Definition of permutation, Number of permutations with or without repetition, Conditional permutations Questions in Hindi

(B) $6$ पेपरों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $6! = 720$ हैं।
यदि सबसे अच्छा और सबसे खराब पेपर हमेशा एक साथ आते हैं,तो हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं।
तब हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $5$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $5!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर के दो पेपरों को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ आने के तरीकों की संख्या $5! \times 2! = 120 \times 2 = 240$ है।
उनके कभी भी एक साथ न आने के तरीकों की संख्या $720 - 240 = 480$ है।

(A) प्रत्येक $6$ अलग-अलग अंगूठी को $4$ उंगलियों में से किसी भी एक में पहना जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक अंगूठी के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए $6$ अंगूठियों को पहनने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^6$ हैं।

(B) $7$ पुरुषों में से प्रत्येक के पास अपना मत देने के लिए $3$ विकल्प हैं।
चूंकि प्रत्येक पुरुष स्वतंत्र रूप से $3$ तरीकों से मतदान कर सकता है,इसलिए मतदान करने के कुल तरीकों की संख्या $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^7$ है।

(A) व्यक्ति के पास ग्वालियर से भोपाल जाने के लिए $4$ विकल्प हैं।
चूंकि उसे एक अलग बस से वापस आना है,इसलिए वापसी की यात्रा के लिए उसके पास $4 - 1 = 3$ विकल्प हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या $4 \times 3 = 12$ है।

(B) दिया है: ${}^n{P_5} = 20 \times {}^n{P_3}$
सूत्र ${}^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 20 \times \frac{n!}{(n-3)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{(n-5)!} = \frac{20}{(n-3)(n-4)(n-5)!}$
$(n-3)(n-4) = 20$
$n^2 - 7n + 12 = 20$
$n^2 - 7n - 8 = 0$
$(n-8)(n+1) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $n \geq 5$ है,इसलिए $n = 8$ प्राप्त होता है।

(A) $UNIVERSAL$ शब्द में $9$ अलग-अलग अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, A, L$.
इन $9$ अलग-अलग अक्षरों में से $3$ अक्षरों का शब्द बनाने के लिए,हम क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है।
आवश्यक शब्दों की संख्या $= ^9P_3 = \frac{9!}{(9-3)!} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6!}{6!} = 9 \times 8 \times 7 = 504$.

(C) $mn$ पत्रों में से प्रत्येक पत्र को $n$ लेटर-बॉक्स में से किसी में भी पोस्ट किया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पत्र के लिए $n$ विकल्प हैं,इसलिए $mn$ पत्रों को पोस्ट करने के कुल तरीके $n \times n \times \dots \times n$ ($mn$ बार) होंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $n^{mn}$ है।

(D) प्रत्येक सत्य-असत्य प्रश्न के $2$ संभावित परिणाम (सत्य या असत्य) होते हैं।
चूंकि $10$ स्वतंत्र प्रश्न हैं,इसलिए उत्तर देने के कुल तरीकों की संख्या गुणन नियम द्वारा दी जाती है।
कुल तरीके = $2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^{10}$.
$2^{10} = 1024$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) एक संख्या सम होती है यदि उसका अंतिम अंक $2, 4, 6$ या $8$ हो।
अतः,अंतिम अंक को $4$ तरीकों से भरा जा सकता है।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति नहीं है,अंतिम अंक भरने के बाद,हमारे पास शेष $2$ स्थानों को भरने के लिए $8$ अंक बचते हैं।
$8$ अंकों में से शेष $2$ स्थानों को भरने के तरीकों की संख्या $^8P_2 = 8 \times 7 = 56$ है।
इसलिए,कुल सम संख्याओं की संख्या $56 \times 4 = 224$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $^n{P_5} = 9 \times {^{n - 1}}{P_4}$
सूत्र $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-5)!} = 9 \times \frac{(n-1)!}{(n-5)!}$
दोनों पक्षों से $(n-1)!$ और $(n-5)!$ को हटाने पर:
$n = 9$

(A) हम जानते हैं कि $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ होता है।
विकल्प $A$ में दिए गए व्यंजक पर विचार करें:
$^{n - 1}{P_r} + r \cdot ^{n - 1}{P_{r - 1}} = \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - r)!} + r \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - 1 - (r - 1))!}$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} + r \cdot \frac{(n - 1)!}{(n - r)!}$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \left( 1 + \frac{r}{n - r} \right)$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \left( \frac{n - r + r}{n - r} \right)$
$= \frac{(n - 1)!}{(n - r - 1)!} \cdot \frac{n}{n - r} = \frac{n \cdot (n - 1)!}{(n - r) \cdot (n - r - 1)!} = \frac{n!}{(n - r)!} = ^n{P_r}$.

(A) कुल $10$ अंक हैं: $0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$।
$9$ अंकों की संख्या में पहले स्थान पर $0$ नहीं हो सकता।
$10$ में से $9$ अलग अंकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $^{10}P_9 = \frac{10!}{1!} = 10!$ हैं।
हालाँकि,इसमें वे संख्याएँ शामिल हैं जिनमें पहले स्थान पर $0$ है। यदि पहले स्थान पर $0$ निश्चित है,तो शेष $8$ स्थानों पर शेष $9$ अंकों में से $8$ अंकों को व्यवस्थित करना होगा,जो $^9P_8 = \frac{9!}{1!} = 9!$ है।
अतः,सभी अंक अलग होने वाली $9$ अंकों की संख्याएँ = $^{10}P_9 - ^9P_8 = 10! - 9! = (10 - 1) \times 9! = 9 \times 9!$।

(C) प्रत्येक $4$ पार्सल को $5$ डाकघरों में से किसी में भी पोस्ट किया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पार्सल स्वतंत्र है,पहला पार्सल $5$ तरीकों से,दूसरा $5$ तरीकों से,तीसरा $5$ तरीकों से और चौथा $5$ तरीकों से पोस्ट किया जा सकता है।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $5 \times 5 \times 5 \times 5 = 5^4 = 625$ है।

(A) $5$ अलग-अलग पुरस्कारों में से प्रत्येक पुरस्कार $4$ छात्रों में से किसी को भी दिया जा सकता है।
चूंकि प्रत्येक पुरस्कार के लिए $4$ विकल्प हैं,इसलिए $5$ पुरस्कारों को वितरित करने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 \times 4 \times 4 = 4^5$ होंगे।
इसकी गणना करने पर,हमें $4^5 = 1024$ प्राप्त होता है।

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्रमचय सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ (खाली सीटें) और $r = 3$ (यात्री) हैं।
अतः,बैठने के तरीकों की संख्या $^5P_3 = \frac{5!}{(5-3)!} = \frac{5 \times 4 \times 3 \times 2!}{2!} = 5 \times 4 \times 3 = 60$ है।

(C) इकाई स्थान पर अंकों का योग ज्ञात करने के लिए,हम इकाई स्थान पर एक अंक को स्थिर करते हैं।
यदि हम इकाई स्थान पर $3$ को स्थिर करते हैं,तो शेष $3$ अंकों $(4, 5, 6)$ को शेष $3$ स्थानों पर $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसी प्रकार,यदि हम इकाई स्थान पर $4, 5,$ या $6$ को स्थिर करते हैं,तो प्रत्येक अंक इकाई स्थान पर $3! = 6$ बार आएगा।
इकाई स्थान पर अंकों का योग $6 \times (3 + 4 + 5 + 6) = 6 \times 18 = 108$ है।

(A) चूंकि कुल $6$ सिक्के हैं और चित की संख्या पट की संख्या के बराबर होनी चाहिए,इसलिए हमारे पास $3$ चित और $3$ पट होने चाहिए।
सिक्के समान हैं,इसलिए उन्हें व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$N = \frac{6!}{3! 3!} = \frac{720}{6 \times 6} = 20$.
अतः,सिक्कों को व्यवस्थित करने के $20$ तरीके हैं।

(C) अंकों $\{4, 5, 6, 7, 8\}$ का उपयोग करके बनाई गई कुल $5$-अंकीय संख्याएँ $5! = 120$ हैं।
हमें $56000$ से बड़ी संख्याओं की संख्या ज्ञात करनी है।
कुल विन्यास = $120$ है।
$4$ से शुरू होने वाली संख्याएँ = $4! = 24$ हैं।
$54$ से शुरू होने वाली संख्याएँ = $3! = 6$ हैं।
$56000$ से छोटी संख्याएँ वे हैं जो $4$ से शुरू होती हैं (कुल $24$) और जो $54$ से शुरू होती हैं (कुल $6$)।
$56000$ से छोटी संख्याएँ = $24 + 6 = 30$ हैं।
$56000$ से बड़ी संख्याएँ = $120 - 30 = 90$ हैं।

(A) $4$ अलग-अलग अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $4! = 24$ है।
प्रत्येक अंक प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा,हजार) पर ठीक $\frac{24}{4} = 6$ बार आता है।
अंकों का योग $2 + 4 + 6 + 8 = 20$ है।
किसी भी स्थान पर अंकों का योग $6 \times 20 = 120$ है।
अतः,ऐसी सभी संख्याओं का योग $120 \times 1 + 120 \times 10 + 120 \times 100 + 120 \times 1000$ है।
$= 120(1 + 10 + 100 + 1000) = 120 \times 1111 = 133320$.

(A) ग्रामीण व्यक्ति $5$ अलग-अलग तरीकों से शहर जा सकता है।
चूंकि वापस आने के लिए कोई प्रतिबंध नहीं है,इसलिए वह $5$ अलग-अलग तरीकों से वापस भी आ सकता है।
गणना के मौलिक सिद्धांत के अनुसार,जाने और वापस आने के कुल तरीके $5 \times 5 = 25$ हैं।

(D) $5$ परीक्षा पत्रों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
जब भौतिकी और रसायन विज्ञान के पेपर एक साथ आते हैं,तो हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास $4$ इकाइयाँ हैं (भौतिकी-रसायन विज्ञान की जोड़ी और अन्य $3$ पेपर),जिन्हें $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,भौतिकी और रसायन विज्ञान के पेपर को $2!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ आने के तरीकों की संख्या $4! \times 2! = 24 \times 2 = 48$ है।
उनके कभी भी एक साथ न आने के तरीकों की संख्या कुल व्यवस्थाओं में से एक साथ आने वाली व्यवस्थाओं को घटाने पर प्राप्त होती है:
$120 - 48 = 72$.

(B) प्रथम पुरस्कार $5$ प्रतियोगियों में से किसी को भी $5$ तरीकों से दिया जा सकता है।
प्रथम पुरस्कार दिए जाने के बाद,द्वितीय पुरस्कार शेष $4$ प्रतियोगियों में से किसी को भी $4$ तरीकों से दिया जा सकता है।
अंत में,तृतीय पुरस्कार शेष $3$ प्रतियोगियों में से किसी को भी $3$ तरीकों से दिया जा सकता है।
चूंकि एक प्रतियोगी को एक से अधिक पुरस्कार नहीं मिल सकता है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या:
कुल तरीके $= 5 \times 4 \times 3 = 60$।

(B) $3$ अंकीय विषम संख्या बनाने के लिए,इकाई के स्थान को $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ समुच्चय से एक विषम अंक द्वारा भरा जाना चाहिए।
उपलब्ध विषम अंक $\{1, 3, 5\}$ हैं,इसलिए इकाई के स्थान को भरने के $3$ तरीके हैं।
चूंकि पुनरावृत्ति की अनुमति है,सैकड़े के स्थान को $6$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
दहाई के स्थान को भी $6$ अंकों में से किसी भी अंक द्वारा $6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,ऐसी विषम संख्याओं की कुल संख्या $6 \times 6 \times 3 = 108$ है।

(A) दिए गए अंक $2, 0, 4, 3, 8$ हैं।
पाँच अंकों की संख्या बनाने के लिए,पहला अंक (दस हजार का स्थान) $0$ नहीं हो सकता।
$5$ अलग-अलग अंकों का कुल क्रमचय $5! = 120$ है।
$0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ वे हैं जिनमें पहला स्थान $0$ के रूप में निश्चित है,और शेष $4$ स्थानों को शेष $4$ अंकों द्वारा $4!$ तरीकों से भरा जा सकता है।
$4! = 24$।
अतः,पाँच अंकों की संख्याएँ = (कुल क्रमचय) - ($0$ से शुरू होने वाली संख्याएँ)
$= 5! - 4! = 120 - 24 = 96$।

(C) क्रमचय का सूत्र $^{n}P_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ है।
दिया गया है कि $^{12}P_r = 1320$ है।
हम जानते हैं कि $^{12}P_r = 12 \times 11 \times 10 \times \dots \times (12-r+1)$ होता है।
गुणनफल की गणना करने पर:
$12 \times 11 = 132$
$132 \times 10 = 1320$
चूंकि $3$ पदों का गुणनफल $1320$ है,इसलिए $r = 3$ है।

(A) $n$-अंकीय संख्या के लिए,पहला अंक (सबसे बाईं ओर) $1$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है (क्योंकि यह $0$ नहीं हो सकता)। अतः,पहले अंक के लिए $9$ विकल्प हैं।
दूसरे अंक के लिए,यह $0$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है,सिवाय उस अंक के जो पहले स्थान पर उपयोग किया गया है। अतः,$9$ विकल्प हैं।
तीसरे अंक के लिए,यह $0$ से $9$ तक कोई भी अंक हो सकता है,सिवाय उस अंक के जो दूसरे स्थान पर उपयोग किया गया है। अतः,$9$ विकल्प हैं।
इस पैटर्न को जारी रखते हुए,शेष $(n-1)$ स्थानों में से प्रत्येक के लिए $9$ विकल्प उपलब्ध हैं।
इसलिए,कुल $n$-अंकीय संख्याओं की संख्या $9 \times 9 \times 9 \times \dots \times 9$ ($(n-1)$ बार) $= 9 \times 9^{n-1}$ है।

(C) $SALOON$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $S, A, L, O, O, N$,जहाँ $O$ दो बार आता है।
कुल विन्यासों की संख्या = $\frac{6!}{2!} = \frac{720}{2} = 360$.
उन विन्यासों को ज्ञात करने के लिए जिनमें दोनों $O$ एक साथ न आएं,हम कुल विन्यासों में से उन स्थितियों को घटाते हैं जिनमें वे एक साथ आते हैं।
दोनों $O$ को एक इकाई $(OO)$ के रूप में मानने पर,हमारे पास $5$ इकाइयाँ हैं: $S, A, L, (OO), N$.
$O$ के एक साथ आने वाले विन्यासों की संख्या = $5! = 120$.
अभीष्ट विन्यासों की संख्या = $360 - 120 = 240$.

(A) $MAXIMUM$ शब्द में $7$ अक्षर हैं: $M, A, X, I, M, U, M$।
व्यंजन $M, X, M, M$ ($4$ व्यंजन) हैं और स्वर $A, I, U$ ($3$ स्वर) हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो व्यंजन एक साथ न आएं,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,$3$ स्वरों $(A, I, U)$ को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
यह $4$ रिक्त स्थान बनाता है: $\bullet A \bullet I \bullet U \bullet$।
हमें $4$ व्यंजनों $(M, X, M, M)$ को इन $4$ रिक्त स्थानों में रखना है।
$4$ व्यंजनों को $4$ रिक्त स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{3!}$ हैं (क्योंकि $M$ तीन बार दोहराया गया है)।
कुल तरीके = $3! \times \frac{4!}{3!} = 4!$।

(B) $n$ पुस्तकों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
यदि दो निर्दिष्ट पुस्तकें हमेशा एक साथ हों,तो उन्हें एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास $(n - 1)$ इकाइयाँ होती हैं जिन्हें $(n - 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। ये दो पुस्तकें आपस में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,दो निर्दिष्ट पुस्तकों के एक साथ होने के तरीके $= 2 \times (n - 1)!$ हैं।
दो निर्दिष्ट पुस्तकों के एक साथ न होने के तरीके = कुल तरीके - एक साथ होने के तरीके
$= n! - 2(n - 1)!$
$= n(n - 1)! - 2(n - 1)!$
$= (n - 1)! (n - 2)$.

(A) $500$ और $600$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,सैकड़े के स्थान पर अंक $5$ होना अनिवार्य है।
चूँकि अंकों की पुनरावृत्ति नहीं की जा सकती,इसलिए दहाई और इकाई के स्थानों को भरने के लिए हमारे पास $5$ शेष अंक $(1, 2, 3, 4, 6)$ हैं।
हमें शेष $5$ अंकों में से $2$ अंकों को चुनकर व्यवस्थित करना है।
यह क्रमचय (permutation) के सूत्र $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ,$n = 5$ और $r = 2$,इसलिए $^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$.
अतः,ऐसी $20$ संख्याएँ संभव हैं।

(B) ये संख्याएँ $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ अंकों का उपयोग करके बनाई गई $4$-अंकीय संख्याएँ हैं।
चूँकि संख्या $1000$ से बड़ी और $4000$ से छोटी या उसके बराबर होनी चाहिए,इसलिए पहला अंक $1, 2, 3,$ या $4$ हो सकता है।
स्थिति $1$: पहला अंक $1, 2,$ या $3$ है।
इन $3$ विकल्पों में से प्रत्येक के लिए,शेष $3$ स्थानों को $5$ तरीकों से भरा जा सकता है (अंक $0, 1, 2, 3, 4$)।
इन स्थितियों के लिए कुल संख्या $= 3 \times 5 \times 5 \times 5 = 375$।
हालाँकि,हमें उस स्थिति को बाहर करना होगा जहाँ संख्या $1000$ है (क्योंकि यह $1000$ से बड़ी होनी चाहिए)।
अतः,$375 - 1 = 374$ संख्याएँ।
स्थिति $2$: पहला अंक $4$ है।
$4$ से शुरू होने वाली $4000$ से छोटी या उसके बराबर एकमात्र संख्या $4000$ है।
इसे हमारी गणना में जोड़ने पर: $374 + 1 = 375$।
इस प्रकार,कुल संख्या $375$ है।

(B) दिए गए अंक $1, 2, 3, 4, 3, 2, 1$ हैं। कुल $7$ अंक हैं।
विषम अंक $1, 3, 3, 1$ (कुल $4$ अंक) हैं और सम अंक $2, 4, 2$ (कुल $3$ अंक) हैं।
विषम स्थान $1, 3, 5, 7$ हैं ($4$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4, 6$ हैं ($3$ स्थान)।
$4$ विषम अंकों $1, 3, 3, 1$ को $4$ विषम स्थानों पर $\frac{4!}{2!2!} = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$3$ सम अंकों $2, 4, 2$ को $3$ सम स्थानों पर $\frac{3!}{2!} = 3$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 3 = 18$ है।

(A) $1000$ से छोटी संख्याएँ $1$-अंकीय,$2$-अंकीय या $3$-अंकीय हो सकती हैं।
$1$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^6P_1 = 6$.
$2$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^6P_2 = 6 \times 5 = 30$.
$3$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^6P_3 = 6 \times 5 \times 4 = 120$.
कुल संख्याएँ $= 6 + 30 + 120 = 156$.

(A) $COURTESY$ शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $C, O, U, R, T, E, S, Y$.
चूंकि पहला अक्षर $C$ और अंतिम अक्षर $Y$ निश्चित है,इसलिए हमारे पास भरने के लिए $8 - 2 = 6$ स्थान शेष हैं।
शेष $6$ अक्षरों $(O, U, R, T, E, S)$ को इन $6$ स्थानों में $6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,शब्दों की कुल संख्या $6!$ है।

(B) $DELHI$ शब्द में $5$ अलग-अलग अक्षर हैं: $D, E, L, H, I$।
चूंकि $L$ को बीच में आना है,इसलिए हम $L$ को $3^{rd}$ स्थान पर स्थिर करते हैं।
अब,हमारे पास $4$ शेष स्थान हैं जिन्हें शेष $4$ अक्षरों $(D, E, H, I)$ द्वारा भरा जाना है।
$4$ अलग-अलग अक्षरों को $4$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $4!$ है।
$4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $24$ है।

(B) व्यवस्थित किए जाने वाले कुल अंकों की संख्या $5$ है।
अंक $3, 4, 7, 5, 5$ हैं।
चूंकि अंक $5$ दो बार दोहराया गया है,इसलिए भिन्न क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{p!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=5$ और $p=2$ है।
तरीकों की संख्या = $\frac{5!}{2!} = \frac{120}{2} = 60$।

(C) $MATHEMATICS$ शब्द में कुल $11$ अक्षर हैं।
इस शब्द में,अक्षर $M$ $2$ बार,अक्षर $A$ $2$ बार और अक्षर $T$ $2$ बार आता है।
क्रमचय की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$ है।
मान रखने पर,व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{11!}{2!2!2!}$ प्राप्त होती है।

(B) $CALCUTTA$ शब्द में कुल $8$ अक्षर हैं।
प्रत्येक अक्षर की आवृत्ति इस प्रकार है: $C: 2, A: 2, L: 1, U: 2, T: 2$.
कुल विन्यासों की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! n_3! ... n_k!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 8$,और पुनरावृत्ति वाले अक्षर $C=2, A=2, U=2, T=2$ हैं।
आवश्यक विन्यासों की संख्या $= \frac{8!}{2! 2! 2! 2!} = \frac{40320}{16} = 5040$.

(A) $99$ और $1000$ के बीच की संख्याएँ $3$ अंकों की संख्याएँ होती हैं।
हमारे पास $6$ अंक उपलब्ध हैं: $\{0, 2, 3, 6, 7, 8\}$।
$3$ अंकों की संख्या के लिए,सैकड़े के स्थान पर $0$ नहीं हो सकता।
इसलिए,सैकड़े के स्थान को $5$ अंकों में से किसी एक से भरा जा सकता है: $\{2, 3, 6, 7, 8\}$ ($5$ तरीके)।
दहाई के स्थान को शेष $5$ अंकों में से किसी एक से भरा जा सकता है ($5$ तरीके)।
इकाई के स्थान को शेष $4$ अंकों में से किसी एक से भरा जा सकता है ($4$ तरीके)।
कुल संख्याएँ = $5 \times 5 \times 4 = 100$।

(B) $COMMITTEE$ शब्द में कुल $9$ अक्षर हैं।
अक्षरों की आवृत्ति इस प्रकार है:
$C$ दो बार,$O$ एक बार,$M$ दो बार,$I$ एक बार,$T$ दो बार,$E$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्था = $\frac{9!}{2! 2! 2! 2!} = \frac{9!}{(2!)^4}$।

(B) $3000$ और $4000$ के बीच की संख्या बनाने के लिए,हजार के स्थान पर $3$ निश्चित होना चाहिए।
संख्या के $5$ से विभाज्य होने के लिए,इकाई के स्थान पर $5$ होना चाहिए।
दिए गए $6$ अंकों $(3, 4, 5, 6, 7, 8)$ में से हमने $2$ अंकों ($3$ और $5$) का उपयोग कर लिया है।
शेष अंक $4, 6, 7, 8$ हैं,जो कुल $4$ हैं।
हमें शेष दो स्थानों (सैकड़ा और दहाई) को इन $4$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के भरना है।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या $^4P_2 = \frac{4!}{(4-2)!} = 12$ है।
अतः,ऐसी $12$ संख्याएँ संभव हैं।

(C) $MODESTY$ शब्द के अक्षर वर्णानुक्रम में $D, E, M, O, S, T, Y$ हैं।
$1$. $D$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$ शब्द।
$2$. $E$ से शुरू होने वाले शब्द: $6! = 720$ शब्द।
$3$. $MD$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$4$. $ME$ से शुरू होने वाले शब्द: $5! = 120$ शब्द।
$5$. अगला शब्द $MO$ से शुरू होता है। शेष अक्षर $D, E, S, T, Y$ हैं। उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करने पर,पहला शब्द $MODESTY$ प्राप्त होता है।
अतः,$MODESTY$ की रैंक = $720 + 720 + 120 + 120 + 1 = 1681$।

(B) दिया गया है कि $a = {}^{x+2}P_{x+2} = (x+2)!$,$b = {}^{x}P_{11} = \frac{x!}{(x-11)!}$,और $c = {}^{x-11}P_{x-11} = (x-11)!$.
समीकरण $a = 182bc$ में मान रखने पर:
$(x+2)! = 182 \times \frac{x!}{(x-11)!} \times (x-11)!$
समीकरण को सरल करने पर:
$(x+2)! = 182 \times x!$
$(x+2)(x+1)x! = 182 \times x!$
दोनों पक्षों को $x!$ से विभाजित करने पर (जहाँ $x \ge 11$):
$(x+2)(x+1) = 182$
$x^2 + 3x + 2 = 182$
$x^2 + 3x - 180 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$(x+15)(x-12) = 0$
चूंकि $x$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $x \ge 11$,इसलिए $x = 12$ प्राप्त होता है।

(C) एक चार अंकों की संख्या सम होती है यदि उसका इकाई अंक $0$ या $2$ हो।
स्थिति $1$: इकाई अंक $0$ है।
शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(1, 2, 3)$ द्वारा $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: इकाई अंक $2$ है।
हजार के स्थान पर $0$ या $2$ नहीं आ सकता,इसलिए इसे $2$ तरीकों से भरा जा सकता है ($1$ या $3$ का उपयोग करके)।
शेष $2$ स्थानों को शेष $2$ अंकों द्वारा $2! = 2 \times 1 = 2$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,तरीकों की संख्या $2 \times 2 = 4$ है।
कुल सम संख्याएँ $= 6 + 4 = 10$.

(D) $10$ उम्मीदवारों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
किसी भी व्यवस्था में,$A_1$ और $A_{10}$ की सापेक्ष स्थितियों के लिए केवल दो संभावनाएं हैं: या तो $A_1$,$A_{10}$ से ऊपर है या $A_{10}$,$A_1$ से ऊपर है।
चूंकि ये दोनों स्थितियां सममित हैं,इसलिए $A_1$ के $A_{10}$ से ऊपर होने के तरीकों की संख्या कुल व्यवस्थाओं की संख्या की ठीक आधी है।
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $\frac{10!}{2} = \frac{1}{2}(10!)$ है।

(C) शब्द $EAMCET$ में $6$ अक्षर हैं: $E, A, M, C, E, T$।
इसमें $3$ व्यंजन हैं: $M, C, T$ और $3$ स्वर हैं: $E, A, E$।
सबसे पहले,हम $3$ व्यंजनों को $3!$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं।
$3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीके।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो स्वर आसन्न न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं। $3$ व्यंजनों के आसपास $4$ संभावित स्थान हैं: $\_ C_1 \_ C_2 \_ C_3 \_$।
हमें इन $4$ स्थानों में $3$ स्वरों $(E, A, E)$ को रखना है। $4$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $^4C_3 = 4$ हैं।
चूंकि दो समान स्वर $(E, E)$ हैं,इसलिए चुने गए स्थानों में स्वरों की व्यवस्था की संख्या $\frac{3!}{2!} = 3$ है।
कुल व्यवस्थाएं $= 3! \times ^4C_3 \times \frac{3!}{2!} = 6 \times 4 \times 3 = 72$।

(A) "$BANANA$" शब्द में कुल $6$ अक्षर हैं,जहाँ अक्षर $A$,$3$ बार और अक्षर $N$,$2$ बार दोहराया गया है।
क्रमचय के सूत्र का उपयोग करते हुए,कुल क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{n_1! n_2! ... n_k!}$ है।
यहाँ,$n = 6$,$n_1 (A) = 3$,और $n_2 (N) = 2$ है।
कुल क्रमचय $= \frac{6!}{3! \times 2!} = \frac{720}{6 \times 2} = \frac{720}{12} = 60$.

(B) $MOBILE$ शब्द में $6$ अक्षर हैं: $M, O, B, I, L, E$.
इसमें $3$ व्यंजन $(M, B, L)$ और $3$ स्वर $(O, I, E)$ हैं।
शब्द में $6$ स्थान हैं: $1, 2, 3, 4, 5, 6$।
विषम स्थान $1, 3, 5$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
सम स्थान $2, 4, 6$ हैं (कुल $3$ स्थान)।
शर्त के अनुसार,$3$ व्यंजनों को $3$ विषम स्थानों पर होना चाहिए,जिसे ${}^3P_3 = 3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $3$ स्वरों को $3$ सम स्थानों पर होना चाहिए,जिसे ${}^3P_3 = 3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,कुल शब्दों की संख्या $= 6 \times 6 = 36$।

(B) $5$ से विभाज्य संख्याओं के इकाई स्थान पर $5$ होना चाहिए।
स्थिति $1$: $3$-अंकीय संख्याएँ।
इकाई का स्थान $5$ के रूप में निश्चित है। शेष $2$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(3, 4, 6)$ द्वारा $^3P_2 = 3 \times 2 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
स्थिति $2$: $4$-अंकीय संख्याएँ।
इकाई का स्थान $5$ के रूप में निश्चित है। शेष $3$ स्थानों को शेष $3$ अंकों $(3, 4, 6)$ द्वारा $^3P_3 = 3 \times 2 \times 1 = 6$ तरीकों से भरा जा सकता है।
कुल संख्याएँ $= 6 + 6 = 12$।