની સંખ્યા $= ^{18}C_3 - ^5C_3 = 816 - 10 = 806$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $16$ બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$16$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{16}C_3 = \frac{16 \times 15 \times 14}{3 \times 2 \times 1} = 560$ છે.
કારણ કે $8$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $8$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં.
આ $8$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{8}C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
તેથી,બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $560 - 56 = 504$ છે.

(B) $n$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $T_n = ^nC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ સમીકરણ $T_{n+1} - T_n = 21$ માં સૂત્ર મૂકતા:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 21$.
પાસ્કલના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 21$
$^nC_2 = 21$.
સંયોજનના સૂત્રનો વિસ્તાર કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$
$n(n-1) = 42$
$n(n-1) = 7 \times 6$.
આમ,$n = 7$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
કારણ કે $6$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $6$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓની કોઈપણ પસંદગી ત્રિકોણ બનાવશે નહીં.
આ $6$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા = $^{10}C_3 - ^6C_3 = 120 - 20 = 100$.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n$ છે. $n$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{n}C_{2}$ છે.
$p$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ એક જ રેખા પર આવેલા છે. આ $p$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{p}C_{2}$ છે.
આ $^{p}C_{2}$ પસંદગીઓ સામાન્ય રીતે અલગ રેખાઓ દર્શાવે છે,પરંતુ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તે બધી મળીને માત્ર $1$ રેખા બનાવે છે.
તેથી,કુલ રેખાઓની સંખ્યાનું સૂત્ર: $^{n}C_{2} - ^{p}C_{2} + 1$ છે.

(A) $6$ માંથી $3$ રેખાખંડો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^6C_3 = 20$ છે.
ત્રિકોણ ત્યારે જ બની શકે જો કોઈપણ બે બાજુઓનો સરવાળો ત્રીજી બાજુ કરતા વધારે હોય.
જે સંયોજનો ત્રિકોણ બનાવતા નથી તે છે: $(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 4, 7)$.
આવા કુલ $7$ સંયોજનો છે.
તેથી,ત્રિકોણોની સંખ્યા $20 - 7 = 13$ છે,જે $^6C_3 - 7$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $35$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 35$
$n(n-3) = 70$
$n^2 - 3n - 70 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 10)(n + 7) = 0$
અહીં $n$ એ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 10$.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $10$ છે.

(D) $n$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી રેખાઓની કુલ સંખ્યા $^{n}C_{2}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં $n = 20$ બિંદુઓ છે,તેથી કોઈ પણ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય ત્યારે કુલ રેખાઓ $^{20}C_{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ થાય.
પરંતુ $4$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ $^{4}C_{2} = \frac{4 \times 3}{2} = 6$ રેખાઓને બદલે માત્ર $1$ જ રેખા બનાવે છે.
તેથી,જરૂરી રેખાઓની સંખ્યા $190 - 6 + 1 = 185$ છે.

(D) લંબચોરસ બે આડી રેખાઓ અને બે ઊભી રેખાઓ પસંદ કરીને બનાવવામાં આવે છે.
ધારો કે આડી રેખાઓ $y_0, y_1, \dots, y_{2n-1}$ છે અને ઊભી રેખાઓ $x_0, x_1, \dots, x_{2m-1}$ છે.
જો પસંદ કરેલી રેખાઓના અનુક્રમણિકા (indices) વચ્ચેનો તફાવત એકી હોય,તો લંબચોરસની બાજુની લંબાઈ એકી હોય છે.
આડી બાજુ માટે,આપણે બે રેખાઓ $y_i, y_j$ એવી રીતે પસંદ કરવાની જરૂર છે કે જેથી $|i - j|$ એકી હોય. આનો અર્થ એ છે કે એક અનુક્રમણિકા બેકી અને બીજી એકી હોવી જોઈએ.
${0, 1, \dots, 2n-1}$ ગણમાં,$n$ બેકી સંખ્યાઓ ${0, 2, \dots, 2n-2}$ અને $n$ એકી સંખ્યાઓ ${1, 3, \dots, 2n-1}$ છે.
એક બેકી અને એક એકી અનુક્રમણિકા પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $n \times n = n^2$ છે.
તે જ રીતે,ઊભી બાજુ માટે,બે રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા જેથી તફાવત એકી હોય તે $m \times m = m^2$ છે.
તેથી,એકી બાજુની લંબાઈ ધરાવતા લંબચોરસની કુલ સંખ્યા $m^2 \times n^2 = m^2n^2$ છે.

(A) પ્રથમ,$m$ પુરુષોને એક હરોળમાં $m!$ રીતે ગોઠવો.
કારણ કે $n < m$ અને કોઈ પણ બે સ્ત્રીઓ સાથે ન બેસી શકે,તેથી આપણે પુરુષો વચ્ચેની જગ્યાઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ.
$m!$ ગોઠવણીઓમાંથી કોઈપણ એકમાં,$(m + 1)$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) છે જ્યાં $n$ સ્ત્રીઓને બેસાડી શકાય છે.
આ $(m + 1)$ જગ્યાઓમાં $n$ સ્ત્રીઓને ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $^{m+1}P_n$ છે.
તેથી,ગણતરીના મૂળભૂત સિદ્ધાંત મુજબ,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $m! \times {}^{m+1}P_n$ છે.
$= m! \times \frac{(m + 1)!}{(m + 1 - n)!} = \frac{m! (m + 1)!}{(m - n + 1)!}$.

(C) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે. કુલ સહભાગીઓની સંખ્યા $n + 2$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષો વચ્ચે રમાયેલી રમતોની સંખ્યા $2 \times {^nC_2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1) = n^2 - n$ છે.
પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચે રમાયેલી રમતોની સંખ્યા $2 \times (n \times 2) = 4n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પુરુષો વચ્ચેની રમતોની સંખ્યા પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચેની રમતોની સંખ્યા કરતા $66$ વધારે છે:
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.
કુલ સહભાગીઓની સંખ્યા $n + 2 = 11 + 2 = 13$ છે.

(B) કુલ $10$ વિદ્યાર્થીઓ છે,જેમાં $3$ છોકરીઓ અને $7$ છોકરાઓ છે.
કોઈપણ બે છોકરીઓ સાથે ન બેસે તે માટે,પહેલા $7$ છોકરાઓને એક હરોળમાં $7!$ રીતે બેસાડી શકાય.
આનાથી $8$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં $3$ છોકરીઓને બેસાડી શકાય: $\_ B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5 \_ B_6 \_ B_7 \_$.
$8$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરીને તેમાં $3$ છોકરીઓને બેસાડવાની રીતો $^8P_3$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $7! \times ^8P_3$ છે.

(C) $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{1 \times 2 \times 3} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,શિરોબિંદુઓને જોડીને કુલ $2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ છે.

(B) $6$ છોકરાઓ અને $6$ છોકરીઓને એક હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $12!$ છે.
જો બધી $6$ છોકરીઓ સાથે બેસે,તો આપણે $6$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. આ એકમ અને $6$ છોકરાઓ મળીને કુલ $7$ ઘટકો થાય,જેમને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$6$ છોકરીઓ અંદરોઅંદર $6!$ રીતે ગોઠવાઈ શકે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $7! \times 6!$ છે.
જરૂરી સંભાવના $\frac{7! \times 6!}{12!} = \frac{7! \times 720}{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8 \times 7!} = \frac{720}{95040} = \frac{1}{132}$ છે.

(B) $7$ સફેદ દડા અને $3$ કાળા દડાને હરોળમાં ગોઠવવાની કુલ રીતો $\binom{10}{3} = \frac{10!}{7!3!} = 120$ છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન આવે તે માટે,આપણે પહેલા $7$ સફેદ દડાને ગોઠવીએ છીએ. આનાથી $8$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે જ્યાં $3$ કાળા દડા મૂકી શકાય છે.
$8$ જગ્યાઓમાંથી $3$ જગ્યા પસંદ કરવાની રીતો $\binom{8}{3} = 56$ છે.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{56}{120} = \frac{7}{15}$ થાય.

(B) બિંદુઓની કુલ સંખ્યા $m + n + k$ છે.
આ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{m+n+k}C_3$ છે.
જોકે,એક જ રેખા પર આવેલા $3$ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
રેખા $l_1$ પરના $3$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^mC_3$ છે.
રેખા $l_2$ પરના $3$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^nC_3$ છે.
રેખા $l_3$ પરના $3$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^kC_3$ છે.
તેથી,બની શકતા ત્રિકોણોની કુલ સંખ્યા $^{m+n+k}C_3 - ^mC_3 - ^nC_3 - ^kC_3$ છે.

(B) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે $5$ સમાંતર રેખાઓના સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ અને $4$ સમાંતર રેખાઓના સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$5$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$4$ માંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ છે.
તેથી,બનતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની કુલ સંખ્યા $^5C_2 \times ^4C_2 = 10 \times 6 = 60$ થાય.

(C) $n$ શિરોબિંદુઓમાંથી $2$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{n}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આમાં બહુકોણની $n$ બાજુઓનો સમાવેશ થાય છે.
વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓને જોડીને બનતી કુલ રેખાઓમાંથી બાજુઓની સંખ્યા બાદ કરીએ છીએ:
$\text{વિકર્ણોની સંખ્યા} = \binom{n}{2} - n$
$= \frac{n(n - 1)}{2} - n$
$= \frac{n^2 - n - 2n}{2}$
$= \frac{n^2 - 3n}{2}$
$= \frac{1}{2}n(n - 3)$

(B) બે બિંદુઓને જોડવાથી એક સુરેખા બને છે. તેથી,$10$ બિંદુઓમાંથી કુલ $^{10}C_2$ સુરેખાઓ બનાવી શકાય.
પરંતુ,$4$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમાંથી બનતી $^{4}C_2$ સુરેખાઓને બદલે માત્ર $1$ જ સુરેખા મળે છે.
તેથી,કુલ સુરેખાઓની સંખ્યા = $^{10}C_2 - ^{4}C_2 + 1$.
ગણતરી: $\frac{10 \times 9}{2} - \frac{4 \times 3}{2} + 1 = 45 - 6 + 1 = 40$.

(B) આપેલ છે કે $T_n = \binom{n}{3}$.
આપણને $T_{n+1} - T_n = 21$ આપેલ છે.
ગુણધર્મ $\binom{n+1}{r} = \binom{n}{r} + \binom{n}{r-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$T_{n+1} = \binom{n+1}{3} = \binom{n}{3} + \binom{n}{2}$.
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા:
$(\binom{n}{3} + \binom{n}{2}) - \binom{n}{3} = 21$.
$\binom{n}{2} = 21$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 21$.
$n(n-1) = 42$.
$n(n-1) = 7 \times 6$.
આમ,$n = 7$.

(B) પગલું $1$: $6$ કાચના મણકામાંથી $4$ મણકા પસંદ કરવાના પ્રકાર: $^6C_4 = 15$.
પગલું $2$: $5$ ધાતુના મણકામાંથી $4$ મણકા પસંદ કરવાના પ્રકાર: $^5C_4 = 5$.
પગલું $3$: કુલ પસંદ કરેલા મણકા = $4 + 4 = 8$.
પગલું $4$: $n$ ભિન્ન મણકામાંથી હાર બનાવવાની રીતો = $\frac{(n-1)!}{2}$.
પગલું $5$: $8$ મણકા માટે ગોઠવણીની રીતો = $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2!}$.
પગલું $6$: કુલ હારની સંખ્યા = $^6C_4 \times ^5C_4 \times \frac{7!}{2!}$.

(B) અષ્ટકોણને $8$ શિરોબિંદુઓ હોય છે.
કોઈપણ બે શિરોબિંદુઓને જોડવાથી બનતા રેખાખંડોની કુલ સંખ્યા $^nC_2$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n = 8$ છે.
કુલ રેખાખંડો $= ^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.
આ $28$ રેખાખંડોમાંથી,$8$ અષ્ટકોણની બાજુઓ છે.
વિકર્ણોની સંખ્યા એ કુલ રેખાખંડોમાંથી બાજુઓની સંખ્યા બાદ કરવાથી મળે છે.
વિકર્ણોની સંખ્યા $= 28 - 8 = 20$.

(B) $n$ બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $T_n = \binom{n}{3} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ શરત $T_{(n+1)} - T_n = 10$ માં સૂત્ર મૂકતા:
$\binom{n+1}{3} - \binom{n}{3} = 10$.
નિત્યસમ $\binom{n+1}{k} - \binom{n}{k} = \binom{n}{k-1}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\binom{n}{2} = 10$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$.
$n(n-1) = 20$.
$n^2 - n - 20 = 0$.
$(n-5)(n+4) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$.

(A) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,કોઈપણ બે બાજુઓની લંબાઈનો સરવાળો ત્રીજી બાજુની લંબાઈ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$6$ માંથી $3$ રેખાખંડો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{6}{3} = 20$ છે.
આપણે એવી જોડીઓ બાદ કરવી પડશે જે ત્રિકોણની અસમતા $(a + b \leq c)$ નું પાલન કરતી નથી:
$(2, 3, 5), (2, 3, 6), (2, 3, 7), (2, 4, 6), (2, 4, 7), (2, 5, 7), (3, 4, 7)$.
આવી $7$ જોડીઓ છે જે ત્રિકોણ બનાવી શકતી નથી.
તેથી,રચી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $\binom{6}{3} - 7$ છે.

(D) રેખા બનાવવા માટે,આપણને $2$ બિંદુઓની જરૂર છે. $20$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{20}{2}$ છે.
કારણ કે $4$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $4$ બિંદુઓ દ્વારા બનતી રેખાઓની સંખ્યા $\binom{4}{2}$ ને બદલે માત્ર $1$ થાય છે.
રેખાઓની સંખ્યા માટેનું સૂત્ર $\binom{n}{2} - \binom{m}{2} + 1$ છે,જ્યાં $n$ એ કુલ બિંદુઓની સંખ્યા છે અને $m$ એ સમરેખ બિંદુઓની સંખ્યા છે.
અહીં,$n = 20$ અને $m = 4$.
રેખાઓની સંખ્યા $= \binom{20}{2} - \binom{4}{2} + 1$
$= \frac{20 \times 19}{2} - \frac{4 \times 3}{2} + 1$
$= 190 - 6 + 1 = 185$.

(D) ત્રિકોણ $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનાવી શકાય છે.
$l_1$ પરના કુલ બિંદુઓ ($P$ સિવાય) $= 3$.
$l_2$ પરના કુલ બિંદુઓ ($P$ સિવાય) $= 5$.
કુલ બિંદુઓ $= 3 + 5 = 8$.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે નીચે મુજબ પસંદગી કરી શકીએ:
$1$. $l_1$ માંથી $2$ બિંદુઓ અને $l_2$ માંથી $1$ બિંદુ: $\binom{3}{2} \times \binom{5}{1} = 3 \times 5 = 15$.
$2$. $l_1$ માંથી $1$ બિંદુ અને $l_2$ માંથી $2$ બિંદુઓ: $\binom{3}{1} \times \binom{5}{2} = 3 \times 10 = 30$.
કુલ ત્રિકોણ $= 15 + 30 = 45$.