Geometrical problems Questions in Gujarati

(C) પ્રથમ,$5$ છોકરાઓને એક હારમાં ગોઠવો,જે $5!$ રીતે કરી શકાય છે.
છોકરાઓની વચ્ચે અને છેડે કુલ $6$ ખાલી જગ્યાઓ બને છે.
કોઈ પણ બે છોકરીઓ સાથે ન આવે તે માટે,આપણે $5$ છોકરીઓને આ $6$ જગ્યાઓમાંથી પસંદ કરીને ગોઠવવી પડશે.
આ ગોઠવણીની સંખ્યા $^6P_5$ છે.
તેથી,કુલ ગોઠવણીની સંખ્યા $= 5! \times ^6P_5 = 5! \times 6!$.

(A) $10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{10}{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
$6$ બિંદુઓ એક જ રેખા પર હોવાથી,તેઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી. આ $6$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,બની શકતા ત્રિકોણની સંખ્યા $120 - 20 = 100$ છે.

(B) કુલ $16$ બેઠકો છે,દરેક બાજુ $8$ બેઠકો.
$4$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ એક બાજુ બેસશે,જેની ગોઠવણી $^8P_4$ રીતે થઈ શકે.
$2$ ચોક્કસ વ્યક્તિઓ બીજી બાજુ બેસશે,જેની ગોઠવણી $^8P_2$ રીતે થઈ શકે.
બાકી રહેલા $16 - 4 - 2 = 10$ વ્યક્તિઓને બાકીની $10$ બેઠકો પર $10!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા = $^8P_4 \times ^8P_2 \times 10!$.

(D) મિક્સ્ડ ડબલ્સ રમત માટે $2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓની પસંદગી એવી રીતે કરવાની છે કે પતિ-પત્ની એકસાથે ન હોય.
પ્રથમ,$7$ પુરુષોમાંથી $2$ પુરુષોની પસંદગી ${ }^7 C_2$ રીતે થાય.
પુરુષો પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.
હવે,$7$ સ્ત્રીઓ ઉપલબ્ધ છે. પસંદ કરેલા $2$ પુરુષોની પત્નીઓને બાકાત રાખવી પડે,તેથી બાકી રહેલી સ્ત્રીઓ $= 7 - 2 = 5$.
$5$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ સ્ત્રીઓની પસંદગી ${ }^5 C_2$ રીતે થાય.
સ્ત્રીઓ પસંદ કરવાની રીતો $= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
હવે,$2$ પુરુષો અને $2$ સ્ત્રીઓમાંથી $2$ મિક્સ્ડ ડબલ્સ જોડી બનાવવાની રીતો $= 2$.
કુલ રીતો $= { }^7 C_2 \times { }^5 C_2 \times 2 = 21 \times 10 \times 2 = 420$.

(D) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $45$ છે,તેથી $\frac{n(n-3)}{2} = 45$.
$n(n-3) = 90$.
$n^2 - 3n - 90 = 0$.
$(n-12)(n+9) = 0$.
$n$ ધન હોવું જોઈએ,તેથી $n = 12$.
આમ,વિધાન-$1$ ખોટું છે કારણ કે બાજુઓની સંખ્યા $12$ છે,$10$ નથી.
વિધાન-$2$ જણાવે છે કે $n$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^nC_2$ છે,જે એક પ્રમાણિત સંચયનું પરિણામ છે.
તેથી,વિધાન-$1$ ખોટું છે અને વિધાન-$2$ સાચું છે.

(C) સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ એ દરેક સમૂહમાંથી બે સમાંતર રેખાઓ પસંદ કરીને બનાવી શકાય છે.
શરૂઆતમાં,સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની $2$ બાજુઓ હોય છે. જ્યારે દરેક બાજુને સમાંતર $m$ રેખાઓ ઉમેરવામાં આવે,ત્યારે દરેક સમૂહમાં કુલ સમાંતર રેખાઓની સંખ્યા $m + 2$ થાય છે.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે પ્રથમ સમૂહની $m + 2$ રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ અને બીજા સમૂહની $m + 2$ રેખાઓમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવી પડે.
પ્રથમ સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{m+2}C_2$ છે.
બીજા સમૂહમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{m+2}C_2$ છે.
તેથી,બનતા કુલ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણની સંખ્યા $^{m+2}C_2 \times ^{m+2}C_2 = (^{m+2}C_2)^2$ થાય.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $3 + 4 + 5 = 12$ છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર પડે.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$ છે.
પરંતુ,એક જ બાજુ પરના બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી તે ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $^3C_3 = 1$ છે.
બાજુ $BC$ પરના $4$ સમરેખ બિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $^4C_3 = 4$ છે.
બાજુ $CA$ પરના $5$ સમરેખ બિંદુઓથી બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $^5C_3 = 10$ છે.
કુલ ત્રિકોણોની સંખ્યા = $220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$.

(C) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે.
કિસ્સો $1$: દરેક $3$ રેખાઓમાંથી એક-એક બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે.
પસંદગીની રીતોની સંખ્યા = $^pC_1 \times ^pC_1 \times ^pC_1 = p^3$.
કિસ્સો $2$: એક રેખા પરથી બે બિંદુઓ અને બાકીની બે રેખાઓમાંથી કોઈ એક રેખા પરથી એક બિંદુ પસંદ કરવામાં આવે.
કુલ $3$ રેખાઓ છે,તેથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવા માટે $1$ રેખા $^3C_1$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
પસંદ કરેલી રેખા પરથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો = $^pC_2$.
બાકીની $2p$ બિંદુઓમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરવાની રીતો = $^{2p}C_1$.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $3 \times ^pC_2 \times 2p = 3 \times \frac{p(p-1)}{2} \times 2p = 3p^2(p-1)$.
કુલ ત્રિકોણની સંખ્યા = $p^3 + 3p^2(p-1) = p^3 + 3p^3 - 3p^2 = 4p^3 - 3p^2 = p^2(4p - 3)$.

(C) $n$ બાજુવાળા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે,$\frac{n(n-3)}{2} = 275$.
$n(n-3) = 550$.
$n^2 - 3n - 550 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 25)(n + 22) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 25$.

(B) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ $4$ સમાંતર રેખાઓના ગણમાંથી બે સમાંતર રેખાઓ અને $3$ સમાંતર રેખાઓના ગણમાંથી બે સમાંતર રેખાઓ પસંદ કરીને બને છે.
$\therefore$ કુલ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સંખ્યા = (પ્રથમ ગણમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો) $\times$ (બીજા ગણમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો).
$\therefore$ કુલ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સંખ્યા = ${}^4C_2 \times {}^3C_2$.
સૂત્ર ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
${}^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$.
${}^3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$.
$\therefore$ કુલ સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણની સંખ્યા = $6 \times 3 = 18$.

(A) સમાંતર બાજુ ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે સમાંતર રેખાઓના એક સેટમાંથી $2$ રેખાઓ અને બીજા સેટમાંથી $2$ રેખાઓ પસંદ કરવી પડે.
જો દરેક સેટમાં $m$ રેખાઓ હોય,તો પસંદગીના કુલ પ્રકાર $= \binom{m}{2} \times \binom{m}{2} = (\binom{m}{2})^2$.

(B) $n$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા પંચકોણની સંખ્યા $^nC_5$ છે.
$n$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $^nC_3$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$^nC_5 = ^nC_3$.
ગુણધર્મ $^nC_r = ^nC_{n-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$^nC_5 = ^nC_{n-5}$ મળે.
તેથી,$n-5 = 3$,જેનો અર્થ છે કે $n = 8$.

(D) ધારો કે બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા $n$ છે.
બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n-3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $44$ છે,તેથી:
$\frac{n(n-3)}{2} = 44$
$n(n-3) = 88$
$n^2 - 3n - 88 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n - 11)(n + 8) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન પૂર્ણાંક હોવી જોઈએ $(n \in \mathbb{N})$,તેથી $n = 11$.
આમ,બહુકોણને $11$ બાજુઓ છે.

(C) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $5 + 3 = 8$.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$8$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3$ છે.
જોકે,પ્રથમ રેખા પરના $5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનતો નથી.
તે જ રીતે,બીજી રેખા પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનતો નથી.
તેથી,ત્રિકોણની સંખ્યા = $^8C_3 - ^5C_3 - ^3C_3$.
કિંમતો ગણતા: $^8C_3 = 56$,$^5C_3 = 10$,અને $^3C_3 = 1$.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $56 - 10 - 1 = 45$.

(C) વર્તુળ બનાવવા માટે,આપણે $3$ અસમરેખ બિંદુઓની જરૂર છે.
$10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
$4$ બિંદુઓ એકવૃતિય હોવાથી,આ $4$ બિંદુઓ $^4C_3 = 4$ વર્તુળોને બદલે માત્ર $1$ જ વર્તુળ બનાવે છે.
તેથી,ભિન્ન વર્તુળોની સંખ્યા $(^{10}C_3 - ^4C_3) + 1 = 120 - 4 + 1 = 117$ થાય.

(B) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $C(10, 3) = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
અહીં $5$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,આ $5$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં.
આ $5$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $C(5, 3) = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ છે.
તેથી,કુલ બની શકતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $120 - 10 = 110$ છે.

(B) $n$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^nC_2$ છે.
જો $p$ બિંદુઓ સમરેખ ન હોત,તો તેઓ $^pC_2$ રેખાઓ બનાવત.
પરંતુ,આ $p$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ $^pC_2$ રેખાઓને બદલે માત્ર $1$ જ રેખા બનાવે છે.
તેથી,મળતી કુલ રેખાઓની સંખ્યા: $^nC_2 - ^pC_2 + 1$ છે.

(B) $n$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા પંચકોણની સંખ્યા $\binom{n}{5}$ છે.
$n$ બિંદુઓનો ઉપયોગ કરીને બનાવી શકાતા ત્રિકોણની સંખ્યા $\binom{n}{3}$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,પંચકોણની સંખ્યા = ત્રિકોણની સંખ્યા:
$\binom{n}{5} = \binom{n}{3}$.
સંચયના ગુણધર્મ મુજબ,જો $\binom{n}{r} = \binom{n}{k}$ હોય,તો $r = k$ અથવા $r + k = n$ થાય.
અહીં $5 \neq 3$ હોવાથી,$n = 5 + 3$ થાય.
તેથી,$n = 8$.

(B) $21$ સફેદ દડા અને $19$ કાળા દડાને એવી રીતે ગોઠવવા માટે કે જેથી કોઈ પણ બે કાળા દડા સાથે ન આવે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
પ્રથમ,$21$ સફેદ દડાને એક હારમાં ગોઠવો. આનાથી $22$ સંભવિત જગ્યાઓ (છેડાઓ સહિત) બને છે જ્યાં કાળા દડા મૂકી શકાય.
$21$ સફેદ દડાને ગોઠવવાની રીતો $= 1$.
$22$ જગ્યાઓમાંથી $19$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{22}C_{19}$.
$^{n}C_{r} = ^{n}C_{n-r}$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$^{22}C_{19} = ^{22}C_{3}$.
$^{22}C_{3} = \frac{22 \times 21 \times 20}{3 \times 2 \times 1} = 22 \times 7 \times 10 = 1540$.
કુલ ગોઠવણી $= 1540 \times 1 = 1540$.

(B) $10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$ છે.
$6$ બિંદુઓ સમરેખ હોવાથી,તેઓ ત્રિકોણ બનાવતા નથી. આ $6$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{6}C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
તેથી,બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા $N = ^{10}C_3 - ^{6}C_3 = 120 - 20 = 100$ છે.
આમ,$N = 100$,જે $N \leq 100$ શરતનું પાલન કરે છે.

(B) લંબચોરસ બે આડી રેખાઓ અને બે ઊભી રેખાઓ પસંદ કરીને બનાવવામાં આવે છે. ધારો કે આડી રેખાઓ $x_1, x_2, \dots, x_{2m}$ અને ઊભી રેખાઓ $y_1, y_2, \dots, y_{2n}$ છે.
લંબચોરસની બાજુની લંબાઈ અયુગ્મ હોવા માટે,આપણે એવી બે રેખાઓ પસંદ કરવી જોઈએ કે જેથી તેમના અનુક્રમણિકા (indices) વચ્ચેનો તફાવત અયુગ્મ હોય.
ધારો કે પસંદ કરેલી બે રેખાઓની અનુક્રમણિકા $i$ અને $j$ $(i < j)$ છે. લંબાઈ $j - i$ છે. $j - i$ અયુગ્મ હોવા માટે,એક અનુક્રમણિકા યુગ્મ અને બીજી અયુગ્મ હોવી જોઈએ.
${1, 2, \dots, 2m}$ ના સમૂહમાં,$m$ અયુગ્મ સંખ્યાઓ અને $m$ યુગ્મ સંખ્યાઓ છે.
એક અયુગ્મ અને એક યુગ્મ અનુક્રમણિકા પસંદ કરવાની રીતો $m \times m = m^2$ છે.
તે જ રીતે,$2n$ રેખાઓવાળી બીજી બાજુ માટે,બે રેખાઓ પસંદ કરવાની રીતો કે જેથી અંતર અયુગ્મ હોય,તે $n \times n = n^2$ છે.
આમ,કુલ લંબચોરસની સંખ્યા $m^2 \times n^2 = m^2n^2$ થશે.

(B) ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે આપેલા $8$ બિંદુઓમાંથી $3$ અસમરેખ બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$8$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ છે.
કારણ કે $4$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી આ $4$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાથી ત્રિકોણ બનશે નહીં.
$4$ સમરેખ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $^4C_3 = 4$ છે.
તેથી,બની શકતા ત્રિકોણની સંખ્યા $56 - 4 = 52$ છે.

(D) $12$ વ્યક્તિઓને ($6$ છોકરા અને $6$ છોકરી) ગોઠવવાની કુલ રીતો $12!$ છે.
$6$ છોકરીઓ એકસાથે રહે તે માટે,આપણે $6$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણીએ છીએ. હવે,આપણી પાસે $6$ છોકરાઓ અને $1$ છોકરીઓનો એકમ છે,એટલે કે કુલ $7$ એકમો છે.
આ $7$ એકમોને $7!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$6$ છોકરીઓ અંદરોઅંદર $6!$ રીતે ગોઠવાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $7! \times 6!$ છે.
સંભાવના $P = \frac{7! \times 6!}{12!} = \frac{1}{132}$.

(C) $5$ છોકરા અને $3$ છોકરીઓને એક હારમાં ગોઠવવાના કુલ પ્રકાર $n(S) = 8!$ છે.
જ્યારે ત્રણેય છોકરીઓ સાથે બેસે,ત્યારે $3$ છોકરીઓને એક એકમ તરીકે ગણતા,આપણી પાસે $5$ છોકરા અને $1$ છોકરીઓનો સમૂહ એમ કુલ $6$ એકમો થાય.
આ $6$ એકમોને $6!$ રીતે ગોઠવી શકાય અને $3$ છોકરીઓને અંદરોઅંદર $3!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
તેથી,$n(E) = 6! \times 3!$.
માગેલ સંભાવના $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{6! \times 3!}{8!} = \frac{6! \times 6}{8 \times 7 \times 6!} = \frac{6}{56} = \frac{3}{28}$.

(C) ષટ્કોણનાં $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરીને કુલ ત્રિકોણ બનાવવાની રીતો $n = \binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,તેના શિરોબિંદુઓને જોડીને કુલ $2$ સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવી શકાય છે.
તેથી,સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા $r = 2$ છે.
ઘટનાની સંભાવના $P = \frac{r}{n} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ થાય.

(B) $n$-બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓને જોડીને બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $T_n = ^nC_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
આપેલ શરત $T_{n+1} - T_n = 10$ મુજબ:
$^{n+1}C_3 - ^nC_3 = 10$
સંયોજનના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,આપણે જાણીએ છીએ કે $^{n+1}C_3 = ^nC_3 + ^nC_2$. તેથી:
$(^nC_3 + ^nC_2) - ^nC_3 = 10$
$^nC_2 = 10$
સંયોજનના સૂત્રને વિસ્તૃત કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 10$
$n(n-1) = 20$
$n^2 - n - 20 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$(n-5)(n+4) = 0$
$n$ એ બાજુઓની સંખ્યા હોવાથી તે ધન પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 5$ (કારણ કે $n \neq -4$).

(A) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા = $3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
જોકે,એક જ બાજુ પર આવેલા બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી. આપણે તે કિસ્સાઓ બાદ કરવા પડશે જ્યાં $3$ બિંદુઓ એક જ બાજુ પરથી પસંદ કરવામાં આવ્યા હોય:
$1$. બાજુ $AB$ પરના બિંદુઓ: $^{3}C_3 = 1$ રીત.
$2$. બાજુ $BC$ પરના બિંદુઓ: $^{4}C_3 = 4$ રીતો.
$3$. બાજુ $CA$ પરના બિંદુઓ: $^{5}C_3 = 10$ રીતો.
કુલ સમરેખ બિંદુઓના સમૂહ = $1 + 4 + 10 = 15$.
ત્રિકોણની સંખ્યા = $220 - 15 = 205$.

(C) આકૃતિમાં કુલ $8$ ચોરસ છે જે ત્રણ હરોળમાં ગોઠવાયેલા છે: ઉપરની હરોળ ($2$ ચોરસ),મધ્ય હરોળ ($4$ ચોરસ),અને નીચેની હરોળ ($2$ ચોરસ).
આપણે $8$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાના છે.
$8$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાની કુલ રીતો $^8C_6 = 28$ છે.
દરેક હરોળમાં ઓછામાં ઓછો એક '$X$' હોવો જોઈએ.
જો ઉપરની હરોળમાં કોઈ '$X$' ન હોય,તો બાકીના $6$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાની $^6C_6 = 1$ રીત છે.
જો નીચેની હરોળમાં કોઈ '$X$' ન હોય,તો બાકીના $6$ ચોરસમાં $6$ '$X$' મૂકવાની $^6C_6 = 1$ રીત છે.
આમ,અમાન્ય રીતોની સંખ્યા $1 + 1 = 2$ છે.
જરૂરી રીતોની સંખ્યા $28 - 2 = 26$ છે.

(A) પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓમાંથી $k$ ક્રમિક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $\binom{n-k+1}{k}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 20$ અને $k = 4$ છે.
ચાર ક્રમિક ન હોય તેવી સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $= \binom{20-4+1}{4} = \binom{17}{4}$.
$20$ માંથી કોઈપણ ચાર સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{20}{4}$ છે.
સંભાવના $= \frac{\binom{17}{4}}{\binom{20}{4}} = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14}{20 \times 19 \times 18 \times 17} = \frac{28}{57}$.

(B) $A(0,0)$ થી $B(3,3)$ સુધી ફક્ત જમણી કે ઉપરની તરફ જઈને પહોંચવા માટે,વ્યક્તિએ કુલ $6$ પગલાં લેવા પડશે,જેમાં $3$ આડા પગલાં $(H)$ અને $3$ ઊભા પગલાં $(V)$ નો સમાવેશ થાય છે.
આ $6$ પગલાંઓને ગોઠવવાની કુલ રીતો $3$ $H$ અને $3$ $V$ ના ક્રમચયોની સંખ્યા દ્વારા મળે છે,જેની ગણતરી નીચે મુજબ છે:
$\frac{6!}{3! \times 3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$
આમ,કુલ $20$ શક્ય રસ્તાઓ છે.

(B) થી $D$ સુધીના સૌથી ટૂંકા માર્ગોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે જોઈએ છીએ કે બધા માર્ગો $MN$ વિભાગમાંથી પસાર થવા જોઈએ.
$A$ થી $M$ સુધીના માર્ગોની સંખ્યા $\frac{6!}{2!4!} = 15$ છે. $M$ થી $D$ સુધીના માર્ગોની સંખ્યા $\frac{5!}{2!3!} = 10$ છે. $M$ માંથી પસાર થતા કુલ માર્ગો $= 15 \times 10 = 150$.
$A$ થી $N$ સુધીના માર્ગોની સંખ્યા $\frac{7!}{2!5!} = 21$ છે. $N$ થી $D$ સુધીના માર્ગોની સંખ્યા $\frac{4!}{2!2!} = 6$ છે. $N$ માંથી પસાર થતા કુલ માર્ગો $= 21 \times 6 = 126$.
આપેલ વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $186$ છે.

(D) ધારો કે વર્તુળ પરના $6$ બિંદુઓ $P_1, P_2, P_3, P_4, P_5, P_6$ છે.
કોઈ સામાન્ય શિરોબિંદુ ન હોય તેવા $2$ ત્રિકોણ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $\binom{6}{3} = 20$ છે.
ત્રિકોણની બાજુઓ ન છેદે તેવી સ્થિતિમાં,ત્રિકોણ $2$ રીતે પસંદ કરી શકાય છે.
તેથી,સંભાવના $\frac{2}{20} = \frac{1}{10}$ છે.

(C) $HOSTEL$ થી $ALLEN$ સુધીના સૌથી ટૂંકા માર્ગોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે ગ્રીડમાં માર્ગો માટેના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ,જે $\frac{(m+n)!}{m!n!}$ છે,જ્યાં $m$ અને $n$ અનુક્રમે આડા અને ઊભા દિશામાં પગલાંની સંખ્યા છે.
ગ્રીડ બે $4 \times 3$ બ્લોક્સની બનેલી છે. કુલ માર્ગોની સંખ્યા એ સંક્રમણ બિંદુઓમાંથી પસાર થતા માર્ગોનો સરવાળો છે.
$1$. $HOSTEL$ થી $A$ થી $B$ થી $ALLEN$ સુધીના માર્ગો: $15 \times 1 \times 20 = 300$.
$2$. $HOSTEL$ થી $C$ થી $ALLEN$ સુધીના માર્ગો: $35 \times 15 = 525$.
$3$. $HOSTEL$ થી $D$ થી $E$ થી $ALLEN$ સુધીના માર્ગો: $35 \times 1 \times 15 = 525$.
આ બધાનો સરવાળો કરતા,આપણને $1350$ મળે છે. જો કે,સંપૂર્ણ ગ્રીડ માળખાને ધ્યાનમાં લેતા,સૌથી ટૂંકા માર્ગોની કુલ સંખ્યા $2275$ થાય છે.

(A) $10$ બિંદુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_3$ દ્વારા મળે છે.
જેহেতু $n$ બિંદુઓ સમરેખ છે,તેથી તેઓ ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
તેથી,બનતા ત્રિકોણોની સંખ્યા $^{10}C_3 - ^nC_3 = 110$ છે.
$^{10}C_3$ ની ગણતરી: $\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.
તેથી,$120 - ^nC_3 = 110$.
$^nC_3 = 120 - 110 = 10$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $^5C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$.
આમ,$n = 5$.

(C) $PALANHAR$ શબ્દમાં $8$ અક્ષરો છે: $P, A, L, A, N, H, A, R$. સ્વર $A, A, A$ છે અને વ્યંજન $P, L, N, H, R$ છે.
કુલ $5$ વ્યંજન અને $3$ સ્વર છે.
કુલ $8$ સ્થાનો છે. એકી સ્થાનો $1, 3, 5, 7$ ($4$ સ્થાનો) અને બેકી સ્થાનો $2, 4, 6, 8$ ($4$ સ્થાનો) છે.
કોઈ પણ બે સ્વર સાથે ન હોય અને બરાબર બે સ્વર એકી સ્થાને હોય તે રીતે ગોઠવણી કરવાની છે.
$5$ વ્યંજનોને ગોઠવવાની રીત $5! = 120$ છે.
વ્યંજનો વચ્ચે $6$ જગ્યાઓ મળે છે.
$2$ સ્વર એકી જગ્યાએ અને $1$ સ્વર બેકી જગ્યાએ ગોઠવતા,કુલ રીત = $5! \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 120 \times 6 \times 4 = 2880$.

(C) આકૃતિમાં કુલ $8$ ચોરસ છે. આપણે $8$ ચોરસમાં $6$ '$A$' એવી રીતે મૂકવા પડશે કે જેથી દરેક હરોળમાં ઓછામાં ઓછો એક '$A$' હોય.
કુલ રીતો = $\binom{8}{6} = 28$.
શરતનું ઉલ્લંઘન કરતી રીતો બાદ કરતાં,આપણને $28 - 2 = 26$ મળે છે.

(D) લંબચોરસ એ નિયમિત બહુકોણના બે વિકર્ણો દ્વારા રચાય છે જે કેન્દ્રમાં છેદે છે.
$n = 12$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા નિયમિત બહુકોણ માટે,વ્યાસની (કેન્દ્રમાંથી પસાર થતા વિકર્ણો) સંખ્યા $\frac{n}{2} = \frac{12}{2} = 6$ છે.
લંબચોરસ આ $6$ વ્યાસમાંથી કોઈપણ $2$ વ્યાસ પસંદ કરીને રચાય છે.
$6$ માંથી $2$ વ્યાસ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{n}{r}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,લંબચોરસની સંખ્યા $= \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(D) $15$ માંથી $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{15}C_3 = 455$ છે.
કોઈ પણ બે સંખ્યાઓ ક્રમિક ન હોય તેવી રીતે $3$ સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો $^{n-r+1}C_r$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=15$ અને $r=3$ છે.
તેથી,સાનુકૂળ રીતો $^{13}C_3 = 286$ છે.
આમ,જરૂરી સંભાવના $\frac{286}{455} = \frac{22}{35}$ છે.

(A) $n$ બાજુઓ ધરાવતા બહુકોણમાં વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવાનું સૂત્ર $\frac{n(n - 3)}{2}$ છે.
આપેલ છે કે વિકર્ણોની સંખ્યા $54$ છે,તેથી:
$\frac{n(n - 3)}{2} = 54$
$n(n - 3) = 108$
$n^2 - 3n - 108 = 0$
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા:
$n^2 - 12n + 9n - 108 = 0$
$n(n - 12) + 9(n - 12) = 0$
$(n - 12)(n + 9) = 0$
બાજુઓની સંખ્યા $n$ હંમેશા ધન હોવી જોઈએ,તેથી $n = 12$.

(C) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $n$ છે.
કુલ સહભાગીઓ $= n + 2$.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
$n$ પુરુષો વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times \binom{n}{2} = 2 \times \frac{n(n-1)}{2} = n(n-1)$ છે.
$n$ પુરુષો અને $2$ મહિલાઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $n \times 2 \times 2 = 4n$ છે (કારણ કે દરેક પુરુષ $2$ મહિલાઓમાંથી દરેક સાથે $2$ રમતો રમે છે).
આપેલ છે કે પુરુષો વચ્ચેની રમતોની સંખ્યા,પુરુષો અને મહિલાઓ વચ્ચેની રમતોની સંખ્યા કરતા $66$ વધારે છે:
$n(n-1) - 4n = 66$
$n^2 - n - 4n = 66$
$n^2 - 5n - 66 = 0$
$(n - 11)(n + 6) = 0$
$n > 0$ હોવાથી,$n = 11$ મળે.
$n = 11$ એ $(11, 13]$ અંતરાલમાં આવે છે.

(B) કુલ બિંદુઓની સંખ્યા $= 3 + 4 + 5 = 12$.
$12$ માંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતો $= ^{12}C_3 = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 220$.
જોકે,એક જ બાજુ પરના બિંદુઓ સમરેખ છે અને ત્રિકોણ બનાવી શકતા નથી.
બાજુ $AB$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $= ^3C_3 = 1$.
બાજુ $BC$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $= ^4C_3 = 4$.
બાજુ $CA$ પરના $3$ સમરેખ બિંદુઓ દ્વારા બનતા ત્રિકોણ $= ^5C_3 = 10$.
જરૂરી ત્રિકોણોની સંખ્યા $= 220 - (1 + 4 + 10) = 220 - 15 = 205$.

(A) ધારો કે પુરુષોની સંખ્યા $m$ છે અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $2$ છે.
દરેક સહભાગી અન્ય દરેક સહભાગી સાથે $2$ રમતો રમે છે.
પુરુષો વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times \binom{m}{2} = 2 \times \frac{m(m-1)}{2} = m^2 - m$ છે.
પુરુષો અને સ્ત્રીઓ વચ્ચે રમાતી રમતોની સંખ્યા $2 \times (m \times 2) = 4m$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ બંને વચ્ચેનો તફાવત $84$ છે:
$(m^2 - m) - 4m = 84$
$m^2 - 5m - 84 = 0$
$(m - 12)(m + 7) = 0$
$m$ ધન હોવાથી,$m = 12$ મળે છે.

(A) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણની દરેક બાજુમાં $n$ દડા છે.
ત્રિકોણમાં દડાઓની કુલ સંખ્યા પ્રથમ $n$ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સરવાળા દ્વારા મળે છે: $S = \frac{n(n+1)}{2}$.
પ્રશ્ન મુજબ,$99$ દડા ઉમેરવાથી તે $(n-2)$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવે છે.
તેથી,સમીકરણ: $\frac{n(n+1)}{2} + 99 = (n-2)^2$.
$2$ વડે ગુણતા: $n^2 + n + 198 = 2(n^2 - 4n + 4)$.
$n^2 + n + 198 = 2n^2 - 8n + 8$.
પદોને ગોઠવતા: $n^2 - 9n - 190 = 0$.
દ્વિઘાત સમીકરણના અવયવ પાડતા: $(n - 19)(n + 10) = 0$.
$n$ ધન હોવો જોઈએ,તેથી $n = 19$.
સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવવા માટે વપરાયેલા દડાઓની સંખ્યા $\frac{19(19+1)}{2} = \frac{19 \times 20}{2} = 190$ છે.

(C) $20$ સ્તંભો એ $20$ બાજુવાળા બહુકોણના શિરોબિંદુઓ બનાવે છે.
દરેક સ્તંભની ટોચને તમામ બિન-પડોશી સ્તંભો સાથે જોડવી એટલે $20$ બાજુવાળા બહુકોણના વિકર્ણોની સંખ્યા શોધવી.
$20$ માંથી $2$ સ્તંભો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{20}C_2$ છે.
$^{20}C_2 = \frac{20 \times 19}{2} = 190$.
આ $190$ જોડાણોમાં બહુકોણની $20$ બાજુઓ (જે પડોશી સ્તંભોને જોડે છે) નો સમાવેશ થાય છે.
તેથી,બીમ (વિકર્ણો) ની કુલ સંખ્યા $190 - 20 = 170$ છે.

(C) $6$ શિરોબિંદુઓમાંથી $3$ શિરોબિંદુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ છે.
નિયમિત ષટ્કોણમાં,એક શિરોબિંદુ છોડીને બીજા શિરોબિંદુને પસંદ કરવાથી સમબાજુ ત્રિકોણ બને છે. શક્ય સમબાજુ ત્રિકોણો $\triangle A_{1}A_{3}A_{5}$ અને $\triangle A_{2}A_{4}A_{6}$ છે.
આમ,આવા $2$ સમબાજુ ત્રિકોણો છે.
સંભાવના = $\frac{\text{સાનુકૂળ પરિણામોની સંખ્યા}}{\text{કુલ પરિણામોની સંખ્યા}} = \frac{2}{20} = \frac{1}{10}$.

(A) વર્તુળમાં જીવા દોરવા માટે,આપણે પરિઘ પરના આપેલા બિંદુઓમાંથી $2$ ભિન્ન બિંદુઓ પસંદ કરવા પડે.
$21$ બિંદુઓમાંથી $2$ બિંદુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ દ્વારા મળે છે.
અહીં,$n = 21$ અને $r = 2$ છે.
જીવાઓની સંખ્યા $= ^{21}C_2 = \frac{21!}{2!(21-2)!} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210$.

(C) વાદળી રેખાઓની સંખ્યા એ $n$ સ્ટેશનો દ્વારા બનતા બહુકોણની બાજુઓની સંખ્યા જેટલી છે,જે $n$ છે.
કોઈપણ બે સ્ટેશનોને જોડવાની કુલ રીતો સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લાલ રેખાઓની સંખ્યા એ કુલ જોડાણોમાંથી વાદળી રેખાઓ (બાજુઓ) ની સંખ્યા બાદ કરતા મળે છે,જે વિકર્ણોની સંખ્યા છે: ${}^{n}C_{2} - n$.
પ્રશ્ન મુજબ,લાલ રેખાઓની સંખ્યા વાદળી રેખાઓની સંખ્યા કરતા $99$ ગણી છે:
${}^{n}C_{2} - n = 99n$
${}^{n}C_{2}$ માટેનું સૂત્ર મૂકતા:
$\frac{n(n-1)}{2} - n = 99n$
બંને બાજુને $n$ વડે ભાગતા (કારણ કે $n > 2$):
$\frac{n-1}{2} - 1 = 99$
$\frac{n-1}{2} = 100$
$n - 1 = 200$
$n = 201$

(D) ધારો કે બાજુઓ $AB, BC, CD, DA$ પરના બિંદુઓની સંખ્યા અનુક્રમે $n_1=5, n_2=6, n_3=7, n_4=9$ છે.
$\alpha$ એ અલગ-અલગ બાજુઓમાંથી $3$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ત્રિકોણની સંખ્યા છે.
ત્રિકોણ બનાવવા માટે,આપણે $4$ માંથી $3$ બાજુઓ પસંદ કરીએ છીએ અને પછી દરેક પસંદ કરેલી બાજુમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.
$\alpha = (n_1 n_2 n_3) + (n_1 n_2 n_4) + (n_1 n_3 n_4) + (n_2 n_3 n_4)$
$\alpha = (5 \cdot 6 \cdot 7) + (5 \cdot 6 \cdot 9) + (5 \cdot 7 \cdot 9) + (6 \cdot 7 \cdot 9)$
$\alpha = 210 + 270 + 315 + 378 = 1173$
$\beta$ એ અલગ-અલગ બાજુઓમાંથી $4$ બિંદુઓ પસંદ કરીને બનતા ચતુષ્કોણની સંખ્યા છે.
ચતુષ્કોણ બનાવવા માટે,આપણે $4$ બાજુઓમાંથી દરેકમાંથી $1$ બિંદુ પસંદ કરીએ છીએ.
$\beta = n_1 \cdot n_2 \cdot n_3 \cdot n_4$
$\beta = 5 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 9 = 1890$
તેથી,$(\beta-\alpha) = 1890 - 1173 = 717$.