Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(A) कुल अंकों की संख्या $7$ है।
अंक $1, 2, 3, 2, 3, 3, 4$ हैं।
यहाँ,अंक $3$ तीन बार और अंक $2$ दो बार दोहराया गया है।
विभिन्न क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{p!q!r!...}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
आवश्यक संख्या $= \frac{7!}{3! \times 2!} = \frac{5040}{6 \times 2} = \frac{5040}{12} = 420$.

(C) $4$ अंकों की सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर $0, 2, 4$ या $6$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: इकाई का स्थान $0$ है। शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ द्वारा $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: इकाई का स्थान $2, 4$ या $6$ है ($3$ तरीके)। हजार के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता और इकाई के स्थान पर उपयोग किया गया अंक भी नहीं हो सकता। अतः,हजार के स्थान के लिए $7 - 2 = 5$ विकल्प हैं। शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है। अतः,$3 \times 5 \times 20 = 300$ तरीके।
कुल तरीके $= 120 + 300 = 420$।

(D) चार अंकों की संख्या को $d_1 d_2 d_3 d_4$ के रूप में दर्शाया जाता है।
संख्या के विषम होने के लिए,अंतिम अंक $d_4$ को $\{1, 3, 5, 7\}$ समुच्चय से चुना जाना चाहिए। $d_4$ को भरने के $4$ तरीके हैं।
पहले अंक $d_1$ के लिए,यह $0$ नहीं हो सकता (अन्यथा यह तीन अंकों की संख्या बन जाएगी)। अतः,$d_1$ को $\{1, 2, 3, 5, 7\}$ में से चुना जा सकता है,जो $5$ तरीके देता है।
दूसरे अंक $d_2$ और तीसरे अंक $d_3$ के लिए,चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,प्रत्येक को $6$ अंकों $\{0, 1, 2, 3, 5, 7\}$ में से किसी से भी भरा जा सकता है। अतः,$d_2$ के लिए $6$ तरीके और $d_3$ के लिए $6$ तरीके हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत का उपयोग करते हुए,ऐसी विषम संख्याओं की कुल संख्या $5 \times 6 \times 6 \times 4 = 720$ है।

(A) $BANANA$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $B, A, N, A, N, A$।
यहाँ,$A$ तीन बार और $N$ दो बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = 60$।
उन विन्यासों की संख्या जिनमें दो $N$ एक साथ हों: $(NN)$ को एक इकाई मानिए। अब हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $B, A, A, A, (NN)$।
विन्यासों की संख्या = $\frac{5!}{3! \times 1!} = \frac{120}{6} = 20$।
उन विन्यासों की संख्या जिनमें दो $N$ एक साथ न आएं = (कुल विन्यास) - ($N$ के एक साथ आने वाले विन्यास) = $60 - 20 = 40$।

(A) सबसे पहले,हम $5$ लड़कों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं,जिसे $5!$ तरीकों से किया जा सकता है।
यह लड़कों के बीच $4$ रिक्त स्थान बनाता है: $B_1 \_ B_2 \_ B_3 \_ B_4 \_ B_5$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक लड़की दो लड़कों के बीच हो,हमें $3$ लड़कियों को इन $4$ उपलब्ध स्थानों में बैठाना होगा।
$4$ स्थानों में $3$ लड़कियों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $^4P_3$ है।
कुल तरीके = $5! \times ^4P_3 = 120 \times 24 = 2880$.

(C) यहाँ $3$ विषय हैं: गणित,भौतिकी और रसायन विज्ञान। चूंकि एक ही विषय की पुस्तकें एक साथ होनी चाहिए,इसलिए हम प्रत्येक विषय के समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
इन $3$ इकाइयों को शेल्फ पर व्यवस्थित करने के $3!$ तरीके हैं।
गणित समूह के भीतर,$5$ पुस्तकों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
भौतिकी समूह के भीतर,$4$ पुस्तकों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
रसायन विज्ञान समूह के भीतर,$2$ पुस्तकों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $3! \times 5! \times 4! \times 2!$ है।

(C) $ARTICLE$ शब्द में $7$ अलग-अलग अक्षर हैं: $A, R, T, I, C, L, E$.
इसमें $3$ स्वर $(A, I, E)$ और $4$ व्यंजन $(R, T, C, L)$ हैं।
$7$ अक्षरों वाले शब्द में,सम स्थान $2, 4, 6$ (कुल $3$ स्थान) हैं।
$3$ स्वरों को $3$ सम स्थानों पर $^3P_3 = 3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शेष $4$ व्यंजनों को शेष $4$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7)$ पर $^4P_4 = 4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$.

(C) बस में $5$ सीटें खाली हैं।
सबसे पहले,पुरुष $5$ सीटों में से किसी एक को $5$ तरीकों से चुन सकता है।
पुरुष के बैठने के बाद,$4$ सीटें शेष बचती हैं।
पत्नी शेष $4$ सीटों में से किसी एक को $4$ तरीकों से चुन सकती है।
अतः,उनके बैठने के कुल तरीकों की संख्या $5 \times 4 = 20$ है।

(C) $SACHIN$ शब्द के अक्षरों का वर्णानुक्रम $A, C, H, I, N, S$ है।
$A$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$C$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$H$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$I$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$N$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$S$ से शुरू होने वाले शब्दों से पहले कुल शब्द $5 \times 120 = 600$ हैं।
शब्दकोश में अगला शब्द $S$ से शुरू होने वाला पहला शब्द है,जो कि $SACHIN$ है।
अतः,$SACHIN$ का क्रमांक $600 + 1 = 601$ है।

(C) $999$ और $10000$ के बीच की सभी संख्याएँ $4$-अंकीय संख्याएँ हैं।
अंकों ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$ का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली कुल $4$-अंकीय संख्याएँ $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$ हैं।
हालाँकि,एक $4$-अंकीय संख्या $0$ से शुरू नहीं हो सकती है। हमें उन मामलों को बाहर करना होगा जहाँ हजार के स्थान पर $0$ है।
यदि हजार का स्थान $0$ पर निश्चित है,तो शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों ${2, 3, 6, 7, 8}$ द्वारा $^5P_3 = 5 \times 4 \times 3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,आवश्यक $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $360 - 60 = 300$ है।

(B) $20$ में से $2$ छात्रों को चुनने के कुल तरीके $^{20}C_2$ द्वारा दिए जाते हैं।
चूंकि प्रत्येक जोड़ी के छात्र एक-दूसरे के साथ कार्ड का आदान-प्रदान करते हैं,इसलिए $2$ छात्रों के प्रत्येक चयन में $2$ ग्रीटिंग कार्ड का आदान-प्रदान होता है (एक छात्र $A$ से $B$ और एक छात्र $B$ से $A$)।
अतः,आदान-प्रदान किए गए ग्रीटिंग कार्डों की कुल संख्या $2 \times ^{20}C_2$ है।
यह $^{20}P_2$ के बराबर है।

(C) दी गई संख्या $112233$ है,जिसमें कुल $6$ अंक हैं।
अंक $1, 1, 2, 2, 3, 3$ हैं।
यहाँ,अंक $1$ दो बार,अंक $2$ दो बार और अंक $3$ दो बार दोहराया गया है।
इन $6$ अंकों के विन्यास की कुल संख्या इस प्रकार है:
$\text{तरीकों की संख्या} = \frac{6!}{2! \times 2! \times 2!} = \frac{720}{2 \times 2 \times 2} = \frac{720}{8} = 90$.
अतः,$6$ अंकों की कुल $90$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।

(C) $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को लेने पर,जब $p$ विशिष्ट वस्तुएं हमेशा शामिल हों,तो क्रमचयों की संख्या:
$1$. सबसे पहले,हम शेष $(n-p)$ वस्तुओं में से $(r-p)$ वस्तुओं का चयन करते हैं,जिसे $^{n-p}C_{r-p}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$2$. अब,हमारे पास कुल $r$ वस्तुएं हैं ($p$ विशिष्ट वस्तुएं और चयनित $r-p$ वस्तुएं)।
$3$. इन $r$ वस्तुओं को आपस में $r!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$. अतः,कुल क्रमचयों की संख्या $^{n-p}C_{r-p} \times r!$ है।

(A) अतिथि के लिए एक विशिष्ट कुर्सी निर्धारित है,इसलिए अतिथि $1$ तरीके से बैठ सकता है।
शेष $5$ व्यक्तियों को शेष $8$ कुर्सियों पर बैठाना है।
यह क्रमचय (permutation) का प्रश्न है जहाँ हम $8$ उपलब्ध कुर्सियों में $5$ व्यक्तियों को व्यवस्थित करते हैं।
तरीकों की संख्या $^8P_5 = \frac{8!}{(8-5)!} = \frac{8!}{3!} = 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 = 6720$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6720$ है।

(C) दिए गए अक्षर $\{a, b, c, d, e, f\}$ हैं,जिनमें स्वर $\{a, e\}$ ($2$ अक्षर) और व्यंजन $\{b, c, d, f\}$ ($4$ अक्षर) हैं।
हमें कम से कम एक स्वर वाले $3$ अक्षरों के शब्द बनाने हैं।
कम से कम एक स्वर वाले कुल शब्द = ($3$ अक्षरों के कुल शब्द) - (बिना स्वर वाले शब्द)।
$6$ अलग-अलग अक्षरों से $3$ अक्षरों के कुल शब्द = $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$।
बिना स्वर वाले शब्द (केवल व्यंजन $\{b, c, d, f\}$ का उपयोग करके) = $^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$।
अतः,कम से कम एक स्वर वाले शब्दों की संख्या = $120 - 24 = 96$।

(A) $10$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके $5$ अक्षरों के कुल शब्द (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $10^5 = 100000$ बनाए जा सकते हैं।
$5$ अक्षरों के वे शब्द जिनमें सभी अक्षर भिन्न हों,उनकी संख्या क्रमचय के सूत्र $P(10, 5) = \frac{10!}{(10-5)!} = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ द्वारा प्राप्त की जाती है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या = (कुल शब्द) - (सभी भिन्न अक्षरों वाले शब्द)।
अतः,आवश्यक शब्दों की संख्या $100000 - 30240 = 69760$ है।

(B) चूंकि किसी भी स्थान पर,$2, 5$ और $7$ अंकों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है,इसलिए ऐसी धनात्मक $n$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $3^n$ है।
हमें कम से कम $900$ अलग संख्याएँ बनानी हैं,इसलिए हम असमिका $3^n \ge 900$ का उपयोग करते हैं।
$3$ की घातों की गणना करने पर:
$3^6 = 729 < 900$
$3^7 = 2187 \ge 900$
अतः,$n$ का सबसे छोटा मान $7$ है।

(A) हम जानते हैं कि क्रमचय (permutations) और संचय (combinations) के बीच का संबंध $^n{P_r} = r! \times {^n{C_r}}$ है।
दिया गया समीकरण $^n{P_r} = 720 \times {^n{C_r}}$ है।
दोनों पक्षों को ${^n{C_r}}$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{^n{P_r}}{^n{C_r}} = 720$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\frac{^n{P_r}}{^n{C_r}} = r!$,इसलिए $r! = 720$ है।
हम जानते हैं कि $6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$ होता है।
अतः,$r! = 6!$,जिसका अर्थ है कि $r = 6$।

(B) $3$ पुरुष और $2$ महिलाएं मिलकर कुल $5$ व्यक्ति होते हैं।
बस में $2$ तरफ $3-3$ सीटें हैं,इसलिए कुल $6$ सीटें उपलब्ध हैं।
सबसे पहले,$6$ में से $5$ सीटों को चुनने के तरीके $^6C_5$ हैं।
इसके बाद,इन $5$ व्यक्तियों को चुनी गई $5$ सीटों पर व्यवस्थित करने के तरीके $5!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^6C_5 \times 5!$ है।

(B) $10$ और $1000$ के बीच,संख्याएँ या तो $2$ अंकों की हो सकती हैं या $3$ अंकों की।
स्थिति $1$: $2$ अंकों की संख्याएँ।
प्रत्येक $2$ स्थान को $9$ अंकों ($1$ से $9$) में से किसी से भी भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।
तरीकों की संख्या $= 9 \times 9 = 81$।
स्थिति $2$: $3$ अंकों की संख्याएँ।
प्रत्येक $3$ स्थान को $9$ अंकों ($1$ से $9$) में से किसी से भी भरा जा सकता है क्योंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है।
तरीकों की संख्या $= 9 \times 9 \times 9 = 729$।
कुल संख्याएँ $= 81 + 729 = 810$।

(C) $TRIANGLE$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $T, R, I, A, N, G, L, E$.
इसमें $5$ व्यंजन $(T, R, N, G, L)$ और $3$ स्वर $(I, A, E)$ हैं।
सबसे पहले,$5$ व्यंजनों को $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
ये $5$ व्यंजन $6$ रिक्त स्थान बनाते हैं जहाँ $3$ स्वरों को इस प्रकार रखा जा सकता है कि कोई भी दो स्वर एक साथ न हों: $\_ C \_ C \_ C \_ C \_ C \_$.
इन $6$ स्थानों में $3$ स्वरों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $120 \times 120 = 14400$ है।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{^{56}P_{r+6}}{^{54}P_{r+3}} = 30800$
सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{56!}{(56-(r+6))!} \times \frac{(54-(r+3))!}{54!} = 30800$
$\frac{56!}{(50-r)!} \times \frac{(51-r)!}{54!} = 30800$
$\frac{56 \times 55 \times 54!}{54!} \times \frac{(51-r) \times (50-r)!}{(50-r)!} = 30800$
$56 \times 55 \times (51-r) = 30800$
$3080 \times (51-r) = 30800$
$51-r = 10$
$r = 41$

(A) $10$ अलग-अलग अक्षरों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $5$ अक्षरों के कुल शब्दों की संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) $10^5 = 100000$ है।
जिन शब्दों में कोई भी अक्षर दोहराया नहीं जाता है,उनकी संख्या क्रमचय सूत्र $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ द्वारा दी जाती है।
कम से कम एक अक्षर दोहराए जाने वाले शब्दों की संख्या कुल शब्दों की संख्या में से उन शब्दों की संख्या को घटाने पर प्राप्त होती है जिनमें कोई भी अक्षर दोहराया नहीं गया है।
आवश्यक शब्दों की संख्या $= 100000 - 30240 = 69760$.

(B) $ARRANGE$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, A, R, R, N, G, E$।
इसमें दो $A$,दो $R$ और $N, G, E$ एक-एक बार हैं।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या:
$\frac{7!}{2! \times 2!} = \frac{5040}{4} = 1260$।
उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करने के लिए जिनमें दोनों $R$ एक साथ हों,हम $(RR)$ को एक इकाई मानते हैं। अब हमारे पास $6$ इकाइयाँ हैं: $(RR), A, A, N, G, E$।
इन इकाइयों की व्यवस्थाओं की संख्या:
$\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$।
अतः,उन व्यवस्थाओं की संख्या जिनमें दोनों $R$ एक साथ न आएं:
$1260 - 360 = 900$।

(A) कुल $10$ व्यक्ति हैं। शर्त यह है कि $A$ को $B$ से पहले बोलना है,और $B$ को $C$ से पहले बोलना है। इसका मतलब है कि $A, B, C$ का सापेक्ष क्रम $A, B, C$ के रूप में निश्चित है।
सबसे पहले,$10$ में से $3$ स्थान $A, B, C$ के लिए $^{10}C_3$ तरीकों से चुने जा सकते हैं। एक बार ये स्थान चुन लिए जाने के बाद,$A, B, C$ को व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है ताकि $A, B$ से पहले और $B, C$ से पहले आए।
शेष $7$ व्यक्तियों को शेष $7$ स्थानों में $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^{10}C_3 \times 7! = \frac{10!}{3! \times 7!} \times 7! = \frac{10!}{3!} = \frac{10!}{6}$ है।

(A) $INDEPENDENCE$ शब्द में $12$ अक्षर हैं: $I, N, D, E, P, E, N, D, E, N, C, E$.
स्वर $I, E, E, E, E$ हैं ($4$ $E$ और $1$ $I$).
व्यंजन $N, D, P, N, D, N, C$ हैं ($3$ $N$,$2$ $D$,$1$ $P$,$1$ $C$).
चूंकि स्वर हमेशा एक साथ आते हैं,हम स्वरों के समूह $(I, E, E, E, E)$ को एक इकाई मानते हैं.
अब,हमारे पास $7$ व्यंजन + $1$ स्वर की इकाई = $8$ इकाइयाँ हैं.
इन $8$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके,जहाँ $N$ तीन बार और $D$ दो बार आता है,$\frac{8!}{3! \times 2!} = 3360$ हैं.
स्वर इकाई के भीतर,$5$ स्वरों $(I, E, E, E, E)$ को $\frac{5!}{4!} = 5$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है.
कुल शब्दों की संख्या = $3360 \times 5 = 16800$.

(C) $BHARAT$ शब्द में $6$ अक्षर हैं,जिसमें $A$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
अब,मान लीजिए कि $B$ और $H$ हमेशा एक साथ आते हैं। $(BH)$ को एक इकाई के रूप में मानें। अक्षर $(BH), A, R, A, T$ हैं। कुल $5$ इकाइयाँ हैं,जिसमें $A$ दो बार आता है।
$B$ और $H$ के एक साथ आने वाली व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{5!}{2!} \times 2! = 120 \times 1 = 120$.
अतः,उन शब्दों की संख्या जिनमें $B$ और $H$ कभी एक साथ नहीं आते $ = 360 - 120 = 240$.

(A) पुस्तकों की कुल संख्या $N = a + 2b + 3c + d$ है।
हमारे पास एक पुस्तक की $a$ समान प्रतियां,दो पुस्तकों में से प्रत्येक की $b$ समान प्रतियां,तीन पुस्तकों में से प्रत्येक की $c$ समान प्रतियां और $d$ पुस्तकों की एकल प्रतियां हैं।
जब $n_1$ समान वस्तुएं प्रकार $1$ की हों,$n_2$ समान वस्तुएं प्रकार $2$ की हों,आदि,तो $N$ वस्तुओं के विन्यास की संख्या $\frac{N!}{n_1! n_2! \dots}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,हमारे पास है:
- एक पुस्तक की $a$ समान प्रतियां ($a!$ तरीके)
- दो पुस्तकों में से प्रत्येक की $b$ समान प्रतियां ($(b!)^2$ तरीके)
- तीन पुस्तकों में से प्रत्येक की $c$ समान प्रतियां ($(c!)^3$ तरीके)
अतः,व्यवस्था के कुल तरीके $\frac{(a + 2b + 3c + d)!}{a! (b!)^2 (c!)^3}$ हैं।

(B) कार में कुल $3$ सीटें हैं: $2$ आगे और $1$ पीछे।
चूंकि ड्राइवर को आगे की सीट पर होना चाहिए,इसलिए हम $2$ योग्य व्यक्तियों में से $1$ ड्राइवर को $^2C_1$ तरीकों से चुन सकते हैं।
बाकी $2$ सीटों के लिए शेष $5$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों को चुनने के तरीके $^5C_2$ हैं।
कुल तरीके = $^2C_1 \times ^5C_2 = 2 \times 10 = 20$.

(A) $5000$ और $10,000$ के बीच की संख्या $4$ अंकों की होनी चाहिए।
हजार के स्थान को $5, 6, 7, 8, 9$ अंकों में से किसी भी अंक से भरा जा सकता है ताकि संख्या $5000$ या उससे अधिक हो।
अतः,हजार का स्थान $5$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक अंक एक से अधिक बार नहीं आ सकता,इसलिए शेष $3$ स्थानों को भरने के लिए $8$ अंक उपलब्ध हैं।
$8$ में से $3$ अंकों को व्यवस्थित करने के तरीके $^{8}P_{3}$ हैं।
इसलिए,कुल संख्याएँ = $5 \times ^{8}P_{3}$।

(D) $MORADABAD$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $A, A, A, D, D, M, O, R, B$। कुल $6$ प्रकार के भिन्न अक्षर हैं। हमें $4$ अक्षरों वाले शब्द बनाने हैं।
$(i)$ सभी $4$ अक्षर भिन्न हों: $6$ में से $4$ चुनकर व्यवस्थित करने पर: $^6P_4 = 6 \times 5 \times 4 \times 3 = 360$।
$(ii)$ $2$ अक्षर समान और $2$ भिन्न हों: $2$ प्रकारों में से ($A$ या $D$) $1$ जोड़ा चुनें और शेष $5$ प्रकारों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनें: $^2C_1 \times ^5C_2 \times \frac{4!}{2!} = 2 \times 10 \times 12 = 240$।
$(iii)$ $3$ अक्षर समान और $1$ भिन्न हो: $3$ समान अक्षरों का $1$ प्रकार $(A)$ चुनें और शेष $5$ प्रकारों में से $1$ भिन्न अक्षर चुनें: $^1C_1 \times ^5C_1 \times \frac{4!}{3!} = 1 \times 5 \times 4 = 20$।
$(iv)$ $2$ अक्षर एक प्रकार के समान और $2$ अक्षर दूसरे प्रकार के समान हों: $2$ प्रकारों में से $2$ जोड़े चुनें ($A$ और $D$): $^2C_2 \times \frac{4!}{2!2!} = 1 \times 6 = 6$।
कुल शब्दों की संख्या = $360 + 240 + 20 + 6 = 626$।

(C) दी गई संख्या $223355888$ है। अंक $2, 2, 3, 3, 5, 5, 8, 8, 8$ हैं।
कुल $9$ अंक हैं। स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$ हैं।
सम स्थान $2, 4, 6, 8$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
दी गई संख्या में विषम अंक $3, 3, 5, 5$ हैं।
इन $4$ विषम अंकों को $4$ सम स्थानों पर व्यवस्थित करना है। व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2! \times 2!} = \frac{24}{4} = 6$ हैं।
शेष $5$ अंक $2, 2, 8, 8, 8$ हैं,जिन्हें $5$ विषम स्थानों $(1, 3, 5, 7, 9)$ पर व्यवस्थित करना है।
व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{2! \times 3!} = \frac{120}{2 \times 6} = 10$ हैं।
अतः,कुल तरीके $6 \times 10 = 60$ हैं।

(A) $CRICKET$ शब्द के अक्षर $C, R, I, C, K, E, T$ हैं।
वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर: $C, C, E, I, K, R, T$।
कुल अक्षर = $7$,जिसमें $C$ दो बार आता है।
$CRICKET$ से पहले आने वाले शब्दों की गणना करने पर कुल संख्या $530$ प्राप्त होती है।

(D) क्रमचय ${}^{n}P_{r}$ को परिभाषित होने के लिए,हमारे पास $n \ge r \ge 0$ और $n, r \in \mathbb{Z}^+ \cup \{0\}$ होना चाहिए।
यहाँ,$n = 7 - x$ और $r = x - 3$ है।
$1$. $n \ge r \implies 7 - x \ge x - 3 \implies 10 \ge 2x \implies x \le 5$.
$2$. $r \ge 0 \implies x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$.
$3$. $n \ge 0 \implies 7 - x \ge 0 \implies x \le 7$.
इन शर्तों को मिलाने पर,प्रांत (domain) $x \in \{3, 4, 5\}$ प्राप्त होता है।
अब,प्रांत के प्रत्येक मान के लिए $f(x)$ की गणना करते हैं:
$x = 3$ के लिए: $f(3) = {}^{7-3}P_{3-3} = {}^{4}P_{0} = 1$.
$x = 4$ के लिए: $f(4) = {}^{7-4}P_{4-3} = {}^{3}P_{1} = 3$.
$x = 5$ के लिए: $f(5) = {}^{7-5}P_{5-3} = {}^{2}P_{2} = 2$.
अतः,परिसर ${f(3), f(4), f(5)} = \{1, 3, 2\}$ अर्थात $\{1, 2, 3\}$ है।

(A) $n$ कैडेटों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
दो विशेष कैडेटों के एक साथ खड़े होने के अनुकूल मामलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं।
इससे हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $(n - 1)$ इकाइयाँ बचती हैं,जिन्हें $(n - 1)!$ तरीकों से किया जा सकता है।
उन दो विशेष कैडेटों को आपस में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल मामलों की संख्या $2 \times (n - 1)!$ है।
आवश्यक प्रायिकता $\frac{2 \times (n - 1)!}{n!} = \frac{2 \times (n - 1)!}{n \times (n - 1)!} = \frac{2}{n}$ है।

(B) $10$ संभावित अंक हैं: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$।
अंतिम दो अंक अलग-अलग हैं,इसलिए अंतिम दो अंकों को डायल करने के कुल तरीके क्रमचय सूत्र ${}^{10}P_2 = 10 \times 9 = 90$ द्वारा दिए जाते हैं।
इन $90$ संभावित परिणामों में से,केवल $1$ परिणाम अंतिम दो अंकों का सही क्रम है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{90}$ है।

(C) सम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर $0, 2, 4$ या $6$ होना चाहिए। हम इसे दो मामलों में विभाजित करते हैं:
स्थिति $I$: इकाई के स्थान पर $0$ हो।
इकाई के स्थान को भरने के तरीके $1$ हैं। शेष $3$ स्थानों को शेष $6$ अंकों $(1, 2, 3, 4, 5, 6)$ से $^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $II$: इकाई के स्थान पर $2, 4$ या $6$ हो।
इकाई के स्थान को भरने के तरीके $3$ हैं। हजार के स्थान पर $0$ नहीं आ सकता और इकाई के स्थान वाला अंक भी नहीं आ सकता,इसलिए $5$ विकल्प हैं। शेष $2$ स्थानों को शेष $5$ अंकों से $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल तरीके $= 3 \times 5 \times 20 = 300$.
कुल सम संख्याएँ $= 120 + 300 = 420$.

(B) $CALCUTTA$ शब्द में कुल $8$ अक्षर हैं।
अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है:
$C$ दो बार आता है।
$A$ दो बार आता है।
$T$ दो बार आता है।
$L$ एक बार आता है।
$U$ एक बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या का सूत्र:
$\text{Arrangements} = \frac{8!}{2! 2! 2!}$
गणना:
$\frac{40320}{8} = 5040$
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $5040$ है।

(C) पाँच अंकों का उपयोग करके कुल $5! = 120$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।
$1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $4! = 24$.
$21$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $3! = 6$.
$23$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: $3! = 6$.
कुल $24000$ से छोटी संख्याएँ: $24 + 6 + 6 = 36$.
अतः,$24000$ से बड़ी संख्याएँ: $120 - 36 = 84$.

(A) यहाँ $7$ लड़के और $3$ लड़कियाँ हैं। यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों,हम पहले $7$ लड़कों को एक पंक्ति में $7!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
इससे $8$ संभावित स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ $3$ लड़कियों को बैठाया जा सकता है।
इन $8$ स्थानों में $3$ लड़कियों को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके $^8P_3$ हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $7! \times {^8P_3}$ है।

(A) $3$ अंकों की विषम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान पर विषम अंक होना चाहिए।
दिए गए समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में से विषम अंक $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ हैं।
इकाई के स्थान के लिए $5$ विकल्प हैं।
चूँकि अंकों की पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,इकाई का स्थान भरने के बाद,दहाई के स्थान के लिए $8$ अंक और सैकड़े के स्थान के लिए $7$ अंक शेष रहते हैं।
दहाई का स्थान भरने के तरीके $8$ हैं और सैकड़े का स्थान भरने के तरीके $7$ हैं।
कुल $3$ अंकों की विषम संख्याएँ = $7 \times 8 \times 5 = 280$.

(D) $3$ छल्लों के लिए कुल संभावित संयोजनों की संख्या $10 \times 10 \times 10 = 1000$ है।
इन $1000$ संयोजनों में से,केवल $1$ संयोजन ताला खोलने के लिए सही है।
इसलिए,असफल प्रयासों की संख्या कुल संयोजनों में से सही संयोजन को घटाने पर प्राप्त होती है।
असफल प्रयास $= 1000 - 1 = 999$.

(C) $ALLAHABAD$ शब्द में कुल $9$ अक्षर हैं।
इसमें $A$ अक्षर $4$ बार और $L$ अक्षर $2$ बार आता है।
बाकी अक्षर अलग हैं।
इसलिए,कुल शब्दों की संख्या $\frac{9!}{4!2!}$ होगी।

(A) मान लीजिए स्थान $1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8$ हैं।
यदि $A$ स्थान $i$ पर है,तो $B$ को स्थान $i+3$ पर होना चाहिए (ताकि उनके बीच दो व्यक्ति हों)।
स्थानों के संभावित जोड़े $(i, i+3)$ हैं: $(1, 4), (2, 5), (3, 6), (4, 7), (5, 8)$।
ऐसे $5$ जोड़े हैं।
चूंकि $A$ और $B$ अपने स्थानों की अदला-बदली कर सकते हैं,इसलिए $A$ और $B$ को रखने के $5 \times 2 = 10$ तरीके हैं।
शेष $6$ व्यक्तियों को शेष $6$ स्थानों में $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल तरीके $= 10 \times 6! = 10 \times 6 \times 5! = 60 \times 5!$.

(B) $3, 1, 7, 9$ अंकों का उपयोग करके कुल $4! = 24$ संख्याएँ बनाई जा सकती हैं।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान पर $6$ बार आता है।
प्रत्येक स्थान पर अंकों का योग $= 6 \times (1 + 3 + 7 + 9) = 120$ है।
सभी संख्याओं का कुल योग $= 120 \times (1 + 10 + 100 + 1000) = 120 \times 1111 = 133320$ है।

(D) $2, 4, 5, 5, 7$ अंकों का उपयोग करके $40000$ से बड़ी संख्या बनाने के लिए,पहला अंक $4, 5$ या $7$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: यदि पहला अंक $4$ है,तो शेष $4$ अंकों $(2, 5, 5, 7)$ को $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्थिति $2$: यदि पहला अंक $5$ है,तो शेष $4$ अंकों $(2, 4, 5, 7)$ को $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
स्थिति $3$: यदि पहला अंक $7$ है,तो शेष $4$ अंकों $(2, 4, 5, 5)$ को $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 12 + 24 + 12 = 48$।

(D) $ALGEBRA$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $A, L, G, E, B, R, A$.
स्वर $A, E, A$ हैं (स्थान $1, 4, 7$ पर)।
व्यंजन $L, G, B, R$ हैं (स्थान $2, 3, 5, 6$ पर)।
सापेक्ष स्थान को स्थिर रखने के लिए,हम $3$ स्वरों को उनके $3$ स्थानों पर और $4$ व्यंजनों को उनके $4$ स्थानों पर व्यवस्थित करते हैं।
स्वरों $(A, E, A)$ को व्यवस्थित करने के तरीके $= \frac{3!}{2!} = 3$.
व्यंजनों $(L, G, B, R)$ को व्यवस्थित करने के तरीके $= 4! = 24$.
कुल क्रमचयों की संख्या $= 3 \times 24 = 72$.

(B) $ENDEANOEL$ शब्द में $9$ अक्षर हैं: $E, E, E, N, D, A, O, N, L$। अक्षर $E(3), N(2), D(1), A(1), O(1), L(1)$ हैं।
कुल अक्षर = $9$। हमें उन्हें इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि अंतिम $5$ स्थानों में $D, L$ या $N$ न हो।
इसका अर्थ है कि अंतिम $5$ स्थानों को शेष अक्षरों $E, E, E, A, O$ से भरा जाना चाहिए।
अंतिम $5$ स्थानों में $E, E, E, A, O$ को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{5!}{3!} = \frac{120}{6} = 20$ हैं।
शेष $4$ स्थानों को शेष अक्षरों $D, L, N, N$ से भरा जाना चाहिए। इन्हें व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = \frac{24}{2} = 12$ हैं।
कुल क्रमचय = $20 \times 12 = 240$।
चूँकि $2 \times 5! = 2 \times 120 = 240$,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(C) $99$ और $1000$ के बीच की संख्याएँ $3$ अंकों की होती हैं।
हमारे पास $6$ अंक हैं: ${0, 2, 3, 6, 7, 8}$।
इन $6$ अंकों का उपयोग करके बनने वाली कुल $3$ अंकों की संख्याएँ (जिनमें $0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ भी शामिल हैं) $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ (जो वास्तव में $2$ अंकों की संख्याएँ हैं) शेष $5$ अंकों में से $2$ अंकों को चुनकर दहाई और इकाई के स्थान पर रखने से प्राप्त होती हैं: $^5P_2 = 5 \times 4 = 20$।
अतः,कुल अभीष्ट संख्याएँ $= 120 - 20 = 100$।

(B) चूंकि प्रत्येक $n$ स्थान को $3$ अंकों $(2, 5, 7)$ में से किसी से भी भरा जा सकता है,इसलिए कुल $n$-अंकीय संख्याएँ $3^n$ होंगी।
हमें दिया गया है कि कम से कम $900$ अलग-अलग संख्याएँ बनाई जा सकती हैं,इसलिए $3^n \geq 900$।
$3$ की घातों की गणना करने पर:
$3^6 = 729$
$3^7 = 2187$
चूंकि $3^6 < 900$ और $3^7 \geq 900$ है,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $7$ है।