Geometrical problems Questions in Gujarati

(NONE) બાજુઓ $AB, BC$ અને $CA$ પરના આંતરિક બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $3, 5$ અને $6$ છે.
ત્રિકોણના $3$ શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ ને ગણતા,કુલ ઉપલબ્ધ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 3 + 5 + 6 + 3 = 17$ થાય.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આ $17$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{17}C_{3} = \frac{17 \times 16 \times 15}{3 \times 2 \times 1} = 680$ છે.
જોકે,એક જ બાજુ પર આવેલા બિંદુઓ સમરેખ હોય છે અને તે ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $3 + 2 = 5$ છે (શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ સહિત).
બાજુ $BC$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $5 + 2 = 7$ છે (શિરોબિંદુઓ $B$ અને $C$ સહિત).
બાજુ $CA$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $6 + 2 = 8$ છે (શિરોબિંદુઓ $C$ અને $A$ સહિત).
બાદ કરવાના ત્રિકોણોની સંખ્યા = $^{5}C_{3} + ^{7}C_{3} + ^{8}C_{3} = 10 + 35 + 56 = 101$.
ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા = $680 - 101 = 579$.

(B) $64$ ચોરસમાંથી $2$ ચોરસ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{64}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}^{64}C_{2} = \frac{64 \times 63}{2} = 32 \times 63 = 2016$.
સામાન્ય બાજુ ધરાવતા ચોરસની જોડીઓની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે આડી અને ઊભી નજીકની જોડીઓની ગણતરી કરીએ છીએ.
$8$ ચોરસની દરેક હરોળમાં,નજીકના ચોરસની $7$ જોડીઓ છે. $8$ હરોળ હોવાથી,કુલ $8 \times 7 = 56$ આડી જોડીઓ છે.
તે જ રીતે,$8$ ચોરસની દરેક સ્તંભમાં,નજીકના ચોરસની $7$ જોડીઓ છે. $8$ સ્તંભ હોવાથી,કુલ $8 \times 7 = 56$ ઊભી જોડીઓ છે.
સામાન્ય બાજુ ધરાવતી કુલ જોડીઓ $= 56 + 56 = 112$.
સંભાવના $= \frac{112}{2016} = \frac{112}{32 \times 63} = \frac{16}{32 \times 9} = \frac{1}{2 \times 9} = \frac{1}{18}$.

(C) $15$ બિંદુઓ દ્વારા બનતા કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા ${}^{15}C_{3} = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$ છે.
આપણે એવા ત્રિકોણોની સંખ્યા શોધવાની છે કે જેમાં $i+j+k \neq 15$ હોય,જ્યાં $1 \leq i < j < k \leq 15$.
પ્રથમ,આપણે $i+j+k = 15$ હોય તેવી $(i, j, k)$ ની સંખ્યા ગણીએ,જ્યાં $1 \leq i < j < k$ છે.
- જો $i=1$: $j+k=14$. શક્ય $(j, k)$ જોડીઓ $(2, 12), (3, 11), (4, 10), (5, 9), (6, 8)$ છે. ($5$ કિસ્સાઓ)
- જો $i=2$: $j+k=13$. શક્ય $(j, k)$ જોડીઓ $(3, 10), (4, 9), (5, 8), (6, 7)$ છે. ($4$ કિસ્સાઓ)
- જો $i=3$: $j+k=12$. શક્ય $(j, k)$ જોડીઓ $(4, 8), (5, 7)$ છે. ($2$ કિસ્સાઓ)
- જો $i=4$: $j+k=11$. શક્ય $(j, k)$ જોડી $(5, 6)$ છે. ($1$ કિસ્સો)
$i+j+k=15$ હોય તેવા કુલ કિસ્સાઓ $5+4+2+1 = 12$ છે.
આમ,$i+j+k \neq 15$ હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $455 - 12 = 443$ છે.

(A) $n$ બાજુવાળા નિયમિત બહુકોણમાં $N = \frac{n(n-3)}{2}$ વિકર્ણો હોય છે.
$n = 15$ માટે,કુલ વિકર્ણોની સંખ્યા $N = \frac{15(15-3)}{2} = \frac{15 \times 12}{2} = 90$ છે.
સૌથી ટૂંકા વિકર્ણો એક શિરોબિંદુ દ્વારા અલગ પડેલા શિરોબિંદુઓને જોડે છે. આવા $15$ વિકર્ણો છે.
સૌથી લાંબા વિકર્ણો $\frac{n-1}{2}$ શિરોબિંદુઓ દ્વારા અલગ પડેલા શિરોબિંદુઓને જોડે છે. આવા $15$ વિકર્ણો છે.
જે વિકર્ણો સૌથી ટૂંકા કે સૌથી લાંબા નથી તેની સંખ્યા $90 - (15 + 15) = 90 - 30 = 60$ છે.
સંભાવના $\frac{60}{90} = \frac{2}{3}$ છે.

(B) ધારો કે સમલંબ ચતુષ્કોણની બાજુઓની લંબાઈ $p, q, r, s$ છે,જ્યાં $p$ અને $r$ સમાંતર બાજુઓ છે $(p > r)$ અને $q, s$ એ અસમાંતર બાજુઓ છે.
સમલંબ ચતુષ્કોણના અસ્તિત્વ માટે શરત $|p - r| < q + s < p + r$ સંતોષાવી જોઈએ.
આપણે $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ માંથી $4$ અલગ-અલગ લંબાઈ પસંદ કરવાની છે.
$p$ અને $r$ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{6}{2} = 15$ છે.
દરેક જોડી $(p, r)$ માટે,આપણે બાકીની $4$ સંખ્યાઓમાંથી $q$ અને $s$ એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી $|p - r| < q + s < p + r$ થાય.
તમામ સંયોજનો તપાસતા,આપણને જણાય છે કે $11$ એવા ચાર અલગ-અલગ બાજુઓની લંબાઈના સેટ છે જે સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટેની શરતનું પાલન કરે છે.
આમ,આવા કુલ $11$ સમલંબ ચતુષ્કોણ બનાવી શકાય છે.

(C) ધારો કે બાજુઓની લંબાઈનો ગણ $S = \{10, 11, \ldots, 22\}$ છે. $S$ માં ઘટકોની સંખ્યા $n = 13$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ $a, b, c \in S$ માટે,ત્રિકોણની અસમતા મુજબ $a+b > c$,$a+c > b$,અને $b+c > a$ હોવું જોઈએ. જો $a \le b \le c$ લઈએ,તો આ $a+b > c$ ને સમતુલ્ય છે.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા:
$1$. સમબાજુ ત્રિકોણ $(a=b=c)$: $13$ શક્યતાઓ છે.
$2$. સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ: $152$ ત્રિકોણો મળે છે.
$3$. વિષમબાજુ ત્રિકોણ: $283$ ત્રિકોણો મળે છે.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા $= 283 + 152 + 13 = 448$.

(A) $(0,0)$ અને $(a,b)$ માંથી પસાર થતી રેખામાં $S$ નું માત્ર એક જ અન્ય બિંદુ હોય જો અને માત્ર જો $\gcd(a, b) = 1$ હોય.
આપણે એવી જોડી $(a, b)$ શોધી રહ્યા છીએ જ્યાં $0 \leq a, b \leq 18$,$(a, b) \neq (0,0)$,અને $\gcd(a, b) = 1$ હોય.
આપેલ વિકલ્પો અને ઉકેલ પદ્ધતિ મુજબ,સાચો જવાબ $34$ છે.

(C) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણ માટે,અંતઃકોણોનો સરવાળો $(n-2) \times 180^{\circ}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n = 10$ માટે,અંતઃકોણોનો સરવાળો $(10-2) \times 180^{\circ} = 8 \times 180^{\circ} = 1440^{\circ}$ થાય.
ધારો કે $k$ એ વિપરીત ખૂણાઓની સંખ્યા છે (ખૂણા $> 180^{\circ}$) અને $m$ એ બિન-વિપરીત ખૂણાઓની સંખ્યા છે (ખૂણા $\le 180^{\circ}$).
આપણી પાસે $k + m = 10$ છે.
$k$ વિપરીત ખૂણાઓનો સરવાળો $k \times 360^{\circ}$ કરતા ઓછો હોય છે પરંતુ $k \times 180^{\circ}$ કરતા વધારે હોવો જોઈએ.
$m$ બિન-વિપરીત ખૂણાઓનો સરવાળો $0^{\circ}$ કરતા વધારે અને $m \times 180^{\circ}$ કરતા ઓછો અથવા તેના જેટલો હોય છે.
કુલ સરવાળો $1440^{\circ}$ છે.
જો $k = 8$ હોય,તો વિપરીત ખૂણાઓનો સરવાળો ઓછામાં ઓછો $8 \times 180^{\circ} = 1440^{\circ}$ થાય,જે બાકીના $2$ ખૂણાઓ માટે $0^{\circ}$ છોડે છે,જે બહુકોણ માટે અશક્ય છે.
જો $k = 7$ હોય,તો $7$ વિપરીત ખૂણાઓનો સરવાળો $> 7 \times 180^{\circ} = 1260^{\circ}$ થાય. બાકીના $3$ ખૂણાઓનો સરવાળો $1440^{\circ} - (7 \text{ વિપરીત ખૂણાઓનો સરવાળો})$ થાય. $7$ વિપરીત ખૂણાઓનો સરવાળો $1260^{\circ}$ થી થોડો વધારે હોઈ શકે છે,તેથી બાકીના $3$ ખૂણાઓ ધન હોઈ શકે છે અને તેમનો સરવાળો $180^{\circ}$ થી ઓછો હોઈ શકે છે.
આમ,$k$ ની મહત્તમ કિંમત $7$ છે.

(D) $n=5$ ટીમોની ટુર્નામેન્ટમાં,કુલ રમતોની સંખ્યા $\binom{5}{2} = 10$ છે. દરેક રમતમાં વિજેતાને $1$ પોઈન્ટ અને હારનારને $0$ પોઈન્ટ મળે છે,તેથી પોઈન્ટનો સરવાળો $10$ થાય છે. ધારો કે ટીમોના સ્કોર $s_1, s_2, s_3, s_4, s_5$ છે. આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum s_i = 10$.
વિકલ્પ $(d)$ કહે છે: "વધુમાં વધુ ચાર ટીમો એવી છે કે જેમની પાસે વધુમાં વધુ બે પોઈન્ટ છે."
ધારો કે બધી ટીમોના પોઈન્ટ સમાન છે: $s_1=s_2=s_3=s_4=s_5=2$.
અહીં,બધી $5$ ટીમો પાસે વધુમાં વધુ $2$ પોઈન્ટ છે.
કારણ કે $5 > 4$,તેથી "વધુમાં વધુ ચાર ટીમો પાસે વધુમાં વધુ બે પોઈન્ટ છે" તે વિધાન આ કિસ્સામાં ખોટું છે.
આમ,$(d)$ હંમેશા સાચું નથી.

(D) લંબચોરસ એ નિયમિત બહુકોણના બે વિકર્ણો દ્વારા રચાય છે જે કેન્દ્રમાં છેદે છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,જ્યાં $n$ બેકી સંખ્યા છે,આવા લંબચોરસની સંખ્યા વ્યાસની જોડીની સંખ્યા દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 12$,તેથી વ્યાસની સંખ્યા (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા વિકર્ણો) $\frac{n}{2} = \frac{12}{2} = 6$ છે.
આ $6$ વ્યાસમાંથી કોઈપણ બે વ્યાસ એક લંબચોરસ બનાવે છે.
તેથી,લંબચોરસની સંખ્યા $^6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ છે.

(D) $7$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$ છે.
નિયમિત $7$-બાજુવાળા બહુકોણ માટે,એક શિરોબિંદુ $A$ લો. આપણે $A$ ને શિરોબિંદુ તરીકે લઈને સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવી શકીએ છીએ,જેમાં બાકીના બે શિરોબિંદુઓ $A$ થી સમાન અંતરે હોય. દરેક શિરોબિંદુ માટે,આવી $3$ જોડીઓ મળે છે,જે $3$ સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે.
કુલ $7$ શિરોબિંદુઓ હોવાથી,સમદ્વિબાજુ ત્રિકોણની કુલ સંખ્યા $7 \times 3 = 21$ થાય.
તેથી,જરૂરી સંભાવના $\frac{21}{35} = \frac{3}{5}$ છે.

(C) સરવાળો $S = \sum \limits_{1 \leq j < i \leq n} (i-j)$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દરેક તફાવત $k = i-j$ કેટલી વાર આવે છે તેની ગણતરી કરીને આપણે આ સરવાળાને ફરીથી લખી શકીએ છીએ.
નિશ્ચિત તફાવત $k$ માટે,જ્યાં $1 \leq k \leq n-1$,જોડીઓ $(j, i)$ એવી છે કે $i-j = k$ એ $(1, 1+k), (2, 2+k), \ldots, (n-k, n)$ છે.
આવી બરાબર $(n-k)$ જોડીઓ છે.
તેથી,કુલ સરવાળો $S = \sum \limits_{k=1}^{n-1} k(n-k)$ છે.
$S = n \sum \limits_{k=1}^{n-1} k - \sum \limits_{k=1}^{n-1} k^2$.
સૂત્રો $\sum_{k=1}^{m} k = \frac{m(m+1)}{2}$ અને $\sum_{k=1}^{m} k^2 = \frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરીને,જ્યાં $m = n-1$:
$S = n \frac{(n-1)n}{2} - \frac{(n-1)n(2n-2+1)}{6} = \frac{n^2(n-1)}{2} - \frac{n(n-1)(2n-1)}{6}$.
$S = \frac{n(n-1)}{6} [3n - (2n-1)] = \frac{n(n-1)(n+1)}{6}$.
કારણ કે ${ }^{n+1} C_3 = \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$,તેથી સરવાળો ${ }^{n+1} C_3$ થાય છે.

(C) ધારો કે આપેલ વિષમબાજુ ત્રિકોણ $T$ ના શિરોબિંદુઓ $P, Q, R$ છે. આપણે એવા બિંદુઓ $A$ ની સંખ્યા શોધવા માંગીએ છીએ જેથી $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ થાય,જેમાં શિરોબિંદુઓ આપેલ ક્રમમાં હોય.
નિશ્ચિત રેખાખંડ $BC$ અને નિશ્ચિત ત્રિકોણ $T$ (બાજુઓ $p, q, r$ સાથે) માટે,સમરૂપતા $\triangle ABC \sim \triangle PQR$ સૂચવે છે કે બાજુઓનો ગુણોત્તર $AB/PQ = BC/QR = AC/PR$ નિશ્ચિત છે.
$\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ અને $\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુઓના દરેક ક્રમિત સંગતતા માટે,બિંદુ $A$ માટે $2$ શક્ય સ્થાનો છે (રેખા $BC$ ની બંને બાજુએ એક-એક).
$\triangle PQR$ ના શિરોબિંદુઓને $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ સાથે જોડવા માટે $3! = 6$ શક્ય ક્રમચયો હોવાથી,અને દરેક જોડાણ માટે $A$ ના $2$ શક્ય સ્થાનો હોવાથી,બિંદુ $A$ ની કુલ સંખ્યા $6 \times 2 = 12$ થશે.

(D) $\frac{a}{b} + \frac{c}{d}$ નો સરવાળો ન્યૂનતમ કરવા માટે,જ્યાં $a, b, c, d$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, 9\}$ માંથી ભિન્ન સંખ્યાઓ છે,આપણે અંશ $a$ અને $c$ માટે શક્ય તેટલી નાની કિંમતો અને છેદ $b$ અને $d$ માટે શક્ય તેટલી મોટી કિંમતો પસંદ કરવી જોઈએ.
ગણ $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ છે.
જો આપણે $a=1, c=2$ અને $b=9, d=8$ લઈએ,તો સરવાળો $\frac{1}{9} + \frac{2}{8} = \frac{13}{36} = \frac{26}{72}$ થાય.
જો આપણે $a=2, c=1$ અને $b=9, d=8$ લઈએ,તો સરવાળો $\frac{2}{9} + \frac{1}{8} = \frac{16+9}{72} = \frac{25}{72}$ થાય.
આમ,ન્યૂનતમ કિંમત $\frac{25}{72}$ છે.

(B) ધારો કે $10$ બિંદુઓ એક બહિર્મુખ દશકોણના શિરોબિંદુઓ તરીકે ગોઠવાયેલા છે. બે બિંદુઓમાંથી પસાર થતી રેખા બાકીના $8$ બિંદુઓને દરેક બાજુએ $4$ બિંદુઓના બે સેટમાં વિભાજિત કરે છે જો અને માત્ર જો તે રેખા એક વિકર્ણ હોય જે એક બાજુ પર $4$ શિરોબિંદુઓ અને બીજી બાજુ પર $4$ શિરોબિંદુઓ છોડે.
ક્રમમાં $1, 2, \dots, 10$ લેબલ થયેલ શિરોબિંદુઓ સાથેના બહિર્મુખ દશકોણમાં,આવી રેખા શિરોબિંદુ $i$ ને શિરોબિંદુ $i+5$ સાથે જોડે છે (જ્યાં અનુક્રમણિકા $10$ ના મોડ્યુલો લેવામાં આવે છે).
શક્ય રેખાઓ $(1, 6), (2, 7), (3, 8), (4, 9), \text{ અને } (5, 10)$ છે.
આમ,આવી બરાબર $5$ રેખાઓ છે.

(A) $t_n$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, n\}$ માંથી પસંદ કરેલી ભિન્ન પૂર્ણાંક બાજુઓવાળા ત્રિકોણોની સંખ્યા દર્શાવે છે.
$t_{20} - t_{19}$ એ $\{1, 2, 3, \ldots, 20\}$ માંથી પસંદ કરેલી એવી ત્રિકોણોની સંખ્યા દર્શાવે છે જેમાં સૌથી મોટી બાજુ $20$ હોય.
ધારો કે ત્રિકોણની બાજુઓ $x, y, 20$ છે જ્યાં $x < y < 20$.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$x + y > 20$.
$y < 20$ હોવાથી,$y$ ની શક્ય કિંમતો $11$ થી $19$ સુધીની છે.
નિશ્ચિત $y$ માટે,સૌથી નાની બાજુ $x$ એ $20 - y < x < y$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આમ,$x$ માટેની શક્ય કિંમતોની સંખ્યા $2y - 20$ છે.
$y = 11, 12, \ldots, 19$ માટે સરવાળો કરતા:
$1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + 13 + 15 + 17 = 81$.
આમ,$t_{20} - t_{19} = 81$.

(C) આપણે છ-અંકની એવી સંખ્યાઓ $x_1 x_2 x_3 x_4 x_5 x_6$ શોધી રહ્યા છીએ કે જેથી $1 \le x_1 < x_2 < x_3 < x_4 < x_5 < x_6 \le 9$ થાય. આવી કુલ સંખ્યાઓ $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = 84$ છે.
$72^{\text{th}}$ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ચોક્કસ અંકોથી શરૂ થતી સંખ્યાઓ ગણીએ:
- $1$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $\binom{8}{5} = 56$ સંખ્યાઓ.
- $23$ થી શરૂ થતી સંખ્યાઓ: $\binom{6}{4} = 15$ સંખ્યાઓ.
અત્યાર સુધી ગણાયેલી કુલ સંખ્યાઓ: $56 + 15 = 71$.
$71^{\text{st}}$ સંખ્યા એ $23$ થી શરૂ થતી છેલ્લી સંખ્યા છે,જે $235678$ છે.
$72^{\text{nd}}$ સંખ્યા એ $24$ થી શરૂ થતી પ્રથમ સંખ્યા છે,જે $245678$ છે.
અંકોનો સરવાળો $2 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 = 32$ થાય છે.

(D) ધારો કે યુગલોની સંખ્યા $n$ છે. વ્યક્તિઓની કુલ સંખ્યા $2n$ છે.
મેચ બનાવવા માટે,આપણે $n$ માંથી $2$ યુગલોને ${}^nC_2$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
દરેક પસંદ કરેલા $2$ યુગલોમાંથી,આપણે વિરુદ્ધ જાતિની $1$ વ્યક્તિને $2 \times 2 = 4$ રીતે પસંદ કરીએ છીએ.
આમ,મેચોની સંખ્યા ${}^nC_2 \times 4 = 840$ છે.
${}^nC_2 = \frac{840}{4} = 210$.
$\frac{n(n-1)}{2} = 210 \Rightarrow n(n-1) = 420$.
$21 \times 20 = 420$ હોવાથી,$n = 21$ મળે છે.
કુલ વ્યક્તિઓ $= 2n = 2 \times 21 = 42$.

(B) કુલ $20$ રેખાઓ છે. ધારો કે $S_1 = \{L_1, L_3, \ldots, L_{19}\}$ એ $10$ સમાંતર રેખાઓનો ગણ છે અને $S_2 = \{L_2, L_4, \ldots, L_{20}\}$ એ એક સામાન્ય બિંદુ $P$ માંથી પસાર થતી $10$ રેખાઓનો ગણ છે.
રેખાઓની જોડીની કુલ સંખ્યા $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
$S_1$ માંની $10$ રેખાઓ સમાંતર હોવાથી,તેઓ છેદતી નથી. તેથી,આપણે $\binom{10}{2} = 45$ છેદબિંદુઓ ગુમાવીએ છીએ.
$S_2$ માંની $10$ રેખાઓ બિંદુ $P$ પર સંગામી હોવાથી,તેઓ $\binom{10}{2} = 45$ ભિન્ન બિંદુઓને બદલે માત્ર એક જ બિંદુ પર છેદે છે. તેથી,આપણે $45 - 1 = 44$ છેદબિંદુઓ ગુમાવીએ છીએ.
છેદબિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા $190 - 45 - 44 = 101$ છે.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 5 + 6 + 7 = 18$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $18$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે,જે $^{18}C_3$ રીતે કરી શકાય.
જોકે,એક જ બાજુ પરના બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના $5$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{5}C_3$ છે.
બાજુ $BC$ પરના $6$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{6}C_3$ છે.
બાજુ $CA$ પરના $7$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^{7}C_3$ છે.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $^{18}C_3 - (^{5}C_3 + ^{6}C_3 + ^{7}C_3)$.
ગણતરી: $^{18}C_3 = \frac{18 \times 17 \times 16}{3 \times 2 \times 1} = 816$.
$^{5}C_3 = 10$,$^{6}C_3 = 20$,$^{7}C_3 = 35$.
કુલ ત્રિકોણ = $816 - (10 + 20 + 35) = 816 - 65 = 751$.

(C) અષ્ટકોણના $8$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
ધારો કે $S$ એ બધા ત્રિકોણોનો ગણ છે. ધારો કે $A$ એ એવા ત્રિકોણોનો ગણ છે જેની ઓછામાં ઓછી એક બાજુ અષ્ટકોણ સાથે સામાન્ય હોય.
અષ્ટકોણ સાથે બરાબર એક બાજુ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $n(n-3) = 8 \times (8-3) = 8 \times 5 = 40$ છે.
અષ્ટકોણ સાથે બરાબર બે બાજુઓ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $n = 8$ છે.
અષ્ટકોણ સાથે ઓછામાં ઓછી એક બાજુ સામાન્ય હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $40 + 8 = 48$ છે.
અષ્ટકોણ સાથે કોઈ પણ બાજુ સામાન્ય ન હોય તેવા ત્રિકોણોની સંખ્યા $56 - 48 = 16$ છે.

(C) $n$ બિંદુઓને જોડીને બનતા કુલ રેખાખંડોની સંખ્યા $\binom{n}{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ છે.
પાસપાસેના બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડોની સંખ્યા (જે $n$-બાજુવાળા બહુકોણની બાજુઓ બનાવે છે) $n$ છે.
બિન-પાસપાસેના બિંદુઓને જોડતા રેખાખંડોની સંખ્યા (જે બહુકોણના વિકર્ણો છે) $\binom{n}{2} - n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,વાદળી રેખાખંડો (પાસપાસેના) ની સંખ્યા લાલ રેખાખંડો (બિન-પાસપાસેના) ની સંખ્યા જેટલી છે:
$n = \binom{n}{2} - n$
$2n = \frac{n(n-1)}{2}$
$4n = n^2 - n$
$n^2 - 5n = 0$
$n(n - 5) = 0$
$n \geq 2$ હોવાથી,$n = 5$ મળે છે.

(D) ધારો કે હાર $R_1, R_2, R_3$ માં ખાનાઓની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1=3, n_2=3, n_3=2$ છે. કુલ ખાના $n=8$.
આપણે $5$ ભિન્ન અક્ષરોને $8$ ખાનામાં એવી રીતે ગોઠવવાના છે કે કોઈ પણ હાર ખાલી ન રહે.
$8$ ખાનામાં $5$ અક્ષરો ગોઠવવાની કુલ રીતો $P(8, 5) = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ છે.
ધારો કે $S_1, S_2, S_3$ એ એવી રીતોના ગણ છે જેમાં અનુક્રમે હાર $R_1, R_2, R_3$ ખાલી છે.
આપણે $Total - |S_1 \cup S_2 \cup S_3|$ શોધવાનું છે.
$|S_1|$: $R_1$ ખાલી છે,તેથી $5$ અક્ષરોને $8-3=5$ ખાનામાં ગોઠવતા: $P(5, 5) = 120$.
$|S_2|$: $R_2$ ખાલી છે,તેથી $5$ અક્ષરોને $8-3=5$ ખાનામાં ગોઠવતા: $P(5, 5) = 120$.
$|S_3|$: $R_3$ ખાલી છે,તેથી $5$ અક્ષરોને $8-2=6$ ખાનામાં ગોઠવતા: $P(6, 5) = 720$.
$|S_1 \cap S_2|$: $R_1, R_2$ ખાલી,$5$ અક્ષરો $2$ ખાનામાં: $0$ રીતો.
$|S_1 \cap S_3|$: $R_1, R_3$ ખાલી,$5$ અક્ષરો $3$ ખાનામાં: $0$ રીતો.
$|S_2 \cap S_3|$: $R_2, R_3$ ખાલી,$5$ અક્ષરો $3$ ખાનામાં: $0$ રીતો.
$|S_1 \cap S_2 \cap S_3|$: બધી હાર ખાલી: $0$ રીતો.
અપવર્જન-સમાવેશના સિદ્ધાંત મુજબ:
$|S_1 \cup S_2 \cup S_3| = (|S_1| + |S_2| + |S_3|) - (|S_1 \cap S_2| + |S_1 \cap S_3| + |S_2 \cap S_3|) + |S_1 \cap S_2 \cap S_3| = (120 + 120 + 720) - 0 = 960$.
જરૂરી રીતો = $6720 - 960 = 5760$.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $1 + 12 + 9 = 22$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા જોઈએ.
બિંદુઓ $O, P_1, \ldots, P_{12}$ રેખા $L_1$ પર સમરેખ છે,અને $O, Q_1, \ldots, Q_9$ રેખા $L_2$ પર સમરેખ છે.
$22$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{22}{3} = 1540$ છે.
આપણે સમરેખ બિંદુઓ વાળા કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે:
$1$. $L_1$ પરના $3$ બિંદુઓ: $\binom{13}{3} = 286$.
$2$. $L_2$ પરના $3$ બિંદુઓ: $\binom{10}{3} = 120$.
કુલ ત્રિકોણ = $1540 - 286 - 120 = 1134$.

(D) $12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3$ છે.
$5$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેમાંથી પસંદ કરેલા $3$ બિંદુઓ ત્રિકોણ બનાવતા નથી.
આ $5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_3$ છે.
તેથી,કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $^{12}C_3 - ^{5}C_3$.
$^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
$^{5}C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
કુલ ત્રિકોણ = $220 - 10 = 210$.

(B) છેદબિંદુઓની મહત્તમ સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે તમામ શક્ય જોડીઓ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ:
$1$. $8$ રેખાઓનું એકબીજા સાથે છેદન: મહત્તમ બિંદુઓની સંખ્યા $^8C_2 = \frac{8 \times 7}{2} = 28$ છે.
$2$. $4$ વર્તુળોનું એકબીજા સાથે છેદન: દરેક વર્તુળની જોડી $2$ બિંદુઓ પર છેદે છે. જોડીઓની સંખ્યા $^4C_2 = 6$ છે. તેથી,$6 \times 2 = 12$ બિંદુઓ.
$3$. $8$ રેખાઓ અને $4$ વર્તુળોનું છેદન: દરેક રેખા દરેક વર્તુળને $2$ બિંદુઓ પર છેદી શકે છે. તેથી,$8 \times 4 \times 2 = 64$ બિંદુઓ.
કુલ બિંદુઓ = $28 + 12 + 64 = 104$.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણના શિરોબિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $T_n = {}^{n}C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T_{n+1} - T_n = 21$ મુજબ,આપણે સૂત્ર મૂકીએ:
${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 21$.
${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = {}^{n}C_2$.
તેથી,${}^{n}C_2 = 21$.
સંયોજનના સૂત્રને વિસ્તૃત કરતા: $\frac{n(n-1)}{2} = 21$.
$n(n-1) = 42$.
$n^2 - n - 42 = 0$.
$(n-7)(n+6) = 0$.
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 7$.
આમ,વિકલ્પ $(B)$ સાચો છે.

(B) $20$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને ત્રિકોણ બનાવવાની કુલ રીતો $^{20}C_3 = \frac{20 \times 19 \times 18}{3 \times 2 \times 1} = 1140$ છે.
બહુકોણની કોઈ પણ બાજુનો ઉપયોગ ન કરતા હોય તેવા ત્રિકોણ શોધવા માટે,આપણે કુલ ત્રિકોણમાંથી $1$ બાજુ અને $2$ બાજુઓનો ઉપયોગ કરતા ત્રિકોણ બાદ કરવા પડે.
બરાબર $2$ બાજુઓનો ઉપયોગ કરતા ત્રિકોણની સંખ્યા શિરોબિંદુઓની સંખ્યા જેટલી એટલે કે $20$ છે.
બરાબર $1$ બાજુનો ઉપયોગ કરતા ત્રિકોણની સંખ્યા $20$ બાજુઓમાંથી $1$ બાજુ પસંદ કરીને ($20$ રીતો) અને બાકીના શિરોબિંદુઓમાંથી એવું શિરોબિંદુ પસંદ કરીને મળે જે પસંદ કરેલી બાજુ સાથે જોડાયેલ ન હોય. આવા $16$ શિરોબિંદુઓ છે.
તેથી,$1$ બાજુવાળા ત્રિકોણ = $20 \times 16 = 320$.
કોઈ પણ બાજુનો ઉપયોગ ન કરતા હોય તેવા કુલ ત્રિકોણ = $1140 - 320 - 20 = 800$.

(A) ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે $11$ માંથી $4$ બિંદુઓ એવી રીતે પસંદ કરવા પડે કે જેથી કોઈ પણ $3$ બિંદુઓ સમરેખ ન હોય.
$11$ માંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{11}C_4 = \frac{11 \times 10 \times 9 \times 8}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 330$ છે.
જો કે,જો આપણે $5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ અથવા $4$ બિંદુઓ પસંદ કરીએ,તો તે ચતુષ્કોણ બનાવશે નહીં.
$5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_4 = 5$ છે.
$5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ અને બાકીના $6$ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરવાની રીતો $^{5}C_3 \times ^{6}C_1 = 10 \times 6 = 60$ છે.
કુલ અમાન્ય પસંદગીઓ = $5 + 60 = 65$.
ચતુષ્કોણની સંખ્યા = $330 - 65 = 265$.

(A) $n$ બાજુવાળા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર: $\frac{n(n-3)}{2} = 44$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી:
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ,તેથી $n = 11$ મળે છે.

(C) $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $n(S) = {}^{6}C_{3} = 20$ છે.
જો આપણે નિયમિત ષટ્કોણના એકાંતરે આવતા શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીએ તો સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવતા શિરોબિંદુઓના ગણ $\{1, 3, 5\}$ અને $\{2, 4, 6\}$ છે.
આમ,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $n(A) = 2$ છે.
સંભાવના $P(A) = \frac{n(A)}{n(S)} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ થાય.

(D) ધારો કે શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક શિરોબિંદુની ડિગ્રી $3$ આપેલ છે.
તેથી,સાદા ગ્રાફના તમામ શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો $3n$ થાય.
હેન્ડશેકિંગ લેમ્મા મુજબ,તમામ શિરોબિંદુઓની ડિગ્રીનો સરવાળો એ ધારની સંખ્યા કરતા બમણો હોય છે:
$\sum \text{deg}(v) = 2 \times |E|$
$3n = 2 \times 24$
$3n = 48$
$n = \frac{48}{3}$
$n = 16$
તેથી,શિરોબિંદુઓની સંખ્યા $16$ છે.

(B) અષ્ટકોણમાં $n = 8$ બાજુઓ હોય છે.
$n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
સૂત્રમાં $n = 8$ મૂકતા:
$\text{વિકર્ણોની સંખ્યા} = \frac{8(8-3)}{2} = \frac{8 \times 5}{2} = \frac{40}{2} = 20$.
આમ,વિકર્ણોની સંખ્યા $20$ છે.

(B) $6$ પુરુષોને હરોળમાં $6!$ રીતે બેસાડી શકાય. હવે,તેમના દ્વારા બનાવેલી $7$ જગ્યાઓમાં $6$ મહિલાઓને $7_{P_6}$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$\therefore x = 6! \times 7_{P_6} = 6! \times 7!$
$6$ પુરુષોને વર્તુળમાં $(6-1)! = 5!$ રીતે બેસાડી શકાય. હવે,તેમના દ્વારા બનાવેલી $6$ જગ્યાઓમાં $6$ મહિલાઓને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$\therefore y = 5! \times 6!$
હવે,$x: y = (6! \times 7!) : (5! \times 6!) = 7! : 5!$
$\Rightarrow x: y = (7 \times 6 \times 5!) : 5! = 42: 1$

(D) '$QUESTION$' શબ્દમાં $8$ ભિન્ન અક્ષરો છે.
નિદર્શાવકાશમાં કુલ ગોઠવણીઓની સંખ્યા $n(S) = 8!$ છે.
સાનુકૂળ પરિણામો $n(E)$ શોધવા માટે,આપણે $Q$ અને $S$ ને એવી રીતે ગોઠવીએ કે તેમની વચ્ચે બરાબર બે અક્ષરો હોય.
$(Q, S)$ અથવા $(S, Q)$ માટે શક્ય સ્થાનો $(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)$ છે.
આવા $5$ સ્થાનોની જોડી છે,અને દરેક જોડી માટે,$Q$ અને $S$ ને $2!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
બાકીના $6$ અક્ષરોને બાકીની $6$ જગ્યાઓ પર $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
તેથી,$n(E) = 5 \times 2! \times 6!$.
સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{5 \times 2 \times 6!}{8!} = \frac{10 \times 6!}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{10}{56} = \frac{5}{28}$.

(B) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષો વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ છે.
પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times (n \times 2) = 4n$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$n(n-1) - 4n = 66$.
$n^2 - n - 4n = 66 \Rightarrow n^2 - 5n - 66 = 0$.
$(n-11)(n+6) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 11$.
કુલ સહભાગીઓ = $n + 2 = 11 + 2 = 13$.

(B) વર્તુળ પરના બિંદુઓની સંખ્યા $n = 21$ છે.
જીવા વર્તુળ પરના કોઈપણ $2$ ભિન્ન બિંદુઓને જોડવાથી બને છે.
તેથી,જીવાઓની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r$ દ્વારા મળે છે,જ્યાં $r = 2$ છે.
$^{21}C_2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 21 \times 10 = 210$.
આમ,વર્તુળ પરના $21$ બિંદુઓમાંથી $210$ જીવાઓ દોરી શકાય છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણના $n$ શિરોબિંદુઓને જોડવાથી મળતા રેખાખંડોની સંખ્યા ${}^nC_2$ છે.
આ રેખાખંડોમાંથી $n$ રેખાખંડો બહુકોણની બાજુઓ છે.
તેથી,વિકર્ણોની સંખ્યા ${}^nC_2 - n$ થાય.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $560$ છે,તેથી:
${}^nC_2 - n = 560$
$\Rightarrow \frac{n(n-1)}{2} - n = 560$
$\Rightarrow n^2 - n - 2n = 1120$
$\Rightarrow n^2 - 3n - 1120 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$(n - 35)(n + 32) = 0$
$n$ ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 35$.

(C) $n \times n$ ગ્રીડ પર લંબચોરસની કુલ સંખ્યા (ચોરસ સહિત) $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$n \times n$ ગ્રીડ પર ચોરસની કુલ સંખ્યા $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જે લંબચોરસ ચોરસ નથી તેની સંખ્યા $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 - \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} = 350$ છે.
$n=6$ માટે:
$\left(\frac{6 \times 7}{2}\right)^2 - \frac{6 \times 7 \times 13}{6} = 21^2 - 91 = 441 - 91 = 350$.
આમ,$n=6$.
ચોરસની કુલ સંખ્યા $n^2 = 6^2 = 36$ છે.
ચેસબોર્ડમાં કાળા અને સફેદ ચોરસની સંખ્યા સમાન હોવાથી,સફેદ ચોરસની સંખ્યા $\frac{36}{2} = 18$ છે.

(C) ચેસબોર્ડ એ $8 \times 8$ ની ગ્રીડ છે,જેમાં $9$ આડી રેખાઓ અને $9$ ઊભી રેખાઓ હોય છે.
લંબચોરસ બનાવવા માટે,આપણે $9$ માંથી $2$ આડી રેખાઓ અને $9$ માંથી $2$ ઊભી રેખાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
$2$ આડી રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_2$ છે.
$2$ ઊભી રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_2$ છે.
તેથી,લંબચોરસની કુલ સંખ્યા $^9C_2 \times ^9C_2$ છે.
આમ,વિકલ્પ $(C)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે ચેસબોર્ડનું કદ $n \times n$ છે. $n \times n$ ગ્રીડ પર લંબચોરસની સંખ્યા $\binom{n+1}{2} \times \binom{n+1}{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ છે કે $\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 = 1296 = (36)^2$.
તેથી,$\frac{n(n+1)}{2} = 36$,જેનો અર્થ છે કે $n(n+1) = 72$,તેથી $n = 8$.
$n \times n$ બોર્ડ પર ચોરસની કુલ સંખ્યા $\sum_{k=1}^{n} k^2$ છે.
$n = 8$ માટે,સરવાળો $1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2$ છે.
સૂત્ર $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\frac{8 \times 9 \times 17}{6} = 4 \times 3 \times 17 = 204$ મળે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) આપેલ છે કે $n = 20$ સીધી રેખાઓ એક સમતલમાં છે,જ્યાં કોઈ પણ બે સમાંતર નથી અને કોઈ પણ ત્રણ સંગામી નથી.
છેદબિંદુઓની સંખ્યા $\binom{20}{2} = \frac{20 \times 19}{2} = 190$ છે.
ધારો કે $I = 190$ એ છેદબિંદુઓની સંખ્યા છે.
આ $I$ બિંદુઓને જોડવાથી બનતા કુલ રેખાખંડોની સંખ્યા $\binom{190}{2}$ છે.
પરંતુ,આપણે મૂળ $20$ રેખાઓ પર આવેલા રેખાખંડોને બાદ કરવા પડશે.
દરેક રેખા પર $n-1 = 19$ છેદબિંદુઓ છે. એક રેખા પર બનતા રેખાખંડોની સંખ્યા $\binom{19}{2}$ છે.
આમ,$20$ રેખાઓ માટે બાદ કરવાના રેખાખંડોની સંખ્યા $20 \times \binom{19}{2} = 20 \times 171 = 3420$ છે.
નવા બનતા રેખાખંડોની સંખ્યા $\binom{190}{2} - 3420 = 17955 - 3420 = 14535$ છે.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $n = 5 + 7 + 9 = 21$ છે. \\ $21$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો ${}^{21}C_3 = \frac{21 \times 20 \times 19}{3 \times 2 \times 1} = 1330$ છે. \\ જો $3$ બિંદુઓ સમરેખ હોય તો ત્રિકોણ બની શકતો નથી. \\ સમરેખ બિંદુઓ એક જ રેખા પર આવેલા હોય છે: \\ $L_1$ માંથી ગુમાવેલા ત્રિકોણ: ${}^{5}C_3 = 10$. \\ $L_2$ માંથી ગુમાવેલા ત્રિકોણ: ${}^{7}C_3 = 35$. \\ $L_3$ માંથી ગુમાવેલા ત્રિકોણ: ${}^{9}C_3 = 84$. \\ કુલ ત્રિકોણ = $1330 - (10 + 35 + 84) = 1330 - 129 = 1201$.

(C) $t_n$ એ સમતલમાં $n$ બિંદુઓ વડે બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા છે,જ્યાં કોઈ પણ ત્રણ બિંદુઓ સમરેખ નથી.
તેથી,$t_n = {}^{n}C_3$.
આપેલ છે કે $t_{n+1} - t_n = 36$.
સૂત્ર મૂકતા: ${}^{n+1}C_3 - {}^{n}C_3 = 36$.
${}^{n+1}C_r = {}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે ${}^{n}C_2 = 36$.
તેથી,$\frac{n(n-1)}{2} = 36$.
$n(n-1) = 72$.
$n^2 - n - 72 = 0$.
$(n-9)(n+8) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 9$.

(C) કોઈ પણ બે છોકરાઓ સાથે ન બેસે તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$2$ છોકરીઓને એક હરોળમાં ગોઠવો,જે $2! = 2$ રીતે કરી શકાય છે.
આનાથી $3$ જગ્યાઓ (ગેપ) બને છે (પ્રથમ છોકરીની પહેલા,બે છોકરીઓની વચ્ચે,અને બીજી છોકરીની પછી) જે આ મુજબ છે: $\_ G \_ G \_$.
આપણે આ $3$ જગ્યાઓમાં $3$ છોકરાઓને બેસાડવાની જરૂર છે. $3$ છોકરાઓને $3$ જગ્યાઓમાં ગોઠવવાની રીતોની સંખ્યા $3! = 6$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $2! \times 3! = 2 \times 6 = 12$ થાય.

(D) ગોળાકાર ટેબલની આસપાસ બેઠેલા $15$ વ્યક્તિઓમાંથી $3$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_3$ છે.
એક જગ્યાએ સાથે બેસતા $3$ વ્યક્તિઓને પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $15$ છે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા નીચે મુજબ ગણવામાં આવે છે:
$^{15}C_3 - 15 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} - 15$
$= (5 \times 7 \times 13) - 15$
$= 455 - 15 = 440$.
આમ,વિકલ્પ $(D)$ સાચો છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $275$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 275$
$n(n-3) = 550$
$n^2 - 3n - 550 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણ ઉકેલતા:
$n = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 2200}}{2} = \frac{3 \pm 47}{2}$
$n$ ધન હોવાથી,$n = \frac{50}{2} = 25$.
આમ,બાજુઓની સંખ્યા $n = 25$ છે.